Aplicaciones de la integral Parte I

1. Área de regiones planas
Vólumenes de sólidos
Semana No. 1: Aplicaciones de la integral definida
Yoe Herrera
UNAB
yherrera743@unab.edu.co
Julio 27 de 2017
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2. Área de regiones planas
Vólumenes de sólidos
Área de regiones planas
El área entre de la región del plano xy delimitada por las curvas
y = f(x), y = g(x), x = a y x = b es
b
a
|f − g|(x)dx.
Ejemplo 1
Halle el área de la región acotada por las curvas y = 2x − 1, y = x2 − 1, x = 1 y x = 2.
Solución.
2
1
|(2x − 1) − (x2
− 1)|dx =
2
1
(−x2
+ 2x)dx = 0.67 unidades de área.
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3. Área de regiones planas
Vólumenes de sólidos
Volúmenes
Por rebanadas.
Consideramos un sólido S que se encuentra limitado por dos planos perpendiculares al
eje x en x = a y x = b. Podemos aproximar el volumen de S considerando rebanadas
de gruesor ∆x y que tienen como base una sección tranversal de área A(x∗
i ). De esta
manera, pasando al límite obtenemos el volumen de S,
V ol(S) =
b
a
A(x)dx.
Ejemplo 2
Halle el volumen del sólido que tiene como base la región encerrada por la parábola
y = x2 − 1 y el eje x y cuyas secciones transversales perpendiculares al eje y son
cuadrados.
S. transv de SBase de S
y = x2 − 1
x
Solución. V (S) = 1
−1(0 − (x2 − 1))2dx = 2(1/5 − 2/3 + 1) = 16/15 un3. 3 / 5

4. Área de regiones planas
Vólumenes de sólidos
Por discos o arandelas
El sólido S es de revolución si se puede obtener rotando una región plana alrededor de
una recta (eje de) S.
Sea S un sólido que se puede obtener al rotar la región acotada por las curvas
y = f(x), y = g(x), x = a y x = b, alrededor de la recta x = k. El volumen de S se
puede calcular así:
V (S) = π
b
a
[(f − k)2
− (g − k)2
](x)dx.
Sea S un sólido que se puede obtener al rotar la región acotada por las curvas
y = p(x), y = q(x), y = c y y = d, alrededor de la recta y = k. El volumen de S se
puede calcular así:
V (S) = π
d
c
[(p − k)2
− (q − k)2
](y)dy.
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5. Área de regiones planas
Vólumenes de sólidos
Taller No. 1
Realizar los ejercicios del libro de Stewart
Sección 5.1 2, 4, 11, 14, 27, 29, 34, 36, 55, 56, 58
Sección 5.2 2, 5, 6, 11, 12, 15, 16, 20, 26, 39, 40, 45, 47, 48
Sección 5.3 5, 6, 10, 11, 17,18, 23, 30, 32, 39, 40
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