Este documento presenta 35 ejercicios sobre el cálculo de volúmenes, áreas, centroides, masas e inertias de varias regiones tridimensionales definidas por ecuaciones de superficies como esferas, paraboloides, cilindros, conos y planos. Los ejercicios involucran el cálculo de integrales triples, el desarrollo de fórmulas y la aplicación de conceptos como densidad y centro de masa.

1. GUÍA DE INTEGRALES TRIPLES
1. Calcule el valor de la integral triple
ZZZ
T
f (x, y, z) dV para:
(a) f (x, y, z) = xysen (z); T es el cubo 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π, 0 ≤ z ≤ π.
(b) f (x, y, z) = x + y + z; T es el bloque rectangular −1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2,
−2 ≤ z ≤ 6.
(c) f (x, y, z) = 2x + 3y; T es un tetraedro del primer octante acotado por los
planos coordenados y el plano con ecuación 2x + 3y + z = 6.
(d) f (x, y, z) = 2y + z; T está bajo la superficie z = 4 − y2
y sobre el rectángulo
−1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2 en el plano xy.
(e) f (x, y, z) = z; T es la región entre las superficies z = y2
y z = 8 − y2
para
−1 ≤ x ≤ 1.
2. Grafique el sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones proporcionadas. Después
determine su volumen mediante integración triple:
(a) z = y, y = x2
, y = 4, z = 0.
(b) z = x2
+ y2
, z = 2, x = 0, y = 0, x + y = 1.
(c) x = z2
, y + z = 4, y = 0, z = 0.
(d) x = z2
, x = 8 − z2
, y = −1, y = −3.
(e) z = 1 − y2
, z = y2
− 1, x + z = 1, x = 0.
(f) y = 4 − x2
− z2
, x = 0, y = 0, z = 0, x + z = 2.
3. Determine el volumen acotado por el paraboloide elíptico y = x2
+ 4z2
y por el
plano y = 2x + 3.
4. Determine el volumen del cono elíptico acotado por z =
p
x2 + 4y2 y por el plano
z = 1.
5. Determine el volumen del sólido acotado por arriba por el plano z = 4 y por abajo
por el paraboloide z = x2
+ y2
.
6. Deduzca la fórmula para el volumen de una esfera de radio a.
7. Determine el volumen de la región que está dentro de la esfera x2
+ y2
+ z2
= 4 y
dentro del cilindro x2
+ y2
= 1.
8. Determine el volumen de la región acotada por los paraboloides z = 2x2
+ y2
y
z = 12 − x2
− 2y2
.

2. 9. Determine el volumen de la región acotada por arriba por la superficie esférica
x2
+ y2
+ z2
= 2 y por abajo por el paraboloide z = x2
+ y2
.
Para los siguientes ejercicios considere las siguientes fórmulas:
masa : M =
ZZZ
R
δ (x, y, z) dV
Centroide : C =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
ZZZ
R
xδ (x, yz) dV
M
,
ZZZ
R
yδ (x, yz) dV
M
,
ZZZ
R
zδ (x, yz) dV
M
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Momentos de inercia respecto a un eje coordenado
Ix =
ZZZ
R
¡
y2
+ z2
¢
δ (x, y, z) dV
Iy =
ZZZ
R
¡
x2
+ z2
¢
δ (x, y, z) dV
Iz =
ZZZ
R
¡
x2
+ y2
¢
δ (x, y, z) dV
10. Determine el centroide del hemisferio x2
+ y2
+ z2
≤ R2
, z ≥ 0, si ρ (x, y, z) ≡ 1.
11. Determine el momento de inercia con respecto al eje z del cilindro sólido x2
+ y2
≤
R2
, 0 ≤ z ≤ H, si ρ (x, y, z) ≡ 1.
12. Muestre que el centroide de un cono circular recto está en el eje del cono y a tres
cuartos del camino del vértice de la base, si ρ (x, y, z) ≡ 1..
13. Determine el centroide de la región en el primer octante que es interior a los dos
cilindros x2
+ z2
= 1 y y2
+ z2
= 1, si ρ (x, y, z) ≡ 1.
14. Determine la masa y el momento de inercia con respecto al eje z del cilindro x2
+y2
=
a, para 0 ≤ z ≤ h, si su densidad en (x, y, z) es z.
15. Determine el volumen y centroide de la región acotada por el plano z = 0 y por el
paraboloide z = 9 − x2
− y2
, siρ (x, y, z) ≡ 1.
16. Determine el momento de inercia I, de un cilindro sólido homogéneo, con respecto
del diámetro de su base. Exprese I en términos del radio a, la altura h y la densidad
(constante) δ del cilindro.
17. Determine el volumen de la región acotada por el plano z = 1 y por el cono z =p
x2 + y2.

3. 18. Determine el centroide de un hemisferio sólido homogéneo de radio a, si ρ (x, y, z) ≡
1.
19. Determine el volumen y el centroide del sólido del sólido que está dentro de la esfera
x2
+ y2
+ z2
= a2
y sobre el cono x2
+ y2
= z2
, si ρ (x, y, z) ≡ 1.
20. Determine el momento de inercia con respecto de una recta tangente de esfera
homogénea sólida de radio a y masa total m.
21. Describa la superficie ρ = 2asen (φ) y calcule el volumen de la región que acota.
22. Determine el momento de inercia con respecto al eje x de la región dentro del cilindro
x2
+ y2
= a2
y dentro de la esfera x2
+ y2
+ z2
= 4a2
, si ρ (x, y, z) ≡ 1.
23. Determine la masa y el centroide del cono de helado que está acotado por el cono
z2
= 3x2
+ 3y2
y por la esfera x2
+ y2
+ (z − a)2
= a2
, si su densidad está dada por
δ = z.
24. Determine el área de la porción del plano z = x + 3y que está dentro del cilindro
elíptico con ecuación x2
4
+ y2
9
= 1.
25. Determine el área de la parte del paraboloide z = 9−x2
−y2
que está sobre el plano
z = 5.
26. Determine el área de la superficie dada por la gráfica de z = x + y2
para 0 ≤ x ≤
1, 0 ≤ y ≤ 2.
27. Determine por integración el área de la parte del plano 2x + 3y + z = 6 que está en
el primer octante.
28. Determine el área que es cortada de una superficie con forma de silla de montar
z = xy por el cilindro x2
+ y2
= 1.
29. Determine el área de la parte del paraboloide z = 16 − x2
− y2
que está sobre el
plano xy.
30. Consideremos la parte del cilindro x2
+ y2
= a2
entre los planos z = 0 y z = h con
parámetros x = a cos (θ) , y = asen (θ) , z = z. Demuestre que el área de esta zona
es A = 2πah.
31. Determine el área de la parte del cilindro x2
+ z2
= a2
que está dentro del cilindro
x2
+ y2
= a2
.
32. La superficie de revolución obtenida al hacer girar la curva x = f (z) , a ≤ z ≤ b
alrededor del eje z se parametriza en términos de θ (0 ≤ θ ≤ 2π) y z (a ≤ z ≤ b)

4. por x = f (z) cos (θ) , y = f (z) sen (θ) , z = z. De la definición de área de una
superficie paramétrica, deduzca la fórmula del área de superficie
A =
Z 2π
0
Z b
a
f (z)
q
1 + [f0 (z)]2
dzdθ
Esta fórmula coincide con el área de una superficie de revolución.
33. Sea R el paralelógramo acotado por las rectas x + y = 1, x + y = 2 y 2x − 3y =
2, 2x − 3y = 5. Determine su área.
34. Determinar el área en el primer cuadrante de la región acotada por las curvas xy =
2, xy = 4 y xy3
= 3, xy3
= 6.
35. Utilice las coordenadas elípticas x = 3r cos (θ) , y = 2rsen (θ) para determinar el
volumen de la región acotada por el plano xy, por el paraboloide z = x2
+ y2
y por
el cilindro elíptico x2
9
+ y2
4
= 1.