Aplicaciones de integrales

2. CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL
UNIDAD 3: APLICACIONES EN INGENIERÍA
Marcelo Fernando Valdiviezo Condolo
Primero ‘B’
Carrera de Telecomunicaciones

3. APLICACIONES DE LA INTEGRAL

4. EL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA
Una región por arriba del eje x
• y = f(x) es una curva en el plano xy.
• f es continua y no negativa en el intervalo [a, b].
• La región R se encuentra acotada por las gráficas
de :
• y = f(x)
• x = a
• x = b
• y = 0
( ) ( )
b
a
A R f x dx= 

5. EJEMPLO
Encuentre el área de la región R bajo entre x = -1 y x = 24 3
2 2y x x= − +
( ) ( )
22 5 4
4 3
1 1
2
2 2 2
5 4
x x
A R x x dx x
− −
 
= − + = − + 
 

( )
32 16 1 1 51
4 2 5.1
5 2 5 2 10
A R
   
= − + − − − − = =   
   

6. EL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA
Una región debajo del eje x
• El área es un número no negativo.
• Si la gráfica de y = f(x) está por debajo del eje x,
entonces el resultado de la integral será negativo.
• Entonces el resultado será el negativo del área de
la región R.
• La región R se encuentra acotada por las gráficas
de :
• y = f(x)
• x = a
• x = b
• y = 0

7. EJEMPLO
Encuentre el área de la región R acotada , el eje x, x -2 y x = 3
2
4
3
x
y = −
( )
3 32 2
2 2
4 4
3 3
x x
A R dx dx
− −
   
= − − = − +   
   
 
( )
145
16.11
9
A R = =
( )
33
2
27 8
4 12 8
9 9 9
x
A R x
−
     
= − + = − + − −    
    

8. EJEMPLO
Encuentre el área de la región R acotada , el segmento del eje x entre x = -1 y x = 2
3 2
3 3y x x x= − − +
( ) ( ) ( )
1 2
3 2 3 2
1 1
3 3 3 3A R x x x dx x x x dx
−
= − − + − − − + 
( )
7 23
4
4 4
A R
 
= − − = 
 
( )
1 24 2 4 2
3 3
1 1
3 3
4 2 4 2
x x x x
A R x x x x
−
   
= − − + − − − +   
   
( ) ( ) ( )1 2A R A R A R= +
( )
2
3 2
1
3 3A R x x x dx
−
= − − +

9. EL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA
Ideas para regiones mas complejas
1. Bosqueje la región.
2. Córtela en secciones delgadas, marque una pieza representativa.
3. Aproximamos el área de la pieza representativa como si fuera un
rectángulo.
4. Sume las aproximaciones a las áreas de las secciones.
5. Tome el límite cuando el ancho de las secciones se aproxima a 0,
obteniendo así una integral definida.

10. EJEMPLOFormule la integral para el área de la región , entre x = 0 y x = 41y x= +

11. EL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA
Una región entre dos curvas
• Considere las curvas y = f(x) y y = g(x).
• g(x) < f(x) en .a x b 

12. EJEMPLOEncuentre el área de la región entre las curvas
4 2
y 2y x y x x= = −
( )
11 3 5
2 4 2
0 0
1 1 7
2 1
3 5 3 5 15
x x
x x x dx x
 
− − = − − = − − = 
 


13. EJEMPLOEncuentre el área de la región entre la curva y la recta2
4y x= 4 3 4x y− =
( )( )
2
2
3 4
3 4 0
4 1 0
4
1
y y
y y
y y
y
y
= +
− − =
− + =
=
= −
La rebanada en la forma vertical nos enfrentan a un
problema ya que el extremo izquierdo, limita por la misma
función tanto en la parte inferior como superior.

14. EJEMPLOEncuentre el área de la región entre la curva y la recta2
4y x= 4 3 4x y− =
( )
4 42
2
1 1
3 4 1
3 4
4 4
y y
A dy y y dy
− −
 + −
= = + − 
 
 
42 3
1
1 3
4
4 2 3
y y
A y
−
 
= + − 
 
1 64 3 1 125
24 16 4 5.21
4 3 2 3 24
A
    
= + − − − + =     
    
(1) El integrando que resulta de las
rebanadas horizontales incluye a y,
no a x;
(2) Para obtener el integrando, se
despeja x de ambas ecuaciones y
se resta el valor más pequeño de x
del mayor.

15. VOLÚMENES DE SÓLIDOS
Cilindros Rectos

16. VOLÚMENES DE SÓLIDOS
Sólidos de Revolución

17. EJEMPLOEncuentre el volumen del sólido de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje x la región plana R
acotada por , el eje x y la recta x = 4.y x=
44 2
0 0
2
x
V xdx 
 
= =  
 

16
8 25.13
2
V  = = =

18. EJEMPLOEncuentre el volumen del sólido generado al hacer girar la región acotada por la curva , el eje y la recta
y = 3 en torno al eje y.
3
y x=
3 352
3 3
0
3 9 9
11.76
5 5
V y dy y  
 
= = = =  


19. MÉTODO DE LAS ARANDELAS 3
y x=

20. EJEMPLOEncuentre el volumen del sólido generado al hacer girar la región acotada por las parábolas y
en torno al eje x
2
y x= 2
8y x=
( )
22 2 5
4
0 0
8 48
8 30.16
2 5 5
x x
V x x dx

 
 
= − = − = = 
 


21. PREGUNTAS