Tarea

1. 38
La ecuación queda escrita como ( )( ) 0
2
10
5
2 2
=
−
+
+ y
y
y y de allí que 2
=
y es la única solución
real.
Derivando 2
3
2 x
y = con respecto a “y” resulta:
x
y
dy
dx
x
x
x
y
2
2 3
´
´
2
6 =
=
Ÿ
⋅
=
Luego ( ) 07
,
9
1
1000
27
8
0
2
3
2
2
9
1
9
2
2
2
9
1
2
2
9
1
2
2
3
2
0
2
0
3
4
≈
−
=
⋅
¸
¹
·
¨
©
§
+
⋅
=
+
=
+
= ³
³ y
dy
y
dy
y
y
L
(IV) APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA AL CÁLCULO DEL VOLUMEN
DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN.
Sea )
(x
f
y = una función continua y acotada en el intervalo [ ]
b
a,
Se denomina SÓLIDO DE REVOLUCIÓN, al cuerpo geométrico (tridimensional) que se genera
al girar o rotar, alrededor del eje X, la región plana limitada por la gráfica de )
(x
f
y = , el eje X y
las rectas verticales b
x
y
a
x =
= , es decir, ( )
{ )
(
0
/
, x
f
y
b
x
a
y
x
R ≤
≤
∧
≤
≤
= }.
El eje X resulta ser un eje de simetría de este sólido y una sección recta perpendicular al eje X
resulta ser un círculo. Además, el eje X actúa como un borde o frontera de la región en el plano
que se hace girar.
Como veremos más adelante, el eje de rotación o giro puede ser el eje Y u otra recta externa a la
figura que se desea rotar. Esta recta sobre la cual se rota es llamada eje de revolución
Ejemplos simples y conocidos de sólidos de revolución se muestran en los siguientes diseños:

2. 39
Para determinar el volumen de este tipo de sólidos ( que giran en torno al eje X) , seguiremos un
procedimiento similar al utilizado para calcular el área de una plana R, aproximando el volumen
de un sólido de revolución por medio de una suma de volúmenes de sólidos más elementales, a
saber, discos circulares de radio x
Δ y altura h conocidos. Cuando lo hagamos de esta forma,
estaremos usando el método del disco, para el cálculo del volumen de un sólido de revolución.

3. 40
El volumen de este tipo de discos ( llamados elementos de volumen) es el producto entre el área
de la base ( circular) y el espesor (altura), es decir, x
h
disco
de
Volumen Δ
⋅
⋅
= 2
π
Consideremos una partición P del intervalo [ ]
b
a, , digamos { }
b
x
x
x
x
x
a
P n
n =
=
= − ,
,...,
,
, 1
2
1
0 , en
que la longitud de cada subintervalo está dada por n
i
x
x
x i
i
i ,....,
2
,
,
1
,
1 =
∀
−
=
Δ −
Elijamos un punto [ ]
1
1 , x
x
t i
i −
∈ y consideremos los n discos circulares cuyos espesores son
n
i x
x
x
x Δ
Δ
Δ
Δ ...,
,
.....,
,
, 2
1 y cuyos radios son )
(
,....,
)
(
...,
,
)
(
,
)
( 2
1 n
i t
f
t
f
t
f
t
f
El volumen del i-ésimo disco es [ ] i
i
i x
t
f
V Δ
⋅
⋅
=
Δ 2
)
(
π
La suma de estos volúmenes a través de cada subintervalo [ ]
1
1 , x
xi− es [ ]
¦
=
Δ
⋅
⋅
n
i
i
i x
t
f
1
2
)
(
π , lo
que nos entrega una aproximación del volumen del sólido que estamos calculando.
Podemos suponer que a medida que la partición se hace más fina, mejor será la aproximación
mencionada.
Siendo así, el volumen V del Sólido de Revolución se define como :
[ ] [ ]
¦ ³
=
→
∞
→
⋅
=
Ÿ
Δ
⋅
⋅
=
n
i
b
a
i
i
P
n
dx
x
f
V
x
t
f
V
1
2
2
0
)
(
)
(
lim π
π

4. 41
En el caso que la región plana R que se hace rotar, viene descrita o limitada por
Y
eje
el
y
g
x ,
)
(
= y las rectas horizontales, entonces el volumen del sólido generado al girar R
en torno al eje Y está dado por [ ] dy
y
g
V
d
c
³
⋅
= 2
)
(
π ( Más adelante se muestra esto en detalle)
Ejemplo 55: Determinar el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la función 2
x
y =
en torno al eje X, entre las rectas 2
1 =
= x
y
x .
Solución: En el gráfico siguiente se muestra la región R que al girar en torno al eje X genera el
sólido de la derecha.
El volumen del elemento de volumen será: [ ] [ ] i
i
i
i
i
i
i x
t
x
t
x
t
f
V Δ
⋅
⋅
=
Δ
⋅
⋅
=
Δ
⋅
⋅
=
Δ
4
2
2
2
)
( π
π
π
Entonces
5
31
1
2
5
lim 5
1
2
1
4
4
0
π
π
π
π =
=
⋅
=
Δ
⋅
⋅
= ¦ ³
=
→
∞
→
x
dx
x
x
t
V
n
i
i
i
P
n
Ejemplo 56: Determinar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar en torno al eje
X la región limitada por el eje X y las funciones x
y
x
y 2
3
,
2
−
=
= .
Solución: La gráfica de la región plana R y el sólido generado se muestran en el siguiente diseño:
El área debe separarse a la altura de 1
=
x por cuanto allí cambia la función f(x)
Siendo así, el volumen del sólido de revolución esta dado por:

5. 42
[ ] [ ]
³ ³ =
¸
¹
·
¨
©
§
+
−
+
⋅
=
−
+
⋅
=
1
0 1
2
3
3
2
5
2
2
2
2
3
30
91
1
3
4
6
9
0
1
5
1
2
3
π
π
π
π
π x
x
x
x
dx
x
dx
x
V
Ejemplo 57: Determinar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar en torno al eje
Y la región limitada por el eje Y y las funciones x
y
x
y 2
3
,
2
−
=
= .
Solución:
Como puede verse, se trata de las mismas funciones del ejemplo anterior, pero ahora cambia la
región plana y el eje sobre el cual se hace la rotación o giro.
Lo primero que necesitamos es utilizar las funciones inversas, esto es, expresar x en función de
y.
( )
y
x
x
y
e
son
y
como
x
to
que
note
y
x
x
y −
=
Ÿ
−
=
≥
=
Ÿ
= 3
2
1
2
3
)
0
tan
(
2
Al realizar el giro en torno al eje Y , se formarán discos horizontales de base y
Δ y altura h ,
cuyo volumen es y
h Δ
⋅
⋅ 2
π
Si d
y
e
c
y
y
g
x =
=
= ,
)
( define la región plana, la partición P corresponde al intervalo
[ ]
d
c, y el punto [ ]
i
i
i y
y
t ,
1
−
∈ , entonces tendremos de manera análoga que el volumen del
sólido de revolución estará dado por:
[ ] [ ]
¦ ³
=
→
∞
→
⋅
=
Ÿ
Δ
⋅
=
n
i
d
c
i
i
P
n
dy
y
g
V
y
t
g
V
1
2
2
0
)
(
)
(
lim π
π
Con ello y retomando el ejemplo en desarrollo, vemos que la región debe separarse en dos
partes pues nuevamente la función g(y) cambia de expresión a la altura de 1
=
y .
Así, el volumen del sólido de revolución propuesto es

6. 43
[ ] ( )
[ ]
³
³ −
⋅
+
⋅
=
3
1
2
2
1
1
0
2
3 dy
y
dy
y
V π
π ( se dejan los cálculos finales para el alumno)
Ejemplo 58: Determinar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar en torno al eje
Y la región limitada por el eje Y y las funciones x
y
x
sen
y cos
, =
= .
Solución: Presentamos el gráfico del área a rotar y el sólido generado.
Debemos utilizar las funciones inversas, esto es y
arc
x
y
sen
arc
x cos
; =
= en [ ]
1
,
0 ,
separando los cálculos en 2
2
=
y
Así el volumen del sólido buscado está dado por [ ] [ ]
³ ³ ⋅
+
⋅
=
2
2
2
2
0
1
2
2
cos dy
y
arc
dy
y
sen
arc
V π
π
Para calcular ambas integrales, haremos los cambios de variable y
arc
x
y
sen
arc
x cos
, =
=
respectivamente.
Así, [ ]
³ ³ ≈
⋅
⋅
=
⋅
2
2
4
0 0
2
2
417
.
0
cos
π
π
π dx
x
x
dy
y
sen
arc ( verificar)
y [ ]
³ ³ ≈
⋅
⋅
=
⋅
1
0
2
2
2
2
4
279
,
0
cos
π
π
π dx
x
sen
x
dy
y
arc ( verificar)
Por lo tanto el volumen buscado es aproximadamente 696
,
0
=
V .
Ejemplo 59: Determinar el volumen del sólido generado al girar la región plana limitada por
ax
y 4
2
= y la recta 0
, >
= a
a
x , en torno a a
x = .
Solución: En el siguiente gráfico se muestra la figura plana que se rota.

7. 44
Entonces ( )
³ ³
− −
=
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
−
⋅
=
−
⋅
=
a
a
a
a
v
u
a
dy
a
y
a
dy
x
a
V
2
2
2
2
3
2
2
2
.
.
15
32
4
π
π
π
Ejemplo 60: (el eje de rotación no es una frontera de la región R)
Determinar el volumen del sólido que se genera al girar, alrededor del eje X, la región acotada
por la parábola 1
2
+
= x
y y la recta 3
+
= x
y
Solución: El gráfico de la figura plana y el sólido generado se muestran a continuación:
Observamos que ahora el eje de rotación no es frontera de la región R , lo que nos hará variar en
parte los cálculos para obtener el volumen del sólido.
Analicemos este punto de manera más general.
Para ello supongamos que la región R está limitada por dos funciones )
(
)
( x
g
y
e
x
f
y =
= en un
intervalo [ ]
b
a, , es decir, ( )
{ }
)
(
)
(
/
, x
f
y
x
g
b
x
a
y
x
R ≤
≤
∧
≤
≤
= tal como se muestra en la
figura siguiente, junto al sólido de revolución generado al girarla en torno al eje X.
Consideremos una partición P del intervalo [ ]
b
a, , digamos { }
b
x
x
x
x
x
a
P n
n =
=
= − ,
,...,
,
, 1
2
1
0 , en
que la longitud de cada subintervalo está dada por n
i
x
x
x i
i
i ,....,
2
,
,
1
,
1 =
∀
−
=
Δ − y elijamos un
punto [ ]
1
1 , x
x
t i
i −
∈ .
En este caso los sólidos elementales o los elementos de volumen, para obtener una suma de
aproximación del volumen del sólido, serán anillos circulares. Así tenemos el llamado método
del anillo (o de arandela o disco hueco) para resolver este tipo de volumen de sólidos de
revolución. En el siguiente diseño, se muestra el i-ésimo rectángulo y el i-ésimo anillo circular
generado al rotar el rectángulo alrededor del eje X.

8. 45
El área del anillo circular en i
t ( disco hueco) está dada por [ ] [ ]2
2
)
(
)
( i
i t
g
t
f π
π −
por lo que el volumen del i-ésimo elemento de volumen será: [ ] [ ]
( ) i
i
i
i x
t
g
t
f
V Δ
⋅
−
=
Δ 2
2
)
(
)
(
π
Entonces el volumen del sólido se aproxima por la suma ¦
=
n
i 1
[ ] [ ]
( ) i
i
i x
t
g
t
f Δ
⋅
− 2
2
)
(
)
(
π
Así, el volumen del sólido estará dado por [ ] [ ]
( )dx
x
g
x
f
V
b
a
³ −
= 2
2
)
(
)
(
π
Volviendo a nuestro ejemplo 60, el volumen del sólido es:
( ) ( )
[ ] 15
284
1
3
2
0
2
2
2 π
π
³ =
+
−
+
= dx
x
x
V ( verificar)
Ejemplo 61: Determinar el volumen del toro obtenido al girar el círculo 2
2
2
a
y
x =
+ en torno a la
recta )
(
; a
b
b
x >
=
Solución:
Tenemos ( ) ( )
[ ] ( )
[ ]
³
³ −
−
−
+
−
=
−
−
−
⋅
=
a
a
a
a
dy
x
x
x
x
b
dy
x
b
x
b
V 2
2
2
2
´
´
2
´ π
π
Pero 2
2
2
2
´ y
a
x
y
y
a
x −
−
=
−
= por lo que resulta
b
a
dy
y
a
b
dy
y
a
b
V
a
a
a
a
2
2
2
2
2
2
2
4
4 π
π
π =
−
=
−
= ³ ³
− −
( haciendo θ
sen
a
y = )

9. 46
Ejemplo 62: Determinar el volumen del sólido producido al girar en torno al eje X la región plana
limitada por 2
,
,
2
=
=
= x
x
y
x
y
Solución:
Tenemos ( ) ( ) ( ) ( )
³
³ =
»
¼
º
«
¬
ª −
+
»
¼
º
«
¬
ª −
=
2
1
2
2
2
1
0
2
2
2
5π
π
π dx
x
x
dx
x
x
V ( Verificar)
Ejemplo 63: Determinar el volumen del sólido producido al girar en torno al eje X la región plana
limitada por X
eje
x
y
x
y ,
4
,
1 2
2
−
=
−
=
Solución:
En este caso, ( ) ( )
³
³ =
−
+
+
−
−
=
2
1
2
1
0
2
2
3
28
4
2
1
4
2
π
π
π dx
x
dx
x
x
V (Verificar)
Ejemplo 64: Determinar el volumen del sólido producido al girar en torno al eje X la región plana
limitada por 0
8
,
20 2
2
2
≥
≤
≤
+ y
e
x
y
y
x
Solución:

10. 47
En este caso, ( ) ( ) .
.
3
,
120
64
5
80
3
20
8
20
2
2
2
0
v
u
dx
x
dx
x
V ≈
−
=
−
⋅
+
⋅
= ³
³
π
π
π
Ejemplo 65: Calcular el volumen del sólido generado al rotar en torno a la recta 4
−
=
x , la región
acotada por las parábolas 3
; 2
2
−
=
−
= y
x
y
y
x
Solución: La figura plana que se hace girar junto a un elemento rectangular de área, se muestran en
el siguiente diseño:
Considerando una partición del intervalo [ ]
2
3
,
1
− en el eje Y y un punto i
ξ en cada subintervalo
[ ]
i
i y
y ,
1
− , obtenemos un elemento de área rectangular de lados )
(
)
( i
i
i g
f
y
y ξ
ξ −
Δ
El volumen del anillo circular (elemento de volumen) correspondiente será
[ ] i
i
i
i y
g
f
V Δ
⋅
+
−
+
⋅
=
Δ 2
2
))
(
4
(
))
(
4
( ξ
ξ
π
Entonces el volumen del sólido se aproxima por la suma ¦
=
n
i 1
[ ] [ ]
( ) i
i
i y
g
f Δ
⋅
+
−
+ 2
2
)
(
4
)
(
4 ξ
ξ
π
De modo que el volumen del sólido buscado es
V =
0
lim
→
∞
→
P
n
¦
=
n
i 1
[ ] [ ]
( ) i
i
i y
g
f Δ
⋅
+
−
+ 2
2
)
(
4
)
(
4 ξ
ξ
π [ ] [ ]
( )
³
−
+
−
+
=
2
3
1
2
2
)
(
4
)
(
4 dy
y
g
y
f
π
( ) ( )
[ ]
³
−
=
+
−
+
⋅
=
2
3
1
2
2
)
(
4
)
(
4 dy
y
g
y
f
π ( ) ( )
[ ]
³
−
=
−
+
−
−
+
⋅
2
3
1
2
2
2
2
3
4
4 dy
y
y
y
π π
32
875

11. 48
Método de la Corteza Cilíndrica para calcular volumen de sólidos de revolución.
En el caso de los anillos circulares (método del anillo), el elemento de área se ha dibujado como
“perpendicular” al eje de rotación.
En el caso del método de la corteza cilíndrica, el elemento de área se dibuja “paralelo” al eje de
rotación y el elemento de volumen que genera es un sólido contenido entre dos cilindros con el
mismo centro y eje de rotación, pero distinto radio, tal como se muestra en la figura.
Si la corteza cilíndrica tiene un radio interior 1
r , un radio exterior 2
r y altura h entonces su
volumen está dado por h
r
h
r
V ⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
2
1
2
2 π
π
Sea nuevamente R la región del plano limitada por la curva b
x
y
a
x
entre
x
f
y =
=
= )
( ,
suponiendo la función f continua y no negativa en [ ]
b
a, . Supongamos además que 0
>
a .

12. 49
Sabemos que al girar esta región sobre el eje Y se forma un sólido de revolución. Para encontrar el
volumen de este sólido cuando los elementos de área se toman paralelos al eje Y, procedemos
como sigue:
Sea P una partición de [ ]
b
a, , dada por b
x
x
x
x
x
a n
n =
<
<
<
<
<
= −1
2
1
0 ...
Supongamos que i
m es el punto medio del subintervalo [ ]
i
i x
x ,
1
− , es decir, ( )
i
i
i x
x
m +
= −1
2
1
Consideremos el rectángulo construido sobre la base de [ ]
i
i x
x ,
1
− , con altura )
( i
m
f y ancho
1
−
−
=
Δ i
i
i x
x
x
Al rotar este rectángulo sobre el eje Y obtenemos una corteza cilíndrica con radio mayor i
x , radio
menor 1
−
i
x y altura )
( i
m
f
h = cuyo volumen estará dado entones por:
( ) ( )( ) )
(
)
(
)
(
)
( 1
1
2
1
2
2
1
2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i m
f
x
x
x
x
m
f
x
x
m
f
x
m
f
x
V ⋅
+
−
=
⋅
−
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
Δ −
−
−
− π
π
π
π
Como 1
1 2 −
− +
=
−
=
Δ i
i
i
i
i
i x
x
m
y
x
x
x tenemos que i
i
i
i x
m
f
m
V Δ
⋅
⋅
⋅
=
Δ )
(
2π
Haciendo girar alrededor del eje Y, los n elementos de área rectangulares, se obtienen n cortezas
cilíndricas.
La suma de sus volúmenes está dada por la suma de Riemann ¦ ¦
= =
Δ
=
Δ
n
i
n
i
i
i
i
i x
m
f
m
V
1 1
)
(
2π
Así, el volumen del sólido de revolución viene dado por:
¦ ³
=
→
∞
→
=
Δ
=
n
i
b
a
i
i
i
P
n
dx
x
f
x
x
m
f
m
V
1
0
)
(
2
)
(
2
lim π
π
Ejemplo 66: Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al girar en torno al eje Y, la
región limitada por la gráfica de 2
,
2
=
= x
recta
la
y
X
eje
el
x
y , usando el método del
anillo y de la corteza cilíndrica.
Solución:

13. 50
Veamos primeramente el Método del anillo. En la figura que sigue se muestran los dos tipos de
elementos de área utilizados.
En este caso el volumen solicitado será:
( ) [ ] π
π
π
π 8
0
4
2
1
4
4
2 2
4
0
4
0
2
2
=
¸
¹
·
¨
©
§
−
=
−
⋅
=
»
¼
º
«
¬
ª −
⋅
= ³
³ y
y
dy
y
dy
y
V u.v.
Veamos ahora el caso de la corteza cilíndrica.
En este caso el volumen solicitado será:
³
³ =
¸
¹
·
¨
©
§
=
⋅
=
⋅
=
2
0
4
2
8
0
2
4
1
2
2
)
(
2 π
π
π
π x
dx
x
x
dx
x
f
x
V
b
a
u.v.
Ejemplo 67: Usando el método de la corteza cilíndrica, calcular el volumen del sólido de
revolución generado al girar en torno a la recta 3
−
=
y , la región limitada por las gráficas
2
,
1
,
2
=
=
= x
y
x
y
Solución: La región plana que se hace rotar y un elemento de volumen se muestran en la siguiente
figura:
En este caso la integral vendrá expresada en términos de y
La función y
x
con
e
equivalent
es
x
y =
= 2
( para x e y no negativos)
El radio exterior de la corteza cilíndrica mide 3
+
i
y mientras que el radio interior mide 3
1 +
−
i
y
Por lo tanto el radio de giro es 3
+
i
m , siendo i
m el punto medio entre i
i y
e
y 1
−
El ancho de la corteza cilíndrica es i
m
−
2 y el espesor de la corteza es i
y
Δ
Así, el elemento de volumen será ( ) ( ) i
i
i
i y
m
m
V Δ
⋅
−
⋅
+
⋅
=
Δ 2
3
2π

14. 51
En consecuencia el volumen buscado es ( )( )
³ =
−
+
=
4
1
5
66
2
3
2 π
π dy
y
y
V u.v.
Ejemplo 68: Supongamos que se hace girar en torno a la recta b
x = la circunferencia de centro
en el origen y radio b
a
siendo
a <
, . Determinar el volumen del sólido de revolución generado
(toro), por el método de la corteza cilíndrica.
Solución: El gráfico de la región plana que debe girar y el elemento de área “paralelo” al eje de
giro se muestran en el siguiente diseño:
En ancho del elemento de área rectangular será i
x
Δ , su altura será
2
2
2 i
m
a − cuando un
elemento genérico i
m es elegido en cada subintervalo [ ]
i
i x
x ,
1
− . El radio de giro será i
m
b − .
Entonces el elemento de volumen es ( ) i
i
i
i x
m
a
m
b
V Δ
−
⋅
−
=
Δ
2
2
2
2π
Entonces el volumen deseado es ( )
³
−
=
−
⋅
−
=
a
a
b
a
dx
x
a
x
b
V 2
2
2
2
2
2
2 π
π u.v. ( Verificar)
Ejemplo 69: La mitad derecha de la hipocicloide 3
2
3
2
3
2
a
y
x =
+ se gira en torno al eje Y.
Calcule el volumen generado usando:
(a) método del anillo
(b) método de la corteza cilíndrica
(c) usando las ecuaciones paramétricas θ
θ 3
3
,
cos asen
y
a
x =
=
Solución: Para determinar la gráfica de la hipocicloide debemos tener presente que la función es
par ( simétrica con respecto al eje Y) pues al sustituir x
por
x − la imagen ( ) 2
3
3
2
3
2
x
a
y −
= ( que
se obtiene despejando y de la ecuación 3
2
3
2
3
2
a
y
x =
+ ) es la misma. Por la misma razón, la
gráfica es también simétrica con respecto al eje X.
Luego bastará graficar sólo en el primer cuadrante para después copiar por simetrías.
En la ecuación ( ) 2
3
3
2
3
2
x
a
y −
= podemos observar que al aumentar x, el valor de y disminuye, por
lo que en el primer cuadrante, la función ( ) 2
3
3
2
3
2
x
a
y −
= es decreciente.
La gráfica completa de la hipocicloide ( usando las simetrías indicadas) y su rama derecha se
muestran en el siguiente diseño:

15. 52
(a) Método del anillo.
En este caso, el elemento de área de dibuja “perpendicular” al eje de giro, tal como se
muestra en el diseño siguiente:
El elemento de área rectangular tiene ancho i
y
Δ y largo i
i t
m
f =
−
)
(
1
, siendo
( ) 2
3
3
2
3
2
)
( x
a
x
f
y −
=
=
Así, el elemento de volumen será i
i
i y
t
V Δ
⋅
⋅
=
Δ
2
π
Luego el volumen estará dado por ( )
³ ³ =
−
=
=
a a
a
dy
y
a
dy
x
V
0 0
3
2
105
32
2
2 2
3
3
2
3
2
π
π
π u.v.
(b) Método de la Corteza Cilíndrica.
Tal como se muestra en el dibujo anterior ahora el elemento de área rectangular tiene ancho
i
x
Δ y altura )
( i
i t
f
m =
Así, el elemento de volumen será i
i
i
i x
m
t
V Δ
⋅
⋅
⋅
=
Δ π
2
El volumen es ( )
³ ³ =
−
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
a a
a
dx
x
a
x
dx
y
x
V
0 0
3
105
32
2
2 2
3
3
2
3
2
π
π
π u.v.
(c) Ecuaciones Paramétricas
La idea ahora es expresar cualquiera de los 2 métodos anteriores como integrales en términos
de la variable θ . Utilicemos el caso del anillo en que el volumen es ³
=
a
dy
x
V
0
2
2 π
De las ecuaciones paramétricas θ
θ 3
3
,
cos asen
y
a
x =
= , obtenemos la siguiente
información: cuando 0
0
0 =
Ÿ
=
= θ
θ
sen
tenemos
y

16. 53
y cuando 2
1 π
θ
θ =
Ÿ
=
= sen
tenemos
a
y
Además, θ
θ
θ
θ d
sen
a
dy
asen
y cos
3 2
3
⋅
=
Ÿ
=
Por lo tanto,
³ ³
³ =
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
=
2 2
0 0
3
2
7
3
2
6
2
0
2
105
32
cos
6
cos
3
cos
2
2
π π
π
θ
θ
θ
π
θ
θ
θ
θ
π
π a
d
sen
a
d
sen
a
a
dy
x
V
a
Ejemplo 70: Determinar el volumen del sólido generado por 0
,
4
2
>
=
= a
para
a
x
ax
y , al
girar en torno a la recta a
x = .
Solución:
( )( ) ( ) 3
0 0
15
32
8
2
2
2 a
dx
ax
x
a
dx
ax
ax
x
a
V
a a
π
π
π =
−
=
+
−
⋅
= ³ ³ u.v.
Ejemplo 71: Determinar el volumen del sólido generado al rotar la región achurada de la figura en
torno al eje X, mediante el método de la corteza cilíndrica.
Solución:
Como puede verse, la región que gira está compuesta de dos partes: la parte superior es un
cuadrado que genera un volumen dado por π
π
π 3
1
1
1
2 2
2
1 =
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
V .
La parte inferior genera un volumen dado por ³ =
⋅
=
1
0
2
5
4
2 π
π dy
y
y
V
Luego el volumen buscado es π
π
π
5
19
5
4
3
2
1 =
+
=
+V
V u.v.
Ejemplo 72: Determinar el volumen del sólido generado al rotar en torno a la recta )
0
( >
= a
a
y
la región encerrada por a
x
y
ay
x 2
,
0
,
4
2
=
=
=
Solución:

17. 54
Tenemos ( )
[ ] π
π 3
2
0
2
0
2
2
2
2
2
15
14
4
a
dx
a
x
a
a
dx
y
a
a
V
a a
=
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
−
−
=
−
−
⋅
= ³ ³ u.v.
Un caso más general que el visto hasta ahora, con relación al método de la corteza cilíndrica, se
produce cuando el área que gira se encuentra limitada por dos gráficas, vale decir, la región está
descrita por ( )
{ }
)
(
)
(
/
, 2
y
h
x
y
g
d
y
c
IR
y
x
R ≤
≤
∧
≤
≤
∈
= cuando se gira en torno al eje X.
Particionando el intervalo [ ]
d
c, en “n” subintervalos, se forman “n” rectángulos paralelos al eje de
rotación ( el eje X en el gráfico). El elemento de área que gira en torno al eje X, produce un cuerpo o
elemento de volumen ( corteza cilíndrica) cuyo volumen está dado por:
( ) ( )
2
1
2
2
1
2
2
2
x
x
y
x
x
y
V i
i
i
i
i −
¸
¹
·
¨
©
§ Δ
−
−
−
¸
¹
·
¨
©
§ Δ
+
=
Δ η
π
η
π
( )
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
¸
¹
·
¨
©
§ Δ
−
Δ
+
−
¸
¹
·
¨
©
§ Δ
+
Δ
+
−
=
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2 i
i
i
i
i
i
i
i
y
y
y
y
x
x η
η
η
η
π
= ( ) ( ) i
i
i
i
i
i y
g
h
x
x
y Δ
⋅
−
⋅
⋅
=
−
Δ
⋅
⋅ )
(
)
(
2
2 2
1 η
η
η
π
η
π
Sumando a través de todos los subintervalos y tomando límite cuando 0
→
∞
→ P
y
n
resulta ( )
³ −
⋅
=
d
c
dy
y
g
y
h
y
V )
(
)
(
2π
Análogamente se obtiene el volumen del sólido generado por la rotación en torno al eje Y de la
región ( )
{ }
)
(
)
(
/
, 2
x
f
y
x
g
b
x
a
IR
y
x
R ≤
≤
∧
≤
≤
∈
=

18. 55
( )
³ −
⋅
⋅
=
b
a
dx
x
g
x
f
x
V )
(
)
(
2π
Ejemplo 73: Determinar el volumen del sólido generado al rotar en torno a la recta 2
=
x la
región encerrada por 0
4
2
;
2 2
=
+
−
= y
x
x
y , mediante :
(a) el método de la corteza cilíndrica y
(b) el método del disco.
Solución: El gráfico, con los elementos de área para ambos casos, se muestra a continuación
(a) De las ecuaciones 0
4
2
;
2 2
=
+
−
= y
x
x
y resulta 1
2
0
4
2
2 2
−
=
=
=
−
− x
y
x
donde
de
x
x
Por lo que los puntos de intersección entre las gráficas son: )
8
,
2
(
)
2
,
1
( y
−
El largo ( altura según el dibujo) del elemento de área es parabola
recta y
y − y el ancho x
Δ .
El volumen de la corteza cilíndrica será
( ) ( )
[ ] ( )
( ) ( )
[ ]( )
1
2
1
1
1
2
2
2
1 4
)
(
2
2 y
y
x
x
x
x
y
y
x
x
V i
i
i
i
i
i
i −
−
⋅
+
−
=
−
−
−
−
=
Δ −
−
− π
π
( ) ( )( ) ( )( ) i
i
i
i
i
i
i
x
y
y
x
y
y
x
y
y
x
x
Δ
−
−
=
Δ
⋅
−
−
=
Δ
⋅
−
⋅
¸
¹
·
¨
©
§ +
⋅
−
= −
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
4
2
2
4 ξ
π
ξ
π
π
Luego tendremos ( ) ( ) ( )( )
³ ³
− −
=
−
+
−
=
−
⋅
−
=
2
1
2
1
2
1
2 27
2
4
2
2
2
2
2 π
π
π dx
x
x
x
dx
y
y
x
V u.v.
(b) En este caso debemos dividir el área en dos partes, una para 2
0 ≤
≤ y y la otra para 8
2 ≤
≤ y
En el primer caso tendremos ( ) ( ) π
π ³ =
»
¼
º
«
¬
ª −
−
+
=
2
0
2
2
2
2
1
3
32
2
2 dy
V y
y
En el segundo caso tendremos ( ) ( )
³ =
»
¼
º
«
¬
ª −
−
−
= −
8
2
2
2
2
2
4
2
3
49
2
2 π
π dy
V y
y
Por lo tanto el volumen buscado es π
π
π 27
3
49
3
32
2
1 =
+
=
+ V
V u.v.
Ejemplo 74: Determinar el volumen del sólido generado al rotar en torno a la recta 1
=
x la región
encerrada por 0
4
,
0
1
,
0
1
,
3
2
2
=
−
=
−
=
+
−
−
= x
x
y
x
x
y
Solución:

19. 56
El gráfico de la función 3
2
2
−
−
= x
x
y se obtiene observando que
( ) ( )
( )
¯
®
­
<
<
−
+
−
−
−
≤
∨
≥
−
−
=
−
−
=
−
−
=
3
1
4
1
1
3
4
1
4
1
3
2 2
2
2
2
x
si
x
x
x
si
x
x
x
x
y
Luego, se tiene ( ) ( )
³ =
+
−
−
⋅
−
=
4
1
2
1
3
2
1
2 dx
x
x
x
V π
( ) ( ) ( ) ( )
³ ³ =
+
−
−
⋅
−
+
+
+
+
−
⋅
−
=
3
1
4
3
2
2
2
59
1
3
2
1
2
1
3
2
1
2 π
π
π dx
x
x
x
dx
x
x
x u.v.
Ejemplo 75: En el punto de abscisa 6 de x
y 12
2
= se ha trazado una tangente. Calcular el
volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X, la región limitada por la tangente,
el eje X y la curva.
Solución:
2
1
)
2
6
,
6
´(
6
2
12
´
12
´
2
12
2
=
Ÿ
=
=
Ÿ
=
Ÿ
= y
y
y
y
yy
x
y
Por lo tanto la ecuación de la tangente es ( ) x
y
x
y =
−
Ÿ
−
=
− 6
2
6
2
6 2
1
Tenemos ( )
³ =
+
−
=
2
6
0
12
72
6
2
2
2
π
π dy
y
y
V y
u.v.
Ejemplo 76: Calcular el volumen del sólido generado al rotar en torno a la recta 1
−
=
y , la región
limitada por ( ) 2
2
4
4
4
2
=
+
−
=
− x
y
e
x
y
Solución: ( ) ( ) ( ) 3
0
0
3
4
4
4
4
2
2
4
4
4
2
2
−
=
∨
=
⇔
=
+
⇔
−
=
−
−
⇔
−
=
− x
x
x
x
x
x
x
y
Luego los puntos de intersección de la parábola y la recta son )
8
,
3
(
)
2
,
0
( −
y

20. 57
Así tenemos ( ) ( )
( )
³ =
−
+
= −
−
−
8
2
2
2
4
4
4
108
1
2
2
π
π dy
y
V y
y
u.v.