1. El documento presenta conceptos básicos de geometría como puntos, rectas, pendientes, ecuaciones de rectas, distancias, divisiones de segmentos, áreas de polígonos y triángulos. 2. Se definen conceptos como baricentro de un triángulo, punto medio de un segmento, división proporcional de segmentos. 3. Se presentan fórmulas para calcular distancias, pendientes, áreas y relaciones entre elementos geométricos.

1. P1 (x1,y1) y = mx+b
Pendiente: “m”
θ Ecuación Simétrica
1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS x y
(m+n) P = mP2 + nP1 + = 1
P2 (x2,y2) a b
y P1 (x1,y1)
4. BARICENTRO DE UN y - y1 Punto Pendiente
TRIÁNGULO m= 2
x2 - x1
y-y0 = m(x+x0)
x P2 (x2,y2)
LA RECTA
P2(x2,y2) Ecuación General
Definimos la recta como el lugar
geométrico del plano de tal forma que A
d (P P2) = (x1- x2)2+(y1 - y2) 2
1 para cualesquiera par de puntos siempre Ax+By+C= 0 m= -
B
P1 (x1,y1) P3 (x3,y3) tienes la misma pendiente:
G (x,y)
2. PUNTO MEDIO RECTAS PARALELAS
y
x +x +x y +y +y b
y x= 1 2 3 y= 1 2 3
3 3 0
P1 (x1,y1) =
C1
P0 (x0,y0) y+ =
0
B 1
x+ C 2
: A1 y+
Pm (xm,ym) 5. ÁREA DE UN POLÍGONO L1 B 2
x+
P2 (x2,y2) θ :A2
L2
P3 (x3,y3)
a x A1 B1
x
=
A2 B2
x +x y +y
xm = 1 2 ym = 1 2 S θ: ángulo de inclinación
2 2
a: abscisa en el origen
P2 (x2,y2) b: ordenada en el origen (intercepto) RECTAS PERPENDICULARES
P1 (x1,y1)
3. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO G (x,y) Pendiente (m)
x1 y1 L1: A1x+B1y+C1 = 0
1 x2 y2
P1 (x1,y1) S= m = tgθ
2 x3 y3
x1 y1
P (x,y)
m
P0(x0,y0): Punto de paso
1
S= ( x 1y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 - x 2 y 1 - x 3 y 2 - x 1 y 3 )
n 2 ECUACIONES DE L
P2 (x2,y2) L2: A2x+B2y+C2 = 0
6. PENDIENTE DE DOS PUNTOS Intercepto – Pendiente:
22 23

2. PRÁCTICA equidiste de los puntos (-1, 1) y (1, c) 2 d) 3
A1A2+B1B2= 0 3) e) 4
1. Hallar EL perímetro del triangulo de
vértices: a) (0,1) b) (0,2) 13. Hallar el punto medio del segmento
Para que L1 = L2 => (0,0), (-3,4), (6,8) c) (0,-2) d) (0,3) de extremos RS.
e) N.A. R(4+u, 7-2p), 5(-8-u, 5+2p)
a) 17 b) 15 7. Si AB =a y A(2,4) y B(-a,-a). a) (-2,5) b) (-2,6)
A1 B1 C 1 c) (0,3) d) (-1,7)
= = c) 97
d) 2 2
Determinar el valor de “a”.
A2 B2 C 2 e) N.A.
e) 15 + 97
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4 14. Hallar la distancia del punto (1,1) al
DISTANCIA ENTRE PARALELAS 2. Hallar el perímetro del triangulo de e) Absurdo punto medio del segmento AB si
vértice: A(1,7), B(6,7)
8. Hallar un punto que equidiste de
0 a) 2+ 2 b) (0,4), (b,2), (6,-2)
= a) 109
b) 10
+C
1 58 +41 2
By a) (0,0) b) (-2,3) c) d)
109 / 2 104
x+ d
0 c) 20 d) e) N.A.
:A c) (3,-2) d) (4,-2)
3
L1 =
C2 e) e) N.A.
y+
2+ 3
d +B 15. El punto (4,-2) es punto medio del
: Ax 9. Hallar el circuncentro del triangulo segmento MN. Si
L 3. Si: M(-10,9) y N(30,r). Hallar “r”
2
de vértices: (4,3), (2,7), (-3,-8) M(0,m) y N(n,0). Hallar “m+n”
d(M,N) = 41
a) (-5,1) b) (-5,-1) a) 0 b) 1
C1 - C 2 a) 18 b) 15
c) (5,1) d) (5,-1) c) 2 d) 3
d (L1; L2 ) = c) 0 d) 10
e) N.A. e) 4
e) AyD
A2 + B 2
10. Hallar las coordenadas de P que 16. Hallar la suma de las coordenadas
4. La ordenada de un punto es 3y su
divide P1 P2 en la razón de 2:1 de los puntos que trisecan el
distancia al punto B(2,-5) es
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA P1 (4,-3) P2(1,4) segmento AB A(-3,4); B(5,6)
RECTA
2 Hallar la abscisa del
41
punto: a) (2,5) b) (2,1/3) a) 10 b) 11
c) (2,5/3) d) (2,2/3) c) 12 d) 13
L: A a) -8 b) -7 e) N.A.
x+B e) N.A.
y +C c) -6 d) -5
=0
e) -4 11. El punto (3,3/2) divide al segmento 17. El punto P esta a 3/5 partes de AB y
d AB en la razón de 1:3. Hallar B si M es punto medio de AB Hallar PM
5. El punto A(a,0) equidistan de los si: A(8,5) y B(-2,3)
A(5,3)
P1 (x1,y1) punto B(0,3) y C( ). Hallar
1, 2
a) (-1,-1) b) (0,0)
“a”: c) (-2,-2) d) (-3,-3) a) 26
b) 26 / 5
e) N.A.
a) 0 b) -1 c) 5 d) 5 5/2
Ax 1 + By 1 + C c) -2 d) -3 12. El punto (-4/7,11/7) divide al e) 3 3
d (P;L) = e) -4 segmento MN en la razón de 2/5.
2 2
A +B Hallar la suma de las coordenadas
6. Calcular el punto que pertenece al de M si N(3,-2)
conjunto { 0, r ) / r ∈ }
( R que
a) 0 b) 1
22 23

3. 18. Hallar la razón en que el punto (6,6) 24. Hallar las coordenadas de los 29. Hallar el área del cuadrilátero de
vértices de un triangulo sabiendo vértices: (2,5), (7,1). (3,-4) y (-2,3) 35. Los puntos (2,3), (-4,7) y (5,r) son
divide al segmento de extremos AB que las coordenadas de los puntos colineales. Hallar “r”
A(4,8/3) B(9,11) medios de sus lados son: a) 39u2 b) 39,5u2
(-3,1), (5,2) y (2,-3) c) 40u2 d) 40,5u2 a) 5 b) 6
e) N.A. c) 7 d) 8
a) 1/2 b) 3/2
a) (1,6), (9,-2), (-5,-4) e) N.A.
c) 2/3 d) 2 b) (1,6), (9,-2), (-5,4) 30. Hallar el área del pentágono de
e) N.A. c) (1,6), (9,-2), (5,4) vértices (1,5), (-2,4), (-3,-1), (2,-3) y 36. Los puntos (4,1), (5,-2), (m,-5) son
19. Si A(7,6) y B(-1,10) y P(a,a+1) d) (0,6), (9,-2), (5,4) (5,1) colineales. Hallar “m”
equidista de A y B. Hallar “a” e) N.A.
a) 36u2 b) 37u2 a) 4 b) 5
a) 0 b) -1 25. Hallar las coordenadas de los c) 38u2 d) 39u2 c) 6 d) 7
c) -2 d) -3 vértices de un triangulo cuyas e) 40u2 e) 8
e) -4 coordenadas de los puntos medios
de sus lados son: 31. Hallar el producto de las pendientes 37. Hallar los ángulos interiores del
20. Si P divide AB en la razón de –8/3 (3,2), (-1,-2) y (5,-4) de las rectas: triangulo de vértices (3,2), (5,-4) y
Hallar P si: L1: pasa por (4,6) y (1,3) (1,-2)
A(-4,-1) y B(1,-6) a) (-3,4), (-9,0), (1,8) L2: pasa por (6,0) y (6, 6
) 3
b) (-3,4), (9,0), (1,8) a) 45°,45°,90° b) 30°,60°,90°
a) (0,0) b) (2,1) c) (-3,4), (9,0), (1,7) c) 37°, 53°,90° d) 16°,74°,90°
a) 1 b) 2
c) (4,-7) d) (4,-9) d) (-3,4), (9,0), (0,0) e) N.A.
c) 3 d) 4
e) N.A: e) (-3,4), (9,0), (1,-8)
e) No existe
38. El ángulo formado por la recta que
21. Hallar la suma de las coordenadas 26. Hallar el área del triangulo cuyos pasa por (-4,5) y (3,y) con la que
32. Hallar la suma de las pendientes de
del baricentro cuyos vértices son: vértices del triangulo cuyos vértices pasa por (-2,4) y (89,1) es 135°.
las rectas:
(5,7), (1,-3) y (-5,1) son: Hallar “y”
L1: pasa por (2,4) y (-2,4)
(-8,-2), (-4,-6) y (-1,5)
L2: pasa por (-5,3) y (2,-3)
a) 1 b) 2 a) 5 b) 6
c) 3 d) 5 a) 25 b) 26 c) 7 d) 8
a) 6/7 b) 0
e) 5 c) 27 d) 28 e) 7
c) -6/7 d) 7/6
e) 29
e) -7/6
22. El baricentro de un triangulo es 39. La recta L2 forma un ángulo de 60°
(4/3,1) y dos de sus vértices (3,6) y 27. El área de un triangulo es 30u2 y con L1 Si M1=1. Hallar “M2”
33. Hallar el ángulo que inclinación de
(-5,2). Hallar la suma de las sus vértices (0,4), (-8,0) y (r,-4).
la recta que pasa por los puntos (2,
coordenadas del tercer vértice: Hallar “r” a) 2− 3
b) 2+ 3
) y (1,0)
3
a) 1 b) 2 c) (
− − 3
2 ) d)
a) 0 b) 1
c) 2 d) 3 c) 3 d) 4 a) 30° b) 60° (
− + 3
2 )
e) 4 e) -1 c) 45° d) 53°
e) N.A. e) N.A.
23. El baricentro de un triangulo ABC es
(5/3, 2/3). Hallar el punto medio de 28. El área de un triangulo de vértices 34. Hallar el ángulo de inclinación de la
(a,b+c), (b,c+a) y (c,a+b) es: recta que pasa por los puntos (2,3) 40. Hallar la pendiente de una recta que
BC si A(-3,1) forma un ángulo de 45° con la recta
y (1,4)
a) 4 b) 3 que pasa por (2,-1) y (5,3)
a) (8,2) b) (3,3)
c) (3/8,3/2) d) (8/3,2/3) c) 2 d) 1 a) 30° b) 60°
e) 0 c) 90° d) 135° a) -5 b) -6
e) N.A. c) -7 d) -8
e) 150°
e) -9
22 23

4. 46. Hallar la ecuación de la recta que b) 4x+y+2=0 e) -5
41. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2,3) y cuya abcisa en el c) AyB
origen es el doble que la ordenada d) 6x+y=0 57. Hallar k si:
pasa por el punto (2,5) y forma un en el origen: e) N.A. kx+(3-k)y+7= 0 tiene pendiente 7
ángulo de 45° con la recta:
x-3y+6=0 a) 3x-2y=0 52. Hallar la ecuación de la recta de a) 2/7 b) 7/2
b) 2x+3y=13 abcisa en el origen es –3/7 y es c) 7 d) 2
c) x+y=5 perpendicular a: 3x+4y-10=0 e) N.A.
a) 2x+y=9 b) x+y=7 d) x+2y-8=0
c) 2x-y+1=0 d) x+2y=14 e) N.A. a) x+y=0 58. Hallar k si:
b) 12x+13y=0 5x-12y+3+k= 0 dista 4 unidades de
e) N.A.
47. Hallar el valor de k en L:2x+3y+k=0, c) 28x-21y+12=0 (-3,2)
para que L forme un triangulo de d) 28x12y=0
42. Hallar el área que forma la recta que 27u2 con los ejes. e) N.A. a) -16 b) 16
pasa por (0,2) y pendiente 3 con los c) 44 d) a) y 88
ejes coordenados. a) ±15 b) ±16 53. Hallar la perpendicular a: e) 80
c) ±17 d) ±18 2x+7y-3 en su punto de intersección
a) 2/3u2 b) 3/2u2 e) ±19 con 3x-2y+8=0 59. Hallar la ecuación de la recta que
c) 3u2 d) 4u2 pasa por la intersección de:
e) N.A. 48. Hallar el parámetro k para que a) 7x-2y+1=0 3x-5y+9=0 y
L:2x+3ky-13=0 pase por (-2,4) b) 7x-2y+3=0 4x+7y-28=0 y pasa por (4,2)
43. Hallar la ecuación de la recta c) 7x-2y+16=0
horizontal que pasa por (0,-1) a) 12 b) 11 d) 7x-2y=0 a) 2x+y=0
c) 10 d) 1 e) 7x-2y+15=0 b) x+y=6
a) x+y=0 b) 2x-y=1 e) 17/12 c) 4x+2y=0
c) x-y=1 d) x=2 54. Hallar el valor de k en forma que la d) 38x+87y-326=0
e) y+1=0 49. Hallar k para que: distancia de la recta y+5=k(x-3) al e) N.A.
L1: 3x-ky-8=0 origen sea 3.
44. Hallar las ecuaciones de las rectas L2: 2x+5y-17=0 formen un ángulo de 60. Hallar la recta que pasa por el
que pasan por los puntos: 45° a) -8/15 b) No existe origen y es paralelo a 4x+2y+5=0
L1: (5,-3) y (5,2) c) 40/7 d) 40
L2: (-5,2) y (3,2) a) 7 b) -9/7 e) 9 a) 2x+3y=0 b) x+y=0
c) 40/7 d) 40 c) 5x+7y=0 d) 7x+2y=0
a) x+5=0 y-2=0 e) 9 55. Hallar las ecuaciones de las rectas e) 2x+y=0
b) x-5=0 y-2=0 paralelas a 8x-15y+34=0 que distan
c) x+5=0 y+5=0 50. Hallar un punto en: 3 unidades de (-2,3) 61. Hallar la recta que pasa por (1,1) y
d) x+5=0 y-5=0 L:3x+y+4=0 equidiste de (-5,0) y
e) N.A. (3,2) a) 8x+15y=12 es perpendicular a 4x+5y-20=0
b) 8x-15y+112=0
45. Hallar una de las ecuaciones de la c) 8x+15y=4 a) x+y=2 b) 5x-4y=1
mediana del triangulo cuyos vértices a) No existe b) (-2,2) d) b) y 8x-15y+10=0
son: A(-5,0), B(-1,-4) y (3,2) c) x+y=3 d) 5x-4y=2
c) (1,1) d) (-3,3) e) N.A.
e) (1,-1) e) N.A.
a) x+y=1 b) 4x-y=0 56. Hallar k, si (2,3) pertenece a(2+k)x-
c) x-6y+9=0 d) 2x+3y=0 51. Hallar L que pasa por (1,-6) y cuyo (3-k)y+4k+14=0
e) N.A. 62. Hallar L que pasa por (2,1) y tiene
producto de coordenadas en el
origen es 1. a) -1 b) -2 iguales intersecciones con los ejes
a) 9x+y-5=0 c) -3 d) -4 coordenados.
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5. a) x-2y=0 b) x+y=13
c) 2x+y=5 d) x+y=3
e) N.A.
63. Hallar la recta que pasa por la
intersección de las rectas:
x-3y+1=0; 2x+5y-9=0
y cuya distancia al origen es 2.
a) x-2=0 b) 3x+4y-10=0
c) a) y x-1=0 d) a) y b)
e) 4x+5y+3=0
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