1. Facultad de Ingeniería Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme
Curso: Ecuaciones Diferenciales
2.- PUNTOS ORDINARIOS Y PUNTOS
RESUMEN SOLUCIÓN EN SERIE SINGULARES
DE POTENCIAS Para la ecuación del tipo:
1.- SERIES DE POTENCIAS a 2 ( x) y' 'a1 ( x) y'a0 ( x) y  0 (1)
Una serie de potencias en un punto x0 es una expresión
Escrita en su forma normal:
de la forma:
 y' ' P( x) y'Q( x) y  0 (2)
a n ( x  x 0 ) (*)
n
n 0 Se dice que x0 es un punto ordinario de la ecuación
(2) si P(x) y Q(x) son analíticas en x0
1.1.- TEOREMA 1: CONVERGENCIA DE SERIES DE
Un punto que no es ordinario es un punto singular
POTENCIAS
Para determinar el radio de convergencia R, un método PUNTOS SINGULARES REGULARES E
que a menudo resulta fácil es el criterio del cuociente: IRREGULARES
a n 1 1 Regular ( ) ( )
lim LR
n  a L ( ) ( )
n
Irregular No regular
a
Observación: Si lim n 1 no existe, se deben
n  a Si x0 es un punto singular regular de (1), se calcula la
n emplear
otros métodos para calcular R, ejemplo el criterio de la ecuación indicial:
raíz.
r (r  1)  P0 r  Q0  0
(i) Si L>0  R>0 y la serie (*) converge absolutamente
para x  x 0  R Donde:
Es decir se cumple: P0  lím ( x  x0 ) P( x) Q0  lím ( x  x0 ) 2 Q( x)
x  x0 x  x0

f ( x)   a n ( x  x 0 ) n  x0  R  x  x0  R *Las raíces de la ecuación indicial se llaman exponentes
n 0
o índices de la singularidad x0
Entonces f(x) es infinitamente diferenciable
 x0  R  x  x0  R y podemos obtener sus 3.- SOLUCIÓN EN TORNO A UN PUNTO
ORDINARIO
derivadas derivando término a término en la serie de
potencias. Si x0 es un punto ordinario de (1), entonces se tiene 2
soliciones analíticas L.I de la forma:
Además, el radio de convergencia de esta nueva serie de
potencias es también R. 
a n ( x  x0 ) n
También se tiene: n 0
a n ( x  x 0 ) n 1

En ocasiones se utiliza el cambio de coordenadas:
 f ( x)dx   c
n 0 n 1 
x0  R  x  x0  R t  x  x0   (t )   a n t n
n 0
(ii) Si L>0  R   y la serie (*) converge
absolutamente x   4.- MÉTODO DE FROBENIUS
Si x=x0 es un punto singular regular de la ecuación (1),
(iii) Si L    R  0 y la serie (*) sólo converge
existe al menos una solución en serie de la forma:
absolutamente x  
 
 ( x)  ( x  x0 ) r  c n ( x  x0 ) n   c n ( x  x0 ) n  r
n 0 n 0

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Curso: Ecuaciones Diferenciales
6.- TRANSFORMADA DE LAPLACE
CASOS DE LAS RAÍCES INDICIALES
o Suponemos r1>r2 raíces reales
(1) r1 r2 y r1 r2  Z :
 

1 ( x)  x r 1   c k (r1 ) x k 
1
 k 1 
 

 2 ( x)  x r2 1   c k (r2 ) x k 
 k 1 
(2) r1=r2:
 

1 ( x)  x r 1   ck (r1 ) x k 
1
 k 1 

2 ( x)  ln( x)1 ( x)  x r  ck ´(r1 ) x k
1
k 1
(3) r1 r2 y r1 r2  Z :
 

1 ( x)  x r 1   ck (r1 ) x k 
1
 k 1 

2 ( x)  c  ln( x)1 ( x)  x r 2
 c ´(r ) x
k 1
k 2
k
*la constante c puede ser cero
o Si se tiene raíces complejas del tipo r    i :
 

1 ( x)  x  cos(  ln x )1   ck x k 
 k 1 
 

2 ( x)  x  sen(  ln x )1   ck ' x k 
 k 1 
5.- PROPIEDADES FACTORIALES
DOBLE FACTORIAL
(2k )!! 2 k k!
(2k  1)!
(2k  1)!! 1 3  5  .........  (2k  1) 
2 k k!
(2k  1)! (2k )!
(2k  1)!! 1 3  5  .........  (2k  1)  k  k
2 k!(2n  1) 2 k!