El documento abarca un curso de análisis numérico para ingenieros civiles, que incluye temas como sistemas de ecuaciones lineales, autovalores, integración numérica y ajuste de curvas usando MATLAB. Se detalla el ajuste de curvas lineales y polinomiales, así como métodos de interpolación, incluyendo polinomios de diferencias divididas y splines. Además, se ofrecen ejemplos prácticos y la aplicación de técnicas para estimar valores intermedios en conjuntos de datos.

1. ANÁLISIS NUMÉRICO PARA
INGENIEROS CIVILES CI 708
2022-02

2. TEMARIO
INTRODUCCIÓN A
MATLAB
UNIDAD 1 UNIDAD 2
SISTEMA DE
ECUACIONES LINEALES
UNIDAD 3
AUTOVALORES Y
AUTOVECTORES

3. TEMARIO
APROXIMACIÓN
DE FUNCIONES
UNIDAD 4 UNIDAD 5
INTEGRACIÓN
NUMÉRICA
UNIDAD 6
RAICES DE
ECUACIONES NO
LINEALES.
UNIDAD 7
ECUACIONES
DIFERENCIALES

4. CONTENIDO
1. INTRODUCCIÓN
2. AJUSTE DE CURVAS NO POLINOMIAL( LINEAL)
3. AJUSTE DE CURVAS POLINOMIAL
4. AJUSTE DE CURVAS MÚLTIPLE
5. POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE GRADO “n”: FÓRMULA DE
NEWTON POR DIFERENCIAS DIVIDIDAS.
6. INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA(SPLINE)
7. APLICACIONES CON MATLAB

5. a) Datos dados.
b) Interpolación polinomial.
c) Ajuste de curvas polinomial.
INTRODUCCIÓN

6. AJUSTE DE CURVAS NO POLINOMIAL, LINEAL
 Ajustar una curva mediante un polinomio consiste en ubicar los
puntos dados y después trazar un polinomio que visualmente se
acerque a los datos.
 Se debe obtener una función que minimice la discrepancia entre los
puntos y la curva.
 La técnica que se utiliza para este fin se conoce como ajuste por
mínimos cuadrados (AMC).

7. 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑖
𝑥𝑛−1 𝑥𝑛
𝑦2
𝑦3
𝑦𝑖
𝑦𝑛−1
𝑦𝑛
Intercepto
Pendiente
𝑒𝑖= 𝑦𝑖 − 𝑎0 − 𝑎1 𝑥𝑖
⥂𝑒𝑖 ⥂𝑒3
𝑦 𝑐𝑎𝑙𝑐
𝑖=𝑎0+ 𝑎1 𝑥𝑖
𝑦𝑖
𝑦𝑐𝑎𝑙𝑐
AJUSTE DE CURVAS NO POLINOMIAL

8. AJUSTE DE CURVAS NO POLINOMIAL SIMPLE
El criterio de mínimos cuadrados
consiste en minimizar
Entonces derivamos e igualamos a 0,
con respecto a cada coeficiente de la
recta
¿
𝜕 𝑆𝑟
𝜕 𝑎0
=−2∑
𝑖
(𝑦𝑖 −𝑎0 −𝑎1 𝑥𝑖)=0
¿
𝜕𝑆𝑟
𝜕𝑎1
=−2∑
𝑖
(𝑦𝑖 −𝑎0 −𝑎1 𝑥𝑖)𝑥𝑖=0}
Los ¨N¨ puntos
conocidos, tiene como
coordenadas
𝑆𝑟 =∑
𝑖
𝑒𝑖
2
=¿ ∑
𝑖
¿¿ ¿

9. Ecuaciones normales:
¿∑
𝑖
𝑦𝑖=∑
𝑖
𝑎0+𝑎1∑
𝑖
𝑥𝑖
¿∑
𝑖
𝑥𝑖 𝑦𝑖=𝑎0∑
𝑖
𝑥𝑖+𝑎1 ∑
𝑖
𝑥𝑖
2
}
∑
𝑖
𝑦𝑖=𝑁 𝑎0+𝑎1∑
𝑖
𝑥𝑖❑
→
¯
𝑦=𝑁 𝑎0+𝑎1 ¯
𝑥
En forma matricial ,podemos escribir :
𝑥𝑦=𝑎0 𝑥+𝑎1 𝑥
2
𝑁 𝑎0+𝑎1 𝑥
AJUSTE DE CURVAS NO POLINOMIAL, LINEAL

10. AJUSTE DE CURVAS POLINOMIAL
N=length(T);%numero de elementos
Sum_x=sum(T);
Sum_x2=sum(T.^2);
Sum_y=sum(u);
Sum_xy=sum(T.*u);
A=[N Sum_x
Sum_x Sum_x2 ] ;
B=[Sum_y ; Sum_xy];
x=inv(A)*B;
fprintf('a0 =% 7.4f n',x(1));
fprintf('a1 =% 7.4f n',x(2));
(𝑁 𝑥
𝑥 𝑥
2 )(𝑎0
𝑎1
)=
( 𝑦
𝑥𝑦 )
Energia(u)
2506.7
2582.8
2658.1
2733.7
2810.4
2967.9
3131.6
a0 =-1505.7093
a1 = 0.6415
T=[100, 150, 200, 250, 300 , 400, 500];
u=[2506.7 ,2582.8,2658.1 ,2733.7 , 2810.4, 2967.9, 3131.6];
𝑦𝑐𝑎𝑙𝑐
𝑖=𝑎0+𝑎1 𝑥𝑖
i
Temp(T)
100
150
200
250
300
400
500

11. T=[100, 150, 200, 250,300 , 400, 500];% valores x
u=[2506.7 ,2582.8,2658.1 ,2733.7 , 2810.4, 2967.9, 3131.6];%valores y
x=u;y=T;
n=1;%grado uno(Lineal)
p=polyfit(x,y,n);
ycalc=polyval(p,x);
plot(u,T,'o',u, ycalc,'--')
title(sprintf('Grado del polinomio %d’,n));
AJUSTE DE CURVAS NO POLINOMIAL, LINEAL

12. AJUSTE DE CURVAS POLINOMIAL
Se pueden ajustar los datos dados mediante un polinomio de
grado m:
La suma de los cuadrados de los residuos es:
Y, la derivada con respecto
a cada coeficiente será:

13. AJUSTE DE CURVAS POLINOMIAL
Sistema de ecuaciones con “m+1” incógnitas.

14. AJUSTE DE CURVAS POLINOMIAL
x=[0:5];
y=[2.1, 7.7, 13.6, 27.2, 40.9, 61.1];
n=2;%grado 2
p=polyfit(x,y,n);%[a2,a1,a0]
ycalc=polyval(p,x);%calcula usando
%los coeficientes del polinomio
%-----------------
plot(x,y,'o',x, ycalc,'--’)
title(sprintf('Grado del polinomio %d’,n));
p =1.8607 2.3593 2.4786

15. AJUSTE DE CURVAS POLINOMIAL
x=[10,20,30,40,50,60,70,80,90,100];
y=[23,45,60,82,111,140,167,198,200,220];
for n=2:5
p=polyfit(x,y,n);
ycalc=polyval(p,x);
subplot(2,2,n-1)
%----------------------
plot(x,y,'o',x,ycalc)
title(sprintf('Grado del polinomio %d',n));
end

16. AJUSTE DE CURVAS POLINOMIAL
M=[10 23;20 45;30 60;40 82;50 111];
n=2;
function [p]=ajuste_polinomial(M,n)
%ajuste_polinomial
%p=coeficientes del polinomio
%
x=M(:,1);
y=M(:,2);
p=polyfit(x,y,n);%p=[an,an-1,an-2.....a0]
yc=polyval(p,x);
x1=linspace(min(x),max(x),500);
y1=polyval(p,x1);
figure(1),clf
%plot(x,y,'ro',x1,y1,'b')
hold on
plot(x,y,'ro','LineWidth',2)
plot(x1,y1,'b','LineWidth',2)
hold off
grid
end
p =
0.0150 1.2300 10.8000

17. AJUSTE DE CURVAS MÚLTIPLE
Cuando se estudia la posible relación entre varias variables
independientes y una variable dependiente.
Un caso particular:

18. AJUSTE DE CURVAS MÚLTIPLE
Ejemplo: Temperatura máxima promedio en °F en la
estación meteorológica de un condado de Texas.
𝑇𝐸𝑀𝑃=𝑏0+𝑏1 ∗𝐿𝐴𝑇 +𝑏2∗ 𝐴𝐿𝑇+𝑏3 ∗𝐿𝑂𝑁𝐺

19. AJUSTE DE CURVAS
𝑇𝐸𝑀𝑃=109.2589−1.8322∗ 𝐿𝐴𝑇 −0.0018∗ 𝐴𝐿𝑇
http://personal.us.es/echevarria/documentos/APUNTESMATLAB.pdf

20. AJUSTE DE CURVAS NO POLINOMIAL
Inspeccionar los datos en forma visual. Luego, linealizar según
sea el caso.
a) Exponencial:
b)Potencias:
c) Razón de crecimiento:

21. • Dados n+1 puntos, hay uno y sólo un polinomio de grado
“n” que pasa a través de todos los puntos.
• La interpolación polinomial consiste en determinar el
polinomio único de n-ésimo grado que pasa por los n+1
puntos dados.
• De esta forma se podrá estimar valores intermedios entre
datos definidos por puntos.
𝑦=𝑎0+𝑎1 𝑥+𝑎2 𝑥2
+...+𝑎𝑛 𝑥𝑛
MÉTODO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS
Interpolación Polinomial de Newton en Diferencias Divididas

22. MÉTODO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS
𝒇 𝒏 (𝒙)=𝒃𝟎+𝒃𝟏 (𝒙 − 𝒙𝟎)+…+𝒃𝒏 (𝒙 −𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟏)…(𝒙 − 𝒙𝒏−𝟏)
𝒇 [𝒙𝒊, 𝒙 𝒋]=
𝒇 (𝒙𝒊)− 𝒇 (𝒙 𝒋)
𝒙𝒊 −𝒙 𝒋
𝒇 [𝒙𝒊, 𝒙 𝒋 ,𝒙𝒌]=
𝒇 [𝒙𝒊, 𝒙 𝒋]− 𝒇 [𝒙𝒋 , 𝒙𝒌]
𝒙𝒊 −𝒙𝒌

23. Determinar el único polinomio de grado n que pasa por los n+1
puntos dados.
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE GRADO “n”

24. EJEMPLO: calcular “Ln(3)”, utilizando un método de interpolación
lineal, y conociendo que Ln(1) = 0 y Ln(5) = 1.6094.
RPTA: 1.0986 , Er = 26.75%
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE GRADO “n”

25. x=[1 5];
y=[0,1.6094];
p=polyfit(x,y,1);
ycalc=polyval(p,x);
v3=polyval(p,3)
plot(x,y,'o',x,ycalc)
grid minor
p =0.4024x -0.4024
v3 =0.8047
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE GRADO “n”

26. Con tres datos, se utiliza un polinomio cuadrático.
Por un sistema de ecuaciones:
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE GRADO “n”

27. EJEMPLO: calcular “Ln(3)”, utilizando el método de interpolación cuadrática
y conociendo que Ln(1)=0, Ln(2)=0.6931 y Ln(5)=1.6094.
Hallando, b0, b1 y b2.
b0 = 0.0000
b1 = (0.6931-0) / (2-1) = 0.6931
b2 = ((1.6094-0.6931)/(5-2)-(0.6931-0)/(2-1))/(5-1)= -0.0969
= 1.1924
RPTA: 1.0986
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE GRADO “n”

28. p = -0.09690.9839x -0.8869
x=[1 2 5];
y=[0,0.6931,1.6094];
N=length(x);
x1=linspace(x(1),x(m),100);
n=N-1;%el grado del polinómio.
p=polyfit(x,y,m);
ycalc=polyval(p,x);
ycalc1=polyval(p,x1);
plot(x,y,'o',x1, ycalc1,'--')
title(sprintf('Grado del polinomio
%d’,n));
grid minor
p = -0.09690.9839x -0.8869
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE GRADO “n”

29. EJEMPLO:
Hallar el polinomio que interpola los siguientes datos:
Solución:
3ra Columna: 4ta Columna: 5ta:Columna
- 0.1
TABLA DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS

30. EJEMPLO:
Como se calcularon 03 nuevas columnas (4 muestras), el Polinomio
es de Grado 03.
f(x) = 4 – 0.5(x-1) + 0.5(x-1)(x-2) - 0.1(x-1)(x-2)(x-3)
Resultando:
TABLA DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS

31. TABLA DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS
x=[1 2 3 5];
y=[4 3.5 4 5.6];
N=length(x);
M=zeros(N,N+1);
M(:,1)=x;
M(:,2)=y;
for i=2:N
for j=i:N f(x) = 4 – 0.5(x-1) + 0.5(x-1)(x-2) - 0.1(x-1)(x-2)(x-3)
M(j,i+1)=(M(j,i)-M(j-1,i))/(M(j,1)- M(j-i+1,1));
end
end

32. p = -0.1000+1.1000-3.1000x + 6.1000
v4 = 4.9000
x=[1 2 3 5];
y=[4 3.5 4 5.6];
N=length(x);
x1=linspace(x(1),x(N),100);
n=N-1;%grado del polinomio: 3
p=polyfit(x,y,n);
ycalc=polyval(p,x);%muestras
ycalc1=polyval(p,x1);%graf polinomio
v1=polyval(p,4)
plot(x,y,'o',x1,ycalc1)
grid minor
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE GRADO “n”

33. Interpolación por Polinomios de orden elevado:
Polinomios de “n-ésimo grado” para interpolar “n+1” puntos.
Desventaja: error de redondeo y puntos lejanos.
Interpolación por Polinomios de orden reducido:
Polinomios de “menor orden” para interpolar subconjuntos de datos:
SPLINES o TRAZADORES.
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA: SPLINE

34. SPLINES LINEALES:
Los Splines de 1er Grado para un grupo de datos ordenados, se
define como un conjunto de funciones lineales.
Donde “” es la pendiente de la línea recta que une los puntos.
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA: SPLINE
. . .
𝒎𝒊=𝒇 (𝒙¿¿𝒊+𝟏)−
𝒇 (𝒙¿¿𝒊)
𝒙𝒊+𝟏 −𝒙𝒊
¿¿

35. EJEMPLO:
Interpolar los datos dados mediante un Spline de Primer Grado.
Luego, evaluar en x = 5.
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA: SPLINE
X F(x)
3.0 2.5
4.5 1.0
7.0 2.5
9.0 0.5
𝑚1=
2.5 −1
7 − 4.5
=0.60
𝑚0 =
1 −2.5
4.5 − 3
=−1.00
𝑚2 =
0.5 −2.5
9− 7
=− 1.00
Ecuación de la recta:
f ( 5 ) = 1.3
𝒎𝒊=𝒇 (𝒙¿¿𝒊+𝟏)−
𝒇 (𝒙¿¿𝒊)
𝒙𝒊+𝟏 −𝒙𝒊
¿¿

36. INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA: SPLINE
x = [ 3 4.5 7 9 ];
y = [ 2.5 1 2.5 0.5 ];
XX = 3 : 0.1 : 9;
YY=interp1(x,y,XX,'linear');
plot(x,y,'o',XX,YY)
Yo = interp1( x , y ,5)
Yo =1.3000

37. SPLINES CUADRÁTICOS:
Para que las derivadas m-ésimas sean continuas en los
nodos, se debe emplear un SPLINE por lo menos de grado
“m+1”.
* Primera derivada: Siempre es continua en los nodos.
* Segunda derivada: No siempre es continua en los nodos.
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA: SPLINE

38. INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA: SPLINE
Procedimiento:
Para “n+1” datos ( i = 0, 1, 2, …, n)  “n” intervalos.
Por lo tanto, son “3xn” incógnitas y se requiere de “3xn”
ecuaciones o condiciones.

39. Condición 1: Se evalúa la primera y la última función pasan
por los puntos extremos.
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA: SPLINE

40. Condición 2: Se evalúan en los nodos interiores de las
funciones de polinomios adyacentes deben ser iguales en los
nodos interiores.
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA: SPLINE

41. Condición 3: Las primeras derivadas en los nodos interiores son
iguales.
Condición 4: Suponemos que en el 1er punto la segunda derivada = 0.
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA: SPLINE

42. EJEMPLO:
Interpolar los datos dados mediante un Spline de Segundo Grado.
Luego, evaluar en x = 5.
Se cuenta con 4 datos y n = 3 intervalos.
Entonces, 3 x (3 ) = 9 incógnitas.
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA: SPLINE
X F(x)
3.0 2.5
4.5 1.0
7.0 2.5
9.0 0.5

43. Condición 1: Evaluando la primera y la última función con los
valores inicial y final, se agregan dos ecuaciones más (Paso 4):
Condición 2: Se evalúa en los nodos medios
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA: SPLINE

44. :
Condición 3: Se iguala la derivada de la funciones de la
condición 2.
Condición 4:
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA: SPLINE

45. INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA: SPLINE

46. A=[ 3 1 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 81 9 1 ;
4.5 1 0 0 0 0 0 0; 0 0 20.25 4.5 1 0 0 0;
0 0 49 7 1 0 0 0; 0 0 0 0 0 49 7 1;
1 0 -9 -1 0 0 0 0;0 0 14 1 0 -14 -1 0]
b=[2.5; 0.5; 1; 1; 2.5 ;2.5 ;0; 0];
x=inv(A)*x
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA: SPLINE
x =-1.0000
5.5000
0.6400
-6.7600
18.4600
-1.6000
24.6000
-91.3000

47. INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA: SPLINE
:
Luego, estos 9 coeficientes son reemplazados en las ecuaciones
cuadráticas originales, obteniéndose lo siguiente por cada intervalo.
Finalmente, se evalúa para x = 5, en la segunda expresión:

48. INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA: SPLINE
Y(5)=0.66

49. INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA: SPLINE
SPLINES CÚBICOS:
El objetivo es obtener un polinomio de tercer grado para cada
intervalo entre los nodos.

50. EJEMPLO:
Interpolar los datos usando un Spline cúbico. Luego, evaluar en x = 5.
>> x = [ 3 4.5 7 9 ];
>> y = [ 2.5 1 2.5 0.5 ];
>> XX = 3 : 0.1 : 9;
>> YY = spline( x , y , XX );
>> plot(x,y,'o',XX,YY)
>> Xo = 5;
>> Yo = spline( x , y , Xo )
Yo =1.1519
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA: SPLINE

51. INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA: SPLINE
M=[3 2.5;4.5 1;7 2.5;9 0.5]; a=5;
function [fa]=spline_cubico(M,a)
%spline_cubico calcula interpolación usando splines
%cúbicos
x=M(:,1);y=M(:,2);%separo la primera y segunda columna
fa=spline(x,y,a);%trazadores cúbicos
figure(1),clf
x1=linspace(x(1),x(end),500);
fx1=spline(x,y,x1);%calcula trazadores unicamente
cúbicos
hold on
plot(x,y,'ro','LineWidth',3)
plot(x1,fx1,'b','LineWidth',2)
plot(a,fa,'ko','LineWidth',3)
stem(x,y,'r','LineWidth',2)
hold off
grid minor
end

52. INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA: SPLINE
Y=1.15
x = 5
Y=0.66

53. ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE TA-04
https://ayudasingenieria.com/files/METODOS_NUMERICOS/chapra.pdf
Cap 20 – pag 463