Teoría de Interpolación

Teoría de Interpolación
Un problema que se presenta con frecuencia en las ciencias experimentales y
en ingeniería es tratar de construir una función (denominada “función
interpolante”) de la que se conoce una serie de datos (denominados “datos de
interpolación”). Estos datos pueden ser fruto de las observaciones realizadas en
un determinado experimento en el que se relacionan dos o más variables e
involucran valores de una función y/o de sus derivadas. El objetivo será
determinar una función que veriﬁque estos datos y que además sea fácil de
construir y manipular. Por su sencillez y operatividad los polinomios se usan
frecuentemente como funciones interpolantes.
Un problema de interpolación en general puede enunciarse de la
siguiente forma:
Dado un conjunto de datos, generalmente valores de una función y/o
sus derivadas en determinados puntos xi, i = 0, 1, · · · n que
llamaremos nodos, nuestro objetivo es construir otra función que
coincida con la función dada en los datos de interpolación.
Según el tipo de los datos de interpolación, podemos considerar los
siguientes tipos de interpolación:
Interpolación de Lagrange
Interpolación de Taylor
Interpolación De Hermite

Polinomios Interpolantes de Newton-Gregory y Gauss
Polinomio Interpolante de Newton-Gregory
Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio,
se le puede aproximar al polinomio se le parece. Una forma sencilla de
escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos
esquiespaciados, es la fórmula del polinomio interpolante de Newton-
Gregory (en avance y retroceso).
Fórmula de Avance// Fórmula de Retroceso// Polinomio
Interpolante de Gauss
Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del método de
Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de
diferencias;por ejemplo la fórmula del polinomio interpolante de Gauss (en avance
y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores
desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig.zag. En el caso
de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando
primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente.
En formula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando
primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente.
InterpolaciónDe Hermite
Disponemos de los valores de una función y de algunas de sus derivadas
sucesivas en determinados puntos. Por ejemplo, f (xi) y f′ (xi) en n + 1 puntos
distintos, xi, i = 0, 1, · · ·, n En general, las funciones interpolantes forman un
espacio vectorial de dimensión ﬁnita, es decir son del tipo: Ψ (x) = a0 ψ0 (x)
+ a1 ψ1 (x) + · · · + an ψn (x), Donde ψ0(x), ψ1(x), · · ·, ψn(x) Son funciones
dadas que forman base del espacio vectorial correspondiente y ai, i = 0, 1, ·,
n números reales a determinar. Dependiendo del tipo de funciones que
utilicemos como funciones interpolantes, la interpolación se llamara
polinómica, racional, trigonométrica, spline polinomial.

Entre las diferentes funciones interpolantes, por su sencillez y facilidad para
operar, los polinomios son los utilizados con mayor frecuencia en problemas
de interpolación, en este caso las funciones de base son ψi (x) = xi, i = 0, 1, ·
· ·, n.
Sin embargo, no siempre dan una respuesta satisfactoria, especialmente si la
solución del problema requiere el uso de polinomios de alto grado o, por ejemplo,
si se observa un comportamiento periódico en los datos de interpolación.
Por simplicidad,nos centraremos en este Tema en el estudio del caso
particular de la interpolación polinómica de Langrange.
InterpolaciónUsando Splines
En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva
diferenciable definida en porciones mediante polinomios. En los problemas
de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque
da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios
de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de
las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado
elevado. Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar
formas complicadas.
La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines
los hacen populares para la representación de curvas en informática,
particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador. El término
"spline" hace referencia a una amplia clase de funciones que son utilizadas
en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, o un suavizado de
curvas. Los splines son utilizados para trabajar tanto en una como en varias
dimensiones.Las funciones para la interpolación por splines normalmente se
determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de
restricciones.

Este es el caso más sencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la
que se nos dan un número N de pares (x,f(x)) por los que tendrá que pasar
nuestra función polinómica P(x). Esta serie de funciones nuestras van a ser
lineales, esto es, con grado 1: de la forma P(x) = ax + b. Definiremos una de
estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un total de (N-1)
funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos que van a
determinarlas, es decir, la función P(x) será el conjunto de segmentos que
unen nodos consecutivos; es por ello que nuestra función será continua en
dichos puntos, pero no derivable en general.
Ejemplo: Interpolar con splines f(x) = 1 / x, en los puntos en los que x
vale 1, 2 y 4F
(1) = 1F
(2) = 0.5F
(4) = 0.25
El primer segmento P1(x) = ax + b deberáunir los primeros dos puntos
de coordenadas (1,1) y (2,0.5). Surge un sistema lineal de dos
ecuaciones en dos incógnitas:
(1) 1=a+b
(2) 0.5=2a+b
De (1) se obtiene: a=1-b (3) Reemplazando (3) en (2) se obtiene:
0.5=2(1-b)+b, luego b=1.5
Reemplazando el valor de (b) en (1), se obtiene: a = - 0.5 Por lo tanto,
se concluye que: P1(x) = - 0.5x + 1.5
El segundo segmento P2(x) =ax + b deberá unir el segundo punto
(2,0.5) con el tercer punto (4,0.25). Análogamente a lo hecho para
P1(x), en el caso de P2(x) se obtiene:

(1) 0.5 = 2a + b
(2) 0.25 = 4a + ba = - 0.125, b = 0.75
Luego P2(x) = - 0.125x + 0.75
Polinomio Interpolante De Lagrange
El problemade la interpolación polinómica de Lagrange consiste en lo
siguiente:
Conocidos los valores de una función f en n + 1 puntos distintos xi, i =
0, 1, · · ·, n de un intervalo [a, b], nos planteamos obtener un polinomio
Pn de grado no superior a n, que coincida con la función f en estos n +
1 puntos, es decir, Pn (xi) = f (xi), Para i = 0, 1, · · ·, n.
El polinomio Pn buscado forma parte del conjunto de los polinomios de
grado menor o igual que n y, por tanto, Pn (x) será de la forma Pn (x) =
an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0,Y, para determinarla, habría que
hallar los n + 1 coeﬁcientes reales a0, a1, · · ·, an.
En el caso que an sea no nulo, diremos que Pn (x) tiene exactamente
grado n.
La existencia y unicidad del polinomio de interpolación Pn (x) se
prueba en el siguiente resultado, adamas se determina una primera
forma de construirlo. Sean f: [a, b] → R y {x0, x1, · · ·, xn}, n+1 puntos
distintos del intervalo [a, b].
Entonces,existe un único polinomio Pn (x) de grado menor o igual que
n, que veriﬁca Pn (xi) = f (xi), i = 0, 1, · · ·, n.
A este polinomio se le denomina polinomio de interpolación de f en los
nodos {x0,x1, · · · , xn} y viene dado por Pn (x) =Xni=0f (xi) Li (x), (1.1)
Donde, para cada i ∈ {0, 1, · · · , n}, Li (x) =Ynj=0j=6 ix – xj xi – xj

Tabla de Diferencias
Resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores x
en orden ascendente. Además de las columnas para x y f(x), se
deberán tabular las diferencias de los valores funcionales. La tabla que
se muestra a continuación es llamada tabla de diferencias.
Los términos calculados en la tabla de diferencias, permiten determinar
los coeficientes de polinomios interpolantes. Es convencional que la letra
h sea la diferencia uniforme de los valores x, es decir, h= x. Utilizando
subíndices para representar el orden de los valores x y f(x)
Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton.
La diferencia dividida de newton para la interpolación de polinomios
está entre los modelos más populares y útiles. Para un polinomio de
grado n se requiere de n+1puntos. Se usan estos datos para
determinar los coeficientespara las diferencias divididas. Partiendo de

una tabla de diferencias divididas. Para aplicar el polinomio de
interpolación por diferencias divididas por newton, no es necesario que
los datos tabulados sean necesariamente equiespaciados o que los
valores deban estar ordenados en forma ascendente. El valor que
aporta el polinomio de newton está sujeto a un error.
Aplicación De Los Métodos Numéricos de Interpolación en la
Resolución de Problemas
Fórmulas como las de Newton-Gregory, Gauss, lagrange, Hermite,
newton, etc, son compatibles con computadoras y debido a las
muchas funciones tabulares disponibles, como subrutinas de librerías;
dichas formulas tienen relevancia en la solución de ecuaciones
diferenciales ordinarias. El polinomio de interpolación suele usarse
para estimar valores de una función tabulada, en las abscisas que no
aparecen en la tabla. El aumento de grado no siempre mejora la
aproximación. El polinomio es muy sensible a los errores de los datos.
Sistemas de Numeración y Errores
Error por Truncamiento:
En el subcampo matemático del análisis numérico, truncamiento es el
término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del
separadordecimal, descartando los menos significativos.
Por ejemplo dados los números reales:
3,14159265358979...
32,438191288
6,3444444444444

Para truncar estos números a 4 dígitos decimales,sólo consideramos
los 4 dígitos a la derecha de la comadecimal.
El resultado es:
3,1415
32,4381
6,3444
Nótese que en algunos casos,el truncamiento dará el mismo resultado
que el redondeo,pero el truncamiento no redondeahacia arriba ni
hacia abajo los dígitos,meramente los corta en el dígito especificado.
El error de truncamiento puede ser hasta el doble del error máximo
que se puede tener usando redondeo.
Error por Redondeo
Es el procesomediante el cual se eliminan cifras significativas de un
número a partir de su representacióndecimal,para obtenerun valor
aproximado.
Reglas de Redondeo
Si tenemos con seguridad una cantidad de cifras exactas de un
número decimal, podemos dar una aproximación de ese número de
menos cifras de dos formas:
Truncamiento: Cortamos el número a partir de cierta cifra. Por ejemplo
π = 3,141592:::, truncado a las milésimas sería π = 3,141 y a las
diezmilésimas π = 3,1415
Redondeo: Cortamos el número a partir de cierta cifra, pero sumamos
uno a la última cifra que aparezca, en el caso de que la primera que
omitamos sea mayor o igual que 5. Por ejemplo, redondeando el
número π = 3,141592::: a las centésimas tenemos π = 3,14, a las
milésimas π = 3,142 y a las diez milésimas π = 3; 1416.

En general es preferible el redondeo al truncamiento, ya que
cometemos un error menor.
Estimación:
Algunas veces con el fin de facilitar los cálculos, se suelen redondear
los números con los que se opera, y los resultados que se obtienen no
son verdaderos, sino que se consideran estimaciones.
Error Relativo y Error Absoluto
Error relativo fraccional = error / valor verdadero, donde:
Error = valor verdadero – valor aproximado.
El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para
expresarlo como Ev = (error verdadero/ valor verdadero) 100; Donde
Ev denota el error relativo porcentual. El subíndice v significa la
normalización del error al valor verdadero.
Para los métodos numéricos el valor verdadero únicamente se
conocerá cuando se habla de funciones que se pueden resolver
analíticamente. Sin embargo, en aplicaciones reales, no se conoce la
respuesta verdadera. En estos casos, normalizar el error es una
alternativa usando la mejor estimación posible del valor verdadero,
esto es a la aproximación misma, como:
Ea = (error aproximado/ valor aproximado) 100
Donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor
aproximado.
Uno de los retos a que se enfrentas los métodos numéricos es el de
determinar estimaciones del error en ausencia de conocimiento de los
valores verdaderos. El error se calcula como la diferencia entre la
aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo

porcentual está dado por
Ea =abs( ((aproximación actual- aproximación previa )/ aproximación
actual) 100)
Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el
resultado obtenido está dentro del nivel aceptable, es decir, aun error
previamente fijado(Es):
Abs(Ea) <>
Dígitos Significativos
Son aquellos dígitos que le dan a un número o medida un valor real.
Número de dígitos utilizado para indicar qué tan precisa es una
medición. El número de dígitos significativos depende de la exactitud
del dispositivo de medición, es decir, la unidad de medida provista por
ese dispositivo.
Por ejemplo, 1.2300 significa que el verdadero valor está entre
1.22995 y 1.23005. Por lo tanto, 1.2300 tiene cinco dígitos
significativos, en donde los ceros que siguen a la derecha del punto
decimal son significativos.
Sin embargo, los ceros que siguen a la izquierda del punto decimal
pueden no ser significativos. El número 123,000 significa que el
verdadero valor de la medición podría estar entre 122,500 y 123,500.
Por lo tanto, 123,000 contiene sólo tres dígitos significativos.

Teorema delValor Medio
O teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables
en un intervalo. Algunos matemáticos consideranque este teorema es
el más importante del cálculo (ver también el teorema fundamental del
cálculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas
matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros
teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar
el teorema de Taylor ya que es un caso especial.
Teorema de Rolle
Demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo
abierto para el cual la derivada de una función derivable se anula
cuando el valor de ésta en los extremos del intervalo es el mismo. Es
generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un
caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a
sus aplicaciones.
Si es una función continua definida en un intervalo cerrado
derivable sobre el intervalo abierto y , entonces:
Existe al menos un punto perteneciente al intervalo tal
que .
Teorema de Taylor
Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno
reducido alrededor de un punto a Є (a, d) mediante
un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la
función en ese punto. Más formalmente, si ≥ 0 es un entero y una
función que es derivable veces en el intervalo cerrado [ , ] y +1
veces en el intervalo abierto ( , ), entonces se cumple que:

O en forma compacta
Donde denota el factorial de , y es el resto, término que
depende de y es pequeño si está próximo al punto . Existen dos
expresiones para que se mencionen a continuación:
donde y , pertenecen a los números reales, a los enteros y es
un número real entre y :2

Teorema Fundamental del Algebra
Nos dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene un raíz
compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio
evalúa a cero. Hay muchas demostraciones de este importante
resultado. Todas requieren bastantes conocimientosmatemáticos para
formalizarlas. Sin embargo, si se deja de lado algo del rigor
matemático, hay argumentos simples y creíbles, que le permiten a uno
convencerse de la veracidad del TFA. Nuestro objetivo es presentar a
continuación uno de estos argumentos.
Consideremos entonces un polinomio P(z) cualquiera de grado n.
Luego, su n-ésimo coeficiente Pn no puede ser igual a 0. Si P(0)=0,
estaríamos listos pues tendríamos que 0 es una raíz de P.
Supondremos entonces que se tiene el caso no trivial, es decir,
que P(0) no es 0. Notar que esto significa que P0 es distinto de 0,
puesto que P(0)=P0.
Sea Cr al conjunto de números complejos de módulo r, i.e., Cr= { z :
|z|=r}. Geométricamente dichos números están ubicados en un círculo
de radio r en torno al origen del plano complejo. Por ejemplo, si r=1,
entonces Cr es:

Solución de Ecuaciones No Lineales
Los métodos numéricos de resolución de ecuaciones no lineales
suelen ser métodos iterativos que producen una sucesión de valores
aproximados de la solución, que se espera, que converja a la raíz de
la ecuación. Estos métodos van calculando las sucesivas
aproximaciones sobre la base de los anteriores, a partir de una o
varias aproximaciones iniciales.
El comportamiento de los algoritmos de búsquedade raíces se estudia
en análisis numérico. Funcionan mejor cuando se toman en cuenta las
características de la función. Para saberque método debemos aplicar,
hay que tener en cuenta la capacidad de separar raíces cercanas,
confiabilidad en el alcance de soluciones evitando errores numéricos
graves y orden de convergencia.
Método de la Falsa Posición
El método de la falsa posición pretende conjugar la seguridad del
método de la bisección con la rapidez del método de la secante. Este
método, como en el método de la bisección, parte de dos puntos que
rodean a la raíz f(x) = 0, es decir, dos puntos x0 y x1tales
que f(x0)f(x1) < 0. La siguiente aproximación, x2, se calcula como la
intersección con el eje X de la recta que une ambos puntos. La
asignación del nuevo intervalo de búsqueda se realiza como en el
método de la bisección: entre ambos intervalos, [x0,x2] y [x2,x1], se
toma aquel que cumpla f(x)f(x2) < 0.

Método de Newton
Este método parte de una aproximación inicial x0 y obtiene una
aproximación mejor, x1, dada por la fórmula:
La expresiónanterior puede derivarse a partir de un desarrollo en serie
de Taylor. Efectivamente, sea r un cero de f y sea x una aproximación
a r tal quer=x+h. Si f'' existe y es continua, por el teorema de Taylor
tenemos:
0 = f(r) = f(x+h) = f(x) + hf'(x) + O (h2)
En donde h=r-x. Si x está próximo a r (es decir h es pequeña), es
razonable ignorar el término O (h2):
0 = f(x) + hf'(x)
Por lo que obtenemos la siguiente expresión para h:

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