SlideShare una empresa de Scribd logo
Teoría de Interpolación
Un problema que se presenta con frecuencia en las ciencias experimentales y
en ingeniería es tratar de construir una función (denominada “función
interpolante”) de la que se conoce una serie de datos (denominados “datos de
interpolación”). Estos datos pueden ser fruto de las observaciones realizadas en
un determinado experimento en el que se relacionan dos o más variables e
involucran valores de una función y/o de sus derivadas. El objetivo será
determinar una función que verifique estos datos y que además sea fácil de
construir y manipular. Por su sencillez y operatividad los polinomios se usan
frecuentemente como funciones interpolantes.
Un problema de interpolación en general puede enunciarse de la
siguiente forma:
Dado un conjunto de datos, generalmente valores de una función y/o
sus derivadas en determinados puntos xi, i = 0, 1, · · · n que
llamaremos nodos, nuestro objetivo es construir otra función que
coincida con la función dada en los datos de interpolación.
Según el tipo de los datos de interpolación, podemos considerar los
siguientes tipos de interpolación:
Interpolación de Lagrange
Interpolación de Taylor
Interpolación De Hermite
Polinomios Interpolantes de Newton-Gregory y Gauss
Polinomio Interpolante de Newton-Gregory
Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio,
se le puede aproximar al polinomio se le parece. Una forma sencilla de
escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos
esquiespaciados, es la fórmula del polinomio interpolante de Newton-
Gregory (en avance y retroceso).
Fórmula de Avance// Fórmula de Retroceso// Polinomio
Interpolante de Gauss
Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del método de
Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de
diferencias;por ejemplo la fórmula del polinomio interpolante de Gauss (en avance
y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores
desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig.zag. En el caso
de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando
primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente.
En formula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando
primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente.
InterpolaciónDe Hermite
Disponemos de los valores de una función y de algunas de sus derivadas
sucesivas en determinados puntos. Por ejemplo, f (xi) y f′ (xi) en n + 1 puntos
distintos, xi, i = 0, 1, · · ·, n En general, las funciones interpolantes forman un
espacio vectorial de dimensión finita, es decir son del tipo: Ψ (x) = a0 ψ0 (x)
+ a1 ψ1 (x) + · · · + an ψn (x), Donde ψ0(x), ψ1(x), · · ·, ψn(x) Son funciones
dadas que forman base del espacio vectorial correspondiente y ai, i = 0, 1, ·,
n números reales a determinar. Dependiendo del tipo de funciones que
utilicemos como funciones interpolantes, la interpolación se llamara
polinómica, racional, trigonométrica, spline polinomial.
Entre las diferentes funciones interpolantes, por su sencillez y facilidad para
operar, los polinomios son los utilizados con mayor frecuencia en problemas
de interpolación, en este caso las funciones de base son ψi (x) = xi, i = 0, 1, ·
· ·, n.
Sin embargo, no siempre dan una respuesta satisfactoria, especialmente si la
solución del problema requiere el uso de polinomios de alto grado o, por ejemplo,
si se observa un comportamiento periódico en los datos de interpolación.
Por simplicidad,nos centraremos en este Tema en el estudio del caso
particular de la interpolación polinómica de Langrange.
InterpolaciónUsando Splines
En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva
diferenciable definida en porciones mediante polinomios. En los problemas
de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque
da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios
de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de
las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado
elevado. Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar
formas complicadas.
La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines
los hacen populares para la representación de curvas en informática,
particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador. El término
"spline" hace referencia a una amplia clase de funciones que son utilizadas
en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, o un suavizado de
curvas. Los splines son utilizados para trabajar tanto en una como en varias
dimensiones.Las funciones para la interpolación por splines normalmente se
determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de
restricciones.
Este es el caso más sencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la
que se nos dan un número N de pares (x,f(x)) por los que tendrá que pasar
nuestra función polinómica P(x). Esta serie de funciones nuestras van a ser
lineales, esto es, con grado 1: de la forma P(x) = ax + b. Definiremos una de
estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un total de (N-1)
funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos que van a
determinarlas, es decir, la función P(x) será el conjunto de segmentos que
unen nodos consecutivos; es por ello que nuestra función será continua en
dichos puntos, pero no derivable en general.
Ejemplo: Interpolar con splines f(x) = 1 / x, en los puntos en los que x
vale 1, 2 y 4F
(1) = 1F
(2) = 0.5F
(4) = 0.25
El primer segmento P1(x) = ax + b deberáunir los primeros dos puntos
de coordenadas (1,1) y (2,0.5). Surge un sistema lineal de dos
ecuaciones en dos incógnitas:
(1) 1=a+b
(2) 0.5=2a+b
De (1) se obtiene: a=1-b (3) Reemplazando (3) en (2) se obtiene:
0.5=2(1-b)+b, luego b=1.5
Reemplazando el valor de (b) en (1), se obtiene: a = - 0.5 Por lo tanto,
se concluye que: P1(x) = - 0.5x + 1.5
El segundo segmento P2(x) =ax + b deberá unir el segundo punto
(2,0.5) con el tercer punto (4,0.25). Análogamente a lo hecho para
P1(x), en el caso de P2(x) se obtiene:
(1) 0.5 = 2a + b
(2) 0.25 = 4a + ba = - 0.125, b = 0.75
Luego P2(x) = - 0.125x + 0.75
Polinomio Interpolante De Lagrange
El problemade la interpolación polinómica de Lagrange consiste en lo
siguiente:
Conocidos los valores de una función f en n + 1 puntos distintos xi, i =
0, 1, · · ·, n de un intervalo [a, b], nos planteamos obtener un polinomio
Pn de grado no superior a n, que coincida con la función f en estos n +
1 puntos, es decir, Pn (xi) = f (xi), Para i = 0, 1, · · ·, n.
El polinomio Pn buscado forma parte del conjunto de los polinomios de
grado menor o igual que n y, por tanto, Pn (x) será de la forma Pn (x) =
an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0,Y, para determinarla, habría que
hallar los n + 1 coeficientes reales a0, a1, · · ·, an.
En el caso que an sea no nulo, diremos que Pn (x) tiene exactamente
grado n.
La existencia y unicidad del polinomio de interpolación Pn (x) se
prueba en el siguiente resultado, adamas se determina una primera
forma de construirlo. Sean f: [a, b] → R y {x0, x1, · · ·, xn}, n+1 puntos
distintos del intervalo [a, b].
Entonces,existe un único polinomio Pn (x) de grado menor o igual que
n, que verifica Pn (xi) = f (xi), i = 0, 1, · · ·, n.
A este polinomio se le denomina polinomio de interpolación de f en los
nodos {x0,x1, · · · , xn} y viene dado por Pn (x) =Xni=0f (xi) Li (x), (1.1)
Donde, para cada i ∈ {0, 1, · · · , n}, Li (x) =Ynj=0j=6 ix – xj xi – xj
Tabla de Diferencias
Resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores x
en orden ascendente. Además de las columnas para x y f(x), se
deberán tabular las diferencias de los valores funcionales. La tabla que
se muestra a continuación es llamada tabla de diferencias.
Los términos calculados en la tabla de diferencias, permiten determinar
los coeficientes de polinomios interpolantes. Es convencional que la letra
h sea la diferencia uniforme de los valores x, es decir, h= x. Utilizando
subíndices para representar el orden de los valores x y f(x)
Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton.
La diferencia dividida de newton para la interpolación de polinomios
está entre los modelos más populares y útiles. Para un polinomio de
grado n se requiere de n+1puntos. Se usan estos datos para
determinar los coeficientespara las diferencias divididas. Partiendo de
una tabla de diferencias divididas. Para aplicar el polinomio de
interpolación por diferencias divididas por newton, no es necesario que
los datos tabulados sean necesariamente equiespaciados o que los
valores deban estar ordenados en forma ascendente. El valor que
aporta el polinomio de newton está sujeto a un error.
Aplicación De Los Métodos Numéricos de Interpolación en la
Resolución de Problemas
Fórmulas como las de Newton-Gregory, Gauss, lagrange, Hermite,
newton, etc, son compatibles con computadoras y debido a las
muchas funciones tabulares disponibles, como subrutinas de librerías;
dichas formulas tienen relevancia en la solución de ecuaciones
diferenciales ordinarias. El polinomio de interpolación suele usarse
para estimar valores de una función tabulada, en las abscisas que no
aparecen en la tabla. El aumento de grado no siempre mejora la
aproximación. El polinomio es muy sensible a los errores de los datos.
Sistemas de Numeración y Errores
Error por Truncamiento:
En el subcampo matemático del análisis numérico, truncamiento es el
término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del
separadordecimal, descartando los menos significativos.
Por ejemplo dados los números reales:
3,14159265358979...
32,438191288
6,3444444444444
Para truncar estos números a 4 dígitos decimales,sólo consideramos
los 4 dígitos a la derecha de la comadecimal.
El resultado es:
3,1415
32,4381
6,3444
Nótese que en algunos casos,el truncamiento dará el mismo resultado
que el redondeo,pero el truncamiento no redondeahacia arriba ni
hacia abajo los dígitos,meramente los corta en el dígito especificado.
El error de truncamiento puede ser hasta el doble del error máximo
que se puede tener usando redondeo.
Error por Redondeo
Es el procesomediante el cual se eliminan cifras significativas de un
número a partir de su representacióndecimal,para obtenerun valor
aproximado.
Reglas de Redondeo
Si tenemos con seguridad una cantidad de cifras exactas de un
número decimal, podemos dar una aproximación de ese número de
menos cifras de dos formas:
Truncamiento: Cortamos el número a partir de cierta cifra. Por ejemplo
π = 3,141592:::, truncado a las milésimas sería π = 3,141 y a las
diezmilésimas π = 3,1415
Redondeo: Cortamos el número a partir de cierta cifra, pero sumamos
uno a la última cifra que aparezca, en el caso de que la primera que
omitamos sea mayor o igual que 5. Por ejemplo, redondeando el
número π = 3,141592::: a las centésimas tenemos π = 3,14, a las
milésimas π = 3,142 y a las diez milésimas π = 3; 1416.
En general es preferible el redondeo al truncamiento, ya que
cometemos un error menor.
Estimación:
Algunas veces con el fin de facilitar los cálculos, se suelen redondear
los números con los que se opera, y los resultados que se obtienen no
son verdaderos, sino que se consideran estimaciones.
Error Relativo y Error Absoluto
Error relativo fraccional = error / valor verdadero, donde:
Error = valor verdadero – valor aproximado.
El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para
expresarlo como Ev = (error verdadero/ valor verdadero) 100; Donde
Ev denota el error relativo porcentual. El subíndice v significa la
normalización del error al valor verdadero.
Para los métodos numéricos el valor verdadero únicamente se
conocerá cuando se habla de funciones que se pueden resolver
analíticamente. Sin embargo, en aplicaciones reales, no se conoce la
respuesta verdadera. En estos casos, normalizar el error es una
alternativa usando la mejor estimación posible del valor verdadero,
esto es a la aproximación misma, como:
Ea = (error aproximado/ valor aproximado) 100
Donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor
aproximado.
Uno de los retos a que se enfrentas los métodos numéricos es el de
determinar estimaciones del error en ausencia de conocimiento de los
valores verdaderos. El error se calcula como la diferencia entre la
aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo
porcentual está dado por
Ea =abs( ((aproximación actual- aproximación previa )/ aproximación
actual) 100)
Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el
resultado obtenido está dentro del nivel aceptable, es decir, aun error
previamente fijado(Es):
Abs(Ea) <>
Dígitos Significativos
Son aquellos dígitos que le dan a un número o medida un valor real.
Número de dígitos utilizado para indicar qué tan precisa es una
medición. El número de dígitos significativos depende de la exactitud
del dispositivo de medición, es decir, la unidad de medida provista por
ese dispositivo.
Por ejemplo, 1.2300 significa que el verdadero valor está entre
1.22995 y 1.23005. Por lo tanto, 1.2300 tiene cinco dígitos
significativos, en donde los ceros que siguen a la derecha del punto
decimal son significativos.
Sin embargo, los ceros que siguen a la izquierda del punto decimal
pueden no ser significativos. El número 123,000 significa que el
verdadero valor de la medición podría estar entre 122,500 y 123,500.
Por lo tanto, 123,000 contiene sólo tres dígitos significativos.
Teorema delValor Medio
O teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables
en un intervalo. Algunos matemáticos consideranque este teorema es
el más importante del cálculo (ver también el teorema fundamental del
cálculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas
matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros
teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar
el teorema de Taylor ya que es un caso especial.
Teorema de Rolle
Demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo
abierto para el cual la derivada de una función derivable se anula
cuando el valor de ésta en los extremos del intervalo es el mismo. Es
generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un
caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a
sus aplicaciones.
Si es una función continua definida en un intervalo cerrado
derivable sobre el intervalo abierto y , entonces:
Existe al menos un punto perteneciente al intervalo tal
que .
Teorema de Taylor
Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno
reducido alrededor de un punto a Є (a, d) mediante
un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la
función en ese punto. Más formalmente, si ≥ 0 es un entero y una
función que es derivable veces en el intervalo cerrado [ , ] y +1
veces en el intervalo abierto ( , ), entonces se cumple que:
O en forma compacta
Donde denota el factorial de , y es el resto, término que
depende de y es pequeño si está próximo al punto . Existen dos
expresiones para que se mencionen a continuación:
donde y , pertenecen a los números reales, a los enteros y es
un número real entre y :2
Teorema Fundamental del Algebra
Nos dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene un raíz
compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio
evalúa a cero. Hay muchas demostraciones de este importante
resultado. Todas requieren bastantes conocimientosmatemáticos para
formalizarlas. Sin embargo, si se deja de lado algo del rigor
matemático, hay argumentos simples y creíbles, que le permiten a uno
convencerse de la veracidad del TFA. Nuestro objetivo es presentar a
continuación uno de estos argumentos.
Consideremos entonces un polinomio P(z) cualquiera de grado n.
Luego, su n-ésimo coeficiente Pn no puede ser igual a 0. Si P(0)=0,
estaríamos listos pues tendríamos que 0 es una raíz de P.
Supondremos entonces que se tiene el caso no trivial, es decir,
que P(0) no es 0. Notar que esto significa que P0 es distinto de 0,
puesto que P(0)=P0.
Sea Cr al conjunto de números complejos de módulo r, i.e., Cr= { z :
|z|=r}. Geométricamente dichos números están ubicados en un círculo
de radio r en torno al origen del plano complejo. Por ejemplo, si r=1,
entonces Cr es:
Solución de Ecuaciones No Lineales
Los métodos numéricos de resolución de ecuaciones no lineales
suelen ser métodos iterativos que producen una sucesión de valores
aproximados de la solución, que se espera, que converja a la raíz de
la ecuación. Estos métodos van calculando las sucesivas
aproximaciones sobre la base de los anteriores, a partir de una o
varias aproximaciones iniciales.
El comportamiento de los algoritmos de búsquedade raíces se estudia
en análisis numérico. Funcionan mejor cuando se toman en cuenta las
características de la función. Para saberque método debemos aplicar,
hay que tener en cuenta la capacidad de separar raíces cercanas,
confiabilidad en el alcance de soluciones evitando errores numéricos
graves y orden de convergencia.
Método de la Falsa Posición
El método de la falsa posición pretende conjugar la seguridad del
método de la bisección con la rapidez del método de la secante. Este
método, como en el método de la bisección, parte de dos puntos que
rodean a la raíz f(x) = 0, es decir, dos puntos x0 y x1tales
que f(x0)f(x1) < 0. La siguiente aproximación, x2, se calcula como la
intersección con el eje X de la recta que une ambos puntos. La
asignación del nuevo intervalo de búsqueda se realiza como en el
método de la bisección: entre ambos intervalos, [x0,x2] y [x2,x1], se
toma aquel que cumpla f(x)f(x2) < 0.
Método de Newton
Este método parte de una aproximación inicial x0 y obtiene una
aproximación mejor, x1, dada por la fórmula:
La expresiónanterior puede derivarse a partir de un desarrollo en serie
de Taylor. Efectivamente, sea r un cero de f y sea x una aproximación
a r tal quer=x+h. Si f'' existe y es continua, por el teorema de Taylor
tenemos:
0 = f(r) = f(x+h) = f(x) + hf'(x) + O (h2)
En donde h=r-x. Si x está próximo a r (es decir h es pequeña), es
razonable ignorar el término O (h2):
0 = f(x) + hf'(x)
Por lo que obtenemos la siguiente expresión para h:

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Regla Del Trapecio
Regla Del TrapecioRegla Del Trapecio
Regla Del Trapecio
paulamelissa
 
MéTodo De IteracióN De Punto Fijo
MéTodo De IteracióN De Punto FijoMéTodo De IteracióN De Punto Fijo
MéTodo De IteracióN De Punto Fijo
lisset neyra
 
Semana1 sucesiones y criterio de convergencia
Semana1 sucesiones y criterio de convergenciaSemana1 sucesiones y criterio de convergencia
Semana1 sucesiones y criterio de convergencia
Moises De La Cruz
 
Ajuste de curvas metodo de jacobi
Ajuste de curvas  metodo de jacobiAjuste de curvas  metodo de jacobi
Ajuste de curvas metodo de jacobi
Tefy Ruiz
 
Ejercicios resueltos- de metodos
Ejercicios resueltos- de metodosEjercicios resueltos- de metodos
Ejercicios resueltos- de metodos
Michael Dhgfhr
 
Demostraciones transformaciones lineales
Demostraciones transformaciones linealesDemostraciones transformaciones lineales
Demostraciones transformaciones lineales
Marko Gallardo
 
Sistema de ecuaciones lineales
Sistema de ecuaciones linealesSistema de ecuaciones lineales
Sistema de ecuaciones lineales
Brayan Romero Calderon
 
Funcion logaritmica
Funcion logaritmicaFuncion logaritmica
Funcion logaritmica
Juliana Isola
 
Matriz asociada a una transformacion lineal
Matriz asociada a una transformacion linealMatriz asociada a una transformacion lineal
Matriz asociada a una transformacion lineal
algebra
 
Coeficientes indeterminados enfoque de superposición
Coeficientes indeterminados   enfoque de superposiciónCoeficientes indeterminados   enfoque de superposición
Coeficientes indeterminados enfoque de superposición
Tensor
 
Metodo de euler
Metodo de eulerMetodo de euler
Metodo de euler
Luis Galaviz
 
Practica algoritmos
Practica algoritmosPractica algoritmos
Practica algoritmos
infobran
 
Método de variación de parámetros
Método de variación de parámetrosMétodo de variación de parámetros
Método de variación de parámetros
seralb
 
Metodo de gauss
Metodo de gaussMetodo de gauss
Metodo de gauss
Tayko Urbana
 
Introducción a los Métodos Numéricos
Introducción a los Métodos NuméricosIntroducción a los Métodos Numéricos
Introducción a los Métodos Numéricos
Joanny Ibarbia Pardo
 
Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes indeterminados
Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes indeterminadosEcuaciones diferenciales lineales con coeficientes indeterminados
Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes indeterminados
sheep242
 
Error en el polinomio de interpolación
Error en el polinomio de interpolaciónError en el polinomio de interpolación
Error en el polinomio de interpolación
Kike Prieto
 
Ecuaciones no homogéneas
Ecuaciones no homogéneasEcuaciones no homogéneas
Ecuaciones no homogéneas
MIguel Tenezaca
 
7. sistemas de ecuaciones y aplicaciones
7. sistemas de ecuaciones y aplicaciones7. sistemas de ecuaciones y aplicaciones
7. sistemas de ecuaciones y aplicaciones
JacquelineSantos10
 
Ecuación diferencial de Bernoully y Riccati Matemática II
Ecuación diferencial de Bernoully y Riccati Matemática IIEcuación diferencial de Bernoully y Riccati Matemática II
Ecuación diferencial de Bernoully y Riccati Matemática II
Joe Arroyo Suárez
 

La actualidad más candente (20)

Regla Del Trapecio
Regla Del TrapecioRegla Del Trapecio
Regla Del Trapecio
 
MéTodo De IteracióN De Punto Fijo
MéTodo De IteracióN De Punto FijoMéTodo De IteracióN De Punto Fijo
MéTodo De IteracióN De Punto Fijo
 
Semana1 sucesiones y criterio de convergencia
Semana1 sucesiones y criterio de convergenciaSemana1 sucesiones y criterio de convergencia
Semana1 sucesiones y criterio de convergencia
 
Ajuste de curvas metodo de jacobi
Ajuste de curvas  metodo de jacobiAjuste de curvas  metodo de jacobi
Ajuste de curvas metodo de jacobi
 
Ejercicios resueltos- de metodos
Ejercicios resueltos- de metodosEjercicios resueltos- de metodos
Ejercicios resueltos- de metodos
 
Demostraciones transformaciones lineales
Demostraciones transformaciones linealesDemostraciones transformaciones lineales
Demostraciones transformaciones lineales
 
Sistema de ecuaciones lineales
Sistema de ecuaciones linealesSistema de ecuaciones lineales
Sistema de ecuaciones lineales
 
Funcion logaritmica
Funcion logaritmicaFuncion logaritmica
Funcion logaritmica
 
Matriz asociada a una transformacion lineal
Matriz asociada a una transformacion linealMatriz asociada a una transformacion lineal
Matriz asociada a una transformacion lineal
 
Coeficientes indeterminados enfoque de superposición
Coeficientes indeterminados   enfoque de superposiciónCoeficientes indeterminados   enfoque de superposición
Coeficientes indeterminados enfoque de superposición
 
Metodo de euler
Metodo de eulerMetodo de euler
Metodo de euler
 
Practica algoritmos
Practica algoritmosPractica algoritmos
Practica algoritmos
 
Método de variación de parámetros
Método de variación de parámetrosMétodo de variación de parámetros
Método de variación de parámetros
 
Metodo de gauss
Metodo de gaussMetodo de gauss
Metodo de gauss
 
Introducción a los Métodos Numéricos
Introducción a los Métodos NuméricosIntroducción a los Métodos Numéricos
Introducción a los Métodos Numéricos
 
Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes indeterminados
Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes indeterminadosEcuaciones diferenciales lineales con coeficientes indeterminados
Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes indeterminados
 
Error en el polinomio de interpolación
Error en el polinomio de interpolaciónError en el polinomio de interpolación
Error en el polinomio de interpolación
 
Ecuaciones no homogéneas
Ecuaciones no homogéneasEcuaciones no homogéneas
Ecuaciones no homogéneas
 
7. sistemas de ecuaciones y aplicaciones
7. sistemas de ecuaciones y aplicaciones7. sistemas de ecuaciones y aplicaciones
7. sistemas de ecuaciones y aplicaciones
 
Ecuación diferencial de Bernoully y Riccati Matemática II
Ecuación diferencial de Bernoully y Riccati Matemática IIEcuación diferencial de Bernoully y Riccati Matemática II
Ecuación diferencial de Bernoully y Riccati Matemática II
 

Destacado

Introduccion a la teoria de interpolacion
Introduccion a la teoria de interpolacionIntroduccion a la teoria de interpolacion
Introduccion a la teoria de interpolacion
wilmerleon67
 
Revista analisis numerico
Revista analisis numericoRevista analisis numerico
Revista analisis numerico
johanjc
 
ADAPTACIONES MORFOLOGICAS DE LAS PLANTAS
ADAPTACIONES MORFOLOGICAS DE LAS PLANTASADAPTACIONES MORFOLOGICAS DE LAS PLANTAS
ADAPTACIONES MORFOLOGICAS DE LAS PLANTAS
Miguel Pinedo
 
Revista digital
Revista digitalRevista digital
Revista digital
sebastian vallejo
 
Revista Digital Analisis Numerico
Revista Digital Analisis NumericoRevista Digital Analisis Numerico
Revista Digital Analisis Numerico
Fernando_1221
 
Polinomios interpolantes
Polinomios interpolantesPolinomios interpolantes
Polinomios interpolantes
9isaac
 

Destacado (6)

Introduccion a la teoria de interpolacion
Introduccion a la teoria de interpolacionIntroduccion a la teoria de interpolacion
Introduccion a la teoria de interpolacion
 
Revista analisis numerico
Revista analisis numericoRevista analisis numerico
Revista analisis numerico
 
ADAPTACIONES MORFOLOGICAS DE LAS PLANTAS
ADAPTACIONES MORFOLOGICAS DE LAS PLANTASADAPTACIONES MORFOLOGICAS DE LAS PLANTAS
ADAPTACIONES MORFOLOGICAS DE LAS PLANTAS
 
Revista digital
Revista digitalRevista digital
Revista digital
 
Revista Digital Analisis Numerico
Revista Digital Analisis NumericoRevista Digital Analisis Numerico
Revista Digital Analisis Numerico
 
Polinomios interpolantes
Polinomios interpolantesPolinomios interpolantes
Polinomios interpolantes
 

Similar a Teoría de Interpolación

Teoría de la Interpolación
Teoría de la InterpolaciónTeoría de la Interpolación
Teoría de la Interpolación
Leonel Quintero
 
Efrain l. cortez z. pdf
Efrain l. cortez z. pdfEfrain l. cortez z. pdf
Efrain l. cortez z. pdf
mariaeec
 
Polinomios interpolantes
Polinomios interpolantesPolinomios interpolantes
Polinomios interpolantes
Michelle Diaz
 
Aproximacion_Interpolacion.doc
Aproximacion_Interpolacion.docAproximacion_Interpolacion.doc
Aproximacion_Interpolacion.doc
SistemadeEstudiosMed
 
Tema 4
Tema 4Tema 4
INF_JARCH
INF_JARCHINF_JARCH
INF_JARCH
jesus_armandor
 
Revista digital
Revista digitalRevista digital
Revista digital
katherine adjunta romero
 
Polinomios interpolantes as
Polinomios interpolantes asPolinomios interpolantes as
Polinomios interpolantes as
Asisclo Serrano
 
Analisis numerico
Analisis numericoAnalisis numerico
Analisis numerico
germary infante
 
Análisis numérico unidad 4 17784506
Análisis numérico unidad 4 17784506Análisis numérico unidad 4 17784506
Análisis numérico unidad 4 17784506
ingraul86
 
Revista análisis numerico 1
Revista análisis numerico 1Revista análisis numerico 1
Revista análisis numerico 1
vicky200697
 
Interpolación alejandro
Interpolación alejandroInterpolación alejandro
Interpolación alejandro
rieraale
 
Polinomios interpolantes
Polinomios interpolantesPolinomios interpolantes
Polinomios interpolantes
Angélica Arismendi
 
Interpolacion daniela
Interpolacion danielaInterpolacion daniela
Interpolacion daniela
rieraale
 
Luisarmando saia
Luisarmando saia Luisarmando saia
Luisarmando saia
lpgraterol
 
Polinomios interpolantes
Polinomios interpolantesPolinomios interpolantes
Polinomios interpolantes
Fremy Guedez
 
Revista Analisis Numerico
Revista  Analisis NumericoRevista  Analisis Numerico
Revista Analisis Numerico
yonel martinez
 
Interpolacion actividad 4 larry gutierrez 7573674.pptx
Interpolacion actividad 4 larry gutierrez 7573674.pptxInterpolacion actividad 4 larry gutierrez 7573674.pptx
Interpolacion actividad 4 larry gutierrez 7573674.pptx
Larry Gutierrez
 
Interpolación, Investigación
Interpolación, InvestigaciónInterpolación, Investigación
Interpolación, Investigación
cristhian Piña suarez
 
POLINOMIOS INTERPOLADORES
POLINOMIOS INTERPOLADORESPOLINOMIOS INTERPOLADORES
POLINOMIOS INTERPOLADORES
Jessenia Alacayo
 

Similar a Teoría de Interpolación (20)

Teoría de la Interpolación
Teoría de la InterpolaciónTeoría de la Interpolación
Teoría de la Interpolación
 
Efrain l. cortez z. pdf
Efrain l. cortez z. pdfEfrain l. cortez z. pdf
Efrain l. cortez z. pdf
 
Polinomios interpolantes
Polinomios interpolantesPolinomios interpolantes
Polinomios interpolantes
 
Aproximacion_Interpolacion.doc
Aproximacion_Interpolacion.docAproximacion_Interpolacion.doc
Aproximacion_Interpolacion.doc
 
Tema 4
Tema 4Tema 4
Tema 4
 
INF_JARCH
INF_JARCHINF_JARCH
INF_JARCH
 
Revista digital
Revista digitalRevista digital
Revista digital
 
Polinomios interpolantes as
Polinomios interpolantes asPolinomios interpolantes as
Polinomios interpolantes as
 
Analisis numerico
Analisis numericoAnalisis numerico
Analisis numerico
 
Análisis numérico unidad 4 17784506
Análisis numérico unidad 4 17784506Análisis numérico unidad 4 17784506
Análisis numérico unidad 4 17784506
 
Revista análisis numerico 1
Revista análisis numerico 1Revista análisis numerico 1
Revista análisis numerico 1
 
Interpolación alejandro
Interpolación alejandroInterpolación alejandro
Interpolación alejandro
 
Polinomios interpolantes
Polinomios interpolantesPolinomios interpolantes
Polinomios interpolantes
 
Interpolacion daniela
Interpolacion danielaInterpolacion daniela
Interpolacion daniela
 
Luisarmando saia
Luisarmando saia Luisarmando saia
Luisarmando saia
 
Polinomios interpolantes
Polinomios interpolantesPolinomios interpolantes
Polinomios interpolantes
 
Revista Analisis Numerico
Revista  Analisis NumericoRevista  Analisis Numerico
Revista Analisis Numerico
 
Interpolacion actividad 4 larry gutierrez 7573674.pptx
Interpolacion actividad 4 larry gutierrez 7573674.pptxInterpolacion actividad 4 larry gutierrez 7573674.pptx
Interpolacion actividad 4 larry gutierrez 7573674.pptx
 
Interpolación, Investigación
Interpolación, InvestigaciónInterpolación, Investigación
Interpolación, Investigación
 
POLINOMIOS INTERPOLADORES
POLINOMIOS INTERPOLADORESPOLINOMIOS INTERPOLADORES
POLINOMIOS INTERPOLADORES
 

Más de José Alejandro Barazarte

Tarea
TareaTarea
Analisis de Señales
Analisis de SeñalesAnalisis de Señales
Analisis de Señales
José Alejandro Barazarte
 
Mapa Conceptual Economia Jose Alejandro Barazarte
Mapa Conceptual Economia Jose Alejandro BarazarteMapa Conceptual Economia Jose Alejandro Barazarte
Mapa Conceptual Economia Jose Alejandro Barazarte
José Alejandro Barazarte
 
Ejercicios Funciones
Ejercicios FuncionesEjercicios Funciones
Ejercicios Funciones
José Alejandro Barazarte
 
Ejercicios
EjerciciosEjercicios
Campo Electrico
Campo ElectricoCampo Electrico
Campo Electrico
José Alejandro Barazarte
 
Analisis Numerico
Analisis NumericoAnalisis Numerico
Analisis Numerico
José Alejandro Barazarte
 
Teoria de errores
Teoria de erroresTeoria de errores
Teoria de errores
José Alejandro Barazarte
 
Mapa mental Temas Gerenciales Autoestima
Mapa mental Temas Gerenciales AutoestimaMapa mental Temas Gerenciales Autoestima
Mapa mental Temas Gerenciales Autoestima
José Alejandro Barazarte
 
DESARROLLO HUMANO 2014
DESARROLLO HUMANO 2014DESARROLLO HUMANO 2014
DESARROLLO HUMANO 2014
José Alejandro Barazarte
 
MAPA MENTAL ACTIVIDADES DE ORIENTACION
MAPA MENTAL ACTIVIDADES DE ORIENTACIONMAPA MENTAL ACTIVIDADES DE ORIENTACION
MAPA MENTAL ACTIVIDADES DE ORIENTACION
José Alejandro Barazarte
 
Institutos Publicos Nacionales
Institutos Publicos NacionalesInstitutos Publicos Nacionales
Institutos Publicos Nacionales
José Alejandro Barazarte
 
Derechos y Deberes de los estudiantes
Derechos y Deberes de los estudiantesDerechos y Deberes de los estudiantes
Derechos y Deberes de los estudiantes
José Alejandro Barazarte
 
ACONDICIONAMIENTO NEUROMUSCULAR
ACONDICIONAMIENTO NEUROMUSCULARACONDICIONAMIENTO NEUROMUSCULAR
ACONDICIONAMIENTO NEUROMUSCULAR
José Alejandro Barazarte
 
Jose Barazarte 20766230
Jose Barazarte 20766230Jose Barazarte 20766230
Jose Barazarte 20766230
José Alejandro Barazarte
 
Jose Barazarte 20766230
Jose Barazarte 20766230Jose Barazarte 20766230
Jose Barazarte 20766230
José Alejandro Barazarte
 
Mapa mental
Mapa mentalMapa mental
Mapa mental
Mapa mentalMapa mental
Mapa mental
Mapa mentalMapa mental

Más de José Alejandro Barazarte (20)

Tarea
TareaTarea
Tarea
 
Analisis de Señales
Analisis de SeñalesAnalisis de Señales
Analisis de Señales
 
Mapa Conceptual Economia Jose Alejandro Barazarte
Mapa Conceptual Economia Jose Alejandro BarazarteMapa Conceptual Economia Jose Alejandro Barazarte
Mapa Conceptual Economia Jose Alejandro Barazarte
 
Ejercicios Funciones
Ejercicios FuncionesEjercicios Funciones
Ejercicios Funciones
 
Ejercicios
EjerciciosEjercicios
Ejercicios
 
Campo Electrico
Campo ElectricoCampo Electrico
Campo Electrico
 
Gestion de proyectos
Gestion de proyectosGestion de proyectos
Gestion de proyectos
 
Analisis Numerico
Analisis NumericoAnalisis Numerico
Analisis Numerico
 
Teoria de errores
Teoria de erroresTeoria de errores
Teoria de errores
 
Mapa mental Temas Gerenciales Autoestima
Mapa mental Temas Gerenciales AutoestimaMapa mental Temas Gerenciales Autoestima
Mapa mental Temas Gerenciales Autoestima
 
DESARROLLO HUMANO 2014
DESARROLLO HUMANO 2014DESARROLLO HUMANO 2014
DESARROLLO HUMANO 2014
 
MAPA MENTAL ACTIVIDADES DE ORIENTACION
MAPA MENTAL ACTIVIDADES DE ORIENTACIONMAPA MENTAL ACTIVIDADES DE ORIENTACION
MAPA MENTAL ACTIVIDADES DE ORIENTACION
 
Institutos Publicos Nacionales
Institutos Publicos NacionalesInstitutos Publicos Nacionales
Institutos Publicos Nacionales
 
Derechos y Deberes de los estudiantes
Derechos y Deberes de los estudiantesDerechos y Deberes de los estudiantes
Derechos y Deberes de los estudiantes
 
ACONDICIONAMIENTO NEUROMUSCULAR
ACONDICIONAMIENTO NEUROMUSCULARACONDICIONAMIENTO NEUROMUSCULAR
ACONDICIONAMIENTO NEUROMUSCULAR
 
Jose Barazarte 20766230
Jose Barazarte 20766230Jose Barazarte 20766230
Jose Barazarte 20766230
 
Jose Barazarte 20766230
Jose Barazarte 20766230Jose Barazarte 20766230
Jose Barazarte 20766230
 
Mapa mental
Mapa mentalMapa mental
Mapa mental
 
Mapa mental
Mapa mentalMapa mental
Mapa mental
 
Mapa mental
Mapa mentalMapa mental
Mapa mental
 

Último

Planificación Ejemplo con la metodología TPACK
Planificación Ejemplo con la metodología  TPACKPlanificación Ejemplo con la metodología  TPACK
Planificación Ejemplo con la metodología TPACK
ssusera6697f
 
Evaluacion del tercer trimestre del 2023-2024
Evaluacion del tercer trimestre del 2023-2024Evaluacion del tercer trimestre del 2023-2024
Evaluacion del tercer trimestre del 2023-2024
israelsouza67
 
pueblos originarios de chile presentacion twinkl.pptx
pueblos originarios de chile presentacion twinkl.pptxpueblos originarios de chile presentacion twinkl.pptx
pueblos originarios de chile presentacion twinkl.pptx
RAMIREZNICOLE
 
Radicación con expresiones algebraicas para 9no grado
Radicación con expresiones algebraicas para 9no gradoRadicación con expresiones algebraicas para 9no grado
Radicación con expresiones algebraicas para 9no grado
perezducasaarmando
 
Mauricio-Presentación-Vacacional- 2024-1
Mauricio-Presentación-Vacacional- 2024-1Mauricio-Presentación-Vacacional- 2024-1
Mauricio-Presentación-Vacacional- 2024-1
MauricioSnchez83
 
CORREOS SEGUNDO 2024 HONORIO DELGADO ESPINOZA
CORREOS SEGUNDO 2024 HONORIO DELGADO ESPINOZACORREOS SEGUNDO 2024 HONORIO DELGADO ESPINOZA
CORREOS SEGUNDO 2024 HONORIO DELGADO ESPINOZA
Sandra Mariela Ballón Aguedo
 
EVALUACION ESTUDIANTIL 2023-2024 Ecuador - Costa.pptx
EVALUACION ESTUDIANTIL 2023-2024 Ecuador - Costa.pptxEVALUACION ESTUDIANTIL 2023-2024 Ecuador - Costa.pptx
EVALUACION ESTUDIANTIL 2023-2024 Ecuador - Costa.pptx
Victor Elizalde P
 
Examen de Lengua Castellana y Literatura de la EBAU en Castilla-La Mancha 2024.
Examen de Lengua Castellana y Literatura de la EBAU en Castilla-La Mancha 2024.Examen de Lengua Castellana y Literatura de la EBAU en Castilla-La Mancha 2024.
Examen de Lengua Castellana y Literatura de la EBAU en Castilla-La Mancha 2024.
20minutos
 
Las Tecnologias Digitales en los Aprendizajesdel Siglo XXI UNESCO Ccesa007.pdf
Las Tecnologias Digitales en los Aprendizajesdel Siglo XXI  UNESCO Ccesa007.pdfLas Tecnologias Digitales en los Aprendizajesdel Siglo XXI  UNESCO Ccesa007.pdf
Las Tecnologias Digitales en los Aprendizajesdel Siglo XXI UNESCO Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJELA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE
jecgjv
 
Nuevos espacios,nuevos tiempos,nuevas practica.pptx
Nuevos espacios,nuevos tiempos,nuevas practica.pptxNuevos espacios,nuevos tiempos,nuevas practica.pptx
Nuevos espacios,nuevos tiempos,nuevas practica.pptx
lautyzaracho4
 
Guia para Docentes como usar ChatGPT Mineduc Ccesa007.pdf
Guia para Docentes como usar ChatGPT  Mineduc Ccesa007.pdfGuia para Docentes como usar ChatGPT  Mineduc Ccesa007.pdf
Guia para Docentes como usar ChatGPT Mineduc Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Maristella Svampa-La sociedad excluyente.pdf
Maristella Svampa-La sociedad excluyente.pdfMaristella Svampa-La sociedad excluyente.pdf
Maristella Svampa-La sociedad excluyente.pdf
belbarcala
 
El ensayo mexicano en el siglo XX LITERATURA
El ensayo mexicano en el siglo XX LITERATURAEl ensayo mexicano en el siglo XX LITERATURA
El ensayo mexicano en el siglo XX LITERATURA
Armando920824
 
CONTENIDOS Y PDA DE LA FASE 3,4 Y 5 EN NIVEL PRIMARIA
CONTENIDOS Y PDA DE LA FASE 3,4 Y 5 EN NIVEL PRIMARIACONTENIDOS Y PDA DE LA FASE 3,4 Y 5 EN NIVEL PRIMARIA
CONTENIDOS Y PDA DE LA FASE 3,4 Y 5 EN NIVEL PRIMARIA
ginnazamudio
 
PANDERETAS DECORADAS CON MOTIVOS DE LA RIOJA
PANDERETAS DECORADAS CON MOTIVOS DE LA RIOJAPANDERETAS DECORADAS CON MOTIVOS DE LA RIOJA
PANDERETAS DECORADAS CON MOTIVOS DE LA RIOJA
estroba5
 
Presentación Curso C. Diferencial - 2024-1.pdf
Presentación Curso C. Diferencial - 2024-1.pdfPresentación Curso C. Diferencial - 2024-1.pdf
Presentación Curso C. Diferencial - 2024-1.pdf
H4RV3YH3RN4ND3Z
 
FEEDBACK DE LA ESTRUCTURA CURRICULAR- 2024.pdf
FEEDBACK DE LA ESTRUCTURA CURRICULAR- 2024.pdfFEEDBACK DE LA ESTRUCTURA CURRICULAR- 2024.pdf
FEEDBACK DE LA ESTRUCTURA CURRICULAR- 2024.pdf
Jose Luis Jimenez Rodriguez
 
Guia Practica de ChatGPT para Docentes Ccesa007.pdf
Guia Practica de ChatGPT para Docentes Ccesa007.pdfGuia Practica de ChatGPT para Docentes Ccesa007.pdf
Guia Practica de ChatGPT para Docentes Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 

Último (20)

Planificación Ejemplo con la metodología TPACK
Planificación Ejemplo con la metodología  TPACKPlanificación Ejemplo con la metodología  TPACK
Planificación Ejemplo con la metodología TPACK
 
Evaluacion del tercer trimestre del 2023-2024
Evaluacion del tercer trimestre del 2023-2024Evaluacion del tercer trimestre del 2023-2024
Evaluacion del tercer trimestre del 2023-2024
 
pueblos originarios de chile presentacion twinkl.pptx
pueblos originarios de chile presentacion twinkl.pptxpueblos originarios de chile presentacion twinkl.pptx
pueblos originarios de chile presentacion twinkl.pptx
 
Radicación con expresiones algebraicas para 9no grado
Radicación con expresiones algebraicas para 9no gradoRadicación con expresiones algebraicas para 9no grado
Radicación con expresiones algebraicas para 9no grado
 
Mauricio-Presentación-Vacacional- 2024-1
Mauricio-Presentación-Vacacional- 2024-1Mauricio-Presentación-Vacacional- 2024-1
Mauricio-Presentación-Vacacional- 2024-1
 
CORREOS SEGUNDO 2024 HONORIO DELGADO ESPINOZA
CORREOS SEGUNDO 2024 HONORIO DELGADO ESPINOZACORREOS SEGUNDO 2024 HONORIO DELGADO ESPINOZA
CORREOS SEGUNDO 2024 HONORIO DELGADO ESPINOZA
 
EVALUACION ESTUDIANTIL 2023-2024 Ecuador - Costa.pptx
EVALUACION ESTUDIANTIL 2023-2024 Ecuador - Costa.pptxEVALUACION ESTUDIANTIL 2023-2024 Ecuador - Costa.pptx
EVALUACION ESTUDIANTIL 2023-2024 Ecuador - Costa.pptx
 
Examen de Lengua Castellana y Literatura de la EBAU en Castilla-La Mancha 2024.
Examen de Lengua Castellana y Literatura de la EBAU en Castilla-La Mancha 2024.Examen de Lengua Castellana y Literatura de la EBAU en Castilla-La Mancha 2024.
Examen de Lengua Castellana y Literatura de la EBAU en Castilla-La Mancha 2024.
 
Las Tecnologias Digitales en los Aprendizajesdel Siglo XXI UNESCO Ccesa007.pdf
Las Tecnologias Digitales en los Aprendizajesdel Siglo XXI  UNESCO Ccesa007.pdfLas Tecnologias Digitales en los Aprendizajesdel Siglo XXI  UNESCO Ccesa007.pdf
Las Tecnologias Digitales en los Aprendizajesdel Siglo XXI UNESCO Ccesa007.pdf
 
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJELA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE
 
Nuevos espacios,nuevos tiempos,nuevas practica.pptx
Nuevos espacios,nuevos tiempos,nuevas practica.pptxNuevos espacios,nuevos tiempos,nuevas practica.pptx
Nuevos espacios,nuevos tiempos,nuevas practica.pptx
 
Guia para Docentes como usar ChatGPT Mineduc Ccesa007.pdf
Guia para Docentes como usar ChatGPT  Mineduc Ccesa007.pdfGuia para Docentes como usar ChatGPT  Mineduc Ccesa007.pdf
Guia para Docentes como usar ChatGPT Mineduc Ccesa007.pdf
 
Maristella Svampa-La sociedad excluyente.pdf
Maristella Svampa-La sociedad excluyente.pdfMaristella Svampa-La sociedad excluyente.pdf
Maristella Svampa-La sociedad excluyente.pdf
 
El ensayo mexicano en el siglo XX LITERATURA
El ensayo mexicano en el siglo XX LITERATURAEl ensayo mexicano en el siglo XX LITERATURA
El ensayo mexicano en el siglo XX LITERATURA
 
A VISITA DO SENHOR BISPO .
A VISITA DO SENHOR BISPO                .A VISITA DO SENHOR BISPO                .
A VISITA DO SENHOR BISPO .
 
CONTENIDOS Y PDA DE LA FASE 3,4 Y 5 EN NIVEL PRIMARIA
CONTENIDOS Y PDA DE LA FASE 3,4 Y 5 EN NIVEL PRIMARIACONTENIDOS Y PDA DE LA FASE 3,4 Y 5 EN NIVEL PRIMARIA
CONTENIDOS Y PDA DE LA FASE 3,4 Y 5 EN NIVEL PRIMARIA
 
PANDERETAS DECORADAS CON MOTIVOS DE LA RIOJA
PANDERETAS DECORADAS CON MOTIVOS DE LA RIOJAPANDERETAS DECORADAS CON MOTIVOS DE LA RIOJA
PANDERETAS DECORADAS CON MOTIVOS DE LA RIOJA
 
Presentación Curso C. Diferencial - 2024-1.pdf
Presentación Curso C. Diferencial - 2024-1.pdfPresentación Curso C. Diferencial - 2024-1.pdf
Presentación Curso C. Diferencial - 2024-1.pdf
 
FEEDBACK DE LA ESTRUCTURA CURRICULAR- 2024.pdf
FEEDBACK DE LA ESTRUCTURA CURRICULAR- 2024.pdfFEEDBACK DE LA ESTRUCTURA CURRICULAR- 2024.pdf
FEEDBACK DE LA ESTRUCTURA CURRICULAR- 2024.pdf
 
Guia Practica de ChatGPT para Docentes Ccesa007.pdf
Guia Practica de ChatGPT para Docentes Ccesa007.pdfGuia Practica de ChatGPT para Docentes Ccesa007.pdf
Guia Practica de ChatGPT para Docentes Ccesa007.pdf
 

Teoría de Interpolación

  • 1. Teoría de Interpolación Un problema que se presenta con frecuencia en las ciencias experimentales y en ingeniería es tratar de construir una función (denominada “función interpolante”) de la que se conoce una serie de datos (denominados “datos de interpolación”). Estos datos pueden ser fruto de las observaciones realizadas en un determinado experimento en el que se relacionan dos o más variables e involucran valores de una función y/o de sus derivadas. El objetivo será determinar una función que verifique estos datos y que además sea fácil de construir y manipular. Por su sencillez y operatividad los polinomios se usan frecuentemente como funciones interpolantes. Un problema de interpolación en general puede enunciarse de la siguiente forma: Dado un conjunto de datos, generalmente valores de una función y/o sus derivadas en determinados puntos xi, i = 0, 1, · · · n que llamaremos nodos, nuestro objetivo es construir otra función que coincida con la función dada en los datos de interpolación. Según el tipo de los datos de interpolación, podemos considerar los siguientes tipos de interpolación: Interpolación de Lagrange Interpolación de Taylor Interpolación De Hermite
  • 2. Polinomios Interpolantes de Newton-Gregory y Gauss Polinomio Interpolante de Newton-Gregory Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos esquiespaciados, es la fórmula del polinomio interpolante de Newton- Gregory (en avance y retroceso). Fórmula de Avance// Fórmula de Retroceso// Polinomio Interpolante de Gauss Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del método de Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias;por ejemplo la fórmula del polinomio interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig.zag. En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En formula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente. InterpolaciónDe Hermite Disponemos de los valores de una función y de algunas de sus derivadas sucesivas en determinados puntos. Por ejemplo, f (xi) y f′ (xi) en n + 1 puntos distintos, xi, i = 0, 1, · · ·, n En general, las funciones interpolantes forman un espacio vectorial de dimensión finita, es decir son del tipo: Ψ (x) = a0 ψ0 (x) + a1 ψ1 (x) + · · · + an ψn (x), Donde ψ0(x), ψ1(x), · · ·, ψn(x) Son funciones dadas que forman base del espacio vectorial correspondiente y ai, i = 0, 1, ·, n números reales a determinar. Dependiendo del tipo de funciones que utilicemos como funciones interpolantes, la interpolación se llamara polinómica, racional, trigonométrica, spline polinomial.
  • 3. Entre las diferentes funciones interpolantes, por su sencillez y facilidad para operar, los polinomios son los utilizados con mayor frecuencia en problemas de interpolación, en este caso las funciones de base son ψi (x) = xi, i = 0, 1, · · ·, n. Sin embargo, no siempre dan una respuesta satisfactoria, especialmente si la solución del problema requiere el uso de polinomios de alto grado o, por ejemplo, si se observa un comportamiento periódico en los datos de interpolación. Por simplicidad,nos centraremos en este Tema en el estudio del caso particular de la interpolación polinómica de Langrange. InterpolaciónUsando Splines En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios. En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado. Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador. El término "spline" hace referencia a una amplia clase de funciones que son utilizadas en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, o un suavizado de curvas. Los splines son utilizados para trabajar tanto en una como en varias dimensiones.Las funciones para la interpolación por splines normalmente se determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de restricciones.
  • 4. Este es el caso más sencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la que se nos dan un número N de pares (x,f(x)) por los que tendrá que pasar nuestra función polinómica P(x). Esta serie de funciones nuestras van a ser lineales, esto es, con grado 1: de la forma P(x) = ax + b. Definiremos una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un total de (N-1) funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos que van a determinarlas, es decir, la función P(x) será el conjunto de segmentos que unen nodos consecutivos; es por ello que nuestra función será continua en dichos puntos, pero no derivable en general. Ejemplo: Interpolar con splines f(x) = 1 / x, en los puntos en los que x vale 1, 2 y 4F (1) = 1F (2) = 0.5F (4) = 0.25 El primer segmento P1(x) = ax + b deberáunir los primeros dos puntos de coordenadas (1,1) y (2,0.5). Surge un sistema lineal de dos ecuaciones en dos incógnitas: (1) 1=a+b (2) 0.5=2a+b De (1) se obtiene: a=1-b (3) Reemplazando (3) en (2) se obtiene: 0.5=2(1-b)+b, luego b=1.5 Reemplazando el valor de (b) en (1), se obtiene: a = - 0.5 Por lo tanto, se concluye que: P1(x) = - 0.5x + 1.5 El segundo segmento P2(x) =ax + b deberá unir el segundo punto (2,0.5) con el tercer punto (4,0.25). Análogamente a lo hecho para P1(x), en el caso de P2(x) se obtiene:
  • 5. (1) 0.5 = 2a + b (2) 0.25 = 4a + ba = - 0.125, b = 0.75 Luego P2(x) = - 0.125x + 0.75 Polinomio Interpolante De Lagrange El problemade la interpolación polinómica de Lagrange consiste en lo siguiente: Conocidos los valores de una función f en n + 1 puntos distintos xi, i = 0, 1, · · ·, n de un intervalo [a, b], nos planteamos obtener un polinomio Pn de grado no superior a n, que coincida con la función f en estos n + 1 puntos, es decir, Pn (xi) = f (xi), Para i = 0, 1, · · ·, n. El polinomio Pn buscado forma parte del conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n y, por tanto, Pn (x) será de la forma Pn (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0,Y, para determinarla, habría que hallar los n + 1 coeficientes reales a0, a1, · · ·, an. En el caso que an sea no nulo, diremos que Pn (x) tiene exactamente grado n. La existencia y unicidad del polinomio de interpolación Pn (x) se prueba en el siguiente resultado, adamas se determina una primera forma de construirlo. Sean f: [a, b] → R y {x0, x1, · · ·, xn}, n+1 puntos distintos del intervalo [a, b]. Entonces,existe un único polinomio Pn (x) de grado menor o igual que n, que verifica Pn (xi) = f (xi), i = 0, 1, · · ·, n. A este polinomio se le denomina polinomio de interpolación de f en los nodos {x0,x1, · · · , xn} y viene dado por Pn (x) =Xni=0f (xi) Li (x), (1.1) Donde, para cada i ∈ {0, 1, · · · , n}, Li (x) =Ynj=0j=6 ix – xj xi – xj
  • 6. Tabla de Diferencias Resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores x en orden ascendente. Además de las columnas para x y f(x), se deberán tabular las diferencias de los valores funcionales. La tabla que se muestra a continuación es llamada tabla de diferencias. Los términos calculados en la tabla de diferencias, permiten determinar los coeficientes de polinomios interpolantes. Es convencional que la letra h sea la diferencia uniforme de los valores x, es decir, h= x. Utilizando subíndices para representar el orden de los valores x y f(x) Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton. La diferencia dividida de newton para la interpolación de polinomios está entre los modelos más populares y útiles. Para un polinomio de grado n se requiere de n+1puntos. Se usan estos datos para determinar los coeficientespara las diferencias divididas. Partiendo de
  • 7. una tabla de diferencias divididas. Para aplicar el polinomio de interpolación por diferencias divididas por newton, no es necesario que los datos tabulados sean necesariamente equiespaciados o que los valores deban estar ordenados en forma ascendente. El valor que aporta el polinomio de newton está sujeto a un error. Aplicación De Los Métodos Numéricos de Interpolación en la Resolución de Problemas Fórmulas como las de Newton-Gregory, Gauss, lagrange, Hermite, newton, etc, son compatibles con computadoras y debido a las muchas funciones tabulares disponibles, como subrutinas de librerías; dichas formulas tienen relevancia en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. El polinomio de interpolación suele usarse para estimar valores de una función tabulada, en las abscisas que no aparecen en la tabla. El aumento de grado no siempre mejora la aproximación. El polinomio es muy sensible a los errores de los datos. Sistemas de Numeración y Errores Error por Truncamiento: En el subcampo matemático del análisis numérico, truncamiento es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del separadordecimal, descartando los menos significativos. Por ejemplo dados los números reales: 3,14159265358979... 32,438191288 6,3444444444444
  • 8. Para truncar estos números a 4 dígitos decimales,sólo consideramos los 4 dígitos a la derecha de la comadecimal. El resultado es: 3,1415 32,4381 6,3444 Nótese que en algunos casos,el truncamiento dará el mismo resultado que el redondeo,pero el truncamiento no redondeahacia arriba ni hacia abajo los dígitos,meramente los corta en el dígito especificado. El error de truncamiento puede ser hasta el doble del error máximo que se puede tener usando redondeo. Error por Redondeo Es el procesomediante el cual se eliminan cifras significativas de un número a partir de su representacióndecimal,para obtenerun valor aproximado. Reglas de Redondeo Si tenemos con seguridad una cantidad de cifras exactas de un número decimal, podemos dar una aproximación de ese número de menos cifras de dos formas: Truncamiento: Cortamos el número a partir de cierta cifra. Por ejemplo π = 3,141592:::, truncado a las milésimas sería π = 3,141 y a las diezmilésimas π = 3,1415 Redondeo: Cortamos el número a partir de cierta cifra, pero sumamos uno a la última cifra que aparezca, en el caso de que la primera que omitamos sea mayor o igual que 5. Por ejemplo, redondeando el número π = 3,141592::: a las centésimas tenemos π = 3,14, a las milésimas π = 3,142 y a las diez milésimas π = 3; 1416.
  • 9. En general es preferible el redondeo al truncamiento, ya que cometemos un error menor. Estimación: Algunas veces con el fin de facilitar los cálculos, se suelen redondear los números con los que se opera, y los resultados que se obtienen no son verdaderos, sino que se consideran estimaciones. Error Relativo y Error Absoluto Error relativo fraccional = error / valor verdadero, donde: Error = valor verdadero – valor aproximado. El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como Ev = (error verdadero/ valor verdadero) 100; Donde Ev denota el error relativo porcentual. El subíndice v significa la normalización del error al valor verdadero. Para los métodos numéricos el valor verdadero únicamente se conocerá cuando se habla de funciones que se pueden resolver analíticamente. Sin embargo, en aplicaciones reales, no se conoce la respuesta verdadera. En estos casos, normalizar el error es una alternativa usando la mejor estimación posible del valor verdadero, esto es a la aproximación misma, como: Ea = (error aproximado/ valor aproximado) 100 Donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor aproximado. Uno de los retos a que se enfrentas los métodos numéricos es el de determinar estimaciones del error en ausencia de conocimiento de los valores verdaderos. El error se calcula como la diferencia entre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo
  • 10. porcentual está dado por Ea =abs( ((aproximación actual- aproximación previa )/ aproximación actual) 100) Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el resultado obtenido está dentro del nivel aceptable, es decir, aun error previamente fijado(Es): Abs(Ea) <> Dígitos Significativos Son aquellos dígitos que le dan a un número o medida un valor real. Número de dígitos utilizado para indicar qué tan precisa es una medición. El número de dígitos significativos depende de la exactitud del dispositivo de medición, es decir, la unidad de medida provista por ese dispositivo. Por ejemplo, 1.2300 significa que el verdadero valor está entre 1.22995 y 1.23005. Por lo tanto, 1.2300 tiene cinco dígitos significativos, en donde los ceros que siguen a la derecha del punto decimal son significativos. Sin embargo, los ceros que siguen a la izquierda del punto decimal pueden no ser significativos. El número 123,000 significa que el verdadero valor de la medición podría estar entre 122,500 y 123,500. Por lo tanto, 123,000 contiene sólo tres dígitos significativos.
  • 11. Teorema delValor Medio O teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideranque este teorema es el más importante del cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial. Teorema de Rolle Demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual la derivada de una función derivable se anula cuando el valor de ésta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones. Si es una función continua definida en un intervalo cerrado derivable sobre el intervalo abierto y , entonces: Existe al menos un punto perteneciente al intervalo tal que . Teorema de Taylor Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a Є (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si ≥ 0 es un entero y una función que es derivable veces en el intervalo cerrado [ , ] y +1 veces en el intervalo abierto ( , ), entonces se cumple que:
  • 12. O en forma compacta Donde denota el factorial de , y es el resto, término que depende de y es pequeño si está próximo al punto . Existen dos expresiones para que se mencionen a continuación: donde y , pertenecen a los números reales, a los enteros y es un número real entre y :2
  • 13. Teorema Fundamental del Algebra Nos dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalúa a cero. Hay muchas demostraciones de este importante resultado. Todas requieren bastantes conocimientosmatemáticos para formalizarlas. Sin embargo, si se deja de lado algo del rigor matemático, hay argumentos simples y creíbles, que le permiten a uno convencerse de la veracidad del TFA. Nuestro objetivo es presentar a continuación uno de estos argumentos. Consideremos entonces un polinomio P(z) cualquiera de grado n. Luego, su n-ésimo coeficiente Pn no puede ser igual a 0. Si P(0)=0, estaríamos listos pues tendríamos que 0 es una raíz de P. Supondremos entonces que se tiene el caso no trivial, es decir, que P(0) no es 0. Notar que esto significa que P0 es distinto de 0, puesto que P(0)=P0. Sea Cr al conjunto de números complejos de módulo r, i.e., Cr= { z : |z|=r}. Geométricamente dichos números están ubicados en un círculo de radio r en torno al origen del plano complejo. Por ejemplo, si r=1, entonces Cr es:
  • 14. Solución de Ecuaciones No Lineales Los métodos numéricos de resolución de ecuaciones no lineales suelen ser métodos iterativos que producen una sucesión de valores aproximados de la solución, que se espera, que converja a la raíz de la ecuación. Estos métodos van calculando las sucesivas aproximaciones sobre la base de los anteriores, a partir de una o varias aproximaciones iniciales. El comportamiento de los algoritmos de búsquedade raíces se estudia en análisis numérico. Funcionan mejor cuando se toman en cuenta las características de la función. Para saberque método debemos aplicar, hay que tener en cuenta la capacidad de separar raíces cercanas, confiabilidad en el alcance de soluciones evitando errores numéricos graves y orden de convergencia. Método de la Falsa Posición El método de la falsa posición pretende conjugar la seguridad del método de la bisección con la rapidez del método de la secante. Este método, como en el método de la bisección, parte de dos puntos que rodean a la raíz f(x) = 0, es decir, dos puntos x0 y x1tales que f(x0)f(x1) < 0. La siguiente aproximación, x2, se calcula como la intersección con el eje X de la recta que une ambos puntos. La asignación del nuevo intervalo de búsqueda se realiza como en el método de la bisección: entre ambos intervalos, [x0,x2] y [x2,x1], se toma aquel que cumpla f(x)f(x2) < 0.
  • 15. Método de Newton Este método parte de una aproximación inicial x0 y obtiene una aproximación mejor, x1, dada por la fórmula: La expresiónanterior puede derivarse a partir de un desarrollo en serie de Taylor. Efectivamente, sea r un cero de f y sea x una aproximación a r tal quer=x+h. Si f'' existe y es continua, por el teorema de Taylor tenemos: 0 = f(r) = f(x+h) = f(x) + hf'(x) + O (h2) En donde h=r-x. Si x está próximo a r (es decir h es pequeña), es razonable ignorar el término O (h2): 0 = f(x) + hf'(x) Por lo que obtenemos la siguiente expresión para h: