El documento describe el método de mínimos cuadrados para ajustar una recta de regresión a un conjunto de datos. Explica cómo calcular los parámetros de la recta (pendiente y ordenada al origen) minimizando la suma de los cuadrados de los residuos. También muestra un ejemplo numérico de cómo aplicar el método para predecir los ingresos basados en los gastos de una empresa.

1. Método de Mínimos cuadrados
Suponga que se tiene el siguiente diagrama
Y le solicitan que ajuste una recta que la mayor parte de los datos. Para ello se desarrolla una
ecuación de estimación llamada de Mínimos Cuadrados.
El procedimiento del método de Mínimos Cuadrados es determinar la recta Ŷ= a + bX, donde
Ŷ= es la variable dependiente, o variable a predecir
a= Intercepto con la variable Y
b= Es la pendiente de la recta.
X= Variable independiente, información conocida parapredecir Y
El objetivo del método es determinar los valores de a y b dela ecuación Ŷ= a + bX, para ello se
tiene las siguientes ecuaciones:
y
Ejemplo:
Suponga que un analista de una empresa Z le solicitan encontrar la recta de estimación de
ingresos y gastos, de modo que tiene los siguientes datos:
Ingresos Y 20 25 34 30 40 31
Gastos X 2 3 5 4 11 5
Ingresos Y 20 25 34 30 40 31
Gastos X 2 3 5 4 11 5
En millones de pesos.
Entonces él debe realizar las siguientes operaciones para determinar la recta de estimación que
más se ajuste:
n=6

2. ∑X= 2+3+5+4+11+5= 30
∑Y= 20+25+34+30+40+31= 180
∑XY= (2+20)+ (3*25)+ (5*34)+ (4*30)+ (11*40)+ (5*31)= 1000
∑X2= 22 +32 +52 +42 +112 +52 = 200
(∑X)2 = (30)2 = 900
Remplazamos en las fórmulas a y b y se obtiene los siguientes resultados:
b= [(6) (1000) - (30) (180)]/ [(6) (200)- 900]= 600/300 = 2
Esta estimación quiere decir que por cada millón gastado la empresa recibe 2 miles de ingresos y
a= [180 - (2) (30)]/6 = 120/6 = 20
Que significa que los ingresos mínimos son de 20 millones. La ecuación es entonces:
Ŷ= 20 + 2X
A partir de esta ecuación estimada se puede predecir los ingresos si los gastos son 7 millones, es
decir si X=7 luego:
Ŷ= 20 + 2(7) = 34 millones
La solución de siguiente sistema utilizando la eliminación de Gauss es:
1) x1= 4
2) x2= 4
3) x1= 3
4) x2= 3
1y4
Para las siguientes matrices el producto AB es igual:
(15,12)
Interpolación Cuadrática
Si se dispone de tres puntos la búsqueda de una función se puede llevar a cabo con un polinomio
de segundo orden (llamado también polinomio cuadrático o parábola). Una manera conveniente
para este caso es:
f(x) = b0 + b1 (x – x0) + b2 (x – x0) (x – x1) (1)
Nótese que aunque la ecuación (1) parezca diferente de la ecuación general de un polinomio
lineal, las dos ecuaciones son equivalentes.

3. Esto se puede demostrar si se multiplican en forma distributiva los términos de la ecuación (1) y
obtenemos:
f (x) = b2 x2 + (b1 – b2 x0 – b2 x1) x + (b0 – b1 x0 + b2 x0 x1) (2)
Que si se agrupan los términos se tiene:
f(x) = a2 x2 + a1 x + a0 (3)
En donde:
a2 = b2
a1 = b1 – b2 x0 – b2 x1 (4)
a0 = b0 – b1 x0 + b2 x0 x1
De esta manera, las ecuación (1) es una fórmula alternativa que equivale al polinomio de segundo
grado que une a los tres puntos.
Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes. Para b0, se
usa la ecuación (1) con X = X0, y se obtiene
b0 = f(x0) (5)
Sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (1) y evaluando en X =X1 se obtiene:
(6)
Y por último, las ecuaciones (5) y (6) se sustituyen en la ecuación (1), y se evalúa ésta en X = X2 y se
obtiene:
(7)
Nótese que, al igual que en el caso de interpolación lineal, b1 aún representa la pendiente de la
línea que une los puntos X0 y X1. Por lo tanto, los primeros dos términos de la ecuación (1) son
equivalentes a la interpolación de X0 a X1. El último término, b2(X-X0)(X-X1), introduce la curvatura
de segundo orden en la fórmula.
Ejemplo:
Ajústese el polinomio de segundo orden a los siguientes tres puntos
X0 = 1 f (X0) = 0.0000 000

4. X1 = 4 f (X1) = 1.3862 944
X2 = 6 f (X2) = 1.7917 595
SOLUCIÓN:
b0 = 0
Luego:
Sustituyendo estos valores en la ecuación de interpolación y se obtiene la fórmula cuadrática:
f2 (X) = 0 + 0.4620981 (X - 1) - 0.05187312 (X - 1) (X - 4)
Si se quiere evaluar en X = 2, se obtiene
f2 (2) = 0.5658443
Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar:
Un método directo para obtener la matriz inversa
De las siguientes matrices cuales se pueden invertir:
Las matrices A y C
Teniendo en cuenta el método de Gauss-Seidel para una matriz dada tenemos la siguiente
ecuación:
Si se asume que x2y x3 son iguales a uno el resultado de x1 es aproximadamente igual a:
2,72
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS

5. Dados n+1 datos:
- El polinomio de interpolación de Newton se define de la siguiente manera:
f (x) = b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)(x-x1)+…+bn(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
Donde:
b0=f(x0)
b1=f [x1, x0]
b2=f [x2, x1, x0]
bn = f [xn,…, x0]
Para calcular los coeficientes b0, b1,…, bn, es conveniente construir una tabla de diferencias
divididas como la siguiente:
Obsérvese que los coeficientes del polinomio de interpolación de Newton, se encuentran en la
parte superior de la tabla de diferencias divididas.
Ejemplo 1. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos:
Y utilizar la información de dicha tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton.
Solución.
Procedemos como sigue:

6. Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton es:
f (x) = 4+2(x+2)-0.25(x+2)(x+1)-0.3(x+2)(x+1)(x-2)
Ejemplo 2. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos:
Y usar la información en la tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton.
Solución. Procedemos como sigue:
Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton nos queda:
f (x) = 5+3(x+3) – 1.66667(x+3)(x+2) - 020238(x+3)(x+2)(x)
Teniendo en cuenta el ejemplo 1 de la página anterior, se observa que se encuentra una función
o polinomio, de acuerdo a ello, el coeficiente del X3 de la función encontrada es:
-0.3
El polinomio que se obtiene al usar el método de Diferencias Divididas de Newton con los
siguientes datos:
x 2 3 4
f(x) -4 -1 6

7. Es:
P(x)= -4+3(x-2)+2(x-2) (x-3)
INTERPOLACIÓN
En este capítulo estudiaremos el importantísimo tema de la interpolación de datos. Veremos dos
tipos de interpolación: la interpolación polinomial y la interpolación segmentaria (splines).
Comencemos dando la definición general.
Definición. Dados n+1 puntos que corresponden a los datos:
x x0 x1 … xn
y y0 y1 … yn
Y los cuales se representan gráficamente como puntos en el plano cartesiano,
Si existe una función f(x) definida en el intervalo [x0, xn] (donde suponemos que x0<x1<…<xn, tal que
f(xi)=yi para i = 0,1,2,…n, entonces a f(x) se le llama una función de interpolación de los datos,
cuando es usada para aproximar valores dentro del intervalo [x0, xn], y se le llama función de
extrapolación de los datos, cuando está definida y es usada para aproximar valores fuera del
intervalo.
Evidentemente pueden existir varios tipos de funciones que interpolen los mismos datos; por
ejemplo, funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones polinomiales,
combinaciones de éstas, etc.
El tipo de interpolación que uno elige, depende generalmente de la naturaleza de los datos que se
están manejando, así como de los valores intermedios que se están esperando.

8. Un tipo muy importante es la interpolación por funciones polinomiales. Puesto que
evidentemente pueden existir una infinidad de funciones polinomiales de interpolación para una
misma tabla de datos, se hace una petición extra para que el polinomio de interpolación, sea
único.
Definición. Un polinomio de interpolación es una función polinomial que además de interpolar los
datos, es el de menor grado posible.
Caso n=0
Tenemos los datos:
x x0
y y0
En este caso, tenemos que f(x)=y0 (polinomio constante) es el polinomio de menor grado tal que
f(x0)=y0, por lo tanto, es el polinomio de interpolación.
Caso n=1
Tenemos los datos:
x x0 x1
y y0 y1
En este caso, el polinomio de interpolación es la función lineal que une a los dos puntos dados. Por
lo tanto, tenemos que es el polinomio de interpolación.
La siguiente gráfica representa este caso:
Observación.
Vemos que en el polinomio de interpolación del caso n=1se encuentra como primer término,y0,
que es el polinomio de interpolación del caso n=0.
Continuemos:
Caso n=2
Tenemos los datos:

9. x x0 x1 x2
y y0 y1 y2
Para este caso, el polinomio de interpolación va a ser un polinomio de grado 2. Tomando en
cuenta la observación anterior, intuimos que el polinomio de interpolación será como sigue:
término cuadrático
Por lo tanto, planteamos el polinomio de interpolación como sigue
f (x)= b0+b1(x- x0)+b2(x- x0)(x – x1)
Si asignamos x=x0, se anulan los valores de b1 y b2, quedándonos el resultado:
f (x0)= b0
Como se debe cumplir que f(x0)= b0, entonces:
y0= b0
Si asignamos x=x1, el valor de b2 queda anulado, resultando lo siguiente:
f (x1)= b0+b1(x1 - x0)
Como se debe cumplir que f(x1)= y1 y ya sabemos qué y0= b0, entonces
y1=b0+b1(x1 - x0), de lo cual obtenemos el valor para b1:
Si se tiene datos:
x x0 x1
y y0 y1
En este caso, el polinomio de interpolación es:
Una función lineal o polinomio lineal
La interpolación de un polinomio de grado 2 se debe expresar mediante la expresión:
f (x) = b0+b1(x - x0)+b2(x - x0)(x – x1)