1) El documento describe métodos de aproximación funcional e interpolación numérica para determinar funciones a partir de datos discretos. 2) Explica el método de interpolación lineal y polinomios de grado superior, incluyendo polinomios de Newton y Lagrange. 3) El método de Lagrange determina coeficientes para una combinación lineal de funciones basadas en los puntos de datos, permitiendo aproximar valores intermedios.

1. Métodos Numéricos
APROXIMACIÓN FUNCIONAL E INTERPOLACIÓN
INTRODUCCIÓN
En el campo de la matemática aplicada es de gran importancia la manera como
determinar una función o funciones a partir de un conjunto de datos discretos,
es decir, puntos tabulados; situación que siempre se enfrenta cualquier investigador,
para decir generalmente un Ingeniero siempre tiene al frente esta problemática,
fenómeno que será el objetivo de este capítulo.
Pues es común encontrar datos con valores discretos, sin embargo nosotros
queremos encontrar valores entre estos puntos discretos y esto es lo que lo
llamamos ajuste de curvas y generalmente se usa el procedimiento de mínimos
cuadrados.
Cuando existe un conjunto de datos muy precisos, en este caso se usa lo que se
llama interpolación.
Las funciones de aproximación generalmente es obtenida por combinación lineal de
funciones elementales, que toman la forma de:
1 1 1 1 0 0( ) ( ) ........ ( ) ( ) : 0n n n na g x a g x a g x a g x i n− −+ + + + ≤ ≤
En donde:
ai: Son constantes que deseamos encontrar, i = 1, 2,..., n
gi(x): Son funciones elementales específicas, i = 1, 2,..., n
Ejemplo:
1. gi (x): Puede ser la familia de monomios en { }n
xxxx ,.....,,: 10
luego
tenemos la combinación lineal:
0
0
1
1
2
2
1
1 .............)( xaxaxaxaxaxaxp i
i
n
n
n
n +++++++= −
−
2. La familia de funciones elementales de Fourier, en función de “x”
1, sen x, cos x, sen 2x, cos 2x, sen 3x, cos 3x,..
La combinación lineal que genera aproximaciones de la forma:
∑∑ ==
++
n
i
i
n
i
i xisenbxiaa
11
0 cos
3. La familia de funciones exponenciales en x:
...,,,,1 32 xxx eee
Que proporciona la siguiente combinación lineal
nx
n
ix
i
xxx
eaeaeaeaeaa +++++++ ......3
3
2
210
Observación:
1. De las tres familias observadas podemos decir que la primera es la más utilizada
y la más sencilla en su manejo.
2. ¿Qué buscamos en esta unidad?
Buscamos unan función f(x) a partir de una tabulación funcional f (x):
Punto 0 1 2 ..... n
Variable x0 x1 x2 .... xn
Función f (x0) f (x1) f (x2) ....... f (xn)
Es decir queremos aproximar a f(x) por medio de la familia elemental de monomios
{ }ni
xxxxx ,......,,.....,,, 210
es decir, que se puede realizar por medio de los
siguientes criterios:
• Ajuste exacto
• Mínimos cuadrados
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 1

2. Métodos Numéricos
Ajuste Exacto:
Consiste en determinar una función polinomial que pase por los puntos
proporcionados tubularmente. Esto es:
Mínimos Cuadrados:
Consiste en determinar una función polinomial que pase por los puntos y que cumpla
la condición de minimizar la suma de las desviaciones (di) elevados al cuadrado.
Es decir: ∑=
n
i
id
0
2
= mínimo
Encontrado el polinomio de aproximación podemos utilizarlo para determinar otros
puntos que no están en la tabla, mediante una evaluación, fenómeno que se llama
Interpolación, así mismo se puede derivar o integrar con la finalidad de buscar
alguna otra información adicional de la función tabular.
APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE E INTERPOLACIÓN LINEAL
Podemos decir que la interpolación lineal es el eje para muchos métodos numéricos
y de gran relevancia en la ingeniería, puesto que una gran información se encuentra
en su forma tabular como veremos más adelante y es usado por una diversidad de
métodos numéricos, por ejemplo si integramos este método tendremos el método de
integración trapezoidal.
¿En qué consiste este método?
Supongamos que tenemos los siguientes cuadros:
Puntos 0 1 2 3 4 5 6
f(x) 56 78 113 144 181 205 214
X 1 2 5 10 20 30 40
Puntos 0 1 2 3
f(x) 56 ¿-? 113 181 214
X 1 2 5 20 40
Supongamos por un instante que sólo se dispone del cuadro 2 y que queremos el
valor de la variable “y = f(x)” cuando x tiene un valor de 2 unidades.
Una manera muy común es considerar la ecuación de una línea recta así:
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 2
Cuadro 1
Cuadro 2

3. Métodos Numéricos
xaaxp 10)( += , y sustituirlos valores de los puntos 0 y 1, obteniendo dos ecuaciones
con variables a0 y a1
Punto “0” :(1,56); punto “1”: (5,113); (x, f(x))
10
10
5113
56
aa
aa
+=
+=
⇒−=−⇒ 574 1a
8.412.1456
2.14
4
57
0
1
=−=
==
a
a
Luego la ecuación de la función lineal:
p(x) = 41.8 + 14.2x
Esta ecuación puede ser usado para calcular f (x) cuando x = 2
2.704.288.412)2.14(8.41)2( =+=+=f
Observación:
Si queremos una mejor aproximación para nuestra función deberíamos considerar
otro punto más y tendremos:
2
210)( xaxaaxp ++= ,
Sean los puntos:
0 0 1 2
2 0 1 2
3 0 1 2
(1, 56) 56
(5, 113) 113 5 25
(20, 181) 181 20 400
P a a a
P a a a
P a a a
= ⇒ = + +
= ⇒ = + +
= ⇒ = + +
≈
125399190
572440
56
21
21
210
=++
=++
=++
aa
aa
aaa
≈
125399190
572440
56
21
21
210
=++
=++
=++
aa
aa
aaa
Resolviendo el sistema, tenemos que:
34.7604.24.349.39)2(
51.02.179.39)(
505.0,2.17,9.39
2
210
=++=
++=
−===
p
xxxp
aaa
Gráficamente representa una parábola.
En general tendremos la siguiente aproximación polinomial.
n
n
i
in xaxaxaxaaxp ++++++= ..............)( 2
210
POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON
En esta oportunidad presentaremos los polinomios llamados de Newton como
previos al proceso recursivo, p0; p1; p2;....; pn, en donde cada pk se obtiene
simplemente añadiendo un término a pk-1 , y al final del proceso pn se encuentra
formado por una suma de términos.
,
En otros términos.
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 3

4. Métodos Numéricos
,
Se considera
, siempre que m<0
Los primeros términos de la ecuación son:
,
,
Estos serían los tres primeros polinomios de interpolación de Newton.
Cabe destacar que existe un método muy eficiente para evaluar pk(x) suponiendo
conocidos los coeficientes c0, c1, c2,....ck llamado algoritmo de Horner.
POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE
Comentarios:
El método anterior tiene su punto débil en la aproximación exacta, al realizar la
interpolación, pues se tenía que solucionar un sistema de ecuaciones que su orden
dependía de la exactitud de la aproximación, con la finalidad de salvar estos
inconvenientes, surgen otros métodos de aproximación polinomial, que realicen
cálculos directos sin desarrollar tales sistemas de ecuaciones que envuelven cierta
dificultad en su solución. Entre estos métodos tendremos la aproximación polinomial
de LaGrange.
El método que consiste en:
Primero: Supongamos una función desconocida f (x) dada en forma tabular y se
asume un polinomio de primer grado es decir una línea recta el cual se puede
escribir de la siguiente manera:
1. Supongamos que la ecuación de un recta se escribe así:
)()()( 0110 xxaxxaxP −+−=
En donde:
x0, x1: Son valores de la función en puntos conocidos [x0, f (x0)], [x1, f (x1)]
a0, a1: Coeficientes por determinar, y lo encontramos haciendo las
consideraciones siguientes:
Determinando a0 para ello consideramos
:
10
0
10
0
010000
)()(
)()(
xx
xf
xx
xP
axxaxPxx
−
=
−
=⇒−=⇒=
Determinando a1 para ello hacemos:
01
1
01
1
101111
)()(
)()(
xx
xf
xx
xP
axxaxPxx
−
=
−
=⇒−=⇒=
Luego
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 4

5. Métodos Numéricos
)()()()()(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1100
01
0
1
10
1
0
0
01
1
1
10
0
xfxLxfxLxP
xx
xx
xf
xx
xx
xfxP
xx
xx
xf
xx
xx
xf
xP
+=
−
−
+
−
−
=
−
−
+−
−
=
2. Supongamos un polinomio de segundo grado
))(())(())(()( 1022012102 xxxxaxxxxaxxxxaxP −−+−−+−−=
En donde:
x0, x1, x2 son los valores de los puntos conocidos [x0, f(x0)], [x1, f(x1)], [x2, f(x2)]
Si
))((
)(
))((
)(
2010
0
2010
02
00
xxxx
xf
xxxx
xP
axx
−−
=
−−
=⇒=
Si
))((
)(
))((
)(
2101
1
2101
12
11
xxxx
xf
xxxx
xP
axx
−−
=
−−
=⇒=
Si
))((
)(
))((
)(
1202
2
1202
22
22
xxxx
xf
xxxx
xP
axx
−−
=
−−
=⇒=
Luego:
)()()()()()()( 2211002 xfxLxfxLxfxLxP ++=
En donde:
))((
))((
)(;
))((
))((
)(;
))((
))((
)(
1202
10
2
2101
20
1
2010
21
0
xxxx
xxxx
xL
xxxx
xxxx
xL
xxxx
xxxx
xL
−−
−−
=
−−
−−
=
−−
−−
=
3. Podemos suponer un polinomio de grado n:
)()(......)()(.....)()()()()( 1100 nniin xfxLxfxLxfxLxfxLxP +++++=
En donde:
))....().....()((
)).....().....()((
)(
))....().....()((
)).....().....()((
)(
))....().....()((
)).....().....()((
)(
110
110
112101
20
1
002010
21
0
niiiii
ni
i
ni
ni
ni
ni
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xL
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xL
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xL
−−−−
−−−−
=
−−−−
−−−−
=
−−−−
−−−−
=
+
+

Que en general el polinomio se puede escribir:
∑=
=
n
i
iin xfxLxP
0
)()()( , polinomio LaGrange
En donde:
∏
−
−
=
≠
=
n
ij
j ji
j
i
xx
xx
xL
0 )(
)(
)(
,
La aproximación polinomial de LaGrange, es la combinación lineal de f(xi ) y de los
coeficientes Li(X).
Ejemplo:
Supongamos que tenemos la función tabular
i 0 1 2 3
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 5

6. Métodos Numéricos
F(Xi) -3 0 5 7
Xi 0 1 3 6
a) Determinar la aproximación polinomial de LaGrange usando todos los puntos
b) Determinar el valor aproximado de f (x) para x = 1.8
Solución:
Debemos destacar que la tabla presenta cuatro puntos lo que induce la existencia de
un polinomio de tercer orden
3 0 0 1 1 2 2 3 3
3 0 1 2 3
1 2 3
0
0 1 0 2 0 3
0
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( 3) ( )(0) ( )(5) ( )(7)
( )( )( ) ( 1)( 3)( 6) ( 1)( 3)( 6)
( )
( )( )( ) (0 1)(0 3)(0 6) 18
( )(
( )
P x L x f x L x f x L x f x L x f x
P x L x L x L x L x
x x x x x x x x x x x x
L x
x x x x x x
x x x
L x
= + + +
= − + + +
− − − − − − − − −
= = =
− − − − − − −
−
= 2 3
1 0 1 2 1 3
0 1 3
2
2 0 2 1 2 3
0 1 2
3
2 0
)( ) ( 0)( 3)( 6) ( 3)( 6)
( )( )( ) (1 0)(1 3)(1 6) 10
( )( )( ) ( 0)( 3)( 6) ( 1)( 6)
( )
( )( )( ) (3 0)(3 1)(3 6) 18
( )( )( )
( )
( )(
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
L x
x x x x x x
x x x x x x
L x
x x x
− − − − − − −
= =
− − − − − −
− − − − − − − −
= = =
− − − − − − −
− − −
=
− 3 1 3 2
( 1)( 3) ( 1)( 3)
)( ) 6(6 1)(6 3) 90
x x x x x x
x x x
− − − −
= =
− − − −
Operando tenemos:
3
15
46
3030
23
3 −+−−= x
xx
P
El valor aproximado de la función cuando x = 1.8
2176.23)8.1(
15
46
30
)8.1(
30
)8.1(
)8.1(
23
3 =−+−−=P
DIFERENCIAS DIVIDIDAS
Así como podemos aproximar una función mediante la aproximación polinomial de
LaGrange, también podemos aproximar la derivada y la integral de una función con
diferencias divididas. La derivada y la integral respectivamente el polinomio de
interpolación, que en realidad es el principio básico para la diferenciación e
integración de los métodos numéricos.
Supongamos una función f (x) con derivada en el punto x0 analíticamente está dado
por: )('
)()(
lim
0
0
0
xf
xx
xfxf
xx
=
−
−
→
Pero cuando la función es dada de manera tabular, se tiene.
)(..........)(..........)()()(
....................
....................10
10
10
ni
ni
xfxfxfxfxf
xxxxx
niPunto
La derivada sólo puede obtenerse de manera aproximada, por ejemplo si se desea
calcular la derivada de f(x) en el punto “x” tal que x0 < x < x1
Esto se determina así:
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 6

7. Métodos Numéricos
10
01
01
,
)()(
)(' xxx
xx
xfxf
xf <<
−
−
≈
La expresión de la derecha se llama primera diferencia dividida de f (x) respecto a
los valores de x0 y x1 y se denota generalmente f [x0, x1], esto es,
[ ]
01
01
10
)()(
,
xx
xfxf
xxf
−
−
=
Observación:
1. Se debe destacar que la relación entre la primera diferencia dividida y la primera
derivada está dada por el teorema del valor medio.
),(,)('
)()(
10
01
01
xxccf
xx
xfxf
∈=
−
−
Siempre que f (x) cumpla con las condiciones del teorema del valor medio.
2. Podemos generalizar para un orden más alto en donde el argumento es
[ ]ii xfnix ;0, ≤≤ se llama diferencia dividida, de orden cero:
[ ]
[ ] [ ]
0
11021
10
,.....,,,.....,,
,.....,,
xx
xxxfxxxf
xxxf
i
ii
i
−
−
= −
i.e.; orden cero:
Observación:
 Para formar la expresión se requiere i + 1 puntos.
 El numerador es la recta de dos diferencias de orden i – 1.
 El denominador es la recta de los argumentos no comunes en el numerador.
Ejemplo:
Supongamos que tenemos la siguiente información
0 1 2 3 4 5
2 1 0 2 3 6
( ) 18 5 2 2 7 142
Puntos
x
f x
− −
− − − −
Obtenido del polinomio 22 23
−− xx
La primer diferencia dividida en los puntos (0), (1) y (1), (2)
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 7
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]55
44
33
22
11
00
xfx
xfx
xfx
xfx
xfx
xfx
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
45
45
54
34
34
43
23
23
32
12
12
21
01
01
10
,
,
,
,
,
xx
xfxf
xxf
xx
xfxf
xxf
xx
xfxf
xxf
xx
xfxf
xxf
xx
xfxf
xxf
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
35
4354
543
24
3243
432
13
2123
321
02
1021
210
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
xx
xxfxxf
xxxf
xx
xxfxxf
xxxf
xx
xxfxxf
xxxf
xx
xxfxxf
xxxf
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
25
432543
5432
14
321432
4321
03
210321
3210
,,,,
,,,
,,,,
,,,
,,,,
,,,
xx
xxxfxxxf
xxxxf
xx
xxxfxxxf
xxxxf
xx
xxxfxxxf
xxxxf
−
−
=
−
−
=
−
−
=
Tercero
Segundo
Primero

8. Métodos Numéricos
[ ] 13
)2(1
)18(5)()(
,
01
01
10 =
−−−
−−−
=
−
−
=
xx
xfxf
xxf
[ ] 3
)1(0
)5(2)()(
,
12
12
21 =
−−
−−−
=
−
−
=
xx
xfxf
xxf
La segunda diferencia dividida para (0), (1) y (2)
[ ]
[ ] [ ]
5
)2(0
)13(3,,`
,,
02
1021
210 −=
−−
−
=
−
−
=
xx
xxfxxf
xxxf
De esta manera construimos la tabla de diferencias divididas
Puntos X f(x) 1º orden 2º orden 3º 0rden 4º orden
0 -2 -18
13
1 -1 -5 -5
3 1
2 0 -2 -1 0
0 1
3 2 -2 3 0
9 1
4 2 7 9
45
5 6 142
Observemos que:
Todas las diferencias divididas de tercer orden tienen el mismo valor
independiente del valor de las x que se usen para calcularse.
Las diferencias de cuarto orden todos tienen el valor de cero, lo que tiene afinidad
con el criterio que la derivada de tercer orden es una constante y la de cuarto orden
es cero, para cualquier valor de x.
El razonamiento anterior nos induce a decir que si al construir una tabla de
diferencias divididas en alguna columna el valor es constante y la siguiente
columna es cero la información proviene de un polinomio de grado igual al
orden de las diferencias que tengan valores constantes.
El razonamiento anterior nos induce afirmar que nuestro polinomio es de grado 3
es decir mi polinomio será:
[ ] ( ) [ ] [ ] [ ] ...))((,,)(,,...,,)( 102100100
1
00
10 +−−+−+=∏ −∑=
−
==
xxxxxxxfxxxxfxfxxxxxfxp
k
j
j
n
k
k
En nuestro ejemplo se tiene:
[ ] [ ] [ ] [ ] ))()((,,,))((,,)(,)( 2103210102100100 xxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxp −−−+−−+−+=
)0)(1)(2(1)1)(2(5)2(1318)( −+++++−++−= xxxxxxxp
22)( 23 −−= xxxp
APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON
Supongamos que tenemos una función tabular y que queremos aproximar mediante
un polinomio de primer grado:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ni
ni
xfxfxfxfxfxf
xxxxxx
niPuntos



210
210
)(
210
1. Aproximación por un Polinomio de Primer Grado
)()( 0101 xxaaxP −+=
En donde:
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 8

9. Métodos Numéricos
x0 : Es la abscisa del punto “0”
a0, a1 : Constantes por determinar
Si:
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
01
01
10
0
01
11
000000
)(
)(
)(
xx
xfxf
axx
xx
xfxP
axx
xfaxfxPaxx
−
−
=−
−
−
=⇒=
===⇒=
∴
∴
Consecuentemente tendremos: [ ]101 , xxfa =
[ ]
[ ] [ ]
)()( 0
0
01
01 xx
xx
xfxf
xfxP −
−
−
+= Pero: [ ]101 , xxfa =
Luego:
[ ] [ ]10001 ,)()( xxfxxxfxP −+=
Es un polinomio de primer grado en términos de diferencias derivadas
2. Aproximación por un Polinomio de Segundo Grado
)()()()( 1020102 xxxxaxxaaxP −−+−+=
En donde:
x0, x1 : Son las abscisas de los puntos “0” y “1”
a0, a1, a2 : Constantes que debemos encontrar
Si:
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]210
011202
12010102
2
02
01
01
12
02
2
1202
02
01
01
02
2
1202
021022
22
101
01
01
1
01
012
11
00200
,,
))()((
)()()()(
)(
)(
)(
)(
)(
))((
)(
)(
))((
)()(
,
)(
)(
xxxf
xxxxxx
xxxfxfxxxfxf
a
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
a
xxxx
xx
xx
xfxf
xfxf
a
xxxx
xxaaxP
axx
xxfa
xx
xfxf
a
xx
axP
axx
xfaxPaxx
=
−−−
−−−−−
=⇒
−
−
−
−
−
−
=⇒
−−
−
−
−
−−
=⇒
−−
−−−
=⇒=
=
−
−
=⇒
−
−
=⇒=
=⇒=⇒=
∴
Luego tenemos:
[ ] [ ] [ ]21010110002 ,,)()(,)()( xxxfxxxxxxfxxxfxP −−+−+=
3. GENERALIZACIÓN
)(...)()(...)()()()( 110102010 −−−−++−−+−+= nnn xxxxxxaxxxxaxxaaxP
En donde:
nxxx ,...,, 10 : Son las abscisas de los puntos 0, 1, 2, …, n
naaa ...,,, 10 : Son coeficientes por determinar y están dados por:
[ ] [ ] [ ] [ ]nn xxxfaxxxfaxxfaxfa ,....,,;....;,,;,; 10210210100 ====
Esto es tendremos la siguiente aproximación polinomial
[ ] [ ] [ ]
[ ]nn
n
xxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxP
,...,,))...()((
...,,))((,)()(
1010
210101000
−−−+
+−−+−+=
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 9

10. Métodos Numéricos
( )i
j
i
n
j
jn xxaxP −∑=
−
==
π
1
00
)( Polinomio de aproximación de Newton
Ejemplo:
Determinar la aproximación polinomial de Newton para la información tabular e
interpolar para x = 2
DIFERENCIAS DIVIDIDAS
Diferencias divididas
Puntos X f[x] 1º dividida 2º dividida 3º dividida
0 1 56
14.2
1 5 113 -0.51
4.5 0.019
2 20 181 0.081
1.68
3 40 214
Observación:
• [ ] [ ]( )1 0 1 0 0 0 1 0( ) ( ) ,P x a a x x f x f x x x x= + − = + −
( )1 56 14.2( 1)P x x= + −
( ) ( )1 2 56 14.2 2 1 70.2P = + − =
[ ]
[ ] [ ]
2.14
4
57
15
56113
,
01
01
10 ==
−
−
=
−
−
=
xx
xfxf
xxf
•
[ ] [ ]( )
[ ]( )( )10210
01001020102
,,
,))(()()(
xxxxxxxf
xxxxfxfxxxxaxxaaxP
−−+
−+=−−+−+=
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 0 1
0 1 2
2 0
2 1
1 2
2 1
2
2
, , 4.5 14.2 9.7
, , 0.51
20 1 19
181 113 68
, 4.5
15 15
56 14.2 1 0.51 1 5
2 56 14.2 2 6 0.51 2 1 2 5 70.2 1.53 71.7
f x x f x x
f x x x
x x
f x f x
f x x
x x
P x x x x
P
− − −
= = = = −
− −
− −
= = = =
−
= + − − − −
= + − − − − = + =
 ( ) ( )( ) ( )( )( )31031020103 )( xxxxxxaxxxxaxxaaxP −−−+−−+−+=
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 10

11. Métodos Numéricos
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
0 0 1 1 0 1 2 0 1 2
1 2 3 0 1 2
3 0 1 2 3
3 0
56; , 14.2; , , 0.51;
, , , , 0.081 0.51 0.429
, , , 0.011
40 1 39
a f x a f x x a f x x x
f x x x f x x x
a f x x x x
x x
= = = = = = −
− − +
= = = = =
− −
Pero:
[ ]
[ ] [ ]2 3 1 2
1 2 3
3 1
3
, , 1.68 4.5
, , 0.081
40 5
( ) 56 14.2( 1) 0.51( 1)( 5) 0.019( 1)( 5)( 20)
f x x f x x
f x x x
x x
P x x x x x x x
− −
= = = −
− −
= + − − − − + − − −
Si: x = 2
67.72969.07.71
)202)(52)(12(019.0)52)(12(51.0)12(2.1456)2()2( 3
=+=
−−−+−−−−+==Pf
Ejemplo 1. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos:
Y utilizar la información de dicha tabla, para construir el polinomio de interpolación
de Newton.
Solución.
Procedemos como sigue:
Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton es:
Ejemplo 2. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos:
Y usar la información en la tabla, para construir el polinomio de interpolación de
Newton.
Solución: Procedemos como sigue:
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 11

12. Métodos Numéricos
Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton nos queda:
POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS:
HACIA DELANTE – HACIA ATRÁS
Supongamos que la distancia entre dos argumentos (abscisas) consecutivas
cualquiera es igual, en toda la función tabular y sea “h”.
El polinomio de aproximación de Newton se puede escribir de manera más simple,
para nuestro propósito, consideremos otro punto S; definido por:
shxx += 0 x: Es el valor que se quiere interpolar
Pero:
niihxxhxxhxxhxx i ,....,2,1...,,3,2, 0030201 =+=+=+=+=
Que ocurre si restamos xi en ambos miembros
)(;....);3();2();1(
,...,2,1;
)(
321
00
0
nshxxshxxshxxshxx
niPara
ishxx
ihxshx
xishxxx
n
i
i
−=−−=−−=−−=−
=
−=−
−−+=
−+=−
Si consideramos el desarrollo general del polinomio de Newton, i.e.:
))...()((...))(()()( 110102010 −−−−++−−+−+= nnn xxxxxxaxxxxaxxaaxP
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] ))1()...(1(,...,,..)2)(1(,...,,...
)2)(1(,,,)1(,,,)(
10
3
10
3
3210
2
2101000
−−−++−−++
−−+−++=+
nssshxxxfssshxxxf
ssshxxxxfsshxxxfhsxxfxfshxP
n
nn
n
ó:
∑ ∏ −=
=
−
=
n
k
k
i
k
kn ishaxP
0
1
0
)()(
Observemos que la última relación de aproximación se puede simplificar si hacemos
ingresar los operadores lineales y, conocidos como:
: Operador lineal en diferencias hacia delante
: Operador lineal en diferencias hacia atrás
En donde:
Primera Diferencia )(xf∆
)()()( xfhxfxf −+=∆
La segunda diferencia: )(2
xf∆
)()(2)2(
)()()()(
)()())()(()())(( 2
xfhxfhxf
xfhxfhxfhhxf
xfhxfxfhxfxfxf
++−+=
++−+−++=
∆−+∆=−+∆=∆=∆∆
La tercera diferencia: )(3 xf∆
)()(3)2(3)3(
)()())()((2)2()2(
)()(2)2())()(2)2(())(( 2
xfhxfhxfhxf
xfhxfhxfhhxfhxfhhxf
xfhxfhxfxfhxfhxfxf
−+++−+=
−+++−++−+−++=
∆++∆−+∆=++−+∆=∆∆
En general:
))(()( 1
xfxf ii −
∆∆=∆
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 12
1

13. Métodos Numéricos
De manera análoga para el operador lineal de diferencia hacia atrás
Primera Diferencia: )(xf∇
)()()( hxfxfxf −−=∇
Segunda Diferencia: )(2
xf∇
)2()(2)(
)2()()()(
)()())()(())((
hxfhxfxf
hxfhxfhxfxf
hxfxfhxfxfxf
−+−−=
−+−−−−=
−∇−∇=−−∇=∇∇
En general:
)(()( 1
xfxf ii −
∇∇=∇
Que ocurre si aplicamos ∆ al primer valor funcional f [x0] de una tabla
proporcionada.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
3
0
3
3
0123
3210
2
0
2
2
012
210
010100
1001
01
01
000
!332
)(33
,,,
22
2
,,
)(
1
,,)(:
,
h
xf
h
xfxfxfxf
xxxxf
para
h
xf
h
xfxfxf
xxxf
Para
xf
h
xxfxxfhxfie
xxfhxx
xx
xfxf
xfhxfxf
∆
=
×
++−
=
∆
=
+−
=
∆=⇒=∆
=−





−
−
=−+=∆
En general:
[ ] n
n
n
hn
xf
xxxf
!
)(
,...,, 0
10
∆
=
De manera análoga para el operador de diferencias hacia atrás
[ ] n
n
n
nn
hn
xf
xxxxf
!
)(
,,...,, 011
∇
=−
Consecuentemente al sustituir [ ] nixxxf n ,...,2,1,0,,...,, 10 = en
[ ] [ ] [ ] )(
!
))1()...(2)(1(
...
!2
)1(
)( 00
2
000 xf
n
nssss
xf
ss
xfsxfshxP n
n ∆
−−−−
+++∆
−
+∆+=+
Es conocido como el polinomio de Newton en diferencia finita hacia delante.
Ejemplo: Supongamos que tienen las siguientes tabulaciones:
0 1 2 3 4 5
50 60 70 80 90 100
( ) 24.94 30.11 36.05 42.84 50.57 59.30
Puntos
x
f x
Aproximar la función tabulada usando el polinomio de Newton en diferencias finitas
hacia delante e interpole para 64
Solución
 En este conjunto de datos tenemos que h = 10, el valor por interpolares 64
 El valor de 4.14.1
10
50640
=⇒=
−
=
−
= S
h
xx
s
PARA UN POLINOMIO DE PRIMER ORDEN
Para n = 1
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 13
1

14. Métodos Numéricos
[ ] [ ]
17.32)17.5(4.194.24
)( 001
=+=
∆+= xfsxfxP
;
en donde
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] 17.594.2411.300
01000
=−=∆
−=−+=∆
xf
xfxfxfhxfxf
 Es preciso destacar que en realidad se está extrapolando, pues el valor de x
queda fuera del intervalo de los puntos que se usan para formar el polinomio de
aproximación.
 Debemos observar que el polinomio de aproximación descrita en fue
estructurado considerando x0 como pivote y luego si queremos aplicar para los
puntos (1) y (2) debemos modificar así:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]11
2
11
!
))1()...(1(
...
!2
)1(
)( xf
n
nsss
xf
ss
xfsxfshxfxP n
in ∆
−−−
++∆
−
+∆+=+=
[ ] [ ]11)( xfsxfxP ∆+= en donde:
4.0
10
60641
=
−
=
−
=
h
xx
s
Luego tenemos:
49.32)94.5(4.011.30)64( =+=f
 Debemos resaltar que si deseamos aproximar con un polinomio de segundo
grado se requieren tres puntos, tendríamos dos alternativas, tomar como puntos
(0), (1) y (2) ó (1), (2) y (3), en este caso tomaría la primera serie por que el valor
a interpolar está más al centro, luego tendríamos:
[ ] [ ] [ ]
385.3277.0
!2
)14.1(4.1
)17.5(4.194.24)64(
4.1;
!2
)1(
)(
2
0
2
002
=
−
++=
=∆
−
+∆+=
P
sxf
ss
xfsxfxP
ESTRUCTURA DEL POLINOMIO DE NEWTON EN DIFERENCIAS DIVIDIDAS
HACIA ATRÁS DE GRADO n EN xn
Supongamos n = 2 y asumamos que el polinomio sea de 2º grado:
)()()()( 12102 −−−+−+= nnn xxxxaxxaaxP
En donde:
1; −nn xx : Son abscisas de los puntos “n” y “n – 1"
210 , aaya : Son las constantes por determinar
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 14
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] 03.0
01.0
06.0
09.0
08.0
1
94.0
85.0
77.0
73.8
73.7
79.5
94.5
17.5
30.591005
57.50904
84.42803
05.36702
11.30601
94.24500
1
4
0
4
2
3
1
3
0
3
3
2
2
2
1
2
0
2
4
3
2
1
0
432
−=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
∆∆∆∆
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xfxfxfxfxfxPunto iiiiii
2
1
1

15. Métodos Numéricos
Si:
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]212
122
12
22
1
1
1
1
1
012
11
020
,,
)()(
,
,
)(
−−
−−−
−−
−
−
−
−
−
−
−
=⇒
−−
−−
=⇒=
=
−
−
=⇒
−
−
=⇒=
=⇒=⇒=
nnn
nnnn
nnnn
n
nn
nn
nn
nn
n
n
nnn
xxxfa
xxxx
xxfxfxf
axx
xxf
xx
xfxf
a
xx
axP
axx
xfaxPaxx
Luego tendremos que:
[ ] [ ] [ ] ))((,,)(,)( 12112 −−−− −−+−+= nnnnnnnnn xxxxxxxfxxxxfxfxP
Generalizar
))...()((...)()()()( 111210 xxxxxxaxxxxaxxaaxP nnnnnnn −−−++−−+−+= −−
En donde:
[ ] [ ] [ ] [ ]011212110 ,,...,,;...;,,;,; xxxxfaxxxfaxxfaxfa nnnnnnnnn −−−− ====
Considerando la diferencia de las abscisas consecutivas igual a h e introducimos
una variable paramétrica “s” definida como:
h
xx
s n−
= ; x: el valor a interpolar
)(
)2(2
)1(
00
22
11
nshnhshshxxxx
shshhshxxxx
shshhshxxxx
shxx
n
nnn
nnn
n
+==+−=−
+=+=+−=−
+=+=+−=−
=−
−−
−−

Luego tenemos:
[ ] [ ] [ ] [ ]n
n
nnnnn xf
n
nssss
xf
ss
xfxfshxP ∇
−+++
++∇
+
+∇+=+
!
))1()...(2()1(
...
!2
)1(
3)( 2
Ecuación de Newton en diferencias hacia atrás
Ejemplo:
En el ejemplo anterior realice la interpolación para x = 98 usando el polinomio de
Newton
 Si usamos un polinomio de primer grado tenemos
[ ] [ ]
55.57)73.8(2.030.59)98(
2.0
10
10098
10
;)(
1
551
=−=
−=
−
=
−
=∇+=
p
xx
sxfsxfxP n
 Si usamos un polinomio de segundo grado tenemos
[ ] [ ] [ ]
63.57)1(
!2
)12.0(2.0
)73.8(2.3.59
!2
)1(
)98( 5
2
552
=
+−−
+−=
∇
+
+∇+= xf
ss
xfsxfP
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 15

16. Métodos Numéricos
APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
En los ítems anteriores para interpolar entre n+1 puntos se usaron polinomios de
grado n, para decir para un conjunto de 8 puntos se puede obtener un polinomio de
grado 7, parecerá que se llevaba todo correctamente pero sin embargo se tenían
resultados erróneos como errores de redondeo y los puntos lejanos.
Una alternativa para mitigar estos errores fue pensar considerar polinomios de
grado inferior en subconjunto de datos y a tales polinomios se llamaran funciones
segmentarias.
Por ejemplo, las curvas de tercer grado usadas para unir cada par de puntos se
llaman segmentarias cubicas. Tales funciones d se pueden construir de tal manera
que las conexiones entre las ecuaciones cubicas adyacentes sean suaves,
pareciera que las aproximaciones de tercer grado de las segmentarias serian
inferior a la aproximación de séptimo grado. Veamos algunos gráficos que ilustran
mejor la idea.
Caso (a) Caso (b)
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 16
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] 03.0
01.0
06.0
09.0
08.0
1
94.0
85.0
77.0
73.8
73.7
79.5
94.5
17.5
30.591005
57.50904
84.42803
05.36702
11.30601
94.24500
1
4
0
4
2
3
1
3
0
3
3
2
2
2
1
2
0
2
4
3
2
1
0
432
−=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
=∆
∆∆∆∆
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xfxfxfxfxfxPunto iiiiii
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)

17. Métodos Numéricos
Caso ( c ) Caso (d)
En definitiva las figuras plasman mejor la idea de la aproximación segmentaria, las
figuras de a hasta c representan las oscilaciones de una función suave .Debemos
destacar que esta aproximación también se le llama aproximación spline, en inglés
para dibujar curvas suaves a través de un conjunto de puntos.
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA LINEAL
La unión más simple entre dos puntos es una recta, las segmentarias de primer
grado para un grupo de datos ordenados se define como un conjunto de funciones
lineales.
,
,
:
,
De donde la pendiente mi de la línea recta que une los puntos.
,
Esta relación se usa para evaluar la función de cualquier punto entre x0 y x1,
Ejemplo: Dado el siguiente conjunto de datos,
x 3 4.5 7 9
f(x) 2. 1 2.5 0.5
Ajuste con segmentaras de primer orden y evalué la función en x = 5
Solución
Primero. Usar los datos para determinar las pendientes entre los puntos
Para decir en el intervalo [4.5 ,7] la pendiente calculamos usando el modelo
planteado.
,
,
,
El valor en x = 5 es 1.3 .
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 17
x
f(x)
Segmentaria de primer orden
x
f(x)
Segmentaria de Segundo orden

18. Métodos Numéricos
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA CUADRÁTICA
En esta oportunidad el objetivo de las segmentarias cuadrática es obtener un
polinomio de segundo grado para cada intervalo en el conjunto de datos, en
General el polinomio en cada intervalo se representa así,
,
En donde a, b y c son tres constantes desconocidas y se requieren tres ecuaciones,
en el caso que se tengan n+1 datos existen n intervalos y por cada intervalo se
requieren tres ecuaciones es decir 3n, se deben tener en consideración los
siguientes criterios.
1. Los valores de la función de polinomios adyacentes deben de ser guales en los
nodos interiores esta condición lo representamos de la siguiente manera.
,
,,
Para i = 2 a n como solo se emplean dos nodos interiores cada ecuación
proporciona n-1 condiciones en total 2n-2 .
2. La primera y la última función deben de pasar a través de los puntos extremos
esto agrega dos ecuaciones más,
,
,
3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben de ser iguales es decir,
,
En consecuencia en general tenemos,
, para i = 2 a n, esto proporciona otras n-1
condiciones.
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 18
x
f(x)
Segmentaria de Tercer orden
Interpolacion cubica

19. Métodos Numéricos
4. Suponga que en el primer punto de la derivada es cero, esta condición se
representa así,
a1 = 0. Esto quiere decir que los dos primeros puntos se unirán con una línea
recta.
Ejemplo: Considerando el conjunto de datos
x 3 4.5 7 9
f(x) 2. 1 2.5 0.5
Ajuste usando segmentarias de segundo grado y estime el valor de x = 5
Solución:
En este problema tenemos cuatro datos y n = 3 intervalos por lo tanto 3(3) = 9
incógnitas que deben de determinarse, consideran las dos condiciones del primer
criterio es decir 2(3) - 2 = 4 condiciones
,
,
,
,
Evaluando las dos condiciones del segundo criterio se tienen 2 ecuaciones
,
,
A seguir consideramos la continuidad de las derivadas la cual crea 3-1=2 ecuaciones
esto del tercer criterio.
,
,
Por ultimo consideramos el cuarto criterio que determina que a1x= 0, como esta
relación nos dice de manera exacta que a1 tiene como valor cero entonces se
reduce a determinar ocho ecuaciones simultaneas.
,
Este sistema se puede resolver usando cualquier técnica analizado y tenemos:
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 19

20. Métodos Numéricos
a1 = 0 b1 = -1 c1 = 5.5
a2 = 0.64 b2 = -6.76 c2 = 18.465
a3 = -1.6 b3 = 24.6 c3 = -91.3
Consecuentemente tenemos las siguientes relaciones para cada intervalo.
,
,
,
Como x = 5 usamos f2 para determinar su aproximación
,
INTERPOLACIÓN POR SEGMENTARÍAS CUBICAS
En esta oportunidad tenemos como objetivo de encontrar un polinomio de
interpolación de tercer grado para cada intervalo entre los nodos.
,
Para n+1 datos existen n intervalos en consecuencia 4n incógnitas que debemos
evaluar requiriéndose 4n condiciones para evaluar. Las cuales se obtienen de las
siguientes consideraciones:
1. Los valores de la función deben de ser iguales en los nodos interiores (2n-2
condiciones)
2. La primera y la última función deben pasar a través de los puntos extremos (2
condiciones)
3. Las primeras derivadas en los puntos interiores deben de ser guales (n-1
condiciones)
4. Las segundas derivadas en los nodos interiores deben de ser iguales (n-1
condiciones)
5. Las segundas derivadas en los nodos extremos son ceros (2 condiciones )
esta condición dice que la función en los extremos se vuelve en una línea
recta, lo que induce a que se le llame segmentara natural o lineal.
Las cinco condiciones anteriores permiten obtener 4n ecuaciones requeridas para
obtener los 4n coeficientes.
Para determinar las ecuaciones de la segmentaria cubica tenemos la siguiente
relación válida para cada intervalo.
, &
Esta ecuación solo contiene dos incógnitas las segundas derivadas en los extremos
de cada intervalo.
Las incógnitas se evalúan usando la siguiente relación.
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 20

21. Métodos Numéricos
, @
Si escribimos esta relación para todos los nodos interiores resultan n-1 ecuaciones
simultáneas con n-1 incógnitas. No debemos olvidar que las segundas derivadas en
los puntos extremos son ceros.
Ejemplo: Considerando el conjunto de datos
x 3 4.5 7 9
f(x) 2. 1 2.5 0.5
Ajuste usando segmentarias de tercer grado y estime el valor de x=5
Solución
Primero: Usaremos la última relación llamado @ con la finalidad de obtener un
conjunto de ecuaciones para las segundas derivadas en los nodos.
X0 = 3 , f(x0) = 2.5, x1 = 4.5 , f(x1) = 1 x2 = 7 , f(x2) = 2.5 valores que serán sustituidas
en l relación @
,
pero como por ser segmentaria natural
,
De manera análoga se aplica al segundo punto interior y obtenemos
,
Estas dos ecuaciones se resuelven simultáneamente y tenemos
,
,
Valores que serán sustituidos en & junto con los valores de las x y las f(x),
,
0
,
Esta ecuación es la segmentaria cubica para el primer intervalo de igual manera se
obtienen para el segundo y tercer intervalo.
,
Y
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 21

22. Métodos Numéricos
,,
Las tres ecuaciones se pueden usar para calcular valores dentro de cada intervalo.
Por ejemplo x = 5 se encuentra dentro del segundo intervalo se calcula como sigue
EJERCICIOS Y APLICACIONES SOBRE INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN
FUNCIONAL
I. Determine el polinomio que interpolan los siguientes conjuntos de datos: Primer
grado, segundo grado, tercer grado, y cuarto grado.
a)
I 0 1 2 3 4
f(xi) 40 45 50 55 60
xi 2 3 5 6 8
b)
I 0 1 2 3 4
f(xi) 10 15 20 25 30
xi 0 1 2 3 4
c)
I 0 1 2 3 4
f(xi) 140 245 450 655 960
xi 1 5 10 15 20
d)
I 0 1 2 3 4
f(xi) 1 -3 2 4 10
xi 3 1 2 6 9
e)
I 0 1
f(xi) 3 7
xi 5 -1
f)
I 0 1 2
f(xi) 146 2 1
xi 7 1 2
g)
I 0 1 2 3
f(xi) 10 146 2 1
xi 3 7 1 1
h)
I 0 1 2 3
f(xi) 12 20 50 55
xi 3 7 1 2
NOTA: CUANDO SEA NECESARIO, REDONDEA A CINCO DECIMALES.
I.1. Calcula el polinomio de interpolación de Newton para los siguientes datos:
i)
ii)
Soluciones:
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 22

23. Métodos Numéricos
2. Calcula el polinomio de Lagrange para los siguientes datos:
i)
ii)
Soluciones:
II Encuentre un polinomio de Interpolación de Lagrange, Diferencias Divididas y
Newton
a)
I 0 1 2 3
f(xi) 3 2 -4 5
xi 1 2 0 3
b)
I 0 1 2
f(xi) 11 7 28
xi 2 0 3
c)
I 0 1 2
f(xi) 1 -1 0
xi 0 1 -2
d)
I 0 1 2
f(xi) 10 5 20
xi 2 1 2
III Determinar la interpolación en los puntos dados usando los dos polinomios :
a) Para el caso (a) X= -1; X =1.5; X = 2.01: X= 0.5; X= 4
b) Para el caso (b) X= -1; X =1.5; X = 2.01: X= 0.5; X= 4
c) Para el caso (c) X= -1; X =1.5; X = 2.01: X= 0.5; X= 3
IV: Solucionar las siguientes problemáticas
1.- Se conoce que la densidad del carbonato neutro de potasio en solución acuosa
varia en temperatura y en su concentración de acuerdo a la siguiente investigación:
T(ºC)
c(%)
0 40 80 100
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 23

24. Métodos Numéricos
4 1.0381 1.0276 1.0063 0.9931
12 1.1160 1.1013 1.0786 1.0663
20 1.1977 1.1801 1.1570 1.1451
28 1.2846 1.2652 1.2418 1.2301
a) Calcular la densidad a 40ºC y 15% de concentración
b) Calcular la densidad a 50º Cy 28% de concentración
c) Calcular la concentración que tiene una solución de densidad 1.129 a una
temperatura 60ºC
2.- Supongamos que se tiene un conjunto de datos, donde e representa los voltios y
p los kilowatios en una curva de pérdida en el núcleo para un motor eléctrico:
a) Construir una tabla de diferencias divididas
b) Usando el polinomio de Newton de segundo grado aproxime el valor
correspondiente a e = 90 voltios
I 0 1 2 3 4 5 6
E 40 60 80 100 120 140 160
P 0.63 1.36 2.18 3.00 3.93 6.22 8.59
3.- Se tiene los siguientes datos tabulados:
Puntos 0 1 2 3
a = l/r 140 180 220 240
y = p/a 12,800 7,500 5,000 3,800
Donde y = p/a es la carga en lb/pul2
que causa la ruptura de una columna de hierro
dulce con extremos redondeados y a es la razón de la longitud de la columna al
mínimo radio de giro en su sección transversal a = l/r
Determinar el polinomio de tercer grado que pasa por estos puntos en sus distintas
formas
a) 3
3
2
2103 )( xaxaxaaxp +++= Aproximación polinomial simple
b) Formula de Lagrange
c) Aproximación de Newton y Diferencias Divididas.
Aproximación e Interpolación Funcional Numérica 24