Este documento describe diferentes métodos de interpolación polinomial para estimar valores intermedios entre valores conocidos, incluyendo interpolación lineal, cuadrática y polinomios de interpolación de Newton usando diferencias divididas finitas. Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cada método.

1. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN
CON
DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE
NEWTON

2. INTRODUCCIÓN
Con frecuencia se tienen que estimar valores intermedios entre
valores conocidos. El método mas común empleado para este
propósito es la interpolación polinomial.
Recuerdese que la fórmula general de un polinomio de n-ésimo orden
es:
(1)

3. INTERPOLACIÓN LINEAL
La fórmula más simple de interpolación es la de conectar dos puntos con una linea
recta. Este método, llamado Interpolación Lineal, se muestra en la figura 1.
Fig. 1

4. Usando triángulos semejantes, se tiene:
Que se puede reordenar como:
La cuál es la fórmula de interpolación lineal. La notación f1(X) indica
que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden. Nótese
que además de representar la pendiente de la línea que conecta los dos
puntos, el término [ f(X1) - f(X2) ] / (X1 - X2) es una aproximación de
diferencias divididas finitas a la primera derivada. En general, entre mas
pequeño sea el intervalo entre los puntos, más exacta será la
aproximación.
(2)
(3)

5. EJEMPLO 1
Calcúlese el logaritmo natural de 2 (ln 2) usando interpolación
lineal.
Primero, llévese a cabo los cálculos interpolando entre ln 1 = 0 y ln
6 = 1.7917595.
Después repítase el procedimiento, pero usando un intervalo más
pequeño desde ln 1 a ln 4 = 1.3862944.
Nótese que el valor real de ln 2 = 0. 69314718

6. SOLUCIÓN:
Evaluando la fórmula de interpolación lineal (3) de X = 1 a X = 6 da:
La cual representa un error porcentual de e% = 48.3 %. Usando el
intervalo más pequeño desde X = 1 a X = 4 da:
Por lo contrario, usando el intervalo más pequeño reduce el error
relativo porcentual a e% = 33.3%.

7. INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
El error en el ejemplo 3.1 se debe a que se aproxima a una curva mediante una línea
recta. Por consiguiente, una estrategia que mejora la aproximación es la de introducir
cierta curvatura en la línea que conecta a los puntos. Si se dispone de tres puntos lo
anterior se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado también
polinomio cuadrático o parábola). Una manera conveniente para este caso es:
(4)
Nótese que aunque la ecuación (4) parezca diferente de la ecuación general de un
polinomio (1), las dos ecuaciones son equivalentes.
Esto se puede demostrar si se multiplican los términos de la ecuación (4) y obtener:
(5)

8. o, agrupar términos:
(6)
en donde:
(7)
De esta manera, las ecuaciones (1) y (4) son fórmulas alternativas
equivalentes del único polinomio de segundo grado que une a los tres
puntos.
Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de
los coeficientes. Para b0, se usa la ecuación (4) con X = X0, y se obtiene
b0 = f(X0) (8)

9. sustituyendo la ecuación (8) en la ecuación (4) y evaluando en X = X1
se obtiene:
(9)
Y por último, las ecuaciones (8) y (9) se sustituyen en la ecuación (4),
y se evalua ésta en X = X2 y se obtiene:
(10)

10. Ejemplo 2
Ajústese el polinomio de segundo orden a los tres puntos usados en el
ejemplo 1
X0 = 1 f (X0) = 0.0000 000
X1 = 4 f (X1) = 1.3862 944
X2 = 6 f (X2) = 1.7917 595
Úsese el polinomio para evaluar ln 2

11. SOLUCIÓN:
Aplicando la ecuación (8) da:
b0 = 0
la ecuación (9) genera:
Y la ecuación (10) da:

12. Sustituyendo estos valores en la ecuación (4) se obtiene la fórmula
cuadrática:
f 2 ( X ) = 0 + 0.4620981 (X - 1) - 0.05187312 (X - 1) (X - 4)
que se evalúa en X = 2 y se obtiene
f 2 ( 2 ) = 0.5658443
Lo que representa un error porcentual del e% = 18.4%. Por lo tanto,
mejora la interpolación comparada con los resultados obtenidos al
usar una línea recta (ejemplo 1).

13. INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE LAS DIFERENCIAS
FINITAS DE NEWTON
El análisis anterior se puede generalizar en el ajuste de un polinomio de n-ésimo
orden a los n+1 puntos. El polinomio de n-ésimo orden es:
(11)
Como se hizo anteriormente con las interpolaciones lineales y cuadráticas, se usan
los puntos en la evaluación de los coeficientes b0, b1, ... , bn.
Se requieren n + 1 puntos para obtener un polinomio de n-ésimo orden: X0,
X1, ... , Xn.
Usando estos datos, con las ecuaciones siguientes se evalúan los coeficientes:

14. b0 = f (X0)
b1 = f [X1, X0]
b2 = f [X2, X1, X0]
...
bn = f [X n, Xn-1, ..., X1, X0]
(12)
En donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias divididas
finitas.
Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita se representa generalmente como:
(13)

15. La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de dos primeras
diferencias divididas finitas, se expresa generalmente como:
(14)
De manera similar, la n-ésima diferencia dividida finita es:
(15)
Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes de la ecuación (12), los cuales se
sustituyen en la ecuación (11), para obtener el polinomio de interpolación:
f n (X) = f(X0) + (X-X0) f[X1, X0] + (X-X0)(X-X1) f[X2,
X1, X0] +
...+ (X-X0)(X-X1)...(X-Xn-1) f[Xn, Xn-1,...,X1, X0]
(16)

16. Todas las diferencias pueden arreglarse en una tabla de diferencias
divididas, en donde cada diferencia se indica entre los elementos que
la producen:
i Xi f(Xi) Primera Segunda Tercera
0 X0 f(X0) f(X1, X0) f(X2, X1, X0) f(X3, X2, X1, X0)
1 X1 f(X1) f(X2, X1) f(X3, X2, X1)
2 X2 f(X2) f(X3,X2)
3 X3 f(X3)

17. EJEMPLO 3
Usando la siguiente tabla de datos, calcúlese ln 2 con un polinomio
de interpolación de Newton con diferencias divididas de tercer
orden:
X f(X)
1 0.000 0000
4 1.386 2944
6 1.791 7595
5 1.609 4379

18. SOLUCIÓN:
El polinomio de tercer orden con n = 3, es.
Las primeras diferencias divididas del problema son:

19. Las segundas diferencias divididas son:
La tercera diferencia divideda es:
Los resultados para f(X1, X0), f(X2, X1, X0) y f(X3, X2, X1, X0) representan
los coeficientes b1, b2 y b3 Junto con b0 = f (X0) = 0.0, la ecuación da:
f 3 (X) = 0 + 0.46209813 (X-1) - 0.0518731 (X-1)(X-4) + 0.0078655415 (X-
1)(X-4)(X-6)

20. Arreglando la tabla de diferencias
X f [X] f 1 [ ] f 2 [ ] f 3 [ ]
1.0 0.00000000 0.46209813 - 0.051873116 0.0078655415
4.0 1.3862944 0.20273255 - 0.020410950
6.0 1.7917595 0.18232160
5.0 1.6094379
Con la ecuación anterior se puede evaluar para X = 2
f 3 (2) = 0.62876869
lo que representa un error relativo porcentual del e% = 9.3%.

21. EJEMPLO4: CONSIDERE LOS SIGUIENTES VALORES EN
FORMA TABULAR
x F(x)
X0=-2 F(X0)=10
X1=-1 F(X1)=4
X2=1 F(X2)=6
X3=2 F(X3)=3

22. La tabla de diferencias divididas será:
X F(X0) F[X0,X1] F[X0,X1,X2] F[X0,X1,X2,X3]
-2 10 (4-10)/1+2)=6 (1+6)/(1+2)=7/3 (-4/3-7/3)/
(2+2)=-11/12
-1 4 (6-4)/(1+1)=1 (-3-1)/(2+1)=-
4/3
1 6 (3-6)/(2-1)=3
2 3

23. Simplificando se obtiene:
x F(X0) F[X0,X1] F[X0,X1,X2] F[X0,X1,X2,X3]
-2 10 -6 7/3 -11/12
-1 4 1 -4/3
1 6 3
2 3