El documento trata sobre interpolaciones y aproximaciones. Explica brevemente el historial de las interpolaciones y su definición formal. Luego introduce el teorema de aproximación de Weierstrass y desarrolla varios ejemplos de interpolaciones lineales, cuadráticas y cúbicas usando polinomios de Taylor y de Lagrange. Finalmente, explica cómo calcular los coeficientes de los polinomios interpolantes y estimar el error de las aproximaciones.

1. Interpolaciones
y
Aproximaciones

2. Un
poco
de
historia…
• Formalmente,
las
interpolaciones
fueron
propuestas
por
los
astrónomos
para
“predecir”
o
ubicar
los
cuerpos
celestes
en
el
espacio.

3. Definición
Un
polinomio
de
grado
n
es
una
expresión
de
la
forma:
P(x)
=
anxn
+
an-­‐1xn-­‐1
+
...
+a1x
+
a0
Donde
an
<>
0
Teorema
(teorema
de
aproximación
de
Weierstrass)
Suponga
que
f
está
definida
y
es
conQnua
en
[a,
b].
Para
ε
>
0
existe
un
polinomio
P
definido
en
[a,
b],
con
la
propiedad
de
que
|f(x)
–
P(x)|
<
ε,
para
toda
x
en
[a,
b]

4. Desarrollo
en
series
de
Taylor
Sea
f(x)
=
ex
Desarrollando
en
serie
de
Taylor
alrededor
de
x
=
0
P0(x)
=
1
P1(x)
=
1
+
x
P2(x)
=
1
+
x
+
x2/2
P3(x)
=
1
+
x
+
x2/2
+
x3/6
P4(x)
=
1
+
x
+
x2/2
+
x3/6
+
x4/24
P5(x)
=
1
+
x
+
x2/2
+
x3/6
+
x4/24
+
x5/120

5. Valores
de
ex
Valores
de
las
aproximaciones
de
ex
con
polinomios
de
Taylor

6. Expansión
de
Taylor
para
1/x

7. Interpolación
polinomial
de
Newton
Revisaremos
solo
algunos
casos:
lineal,
de
segundo
grado
y
de
tercer
grado.

8. Interpolación
lineal
x0
x
x1
f(x)
f(x1)
f1(x)
f(x0)
UQlizando
triángulos
semejantes
Reordenando

9. Ejemplo
EsQmar
ln
2
mediante
interpolación
lineal
si
ln1
=
0
y
ln
6
=
1.791759
y
ln
4
=
1.386294
Valor
real
ln
2
=
0.6931472
Error
relaQvo
porcentual
=
33.3%
f(x)
=
ln
x
f1(x)
EsQmaciones
lineales
Valor
verdadero

10. Interpolación
cuadráQca
Polinomio
cuadráQco
f2(x)
=
b0
+
b1(x
–
x0)
+
b2(x
–
x0)(x
–
x1)
(1)
simplificado
f2(x)
=
b0
+
b1x
–
b1x0
+
b2x2
+
b2x0
x1
–
b2xx0
–
b2xx1
Podemos
escribirlo
como
f2(x)
=
a0
+
a1x
+
a2x2
Donde
a0
=
b0
–
b1x0
+
b2x0
x1,
a1
=
b1
–
b2x0
–
b2x1,
a2=b2
Podemos
evaluar
b0,
b1
y
b2
susQtuyendo
x0,
x1
y
x2
en
la
ecuación
(1),
se
obQene
b0
=
f(x0)
b1 =
f x1 ( ) − f x0 ( )
x1 − x0
b2 =
f x2 ( ) − f x1 ( )
x2 − x1
−
f x1 ( ) − f x0 ( )
x1 − x0
x2 − x0

11. ejemplo
2
Calculemos
ln
2
con
ln
4
y
ln
6,
los
punto
que
se
conocen
son:
x0
=
1
f(x0)
=
0
x1
=
4
f(x0)
=
1.386294
x0
=
6
f(x0)
=
1.791759
Aplicando
las
ecs.
anteriores
b0
=
0
b1
=
(1.386294
–
0)/(4
–
1)
=
0.4620981
b2
=
((1.791759
–
1.386294)
/(6
–
4)
–
0.4620981)/(6
–
1)
=
–
0.0518731
El
polinomio
es
f2(x)
=
0.4620981(x
–
1)
–
0.0518731(x
–
1)(x
–
4)
f2(2)
=
0.5658444
f(x)
=
ln
x
EsQmación
cuadráQca
Valor
verdadero
EsQmación
lineal
Valor
real
ln
2
=
0.6931472
Error
relaQvo
porcentual
=
18.4%

12. Forma
general
Polinomio
general
fn(x)
=
b0
+
b1(x
–
x0)
+...+
bn(x
–
x0)(x
–
x1)...
(x
–
xn–1)
Los
coeficientes
se
calculan
con
b0
=
f(x0)
b1
=
f
[x1,
x0]
b2
=
f
[x2,
x1,
x0]
bn
=
f
[,xn,
xn–1,
...,
x1,
x0]
Donde
los
paréntesis
cuadrados
se
denominan
diferencias
divididas
finitas.
La
n-­‐ésima
diferencia
dividida
finita
es:
Se
conoce
como
polinomio
de
interpolación
de
Newton
en
diferencias
divididas.

13. ejemplo
3
Calculemos
ln
2
con
ln
0,
ln
4,
ln
5
y
ln
6,
los
punto
que
se
conocen
son:
x0
=
1
f(x0)
=
0
x1
=
4
f(x1)
=
1.386294
x2
=
6
f(x3)
=
1.791759
x3
=
5
f(x2)
=
1.609438
primeras
diferencias
f
[x1,
x0]
=
(1.386294
–
0)/(4
–
1)
=
0.4602981
f
[x2,
x1]
=
(1.791759
–
1.386294)/(6
–
4)
=
0.2027326
f
[x3,
x2]
=
(1.609438
–
1.791759)/(5
–
6)
=
0.1823216
Segundas
diferencias
f
[x2,
x1,
x0]
=
(0.2027326
–
0.4602981)/(6
–
1)
=
–0.05187311
f
[x3,
x2,
x1]
=
(0.1823216
–
0.2027326)/(5
–
4)
=
–0.02041100
tercera
diferencia
f
[x3,
x2,
x1
,
x0]
=
(–0.02041100–(–0.05187311))/(5
–
1)
=
0.007865529
Polinomio
f3(x)
=
0
+
0.4602981(x
–
1)
–0.05187311(x
–
1)
(x
–
4)
+
0.007865529(x
–
1)
(x
–
4)
(x
–
6)
Valor
calculado
con
el
polinomio
f3(2)
=
0.6287686

14. Ejemplo
3
(cont.)
f(x)
=
ln
x
Valor
verdadero
EsQmación
cúbica
f3(x)

15. EsQmación
del
error
Rn
=
f
[,xn+1,
xn,
...,
x1,
x0](x
–
x0)
(x
–
x1)...
(x
–
xn)
Para
esQmar
el
error
requerimos
de
un
datos
más
(xn+1).
La
siguiente
fórmula
puede
uQlizarse
para
esQmar
el
error.

16. Interpolación
y
polinomio
de
Lagrange
Se
trata
de
encontrar
un
polinomio
de
grado
n
que
pase
por
los
puntos
(x0,
f(x0)),
(x1,
f(x1)),
...
(xn,
f(xn)),
se
construye
un
cociente
Ln,k(xk)
con
la
propiedad
de
que
Ln,k(xi)
=
0
cuando
i
≠
k
y
Ln,k(xk)
=
1
Se
requiere
entonces
que
el
numerador
contenga
(x
–
x0)
(x
–
x1)...
(x
–
xk–1)(x
–
xk+1)...
(x
–
xn)
El
denominador
debe
coincidir
con
el
numerador
cuando
x
=
xk.

17. N-­‐ésimo
polinomio
interpolante
de
Lagrange
Teorema
Si
x0,
x1,
x2,
...
xn,
son
n+1
números
disQntos
y
si
f
es
una
función
cuyos
valores
están
dados
en
esos
números,
entonces
existe
un
polinomio
de
grado
a
lo
más
n,
con
la
propiedad
de
que
f(xk)
=
P(xk)
para
cada
k
=
0,
1,
2,
...n
Este
polinomio
está
dado
por
donde

18. Aproximación
a
1/x
con
interpolantes
de
Lagrange
P(x)
=
0.5*((x–6.5)x+10)+0.4*((–4x+24)x–32)/3+
0.25*((x
+
4.5)x+5)/3
P(x)
=
(0.05x
–
0.425)x
+
1.15
=
0.05x2
–
0.425x
+
1.15
f(3)
=
P(3)
=
0.325
Usaremos
x0
=
2,
x1
=
2.5
y
x2
=
4,
para
obtener
un
polinomio
de
grado
2
para
1/x.
f(x0)
=
0.5,
f(x1)=
0.4
y
f(x2)
=
0.25.
Los
polinomios
de
Lagrange
son:

19. Aproximación
a
1/x
con
interpolantes
de
Lagrange
P(x)
=
(0.05x
–
0.425)x
+
1.15
f(3)
=
P(3)
=
0.325

20. El
error
en
la
interpolación
de
Lagrange
El
error
en
la
interpolación
de
Lagrange
puede
calcularse
con

21. Algoritmo
en
Matlab
function fi = Lagran_(x, f, xi)
fi=zeros(size(xi));
np1=length(f);
for i=1:np1
z=ones(size(xi));
for j=1:np1
if i~=j, z = z.*(xi - x(j))/(x(i)-x(j));end
end
fi=fi+z*f(i);
end
return

22. Calcula
coeficientes
de
P2(x)
%Calcula el polinomio interpolante de Lagrange
de grado 2
function [a,b,c] = Lagrange
(x0,x1,x2,fx0,fx1,fx2)
t0 = (x0 - x1)*(x0 - x2);
t1 = (x1 - x0)*(x1 - x2);
t2 = (x2 - x0)*(x2 - x1);
a = fx0/t0 +fx1/t1 +fx2/t2;
b = -fx0*(x1 + x2)/t0 - fx1*(x0 + x2)/t1 - fx2*
(x0 + x1)/t2;
c = fx0*x1*x2/t0 + fx1*x0*x2/t1 + fx2*x0*x1/t2;

23. Comandos
de
Matlab
poly(r) – toma un vector con las raíces de un polinomio y
genera el polinomio
poly([1 2 3]) = 1 -6 11 -6
roots(1 -6 11 -6) = 3 2 1
polifit(x,y,n) – genera un polinomio interpolante para los
datos x, y de grado n, x y y deben tener n+1 datos
polyfit([1.1 2.3 3.9 5.1],[3.887 4.276 4.651 2.117],3) =
ans =
-0.20145 1.43852 -2.74771 5.43700
El polinomio es
-0.20145x^3 + 1.43852x^2 -2.74771x + 5.43700

24. Interpolación
Por
Lagrange

25. Interpolación
por
Newton

26. Interpolación
de
Lagrange
en
C
#include
<iostream>
#include
<fstream>
using
namespace
std;
#include
<iomanip>
void
monomio2(int
n,
double
*x,
double
*D);
int
main
()
{
cout
<<
"Polinomio
de
interpolacion
de
Lagrangenn";
ifstream
label1
("datos//datos.in");
int
n,
i,
j,
k;
label1
>>
n;
double
*x,
*xp,
*f,
*L,
*D,
producto,
sum,
*P;
x
=
new
double
[n],
xp
=
new
double
[n],
f
=
new
double
[n];
L
=
new
double
[n],
D
=
new
double
[n],
P
=
new
double
[n];
cout
<<
"Numero
de
pares
ordenados
=
"
<<
n
<<
"nn";
cout
<<
"Valores
de
x
y
f(x)nx
f(x)n";
for
(i=
0;
i
<
n;
i++){
label1
>>
x[i]
>>
f[i];
cout
<<
x[i]
<<
setw(5)
<<
seQosflags(ios::right)
<<
f[i]
<<
"n";
}
cout
<<
endl;
for
(k
=
0;
k
<
n;
k++){
producto
=
1;
for
(i
=
0;
i
<
n;
i++){
if
(i
!=
k)
producto
=
producto
*
(x[k]
-­‐
x[i]);
}
L[k]
=
f[k]/producto;
}
cout
<<
"Coeficientes
de
interpolacion
de
Lagrangenn";
cout.sex(ios::fixed);
cout.precision(1);
for
(i=
0;
i
<
n;
i++){
cout
<<
"L("
<<
n-­‐i-­‐1
<<
")
=
"
<<
setw(4)
<<
seQosflags(ios::right)
<<
L[i]
<<
endl;
}

27. Interpolación
de
Lagrange
en
C
(ConQnuación)
cout
<<
endl;
for
(k
=
0;
k
<
n;
k++){
j
=
0;
for
(i
=
0;
i
<
n;
i++){
if
(i
!=
k)
{xp[j]
=
x[i];
j
+=
1;
}
}
monomio2
(n-­‐1,
xp,
D);
for
(i=
0;
i
<
n;
i++){
P[i]
=
P[i]
+
L[k]*D[i];
}
}
cout
<<
"Polinomio
de
interpolacion
de
Lagrange
(grado
"
<<
n-­‐1
<<
")nn";
for
(i=
0;
i
<
n;
i++){
cout
<<
"P("
<<
n-­‐i-­‐1
<<
")
=
"
<<
setw(4)
<<
seQosflags(ios::right)
<<
P[i]
<<
endl;
}
return
0;
}
void
monomio2(int
n,
double
*x,
double
*D){
double
*E;
E
=
new
double
[n];
D[0]
=
1;
D[1]
=
-­‐x[0];
for
(int
i
=
1;
i
<
n;
i++)
{
for
(int
k
=1;
k
<
i+1;
k++)
{
E[k]
=
D[k]
+
D[k-­‐1]*(-­‐x[i]);
}
D[i+1]
=
D[i]*(-­‐x[i]);
for
(int
j
=
1;
j
<
i+1;
j++)
{
D[j]
=
E[j];
}
}
delete
E;
}

28. Interpolación Polinómica
Segmentaria

29. Interpolación Polinomica Segmentaria:
Splines
 Interpolación Segmentaria
 Interpolación Segmentaria Lineal
 Interpolación Segmentaria Cúbica
 Condiciones Naturales
 Condiciones sobre la derivada

30. Interpolación Segmentaria Lineal:
Función de Runge
0
-1 0 1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
1
Spline lineal
-1 0 1
0.8
0.6
0.4
-0.2
-0.4
0
0.2
1
Polinomio grado 4

31. Interpolación Polinómica
Segmentaria

32. Splines Lineales
 Polinomio
de
Lagrange
 Polinomio
de
Newton

33. Splines Cúbicos
 Spline
cúbico
4n
incógnitas
 Condiciones
de
interpolación
n+1
ecuaciones
 Condiciones
de
conexión
3(n-­‐1)
ecuaciones

34. h c h h c h c
k -
k -
k -
k k k k +
2 ( ) =
3 3
( ) ( )
h
a a
h
a a
k
k k
k
+
k k
-
-
=
1 -
-
-
1
1
+
+
+
1 1 1 1
n-­‐1
ecuaciones
y
n+1
incógnitas

35. Condiciones Naturales

36. Matriz del sistema

37. Términos independientes

38. Ejemplo de la temperatura
Grados Spline cúbico
5 10 15 20
22
20
18
16
14
12
10
8
6
Hora
5 10 15 20
22
20
18
16
14
12
10
8
6
Hora
Grados
Polinomio interpolador

39. Condiciones sobre la derivada

40. Matriz del sistema

41. Términos independientes

42. Interpolación segmentaria con
MATLAB

43. -­‐1
0
1
1
0.5
1
0.5
0
Spline
Natural
-­‐1
0
1
-­‐1
0
1
1
0.5
1
0.5
0
Spline
Derivada
0
Interpolación
Lineal
-­‐1
0
1
0
Spline
de
MATLAB

44. Aplicaciones

Ingeniería
y
Diseño
(CAD/CAM,
CNC’s)

Geología

AeronáuQca
y
automoción

Economía

Procesamiento
de
señales
e
imágenes
(Reconocimiento
de
patrones,
recuperación
de
imágenes)

RobóQca

Medicina
(Aparatos
audiQvos,
mapas
cerebrales)

Meteorología
(Mapas
climáQcos,
detección
de
inundaciones,...)
 Mundo Virtual Distribuido Multiusuario