Este documento presenta un apunte de curso sobre microeconomía. Introduce el modelo del consumidor racional con objetivos hedonistas y analiza las preferencias del consumidor y la función de utilidad. Explica conceptos como canasta de consumo, relación de preferencias, indiferencia y maximización de la satisfacción del consumidor sujeto a restricciones presupuestarias. Además, cubre temas como análisis de sensibilidad, demanda de Hicks, funciones de compensación y efectos sustitución e ingreso.

1. ENMIC305, Microeconom´ıa I
Apunte de Curso, V.4∗
Jorge Rivera†
March 10, 2015
∗Se agradece muy especialmente el trabajo de Marco Rojas en la confecci´on de este apunte.
†Departamento de Econom´ıa, Universidad de Chile, email: jrivera@econ.uchile.cl
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2. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Contents
I Teor´ıa del Consumidor 4
1 El modelo del consumidor 4
1.1 Preferencias y funci´on de utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Elecci´on del consumidor: conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Elecci´on del consumidor: maximizaci´on de la satisfacci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 An´alisis de sensibilidad del problema del consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Problema dual: demanda Hicksiana y funci´on de gasto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Funciones de compensaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7 Efectos sustituci´on e ingreso, ecuaci´on de Slutzky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Aplicaciones y complementos 40
2.1 Demanda agregada y equilibrio (parcial) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 El excedente del consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Modelo de consumo intertemporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Modelo de Ocio - Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Decisiones Bajo Incertidumbre 54
3.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Ejemplos de aplicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 Aproximaci´on de los individuos hacia el riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
II Teor´ıa de la Firma 66
4 Conceptos B´asicos 66
4.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 La firma y sus objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Sobre la funci´on de producci´on y conceptos relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4 Rendimientos a escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5 Corto y largo plazo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Maximizaci´on de Beneficios 87
5.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Maximizaci´on del beneficio de corto plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3 Maximizaci´on del beneficio y rendimientos a escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6 Costos 96
6.1 Definiciones y propiedades b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2 Costos medios y marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3 Costos de corto plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4 An´alisis de sensibilidad de los costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.4.1 Costos y eficiencia productiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.4.2 Costos y rendimientos de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.4.3 Costos y precios de los factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4.4 Costos y cantidades de producto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.5 Geometr´ıa de costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
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7 Oferta bajo competencia perfecta 117
7.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2 Modelo de equilibrio parcial en competencia perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.2.1 La demanda de mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.2.2 Oferta de la firma y la industria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.3 ¿C´omo se determina el precio de mercado?: an´alisis de equilibrio parcial . . . . . . . . . 126
III Modelo de asignaci´on: equilibrio general 130
8 Modelo de equilibrio en econom´ıa de intercambio 130
8.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.2 Modelo de intermcambio de 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.3 La demanda en un modelo de intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.4 El equilibrio en la econom´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.5 La caja de Edgeworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.6 Optimalidad y teoremas de bienestar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9 Complementos: fallas de mercado 143
9.1 Externalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.2 Bienes p´ublicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
IV Ap´endice: Repaso Matem´atico 151
10 La derivada y conceptos relacionados 151
10.1 Conceptos B´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.2 El estudio del crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.3 Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.4 Optimizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11 Funciones Importantes 163
11.1 Homog´eneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.2 Cobb-Douglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.3 CES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.4 Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.5 Leontiev o de Proporciones Fijas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
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Part I
Teor´ıa del Consumidor
1 El modelo del consumidor
1.1 Preferencias y funci´on de utilidad
El objetivo de lo que sigue es plantear, y estudiar, un modelo sencillo de consumidores (personas,
empresas, inversionistas, etc.). El enfoque que adoptamos es tradicional en microeconom´ıa, y parte
del supuesto que los agentes econ´omicos bajo estudio son racionales, con objetivos hedonistas
que son satisfechos a trav´es del consumo de bienes (y/o servicios). Cuando hablamos de objetivos
hedonistas, estamos suponiendo que el consumo de bienes se realiza con el objetivo de lograr bienestar
(placer, satisfacci´on, etc.), y la racionalidad se refiere a que la elecci´on de los mismos es hecha de la
mejor forma posible, en un sentido que precisaremos, pero que, anticipando, corresponde a utilizar de
la mejor manera los recursos que dicho agente dispone con el fin de cumplir sus objetivos. Es entonces
la combinaci´on entre lo que se puede y lo que se quiere lo que en definitiva define el acercamiento de
los individuos al consumo.
En todo lo que sigue, salvo que se diga lo contrario, supondremos que s´olo hay dos bienes de
consumo1
, digamos, los bienes 1 y 2, cuyas cantidades gen´ericas ser´an denotadas por x1 y x2, las
que sin p´erdida de generalidad supondremos positivas (es decir, que x1 ≥ 0, x2 ≥ 0).
Definici´on 1.1 Una canasta de consumo para un individuo es un par ordenado de la forma
X = (x1, x2) ∈ R2
+,
que indica x1 ∈ R+ cantidad del bien uno y x2 ∈ R+ cantidad del bien dos.
Con el fin de definir preferencias sobre las canastas de consumo, debemos tener presente que no
existe un orden natural entre vectores, que de maneja objetiva (universal) nos diga cu´al es mejor entre
dos de ellos2
. Por ejemplo, asumiendo que los bienes 1 y 2 son deseables por los individuos (cuesti´on que
obviamente debemos asumir), ciertamente la canasta (2, 3) ser´a universalmente preferida a la canasta
(1, 2), pues tiene m´as de ambos bienes. Sin embargo, si el individuo debe decidir entre la canasta (2, 3)
y la canasta (3, 2), la respuesta depender´a de cada persona, no habiendo por tanto un criterio que, a
priori, nos permita anticipar tal elecci´on.
Para lo que sigue, asumiremos que efectivamente cada individuo dispone de un criterio que le
permite hacer la elecci´on entre dos canastas. Este criterio simplemente nos dir´a lo que ´el prefiere
cuando se presentan dos opciones a escoger. Formalmente, dicho criterio corresponde a lo que en
econom´ıa se denomina relaci´on de preferencias. As´ı, dadas dos canastas de consumo X = (x1, x2) ∈ R2
+
y X′
= (x′
1, x′
2) ∈ R2
+, supondremos que el individuo siempre puede manifestar su opci´on por una u
otra: si el agente prefiere X a X′
, se denotar´a
X′
X,
en cambio, si prefiere X′
a X se denotar´a
X X′
.
Si ocurre que X X′
y X′
X, diremos que el individuo es indiferente entre X y X′
, y se denotar´a
X′
∼ X.
1Cosa que en estricto rigor no es una restricci´on importante, pues ´este se puede extender directamente para considerar
m´as bienes.
2Cuesti´on que se tiene para n´umeros reales.
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Finalmente, si ocurre que X′
X pero no se tiene que X X′
(es decir, prefiere X a X′
pero no
prefiere X′
a X), diremos que el individuo prefiere estrictamente X a X′
, y se denotar´a
X′
≺ X.
C´omo un individuo elige entre dos opciones es seguramente una cuesti´on relacionada con la sicolog´ıa,
la sociolog´ıa, o con la gen´etica, etc., aspectos sobre los cuales dif´ıcilmente la econom´ıa tiene algo que
decir. De hecho, este punto puede ser muy relevante para efectos normativos, e incluso morales: no
existe claridad de c´omo se forman las preferencias, como tampoco se puede afirmar ex ante que unas
sean mejores que otras (“sobre gustos no hay nada escrito. . .”).
Para nuestros efectos, se asume como dado el “mecanismo interno” por medio del cual cada individuo
realiza sus elecciones. Obviamente haremos algunos supuestos (razonables) sobre dicho mecanismo, con
el fin de construir un modelo simple que nos permita, por ejemplo, estudiar c´omo las decisiones de
los agentes se ven alteradas cuando se enfrentan a restricciones para escoger sus consumos deseables,
restricciones que a su vez se pueden modificar en funci´on de par´ametros ex´ogenos, tales como precios,
ingreso, impuestos, etc.
Ejemplo 1.1 Supongamos que la preferencia de un individuo, denotada , es dada seg´un el siguiente
criterio: la canasta X = (x1, x2) es preferida a la canasta X′
= (x′
1, x′
2) (es decir, X′
X)si y s´olo si
α · x′
1 + β · x′
2 ≤ α · x1 + β · x2,
con α, β ∈ R++ conocidos. De esta manera, estamos considerando que el individuo tiene una relaci´on
de preferencias, a trav´es de la cual manifiesta sus opciones de consumo, de forma tal que al tener que
decidir entre X y X′
, optar´a por aquel vector (canasta) que arroje mayor valor del promedio ponderado
ya expuesto. Por ejemplo, si α = 1 y β = 2, entonces la canasta X = (2, 4) es preferida a la canasta
X′
= (4, 2), pues la primera arroja un valor 1 · 1 + 2 · 4 = 9, mientras que la segunda nos da valor 8.
Notemos que si los ponderadores cambian, entonces no necesariamente X continuar´a siendo preferido
a X′
. Es f´acil ver que, de acuerdo a la definici´on de la preferencia, se tiene que
X′
≺ X ⇔ α · x′
1 + β · x′
2 < α · x1 + β · x2,
X′
∼ X ⇔ α · x′
1 + β · x′
2 = α · x1 + β · x2.
Ejemplo 1.2 La preferencia lexicogr´afica
Diremos que una canasta X = (x1, x2) ∈ R2
+ es preferida lexicogr´aficamente a una canasta
X′
= (x′
1, x′
2) ∈ R2
+ si, (i) o bien x1 > x2, o bien, (ii) cuando x1 = x′
1, se tiene que x2 > x′
2. En tal
caso notaremos
X′
Lex X.
Esta preferencia se corresponde con el orden de las palabras en el diccionario: se entiende que una
palabra es mejor que otra cuando est´a “m´as arriba” en el diccionario.
Definici´on 1.2 Funci´on de utilidad
Dados X = (x1, x2) ∈ R2
+ y X′
= (x′
1, x′
2) ∈ R2
+, supongamos que existe una funci´on u : R2
+ → R
tal que la preferencia del individuo cumple con la siguiente propiedad:
X′
X ⇔ u(X′
) ≤ u(X),
es decir, que la canasta X es preferida a la canasta X′
si al evaluar la funci´on u(·) en el correspondiente
vector se obtiene un valor mayor o igual seg´un el caso. En tal caso decimos que la preferencia es
representada por la funci´on de utilidad u(·).
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Ejemplo 1.3 Del Ejemplo 1.1, donde se tiene que
u(X) = u(x1, x2) = αx1 + βx2
es una funci´on de utlilidad asociado a la preferencia del individuo.
Ejemplo 1.4 Funciones de utilidad “usuales”
En microeconom´ıa hay diversas opciones para considerar funciones u(·). Las m´as usuales para
representar preferencias son:
(a) Cobb-Douglas: u(x1, x2) = xα
1 · xβ
2 , con α, β ≥ 0.
(b) CES: u(x1, x2) = (xr
1 + µ · xr
2)
1/r
, con µ, r ≥ 0.
(c) Lineal: u(x1, x2) = αx1 + βx2, con α, β ≥ 0.
(d) Leontiev: u(x1, x2) = min{αx1, βx2}, con α, β ≥ 0.
Nota. 1.1 ¿Qu´e significa que la preferencia de un individuo es dada por una funci´on de utilidad Cobb-
Douglas, cuyos par´ametros son α = 1/3 y β = 1/2? Significa que enfrentado a la elecci´on entre dos
canastas, digamos X = (x1, x2) ∈ R2
+ y X′
= (x′
1, x′
2) ∈ R2
+, esta persona escoger´a aquella canasta que
entrega mayor valor una vez que el correspondiente vector es evaluado seg´un la funci´on correspondiente.
Es decir, escoger´a X por sobre X′
si u(X) > u(X′
), o bien escoger´a X′
sobre X si u(X′
) > u(X), y
ser´a indiferente entre ambos si u(X) = u(X′
), donde u(X) = u(x1, x2) = x
1/3
1 x
1/2
2 (Cobb-Douglas).
Ejemplo 1.5 Una aplicaci´on: selecci´on de personal
Supongamos que una firma debe decidir contratar a una persona entre diversos postulantes. A cada
uno ellos se les toma un test de conocimientos sobre el trabajo que deber´ıan realizar y, adem´as, se
los califica seg´u una entrevista sicol´ogica. El puntaje de la prueba de conocimientos va de 1 a 100
(lo mejor es 100), misma escala para el test sicol´ogico. Supongamos que hay N postulantes, indexados
por i = 1, . . . , N y que cada uno de ellos obtiene puntajes Ci, Si ∈ [1, 100] en cada una de las pruebas,
respectivamente. ¿A qui´en contrata? Obviamente las personas NO son bienes de consumo; aun as´ı,
podemos entender el problema de la firma como escoger entre canastas (Ci, Si) ∈ R2
+, i = 1, . . . , N,
seg´un su conveniencia. “En la vida”, ocurre normalmente que NO existe un individuo que domine a
todos los dem´as en todos los aspectos que se est´an evaluando; si ese fuera el caso, la elecci´on es obvia. El
problema es entonces disponer de un ranking que nos permita ordenar a los postulantes seg´un alg´un
puntaje, y dado esto realizar la elecci´on. En este caso, ese ranking es propio de cada firma, pues ella
(sus gerentes o tomadores de decisiones) deber´an decidir qu´e aspecto privilegiar y c´omo privilegiarlo.
En este caso, el ranking en comento se puede entender como la preferencia de la firma respecto de
los postulantes; obviamente hay muchas formas proceder. Por ejemplo, una firma podr´ıa considerar
un criterio basado en el siguiente modelo: el postulante i ∈ {1, . . . , N} es mejor que el postulante
i′
∈ {1, . . . , N} si 3Ci + 4Si > 3Ci′ + 4Si′ . En tal caso, entendemos que la preferencia de la firma
(puntaje) por las canastas (C, S) es 3C + 2S.
Generalizando lo anterior, podemos asumir que existe una funci´on U : R2
+ → R+ tal que el puntaje
de cada postulante, con el cual se define el ranking, es dado por
u(C, S) ∈ R,
donde C, S es el puntaje en conocimientos y test sicol´ogico respectivamente. Si este m´etodo es aceptado,
entonces se escoger´a a aquel individuo que obtiene la mayor cantidad de puntos seg´un la regla ya
expuesta.
Nota. 1.2 Un par de comentarios sobre el ejemplo anterior:
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(i) el criterio para asignar puntajes a los postulantes define un orden entre ellos, del mejor al peor.
Si en vez de utilizar un criterio basado en la funci´on u : R2
+ → R+ ya expuesta, se hubiese
considerado otro, por ejemplo, basado en el cuadrado de dicha funci´on, entonces el orden que
fue inducido por la funci´on u(·) original no se ve alterado por el nuevo m´etodo. En efecto,
supongamos que una vez ordenados los postulantes seg´un los puntajes definidos por la funci´on
original, en orden decreciente las posiciones resultantes son i1, i2, . . . , iN (es decir, el primer
lugar para el Sr. i1, el segundo para el Sr. i2, etc.); por definici´on esto significa que
u(Ci1 , Si1 ) > u(Ci2 , Si2 ) > u(Ci3 , Si3 ) > . . . u(CiN , SiN ). (1)
Ahora bien, al aplicar cuadrado a las desigualdades en (1), el orden de individuos que all´ı
se ten´ıa NO se ve alterado, pues obviamente se cumple que
[u(Ci1 , Si1 )]
2
> [u(Ci2 , Si2 )]
2
> [u(Ci3 , Si3 )]
2
> . . . > [u(CiN , SiN )]
2
.
M´as general, dada
ψ : R → R
estrictamente creciente, entonces el orden que se induce de utilizar la funci´on u es el mismo
que induce la funci´on
U : R2
+ → R | U(C, S) = ψ ◦ u(C, S) = ψ(u(C, S)).
La funci´on U es la composici´on de ψ con u.
(ii) De lo anterior, con el fin de escoger canastas (bienes de consumo, selecci´on de personal, etc.),
basado en un m´etodo que emplea una funci´on U como antes, en rigor resulta que NO es relevante
el puntaje que se obtiene de aplicar dicha funci´on, sino m´as bien el ranking (orden) que dicho
puntaje induce. Por esta raz´on se dir´a que las preferencias son ordinales y NO cardinales.
En t´erminos formales, lo expuesto en el punto (i) de la Nota 1.2 se resume en la siguiente proposici´on.
Proposici´on 1.1 Si u : R2
+ → R es una funci´on de utilidad que representa a la relaci´on de preferencias
, entonces para cualquier funci´on ψ : R → R estrictamente creciente, se tiene que
U = ψ ◦ u | U(X) = ψ(u(X))
tambi´en es una funci´on de utilidad que representa a la misma preferencia.
La Proposici´on 1.1 nos dice que, de existir, las funciones de utilidad de un individuo son
´unicas salvo transformaciones crecientes. Como consecuencia directa de ´esta proposici´on podemos
asumir, sin p´erdida de generalidad, que las funciones de utilidad toman valores positivos, pues
en caso contrario es cuesti´on de sumar una constante suficientemente grande que garantice la positividad
(o elevar al cuadrado), cuesti´on que no altera el orden entre las canastas que induce la utilidad original.
Una pregunta relevante que surge de lo expuesto es si toda preferencia puede ser representada por
una funci´on de utilidad. Desafortunadamente (m´as bien, afortunadamente) la respuesta es no. Para
que efectivamente una preferencia pueda ser representada por una funci´on de utilidad, debe cumplir
con algunas condiciones que, a priori, no toda preferencia ha de satisfacer. Por ejemplo, se puede
demostrar que la preferencia lexicogr´afica definida en Ejemplo 1.2 no puede se representada por
una funci´on de utilidad.
El resultado que sigue se presenta sin demostraci´on (requiere conocimientos de matem´aticas que
escapan al nivel del curso), y nos entrega condiciones necesarias para que una preferencia pueda ser
representada por una funci´on de utilidad.
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Teorema 1.1 Dadas las canastas de consumo X = (x1, x2), X′
= (x′
1, x′
2) y X′′
= (x′′
1 , x′′
2 ) ∈ R2
+ , si
la relaci´on de preferencias cumple con las siguientes condiciones:
a.- Completitud: o bien X X′
, o bien X′
X;
b.- Reflexividad: se cumple que X X;
c.- Transtividad: si X X′
y X′
X′′
entonces X X′′
;
d.- Monotonicidad estricta: dado h ∈ R2
+, h = (0, 0), entonces X ≺ X + h;
e.- Continuidad: si X ≺ X′
, existe ǫ > 0 tal que si X′
− X ≤ ǫ entonces X ≺ X;
existe entonces una funci´on de utilidad continua que la representa, es decir, u : R2
+ → R tal que
X X′
⇔ u(X) ≤ u(X′
).
Diversos comentarios sobre el importante resultado anterior:
(i) La completitud asume que el consumidor siempre puede decidir qu´e prefiere ante
dos alternativas que se presentan. Este supuesto inhibe que el agente tenga dudas
sobre su elecci´on. La reflexividad es un supuesto relativamente natural de asumir,
simplemente nos dice que algo es preferido (no estrictamente) a s´ı mismo.
(ii) La transitividad es un supuesto que puede resultar complejo de varificar en la
pr´actica: pensar en situaciones de elecci´on de tres bienes, donde cada uno indica
preferencias de a pares, ¿por qu´e se deber´ıa mantener cierta consistencia en dichas
manifestaciones de a pares? Ciertamente este supuesto juega un papel muy impor-
tante en el modelo micro.
(iii) La monoton´ıa estricta es otro supuesto fuerte. En t´erminos simples, corresponde
a decir que m´as es mejor, en el sentido que si aumentamos la cantidad de consumo
de al menos uno de los bienes de las canastas, entonces necesariamente la satisfacci´on
que se obtiene es m´as grande. Asume entonces que no existe saturaci´on en el consumo
(es decir, que siempre ser´a deseable consumir m´as), cosa que parece dif´ıcil de sostener
en general (¿o no?).
(iv) La continuidad es un supuesto t´ecnico, y bastante general. Afirma que si una canasta
X es preferida estr´ıctamente a otra X′
, entonces canastas suficientemente cercanas en
cantidad a X tambi´en ser´an preferidas estrictamente a la canasta X′
.
(v) Si la preferencia es representada por la funci´on de utilidad u, entonces es directo
concluir que:
(a) X ≺ X′
⇔ u(X) < u(X′
).
(b) X ∼ X′
⇔ u(X) = u(X′
)
Como se desprende del Teorema 1.1 , no todas las preferencias pueden ser representadas por fun-
ciones de utilidad. Por simplicidad, por la posibilidad de realizar diversos an´alisis econ´omicos y c´alculos
expl´ıcitos, porque el problema del consumidor se puede plantear como un problema de optimizaci´on
est´andar, porque podemos disponer de soluciones anal´ıticas para conceptos econ´omicos importantes,
porque podemos llevar a cabo an´alisis de sensibilidad de las soluciones, etc., en todo lo que sigue
trabajaremos con preferencias que se pueden representan por funciones de utilidad. De
hecho, cuando se plantee el problema del consumidos, pasar de relaciones de preferencia a funciones de
utilidad implica pasar de un problema de decisi´on (optimizaci´on) vectorial a un problema escalar, cosa
que efectivamente simplifica la vida enormemente (y que de paso, sabemos resolver bien bajo circun-
stancias relativamente usuales en econom´ıa). El sacrificio de tal simplificaci´on est´a en la generalidad
que se pierde en el modelamiento de la econom´ıa, pues se trata de casos particulares de preferencias
de los agentes.
8

9. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Proposici´on 1.2 Si la preferencia cumple las condiciones del Teorema 1.1, entonces cualquier
funci´on de utilidad que la representa es estrictamente creciente por componentes.
Esto quiere decir que dada una funci´on de utilidad u que viene de lo anterior, se tiene que si x1 < x′
1
y x2 < x′
2,
u(x1, x2) < u(x′
1, x2), u(x1, x2) < u(x1, x′
2),
(funci´on de utilidad creciente por componentes). Obviamente se tiene que u(x1, x2) < u(x′
1, x′
2). Ahora
bien, si la funci´on de utilidad (f.d.u) es diferenciable, lo anterior implica que
∂u(x1, x2)
∂x1
> 0,
∂u(x1, x2)
∂x2
> 0. (2)
El supuesto de monoton´ıa estricta (2) ser´a asumido en todo lo que sigue. La demostraci´on de la
Proposici´on 1.2 es directa de las definiciones, y se deja como ejercicio.
Algunas definiciones que ser´an utiles en todo lo que sigue.
Definici´on 1.3 Utilidad marginal
Dada una funci´on de utilidad, u(·)y dada la canasta (x1, x2), la utilidad marginal del bien 1
corresponde al incremento en satisfacci´on dado un aumento marginal (en una unidad) en el consumo
del bien 1; an´alogo para la utilidad marginal del bien 2. La utilidad marginal del bien i = 1, 2 se
representar´a por UMgi(x1, x2), i = 1, 3.
De la definici´on anterior,
UMg1(x1, x2) = u(x1 + 1, x2) − u(x1, x2), UMg2(x1, x2) = u(x1, x2 + 1) − u(x1, x2). (3)
Ahora bien, si la f.d.u es derivable, sabemos que,
∂u(x1, x2)
∂x1
≡ lim
h→0
u(x1 + h, x2) − u(x1, x2)
h
.
Si h = 1, la expresi´on resultante es s´olo una aproximaci´on de la derivada, es decir,
∂u(x1, x2)
∂x1
≃
u(x1 + 1, x2) − u(x1, x2)
1
= u(x1 + 1, x2) − u(x1, x2) = UMg1(x1, x2).
En consecuencia, la utilidad marginal puede ser aproximada por la derivada parcial correspondi-
ente de la funci´on de utilidad. En todo lo que sigue, supondremos que m´as que una aproximaci´on se
trata de una igualdad, de modo que, en forma alternativa, entenderemos la utilidad marginal como
la derivada parcial de la f.d.u en el punto en cuesti´on. As´ı, de ahora en adelante,
UMgi(x1, x2) ≡
∂u(x1, x2)
∂xi
.
Definici´on 1.4 Curva de indiferencia
Dado un nivel de satisfacci´on α ≥ 0 prefijado, la curva de indiferencia al nivel α se define
como el conjunto de canastas (x1, x2) ∈ R2
+ para las cuales se cumple que
u(x1, x2) = α.
De la Definici´on 1.4, dado el nivel de utilidad α, de la relaci´on u(x1, x2) = α, existe entonces una
funci´on impl´ıcita entre x1 y x2, digamos, x2 = x2(x1), tal que
u(x1, x2(x1)) = α.
El gr´afico de dicha funci´on en el sistema coordenado x1−x2 corresponde a la curva de indiferencia
al nivel α. La siguiente Figura 1 ilustra el concepto:
9

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Figure 1: Curva de Indiferencia (1)
x∗
2
x∗
1
u(x1, x2) = a
Que el punto (x∗
1, x∗
2) est´e en la curva de indiferencia de la figura significa que u(x∗
1, x∗
2) = α.
Consideremos ahora dos niveles de utilidad a < b. Si u(x∗
1, x∗
2) = a claramente u(x∗
1, x∗
2) = b. Por
otro lado, dado que u(x∗
1, x∗
2) = a, entonces existir´a un valor δ > 0 para el cual u(x∗
1 + δ, x∗
2) = b, pues
la f.d.u. es creciente. An´alogamente, existir´a un valor ǫ > 0 para el cual u(x∗
1, x∗
2 + ǫ) = b. Luego, la
curva de indiferencia al nivel b necesariamente est´a arriba de la curva de indiferencia al nivel a. De
esta manera, se concluye que las curvas de indiferencia a distinto nivel no se cortan y, adem´as,
en la medida que aumentamos el nivel de satisfacci´on, la curva se desplaza hacia arriba y la derecha,
Supongamos ahora que u(¯x1, ¯x2) = a. Si ¯x1 aumenta, digamos a ¯x1 + δ, con δ > 0, sea entonces x∗
2
el nuevo valor para el cual u(¯x1 +δ, x∗
2) = a. Puesto que u(·) es estrictamente creciente, necesariamente
x∗
2 debe ser menor que ¯x2 pues, si fuera mayor o igual, entonces u(¯x1 +δ, x∗
2) ser´ıa mayor que a. Luego,
las curvas de indiferencia necesariamente son decrecientes en el sistema coordenado x1 − x2,
esto para cualquier funci´on de utilidad estrictamente creciente. La Figura 2 ilustra lo expuesto.
Figure 2: Curva de Indiferencia (2)
a
b
c
a < b < c
Mientras mayor es el nivel de utilidad, la curva se desplaza hacia arriba y la derecha; las curvas de
indiferencia a distintos niveles de utilidad no se cortan; las curvas de indiferencia son decrecientes.
Finalmente, notemos que dada una curva de indiferencia al nivel α y dado un punto (x∗
1, x∗
2) sobre
la curva y otro (¯x1, ¯x2) bajo la curva, entonces se tiene que
u(x∗
1, x∗
2) > α, u(¯x1, ¯x2) < α.
Ejemplo 1.6 Dada la funci´on de utilidad u1(x1, x2) = xa
1 · xb
2, con a, b > 0, la curva de indiferencia
al nivel u0 corresponde a las canastas (x1, x2) tales que xa
1 · xb
2 = u0, de lo cual se tiene que
x2(x1) =
u
1
b
0
x
a
b
1
,
10

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que es precisamente la “funci´on implicita” que hemos mencionado. Por otro lado, las utilidades
marginales son
UMg1(x1, x2) = axa−1
1 · xb
2, UMg1(x1, x2) = bxa
1 · xb−1
2 .
Note que la derivada de UMg1 c.r. a x1 es
∂UMg1
∂x1
= a · (a − 1) · xa−2
1 · xb
2,
que es negativa si a < 1, es decir, la utilidad marginal UMg1 es decreciente en el primer bien siempre
y cuando a < 1. An´alogo con UMg2 decreciente si b < 1. Luego, si la funci´on de utilidad es c´oncava,
ambas utilidades marginales son decrecientes.
Dado un punto (x1, x2) en una curva de indiferencia al nivel α, calculemos la pendiente a la
tangente al grafo de la misma por el punto en cuesti´on. Obviamente esta pendiente corresponde a
la derivada de la funci´on impl´ıcita x2(x1) ya definida, en el punto (x1, x2) de la misma. Procedamos,
en primer lugar, seg´un un argumento informal basado en la Figura 3.
Figure 3: Pendiente de una Curva de Indiferencia
x2
x2 − b
x1 x1 + a
En la figura, supongamos que tenemos dos puntos cercanos (x1, x2), (x1 + a, x2 − b) en la curva
de indiferencia. Una aproximaci´on de la pendiente a la tangente al grafo de la curva en (x1, x2) es
entonces
m =
(x2 − b) − x2
(x1 + a) − x1
= −
b
a
.
Por otro lado, del hecho que u(x1 + a, x2 − b) = u(x1, x2) = α, haciendo la aproximaci´on por la
derivada se tiene que3
:
u(x1 + a, x2 − b) − u(x1, x2) = 0 = a ·
∂u(x1, x2)
∂x1
− b ·
∂u(x1, x2)
∂x2
,
y luego,
3En rigor, la siguiente relaci´on es s´olo una aproximaci´on, que asumimos como igualdad. Recuerde adem´as que
f(x1 + δ, x2) − f(x1, x2) ∼ δ
∂f(x1,x2)
∂x1
y que f(x1, x2 − ǫ) − f(x1, x2) ∼ ǫ
∂f(x1,x2)
∂x2
. Si se mueven ambas componentes,
se tiene la aproximaci´on indicada.
11

12. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
m = −
b
a
≈ −
∂u(x1,x2)
∂x1
∂u(x1,x2)
∂x2
= −
UMg1(x1, x2)
UMg2(x1, x2)
.
Formalmente es como sigue. Puesto que u(x1, x2) = α, existe una relaci´on impl´ıcita entre x1 y x2
(ver Ejemplo 1.1). Luego, x2 es una funci´on de x1, digamos x2(x1). As´ı, u(x1, x2(x1)) = α. Derivando
esta expresi´on c.r. a x1 se tiene que
∂u(x1, x2(x1))
∂x1
=
∂α
∂x1
= 0,
ya que α no depende de x1. Desarrollando la derivada, por la regla de la cadena
∂u(x1, x2)
∂x1
+
∂u(x1, x2)
∂x2
·
∂x2(x1)
∂x1
= 0,
de lo cual se desprende que
∂x2(x1)
∂x1
= −
∂u(x1,x2)
∂x1
∂u(x1,x2)
∂x2
= −
UMg1(x1, x2)
UMg2(x1, x2)
,
que es an´alogo a lo ya mostrado. En consecuencia, la pendiente de la tangente a la curva de indiferencia
en un punto cualquiera de ella es menos el cuociente de las respectivas utilidades marginales.
Tal pendiente es un concepto importante en econom´ıa.
Definici´on 1.5 Relaci´on marginal de sustituci´on
Dada una funci´on de utilidad, u(·), y dado un nivel de satifacci´on α, se define la relaci´on marginal
de sustituci´on en el punto (x1, x2) de la curva de indiferencia respectiva, como la pendiente de la
tangente a dicha curva en el punto indicado. Se denotar´a RMS1,2(x1, x2) y de esta manera
RMS1,2(x1, x2) = −
∂u(x1,x2)
∂x1
∂u(x1,x2)
∂x2
= −
UMg1(x1, x2)
UMg2(x1, x2)
.
La siguiente Figura 4 ilustra el concepto:
Figure 4: Relaci´on Marginal de Sustituci´on
x2
x1
m = RMS1,2
12

13. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
¿C´omo se interpreta la RMS1,2? En primer lugar, supongamos que estamos en una canasta
(x1, x2) tal que u(x1, x2) = α y que decidimos aumentar en una unidad la cantidad del bien 1, pasando
de x1 a x1 + 1 (aumento marginal). En tal caso, si x2 no se modifica, necesariamente el aumento en
el bien de consumo 1 implicar´a aumentos de satisfacci´on; es decir, u(x1 + 1, x2) > α. De esta manera,
(x1 + 1, x2) no est´a en la curva de indiferencia al nivel α. Para seguir en la curva de indiferencia
(es decir, mantener el nivel de satisfacci´on constante a pesar del aumento marginal del consumo en el
bien uno), necesariamente la cantidad del bien 2 debe disminuir. Esta “disminuci´on” es precisamente
la RMS1,2(x1, x2).
De todo lo anterior, es directo que:
a.- Si la funci´on de utilidad es creciente por componentes, entonces la RMS1,2 es siempre negativa4
.
b.- La RMS2,1
5
es simplemente
RMS2,1 =
1
RMS1,2(x1, x2)
.
Ejemplo 1.7 Dada la funci´on de utilidad u1(x1, x2) = xa
1 · xb
2, es directo que
RMS1,2(x1, x2) = −
ax2
bx1
.
Supongamos que la funci´on de utilidad es estrictamente c´oncava. En tal caso, sabemos (ver
Ap´endice matem´atico) que la relaci´on funcional x2(x1) que define la curva de indiferencia es con-
vexa, implicando que su derivada es creciente. Pero en este caso, la derivada de la curva de indiferencia
es la relaci´on marginal de sustituci´on, y ya que ´esta es siempre negativa, el hecho que sea creciente
significa que cada vez es “menos negativa” en la medida que aumenta la cantidad del bien 1. Esto
implica que la cantidad en que disminuye el consumo del bien 2 ante un aumento unitario (marginal) de
consumo del bien 1 es decreciente en la medida que aumenta la cantidad del bien 1. ¿Son las funciones
de utilidad c´oncavas las ´unicas que tienen curvas de indiferencia convexa? La respuesta es NO, pues
existe una categor´ıa m´as amplia de funciones que tienen la misma propiedad. Estas funciones son las
llamadas cuasic´oncavas. De hecho, existen diversas formas de definir qu´e se entiende por una funci´on
cuasic´oncava. Por ejemplo, se dice que una funci´on u : R2
+ → R es cuasic´oncava, si para cualquier
X = (x1, x2), X′
= (x′
1, x′
2) ∈ R2
+ y para cualquier λ ∈ [0, 1] se tiene que
u(λX + (1 − λ)X′
) ≥ min{u(X), u(X′
)}.
Para nuestros objetivos, lo que es relevante de las funciones cuasic´oncavas es que:
(i) toda funci´on c´oncava es cuasic´oncava; la rec´ıproca no es cierta, es decir, que existen fun-
ciones cuasic´oncavas que no son c´oncavas.
(ii) se puede demostrar que una caracterizaci´on de la cuasic´oncavidad (y por lo tanto, se puede
entender como una forma alternativa de definirla) es que las curvas de indiferencia son
convexas:
una funci´on es cuasic´oncava si y s´olo si sus curvas de indiferencia son convexas.
¿Qu´e es entonces lo relevante de las utilidades cuasic´oncavas? Simplemente que la curva de indifer-
encia es convexa. Sobre este hecho se vuelve m´as adelante, donde se justificar´a la importancia de la
convexidad de las curvas de indiferencia en el modelo que estamos desarrollando.
4Esto del argumento de sustitubilidad anterior, pero tambi´en directamente de la definici´on, ya que los productos
marginales son positivos (funci´on creciente ⇒ derivada positiva) y la RMS es el negativo del cuociente de los productos
marginales.
5Que obviamente corresponde a la cantidad en que se debe modificar el consumo del bien 1 ante un cambio unitario
del bien 2 con el fin de mantener utilidad constante.
13

14. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
1.2 Elecci´on del consumidor: conceptos generales
En lo que sigue, vamos a modelar el problema de elecci´on de bienes de consumo (o servicios) por
parte del agente, considerando que ´este se desenvuelve en un contexto econ´omico donde los bienes
tienen cierto precio y que nuestro agente tiene una cierta cantidad de recursos6
que puede gastar en
el consumo. Para los efectos de elecci´on, asumiremos que el consumo de los bienes tiene un costo y que
de las posibles canastas que puede elegir, s´olo puede acceder a aquellas que con sus recursos
puede pagar. Si los precios de los bienes son p1 y p2 y los recursos del consumidor son R (ingreso,
renta, recursos, etc.), el agente puede entonces escoger entre todas aquellas canastas (x1, x2) ∈ R2
+
tales que
p1x1 + p2x2 ≤ R,
lo que motiva la siguiente definici´on.
Definici´on 1.6 Conjunto de restricci´on presupuestaria
Dados los precios de los bienes p1, p2, el conjunto de las canastas factibles que un individuo con
riqueza es R podr´ıa consumir se denota por
B(p1, p2, R) = {(x1, x2) ∈ R2
+ | p1x1 + p2x2 ≤ R},
y se llama conjunto de restricci´on presupuestaria del consumidor (o simplemente “conjunto pre-
supuestario”).
La Figura 5 representa un conjunto de restricci´on presupuestaria cualquiera.
Figure 5: Restricci´on Presupuestaria
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
x
x2
R/p2
R/p1 x1
B(p1, p2, R)
En la figura anterior, la recta frontera superior del conjunto presupuestario se llamada recta pre-
supuestaria, y queda definida por la por ecuaci´on
p1x1 + p2x2 = R ⇔ x2 =
R
p2
−
p1
p2
x1.
Notemos que la intersecci´on de la recta presupuestaria con los ejes se da en los puntos
Eje x1 :
R
p1
, 0 , Eje x2 : 0,
R
p2
6Digamos, dinero, sueldo, ingresos, rentas, riqueza, etc.
14

15. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Ejemplo 1.8 ¿Qu´e quiere decir (x1, x2) ∈ B(23, 12, 130)? Significa que si los precios del bien uno y
dos son p1 = 23 y p2 = 12 respectivamente, y que si la renta (ingreso, riqueza, etc.) del individuo es
R = 130, entonces para este Sr. es factible comprar una canasta conformada por x1 del bien uno y x2
del bien dos.
¿C´omo se “interpreta” la recta presupuestaria? Como se ha expuesto, a los precios p1, p2 y al ingreso
R, una canasta (x1, x2) ∈ R2
+ est´a en la correspondiente recta presupuestaria si p1x1 + p2x2 = R. Por
lo tanto, si el individuo decide comprar esta canasta, se gasta todos los recursos que tiene. As´ı, para
una canasta (x′
1, x′
2) ∈ R2
+ que no est´a en la recta presupuestaria, o bien
(a) la canasta (x′
1, x′
2) ∈ R2
+ es demasiado cara para el nivel de recursos que dispone el sujeto, de
modo que no puede comprarla; en tal caso, es una canasta no factible, y obviamente se cumple
que
p1x′
1 + p2x′
2 > R,
(b) o bien que al comprar la canasta (x′
1, x′
2) ∈ R2
+ de todas formas le sobran recursos, pues con el
ingreso que tiene, paga dem´as dicho consumo; en este caso, luego de comprar le sigue sobrando
riqueza; el remanente de riqueza es
R − p1x′
1 + p2x′
2 > 0.
Cambios en los par´ametros precio y riqueza tienen incidencia en la forma del conjunto presupues-
tario, cuesti´on que a su vez tiene una clara lectura desde el punto de vista de la econom´ıa. A priori,
si la riqueza aumenta, se deber´ıa tener una situaci´on m´as favorable para el individuo en cuanto a sus
opciones de elegir, pues en tal caso, adem´as de lo que ya pod´ıa comprar, tiene ahora nuevas opciones de
canastas que antes no ten´ıa. Por otro lado, que uno de los precios aumente (todo lo dem´as constante)
es una situaci´on desfavorable para el agente, pues en tal caso no necesariamente podr´a comprar las
mismas canastas que antes del alza. Formalmente, si los precios se mantienen constantes y la riqueza
del consumidor sube de R a R′
, entonces el conjunto factible al nuevo ingreso crece hacia arriba y hacia
la derecha respecto del original, de forma tal que contiene al original: si R′
> R entonces
B(p1, p2, R) ⊂ B(p1, p2, R′
). (4)
De hecho, ya que los precios se mantienen constantes, la recta presupuestaria del conjunto B(p1, p2, R′
)
es paralela a aquella del conjunto B(p1, p2, R). Lo expuesto se ilustra en la Figura 6,
Figure 6: Restricci´on Presupuestaria y aumento en la riqueza
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x2
R′
/p2
R/p2
R/p1R′
/p1 x1
15

16. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
En forma an´aloga, si la riqueza disminuye entonces la correspondiente frontera se desplaza paralela
hacia el origen, lo que resulta en un conjunto factible “m´as peque˜no que el original”.
Por otro lado, si el precio p1 aumenta a p′
1 (el bien 1 se hace m´as caro), manteniendo constante p2
y R, el conjunto factible se modifica como se muestra en la Figura 7. En este caso, cambia la pendiente
de la recta presupuestaria, de forma tal que el nuevo conjunto est´a contenido en el original: si p′
1 > p1
entonces
B(p′
1, p2, R) ⊂ B(p1, p2, R). (5)
Figure 7: Conjunto Presupuestario y Aumento de Precio
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x2
R/p2
R/p′
1 R/p1x1
p′
1 > p1
Si el precio disminuye, entonces la recta presupuestaria pivotea hacia la derecha, de modo que el
nuevo cojunto contiene al original. Lo ya expuesto aplica para cambios en el precio del bien dos, todo
lo dem´as constante.
Ejemplo 1.9 Subsidios, impuestos, herencias, etc.
Los subsidios, impuestos, herencias, etc., los podemos entender como par´ametros ex´ogenos que
modifican ya sea los precios o la riqueza del individuo. Por ejemplo, si inicialmente una persona tiene
una riqueza R > 0 y los precios de los bienes de consumo son p1, p2, que el sujeto reciba una herencia
H > 0 implica que su nuevo riqueza es R + H, lo que ciertamente tiene implicancias en las opciones
tiene para elegir las canastas (en este caso, m´as opciones). Por el contrario, si se aplica un impuesto
al ingreso, digamos T > 0, entonces el nuevo escenario que enfrenta es con riqueza R − T ; en tal caso
las opciones de consumo son dadas por
B(p1, p2, R − T ).
Si deseamos “desincentivar” el consumo de, por ejemplo, el bien uno, se podr´ıa hacer (i) aumen-
tando exogenamente el precio del mismo, o bien (ii) poniendo un impuesto al gasto que se haga en
dicho bien. Por ejemplo, si se obliga un aumento del precio p1 en δ > 0, la nueva recta presupuestaria
es
(p1 + δ)x1 + p2x2 = R,
mientras que si grabamos el gasto en el bien uno, digamos, con una tasa de impuesto τ ∈ [0, 1],
entonces la nueva recta es
(1 + τ)p1x1 + p2x2 = R.
16

17. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
1.3 Elecci´on del consumidor: maximizaci´on de la satisfacci´on
Lo anterior describe con alg´un detalle el conjunto factible donde el consumidor puede hacer la elecci´on
de canastas de consumo. Obviamente dicho conjunto permite muchas opciones para escoger canastas.
El problema es determinar cu´al de aquellos puntos factibles es el m´as razonable (deseable, conveniente,
etc.) para nuestro personaje. Para el efecto puede haber muchos criterios sobre qu´e es lo m´as razonable,
criterio que una vez adoptado define la elecci´on del individuo. Por ejemplo, nuestro personaje podr´ıa
elegir dentro de aquellas (i) canastas de bienes que tienen un porcentaje pre-fijado entre uno y otro bien;
(ii) entre aquellas que contienen necesariamente una cantidad x∗
1 del bien 1 dada a priori; (iii) entre
aquellas que satisfacen una desigualdad de la forma x1 ≥ ξ1, x2 ≥ ξ2, donde ξ1, ξ2 son dados a priori,
etc. Lo anterior no es absurdo como forma de escoger. Por ejemplo, que las elecciones de canastas
sean condicionales a que existan consumos m´ınimos en alguno de los bienes (o ambos) puede aparecer
naturalmente bajo requisitos de salubridad, pues dicho consumo m´ınimo garantiza, por ejemplo, una
cantidad adecuada de nutrientes.
En resumen, no hay una ´unica forma de establecer criterios de elecci´on de canastas de
consumo para los individuos: hay muchas opciones y no necesariamente alg´un criterio es mejor
que otro, si es que tiene sentido hablar normativamente en estas materias. Sin embargo, hay un criterio
ampliamente utilizado en econom´ıa que, nuevamente, parte de la base del supuesto hedonista que ya
hemos indicado (el individuo consume porque le gusta, le hace bien, logra satisfacci´on, etc.). El criterio
considera que las elecciones de los individuos son hechas con el fin de maximizar la utilidad resultante
del misma, teniendo en cuesta las restricciones presupuestarias que enfrenta. De esta manera, se hace
compatible lo que se quiere con lo que se puede, siendo esta la idea de racionalidad econ´omica
detr´as de todo el modelo que estamos desarrollando7
.
Definici´on 1.7 Problema del consumidor: maximizaci´on de utilidad sujeto a restricci´on
presupuestaria.
Dados los precios de los bienes p1 y p2 y dada la renta del individuo R, el problema del consumidor
consiste en encontrar aquella canasta factible que maximiza su utilidad, lo que se traduce en resolver
el siguiente problema de optimizaci´on:
max u(x1, x2)
s.a (x1, x2) ∈ B(p1, p2, R)
⇔
max u(x1, x2)
s.a p1 · x1 + p2 · x2 ≤ R
Supongamos que la soluci´on del problema del consumidor es x∗
1, x∗
2 y que
p1x∗
1 + p2x∗
2 < R (6)
Dos cuestiones. Primero, por definici´on se tiene que para todo (x1, x2) ∈ B(p1, p2, R), u(x1, x2) ≤
u(x∗
1, x∗
2). Segundo, puesto que se cumple la condici´on (6), entonces para δ > 0 suficientemente peque˜no
se tiene que8
p1(x∗
1 + δ) + p2x∗
2 = R.
De lo anterior, (x∗
1 + δ, x∗
2) ∈ B(p1, p2, R). Pero adem´as, ya que la funci´on de utilidad es estrictamente
creciente,
u(x∗
1 + δ, x∗
2) > u(x∗
1, x∗
2),
lo que contradice el hecho que (x∗
1, x∗
2) maximiza la utilidad en el conjunto factible. Todo el problema
viene de suponer que p1x∗
1 + p2x∗
2 < R, pues a partir de este hecho hemos podido encontrar otro punto
que nos entrega m´as satisfacci´on. En concreto, se tiene la siguiente proposici´on.
7En alg´un sentido el criterio de racionalidad anterior sigue siendo “muy amplio”: muchas de las actividades que uno
realiza en la vida se pueden ver como resultado de un proceso de maximizaci´on; todo es cuesti´on de “escoger” la correcta
funci´on de utilidad para justificar tal elecci´on. A pesar de esto, en todo lo que sigue trabajaremos bajo el supuesto que
los consumidores son agentes cuyo objetivo es el indicado.
8Basta con δ =
R−p1x∗
1−p2x∗
2
p1
> 0.
17

18. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Proposici´on 1.3 Dada una funci´on de utilidad estrictamente creciente en cada componente, si (x∗
1, x∗
2)
es la soluci´on del problema de maximizaci´on de utilidad sujeto a restricci´on presupuestaria, necesari-
amente se debe cumplir que,
p1x∗
1 + p2x∗
2 = R.
As´ı, bajo el supuesto que la f.d.u es estrictamente creciente por componentes, el problema del
consumidor se puede replantear equivalentemente de la siguiente manera (se da por descontado
que las variables son mayores o iguales a cero):
Formulaci´on equivalente del problema del consumidor
max u(x1, x2)
s.a p1 · x1 + p2 · x2 = R
(7)
El problema de optimizaci´on (7) es uno con restricci´on de igualdad, y no de desigualdad como era
originalmente, lo que nos permite ocupar Lagrangeanos para resolverlo.
Definici´on 1.8 Demanda Marshaliana y utilidad indirecta
La soluci´on del problema del consumidor (7) se denotar´a por
xi(p1, p2, R), i = 1, 2
y se llamar´a demanda Marshaliana del consumidor por el bien 1 y 2 respectivamente. El m´aximo
valor de la funci´on de utilidad dada la restricci´on presupuestaria se denomina utilidad indirecta
del individuo y se denota por v(p1, p2, R), es decir,
v(p1, p2, R) = u(x1(p1, p2, R), x2(p1, p2, R)).
Para determinar las demandas, y con ello la funci´on de utilidad indirecta, se procede, en primer
lugar, definiendo el Lagrangeano del problema del consumidor (7):
L(x1, x2, λ) = u(x1, x2) + λ · [R − p1x1 − p2x2].
Con ello, las condiciones necesarias de optimalidad son las siguientes:
a.- ∂L(x1,x2,λ)
∂x1
= 0 ⇔ ∂u(x1,x2)
∂x1
− λp1 = 0 ⇔ ∂u(x1,x2)
∂x1
= λp1.
b.- ∂L(x1,x2,λ)
∂x2
= 0 ⇔ ∂u(x1,x2)
∂x2
− λp2 = 0 ⇔ ∂u(x1,x2)
∂x2
= λp2.
c.- ∂L(x1,x2,λ)
∂λ = 0 ⇔ p1x1 + p2x2 = R.
De las condiciones a.− y b.− se tiene entonces que (cuociente),
∂u(x1,x2)
∂x1
∂u(x1,x2)
∂x2
=
λp1
λp2
=
p1
p2
⇔ RMS1,2(x1, x2) = −
p1
p2
.
Resumiendo, la demanda se obtiene de resolver el sistema de ecuaciones
Ec. 1 : RMS1,2(x1, x2) = −
p1
p2
,
Ec. 2 : p1x1 + p2x2 = R.
En todo lo que sigue, trabajaremos bajo el supuesto que efectivamente las condiciones
necesarias de primer orden nos permiten resolver el problema, sin requerir condiciones adi-
cionales (o de segundo orden) para determinar las demandas. Un caso particular muy importante
para el cual se cumple tal supuesto anterior ocurre cuando las curvas de indiferencia son estrictamente
18

19. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
convexas, cuesti´on que se tiene cuando la f.d.u es estrictamente c´onicava (y m´as general, estrictamente
cuasic´oncava). Esto justifica el empleo de tales funciones en la pr´actica.
Interpretemos geom´etricamente las condiciones de optimalidad del problema del consumidor. Para
ello, dada la restricci´on presupuestaria y dadas las demandas x1(p1, p2, R) y x2(p1, p2, R), sea v =
v(p1, p2, R) (utilidad indirecta). Entonces la curva de indiferencia al nivel v anterior es tangente
a la recta presupuestaria. En efecto, es claro que la curva de indiferencia debe cortar a la recta
presupuestaria, ya que de lo contrario cualquier punto de ella no ser´ıa factible. En segundo lugar, si la
curva de indiferencia corta a la recta presupuestaria en m´as de un punto, entonces habr´a otra curva de
indiferencia de mayor nivel de utilidad que tambi´en cortar´a a la recta presupuestaria, lo cual contradice
la definici´on demanda pues no se estar´ıa maximizando en xi(p1, p2, R). La ´unica alternativa que queda
es la de tangencia como se muestra en la Figura 8,
Figure 8: Maximizaci´on de Utilidad
x
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxR/p2
x2(p1, p2, R)
x1(p1, p2, R) R/p1
v
Note que, de la condici´on de tangencia se debe cumplir que la pendiente de la recta presupuestaria
−p1
p2
debe ser igual a la pendiente de la tangente de la curva de indiferencia en la demanda. Pero
dicha pendiente es simplemente la relaci´on marginal de sustituci´on y, por lo tanto, se tiene que
RMS1,2(x1(p1, p2, R), x2(p1, p2, R)) = −
p1
p2
,
cuesti´on que ya sab´ıamos.
Nota. 1.3 Otra interpretaci´on de las condiciones de optimalidad
Denotemos por x∗
1 = x1(p1, p2, R) y x∗
2 = x2(p1, p2, R). Como estamos en el ´optimo, cualquier
modificaci´on en dichas cantidades de consumo deber´ıa hacer disminuir el nivel de satisfacci´on del
individuo (las demandas maximizan utilidad, luego cualquier otra factible debe otorgar menos utilidad).
De esta manera, si fuera que el consumo del bien 1 aumenta en una unidad, entonces la utilidad
crecer´ıa
∂u(x∗
1,x∗
2)
∂x1
, pero, dado que existe una restricci´on presupuestaria, el aumento anterior deber´ıa
ser compensado por una disminuci´on en el consumo del bien 2. Digamos que tal disminuci´on es δ.
Luego, en primer lugar, se debe cumplir que,
p1(x∗
1 + 1) + p2(x∗
2 − δ) = R
de lo cual se tiene que δ = p1/p2. Ahora bien, en el punto factible (x∗
1 + 1, x∗
2 − δ) la utilidad del
individuo es menor que en la demanda. Luego, el cambio neto en utilidad producto de las modificaciones
19

20. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
anteriores ser´a9
,
∂u(x∗
1, x∗
2)
∂x1
−
p1
p2
·
∂u(x∗
1, x∗
2)
∂x2
.
el cual necesariamente debe ser negativo, ya que si fuera positivo habr´ıamos encontrado otro punto con
mayor utilidad. De anterior se tiene entonces que,
∂u(x∗
1, x∗
2)
∂x1
−
p1
p2
·
∂u(x∗
1, x∗
2)
∂x2
≤ 0 ⇔
∂u(x∗
1 ,x∗
2)
∂x1
∂u(x∗
1 ,x∗
2)
∂x2
≤
p1
p2
⇔ RMS1,2(x∗
1, x∗
2) ≤ −
p1
p2
. (8)
Si ahora disminuimos el consumo del bien 1 en una unidad, la utilidad cae en
∂u(x∗
1 ,x∗
2)
∂x1
. Para
mantener la restricci´on presupuestaria, el bien 2 deber´ıa aumentar en (p1/p2) y con todo esto el cambio
(positivo) en utilidad ser´ıa, p1
p2
·
∂u(x∗
1,x∗
2)
∂x2
. De esta manera, el cambio neto en utilidad ser´ıa:
−
∂u(x∗
1, x∗
2)
∂x1
+
p1
p2
·
∂u(x∗
1, x∗
2)
∂x2
,
el cual debe ser positivo. Luego, se debe cumplir que,
−
∂u(x∗
1, x∗
2)
∂x1
+
p1
p2
·
∂u(x∗
1, x∗
2)
∂x2
≤ 0 ⇔
∂u(x∗
1 ,x∗
2)
∂x1
∂u(x∗
1 ,x∗
2)
∂x2
≥
p1
p2
⇔ RMS1,2(x∗
1, x∗
2) ≥ −
p1
p2
. (9)
Mirando (8) y (9), se concluye que en el ´optimo se debe cumplir que, RMS1,2(x∗
1, x∗
2) = −p1
p2
,
condici´on que ya ten´ıamos.
Si la funci´on de utilidad es “c´oncava sin lados rectos” (es decir, estrictamente c´oncava), sabemos
que las correspondientes curvas de indiferencia ser´an estrictamente convexas. En tal caso, al desplazar
la recta presupuestaria con el fin de intersectarlas con la curva de indiferencia, la tangencia se dar´a en
un ´unico punto, el cual, como ya sabemos, corresponde la demanda. De esta manera, podemos concluir
que para cualquier p1, p2 > 0 y para cada ingreso R > 0, xi(p1, p2, R), i = 1, 2, est´a un´ıvocamente
definida y se puede determinar a partir de las condiciones necesarias de optimalidad del problema.
´Esta es la justificaci´on fundamental para considerar funciones de utilidad c´oncavas (m´as general,
cuasic´oncavas) en el an´alisis.
La siguiente figura ilustra curvas de indiferencia convexas y no convexas y las demandas que se
tienen en ambos casos. Note que en el segundo caso hay m´as de una posibilidad para la demanda.
Figure 9: Curva de Indiferencia Convexa y No Convexa
x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Demanda ´Unica Demanda M´ultiple
Curva de Indiferencia No ConvexaCurva de Indiferencia Convexa
9Recordemos que f(x1 + δ, x2 + ǫ) − f(x1, x2) ∼ δ ∂f(x1,x2)
∂x1
+ ǫ ∂f(x1,x2)
∂x2
.
20

21. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Ejemplo 1.10 Dada la funci´on de utilidad u(x1, x2) = xa
1 ·xb
2, y dados los precios p1, p2 y la renta R,
determinemos las demandas por bienes y la funci´on de utilidad indirecta. Para el caso, el Lagrangeano
es
L = xa
1 · xb
2 + λ[R − p1x1 − p2x2].
De las condiciones de optimalidad, se tiene que,
a.- axa−1
1 xb
2 − λp1 = 0
b.- bxa
1xb−1
2 − λp2 = 0
c.- p1x1 + p2x2 = R.
Luego, de a.− y b.− se tiene que ax2
bx1
= p1
p2
, es decir, x2 = bp1x1
ap2
. De esta manera, lo anterior en
c.− implica que,
x1(p1, p2, R) =
aR
p1(a + b)
, x2(p1, p2, R) =
bR
p2(a + b)
y as´ı,
v(p1, p2, R) =
aR
p1(a + b)
a
·
bR
p2(a + b)
b
.
Ejemplo 1.11 Demanda con funci´on de utilidad lineal
Dada la funci´on de utilidad u(x1, x2) = a · x1 + b · x2, y dados los precios p1, p2 y la renta R,
determinemos las demandas por bienes y la funci´on de utilidad indirecta. Si seguimos el enfoque
utilizando las condiciones de optimalidad del problema del consumidor, el Lagrangeano del problema es
L = a · x1 + b · x2 + λ · [R − p1x1 − p2x2] = [a − λp1]x1 + [b − λp2]x2 + λR,
de modo que derivando c.r. a x1 y x2 se tendr´ıa que
∂L
∂x1
= a − λp1,
∂L
∂x2
= b − λp2.
As´ı, en el ´optimo se “deber´ıa cumplir” que
a
b
=
p1
p2
,
relaci´on que obviamente es absurda pues, a priori, los par´ametros son arbitrarios10
. As´ı, resolver el
problema empleando el c´alculo es inconducente. Veamos directamente. De la restricci´on presupuestaria,
se tiene que
x2 =
R
p2
−
p1
p2
· x1,
que incorpor´andola en la funci´on objetivo nos lleva a que el problema del consumidor se puede re-escribir
equivalentemente como
max
x1
a · x1 + b ·
R
p2
−
p1
p2
· x1 ⇔ max
x1
x1 · a −
p1 · b
p2
+
b · R
p2
.
La constante de la derecha no altera la soluci´on del problema, siendo equivalente a
max
x1
x1 · a −
p1 · b
p2
. (10)
Para resolver (10), se deben considerar tres casos posibles:
10Incluso de tener sentido, dicha condici´on no nos permitir´ıa obtener las demandas.
21

22. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
(i) que a − p1·b
p2
> 0 (es decir, a
p1
> b
p2
),
(ii) que a − p1·b
p2
< 0 es decir, a
p1
< b
p2
),
(iii) a − p1·b
p2
= 0 (es decir, a
p1
= b
p2
),
Para el caso (i), el m´aximo valor de la funci´on objetivo se obtiene cuando x1 = R
p1
y por ende11
x2 = 0. As´ı, la utilidad indirecta es
v(p, R) =
a · r
p1
.
Para el caso (ii), la demanda es x1 = 0 y x2 = R
p2
, en cuyo caso la utilidad indirecta es v(p, R) = b·R
p2
.
Finalmente, para el tercer caso, respetando la restricci´on presupuestaria, x1 puede tomar cualquier
valor, como as´ı x2: toda la recta presupuestaria es soluci´on del problema. Por lo tanto, tomando
x1 = R
p1
, x2 = 0, la utilidad indirecta es v(p, R) = a·R
p1
= b·R
p2
.
Todo lo anterior puede resultar m´as claro si lo vemos desde un punto de vista gr´afico. La Figura 10
es ilustrativa.
Figure 10: Maximizaci´on de Utilidad de Funci´on Lineal
x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
R/p2
R/p1
(1) : a′
x1 + b′
x2 = R
(2) : ax1 + bx2
Para encontrar las demandas, debemos tener en cuenta la las pendientes de la recta presupuestaria
y de las curvas de indiferencia, ambas constantes. En primer lugar, del gr´afico es claro que la soluci´on
del problema es esquina, en el sentido que las demandas son, o s´olo con bien 1 o s´olo con bien 2 (salvo
el caso (iii) anterior). Para curvas de indiferencia como las punteadas, la demanda ser´a x2 = R/p2 y
x1 = 0 (caso (ii)); para el otro tipo de curva de indiferencia de la figura, la demanda ser´a x1 = R/p1
y x2 = 0 (caso (i)). La demanda depende, en definitiva, de las pendientes relativas de la recta
presupuestaria y las curvas de indiferencia. El ´unico caso en que puede haber m´ultiples soluciones es
cuando las pendientes de ambas rectas coinciden (caso (iii)): la soluci´on es entonces cualquier punto
de la recta presupuestaria.
Ejemplo 1.12 Maximizaci´on de beneficio con funciones de utilidad cuasi-lineales
Una funci´on de utilidad u : R2
+ → R se dice cuasi-lineal cuando se puede expresar de la forma
u(x1, x2) = αx1 + φ(x2),
con φ : R+ → R una funci´on creciente. Para u como antes, condicional a los precios y renta, el
problema de consumidor es
max
x1,x2
αx1 + φ(x2) s.a. p1x1 + p2x2 = R.
11Recordar que p1 · x1 + p2 · x2 = R.
22

23. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
De la restricci´on, despejando x1 en funci´on de x2 y reemplazando en la funci´on objetivo, el problema
anterior se convierte en
max
x2
α ·
R
p1
−
p2x2
p1
+ φ(x2).
De las condiciones de optimalidad del problema anterior, la demanda por bien dos debe cumplir que
φ′
(x2) = α ·
p2
p1
,
condici´on que nos permite encontrarla de manera directa, resolviendo as´ı el problema.
Supongamos ahora que la preferencia de un agente es representada por dos funciones de utilidad,
digamos u1 y u2. En tal caso, sabemos que existe una funci´on estrictamente creciente φ tal que12
u1(x1, x2) = φ(u2(x1, x2)). (11)
A los precios p1, p2 y riqueza R, para determinar las demandas empleando la f.d.u u1, se debe
resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Ec. 1
∂u1(x1,x2)
∂x1
∂u1(x1,x2)
∂x2
=
p1
p2
.
Ec. 2 : p1x1 + p2x2 = R
Notemos que la Ecuaci´on 2 no depende de las preferencias. Por otro lado, de (11), se tiene que
(aplicar regla de la cadena)
∂u1(x1, x2)
∂x1
=
∂φ(u2(x1, x2))
∂x1
= φ′
(u2(x1, x2)) ·
∂u2(x1, x2)
∂x1
.
An´alogamente,
∂u1(x1, x2)
∂x2
=
∂φ(u2(x1, x2))
∂x2
= φ′
(u2(x1, x2)) ·
∂u2(x1, x2)
∂x2
,
y en consecuencia,
∂u1(x1,x2)
∂x1
∂u1(x1,x2)
∂x2
=
φ′
(u2(x1, x2)) · ∂u2(x1,x2)
∂x1
φ′(u2(x1, x2)) · ∂u2(x1,x2)
∂x2
=
∂u2(x1,x2)
∂x1
∂u2(x1,x2)
∂x2
.
Luego, el sistema de ecuaciones para determinar la demanda es el mismo si empleamos u1 o u2,
es decir, la demanda que se calcula con u1 es coincidente con aquella que se obtendr´ıa
de emplear u2. Obviamente la utilidad indirecta depende la funci´on de utilidad que se
considere.
Ejemplo 1.13 Recordemos que el problema del consumidor es
max u(x1, x2)
s.a p1 · x1 + p2 · x2 = R.
Sea ahora f : R → R una funci´on creciente estricta cualquiera. Como el objetivo es maximizar
u(x1, x2) sujeto a la restricci´on presupuestaria, claramente la soluci´on no cambiar´a si el prob-
lema es maximizar f(u(x1, x2)) sujeto a la misma restricci´on presupuestaria. De esta manera, con
una adecuada elecci´on de f, se podr´ıa simplificar la determinaci´on de la demanda. Para fijar ideas,
supongamos que deseamos encontrar las demandas asociadas a la funci´on de utilidad CES
12Recordemos que las funciones de utilidad son ´unicas salvo transformaciones crecientes.
23

24. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
u(x1, x2) = [c0 + c1xρ
1 + c2xρ
2]
1
ρ
.
En este caso, maximizar la utilidad anterior sujeta a restricci´on presupuestaria es equivalente a maxi-
mizar
uρ
(x1, x2) = [c0 + c1xρ
1 + c2xρ
2]
con la misma restricci´on. En este caso, f(x) = xρ
. M´as aun, como la constante c0 no interviene en el
resultado de la maximizaci´on, al maximizar
[c1xρ
1 + c2xρ
2]
se obtiene un resultado equivalente. Obviamente las transformaciones se justifican siempre y cuando
el nuevo problema sea m´as sencillo de resolver que el original. Note, finalmente, que esta elecci´on
permite encontrar las demandas; sin embargo, para evaluar la utilidad indirecta se debe volver a
la funci´on de utilidad original.
1.4 An´alisis de sensibilidad del problema del consumidor
En lo que sigue, vamos a estudiar los efectos sobre la demanda, y la utilidad indirecta, que implican
variaciones en los precios y la riqueza. Esto es lo que tradicionalmente se conoce como an´alisis de
sensibilidad del problema del consumidor.
En primer lugar, sabemos que si uno de los precios sube (ceteris paribus), entonces el nuevo
conjunto de restricci´on presupuestario es m´as peque˜no que el original (ver (5)), por lo cual la nueva
demanda ser´a necesariamente tal que la utilidad indirecta obtenida es menor o igual (en general,
menor estricta) que en la original: esto es simplemente porque el nuevo set de posibilidades tiene
menos opciones donde escoger que el original. Luego la soluci´on resulta menos favorable que antes del
cambio en precio. Por lo tanto, hemos probado que13
,
∂v(p1, p2, R)
∂p1
< 0 ,
∂v(p1, p2, R)
∂p2
< 0. (12)
Por otro lado, si el ingreso aumenta (ceteris paribus), entonces el nuevo conjunto de restricci´on
presupuestario es m´as grande que el original (ver relaci´on (4)). Luego, siguiendo el razonamiento
anterior, se concluye que la utilidad indirecta necesariamente debe aumentar, pues en este nuevo
escenario tenemos m´as opciones para escoger que en la situaci´on original. En consecuencia, hemos
probado que
∂v(p1, p2, R)
∂R
> 0. (13)
Con lo anterior s´olo hemos concluido sobre el efecto en la utilidad indirecta seg´un cambios en los
precios y la riqueza. La pregunta obvia es, ¿qu´e sucede con las demandas en funci´on de variaciones en los
par´ametros? La respuesta es algo m´as compleja que lo expuesto, y se pueden dar m´ultiples situaciones
que pasaremos a detallar. En primer lugar, supongamos que p1 aumenta, digamos a p′
1. Sabemos
que este cambio puede afectar ambas demandas, pues ambas puedes depender del precio p1. Como
ya sabemos, en este escenario la utilidad indirecta disminuye, por lo que necesariamente al menos
una de las demandas debe disminuir debido al cambio de precios (si ambas demandas aumentasen,
entonces no podr´ıa ocurrir que la utilidad indirecta disminuya). A priori, no necesariamente las dos
demandas han de caer. Esto motiva la siguiente definici´on. Lo usual es que cuando el precio de un
bien aumente, la correspondiente demanda disminuya. Lo contrario motiva la siguiente definici´on.
13En forma an´aloga podemos deducir que si el precio disminuye, entonces el conjunto de restricci´on presupuetario
es “m´as grande” que el original, por lo cual la utilidad indirecta aumenta. De todo esto, si el precio sube la utilidad
indirecta cae, si el precio cae, la utilidad indirecta aumenta; es decir, la derivada respectiva es negativa como se indica.
24

25. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Definici´on 1.9 Diremos que un bien i = 1, 2 es Giffen si un aumento del precio propio pi implica un
aumento en la demanda respectiva.
En otras palabras, el bien i = 1, 2 es de Giffen si,
∂xi(p1, p2, R)
∂pi
> 0.
Es claro que si el bien 1 es de Giffen, entonces necesariamente se debe cumplir que,
∂x2(p1, p2, R)
∂p1
< 0
pues de lo contrario, ante un aumento en el precio p1 ambos bienes aumentar´ıan la demanda, lo cual
contradice el hecho que la utilidad indirecta disminuya antes alzas de precio.
La Figura 11 ilustra la definici´on de un bien Giffen.
Figure 11: Bien Giffen
x
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxR/p2
b′′
b′
b
a′′
a′ a R/p1 R/p′
1 R/p′′
1
Notemos que, si el precio p1 disminuye (p1 > p′
1 > p
′′
1 ), la demanda respectiva del bien 1 tambi´en
disminuye (a > a′
> a
′′
), por lo cual, el bien 1 es de Giffen, es decir,
∂x1(p1, p2, R)
∂p1
> 0.
Notemos finalmente que disminuciones en el precio p1 implican disminuciones en la demanda del
bien dos:
p1 > p′
1 > p
′′
1 ⇒ b < b′
< b
′′
.
Si dibujamos la demanda de un bien de Giffen en funci´on del precio respectivo, se tiene que la
pendiente de la curva es positiva, lo que obviamente es contrario a las situaciones usuales de demanda
de bienes. La Figura 12 ilustra la curva de demanda de un bien Giffen y de uno no Giffen.
25

26. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 12: Bien Giffen y No Giffen
x
x1
p1 p1No Giffen
x1
Giffen
Dados por los precios p1, p2 y la renta R, supongamos que el precio del bien uno aumenta a p′
1 > p1.
En tal caso, el cambio de demanda del bien i = 1, 2 es
xi(p′
1, p2, R) − xi(p1, p2, R),
que en t´erminos porcentuales, corresponde a
xi(p′
1, p2, R) − xi(p1, p2, R)
xi(p1, p2, R)
.
El cambio porcentual en el precio es
p′
1 − p1
p1
.
La elasticidad precio de la demanda es simplemente el cuociente de los cambios porcentuales
anteriores: as´ı, la elasticidad “precio del bien uno” de la “demanda por el bien i = 1, 2” es
ǫp1,xi =
xi(p′
1,p2,R)−xi(p1,p2,R)
xi(p1,p2,R)
p′
1−p1
p1
.
Ordenando los t´erminos, lo anterior corrresponde a
ǫp1,xi =
xi(p′
1, p2, R) − xi(p1, p2, R)
p′
1 − p1
·
xi(p1, p2, R)
p1
,
que cuando p′
1 ∼ p1 se puede aproximar por
ǫp1,xi =
xi(p′
1, p2, R) − xi(p1, p2, R)
p′
1 − p1
·
xi(p1, p2, R)
p1
∼
∂xi(p1, p2, R)
∂p1
·
xi(p1, p2, R)
p1
.
Es seg´un la aproximaci´on de la derecha que usualmente se define la elasticidad precio de la
demanda. Si en valor absoluto se tiene que la elasticidad precio de la demanda es mayor que uno,
se dice que el bien es el´astico a ese precio; caso contratio, si en valor absoluto la elasticidad precio
del bien es menor que uno, se dice que es inel´astico a dicho precio: un bien el´astico responde
“fuertemente” a cambios en los precios, mientras que un bien inel´astico es poco sensible a
tales modificaciones.
Consideremos ahora variaciones en la riqueza y su efecto en la demanda. En primer lugar, ya
sabemos que si el ingreso aumenta, la utilidad indirecta tambi´en lo hace. El problema, como antes, es
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27. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
determinar que sucede con las demandas. En primer lugar, por lo antes indicado, si el ingreso aumenta
necesariamente al menos una de las demandas debe aumentar, pues si ambas disminuyen no podr´ıa ser
que la utilidad indirecta aumentase. El asunto es que no necesariamente ambas demandas aumentan
ante alzas de ingreso. Esto motiva la siguiente definici´on.
Definici´on 1.10 Diremos que un bien i = 1, 2 normal si aumentos en la riqueza implica aumentos
en su demanda. En caso contrario diremos que el bien es inferior.
De esta manera, el bien i = 1, 2 es normal si,
∂xi(p1, p2, R)
∂R
> 0,
y es inferior si,
∂xi(p1, p2, R)
∂R
< 0.
La Figura 13 ilustra las definiciones anteriores.
Figure 13: Bien Normal y Bien Inferior
x2
Ambos bienes normales x1 1: Normal; 2: Inferior x1
x2
A priori, podemos dibujar una curva que represente s´olo las demandas de los bienes ante cambios
en el ingreso, la que recibe el nombre de Curva de Engel. Note que si ambos bienes son normales, las
curvas de Engel son crecientes. Por el contrario, si uno de los bienes es inferior, la curva es decreciente.
¿C´omo interpretar la curva de Engel? Recuerde que, por definici´on, la curva de Engel nos entrega
las demandas en diversos escenarios de ingreso (riqueza). Condicional a los precios, un punto cualquiera
de ella corresponde a la demanda de bienes que se tendr´ıa para el valor correspondiente de riqueza,
esto condicional a los precios de los bienes.
Dada la curva de Engel, suponiendo que ambos bienes son normales, es perfectamente posible que
en la medida que el ingreso aumenta la demanda de uno de ellos crezca m´as r´apido que la demanda
del otro. Esto se puede interpretar diciendo que ante aumentos de ingreso, el individuo compra m´as
de uno en relaci´on al otro (aumento del consumo de manera m´as que proporcional). En tal caso, si
por ejemplo la demanda del bien uno crece m´as r´apido que la del dos, entonces la curva de Engel ser´a
m´as plana, es decir, con pendiente de tangente (derivada) menor que uno; por el contrario, si fuera
que ante aumentos del ingreso la demanda del bien dos crece m´as r´apido que la demanda del bien uno,
entonces la curva de Engel ser´a m´as empinada, es decir, con pendiente de tangente mayor que uno en
todo punto. Gr´aficamente lo indicado es como sigue.
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28. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 14: Bien de Lujo y Bien Necesario (1)
x2
x1
(2)
(1)
En la Figura 14, en la curva (1), la demanda del bien uno crece m´as r´apido que aquella del bien
dos cuando aumenta el ingreso; lo contrario en la curva (2).
Lo anterior motiva la siguiente definici´on.
Definici´on 1.11 Para bienes normales, si en la medida que el ingreso aumenta se tiene que la demanda
de uno de ellos crece m´as que proporcionalmente que la demanda del otro, diremos que dicho bien es
un bien de lujo, mientras que el otro se denomina bien necesario.
Ejemplo 1.14 Dada la f.d.u. u(x1, x2) = xα
1 · xβ
2 , sabemos que
x1(p1, p2, R) =
αR
p1(α + β)
, x2(p1, p2, R) =
βR
p2(α + β)
.
En este caso, ambos bienes no son de Giffen pues si el respectivo precio aumenta, la demanda
disminuye:
∂x1(p1, p2, R)
∂p1
= −
αR
p2
1(α + β)
< 0;
∂x2(p1, p2, R)
∂p2
= −
βR
p2
2(α + β)
< 0.
Por otro lado, ambos bienes son normales pues aumentos del ingreso implican aumentos de la
demanda:
∂x1(p1, p2, R)
∂R
=
α
p2
1(α + β)
> 0;
∂x2(p1, p2, R)
∂R
=
β
p2
2(α + β)
> 0.
Para dibujar las curvas de Engel, notemos que
x1(p1, p2, R)
x2(p1, p2, R)
=
αR
p1(α+β)
βR
p2(α+β)
=
α
β
.
Luego, x1(p1, p2, R) = α
β · x2(p1, p2, R), que es una recta en el plano x1 − x2. La pendiente de dicha
recta es α
β , que gr´aficamente se ve en la Figura 15 es la siguiente:
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29. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
x2
x1
(2)
(1)
Figure 15: Bien de Lujo y Bien Necesario
En la Figura 15, para el caso (1) se tiene que α > β mientras que en el caso (2) se tiene que α < β.
De esta manera, el bien uno ser´a de lujo y el dos necesario si α > β y contrario si α < β.
Finalmente mostramos un resultado de sensibilidad que combina los conceptos que hemos intro-
ducido previamente, y que ser´a de utilidad m´as adelante. Se conoce como identidad de Roy, y
establece un v´ınculo entre la demanda Marshaliana y variaciones de la utilidad indirecta.
Proposici´on 1.4 La funci´on de utilidad indirecta y las funciones de demanda Marshaliana verifican
la siguiente relaci´on:
∂v(p1,p2,R)
∂pi
∂v(p1,p2,R)
∂R
= −xi(p1, p2, R) i = 1, 2.
Demostraci´on. En primer lugar, dadas las demandas x1(p1, p2, R) y x2(p1, p2, R) y dada la funci´on
de utilidad indirecta v(p1, p2, R), sabemos que p1x1(p1, p2, R) + p2x2(p1, p2, R) = R. Luego, derivando
directamente con respecto a R se tiene que,
p1 ·
∂x1(p1, p2, R)
∂R
+ p2 ·
∂x2(p1, p2, R)
∂R
= 1
mientras que al hacerlo c.r. a p1 se tiene que,
p1 ·
∂x1(p1, p2, R)
∂p1
+ x1(p1, p2, R) + p2 ·
∂x2(p1, p2, R)
∂p1
= 0
de lo cual se tiene que, −x1(p1, p2, R) = p1 · ∂x1(p1,p2,R)
∂p1
+ p2 · ∂x2(p1,p2,R)
∂p1
.
Por otro lado, puesto que v(p1, p2, R) = u(x1(p1, p2, R), x2(p1, p2, R)), derivando directamente c.r.
a p1 y R se tiene que,
∂v
∂p1
∂v
∂R
=
∂u
∂x1
· ∂x1
∂p1
+ ∂u
∂x2
· ∂x2
∂p1
∂u
∂x1
· ∂x1
∂R + ∂u
∂x2
· ∂x2
∂R
=
∂u
∂x1
∂u
∂x2
· ∂x1
∂p1
+ ∂x2
∂p1
∂u
∂x1
∂u
∂x2
· ∂x1
∂R + ∂x2
∂R
.
Pero, por condici´on de optimalidad,
∂u
∂x1
∂u
∂x2
= p1
p2
y luego, reemplazando en lo anterior, se tiene que
∂v
∂p1
∂v
∂R
=
p1
p2
· ∂x1
∂p1
+ ∂x2
∂p1
p1
p2
· ∂x1
∂R + ∂x2
∂R
=
p1 · ∂x1
∂p1
+ p2
∂x2
∂p1
p1 · ∂x1
∂R + p2
∂x2
∂R
.
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30. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Finalmente, de lo indicado inicialmente, haciendo los reemplazos correspondientes, se obtiene lo indi-
cado.
1.5 Problema dual: demanda Hicksiana y funci´on de gasto
En lo que sigue, vamos a definir una serie de conceptos complementarios que ser´an de utilidad para
el estudio del comportamiento de los agentes. Estableceremos, adem´as, algunas relaciones entre los
mismos.
B´asicamente, las relaciones que pretendemos establecer se determinan a partir del problema dual
del consumidor, a saber, condicional a cierto nivel de utilidad, determinar la cantidad de m´ınima de
recursos (ingreso, dinero, etc.) que se necesita para lograr tal nivel de satisfacci´on.
Para fijar ideas, dado cierto nivel de satisfacci´on u0 ∈ R, las canastas que permiten alcanzar tal
nivel de satisfacci´on definen, como ya sabemos, la isocuanta a dicho valor, es decir, todos los pares
ordenados (x1, x2) ∈ R2
+ tales que u(x1, x2) = u0. La pregunta que nos motiva es: si estuvi´esemos
obligados a escoger un punto de la isocuanta, ¿cu´al elegir´ıamos? Puesto que cada uno de ellos entrega
el mismo nivel de satisfacci´on, la respuesta directa es que escoger´ıamos el “m´as barato”. ¿Por
qu´e? Simplemente porque en caso contrario estar´ıamos pagando de m´as para obtener el mismo nivel
de satisfacci´on.
A los precios p1, p2, el costo de un punto (x′
1, x′
2) de la isocuanta al nivel u0 = u(x′
1, x′
2) es
R′
= p1x′
1 + p2x′
2.
Si dispusi´esemos de R′
pesos, ¿comprar´ıamos la canasta (x′
1, x′
2)? La respuesta es no necesaria-
mente. De hecho, lo que comprar´ıamos es la demanda a los precios p1, p2 y la renta R′
, es decir,
xi(p1, p2, R′
), i = 1, 2,
que no necesariamente es coincidente con x′
1, x′
2, respectivamente. De hecho, con la riqueza R′
es
perfectamente posible que el nivel de satisfacci´on que podr´ıamos lograr sea incluso mayor que u0
anterior.
Definici´on 1.12 Dado un nivel de utilidad u0 prefijado y dados los precios p1, p2, definimos la
funci´on de gasto como el m´ınimo ingreso necesario para garantizar el nivel de utilidad indicado.
Dicha funci´on se denotar´a por e(p1, p2, u0).
De lo expuesto, para encontrar la funci´on de gasto se debe resolver el problema de optimizaci´on
min
x1,x2
p1x1 + p2x2
s.a u(x1, x2) = u0
(14)
cuya soluci´on se denotar´a por
hi(p1, p2, u0), i = 1, 2.
Dichos funciones reciben el nombre de demanda Hicksiana por el bien en cuesti´on14
. Se tiene
entones que
e(p1, p2, u0) = p1 · h1(p1, p2, u0) + p2 · h2(p1, p2, u0).
El Lagrangeano del problema (14) es
L = p1x1 + p2x2 + λ · [u0 − u(x1, x2)],
de modo que las condiciones de optimalidad son:
14Note que las demandas Hicksianas dependen de los precios y de un nivel de utilidad prefijado, esto a diferencia
de la demanda Marshaliana, que depende de precios y de la riqueza.
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31. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
(a) ∂L
∂x1
= 0 ⇔ p1 − λ∂u(x1,x2)
∂x1
= 0.
(b) ∂L
∂x2
= 0 ⇔ p2 − λ∂u(x1,x2)
∂x2
= 0.
(c) ∂L
∂λ = 0 ⇔ u(x1, x2) = u0.
Combinando (a) con (b) para eliminar el multiplicador λ, se tiene finalmente que el sistema ecua-
ciones que nos permiten encontrar las demandas Hicksianas es
(i)
Ec. 1 :
∂u(h1,h2)
∂x1
∂u(h1,h2)
∂x2
=
p1
p2
⇔ RMS1,2(h1, h2) = −
p1
p2
,
(ii)
Ec. 2 : u(h1, h2) = u0.
La primera ecuaci´on es id´entica para las demandas Marshalianas y Hicksianas; la segunda condici´on
es completamente distinta: para las demandas Marshalianas es la restricci´on presupuestaria, para la
demanda Hicksiana es pertenecer a la curva de indiferencia al nivel de utilidad prefijado.
Ejemplo 1.15 Dada la funci´on de utilidad CB u(x1, x2) = xα
1 · xβ
2 , determinemos las funciones de
demanda Hicksiana y la funci´on de gasto. Dado u0, el Lagrangeano es
L = p1x1 + p2x2 + λ · [u0 − xα
1 · xβ
2 ].
Derivando c.r. a x1, x2 se tiene que,
p1 − λαxα−1
1 · xβ
2 = 0; p2 − λβxα
1 · xβ−1
2 = 0 ⇔
p1
p2
=
αx2
βx1
⇒ x2 =
βp1
αp2
· x1.
Luego, reemplazando esta ´ultima relaci´on en la utilidad se tiene que,
xα
1 · xβ
2 = u0 ⇔ xα
1 ·
βp1
αp2
· x1
β
= u0
de lo cual se tiene finalmente que,
h1(p1, p2, u0) = u
(1/(α+β))
0
αp2
βp1
β/(α+β)
.
Con esto, se tiene que,
h2(p1, p2, u0) = u
(1/(α+β))
0
βp1
αp2
α/(α+β)
y as´ı,
e(p1, p2, u0) = p1 · u
(1/(α+β))
0
αp2
βp1
β/(α+β)
+ p2 · u
(1/(α+β))
0
βp1
αp2
α/(α+β)
Fijemos los precios, p1, p2 y veamos algunas relaciones entre las soluciones del problema “primal”
(demanda Marshaliana) y el “dual” (demanda Hicksiana). En primer lugar, si el individuo tiene ingreso
R, sabemos que comprar´a xi(p1, p2, R), i = 1, 2, obteniendo un nivel de satisfacci´on v(p1, p2, R). Al
rev´es ahora, para obtener satisfacci´on v(p1, p2, R), ¿cu´anto dinero debe gastar? ¿Qu´e har´a con ese
dinero? A la primera pregunta, la respuesta es R: si gasta m´as dinero, digamos R′
> R, entonces
obtiene nivel de stisfacci´on v(p1, p2, R′
); como la utilidad indirecta es creciente en el ingreso, en este
caso se tiene que v(p1, p2, R′
) > v(p1, p2, R); si gastase R′′
< R, siguiendo el mismo argumento,
la satisfacci´on que obtendr´a es v(p1, p2, R′′
), que es menor que v(p1, p2, R). Luego, la ´unica opci´on
31

32. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
es gastar R. Para responder la segunda pregunta (¿qu´e har´a?), dado que gastar´a R para obtener
satisfacci´on v(p1, p2, R), por el lado del problema “primal”, sabemos que comprar´a
xi(p1, p2, R), i = 1, 2;
por otro lado, seg´un el problema “dual”, sabemos que comprar´a hi(p1, p2, v(p1, p2, R)), i = 1, 2, que
obviamente debe ser coincidente con la anterior. As´ı, hemos probado que:
xi(p1, p2, R) = hi(p1, p2, v(p1, p2, R)), i = 1, 2
R = e(p1, p2, v(p1, p2, R)).
Proposici´on 1.5
(a) La funci´on de gasto es homog´enea de grado uno en los precios, es decir,
e(tp1, tp2, u0) = t · e(p1, p2, u0), ∀t > 0.
(b) Para cada i = 1, 2
∂e(p1, p2, u0)
∂pi
= hi(p1, p2, u0).
Demostraci´on.
(a) Por definici´on, e(tp1, tp2, u0) viene de resolver el siguiente problema de optimizaci´on:
min (tp1)x1 + (tp2)x2
s.a u(x1, x2) = u0
problema es equivalente a resolver
t · min p1x1 + p2x2
s.a u(x1, x2) = u0,
pues t es positivo. Luego, el gasto que se tiene con los precios tp1 y tp2 es igual al gasto que se
tiene con los precios p1 y p2, pero multiplicado por t, que es lo indicado.
(b) Derivando directamente la funci´on de gasto c.r. a p1 y recordando que e(p1, p2, u0) = p1h1(p1, p2, u0)+
p2h2(p1, p2, u0)15
, tenemos que:
∂e
∂p1
= p1
∂h1
∂p1
+ h1 + p2 ·
∂h2
∂p1
= h1 + p1
∂h1
∂p1
+ p2 ·
∂h2
∂p1
Ahora bien, sabemos que u(h1, h2) = u0 y luego, derivando c.r a p1 (aplicar regla de la cadena)
se tiene que16
,
∂u
∂x1
·
∂h1
∂p1
+
∂u
∂x2
·
∂h2
∂p1
= 0. (15)
Ahora bien, de las condiciones de optimalidad, sabemos que,
15En la medida de lo posible, omitiremos las variables de cada funci´on para evitar notaci´on excesiva.
16Recuerde que u0 es constante, luego su derivada c.r a p1 es cero.
32

33. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
∂u
∂x1
∂u
∂x2
=
p1
p2
y luego,
∂u
∂x1
=
p1
p2
·
∂u
∂x2
de lo cual, reemplzando en (15), se tiene que,
p1
p2
·
∂u
∂x2
·
∂h1
∂p1
+
∂u
∂x2
·
∂h2
∂p1
= 0 ⇔
p1
p2
·
∂h1
∂p1
+
∂h2
∂p1
= 0 ⇔ p1 ·
∂h1
∂p1
+ p2 ·
∂h2
∂p1
= 0.
Reemplazando esta ´ultima relaci´on en la derivada del gasto, se obtiene lo indicado pues el t´ermino
de la derecha vale cero. An´alogo con la derivada respecto de p2.
Nota. 1.4 Otra forma de ver la parte (b) de la Proposici´on 1.5 es como sigue: puesto que la funci´on
de gasto es homog´enea de grado uno en los precios, aplica entonces la identidad de Euler en dichas
variables, es decir
e(p1, p2, u0) = p1 ·
∂e(p1, p2, u0)
∂p1
+ p2 ·
∂e(p1, p2, u0)
∂p2
. (16)
Por otro lado, por definici´on se tiene que
e(p1, p2, u0) = p1 · h1(p1, p2, u0) + p2 · h2(p1, p2, u0) (17)
Identificando t´erminos en (16) y (17) se obtiene directamente el resultado.
Finalmente, el problema de gasto tiene una interpretaci´on geom´etrica an´aloga a la que ten´ıamos con
la demanda Marshaliana. En ´este ´ultimo, al estar fija la recta presupuestaria, la demanda Marshaliana
se obtiene “desplazando” curvas de indiferencia hasta lograr tangencia con dicha recta. Para determinar
la demanda Hicksiana, y por ende la funci´on de gasto, es la curva de indiferencia la que est´a fija.
Dado esto, se desplaza paralelamente una recta de la forma
p1h1 + p2h2 = e
hasta lograr la tangencia con dicha curva, “desplazamiento” que se tiene incrementando el valor de e.
El valor del par´ametro con el cual se logra la tangencia con la curva de indiferencia define el valor la
funci´on de gasto, y el punto donde se intersectan recta y curva es la demanda Hicksiana.
1.6 Funciones de compensaci´on
Consideremos el siguiente contexto general: hay dos instancias a analizar, una inicial, donde los
precios son P = (p1, p2) y el ingreso es R, y otra final con precios P∗
= (p∗
1, p∗
2) y la renta R∗
. El
bienestar del individuo es
Inicial : v(P, R), Final : v(P∗
, R∗
).
Evidentemente los niveles de satisfacci´on en uno y otro escenario pueden ser distintos; si por
ejemplo, el ingreso se mantiene constante (R = R∗
) y al menos uno de los precios aumenta, entonces
sabemos que v(P; R) > v(P∗
, R∗
).
Si uno de los precios aumenta, para mantener constante el nivel de satisfacci´on entre ambos esce-
narios, una posibilidad es que el ingreso en el escenario final suba para compensar tal alza. Se tiene
entonces lo siguiente:
33

34. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
(a) a los precios iniciales, se necesita R para obtener un nivel de satisfacci´on v(P, R), y se necesita
e(P, v(P∗
, R∗
)) para obtener un nivel de satisfacci´on v(P∗
, R∗
); por lo tanto
e(P, v(P∗
, R∗
)) − R ∈ R (18)
representa, en riqueza evaluada a los precios iniciales, P, la diferencia de satisfacci´on
del individuo entre la situaciones final e inicial. Es por tanto una medida del cambio en
satisfacci´on debido del cambio de precios e ingreso. Si la diferencia anterior es nega-
tiva (positiva), significa que el nuevo escenario (precios P∗
e ingreso R∗
) es m´as desfavorable
(favorable) para el individuo que aquel donde los precios son P y su ingreso es R.
(b) A los precios finales, se necesita R∗
para obtener un nivel de satisfacci´on v(P∗
, R∗
) y se necesita
e(P∗
, v(P, R)) para obtener un nivel de satisfacci´on v(P, R). Por lo tanto
R∗
− e(P∗
, v(P, R)) (19)
representa, en riqueza a los precios finales, P∗
, la diferencia de la satisfacci´on del indi-
viduo entre la situaciones final e inicial. Nuevamente, si la diferencia (19) es negativa (positiva),
significa que el escenario con precios P∗
e ingreso R∗
es m´as desfavorable (favorable) para el
individuo que un mundo donde los precios son P y su ingreso es R.
Tanto (18) como (19) representan medidas monetarias de los cambios en satisfacci´on dados
cambios en los par´ametros que determinan la demanda de los individuos. Note que con (18) y (19) se
ast´a comparando el mismo cambio en nivel de satifacci´on, s´olo que expresado en distintas bases
de precio. La medida (18) est´a construida sobre la base de cuantificar las riquezas en t´erminos de los
precios iniciales, y se llama variaci´on equivalente, V E,
V E = e(P, v(P∗
, R∗
)) − R (20)
Por otro lado, la medida (19) est´a construida sobre la base de cuantificar la riqueza (ingresos, renta,
etc.) en t´erminos de los precios finales, y se llama variaci´on compensatoria, V C, es decir,
V C = R∗
− e(P∗
, v(P, R)) (21)
Ambas medidas tienen el mismo signo, pues corresponden a diferencias en dinero para expresar
el mismo cambio en satisfacci´on. A priori, ambas medidas pueden diferir en sus cuant´ıas, pues,
como se ha indicado, est´an expresadas en distintas base de precios.
Ejemplo 1.16 Bonos y subsidios
¿Cu´al deber´ıa ser el “bono de navidad” que se ha pagar a un trabajador? Resp. No hay una re-
spuesta categ´orica, pues depende de muchos factores que no controlamos a priori: poder de negociaci´on
del sindicato, historia del bono en la empresa, del desempe˜no de la empresa en el periodo, etc. Sin
embargo, sin pretender decir cu´al “deber´ıa ser” el valor del bono, podemos aproximarnos al problema
de la siguiente manera: inicialmente el individuo enfrenta precios P = (p1, p2) ∈ R2
++ y tiene renta
R > 0. En tal caso, su nivel de satifacci´on es v(P, R) > 0. Ahora bien, dado que se trata del “navidad”,
es bien sabido que los precios de los bienes de consumo suben sustancialmente (¿por qu´e?), digamos,
de P a P∗
= (p∗
1, p∗
2). De no mediar cambios en el ingreso, el nivel de satifacci´on del individuo caer´a,
siendo ahora v(P∗
, R); la ca´ıda en el bienestar est´a dada por
v(P∗
, R) − v(P, R) < 0. (22)
A partir del alza de precios, una primera medida de compensaci´on razonable ser´ıa preguntarse sobre
cu´anto dinero extra habr´ıa que darle al individuo para que a los nuevos precios (P∗
) su nivel de
satisfacci´on sea el mismo que ten´ıa previo al alza. Si denotamos por V1 dicha cantidad, se debe entonces
cumplir que
34

35. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
v(P∗
, R + V1) − v(P, R) = 0.
Por lo tanto, buscamos V1 tal que si el individuo tiene ingresos V1 + R, a los precios P∗
su nivel
de satisfacci´on es v(P, R); luego, por definici´on, V1 + R es la funci´on de gasto a los precios P∗
con
nivel de satisfacci´on v(P, R), es decir, se cumple que
R + V1 = e(P∗
, v(P, R)) ⇒ V1 = e(P∗
, v(P, R)) − R. (23)
Es decir, V1 es menos la variaci´on compensatoria, donde la situaci´on inicial es con precios P
y renta R y a final es con precios P∗
y renta R.
Interpretemos el resultado anterior: ya que los precios en la econom´ıa efectivamente ser´an P∗
,
para analizar los cambios en satisfacci´on, expresaremos todo en dichos precios. En tal caso, la felici-
dad inicial cuesta e(P∗
, v(P, R)) y la felicidad final cuesta R (= e(P∗
, v(P∗
, R)). As´ı, en t´erminos
monetarios, el cambio en felicidad es
Felicidad Final − Felicidad Inicial = R − e(P∗
, v(P, R)) < 0.
Luego, para compensar, desde un punto de vista monetario, la ca´ıda en la felicidad debido al alza
de los precios, la cantidad de dinero a entregar debe ser tal que
Felicidad Final − Felicidad Inicial + Dinero a entregar = 0,
es decir, Dinero a entregar = e(P∗
, v(P, R)) − R > 0, que es precisamente lo que ten´ıamos. En este
caso, el dinero a entregar es simplemente el negativo de la variaci´on compensatoria.
En enfoque complementario para entender el efecto en bienestar debido al alza de precios, es como
sigue: no habiendo cambios en el ingreso, en el escenario final la satifacci´on es v(P∗
, R), que es menor
que la inicial. A los precios P esta felicidad final es ciertamente m´as barata que la actual, pues
v(P, R) > v(P∗
, R). ¿Cu´anto cuesta la felicidad final a los precios P? Simplemente e(P, v(P∗
, R)),
que evidentemente es menor que R. Expresado en t´erminos monetarios, que el precio suba corresponde,
en este caso, a una p´erdida de felicidad dada por
FINAL − INICIAL = e(P, v(P∗
, R)) − R < 0.
Esta es la medida de variaci´on equivalente que hemos definido. Ahora bien, dado que se producir´a
el alza en el precio, ¿cu´anto dinero le deber´ıa quitar inicialmente al individuo para que a los precios
antiguos (P = (p1, p2)) su nivel de bienestar sea el mismo que tendr´a dada el alza de precios? En otras
palabras, ¿cu´anto dinero le debo quitar para que no sienta el efecto precio posterior? Nos preguntamos
entonces por una cantidad V2 (que ser´a negativa) tal que v(P∗
, R) = v(P, R + V2). En este caso, es
directo que
R + V2 = e(P, v(P∗
, R)) ⇒ V2 = e(P, v(P∗
, R)) − R < 0, (24)
que es el resultado que ya ten´ıamos.
La esencia de todo lo anterior est´a en interpretar correctamente la funci´on de gasto. La idea es
que condicional a cierto nivel de satifacci´on, digamos u0, a los precios P = (p1, p2), la funci´on de
gasto e(P, u0) es una medida de la dispocisi´on a pagar que el individuo tiene por lograr tal nivel de
satifacci´on. De esta manera, cambios en la disposici´on a pagar debido a cambios en los precios (por
ejemplo), se puede entender como cambios en los niveles de satifacci´on que sufre el agente. El punto
es con respecto a qu´e base de precios se mide tal efecto: si son los precios finales, entonces estamos
hablando de variaci´on compensatoria; si es a precios iniciales, es variaci´on equivalente.
Para ilustrar geom´etricamente lo expuesto, supongamos que inicialmente los precios son p1, p2
y que la renta es R, con lo cual queda definida la recta presupuestaria (1) y la demanda (2) (ver
Figura 16), adem´as de un nivel de satisfacci´on inicial u0. Si ahora el precio del bien uno aumenta
(digamos, a q1 > p1 con q2 = p2), si el ingreso no cambia, la nueva recta presupuestaria es (3), la nueva
35

36. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
demanda es (4) y el nivel de utilidad es u1. Para compensar este aumento de precio, modificaremos el
ingreso, digamos en (5), de tal forma que la nueva recta presupuestaria (6) sea tangente a la curva de
indiferencia inicial, siendo el punto de tangencia (7), no necesariamente igual a (2).
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
u1: Nivel Nuevo
u0: Nivel Original
Figure 16: Funci´on de Compensaci´on
Ejemplo 1.17 Considere un individuo cuya preferencia por dos bienes est´a dada por
U(x1, x2) = xβ
1 + x2, (25)
con β ∈]0, 1[ conocido. En lo que sigue, suponga que, inicialmente, el precio del bien uno es p1 = p
y aquel del bien dos es p2 = 1. La renta del individuo es R > 0.
(a) Dados los precios y la renta indicada, determine las demandas Marshallianas y la utilidad
indirecta de un agente cuya preferencia est´a dada por (25). ¿Para qu´e nivel de renta se tiene que
la demanda por el bien dos es estrictamente positiva? En lo que sigue, y cuando corresponda,
asuma que la renta del individuo es mayor que dicha cantidad.
Respuesta. De las condiciones de optimalidad del problema del consumidor, denotando P =
(p, 1) ∈ R2
, es directo que
x1(P, R) =
p
β
1
β−1
, x2(P, R) = R − p ·
p
β
1
β−1
,
lo cual implica que
v(P, R) = (x1(P, R))
β
+ x2(P, R) =
p
β
1
β−1
β
+ R − p ·
p
β
1
β−1
,
es decir,
v(P, R) =
1
β
β
β−1
· p
β
β−1 + R − p ·
1
β
1
β−1
· p
1
β−1 = β
β
1−β · p
β
β−1 + R − β
1
1−β · p
β
β−1 ,
lo que finalmente nos lleva a
v(P, R) = R + γ · p
β
β−1 , (26)
36

37. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
con
γ = β
β
1−β − β
1
1−β = β
β
1−β · [1 − β] > 0.
Finalmente, notemos que la demanda del bien dos es positiva si R − p · p
β
1
β−1
> 0, lo que
se tiene cuando R > p · p
β
1
β−1
. Note que la demanda del bien uno no depende de la renta.
(b) Dado un nivel de utilidad U0, a los precios ya indicados, determine las demandas Hicksianas y
la correspondiente funci´on de gasto.
Respuesta. En este caso, el problema es
min
h1,h2
p · h1 + h2 s.a. hβ
1 + h2 = U0,
a partir del cual se tiene que, suponiendo soluci´on interior,
h1(P, U0) =
p
β
1
β−1
, h2(P, U0) = U0 −
p
β
β
β−1
,
con lo cual se tiene que (ver definici´on de γ > 0 en la parte anterior)
e(P, U0) = p ·
p
β
1
β−1
+ U0 −
p
β
β
β−1
= U0 − γ · p
β
β−1 (27)
Note que lo anterior tambi´en se puede contestar invirtiendo la funci´on de utilidad indirecta de la
parte (a) para obtener la funci´on de gasto, y luego usar el Lema de Sheppard para encontrar las de-
mandas Hicksiansa).
Considere ahora un escenario final donde s´olo el precio del bien uno se modifica, siendo ahora
p′
> p. El nuevo sistema de precios se denotar´a P′
= (p′
, 1) ∈ R2
.
(c) Comparando los escenarios final e inicial ya definidos, determine las variaciones compensatoria
(VC) y equivalente (VE). Muestre que, en este caso, ambos valores son iguales.
Respuesta. Para determinar la variaci´on compensatoria, a los precios P y la renta R se obtiene
utilidad v(P, R), mientras que a los precios P′
y la renta R se obtiene una utilidad v(P′
, R).
Entonces, a los precios P se necesita R de renta para lograr el nivel de satisfacci´on v(P, R) y
se necesita una renta dada por (ver (27))
e(P, v(P′
, R)) = v(P′
, R) − γ · p
β
β−1 = R + γ · (p′
)
β
β−1
− γ · p
β
β−1
para lograr el nivel de utilidad v(P′
, R). Por lo tanto, la variaci´on equivalente es
V E = e(P, V (P′
, R)) − R = R + γ · (p′
)
β
β−1
− γ · p
β
β−1 − R = γ · (p′
)
β
β−1
− p
β
β−1 < 0.
Por otro lado, a los precios P′
se necesita renta R para obtener utilidad v(P′
, R) y se necesita
renta
e(P′
, v(P, R)) = R + γ · (p)
β
β−1
− γ · (p′
)
β
β−1
para que a precios P′
se obtenga utilidad v(P, R). La variaci´on compensatoria, V C, es entonces
V C = R − e(P′
, v(P, R)) = γ · (p′
)
β
β−1
− p
β
β−1 ,
que coincide con la V E.
37

38. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
1.7 Efectos sustituci´on e ingreso, ecuaci´on de Slutzky
Supongamos que inicialmente los precios son p1, p2 y que la renta de nuestro agente es R. Entonces,
producto de un cambio en los precios (digamos, cambio de p1 a p′
1, con p′
1 > p1) ocurren dos fen´omenos
que nos permitir´an explicar el cambio en la demanda. En primer lugar, el cambio de precios implica
que el consumidor es ahora m´as pobre (pues puede acceder a menos canastas que las originales) y, en
segundo lugar, se modifica la sustitubilidad de bienes debido a que la raz´on de precios ha sido alterada.
El problema es entonces determinar la magnitud de estos efectos, y explicar el cambio de la demanda
en funci´on de ellos. As´ı podremos identificar de mejor manera cu´al de los efectos es m´as relevante para
explicar el cambio en la demanda, y con ello obtener informaci´on adicional sobre las preferencias de
los individuos.
Para fijar ideas, realicemos en primer lugar un an´alisis gr´afico de la situaci´on planteada. La
Figura 17 nos ilustra al respecto:
Figure 17: Ecuaci´on de Slutzky
R/p2
R′
/p2
R/p′
1 R′
/p1 R/p1
v1
v0
a
b
c
(2) (1)
Con los precios p1, p2 y la renta R, el nivel de utilidad es v0 = v(p1, p2, R) y la demanda dada por
el punto a de la figura. Dado el cambio de precio, el nuevo nivel de utilidad es v1 = v(p′
1, p2, R) y
la respectiva demanda es c. Ahora bien, para los precios originales, el nivel de renta requerido para
obtener utilidad v1 ser´ıa e1 = e(p1, p2, v1), que corresponde a R′
de la figura, con lo cual queda
definida una nueva recta presupuestaria, paralela a la original, pero por debajo de ´esta. Dada esta
recta presupuestaria, la demanda ser´ıa b. Con esto, el efecto ingreso quedar´a definido como el
cambio en la demanda de pasar de a a b. Para el caso del bien 1, corresponde a (1) de la figura.
Por otro lado, dado que los precios han sido alterados, y dado que la demanda final resultante est´a
en c, se tiene entonces que el efecto sustituci´on corresponde simplemente al cambio entre b y c
de la figura, que para el caso del bien 1 est´a dado por (2).
Estimemos los efectos identificados en lo anterior.
(a) Efecto ingreso.
Aprovechando la Figura 17, para el efecto ingreso, EI, se tiene que
EI = xa
1 − xb
1 = x1(p1, p2, R′
) − x1(p1, p2, R) ≃
∂x1(p1, p2, R)
∂R
· (R′
− R).
Sabemos adem´as que v(p1, p2, R′
) = v(p′
1, p2, R), es decir, v(p1, p2, R′
) − v(p′
1, p2, R) = 0. Aprox-
imemos esta ´ultima expresi´on por las derivadas parciales:
38

39. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
v(p1, p2, R′
) − v(p′
1, p2, R) ≃
∂v(p′
1, p2, R)
∂R
· (R′
− R) +
∂v(p′
1, p2, R)
∂p1
· (p1 − p′
1) = 0.
Luego, de la identidad de Roy (ver Proposici´on 1.4), se tiene que
(R′
− R) ≃
∂v(p′
1,p2,R)
∂p1
∂v(p′
1,p2,R)
∂R
· (p′
1 − p1) = −x1(p′
1, p1, R) · (p′
1 − p1).
En consecuencia,
EI ≃ −
∂x1(p1, p2, R)
∂R
· x1(p′
1, p1, R) · (p′
1 − p1).
Finalmente, si p′
1 es similar a p1, entonces podemos aproximar x1(p′
1, p1, R) por x1(p1, p1, R), por
lo cual
EI ≃ −
∂x1(p1, p2, R)
∂R
· x1(p1, p1, R) · (p′
1 − p1).
(b) Efecto sustituci´on.
Para estimar el efecto sustituci´on, ES, notemos que
x1(p1, p2, R′
) = h1(p1, p2, v(p1, p2, R′
)); x1(p′
1, p2, R) = h1(p′
1, p2, v(p1, p2, R′
))
y luego el efecto sustituci´on es:
ES = x1(p′
1, p2, R) − x1(p1, p2, R′
) = h1(p′
1, p2, v(p1, p2, R′
)) − h1(p1, p2, v(p1, p2, R′
))
que, aproximando por derivadas, implica que
ES ≃
∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R′
))
∂p1
· (p′
1 − p1).
En consecuencia, hemos obtenido la siguiente aproximaci´on que mide el cambio en la demanda
producto de un cambio en el precio:
x1(p′
1, p2, R) − x1(p1, p2, R) ≃ −
∂x1(p1, p2, R)
∂R
· x1(p1, p1, R) · (p′
1 − p1)
+
∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R′
))
∂p1
· (p′
1 − p1),
de lo cual se tiene que,
x1(p′
1, p2, R) − x1(p1, p2, R)
p′
1 − p1
≃ −
∂x1(p1, p2, R)
∂R
· x1(p1, p1, R) +
∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R′
))
∂p1
.
Aproximando el lado izquierdo por la respectiva derivada y aproximando R′
por R se tiene finalmente
que,
∂x1(p1, p2, R)
∂p1
≃
∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R))
∂p1
−
∂x1(p1, p2, R)
∂R
· x1(p1, p1, R),
relaci´on que es conocida como Ecuaci´on de Slutsky.
Teorema 1.2 Para cada i, j = 1, 2:
∂xj(p1, p2, R)
∂pi
=
∂hj(p1, p2, v(p1, p2, R))
∂pi
−
∂xj(p1, p2, R)
∂R
· xi(p1, p2, R).
39

40. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Demostraci´on. En primer lugar, sabemos que
hj(p1, p2, v(p1, p2, R)) = xj(p1, p2, R).
Luego, derivando la expresi´on anterior c.r. a pi y recordando que e(p1, p2, v(p1, p2, R)) = R se tiene
que:
∂hj(p1, p2, v(p1, p2, R))
∂pi
=
∂xj(p1, p2, R)
∂pi
+
∂xj(p1, p2, R)
∂R
·
∂e(p1, p2, v(p1, p2, R))
∂pi
.
Pero, de la Proposici´on (1.5) sabemos que,
∂e(p1, p2, v(p1, p2, R))
∂pi
= hi(p1, p2, v(p1, p2, R)) ≡ xi(p1, p2, R).
Reemplazando y ordenando los t´erminos, se concluye la prueba.
Suponiendo i = j = 1 en Teorema 1.2, queda
∂x1(p1, p2, R)
∂p1
=
∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R))
∂p1
−
∂x1(p1, p2, R)
∂R
· x1(p1, p2, R). (28)
Dado entonces un precio inicial p1 y final p′
1, ceteris paribus, el cambio en la demanda del bien uno
es
∆x1 = x1(p′
1, p2, R) − x1(p1, p2, R).
Seg´un (28), suponiendo que p1 ≃ p′
1 de modo que ∆p1 ≃ 0, se tiene la siguiente aproximaci´on:
∆x1
∆p1
≃
∂x1(p1, p2, R)
∂p1
⇒
∆x1
∆p1
≃
∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R))
∂p1
−
∂x1(p1, p2, R)
∂R
· x1(p1, p2, R),
lo cual implica que
∆x1 ≃
∂h1(p1, p2, v(p1, p2, R))
∂p1
· ∆p1 −
∂x1(p1, p2, R)
∂R
· x1(p1, p2, R) · ∆p1.
De esta manera, el cambio en la demanda del bien uno debido a un cambio en el precio propio se
puede explicar como la suma de dos efectos:
EI = −
∂xi(p1, p2, R)
∂R
· xi(p1, p2, R) · ∆p1, ES =
∂hi(p1, p2, v(p1, p2, R))
∂pi
· ∆p1.
Si el precio aumenta, (∆p1 > 0), se tiene entonces que
a.- a priori, no es claro cual es el signo de cada uno de los efectos indicados: los efectos sustituci´on
e ingreso pueden ser negativos, positivos o de signos opuestos.
b.- Note que si el bien es normal (demanda crece con el ingreso), entonces necesariamente el efecto in-
greso es negativo, pues la derivada respectiva es positiva. El efecto sustituci´on no necesariamente
tiene signo positivo (o negativo).
c.- Si el bien i es inferior (demanda cae con el ingreso), para que sea Giffen (demanda aumenta
cuando el precio sube), una “condici´on suficiente” es que el efecto sustituci´on sea positivo (de
modo que la suma de los efectos sea positiva).
40

41. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
2 Aplicaciones y complementos
2.1 Demanda agregada y equilibrio (parcial)
Supongamos que en la econom´ıa hay n ∈ N individuos, cada uno de los cuales tiene una funci´on de
utilidad uk(x1, x2), k = 1, 2, ..., n. Dados los precios p1, p2 de los bienes y dadas las rentas Rk de cada
agente, denotemos las respectivas demandas por el bien i = 1, 2 como,
xk
i (p1, p2, Rk), i = 1, 2, k = 1, . . . , n.
En tal caso, la demanda agregada (o demanda de mercado) del bien i = 1, 2 se define como,
Xi(p1, p2, Rk) =
n
k=1
xk
i (p1, p2, Rk).
Suponiendo entonces que el precio del bien 2 est´a fijo, hemos definido una funci´on que asigna
a cada precio p1 la cantidad que se demandar´ıa del respectivo bien. Se tiene entonces lo siguiente:
a.- Si para cada individuo ocurre que el bien 1 no es Giffen, entonces la demanda agregada tiene
pendiente negativa en el precio propio, teniendo gen´ericamente la siguiente forma.
Figure 18: Demanda Agregada
p1
x1
X1(p1)
b.- Supongamos ahora que est´a definida una curva de oferta17
por el bien 1, la que, por definici´on,
nos entrega la cantidad del mismo que se producir´ıa en funci´on del precio p1. Representemos esta
curva por O1(p1) y supongamos que a mayor precio, mayor es la oferta, es decir, supongamos
que el grafo de la curva de oferta es creciente en el precio (al contrario de la demanda). Una
figura representativa es como sigue:
17Esta curva proviene en rigor de las decisiones de las firmas para producir el bien en funci´on de los precios del mismo.
En lo que sigue, asumiremos que esta curva es conocida. Un detalle sobre el tema se ver´a en el pr´oximo curso de
microeconom´ıa.
41

42. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 19: Oferta Agregada
p1
x1
O1(p1)
Dadas la curvas de oferta y demanda, diremos que p∗
1 es el precio de equilibrio competitivo
del del bien 1 si18
:
X1(p∗
1) = O1(p∗
1).
En otras palabras, el precio de equilibrio del mercado del bien 1 (de existir) es aquel para el
cual las curvas de oferta y demanda de mercado del bien 1 se igualan. Dado este precio de
equilibrio, quedan obviamente definidas cantidades de demanda de equilibrio X1(p∗
1), las que
a su vez permiten determinar las demandas individuales de cada agente de la econom´ıa. Las
demandas de cada individuo en el equilibrio corresponden simplemente a
xk(p∗
1, ¯p2, Rk), k = 1, ..., n.
c.- La funci´on exceso de demanda del mercado del bien 1 se define como
Z1(p1) = X1(p1) − O1(p1).
Notemos entonces que,
c.1. En el precio de equilibrio p∗
1, Z1(p∗
1) = 0.
c.2. Si para un precio ¯p1 se tiene que Z1(¯p1) > 0, entonces X1(¯p1) − O1(¯p1) > 0, es decir,
X1(¯p1) > O1(¯p1): la demanda es mayor que la oferta, por lo cual se dice que al precio ¯p1
hay exceso de demanda en el mercado. Si para ˜p1 se tiene que Z1(˜p1) < 0, entonces
X1(˜p1) − O1(˜p1) < 0, es decir, X1(˜p1) < O1(˜p1): la demanda es menor que la oferta, por lo
cual se dice que en el precio ˜p1 hay un exceso de oferta en el mercado.
Gr´aficamente la situaci´on anterior queda como sigue:
18En rigor, como estamos suponiendo que el precio del bien 2 est´a fijo, el an´alisis que sigue corresponde a uno de
equilibrio parcial, pues s´olo estamos mirando lo que sucede en el mercado del bien 1 e ignoramos el mercado del bien 2.
42

43. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 20: Demanda y Oferta Agregada
p1
c
b
a
DCOA DA OC x1
X1(p1)
O1(p1)
De la figura, el precio de equilibrio es p∗
1 = b. Si p1 = a hay exceso de demanda (DA > 0A); si
el precio es p1 = c hay exceso de oferta (OC > DC). S´olo en p1 = b ambas se igualan19
.
2.2 El excedente del consumidor
En lo que sigue, trabajaremos en el mercado de un ´unico bien y supongamos que para un cierto
individuo su curva de demanda es X(p). Sea entonces p1 tal que X(p1) = 1 y sea p2 tal que X(p2) = 2.
Bajo el supuesto general y usual que la demanda es decreciente, entonces claramente p1 > p2.
Supongamos ahora que por alguna raz´on, el precio de equilibrio es p∗
= p2, entonces nuestro
personaje comprar´ıa dos unidades del bien, paganfo p2 por cada una de ellas (tanto por la primera como
por la segunda unidad). Por otro lado, si fuera que el precio de equilibrio hubiese sido p∗
= p1, nuestro
agente s´olo hab´ıa comprado una unidad del bien. Por lo tanto, debido a que el precio de equilibrio es
p∗
= p2, ocurren dos cosas obvias. En primer lugar, nuestro personaje compra m´as unidades que si el
precio fuera mayor y, en segundo lugar, por la primera unidad paga p2 y por la segunda unidad tambi´en
paga p2. Sin pronunciarnos sobre si comprar m´as es mejor o no, hay claramente una situaci´on favorable
a nuestro personaje cuando el precio es p2 y no p1: por una unidad que antes estaba dispuesto
a pagar p1 > p2 ahora s´olo paga p2. Luego, podemos imaginar que si el precio de equilibrio es p2,
nuestro individuo obtiene un beneficio no pecuniario20
de (p1 − p2) · 1: beneficio de pagar p2 por una
unidad que antes estaba dispuesto a pagar p1. Gr´aficamente la situaci´on es como sigue:
19Se insiste que el an´alisis anterior es s´olo de equilibrio parcial pues hemos ignorado lo que sucede en el mercado del
bien 2.
20No es pecuniario simplemente porque no ve aumentado su ingreso producto de la transacci´on.
43

44. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 21: Excedente del Consumidor (1)
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxxp1
p2
y1 y2
X(p)
Beneficio
Supongamos ahora una situaci´on m´as general, donde el precio de equilibrio es p∗
cualquiera. Por lo
indicado anteriormente, dada la cantidad de equilibrio q∗
= X(p∗
), nuestro personaje paga el mismo
precio por cada unidad comprada al precio p∗
, habiendo estado dispuesto a pagar m´as que eso por
cada unidad ˜q < q∗
. Suponiendo que los bienes son discretos (es decir, se venden de uno en uno), el
beneficio neto resultante queda representado en la Figura 22:
Figure 22: Excedente del Consumidor (2)
xxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xx
xx
x
x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
p1
p2
p3
pk
p∗
q1 q2 q3 k q∗
X(p)
Beneficio
Es decir:
Beneficio = (p1 − p∗
) · 1 + (p2 − p∗
) · 1 + ... + (pk − p∗
) · 1 + . . . + (pq∗−1 − p∗
) · 1.
M´as aun, si consideramos que existe perfecta divisibilidad de los bienes, entonces este beneficio no
pecuniario corresponde simplemente al ´area marcada en la Figura 23:
44

45. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 23: Excedente del Consumidor (3)
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
x
x
xx
xx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxx
xxxxxx
xxxxxxxx
xxxx
xxx
xxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxp∗
q∗
= X(p∗
)
X(p)
Definici´on 2.1 El excedente de los consumidores (EC) en un precio de mercado p∗
se se define
como el ´area indicada en la figura anterior, es decir,
EC(p∗
) =
∞
p∗
X(p) dp.
Precisamente, a trav´es de este concepto recuperamos la idea intuitiva de beneficio que hab´ıamos
desarrollado.
Respecto del concepto, notemos lo siguiente:
a.- El Excedente del Consumidor depende obviamente del precio donde se eval´ua y de la funci´on de
demanda considerada. De esta manera, podemos hablar de excedente del consumidor total (si se
trata de demanda agregada) o de excedente individual (si se trata de demanda individual). La
forma de calcular es la misma.
b.- El EC no es un beneficio pecuniario. Se debe entender como una medida de bienestar.
c.- El EC proviene de las diferencias entre lo cobrado por los bienes y la dispocisi´on a pagar que
tienen los individuos.
d.- Si las firmas pudieran discriminar a los consumidores, cobrando por ejemplo precios diferenciados
por individuo o grupo de ellos, entonces el EC disminuir´ıa en relaci´on a un cobro uniforme.
Si las demandas son usuales (decrecientes en el precio), entonces un aumento del precio de mercado
(digamos, de p∗
a ¯p) implica una reducci´on del excedente del consumidor, tal como como se muestra
en la Figura 24:
45

46. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 24: Excedente del Consumidor y P´erdida de Eficiencia
xxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
x
xx
xx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
¯p
p∗
¯q q∗
X(p)
BA
De hecho, notemos que,
∆EC = A + B
donde,
a.- La cantidad A representa la p´erdida social debido al hecho que los bienes que antes se compraban
a precio p∗
se transan ahora a un precio m´as alto ¯p.
b.- La cantidad B representa la p´erdida social debido a la reducci´on en el consumo: antes se compraba
q∗
y ahora s´olo ¯q < q∗
.
Ejemplo 2.1 Suponga que la firma “El hilo de oro” fabrica pantuflas y calcetines y suponga adem´as
que la demanda por pantuflas que tiene un individuo es xpant(p) = 4 − p mientras que su demanda
por calcetines es xcalc(p) = 6 − p
2 . El precio inicial de las pantuflas cobrado por El hilo de oro es
ppant = 2 mientras que el de los calcetines es pcalc = 4. Suponga que por razones de fuerza mayor la
firma ha debido aumentar el precio de las pantuflas a 3. Como el cliente es fiel, para compensarlo por
este aumento de precio la firma ha decidido bajar el precio de los calcetines. ¿Cu´anto cree Ud. que
ha de cobrar por los calcetines para que nuestro personaje no se sienta perjudicado por el alza en las
pantuflas? Analice utilizando variaciones de excedente del consumidor.
Respuesta. A partir del enunciado, cuando los precios son ppant = 2 y pcalc = 4, el excedente
neto respectivo es ENCpant = 1/2 · 2 · 2 = 2 (´area del tri´angulo 1 de la figura). Para los calcetines,
ENCcalc = 1/2 · 2 · 4 = 4 (´area del tri´angulo 2 de la figura). Por lo tanto, el excedente neto total es 6.
Cuando el precio de las pantuflas sube a 3, el nuevo excedente neto es ENCpant = 1/2 · 1 · 1 = 1/2 y
el problema es encontrar el precio de los calcetines de modo que la suma de los nuevos excedentes sea
6. Supongamos que el precio buscado de los calcetines es ¯p. Entonces, la demanda correspondiente es
¯x = 2 · (6 − ¯p) (esto viene de resolver la ecuaci´on x = 6 − ¯p
2 ). Por lo tanto, el excedentes neto buscado
es ENCcalc = 1/2 · (6 − ¯p) · 2(6 − ¯p) = (6 − ¯p)
2
(ver tri´angulo 3 de la figura). Por lo tanto la condici´on
es 1/2 + (6 − ¯p)2
= 6, es decir, ¯p = 6 −
√
5.5 = 3.6547.
46

47. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
4
6 6
p
_
2
4
2
4-p 6 - p/2 6-p/2
4 x
_
(1) (2) (3)
Ejemplo 2.2 Veamos que,
∂EC(p∗
)
∂p
= X(p∗
).
En primer lugar, notemos que dado un aumento en el precio de p∗
a ¯p, el cambio (disminuci´on)
del excedente est´a dado por:
∆EC =
¯p
p∗
X(p)dp.
Por lo tanto, utilizando el Teorema del Valor medio para integrales, existe un precio ˜p ∈ [p∗
, ¯p]
tal que:
∆EC = (¯p − p∗
) · X(˜p)
de lo cual se obtiene que,
∆EC
(¯p − p∗)
= X(˜p).
De esta manera, tomando l´ımite cuando ¯p → p∗
(lo cual implica que ˜p → p∗
) se concluye que,
∂EC(p∗
)
∂p
= X(p∗
),
es decir, la variaci´on marginal del excedente del consumidor ante cambios en el precio
corresponde simplemente la demanda en el punto inicial, que es lo indicado.
2.3 Modelo de consumo intertemporal
La idea del modelo de consumo intertemporal es que el individuo puede mover recursos en el tiempo con
el fin de, por ejemplo, obtener mejores “trayectorias” seg´un sus objetivos individuales. Una trayectoria
de consumo es simplemente el valor del mismo en el tiempo.
B´asicamente, hay dos formas de traspasar recursos en el tiempo: (i) una es utilizando mercados
financieros, seg´un lo cual se pueden (a) mover recursos del presente al futuro (ahorro) o (b) del
futuro al presente (deuda); otra forma de proceder es seg´un (ii) inversiones en sectores productivos,
donde parte de los recursos actuales no se consumen en el periodo en cuesti´on sino que se dejen para
que, a trav´es de un proceso productivo que se efect´ua en un periodo posterior, rindan beneficios que
son aprovechados en dicho periodo.
Si existe la posibilidad de ahorrar o endeudarse, se dice que hay un mercado financiero; si existe
la posibilidad de invertir en un proceso productivo, se dice que existe la posibilidad de inversi´on en
un sector productivo. Obviamente, se pueden dar ambas formas de traspasar recursos, o bien s´olo una
de ellas (o bien ninguna).
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48. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Por simplicidad, en lo que sigue supondremos que hay dos per´ıodos de tiempo a considerar, a saber,
el presente (t = 0) y el futuro (t = 1) (un modelo con m´as periodos de tiempo no necesariamente
representa una modelaci´on m´as general de lo que aqu´ı se exponga). En este modelo se asume que el
individuo decide traspasar recursos en el tiempo s´olo con el fin de modificar sus consumos en cada
instante, obviamente tratando de maximizar su funci´on de utilidad que depende de la trayectoria
(presente - futuro) de sus consumos.
Denotemos el consumo presente por C0 y el consumo futuro por C1 y supongamos adem´as que
el individuo posee ingresos en cada instante, dados por Y0 e Y1 respectivamente. Estos ingresos
pueden provenir de su trabajo, de lo que renta(n) su(s) empresa(s), etc. El ingreso disponible en
cada per´ıodo lo destina al consumo. En el periodo cero, el ingreso disponible es el neto que tiene
despu´es de ahorrar (o endeudarse) y de invertir en alg´un proceso productivo. Si denotamos
por S el nivel de ahorro (deuda), y por I el nivel de inversi´on, entonces en el periodo cero su ingreso
disponible est´a dado por
Y0 − S − I.
El ahorro (deuda) anterior implica un retorno (pago) en el per´ıodo siguiente dado por,
S · (1 + r),
donde r > 0 es una tasa de inter´es que fija el mercado financiero21
. De hecho, la tasa de inter´es es
s´olo un precio de un activo en distintos momentos. Note que si decide por S > 0, entonces el individuo
ahorr´o en el per´ıodo cero para luego recibir el pago en el periodo uno; caso contrario, si ´optimamente
se tiene que S < 0, el individuo se endeud´o en el periodo cero, para luego pagar la deuda en el per´ıodo
uno (aumentado as´ı el consumo presente, pero sacrificando el consumo futuro).
Por otro lado, si el individuo decide invertir I ≥ 0 en el presente, entonces en el futuro tendr´a
recursos iguales a f(I), donde f(·) es una funci´on de producci´on de la inversi´on. Con todo lo
anterior, dado S e I, el ingreso neto en el periodo uno (futuro) es
Y1 + (1 + r) · S + f(I).
Si el precio del consumo en per´ıodo cero (uno) es p0 (p1), entonces la restricci´on presupuestaria que
enfrenta en cada per´ıodo es
p0 · C0 = Y0 − S − I, p1 · C1 = Y1 + (1 + r) · S + f(I).
Con todo lo anterior, el problema del individuo consiste en maximizar una funci´on de utilidad que
depende de la trayectoria de consumo, sujeto a las restricciones ya mencionadas. Si denotamos por
U(C0, C1) dicha funci´on de utilidad, el problema es entonces
max
S,I
U(C0, C1)
s.a p0 · C0 = Y0 − S − I (29)
p1 · C1 = Y1 + (1 + r) · S + f(I)
Notemos que las variables de optimizaci´on son S e I, pues la elecci´on ´optima de ´estas determina la
trayectoria de consumo.
Como casos particulares del problema (29) se tiene aquel donde (i) no existen posibilidades de
inversi´on pero s´ı mercados financieros, aquel donde (ii) no hay mercados financieros pero s´ı posibilidades
de inversi´on y aquel (iii) donde no hay ni posibilidades de inversi´on ni mercados financieros. El caso
(i) corresponde a,
21En este modelo estamos asumiendo que la tasa de inter´es por deuda es igual a la tasa de inter´es por ahorro, cosa que
no necesariamente es cierto en la pr´actica.
48

49. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
max
S
U(C0, C1)
s.a p0 · C0 = Y0 − S, (30)
p1 · C1 = Y1 + (1 + r) · S
mientras que el caso (ii) al problema,
max
I
U(C0, C1)
s.a p0 · C0 = Y0 − I (31)
p1 · C1 = Y1 + f(I)
Finalmente, en el caso (iii), la soluci´on es directa, pues al no haber manera de traspasar recursos
en el tiempo, la soluci´on ´optima por el lado del consumo satisface que
pt · Ct = Yt ⇒ C∗
t =
Yt
pt
, t = 0, 1.
Considerando la versi´on m´as general del modelo, (29), se tiene que,
C0 =
Y0 − S − I
p0
, C1 =
Y1 + (1 + r) · S + f(I)
p1
.
Luego, reemplazando lo anterior en la funci´on de utilidad, el problema (29) se puede re-escribir
como (problema de optimizaci´on irrestricto)
max
S,I
U
Y0 − S − I
p0
,
Y1 + (1 + r) · S + f(I)
p1
,
Derivando c.r. a cada variable e igualando a cero se tiene que
∂U
∂S
= 0 ⇔
∂U
∂C0
·
−1
p0
+
∂U
∂C1
·
1 + r
p1
= 0 ⇒
∂U
∂C0
∂U
∂C1
·
p1
p0
= 1 + r.
∂U
∂I
= 0 ⇔
∂U
∂C0
·
−1
p0
+
∂U
∂C1
·
f′
(I)
p1
= 0 ⇒
∂U
∂C0
∂U
∂C1
·
p1
p0
= f′
(I).
Por lo tanto, de las condiciones anteriores, se tiene que para I∗
´optimo se satisface que,
f′
(I∗
) = 1 + r,
es decir, que el nivel ´optimo de inversi´on depende s´olo de la tasa de inter´es y de la funci´on de producci´on,
no dependiendo de la funci´on de utilidad del individuo. Este resultado es conocido como el
Teorema de Separaci´on de Fisher-Hirshleifer, y es v´alido si existen mercados financieros.
De lo contrario, las inversiones podr´ıan depender de las preferencias individuales. En efecto, si s´olo
existen posibilidades de inversi´on, el problema del individuo es (31), que re-escrito corresponde a
max
S,I
U
Y0 − I
p0
,
Y1 + f(I)
p1
.
Las condiciones de optimalidad implican que
∂U
∂I
= 0 ⇔
∂U
∂C0
·
−1
p0
+
∂U
∂C1
·
f′
(I)
p1
= 0 ⇒
∂U
∂C0
∂U
∂C1
·
p1
p0
= f′
(I),
por lo cual la inversi´on ´optima depende de las preferencias individuales.
49

50. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Nota. 2.1 En presencia de mercados financieros, el proyecto de invertir consiste en uno donde en
t = 0 el flujo es −I, mientras que en el periodo uno el flujo es f(I). Luego, el VAN de este proyecto
es,
V AN(I) = −I +
f(I)
1 + r
.
Se utiliza la tasa de inter´es r como factor de descuento ya que este es el precio del capital en el
periodo correspondiente. Luego, al maximizar el V AN(I) c.r. a I se tiene que:
∂V AN(I)
∂I
= 0 ⇔ −1 +
f′
(I)
1 + r
= 0 ⇔ f′
(I) = 1 + r.
Por lo tanto, la condici´on obtenida es simplemente una que refleja la maximizaci´on del V AN del
proyecto de inversi´on.
Respecto de la funci´on de utilidad, existen diversas formas de modelar las preferencias de un
individuo. La m´as utilizada consiste en suponer que dicha funci´on es separable en el tiempo,
de forma tal que hay funciones u0 y u1 tales que,
U(C0, C1) = u0(C0) + u1(C1).
Como caso particular de lo anterior, frecuentemente se asume una forma particular para las fun-
ciones u0 y u1, de forma tal que
u1(C) = β · u0(C),
es decir, que el individuo valora el futuro de la misma forma que valora el presente, salvo por una
constante β ≥ 0 que se denomina tasa de descuento intertemporal del agente. En lo que sigue,
asumiremos que,
U(C0, C1) = u(C0) + β · u(C1)
donde 0 < β < 1 es la tasa de descuento ya mencionada, mientras que u(·) es una funci´on de utilidad
instant´anea de este individuo22
.
El par´ametro β ∈ (0, 1) representa el nivel de impaciencia del individuo respecto del consumo:
mientras m´as cercano a uno, mayor es su valoraci´on del futuro respecto del presente, es decir, es m´as
paciente; caso contrario, es m´as impaciente cuando β es cercano a cero. Por ´ultimo, notar que β no
tiene, a priori, nada que ver con r (tasa de inter´es): β es una tasa de descuento intertemporal que
mide impaciencia, siendo por tanto un atributo personal, en cambio r es un precio, que fija valor de
los activos dispuestos en distintos instantes del tiempo.
Ejemplo 2.3 Asumamos que
U(C0, C1) = ln(C0) + β · ln(C1),
que p0 = p1 = 1, que los ingresos son Y0, Y1 (dados) y que la tasa de inter´es r > 0. Suponiendo que
el individuo tiene s´olo posibilidades de ahorro-deuda, determinemos el nivel ´optimo de ´esta. En este
caso, el problema del individuo es,
max
S
ln(Y0 − S) + β · ln(Y1 + (1 + r) · S).
De las condiciones de optimalidad se tiene que,
−1
Y0 − S
+
β · (1 + r)
Y1 + (1 + r)S
= 0 ⇒ S∗
=
β · (1 + r) · Y0 − Y1
(1 + r) · (1 + β)
.
Por lo tanto, ahorra siempre y cuando S∗
≥ 0, es decir, cuando,
22Usualmente se asume que u(C) = Cα, con α > 0, o bien u(C) = ln(C), pues, entre otros, con dichas funciones se
simplifican los c´alculos, pudiendo normalmente encontrar soluciones expl´ıcitas de la demanda.
50

51. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
β · (1 + r) · Y0 − Y1 > 0.
Caso contrario, el individuo se endeuda. Notemos adem´as que si β aumenta (es decir, es “m´as
impaciente”), entonces el efecto sobre S∗
se obtiene de la derivada
∂S∗
∂β
=
(1 + r)Y0 + Y1
(1 + r) · (1 + β)2 > 0.
Por lo tanto, un aumento en β implica un aumento en S∗
, lo que parece completamente razonable
pues, al valorar m´as el futuro, el nivel de ahorro aumenta (caso en que S∗
sea positivo) o bien el nivel
de deuda disminuye (caso en S∗
sea negativo).
Veamos c´omo cambia lo anterior si adicionalmente existen posibilidades de inversi´on, que son dadas
por la funci´on
f(I) =
√
I.
En este caso, el nivel ´optimo de la inversi´on es tal que,
f′
(I) = 1 + r ⇒
1
2
√
I
= 1 + r ⇒ I =
1
4(1 + r)2
.
Por lo tanto, el nuevo escenario es como el anterior, salvo que ahora el ingreso Y0 del problema
anterior es Y0 = Y0−I = Y0− 1
4(1+r)2 , mientras aquel para el periodo uno es Y1 = Y1+f(I) = Y1+ 1
2(1+r) .
Por lo tanto, el nivel ´optimo de ahorro (o deuda) es,
S =
β · (1 + r) · Y0 − Y1
(1 + r) · (1 + β)
=
β · (1 + r) · Y0 − 1
4(1+r)2 − Y1 + 1
2(1+r)
(1 + r) · (1 + β)
= S∗
−
β + 2
4(1 + r)2
(1 + β)
.
En principio, ya que el nuevo valor de ahorro (o deuda) es menor que aquel que se ten´ıa en el
problema sin posibilidades de inversi´on (S < S∗
), entonces el individuo consumir´ıa m´as en periodo
presente que en el futuro. Sin embargo, este an´alisis no es completo, ya que para analizar el efecto en
su totalidad, se debe restar el valor de la inversi´on y ver as´ı, en definitiva, si el ingreso neto del periodo
cero es mayor ahora que antes. Se deja propuesto seguir con el problema.
Ejemplo 2.4 Supongamos que un individuo representativo consume en dos per´ıodos, el 1 y el 2. Si
denotamos por c1 y c2 los montos de consumo respectivo, la utilidad que obtiene nuestro agente es
u(c1, c2) = c2
1 + β · c2
2, donde β es un par´ametro conocido. Supongamos adem´as que inicialmente dicho
individuo dispone de una riqueza I0, la cual debe distribuir para el consumo actual o ahorrar para
consumo futuro. Si por ejemplo en el primer per´ıodo decide gastar I pesos, el consumo correspondiente
es c1 = αI, donde α es un factor de proporcionalidad conocido, id´entico para ambos per´ıodos. El dinero
ahorrado se reajusta para el pr´oximo per´ıodo a una tasa de inter´es de i%. En este caso, para plantear
el problema de maximizaci´on de utilidad del consumidor, las variables de decisi´on son el consumo
actual y el consumo futuro (c1 y c2). Dado esto, sea I el gasto del individuo en el primer per´ıodo,
entonces c1 = α I. El ahorro es entonces (I0 − I) y por lo tanto el consumo en el segundo per´ıodo
es c2 = α(I0 − I)(1 + i), es decir, c2 = α · I0(1 + i) − α · I(1 + i). Como c1 = αI se tiene que
(1 + i)c1 + c2 = α · I0(1 + i). Luego el problema del individuo es,
max
c1,c2
c2
1 + βc2
2
s.a (1 + i)c1 + c2 = αI0(1 + i).
Imponiendo las condiciones de optimalidad se tiene que,
2c1
β2c2
= 1+i
1 , es decir, c1 = β(1 + i)c2. Reemplazando en la restricci´on presupuestaria, β(1 + i)
2
c2 +
c2 = αI0(1 + i). Luego, c2 = αI0(1+i)
(1+β(1+i)2
)
. Por lo tanto, c1 = βαI0(1+i)2
(1+β(1+i)2
)
.
51

52. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Ejemplo 2.5 La empresa forestal Buenas PerasINC
tiene una plantaci´on de 100 hect´areas de Pino
Radiata, donde por cada hect´area hay 400 ´arboles. Inicialmente (Per´ıodo 1) cada ´arbol entrega M1
kilogramos de madera mientras que en el per´ıodo siguiente (Per´ıodo 2) la cantidad de madera que
entrega cada ´arbol es M2 > M1 (es mayor porque cada planta est´a m´as madura). Supongamos que el
precio de la madera es constante entre los dos per´ıodos e igual a p > 0. Denotemos por q1 la cantidad
de ´arboles que la empresa decide cortar en el primer per´ıodo y supongamos que la utilidad de la empresa
depende del ingreso que obtiene por la venta de la madera. Sean I1 e I2 los ingresos en los per´ıodos 1
y 2 respectivamente y sea U(I1, I2) la funci´on de utilidad de Buenas PerasINC
.
a.- A partir de las definiciones anteriores, muestre que,
M2 · I1 + M1 · I2 = 40.000 · M1 · M2 · p
Con esto, plantee el problema de maximizaci´on de utilidad de la firma.
Respuesta. Sea q1 la cantidad de ´arboles que corta en el per´ıodo 1. Por lo tanto el ingreso
obtenido en dicho per´ıodo es I1 = q1 · M1 · p (∗). Para el per´ıodo 2 s´olo puede cortar q2 =
(40.000−q1) ´arboles, por lo cual su ingreso es I2 = (40.000−q1)·M2 ·p. Despejando q1 en funci´on
de I1 de (∗) y reemplazando en la relaci´on anterior se tiene que I2 = (40.000 − I1
M1p ) · M2 · p.
Ordenando los t´erminos llegamos a la expresi´on solicitada. De esta manera el problema de Buenas
PerasINC
es,
max U(I1, I2)
s.a M2 · I1 + M1 · I2 = 40.000 · M1 · M2 · p.
b.- Suponiendo que la funci´on de utilidad de Buenas PerasINC
es
U(I1, I2) = Iα
1 · Iα
2 ,
muestre que la cantidad de ´arboles que la empresa corta en el primer per´ıodo es igual a aquella
que corta en el segundo per´ıodo.
Respuesta. Las condiciones de optimalidad del problema son,
• α
α ·
Iα−1
1 Iα
2
Iα
1 Iα−1
2
= I2
I1
= M2
M1
,
• M2 · I1 + M1 · I2 = 40000 · M1 · M2 · p.
Resolviendo el sistema queda I1 = 40000·M1·p
2 . Como I1 = q1 · M1 · p se tiene que q1 = 40.000
2 que
es lo solicitado.
2.4 Modelo de Ocio - Consumo
Este modelo es ´util para describir, entre otros, la oferta laboral de un individuo. En el modelo de
ocio-consumo, se presume que las preferencias de un individuo dependen de dos factores, a saber, el
Consumo (C) y el Ocio (θ). El consumo representa, en t´erminos gen´ericos, aquellos bienes que nos
entregan satisfacci´on y que deben ser comprados en el mercado. El ocio es un variable que se mide
en tiempo, y que representa aquella fracci´on del tiempo total disponible que se dedica a actividades no
laborales que entregan satisfacci´on per se. Por esta raz´on, dada una cantidad total de tiempo constante
que dispone el individuo, el ocio rivaliza con el tiempo que se dedica al trabajo, que a su vez permite
generar ingresos que son utilizados para comprar el consumo. En definitiva, el ocio rivaliza con el
consumo.
Si un individuo dispone de T horas diarias (digamos, 24 horas), si t ≥ 0 es el tiempo que dedica al
trabajo, entonces el ocio remanente que dispone es θ = T − t ≥ 0. Con el tiempo dedicado al trabajo,
puede obtener un ingreso igual a,
52

53. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
t · w,
siendo w > 0 el salario por hora que recibe. El ingreso anterior debe ser igual al valor del consumo al
que finalmente decide acceder. De esta manera, si p > 0 es el precio del consumo, se debe cumplir que
p · C = t · w.
Con todo lo anterior, el problema de ocio - consumo es
max
C,θ
U(C, θ)
s.a p · C = t · w, (32)
θ + t = T,
0 ≤ θ ≤ T , 0 ≤ t ≤ T
siendo U(C, θ) la funci´on de utilidad del individuo que depende del consumo y el ocio.
Del problema (32), se tiene que t = T − θ. Luego, reemplazando en la primera restricci´on, p · C =
w · [T − θ] ⇔ p · C + w · θ = w · T , con lo cual, el problema (32) se puede reescribir como,
max
{C,θ}
U(C, θ)
s.a p · C + w · θ = w · T, (33)
0 ≤ θ ≤ T
que tiene la forma de uno de consumo est´andar, donde los dos bienes son x1 = C y x2 = θ, los
precios p1 = p, p2 = w, y el ingreso (que ahora depende de uno de los precios) igual a I = w · T . De
las condiciones de optimalidad del problema (33) se tiene que
∂U(C,θ)
∂C
∂U(C,θ)
∂θ
=
p
w
,
que junto con la restricci´on presupuestaria permiten encontrar el consumo ´optimo, C∗
(p, w), y el
correspondiente ocio ´optimo, θ∗
(p, w). Con este ´ultimo se puede obtener el tiempo dedicado al
trabajo, que corresponde a la oferta laboral del individuo:
t∗
(p, w) = T − θ∗
(p, w).
El modelo anterior se puede extender para considerar, por ejemplo, la existencia de lo que en
econom´ıa se denomina ingreso no laboral, que son recursos que obtiene el individuo independien-
temente de si trabaja o no. Si denotamos este ingreso no laboral por Y NL ≥ 0, entonces dado t un
tiempo dedicado al trabajo, el ingreso total que dispone para el consumo es
w · t + Y NL,
con lo cual, la nueva restricci´on presupuestaria es p·C = w·t+Y NL. Haciendo el reemplazo, t = T −θ,
se tiene que
p · C = w · T − w · θ + Y NL ⇔ p · C + w · θ = w · T + Y NL,
con lo que el problema del individuo es ahora
max
C,θ
U(C, θ)
s.a p · C + w · θ = w · T + Y NL,
0 ≤ θ ≤ T.
(34)
Obviamente si Y NL = 0, entonces el problema (34) es equivalente al problema (33).
53

54. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Ejemplo 2.6 Supongamos que U(C, θ) = Cα
· θβ
, p = p, w = w, T = T y que Y NL > 0. Resolviendo
el correspondiente problema (34) con los datos previos, la soluci´on es (verificar)
C∗
=
α · (w · T + Y NL)
p · (α + β)
, θ∗
=
β · (w · T + Y NL)
w · (α + β)
.
Luego,
t∗
= T − θ∗
=
α · T · w − β · Y NL
w · (α + β)
.
Notemos ahora que,
∂t∗
∂w
=
β · Y NL
(α + β) · w2
> 0,
con lo cual, un aumento en el salario implica una mayor oferta laboral. Por lo dem´as, se tiene que,
lim
w→+∞
t∗
(w) =
α
α + β
· T,
es decir, que si el salario aumenta, la oferta de trabajo nunca sobrepasar´a la fracci´on α/(α + β) del
tiempo total disponible. Finalmente, si Y NL = 0, entonces,
t∗
=
α
α + β
· T,
es decir, trabajar´ıa la cota m´axima que ten´ıa en el escenario anterior.
Del ejemplo anterior, notemos que si Y NL > 0, entonces existe un salario positivo para el cual la
oferta de trabajo es cero. En efecto, al imponer la condici´on t∗
= 0, y despejar el respectivo salario se
tiene que,
wR =
β · Y NL
α · T
> 0.
Este salario se llama salario de reserva y corresponde a aquel precio (salario) por el trabajo para el
cual el individuo est´a indiferente entre trabajar (oferta positiva) y no trabajar. Obviamente a cualquier
salario menor que wR el individuo no trabajar´a; a cualquier valor w > wR la oferta de trabajo ser´a
positiva.
Ejemplo 2.7 Asumiendo los par´ametros como en el ejemplo anterior, calculemos el salario de reserva
si U(C, θ) = [Cr
+ µθr
]
1/r
, con r > 0. Para ello, necesitamos calcular la oferta de trabajo en funci´on
de w y luego buscar aquel valor de salario para el cual dicha oferta es cero. En este caso, la condici´on
de optimalidad implica que
[Cr
+ µθr
]1/r−1
· r · Cr−1
[Cr + µθr]
1/r−1
· µ · r · θr−1
=
p
w
⇔
C
θ
=
µ · p
w
1/(r−1)
⇔ C = θ ·
µ · p
w
1/(r−1)
.
Luego, reemplazando lo anterior en la restricci´on presupuestaria, p · C + w · θ = w · T + Y NL, se
tiene que,
p · θ ·
µ · p
w
1/(r−1)
+ w · θ = w · T + Y NL,
con lo cual,
θ∗
=
w · T + Y NL
p · µ·p
w
1/(r−1)
+ w
⇒ t∗
= T − θ∗
=
p · µ·p
w
1/(r−1)
· T − Y NL
p · µ·p
w
1/(r−1)
+ w
.
54

55. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Por lo tanto, el salario de reserva es wR tal que p · µ·p
w
1/(r−1)
· T − Y NL = 0, es decir,
wR = µ · pr
·
T
Y NL
r−1
.
Note que wR es creciente en Y NL si r < 1. Adem´as, si p aumenta, entonces wR tambi´en lo hace.
3 Decisiones Bajo Incertidumbre
3.1 Introducci´on
En lo que sigue vamos a estudiar un modelo simple de comportamieto de individuos enfrentados
a situaciones de incertidumbre. La diferencia escencial entre este nuevo esquema y lo que hemos
estudiado hasta el momento, es que en el caso usual la utilidad s´olo depende del bien de consumo en s´ı
mismo, el cual es perfectamente conocido en t´erminos de su calidad, propiedades, etc., de modo que ex
ante podemos saber cual ser´a el nivel de satisfacci´on que nos deparar´ıa su consumo. As´ı, las acciones
de los agentes se traducen en decidir sobre la combinaci´on de bienes, dados su precios, que deparara
la m´axima utilidad. El problema es que ahora que la calidad o caracter´ısticas de los bienes no son
conocidas previo a la toma de decisiones. Esto se tiene, por ejemplo, cuando no hay un perfecto
conocimiento de las caracter´ısticas de los bienes o de la cantidad en que ellos estar´an disponibles al
momento de realizar el consumo, ambas situaciones muy frecuentes en la realidad.
A modo de ejemplo, cuando compramos un determinado producto en el comercio, no sabemos
exactamente que es lo que recibiremos a cambio del pago que hacemos. Idealmente podemos tener
una imagen de una manzana y pensar que ese es el objeto por el cual realizamos la transacci´on. Sin
embargo, al momento de consumir, podemos encontrarnos con un producto de mala u ´optima calidad,
lo que obviamente modifica nuestro placer del consumo. Por lo tanto, estamos enfrentados a una
situaci´on riesgosa donde el pago el bien en cuesti´on es m´as bien un pago por una posibilidad que el
bien tenga tal o cual caracter´ıstica. En otras palabras, pagamos por loter´ıas de bienes y no por una
especificaci´on concreta, perfectamente conocida a priori23
. En este caso simple, podemos pensar que
con cierta probabilidad 0 < p < 1 la manzana comprada es de ´optima calidad y que, por lo tanto,
con probabilidad (1 − p) es de inferior calidad. Imaginemos que el placer por las buenas manzanas se
mide con un n´umero, digamos, mb, mientras que por las manzanas malas este valor es mm
24
. Por lo
tanto, de todo lo anterior, con probabilidad p nuestra ganancia ser´ıa mb y con (1 − p) ser´ıa mm, lo que
podemos resumir en el siguiente cuadro:
Probabilidad Valor
p mb
(1 − p) mm
Otro ejemplo es la compra de un seguro de accidentes de tr´ansito. A priori, no tenemos ning´un
control del futuro y no sabemos que nos deparar´a el destino. Si tomamos o no el seguro, a posteriori
sus consecuencias sobre nuestro nivel de ingreso pueden ser muy importantes, y por ende sobre nuestro
nivel de bienestar. Si denotamos por I el ingreso actual, por M el valor del seguro comprado, por A
el costo de un accidente y por S el valor que nos cubre el seguro, dada una probabilidad p de tener el
accidente, entonces el ingreso disponible final ser´a I −A−M +S mientras que con probabilidad (1−p)
ser´a de I − M. El siguiente cuadro resumen la situaci´on:
Probabilidad Valor
p I − A − M + S
(1 − p) I − M
23Aun cuando no son sin´onimos, en lo que sigue utilizaremos indistintamente los conceptos riesgo e incertidumbre.
24En lo que sigue este n´umero corresponder´a a un valor monetario de la manzana, que podemos imaginar como una
disposici´on a pagar por la misma. As´ı, habiendo comprado la manzana obtenemos una ganancia mb o mm seg´un sea el
caso.
55

56. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
En todo lo que sigue, para simplificar el an´alisis supondremos que
Las caracter´ısticas de calidad de los bienes son traspasadas a un ´unico n´umero que llamare-
mos valor del bien, de modo que las decisiones de los agentes son hechas sobre la base de
la valoraci´on monetaria que tal o cual calidad asociada a ellos.
En otras palabras, en el modelo que sigue supondremos que los bienes son representados (dig-
amos, resumidos, traducidos, etc) por medio de un ´unico n´umero que podemos entender como un valor
monetario del mismo, el cual que participa en las utilidades de los individuos. Mientras mayor es el
valor, mayor es la utilidad obtenida.
Este esquema general, aun cuando es un supuesto simplificatorio muy ´util, de todas formas nos
permite estudiar gran cantidad de situaciones: por ejemplo problemas de consumo de bienes usuales
con incertidumbre, decisiones de inversi´on, de aseguramiento, de impuestos, etc. El m´ınimo com´un
es que ex ante una persona no tiene toda la informaci´on para saber cual ser´a la calidad del bien de
consumo que tendr´a, cu´al ser´a el retorno de la inversi´on, si sufrir´a o no un accidente de tr´ansito, si
ser´a o no encontrado en fraude tributario, etc. As´ı, a pesar que se presentan m´ultiples alternativas, el
resultado final del proceso es incierto y en cada uno de los posibles estados de la naturaleza el beneficio
que obtiene el agente puede ser completamente distinto.
3.2 El modelo
Para modelar los fen´omenos como los ya mencionados, necesitamos introducir un concepto m´as amplio
de bien que hemos utilizado hasta el momento. Imaginemos entonces que con una probablidad 0 < p < 1
el bien (o resultado del proceso) se resumen en un valor (ingreso, ganancia, calidad, etc.) representada
por x1 y que con probabilidad (1 − p) este valor resultante es x2. Por ejemplo, en un supermercado se
tiene que con probabilidad 0.7 las manzanas compradas son de buena calidad, de modo que su valor es
$100 la unidad, mientras que con probabilidad 0.3 son de mala calidad, siendo el valor de ´estas igual
a $70. Tenemos por lo tanto una situaci´on resumida en la siguiente tabla:
Probabilidad Valor
p = 0.7 $100
(1 − p) = 0.3 $70
El concepto ampliado de bien que resume lo anterior es aquel de loter´ıa, que queda descrita por la
tabla anterior.
Definici´on 3.1 Una loter´ıa es una colecci´on
{p, 1 − p, x1, x2}
que resume el hecho que con probabilidad p el bien en cuesti´on tiene un valor x1 y con probabilidad
(1 − p) es x2.
Definici´on 3.2 Dada la loter´ıa,
Probabilidad Valor
p x1
(1 − p) x2
el valor medio de la misma se define como,
¯x = p · x1 + (1 − p) · x2. (35)
En otras palabras, el valor medio de una loter´ıa es un promedio ponderado por la probabilidades
de los valores posibles que tiene la loter´ıa25
. Formalmente corresponde al valor esperado de una
variable aleatoria que con probabilidad p toma el valor x1 y con probabilidad (1 − p) el valor x2. Por
lo tanto, es lo que en promedio el individuo obtedr´ıa de comprar el bien en cuesti´on.
25El valor medio ponderado es simplemente una combinaci´on convexa de los valores extremos x1 y x2.
56

57. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Nota. 3.1 La idea de loter´ıa anterior se puede extender para considerar situaciones donde los posibles
valores de ´esta son xi, i = 1, . . . , N, cada uno de ellos con probabilidad de ocurrencia pi, i = 1, . . . , N,
de modo que pi ≥ 0 y
N
i=1
pi = 1. En tal caso, el valor medio (esperado) de la loter´ıa es
¯x =
N
i=1
pixi ∈ R.
Para el caso ya descrito, N = 2, p1 = p y p2 = (1 − p).
Nota. 3.2 Un bien usual x1 (cantidad del bien; valor del bien, etc.) se pueden entender como loter´ıas
“extrema” de la forma
{1, 0, x1, x2}
que con probabilidad 1 tiene un valor x1 y con probabilidad 0 toma el valor x2.
El problema es ahora modelar las elecciones sobre las loter´ıas, para lo cual se debe definir una
funci´on de utilidad sobre las mismas. Para ello, necesitamos disponer de un concepto de funci´on
de utilidad ampliado, que dependa de las probabilidades y de los bienes. Se insiste que la loter´ıa,
tal como han sido definidas, no son un bien tangible: es un ideal que representa determinada situaci´on
de incertidumbre en las calidades (y/o cantidades) de los bienes; los individuos no consumen loter´ıas,
sino bienes de consumo usuales.
Para diferenciar la funci´on de utilidad que depende de las loter´ıas y la usual, denotemos por u(·)
la f.d.u est´andar y por U(·) aquella que depende de las loter´ıas: en otras palabras, U(·) se eval´ua
en probabilidades y “dinero” (p, (1 − p), x1, x1) , mientras que u(·) s´olo se eval´ua s´olo en
dinero (x1, x2) (bienes usuales):
U(p, (1 − p), x1, x2), u(x1), u(x2).
Ejemplo 3.1 Dada la loter´ıa,
Probabilidad Valor
p x1
(1 − p) x2
algunos ejemplos de funciones U(·) pueden ser:
a.- U(p, (1 − p), x1, x2) = px3
1 − p(1 − p)x1x2 + p2
ln(x2
2 + 1).
b.- U(p, (1 − p), x1, x2) = pxα
1 + (1 − p)xα
2 .
c.- U(p, (1 − p), x1, x2) = p2
x1 +
x3
2
1−p2 .
Nota. 3.3 PREGUNTA IMPORTANTE: ¿Qu´e relaci´on existe entre U(·) y u(·)? A priori,
ninguna. La funci´on u(·) nos entrega informaci´on sobre las elecciones de bienes. En cambio, U(·)
no s´olo entrega informaci´on sobre el consumo en s´ı mismo, sino que adem´as nos entrega antecedentes
sobre al forma en que cada individuo enfrenta las situaciones de incertidumbre, lo que a priori no
tiene nada que ver con si prefiere la leche con chocolate a los kiwis. La forma en que cada individuo
se aproxima al riesgo es una caracter´ıstica propia del mismo y podr´ıa tener que ver con su edad, su
g´enero, su condici´on socioecon´omica, si tiene o no hijos, su nivel de educaci´on, etc.
A pesar de lo anterior, hay un caso particular muy importante bajo el cual se establece una
estrecha relaci´on entre una y otra funci´on de utilidad. Este caso se tiene en la siguiente definici´on.
57

58. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Definici´on 3.3 Dada la loter´ıa {p, 1 − p, x1, x2}, diremos que la funci´on de utilidad U(·) verifica la
propiedad de utilidad esperada si se cumple que,
U(p, (1 − p), x1, x2) = p · u(x1) + (1 − p) · u(x2).
En tal caso, se dice que u(·) es la funci´on de utilidad de Von Newman - Morgenstein (VNM)
del individuo, y notaremos U ∼ u.
La propiedad de la utilidad esperada es un supuesto simplificatorio de mucha importancia, tanto
para la teor´ıa, como en la pr´actica (cosa que podremos apreciar en diversos ejemplos). Obviamente
no todas las funciones de utilidad U(·) satisfacen la propiedad. A modo de ejemplo, las siguientes
funciones de utilidad no la cumplen.
(a) U(p, (1 − p), x1, x2) = p2
x2
1 + x1 + (1 − p) · px3
2.
(b) U(p, (1 − p), x1, x2) = px1 + (1 − p)x2
2.
(c) U(p, (1 − p), x1, x2) = p(1 − p)x1
En el caso (a) no se puede identificar una funci´on de utilidad u(·) y la expresi´on no es lineal en las
probabilidades; en el caso (b) no hay una funci´on u(·) ´unica: para p corresponder´ıa a u(x) = x, pero
seg´un (1 − p) ser´ıa u(x) = x2
. En el caso (c) no aparece x2 y luego no depende de u(x2) para alg´un
u(·). Adem´as en este caso no hay linealidad en las probabilidades.
Lss siguientes funciones U(·) cumplen la propiedad de utilidad esperada.
(i) U(p, (1 − p), x1, x2) = px2
1 + (1 − p) · x2
2.
(ii) U(p, (1 − p), x1, x2) = px1 + (1 − p)x2.
(iii) U(p, (1 − p), x1, x2) = pxα
1 + (1 − p)xα
2 .
Para simplificar el an´alisis que sigue, supondremos que la funci´on de utilidad U de cada
individuo siempre verifica la hip´otesis de utilidad esperada.
3.3 Ejemplos de aplicaci´on
Tal vez la mayor dificultad para el tipo problemas que estudiaremos es la identificaci´on de la loter´ıa
que representa el fen´omeno en an´alisis. Una vez hecho, el modelo es relativamente simple de resolver,
ya que se deriva la funci´on objetivo (o el Lagrangeano) respecto de la variable de decisi´on, y se resuelve
el sistema o la ecuaci´on resultante. Los siguientes ejemplos ilustran la t´ecnica requerida.
Ejemplo 3.2 Seguro de Auto
Supongamos que un cierto individuo compra un auto que cuesta $A. Dicha persona est´a propensa
a que durante el a˜no sufra un accidente cuyo costo es $D (valor de los da˜nos). Dado esto, ha decidido
tomar un seguro. Si el monto por el cual se asegura es de $S el debe pagar el r% en prima (es decir,
$r · S). La probabilidad que el individuo sufra el accidente es p > 0 y por lo tanto, la probabilidad de
no sufrir el accidente es (1 − p). Luego, con probabilidad p el beneficio que tiene es
x1 = A − D − r · S + S,
es decir, el valor del auto, menos los da˜nos, menos el costo de la prima m´as el monto que cubre el
seguro. Si por el contrario, si no sufre el accidente, su patrimonio al final del d´ıa ser´a
x2 = A − r · S.
El problema es decidir por cu´anto tomar´a el seguro. Para ello, supongamos que su funci´on de utilidad
verifica la propiedad de utilidad esperada y que u(x) = xα
, α > 0. Entonces, condicional a las
probabilidades, el problema del individuo es determinar S de modo que se maximice
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max
S
[p · u(x1) + (1 − p) · u(x2)] = max
S
p · (A − D − r · S + S)
α
+ (1 − p) · (A − r · S)
α
.
Derivando c.r. a S (variable de decisi´on, pues el individuo decide por cuanto tomar el seguro), se
tiene que,
p · α · (1 − r)(A − D − r · S + S)
α−1
+ (1 − p) · α · (−r) · (A − r · S)
α−1
= 0
de lo cual se tiene que,
A − D + (1 − r) · S
A − r · S
α−1
=
(1 − p)r
p(1 − r)
de donde es posible obtener expl´ıcitamente el valor de S ´optimo.
Ejemplo 3.3 Decisiones de inversi´on.
Supongamos que disponemos de una cierta cantidad de dinero d y que se nos presenta la opci´on de
invertir en acciones o en pagar´es del Banco Central (PBC). El PBC depara como beneficio una tasa
de inter´es segura (porcentaje) r1 > 0, mientras que las acciones, que son m´as riesgosas, en la mejor
situaci´on entregan una tasa de inter´es r2 > 0, con r2 > r1, pero que en un mala racha del sistema la
tasa es r3, con r3 < r1. La probabilidad de que las acciones tengan un alto retorno es p > 0, mientras
que la probabilidad de que ´este sea bajo es (1 − p). El problema consiste en decidir cu´anto invertir
en acciones y cu´anto en un activo seguro (PBC). Si el dinero inicial es d, denotemos por da lo que
destinamos a las acciones (y por lo tanto, d−da es la cantidad de dinero que ponemos en PBC). Luego,
seg´un la definiciones anteriores, con probabilidad p el individuo obtiene la siguiente cantidad de dinero:
(d − da) · (1 + r1) + da · (1 + r2),
es decir, reajusta al r1 de la cantidad de dinero puesta en PBC y a una tasa r2 el dinero puesto en
acciones. An´alogamente, con probabilidad (1 − p) el dinero obtenido es,
(d − da) · (1 + r1) + da · (1 − r3),
es decir, la ganancia segura menos la p´erdida en la bolsa (ganancia con tasa menor). Todo lo anterior
es s´olo un balance econ´omico producto de las decisiones del individuo ante el riesgo. Si suponemos que
su funci´on de utilidad verifica la propiedad de utilidad esperada y que u(x) = xα
, α > 0, entonces el
problema del individuo es determinar da de modo que se maximice,
max
da
p · u((d − da) · (1 + r1) + da · (1 + r2)) + (1 − p) · u((d − da) · (1 + r1) + da · (1 − r3))
⇔ max
da
p · ((d − da) · (1 + r1) + da · (1 + r2))α
+ (1 − p) · ((d − da) · (1 + r1) + da · (1 − r3))α
.
Ordenando los t´erminos se tiene que el problema es,
max
da
p · (d · (1 + r1) + da · (r2 − r1))α
+ (1 − p) · (d · (1 + r1) − da · (r3 + r2))α
.
Derivando con respecto a da (variable de decisi´on, pues el individuo decide cuanto invertir), se
tiene que,
p · α · (r2 − r1) · (d · (1 + r1) + da · (r2 − r1))
α−1
−
(1 − p) · α · (r3 + r2) · (d · (1 + r1) − da · (r3 + r2))
α−1
= 0
es decir,
d · (1 + r1) + da · (r2 − r1)
d · (1 + r1) − da · (r3 + r2)
α−1
=
(1 − p) · (r3 + r2)
p · (r2 − r1)
a partir de lo cual se puede obtener una expresi´on para da en funci´on de los datos del problema.
59

60. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Ejemplo 3.4 Plantaciones
Supongamos que un individuo posee una plantaci´on de pinos de H hect´areas, cada una de las cuales
tiene A ´arboles. El tipo debe decidir si cortar este a˜no (Primer Per´ıodo) o el pr´oximo a˜no (Segundo
Per´ıodo). Si corta hoy d´ıa, la cantidad de madera que obtiene de cada ´arbol es M1 Kg, mientras que
si corta el pr´oximo per´ıodo existe incertidumbre de cual ser´a la cantidad de madera que contenga cada
´arbol. En efecto, si el a˜no resulta bueno en cuanto a lluvia, la cantidad de madera de cada ´arbol ser´a
M2 Kg, con M2 > M1, pero si el a˜no es seco, la cantidad de madera de cada ´arbol ser´a M3 < M1. La
probabilidad de que el a˜no sea bueno es p, mientras que (1 − p) es la probabilidad de que el a˜no sea
seco. Bajo estas condiciones, denotemos por q la cantidad de ´arboles que el individuo decide cortar
durante el primer per´ıodo (que ser´a la variable para optimizar). Luego, con probabilidad p el a˜no es
lluvioso y por lo tanto la cantidad de madera que obtiene es
q · M1 + (A · H − q) · M2,
mientras que con probabilidad (1 − p) la cantidad de madera que obtiene es,
q · M1 + (A · H − q) · M3.
Si la funci´on de utilidad VNM es u(x) = ln(x), el problema de la persona es
max
q
p · ln(q · M1 + (A · H − q) · M2) + (1 − p) · ln(q · M1 + (A · H − q) · M3).
3.4 Aproximaci´on de los individuos hacia el riesgo
Lo que ahora nos ocupar´a es modelar, de manera sencilla, la manera en los los individuos se aproximan
al riesgo, que subyace en el hecho que con alguna probabilidad, lo que compra (u obtiene) puede ser,
por ejemplo, insatisfactorio (en resumen, enfrentar una situaci´on donde, a priori, no hay certeza de
calidad, o cantidad, del bien que recibir´a).
Dada la loter´ıa {p, 1 − p, x1, x2}, supongamos que x1 < x2, de modo que con probabilidad p se
tiene el escenario desfavorable, y con probabilidad (1 − p) un escenario desfavorable. Recordemos
adem´as que el valor medio de la loter´ıa (promedio, media, esperanza, valor esperado, etc.) es
¯x = p · x1 + (1 − p) · x2 ∈ R.
Gr´aficamente el valor medio de la loter´ıa es un punto del intervalo real cuyos extremos son x1 y x2:
mientras p es m´as cercano a cero, el valor medio ¯x es m´as cercano a x2, mientras m´as cercano a uno
es p, el valor medio se acerco a x1.
Figure 25: Valor Esperado del Ingreso
x1
px1 + (1 − p)x2
x2
Condicional a las probabilidades, el valor medio ¯x se entiende como el pago que, en promedio,
se obtiene de la loter´ıa. En la pr´actica, y para los an´alisis que siguen, se puede entender como un
pago seguro que resume el valor de la loter´ıa en comento.
Para definir la actitud de un individuo frente al riesgo, procederemos comparando, en t´erminos
de beneficio, la situaci´on con riesgo (jugar la loter´ıa) versus la situaci´on segura (ganar ¯x). Bajo el
supuesto que U ∼ u, la situaci´on riesgosa entrega satisfacci´on
p · u(x1) + (1 − p) · u(x2),
60

61. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
mientras que para la situaci´on segura es
u(¯x).
Con lo anterior, hay tres posibilidades:
Caso A. que u(¯x) = p · u(x1) + (1 − p) · u(x2) (es decir, que u(¯x) = U(p, (1 − p), x1, x2))
Caso B. que u(¯x) < p · u(x1) + (1 − p) · u(x2) (es decir, que u(¯x) < U(p, (1 − p), x1, x2))
Caso C. que u(¯x) > p · u(x1) + (1 − p) · u(x2) (es decir, que u(¯x) > U(p, (1 − p), x1, x2)).
En el Caso A, el individuo es indiferente entre una situaci´on riesgosa y una situaci´on segura; en el
Caso B, el individuo prefiere la situaci´on riesgosa a la situaci´on segura, pues la utilidad que le
entrega la loter´ıa (U(p, (1 − p), x1, x2)) es mayor que aquella que entrega el pago seguro (que es u(¯x));
en el Caso C, el individuo prefiere la situaci´on segura a la situaci´on riesgosa.
Ejemplo 3.5 Supongamos que jugamos dinero al “cara y sello”: si sale cara gano 100 y si sale sello
pierdo 100. La cantidad de dinero que jugar´ıa es 100. Por lo tanto, con probabilidad 1/2 obtengo 200
(gano 100 m´as los 100 que ten´ıa) y con probabilidad 1/2 quedo con nada (pierdo los 100 que ten´ıa). En
este caso, x1 = 0, x2 = 200 y p = 1−p = 1/2. En promedio, al jugar ganar´ıa ¯x = 1/2·200+1/2·0 = 100.
En el Caso A el individuo estar´ıa indiferente entre jugar o no jugar, en el Caso B. el individuo prefiere
jugar mientras que en el Caso C el sujeto no jugar´ıa el juego.
Definici´on 3.1 Suponiendo que U ∼ u, diremos que el individuo es neutro al riesgo si para cualquier
loter´ıa {p, 1 − p, x1, x2} se tiene que
u(¯x) = p · u(x1) + (1 − p) · u(x2),
que es propenso al riesgo si
u(¯x) < p · u(x1) + (1 − p) · u(x2),
y que es averso al riesgo si
u(¯x) > p · u(x1) + (1 − p) · u(x2).
Claramente la neutralidad, propensi´on o aversi´on al riesgo depende de c´omo es la funci´on
de utilidad VNM del individuo. Para los casos A - C anteriores, veamos geom´etricamente como se
manifiesta la propiedad en cuesti´on (se presenta un gr´afico de la utilidad VNM, u(·), para diversos
valores de ingreso).
Caso A. Aqu´ı u(¯x) = p · u(x1) + (1 − p) · u(x2). Representemos por A = u(x1) y por C = u(x2). En la
Figura 26, el punto B = u(¯x). Notemos que, por el hecho de que la utilidad es lineal, el punto
C coincide adem´as con p · u(x1) + (1 − p) · u(x2). Por lo tanto, la situaci´on de neutralidad al
riesgo se refleja cuando la utilidad VNM es lineal.
61

62. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 26: Utilidad VNM Lineal
x
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x1 ¯x x2
C
B
A
Caso B. En este caso, u(¯x) < p · u(x1) + (1 − p) · u(x2). Representemos por A = u(x1) y por C = u(x2).
En la Figura 27, el punto B = u(¯x) y sea D = p · u(x1) + (1 − p) · u(x2). Para encontrar el punto
D, basta con prolongar la l´ınea punteada que pasa por B hasta cortar la recta que une A con C
26
. Por condici´on B < D y la figura de la utilidad se ve como sigue,
Figure 27: Utilidad VNM Convexa
x
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x1 ¯x x2
C
BA
D
Por lo tanto, la situaci´on de propensi´on al riesgo se refleja cuando la utilidad VNM, u(·), es
convexa.
Caso C. En este caso, u(¯x) > p · u(x1) + (1 − p) · u(x2). Representemos por A = u(x1) y por C = u(x2).
En la Figura 28, el punto B = u(¯x) y sea D = p · u(x1) + (1 − p) · u(x2). Para encontrar el punto
D, basta intersectar la l´ınea punteada que pasa por B con la recta que une A con C (an´alogo al
caso anterior). Como por condici´on B > D, la figura de la utilidad se ve como sigue:
26Es importante que pueda justificarlo. Queda como ejercicio para el lector.
62

63. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 28: Utilidad VNM C´oncava
x
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x1 ¯x x2
CB
A
D
Por lo tanto, la situaci´on de aversi´on al riesgo se refleja cuando la utilidad VNM, u(·), es
c´oncava.
De lo expuesto, queda entonces establecido que:
(a) neutralidad al riesgo corresponde a utilidades VNM lineales,
(b) aversi´on al riesgo corresponde a utilidades VNM c´oncavas,
(c) propensi´on al riesgo corresponde a utilidades VNM convexas,
Nota. 3.4 Recordemos que una funci´on u(·) es c´oncava si u
′′
< 0: segunda derivada es negativa; y
es convexa si u
′′
> 0: segunda derivada positiva.
Ejemplo 3.6 Suponga que la funci´on de utilidad VNM es u(x) = xα
, con α > 0. Entonces el sujeto
es neutro al riesgo si α = 1, averso si α < 1 (u(x) c´oncava) y propenso si α > 1 (u(x) convexa).
El concepto de neutralidad, aversi´on o propensi´on al riesgo en Definici´on (3.1) es un concepto
global, en el sentido que la condici´on se exige sobre todas las loter´ıas. ¿Qu´e ocurre si en determinado
rango de ingresos el individuo es, por ejemplo, averso al riesgo, y en otros es propenso? En tal caso, el
sujeto no se puede calificar en alguno de los tipos indicados. M´as bien se trata de una situaci´on
mixta que no tendr´ıa cabida dentro del marco global que hemos definido previamente. Para hacernos
cargo de estos comportamientos heterog´eneos, se deber´ıa definir un concepto local de cercan´ıa al riesgo.
Dado cierto nivel de ingreso (valor, etc.), ¿qu´e medida nos puede indicar que “tan propenso” es al riesgo
en el entorno a dicho valor? A priori se podr´ıa esperar, razonablemente, que si la funci´on de utilidad
de un sujeto es “m´as convexa” que la de otro, entonces dicho individuo deber´ıa ser m´as arriesgado
que el segundo. Por otro lado, condicional a que el sujeto es propenso al riesgo (global), su cercan´ıa
con el riesgo seguramente depender´a de la cantidad de dinero que est´a en juego: seguramente se es
m´as arriesgado con montos chicos que con montos grandes. Para aproximar una medida de aversi´on o
propensi´on al riesgo se introduce la Medida de aversi´on absoluta al riesgo de Arrow - Pratt.
Definici´on 3.4 Dada la funci´on de utilidad VNM, u(·), y dado un cierto ingreso x∗
, se define la
medida de aversi´on absoluta al riesgo de Arrow - Pratt en el nivel de ingreso x∗
como,
R(x∗
) = −
u
′′
(x∗
)
u′
(x∗)
.
63

64. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Este indicador da cuenta de que tan c´oncava (o tan convexa) es la funci´on de utilidad VNM.
Relacion´andolo con los conceptos anteriores se tiene que:
A.- Si R(x) < 0, entonces en el entornos del nivel de ingreso x el individuo es propenso al riesgo
(f.d.u. convexa)27
.
B.- Si R(x) > 0, entonces en el entornos del nivel de ingreso x el individuo es averso al riesgo (f.d.u.
c´oncava).
C.- Si R(x) = 0, entonces para el nivel de ingreso x el individuo es neutro al riesgo.
Ejemplo 3.7 Si u(x) = xα
, entonces
R(x) = −
u′′
(x)
u′(x)
= −
α(α − 1)xα−2
αxα−1
=
1 − α
x
Notemos que para cualquier x se tiene que el signo de R(x) lo determina el signo de 1−α. Si α > 1,
entonces R(x) < 0 para cualquier x, cuesti´on que se condice con el hecho que el individuo es propenso
al riesgo; si α < 1 implica que R(x) > 0 para cualquier x, siendo as´ı averso al riesgo. Notemos que
esto es consistente con lo desarrollado en el Ejemplo (3.6).
Notemos que la medida R(x) puede depender del nivel de ingreso del sujeto. Con el fin de corregir
eventualmente esta dependencia, se define la medida de aversi´on relativa al riesgo de Arrow -
Pratt.
Definici´on 3.2 Dado x y u una utilidad VNM, la Medida de Aversi´on Relativa al Riesgo de
Arrow - Pratt, que se denota r(x), se define como
r(x) = x · R(x).
Ejemplo 3.8 Si u(x) = xα
, entonces
r(x) = x · R(x) = −x ·
u′′
(x)
u′(x)
= 1 − α.
¿Por qu´e se consideran ambas medidas de aversi´on al riesgo? Imaginemos dos individuos:
el Sr.1 es rico, y tiene mucho dinero (digamos, $1.000.000); el Sr. 2 es m´as pobre, tiene $10.000. A
ambos se ofrece un juego donde se arriesga perder la apuesta o ganar el doble de lo apostado. La
probabilidad est´a fija y no es relevante para lo que sigue. La apuesta para jugar es $1.000. A priori,
sin saber nada de sus preferencias, podemos especular que el Sr.1 estar´a m´as dispuesto a jugar el juego
que el Sr.2, b´asicamente porque arriesga s´olo el 1% de sus ingresos, mientras que el Sr.2 el 10% de los
suyos. ¿Significa lo indicado que el Sr.1 es m´as propenso al riesgo que el Sr.2? En t´erminos absolutos,
seguramente si; sin embargo, en t´erminos relativos puede que no lo sea.
Ejemplo 3.9 Supongamos que la funci´on de utilidad VNM de un individuo es de la forma u(x) =
a + b · ln(x + c). Determine R(x) y r(x) e interpretemos su significado. Para ello, la derivada de
u(·) es u′
(x) = b
x+c y la segunda derivada es u
′′
(x) = −b
(x+c)2 . Por lo tanto, R(x) = −u′′
(x)
u′(x) = 1
x+c ,
y luego r(x) = x
x+c . Como R(x) > 0, el individuo siempre es averso al riesgo. Por otro lado, que
R′
(x) = −1
(x+c)2 < 0, significa que, en la medida que x aumenta, R(x) disminuye, por lo tanto, cuando
el individuo es m´as rico (aumenta el ingreso x), se tiene que R(x) disminuye, es decir, cada vez es
menos averso al riesgo.
27Recuerde que la utilidad VNM siempre crece con el ingreso, de modo que la primera derivada es positiva. De esta
manera, si R(x) < 0 significa que − u
′′
(x)
u
′
(x)
< 0, es decir, u
′′
(x)
u
′
(x)
> 0; como u′(x) > 0 siempre, entonces u′′(x) > 0, es
decir, u es convexa, de modo que el individuo es propenso al riesgo.
64

65. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Ejemplo 3.10 Si la funci´on de utilidad VNM de un individuo es u(x) = e−ax
, con a > 0, se tiene que
u′
(x) = −a · e−ax
y u′′
(x) = a2
· e−ax
. Por lo tanto, R(x) = −u′′
(x)
u′(x) = a2
·e−ax
−a·e−ax = −a. Luego, si a > 0
el individuo es averso al riesgo, mientras que a < 0 implica que el individuo es propenso al riesgo.
Medidas adicionales que nos permiten aproximar la aversi´on - propensi´on al riesgo de un individuo,
que en definitiva son medidas de la c´oncavidad o convexidad de la utilidad VNM, son el equivalente
cierto y la prima por riesgo. Vamos por parte. Ya sabemos que, en general, u(¯x) = u(p · x1 + (1 −
p) · x2) no tiene por que ser igual a p · u(x1) + (1 − p) · u(x2). De hecho, para el caso de un individuo
averso (propenso) al riesgo sabemos que:
u(¯x) > (<) p · u(x1) + (1 − p) · u(x2).
As´ı, ¿cu´anto “dinero” habr´ıa que dar a un individuo para que la utilidad correspondiente sea equivalente
a la que obtendr´ıa de jugar el juego? Es decir, ¿qu´e nivel de ingresos lo deja indiferente entre jugar y
no jugar el juego? Evidentemente la respuesta es M tal que
u(M) = p · u(x1) + (1 − p) · u(x2). (36)
Notemos que, a priori, a cantidad M que cumple con (36) puede depender de x1, x2 y de p. Este
valor recibe el nombre de equivalente cierto de la loter´ıa. Al respecto:
(a) si el individuo es neutro al riesgo, entonces M = px1 + (1 − p)x2.
(b) si el individuo es averso al riesgo, entonces M < px1 + (1 − p)x2.
(c) si el individuo es propenso al riesgo, entonces M > px1 + (1 − p)x2.
Justifiquemos (b) (las otras son similares). Si el individuo es averso al riesgo, entonces
u(px1 + (1 − p)x2) > p · u(x1) + (1 − p) · u(x2).
Luego, como buscamos M tal que u(M) = p · u(x1) + (1 − p) · u(x2), se tiene entonces que u(px1 +
(1 − p)x2) > u(M); como u(·) es creciente, concluimos que
M < px1 + (1 − p)x2.
Finalmente, se define la prima por riesgo asociada a la loter´ıa {p, 1−p, x1, x2} como la diferencia
entre el valor esperado de ´esta y el equivalente cierto, es decir,
ρ = ¯x − M.
De esta manera, ya que M = ¯x − ρ, por definici´on se cumple que
u(M) = u(¯x − ρ) = pu(x1) + (1 − p)u(x2).
La cantidad ρ anterior depende obviamente de la utilidad del individuo y del nivel de ingreso en
que estamos parados (por lo tanto, es m´as correcto escribir ρ(x) para expresar la prima por riesgo).
Intuitivamente, para un individuo que es m´as averso al riesgo que otro, la prima por riesgo ha de ser
mayor.
Notemos que,
a.- Si el individuo es propenso al riesgo, la prima por riesgo ha de ser negativa (recuerde que en la
definici´on, el ρ va con signo menos en la utilidad).
b.- Si el individuo es averso al riesgo, la prima por riesgo es positiva (le debo “quitar dinero” para
hacerlo indiferente entre la situaci´on segura y la riesgosa).
c.- Por ´ultimo, si el individuo es neutro al riesgo, su prima por riesgo es cero.
65

66. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
La Figura 29 ilustra la prima por riesgo cierto para un individuo que es averso al riesgo.
Figure 29: Equivalente Cierto
xx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxx
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
xxx
xx
x
x
x
xx
x
x
x
xxx
xx
xx
x1 ¯x x2(¯x − r)
66

67. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Part II
Teor´ıa de la Firma
4 Conceptos B´asicos
4.1 Introducci´on
Para los objetivos del curso, es fundamental definir lo que entenderemos por proceso productivo, ya que
ser´a el concepto central que utilizaremos para analizar el comportamiento de las firmas dentro de la
econom´ıa.
Definici´on 4.1 Se entender´a por proceso productivo cualquier instancia destinada a transformar
ciertos bienes en otros diferentes de los originales.
Cuando se habla de bienes diferentes no s´olo se hace referencia a cuestiones que muestren un
cambio evidente en las cualidades f´ısicas o qu´ımicas de los originales a los finales. Por el hecho que los
bienes tienen asociadas caracter´ısticas espaciales y temporales que los pueden diferenciar, un proceso
productivo puede tambi´en corresponder a ponerlos en distintos lugares y/o en distintos instantes de
tiempo.
Dado un proceso productivo, existen dos tipos de bienes que lo conforman: aquellos que ser´an
transformados y aquellos que resultan de la transformaci´on. Los primeros ser´an llamados materias
primas, inputs o factores del proceso productivo, mientras que los segundos ser´an el producto,
output o bien final. Por ejemplo, para la producci´on de jugo de naranja, algunos de los factores
podr´ıan ser las naranjas, agua, edulcorante, colorante, mano de obra, etc; mientras que el producto
final de esta etapa es el “jugo de naranja”. Siguiendo con este ejemplo, el mismo jugo de naranja
podr´ıa perfectamente ser un factor para otro proceso productivo, por ejemplo, una pasteler´ıa que lo
ocupe para fabricar galletas de naranja.
En el modelo econ´omico, las unidades b´asicas que llevan a cabo los procesos productivos son las
firmas o empresas. Estas son las unidades m´ınimas que desempe˜nan tal labor, mientras que una
agrupaci´on de ellas que producen un bien id´entico se denominar´a industria del bien en
cuesti´on.
Dados ciertos factores de producci´on, es necesario destacar que una firma puede elaborar si-
mult´aneamente varios productos. En este caso general hablaremos de una firma multiproducto; cuando
la firma produce s´olo un bien se dir´a que es monoproducto. En este curso estudiaremos firmas mono-
productoras. La justificaci´on viene del hecho que, una firma multiproducto puede ser entendida, bajo
ciertos supuestos generales, como varias firmas monoproductoras trabajando en conjunto.
Como veremos pronto, cada firma est´a caracterizada por lo que llamaremos su tecnolog´ıa de pro-
ducci´on. Con ´esta simplemente se resumen las opciones que tiene para “combinar los factores” con
el fin de elaborar su producto final. En todo lo que sigue, salvo que se diga expresamente, asumire-
mos que para una determinada firma, dicha tecnolog´ıa est´a dada. Este es un supuesto fuerte, por
cuanto omite del an´alisis todos aquellos aspectos relativos a innovaci´on tecnol´ogica e “investigaci´on y
desarrollo” (I + D), materias que para muchas firmas son de gran importancia en sus quehaceres28
.
Con el fin de caracterizar el comportamiento de una firma, dos son los problemas centrales que
estudiaremos, los que a posteriori resultan estar estrechamente relacionados. En primer lugar vamos a
considerar el problema de maximizaci´on de beneficios para luego analizar el problema de minimizaci´on
de costos. Con esto, puesta la firma en un contexto de mercado, podremos estudiar su oferta de producto
y demanda de factores, para lo cual consideraremos, en primer lugar, una econom´ıa competitiva, donde
cada firma en particular no tiene injerencia en el precio de los bienes que ofrece. Posteriormente
relajaremos el supuesto, permitiendo que las firmas puedan tener injerencia en los precios de venta de
los productos.
28Una forma de justificar este supuesto es partir de la base que el an´alisis que nos interesa se efect´ua en un horizonte
de tiempo lo suficientemente breve, de modo que la firma no puede realizar innovaciones en sus procesos, manteniendo
de esta manera su tecnolog´ıa constante.
67

68. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
4.2 La firma y sus objetivos
Comencemos con una pregunta: ¿cu´al es el fundamento para que existan las firmas? La respuesta
pasa, en primer lugar, por comprender que en cada acci´on que se ejecuta dentro de un proceso produc-
tivo, existen costos provenientes de, por ejemplo, el pago por insumos, salarios, impuestos, patentes,
transporte de productos, etc. La raz´on para que el proceso sea llevado a cabo en alguna escala (que
da origen a las firmas no individuales) viene del hecho que este tipo de organizaci´on puede reducir los
costos de producci´on debido a que, por un lado, existe un efecto de escala en la producci´on dada una
concentraci´on adecuada de factores y, por otro lado, por el hecho que algunos de los costos mencionados
no dependen de la cantidad de producto que se elabore (costos fijos), lo que motiva la organizaci´on del
proceso pues, de esta manera, resulta m´as eficiente desde el punto de vista de los beneficios obtenidos.
Obviamente, la organizaci´on de una firma no individual tiene sentido siempre y cuando el esfuerzo
cooperativo de un grupo resulte en una situaci´on m´as beneficiosa que aquella obtenida de la suma
de los esfuerzos individuales. La diferencia de ingresos entre ambas situaciones, claro est´a, debe ser
por lo menos ser igual al costo de organizar, supervisar, medir y hacer cumplir los contratos con los
empleados, menos los costos de transacci´on asociados con la alternativa de subcontrataci´on.
T´acito en la menci´on sobre la necesidad de supervisi´on, est´a el hecho que el empresario es el
supervisor final del proceso, ya que recibe el beneficio (ingresos menos pago de insumos) del proceso
y, por ende, percibe un impacto inmediato en su pecunio personal del desempe˜no de la empresa. De
esta manera, tras la idea del empresario como supervisor final y eficiente, se encuentra el supuesto de
maximizaci´on de beneficio neto como objetivo de la firma, lo que en el fondo define su comportamiento
dentro de la econom´ıa. Una justificaci´on adicional para esto se encuentra en la necesidad de obtener
financiamiento con el fin de crecer, o entregar dividendos. En este sentido, la b´usqueda de ganancias por
parte de los inversionistas, o el inter´es de no afrontar p´erdidas significativas, obligar´ıa a las empresas
a tener capacidad de generar altos retornos.
4.3 Sobre la funci´on de producci´on y conceptos relacionados
Con la finalidad de modelar el problema que nos interesa, supondremos que firma es monoproductora
y que ocupa s´olo dos factores de producci´on29
. Denotaremos gen´ericamente por x1 cantidad del factor
1 y por x2 aquella del factor 2 que utiliza la firma para producir su producto30
, la que gen´ericamente
ser´a denotada por y.
Es claro que para realizar un determinado proceso productivo, para cada firma, en determinado
momento, s´olo existen algunas formas viables de combinar los factores para obtener el producto. Estas
formas viables est´an definidas por una serie de condicionantes, que a modo de ejemplo, pueden ser
las caracter´ısticas f´ısicas y/o qu´ımicas de los factores y productos, restricciones sobre la manera en
que se pueden mezclar los factores, caracter´ısticas del equipo de trabajo (t´ecnicos, profesionales), de
los equipos o m´aquinas disponibles en el momento, etc. Precisamente estas condicionantes son las
que impl´ıcitamente definen la tecnolog´ıa de producci´on de una firma, pues ellas determinan, en ´ultima
instancia, las cantidades de producto que se pueden obtener a partir de los insumos empleados.
Definici´on 4.2 La tecnolog´ıa de una firma est´a definida por la manera en que la misma puede
combinar los factores con el fin de elaborar el producto.
En t´erminos pr´acticos, la tecnolog´ıa refleja la cantidad de producto que la firma puede obtener dadas
las cantidades de factores que emplea.
Un supuesto fundamental que haremos en este curso, salvo que se diga expresamente lo contrario,
es que la tecnolog´ıa de una firma es constante, en el sentido que decisiones sobre innovaci´on tecnol´ogica,
u otros relacionados, no ser´an aspectos a considerar en el an´alisis.
Supondremos que la nuestra firma produce utilizando s´olo dos factores, cuyas cantidades gen´e
ricas son x1 y x2 para el factor uno y dos respectivamente. Dado esto, los productos factibles de ser
elaborados empleando los factores x1 y x2 se definen como
29El an´alisis que sigue es perfectamente aplicable si en el proceso productivo existen m´as de dos factores.
30Para fijar ideas, el factor 1 puede ser trabajo, mientras que el factor 2 corresponder a capital.
68

69. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
P(x1, x2) = {y | y se puede elaborar con x1, x2}
A priori, es claro que el conjunto anterior debe tener una cota superior, es decir, existe una cantidad
de producto m´axima que es posible elaborar a partir de la cantidad indicada de factores. Obviamente
esta cantidad m´axima depender´a de las caracter´ısticas de cada firma. Sin embargo, para una firma
determinada, este nivel de producto es ´unico, completamente determinado por la cantidad de factores
que utiliza (y obviamente por las caracter´ısticas de la firma).
Definici´on 4.3 La funci´on de producci´on de la firma se define como aquella que asocia a los
factores dados la cantidad m´axima de producto que se puede elaborar a partir de los mismos.
Si denotamos por f(·) la funci´on de producci´on de la firma, entonces, seg´un la definici´on, f(x1, x2)
representa la mayor cantidad de producto que la firma puede elaborar a partir de los inputs dados. De
esta manera, si fuera dado cualquier otro nivel de producci´on y0 ∈ P(x1, x2), entonces
y0 ≤ f(x1, x2).
En el siguiente ejemplo se ilustran las ideas anteriores.
Ejemplo 4.1 Supongamos que el proceso productivo considera s´olo un factor. La Figura 30 un caso
gen´erico.
Figure 30: Funci´on de Producci´on
Producto
d
b
a c Factor
f
De lo anterior, si la cantidad de factor es a, entonces la cota de producci´on es b, mientras que, si la
cantidad es c, la cota es d. Luego, si la funci´on de producci´on es f(·), se tiene que f(a) = b y f(c) = d.
Notemos adem´as que dado a, cualquier cantidad de producto y ≤ b es factible de ser producida con esta
cantidad de factor. Por el contrario, con a cantidad de factor, la cantidad de producto d es infactible
de ser elaborada, ya que supera la cota de m´aximo output posible.
En todo lo que sigue, cuando hablemos de producci´on de la firmas, nos referiremos a la cota m´axima
que puede producir dada la cantidad de factores, es decir, a los valores de la funci´on de producci´on
(f.d.p) de la firma en el nivel de factores. Finalmente, abusando del lenguaje y considerando todo lo
anterior, hablaremos indistintamente de funci´on de producci´on o tecnolog´ıa de la firma.
Nota. 4.1 Que la funci´on de producci´on representa la tecnolog´ıa de producci´on de la firma es una
forma muy simplificada de modelar a las firmas, de manera an´aloga a suponer que la funci´on de
utilidad pod´ıa resumir (modelar) el comportamiento de los individuos.
69

70. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Supongamos dadas las cantidades de factores x1 y x2, y sea f(·) la funci´on de producci´on. Notemos,
en primer lugar, que si aumentamos la cantidad del factor 1 en δ > 0, entonces, en el peor caso,
la firma producir´a lo mismo que hac´ıa previo al cambio, ya que puede desechar factores manteniendo
los niveles originales de producci´on. Esto es igualmente v´alido con aumentos en el factor 2. De esta
manera, necesariamente la funci´on de producci´on debe ser creciente en los factores. Esta
es una propiedad fundamental de toda funci´on de producci´on.
Proposici´on 4.1 Las funciones de producci´on son crecientes en cada una de sus componentes (fac-
tores).
Lo anterior se traduce en para una funci´on de producci´on f(·) derivable, se debe cumplir que
• ∂f(x1,x2)
∂x1
≥ 0
• ∂f(x1,x2)
∂x2
≥ 0
Finalmente, para un proceso productivo (dos factores) es obvio que
f(0, 0) = 0: De la nada, nada sale.
Las propiedades reci´en expuestas son las restricciones fundamentales para que una funci´on cualquiera
sea una funci´on de producci´on; de violarse alguna de ellas, la funci´on en cuesti´on no podr´a ser una
funci´on de producci´on.
Nota. 4.2 Normalmente se asumir´a que las funciones de producci´on son estrictamente crecientes
por componentes, es decir, que aumentos en alguno de los factores implican aumentos estrictos en el
nivel de producto que se obtiene. En tal caso, las derivadas de la f.d.p con respecto de los factores son
estrictamente positivas.
Ejemplo 4.2 En la Figura 31 se ilustran seis grafos de ciertasfunciones. De ellas, s´olo (c), (d) y (f)
pueden representar funciones de producci´on.
Figure 31: Funciones de Producci´on
a b c
d e f
70

71. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
De la definici´on de derivada,
∂f(x1, x2)
∂x1
= lim
h→0
f(x1 + h, x2) − f(x1, x2)
h
,
para h suficientemente peque˜no se tiene que
∂f(x1, x2)
∂x1
≃
f(x1 + h, x2) − f(x1, x2)
h
,
a partir de lo cual,
f(x1 + h, x2) − f(x1, x2) ≃ h ·
∂f(x1, x2)
∂x1
.
De esta manera, cuando h = 1 se concluye que
f(x1 + 1, x2) − f(x1, x2) ≃
∂f(x1, x2)
∂x1
. (37)
El lado izquierdo de lo anterior es el incremento en producci´on (funci´on creciente) que se obtiene
de aumentar el factor uno es una unidad.
Definici´on 4.4 El producto marginal del factor i = 1, 231
evaluado en (x1, x2), corresponde al
incremento en la cantidad producida del bien final (output), debido al cambio en una unidad del
insumo en cuesti´on (cambio marginal). Para el factor i = 1, 2, se denotar´a por PMgxi (x1, x2).
De manera an´aloga a lo expuesto para el concepto de utilidad marginal, teniendo en cuenta (37)
se concluye que el producto marginal puede ser aproximado por la derivada parcial de la funci´on de
producci´on c.r. a la variable correspondiente. Abusando del lenguaje, y de las aproximaciones, el
producto marginal lo evaluaremos como la derivada parcial c.r. al factor respectivo. As´ı, el
producto marginal c.r. al factor i = 1, 2, evaluada en el punto (x1, x2), corresponde a
PMgxi (x1, x2) =
∂f(x1, x2)
∂xi
≥ 0, i = 1, 2.
Ya que f.d.u es creciente, el producto marginal de cada factor siempre ha de ser positivo; si
la f.d.u. es estrictamente creciente, el producto marginal de cada factor ha de ser estrictamente
positivo. Esto ´ultimo ser´a asumido normalmente en todo lo que sigue.
Definici´on 4.5 Se entender´a por productividad media de un factor al producto total divido por
la cantidad utilizada del factor productivo en cuesti´on. Dados x1, x2, la productividad media del factor
i = 1, 2 se denotar´a por
PMexi (x1, x2) =
f(x1, x2)
xi
.
Ejemplo 4.3 La Figura 32 ilustra ambos conceptos:
31Tambi´en llamada productividad marginal del factor.
71

72. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 32: Producto Medio y Marginal
Producto
f(a)
a b
(1)
x1
(2)
La productividad marginal (producto marginal) en a es igual a la pendiente de la recta tangente
a la curva (recta (1)), mientras que la productividad media es f(a)
a . Note adem´as que PMgx1 (a) >
PMgx1 (b), mientras que PMx1 (a) < PMex1 (b) (¿por qu´e?)
Ciertamente una funci´on de producci´on puede tener diversos comportamientos respecto de sus
productividades marginales y medias: se puede dar el caso que tenga productividad marginal creciente
en ambos factores, otras que tengan productividades marginales decrecientes, otra donde haya producto
marginal creciente en un factor, y decreciente en el otro. La Figura 33 ilustra lo expuesto.
Figure 33: Comportamientos funciones de producci´on seg´un productividad marginal
(1) (2) (3)
La funci´on de producci´on (1) tiene productividad marginal y media creciente, la (2) decrecientes,
mientras que pata la (3) son constantes.
Finalmente, podemos imaginar tecnolog´ıas donde, por ejemplo, para ciertos niveles de factor se
tienen productividades marginales (o medias) crecientes, mientras que para otros niveles, son decre-
cientes. La Figura 34 ilustra lo expuesto.
72

73. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 34: Distintos Comportamientos en una Funci´on de Producci´on
y
x1 x2 x
y = f(x)
Cuando el factor est´a entre 0 y x1, el producto marginal y medio es creciente; cuando est´a entre
x1 y x2, el producto marginal y el medio es decreciente. Finalmente, para x > x2, el producto
marginal es cero y el medio decreciente.
Nota. 4.3 Funciones de producci´on c´oncavas y convexas
Recordemos que una funci´on f : R2
→ R es c´oncava si para todo x1, x′
1 ∈ R2
y para todo λ ∈ [0, 1]
se cumple que,
f(λx1 + (1 − λ)x′
1) ≥ λf(x1) + (1 − λ)f(x′
1). (38)
La expresi´on λx1 + (1 − λ)x′
1 se denomina combinaci´on convexa de x1 y x′
1, y es un vector en el
segmento de recta cuyos extremos son x1 y x′
1. Cuando λ = 0 o 1, la combinaci´on convexa corresponde
a uno de los valores extremos del intervalo. Notemos que (38) es siempre una igualdad cuando λ = 0
o λ = 1. Si la desigualdad (38) es estricta cuando λ ∈]0, 1[, se dice que la funci´on es estrictamente
c´oncava. Geom´etricamente una funci´on c´oncava es como lo muestra la Figura 35
Figure 35: Funci´on C´oncava
B
C
x1 A x′
1
f
En la figura, A = λx1 + (1 − λ)x′
1 representa una combinaci´on convexa cualquiera entre x1 y x′
1,
mientras que B = f(λx1 +(1−λ)x′
1). Finalmente, C = λf(x1)+(1−λ)f(x′
1) (probarlo como ejercicio).
Para cualquier punto entre x1 y x′
1 se cumple que B est´a por encima de C, que es la definici´on de
73

74. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
concavidad. En consecuencia, geom´etricamente la concavidad se tiene cuando la recta une puntos de
una curva que est´a siempre por debajo de la curva (B m´as grande que C).
Desde un punto de vista anal´ıtico, cuando la funci´on f es de una variable, la concavidad corresponde
a que la primera derivada es decreciente y, por lo tanto, que la segunda derivada es negativa. Si la
funci´on es de varias variables, la condici´on “segunda derivada negativa” se traduce en que la matriz
de segundas derivadas parciales (matriz Hessiana) es semi-definida negativa. Una matriz es
semi-definida negativa cuando sus valores propios son menores o iguales a cero. En particular, esto
implica (no es equivalente) a que las segundas derivadas parciales
∂2
f(x1, x2)
∂x2
1
,
∂2
f(x1, x2)
∂x2
2
, (39)
son negativas. Por lo tanto, si la funci´on de producci´on es c´oncava, de (39) se concluye que los
productos marginales de cada factor son decrecientes. Sin embargo, esta condici´on no es
suficiente para garantizar la concavidad de la f.d.p.
Como sabemos, la funci´on f : R2
→ R es convexa si −f (la negativa de f) es c´oncava. La
geometr´ıa de las funciones convexas es “opuesta” a aquella de las c´oncavas: el grafo est´a por debajo
de la recta. Desde el punto de vista del an´alisis, la matriz Hessiana de una funci´on convexa es semi-
definida positiva, cuesti´on que en t´erminos de productividades implica que el producto marginal de
cada factor es creciente.
Finalmente, se debe distinguir entre funciones c´oncavas (convexas) y estrictamente c´oncavas
(estrictamente convexas): geom´etricamente, la diferencia est´a en que la recta que hemos mostrado
est´a estrictamente por debajo (encima) de la curva, salvo obviamente los extremos donde te tocan.
En t´erminos de los Hessianos, los valores propios de las estrictamente c´oncavas son estrictamente
negativos, y estrictamente positivos para las estrictamente convexas. Informalmente, las estrictamente
c´oncavas y estrictamente convexas no tienen lados rectos.
Ejemplo 4.4 Consideremos la funci´on f : R2
+ → R+ tal que
f(x1, x2) = xα
1 · xβ
2 ,
con α, β > 0. Las derivadas parciales de f en (x1, x2) (productos marginales de cada factor) son
∂f(x1, x2)
∂x1
= αxα−1
1 xβ
2 ,
∂f(x1, x2)
∂x2
= βxα
1 xβ−1
2 ,
mientras que las segundas derivadas parciales (elementos de la matriz Hessiana) son
∂2
f(x1, x2)
∂x2
1
= α · (α − 1) · xα−2
1 xβ
2 ,
∂2
f(x1, x2)
∂x2
2
= β · (β − 1) · xα
1 xβ−2
2 ,
∂2
f(x1, x2)
∂x1∂x2
=
∂2
f(x1, x2)
∂x2∂x1
= α · β · xα−1
1 xβ−1
2 .
Una caracterizaci´on de la negatividad estricta de una matriz Hessiana de 2 × 2 es que (i) la
suma de los elementos de la diagonal de la matriz (traza), sea negativo y (ii) que el determinante
sea positivo32
. Por lo tanto, si f es estrictamente c´oncava, se tiene que
α · (α − 1) · xα−2
1 xβ
2 + β · (β − 1) · xα
1 xβ−2
2 < 0, (40)
y que
α · (α − 1) · xα−2
1 xβ
2 · β · (β − 1) · xα
1 xβ−2
2 − [α · β · xα−1
1 xβ−1
2 ]2
> 0. (41)
32Para cualquier matriz, se puede probar que la suma de los valores es igual a la traza de la matriz, y que su producto
es igual al determinante de la misma.
74

75. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Considerando que x1, x2 > 0 y que α, β > 0, la inecuaci´on (40) es v´alida cuando α < 1 y β < 1.
Por otro lado, reordenando los t´erminos en (41), se tiene que
x2α−2
1 x2β−2
2 · [α · (α − 1) · β · (β − 1) − α2
· β2
] > 0,
de lo cual
(α − 1) · (β − 1) − α · β = αβ − α − β + 1 − αβ = (1 − α − β) > 0,
que finalmente implica α + β < 1. En resumen, hemos probado que la funci´on f tal que f(x1, x2) =
xα
1 · xβ
2 es estrictamente c´oncava si α, β > 0 y α + β < 1 .
Siguiendo con la idea de construir indicadores para medir impactos sobre la producci´on debido a
cambios en los factores, otro concepto importante a considerar es la elasticidad producto de un factor.
Definici´on 4.6 La elasticidad producto del factor i=1,2 se define como la variaci´on porcentual
en el producto dada un cambio porcentual en la cantidad del factor respectivo.
En otras palabras, dado un cambio marginal en el factor i = 1, la elasticidad producto del factor
corresponde a
ǫy,x1 =
f(x1+1,x2)−f(x1,x2)
f(x1,x2)
x1+1−x1
x1
=
f(x1 + 1, x2) − f(x1, x2)
1
·
x1
f(x1, x2)
.
Finalmente, aproximando las diferencias por derivadas, la expresi´on para la elasticidad en comento
es
ǫy,xi =
∂f(x1, x2)
∂xi
·
xi
f(x1, x2)
.
Note que la elasticidad debe ser positiva ya que el producto marginal siempre es positivo.
Definici´on 4.7 Diremos que el producto es inel´astico al factor i = 1, 2 si ǫy,xi < 1. Diremos que el
producto es el´astico al factor i = 1, 2, si ǫy,xi > 1.
Nota. 4.4 En estricto rigor, los conceptos el´astico e inel´astico se definen con el valor absoluto de la
elasticidad. En este caso no es necesario, pues la elasticidad factor del producto es siempre positiva.
Proposici´on 4.2 Dados lod factores x1, x2 y la funci´on de producci´on f(·), se tiene que:
a.-
ǫy,xi =
PMgxi (x1, x2)
PMexi (x1, x2)
.
b.- La productividad media del factor i = 1, 2 alcanza su m´aximo valor cuando es igual a la produc-
tividad marginal del factor i = 1, 2.
c.- Si PMex1 (x1, x2) < PMgx1 (x1, x2) entonces PMex1 (x1, x2) es creciente. Si PMex1 (x1, x2) >
PMgx1 (x1, x2) entonces PMex1 (x1, x2) es decreciente.
Demostraci´on.
a.- Directo evaluando la expresi´on de la derecha y comparando.
75

76. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
b.- Supongamos i = 1 y derivemos PMex1 (x1, x2) c.r. a x1:
∂PMex1 (x1, x2)
∂x1
=
∂ f(x1,x2)
x1
∂x1
=
x1 · ∂f(x1,x2)
∂x1
− f(x1, x2)
x2
1
.
La condici´on de maximizaci´on se tiene cuando la derivada anterior es cero. Para ello se requiere
que el numerador de la expresi´on sea cero, es decir,
x1 ·
∂f(x1, x2)
∂x1
− f(x1, x2) = 0,
de lo cual se tiene que ∂f(x1,x2)
∂x1
= f(x1,x2)
x1
, correspondiente a lo mencionado.
c.- Del c´alculo de la derivada anterior, como la productividad media es creciente si su derivada es
positiva, se tiene que x1 · ∂f(x1,x2)
∂x1
−f(x1, x2) > 0, es decir, ∂f(x1,x2)
∂x1
> f(x1,x2)
x1
que es lo indicado.
An´alogo con la otra parte, considerando que la funci´on es decreciente si la derivada es negativa.
Un concepto muy importante para analizar las propiedades de la firma es aquel de isocuanta de
producci´on, que pasamos a definir y analizar33
.
Definici´on 4.8 La isocuanta de producci´on al nivel de producto y0 se define como el conjunto de
las combinaciones de factores que permiten obtener exactamente dicha cantidad de producto. Dada la
funci´on de producci´on f(·) y dado el nivel de producto y0, la isocuanta a dicho nivel la notaremos por
Iy0 , es decir,
Iy0 = {(x1, x2) | f(x1, x2) = y0} ⊆ R2
. (42)
La interpretaci´on de las isocuantas es similar a aquella de las curvas de indiferencia en la teor´ıa
del consumidor. La Figura 36 ilustra el concepto.
Figure 36: Isocuanta de Producci´on
x2
x1
f(x1, x2) = y
Proposici´on 4.3 Suponiendo que la funci´on de producci´on f(·) es estrictamente creciente en cada
componente, se tiene que:
33Concepto an´alogo al de curva de indiferencia en la teor´ıa del consumidor.
76

77. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
(a) En el plano x1 − x2 las isocuantas de producci´on son curvas decrecientes.
(b) Isocuantas de producci´on de distintos niveles de producto nunca se cortan. Es m´as, si y1 < y2
entonces la isouanta de producci´on Iy1 “est´a por debajo” de la isocuanta Iy2 .
(c) La pendiente de la tangente a la curva Iy1 en el punto (x1, x2) ∈ Iy1 es
m = −
∂f(x1,x2)
∂x1
∂f(x1,x2)
∂x2
< 0.
(d) Si la funci´on de producci´on es estrictamente c´oncava, entonces la isocuanta de producci´on es una
curva estrictamente convexa en el plano x1 − x2
34
.
Demostraci´on.
a.- Dado y, si f(x1, x2) = y entonces al aumentar x1, digamos a x1 + δ, necesariamente x2 debe
disminuir ya que de mantenerse (o aumentar), entonces la producci´on tambi´en deber´ıa aumentar
pues la f.d.p es estrictamente creciente. Luego, para mantenerse en la curva, un aumento de x1
debe implicar una disminuci´on de x2, es decir, la curva es decreciente. La Figura 37 ilustra esta
idea:
Figure 37: Isocuanta son curvas decrecientes
x2
x2 − b
x1 x1 + a
Iy
Si x1 aumenta en a, entonces x2 debe bajar en b.
b.- Si las curvas se cortasen, entonces existir´ıan niveles de factores (x∗
1, x∗
2) tales que f(x∗
1, x∗
2) = y1
(est´a en la primera isocuanta) y adem´as f(x∗
1, x∗
2) = y2 (est´a en la segunda isocuanta), lo que no
puede ser ya que y1 = y2. Por otro lado, si y1 < y2 y (x1, x2) ∈ Iy1 , mientras que (x1, x∗
2) ∈ Iy2 ,
entonces, dado que la funci´on de producci´on es creciente, se tiene que x2 < x∗
2, por lo cual, el
punto (x1, x∗
2) est´a por encima del punto (x1, x2), es decir, la isocuanta Iy2 est´a por arriba de
Iy1 . La Figura 38 ilustra la proposici´on:
34En rigor, la clase m´as amplia de funciones de producci´on que tienen isocuanta son las funciones cuasi - c´oncavas,
de las cuales las c´oncavas son un caso particular.
77

78. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 38: Isocuantas no se cortan
x∗
2
x2
x1
Iy1
Iy2
c.- Veamos en primer lugar un argumento informal. Supongamos que tenemos dos puntos cercanos
(x1, x2), (x1 + a, x2 − b) ∈ Iy como ilustra la Figura 39:
Figure 39: Pendiente de Isocuantas
x2
x2 − b
x1 x1 + a
Iy
En tal caso, la pendiente de la isocuanta en (x1, x2) es aproximadamente:
m =
(x2 − b) − x2
(x1 + a) − x1
= −
b
a
.
Por otro lado, del hecho que f(x1 + a, x2 − b) = f(x1, x2) = y, haciendo la aproximaci´on por la
derivada se tiene que
f(x1 + a, x2 − b) − f(x1, x2) = 0 ≈ a ·
∂f(x1, x2)
∂x1
+ b ·
∂f(x1, x2)
∂x2
,
78

79. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
y luego,
m = −
b
a
≈ −
∂f(x1,x2)
∂x1
∂f(x1,x2)
∂x2
.
El argumento formal es como sigue. Ya que f(x1, x2) = y, existe entonces una relaci´on impl´ıcita
entre x1 y x2 (cuyo gr´afico es, de hecho, la isocuanta de producci´on), relaci´on que notaremos
como x2(x1). As´ı, por definici´on de la relaci´on impl´ıcita,
f(x1, x2(x1)) = y.
Derivando lo anterior c.r. a x1, aplicando la regla de la cadena y considerando que y no depende
de x1, se tiene que:
∂f(x1, x2)
∂x1
+
∂f(x1, x2)
∂x2
·
∂x2(x1)
∂x1
= 0,
con lo cual,
∂x2(x1)
∂x1
= −
∂f(x1,x2)
∂x1
∂f(x1,x2)
∂x2
,
que es an´alogo a lo ya mostrado.
d.- Si tomamos dos puntos de la isocuanta y evaluamos la funci´on de producci´on en una combinaci´on
convexa de estos, por definici´on dicho valor es mayor o igual que la combinaci´on convexa de los
valores de la funci´on en dicho punto. Pero en cada uno de ellos la funci´on vale el nivel de producto
considerado y luego dicha combinaci´on es igual al nivel de producto. En consecuencia, la recta
est´a por encima de la curva y, por lo tanto, es convexa.
A partir de lo anterior, dada una isocuanta de producci´on Iy, el espacio queda dividido en tres
regiones, a saber, aquellos puntos que est´an en la curva, aquellos que est´an por sobre la curva y,
finalmente, aquellos que est´an por debajo de la curva:
a.- Los puntos en la isocuanta: (x1, x2) | f(x1, x2) = y.
b.- Los puntos sobre la isocuanta: (x1, x2) | f(x1, x2) > y.
c.- Los puntos bajo la isocuanta: (x1, x2) | f(x1, x2) < y.
La Figura 40 ilustra lo anterior.
79

80. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 40: Arriba, bajo y sobre una Isocuanta
x2
x1
f(x) < y
f(x) = y
f(x) > y
Iy
Volviendo sobre la proposici´on anterior, se demostr´o que la pendiente de la isocuanta de producci´on
en el punto (x1, x2) es
m = −
∂f(x1,x2)
∂x1
∂f(x1,x2)
∂x2
,
que obviamente es la derivada la funci´on impl´ıcita x2(x1) que la define. Este cantidad es
importante en el an´alisis de la funci´on de producci´on.
Definici´on 4.9 Dado un nivel de producci´on y0 > 0, la relaci´on t´ecnica de sustituci´on del factor
1 por el factor 2, evaluada en (x1, x2) ∈ Iy0 , se define como
RT S1,2(x1, x2) = −
∂f(x1,x2)
∂x1
∂f(x1,x2)
∂x2
= −
PMgx1 (x1, x2)
PMgx2 (x1, x2)
.
¿C´omo se interpreta la RT S1,2(x1, x2)? Supongamos que f(x1, x2) = y0, y que decidimos
aumentar en una unidad la cantidad del factor 1, pasando de x1 a x1 + 1 (aumento marginal). En
tal caso, si x2 no se modifica, necesariamente el aumento en el factor 1 implica aumento de producto,
es decir, f(x1 + 1, x2) > y0, de modo que (x1 + 1, x2) no est´a en la isocuanta al nivel y0. Para
seguir en la curva (es decir, mantener producto constante a pesar del aumento marginal del factor
uno), necesariamente la cantidad del factor 2 debe disminuir. Esta “disminuci´on” es precisamente
la RT S1,2(x1, x2), siendo por tanto indicativa de la sustitubilidad de factores.
Dada la isocuanta al nivel y0, consideremos dos puntos cualesquiera (x1, x2), (x′
1, x′
2) en ella, tal que
x1 < x′
1. ¿Qu´e relaci´on hay entre RT S12(x′
1, x′
2) y RT S12(x1, x2)? A priori, ninguna. Sin embargo,
se pueden dar dos casos extremos:
(a) que RT S12(x1, x2) < RT S12(x′
1, x′
2): la RT S12 es creciente,
(b) que RT S12(x1, x2) > RT S12(x′
1, x′
2): la RT S12 es decreciente.
Puesto que RT S es negativa, que sea creciente implica que en m´odulo es decreciente (´ıdem
con decreciente y en m´odulo creciente). As´ı, que la RT S se decreciente, (caso (b)), en la medida que
el factor uno aumenta, va sustituyendo cada vez menos cantidad del factor dos: en alg´un sentido, cada
unidad adicional de factor uno es menos productiva que la anterior. La Figura 41 ilustra estos los
extremos mencionados.
80

81. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 41: Relaci´on T´ecnica de Sustituci´on (1)
x2
x∗
1 x∗∗
1 x1
Iy
En la figura, entre el origen y x∗
1 la RT S es creciente (cada vez es menos negativa), mientras que
entre x∗
1 y x∗∗
1 es decreciente (cada vez m´as negativa). En valor absoluto, las conclusiones son las
contrarias: hasta x∗
1 la |RT S| es decreciente, mientras que entre x∗
1 y x∗∗
1 es creciente.
Puesto que la RST es la derivada de la isocuanta de producci´on, el hecho que sea cre-
ciente implica que tal curva es convexa (an´alogamente, si la RT S es decreciente, la isocuanta
de producci´on es c´oncava). ¿Qu´e es “m´as natural” en econom´ıa: isocuantas convexas o isocuantas
c´oncavas? Isocuantas convexas. ¿Por qu´e? Si la isocuanta es convexa, la funci´on de producci´on
es c´oncava (m´as general, “cuasi-c´oncava”), cuesti´on que, como veremos, es una condici´on suficiente
para que el problema de maximizaci´on de beneficios de la firma se pueda resolver, y con ello definir
la oferta de la misma. Otro argumento es que si la isocuanta es c´oncava, en la medida que el factor
uno aumenta, sustituye cada vez m´as cantidad de factor dos, entendi´endose por tanto como “cada vez
m´as productivo”. De esta manera, el producto marginal de dicho factor deber´ıa ser creciente, lo cual,
normalmente, no es lo que se observa en la pr´actica.
En general, el tipo de tecnolog´ıa que vamos a considerar tendr´a RT S decreciente en m´odulo
(es decir, creciente si consideramos el signo), teniendo por tanto isocuantas convexas.
Veamos finalmente un concepto que nos dar´a cuenta de la curvatura de la isocuanta de producci´on.
Para ello, fijemos el nivel de producci´on y0 y consideremos la isocuanta a dicho nivel:
Iy0 : (x1, x2) | f(x1, x2) = y0,
la que supondremos convexa. Dados w1 y w2 precios de los factores, y dada un par´ametro c > 0, una
recta de la forma
w1x1 + w2x2 = c,
tiene pendiente −w1/w2 y cuando c aumenta, se desplaza hacia arriba - la derecha. Para cierto valor
de c, dicha recta ser´a tangente con isocuanta Iy0 . En funci´on de los precios, el punto donde donde se
tiene la tangencia ser´a denotado por
(x1(w1, w2), x2(w1, w2)) ∈ Iy0 .
La Figura 42 ilustra lo indicado.
81

82. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 42: Elasticidad de Sustituci´on (1)
m = −(w1/w2)
f(x1, x2) = y0
(x∗
1, x∗
2)
La condici´on de tangencia implica que
RT S12(x1(w1, w2), x2(w1, w2)) = −
w1
w2
. (43)
Por otro lado, el hecho que el punto est´a en la isocuanta Iy0 ,
f(x1(w1, w2), x2(w1, w2)) = y0. (44)
De las ecuaciones (43) y (44) se puede obtener el punto de tangencia en funci´on de los precios.
Supongamos ahora que los precios se modifican, digamos a w′
1, w′
2. El nuevo punto de tangencia se
determina a partir de las ecuaciones anteriores y se denotar´a por
(x1(w′
1, w′
2), x2(w′
1, w′
2)) ∈ Iy0 .
La siguiente figura ilustra el efecto de cambio en precios sobre punto de tangencia.
Figure 43: Elasticidad de Sustituci´on (2)
(x′
1, x′
2)
f(x1, x2) = y0
(x∗
1, x∗
2)
La pregunta es, ¿qu´e tanto cambia el punto de tangencia cuando cambian los precios?
Obviamente la respuesta depende de la forma que tenga la isocuanta: mientras “m´as aplanada” sea la
82

83. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
curva, seguramente el cambio en los precios lleva a que el nuevo punto de tangencia est´e alejado del
original. Para medir este efecto, el cambio en precio relativo es
w′
1
w′
2
−
w1
w2
el cual induce un cambio en el uso relativo de factores dado por
x1(w′
1, w′
2)
x2(w′
1, w′
2)
−
x1(w1, w2)
x2(w1, w2)
.
Luego, una medida del cambio en el uso relativo de los insumos debido al cambio en el precio
relativo es
x1(w′
1,w′
2)
x2(w′
1,w′
2) − x1(w1,w2)
x2(w1,w2)
w′
1
w′
2
− w1
w2
que aproximado por derivadas corresponde a
∂ x1(w1,w2)
x2(w1,w2)
∂ w1
w2
.
Convirtiendo lo anterior en una elasticidad, queda definida la elasticidad de sustituci´on, que
denotaremos por σ:
σ =
∂ x1(w1,w2)
x2(w1,w2)
∂ w1
w2
·
w1
w2
x1(w1,w2)
x2(w1,w2)
.
Ejemplo 4.5 Calculemos la elasticidad de sustituci´on para la Cobb-Douglas f(x1, x2) = xα
1 xβ
2 . En este
caso, dados los precios w1, w2, y dado un nivel de producci´on y0, el punto de tangencia correspondiente
cumple con
αxα−1
1 xβ
2
βxα
1 xβ−1
2
=
α · x2
β · x1
=
w1
w2
⇒
x1
x2
=
α
β
w1
w2
−1
.
Por lo tanto,
∂ x1
x2
∂ w1
w2
= −
α
β
w1
w2
−2
.
Por otro lado,
x1
x2
=
α
β
w2
w1
⇒
w1
w2
x1
x2
=
w1
w2
α
β
w2
w1
=
β
α
w1
w2
2
lo que finalmente implica que,
σ = −
α
β
w1
w2
−2
·
β
α
w1
w2
2
= −1.
En resumen, la elasticidad de sustituci´on en una Cobb-Duoglas es siempre igual, a menos uno.
¿C´omo se interpreta este resultado? Un aumento porcentual en la raz´on de precios hacer disminuir,
en uno porciento, la raz´on de factores donde se verifica la tangencia con la isocuanta.
83

84. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Ejemplo 4.6 Calculemos la elasticidad de sustituci´on para una CES de la forma
f(x1, x2) = [xρ
1 + xρ
2]
1/ρ
.
En este caso, dados los precios w1, w2, se tiene que
∂f(x1,x2)
∂x1
∂f(x1,x2)
∂x2
=
w1
w2
⇔
(1/ρ) [xρ
1 + xρ
2]
1/ρ−1
ρxρ−1
1
(1/ρ) [xρ
1 + xρ
2]
1/ρ−1
ρxρ−1
2
=
xρ−1
1
xρ−1
2
=
x1
x2
1/(ρ−1)
=
w1
w2
con lo cual,
x1
x2
=
w1
w2
1
ρ−1
⇒
∂(x1/x2)
∂(w1/w2)
=
1
ρ − 1
w1
w2
1
ρ−1 −1
.
Completando el c´alculo se tiene que
σ =
1
ρ − 1
w1
w2
2−ρ
ρ−1
·
w1
w2
w1
w2
− 1
ρ−1
=
1
ρ − 1
.
De esta manera, la elasticidad de sustituci´on resulta ser constante. Esto se interpreta diciendo que
un aumento porcentual en la raz´on de precios implica que la raz´on de insumos en el punto tangente
mencionado, se modifica en 1
ρ−1 %.
Nota. 4.5 Mientras mayor es la elasticidad de sustituci´on, significa que cambios en la pendiente de
rectas tangentes tienen mayor efecto sobre el punto donde se verifica la tangencia, siendo por lo tanto
indicativa de la curvatura de la misma. Por ejemplo, con una f.d.p Leontiev, se puede mostrar que la
elasticidad de sustirici´on es cero, y que con una lineal es +∞ (Ejercicio).
4.4 Rendimientos a escala
Cuando estudiamos la productividad marginal y/o la productividad media, modificamos s´olo un factor
de producci´on, a partir de lo cual tratamos de ver el efecto sobre el resultado del proceso. Un poco m´as
de generalidad en el an´alisis se tiene cuando movemos simult´aneamente todos los factores involucrados y
miramos el efecto sobre la producci´on. Sin embargo, analizar los efectos en producci´on cambiando todos
los factores independiente no tiene mucho sentido, pues la informaci´on que de ello se puede obtener es
muy vaga. Lo que s´ı puede resultar interesante es modificar todos los factores en la misma proporci´on,
y ver c´omo esto altera el resultado del proceso. De esta manera, supongamos que y = f(x1, x2), y que
duplicamos la cantidad de factores en el proceso. En tal caso, las tres opciones que se tienen son las
siguientes:
a.- La producci´on crece exactamente el doble, es decir,
f(2x1, 2x2) = 2 · f(x1, x2).
b.- La producci´on crece m´as que el doble, es decir,
f(2x1, 2x2) > 2 · f(x1, x2).
c.- La producci´on crece menos que el doble, es decir,
f(2x1, 2x2) < 2 · f(x1, x2).
Con m´as generalidad, supongamos que en vez de duplicar la cantidad de factores, multiplicamos
por una cantidad t > 1 todos los factores intervinientes. En tal caso, las tres posibilidades son:
84

85. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
a.- La producci´on crece proporcionalmente (linealmente) con el aumento de los factores, es decir,
f(tx1, tx2) = t · f(x1, x2).
b.- La producci´on crece m´as que proporcionalmente (m´as que linealmente) que el aumento de
factores, es decir,
f(tx1, tx2) > t · f(x1, x2).
c.- La producci´on crece menos que proporcionalmente (menos que linealmente) que el aumento
de factores, es decir,
f(tx1, tx2) < t · f(x1, x2).
Esto motiva la siguiente definici´on.
Definici´on 4.10 Diremos que la funci´on de producci´on o tecnolog´ıa presenta rendimientos con-
stantes a escala si se cumple el caso [a.−] dado antes; diremos que la funci´on de producci´on
tiene rendimientos crecientes a escala si se verifica el caso [b.−]; finalmente, se dir´a que tiene
rendimientos decrecientes a escala en el caso [c.−] ya expuesto35
Ejemplo 4.7 Supongamos que f(x1, x2) = xα
1 · xβ
2 . En este caso, dado t > 1, se tiene que,
f(tx1, tx2) = (tx1)
α
· (tx2)
β
= tα+β
· f(x1, x2).
Dependiendo de los valores de α y β se tienen los distintos tipos de rendimientos a escala:
a.- si (α + β) > 1 entonces t(α+β)
> t cuando t > 1 y, por lo tanto,
f(tx1, tx2) > tf(x1, x2),
es decir, existen rendimientos a escala crecientes en la producci´on.
b.- Si (α + β) < 1 entonces tα+β
< t y luego,
f(tx1, tx2) < tf(x1, x2),
es decir, existen rendimientos decrecientes a escala en la producci´on.
c.- Si (α + β) = 1 entonces t(α+β)
= t cuando t > 136
y, por lo tanto,
f(tx1, tx2) = tf(x1, x2),
es decir, existen rendimientos a escala constantes en la producci´on.
Proposici´on 4.4 Si la funci´on de producci´on es estrictamente convexa entonces presenta rendimien-
tos crecientes a escala. Por otro lado, si la funci´on de producci´on es estrictamente c´oncava
entonces presenta rendimientos decrecientes a escala.
35En lo que sigue, y como es frecuente encontrar en la literatura, indistintamente se habla de retornos o de rendimientos
a escala..
36De hecho, para todo t > 0.
85

86. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Demostraci´on. Para simplificar, supongamos que el proceso productivo tiene s´olo un factor. Si la
funci´on de producci´on es estrictamente convexa, dados x1 y x∗
1 y dado λ ∈]0, 1[, se cumple que
f(λ · x1 + (1 − λ)x∗
1) < λ · f(x1) + (1 − λ)f(x∗
1),
Considerando x∗
1 = 0 y del hecho que f(0) = 0, se concluye,
f(λ · x1) < λ · f(x1). (45)
Dados t > 1 y x1, en primer lugar notemos que
f(x1) = f(
1
t
· tx1).
Como t > 1, λ = 1/t < 1; luego, al aplicar (45) se concluye que
f(x1) = f
1
t
· tx1 <
1
t
· f(tx1).
Reordenando t´erminos, se concluye que
f(tx1) > t · f(x1),
es decir, f presenta rendimientos crecientes a escala. Si la funci´on de producci´on estrictamente c´oncava,
la prueba es similar y queda como ejercicio.
Una funci´on de producci´on, ¿debe presentar alguno de los tres tipos de rendimientos a escala?
No necesariamente. Podemos tener funciones de producci´on que en alg´un rango de factores tengan
rendimientos crecientes a escala, en otros decrecientes y en otros constantes. Dada la asociaci´on de
retornos con convexidad - concavidad, lo indicado nos dice que una funci´on de producci´on no tiene a
priori por que ser c´oncava o convexa.
Un concepto que nos ayudar´a a dar cuenta de la escala en la producci´on a nivel local, es decir,
dependiendo del nivel de factores donde se eval´ua, es como sigue.
Definici´on 4.11 Dada una funci´on de producci´on f(·) y dados los factores x1, x2, la elasticidad de
escala de la producci´on en el punto (x1, x2) se define como:
ǫesc(x1, x2) =
df(tx1, tx2)
dt
·
t
f(x1, x2) t=1
.
Es decir, se calcula la “elasticidad” indicada en funci´on de t, y se eval´ua el resultado en t = 1.
Obviamente este resultado puede depender del punto donde se eval´ua.
Ejemplo 4.8 Supongamos dada la funci´on de producci´on f(x1, x2) = xα
1 · xβ
2 . Entonces se tiene que:
ǫesc(x1, x2) =
df(tx1, tx2)
dt
·
t
f(x1, x2) t=1
=
d((tx1)
α
(tx2)
β
)
dt
·
t
xα
1 · xβ
2 t=1
.
Por lo tanto,
ǫesc(x1, x2) =
dtα+β
dt
·
t · xα
1 · xβ
2
xα
1 · xβ
2 t=1
= (α + β) · tα+β−1
· t t=1
= α + β.
En este caso, la elasticidad de escala no depende del punto donde se eva´ua. Sin embargo, si la f.d.p es
f(x1, x2) = x2
1 + x2,
es f´acil ver (Ejercicio) que la elasticidad de escala si depende del punto donde se eval´ua.
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87. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
¿C´omo interpretar el valor de la elasticidad de escala? Se tiene lo siguiente:
a.- Cuando ǫesc(x1, x2) < 1, entonces localmente37
la funci´on de producci´on tiene rendimientos
decrecientes a escala.
b.- Cuando ǫesc(x1, x2) > 1, entonces localmente la funci´on de producci´on tiene rendimientos
crecientes a escala.
c.- Cuando ǫesc(x1, x2) = 1, entonces localmente la funci´on de producci´on tiene rendimientos
constantes a escala.
La Figura 44 ilustra el caso de una f.d.p que localmente presentan diversos tipos de rendimientos a
escala.
Figure 44: Elasticidad de Escala
a b
Entre 0 y a, la tecnolog´ıa tiene rendimientos crecientes de escala; entre a y b son decrecientes y
para x1 > b son constantes. Globalmente, la tecnolog´ıa no presenta alg´un tipo de rendimiento de
escala. Obviamente para cualquier nivel de factor entre 0 y a, la elasticidad de escala es mayor
que uno; es menor que uno entre a y b y es uno para nivel de factor mayor que b.
Notemos que si para todo punto se cumple una propiedad local similar respecto del rendimiento a
escala, es posible inferir una consecuencia desde el punto de vista global.
Proposici´on 4.5
a.- Si para todo (x1, x2) se tiene que ǫesc(x1, x2) < c, con c < 1 constante independiente del punto
considerado, entonces la funci´on de producci´on tiene rendimientos decrecientes a escala (global).
b.- Si para todo (x1, x2) se tiene que ǫesc(x1, x2) > c, con c > 1 constante independiente del punto
considerado, entonces la funci´on de producci´on tiene rendimientos crecientes a escala (global).
c.- Si para todo (x1, x2) se tiene que ǫesc(x1, x2) = 1, entonces la funci´on de producci´on tiene
rendimientos constantes a escala.
Demostraci´on. Propuesto.
37Es decir, en torno a (x1, x2).
87

88. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
4.5 Corto y largo plazo.
Para efectos de nuestro an´alisis, se entender´a que existe una situaci´on de corto plazo en la producci´on
cuando existen restricciones al uso de los factores. Particularmente, cuando alguno de los factores de
est´a fijado a priori, de modo que no puede ser modificado a elecci´on por la firma (es decir, es un
par´ametro, o dato, para la firma). A diferencia de esto, en una situaci´on de largo plazo se asume que
todos los factores son variables, y que pueden ser escogidos libremente por la firma.
Dependiendo del contexto, hablaremos entonces de tecnolog´ıas de corto plazo o de tecnolog´ıa
de largo plazo para hacer referencia al hecho que el procedo productivo se desenvuelve en una u otra
situaci´on. Por ejemplo, si el proceso productivo consta de dos factores, en una situaci´on de corto plazo
donde uno de ellos (digamos, el 2) est´a fijo en cantidad, las elecciones de la firma son s´olo sobre el
factor uno. Por lo tanto, la tecnolog´ıa de corto plazo es completamente distinta que la de largo plazo,
pues para la ´ultima, la funci´on de producci´on depende de dos variables38
.
Las propiedades de la tecnolog´ıa de corto plazo puede ser completamente distintas que la de largo
plazo. se pueden dar situaciones en que, por ejemplo, la tecnolog´ıa de largo plazo tenga rendimientos
crecientes a escala, pero que la de corto plazo presente rendimientos decrecientes a escala.
Ejemplo 4.9 Supongamos que en el largo plazo la tecnolog´ıa de una firma es
f(x1, x2) = x
1
2
1 · x3
2.
Es claro que dicha tecnolog´ıa tiene rendimientos crecientes a escala en el largo plazo. Sin embargo,
en cualquier situaci´on donde de corto plazo donde el factor 2 queda fijo, digamos, en ¯x2, la tecnolog´ıa
de corto plazo resultante es
fcp(x1) = x
1
2
1 · ¯x3
2,
que presenta rendimientos decrecientes a escala. Note que en este caso ¯x3
2 es una constante para
el proceso productivo.
Nota. 4.6 Si el corto plazo se modela asumiendo que uno de los factores es fijo, entonces obviamente
puede haber una infinidad de tecnolog´ıas de corto plazo que se derivan de la misma tecnolog´ıa de largo
plazo: si f : R2
+ → R es la tecnolog´ıa de largo plazo, dado ¯x2 ∈ R, las tecnolog´ıas de corto plazo que se
obtiene de f es
f¯x2 : R+ → R | f¯x2 (x1) = f(x1, ¯x2).
5 Maximizaci´on de Beneficios
5.1 Generalidades
Una vez hecha la caracterizaci´on de la tecnolog´ıa, es necesario explicar de qu´e manera la firma elige
la cantidad de producto que elabora (y por ende, la cantidad de insumos que emplea). Siguiendo un
argumento de racionalidad e incentivos, supondremos que el objetivo de cada firma es maximizar
el beneficio a partir de sus decisiones de producci´on. Tal como se ha mencionado, este objetivo puede
provenir de incentivos a crecer o desarrollarse como empresa, o directamente del inter´es pecuniario que
tienen los due˜nos de la misma para los fines que personalmente estimen convenientes.
Para la definici´on (cuantificaci´on) de los beneficios, necesariamente se deben introducir los precios
de los factores y del producto que se elabora, precios que resumen las apreciaciones y valoraciones
que tenemos, y que los otros tienen, del bien o factor en cuesti´on. En primera instancia, el precio se
asumir´a como un dato ex´ogeno para la firma: no existe control sobre el mismo, de modo que es un
par´ametro para las decisiones de cada firma en particular. As´ı, sobre la base de esta idea, toda vez que
38En efecto, si en el largo plazo la funci´on de producci´on es f(·, ·), que depende de las variables: x1 y x2, en el corto
plazo esta es f(·, ¯x2), es decir, una funci´on que depende de s´olo una variable (x1)
88

89. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
se desee cuantificar beneficios, necesariamente debemos pasar por la valoraci´on del ingreso y el costo a
partir del set de precios dado.
Los beneficios econ´omicos de una firma son entendidos como la diferencia entre los ingresos
y todos los pagos por factores asociados al proceso. Es relevante notar que deben ser todos los pagos
del proceso. A modo de ejemplo, si Ud. tiene su propia empresa, su trabajo es parte de los insumos y,
por lo tanto, debe ser inclu´ıdo en los costos a partir de su valoraci´on de mercado, es decir, del costo
alternativo que proviene de vender su tiempo a otra firma. Justamente este hecho es el que obliga, al
hablar de beneficios econ´omicos, a valorar todos los insumos y productos a su coste de oportunidad.
Siguiendo con esta idea, lo mismo es aplicable a la tierra, alquileres, etc., es decir, a todos los factores
utilizados en el proceso productivo39
.
Suponiendo que el proceso productivo consta de dos factores y s´olo un producto, designemos el
precio unitario de mercado del output como p y de cada factor por w1 y w2 respectivamente. Dado
esto, si la firma utiliza x1 unidades del factor 1 y x2 del factor 2, entonces el ingreso obtenido ser´a
I = p · f(x1, x2),
mientras que el costo asociado es
C(x1, x2) = w1x1 + w2x2.
Con esto, el beneficio condicional a los precios y factores empleados es
π(x1, x2) = I(x1, x2) − C(x1, x2) = p · f(x1, x2) − (w1x1 + w2x2).
Definici´on 5.1 El problema de maximizaci´on de beneficio de una firma es, dados los precios de pro-
ducto e insumos, escoger aquella combinaci´on de factores que resuelve el problema
max
x1,x2
π(x1, x2) = max
x1,x2
{p · f(x1, x2) − w1x1 − w2x2}. (46)
Definici´on 5.2 Dados los precios w1, w2 y p de factores y producto, respectivamente, la soluci´on del
problema (46) se denota por
x1(p, w1, w2), x2(p, w1, w2),
y se denomina demanda Marshalliana de factores de la firma40
. La funci´on,
y(p, w1, w2) = f(x1(p, w1, w2), x2(p, w1, w2))
ser´a la funci´on de oferta, mientras que
π(p, w1, w2) = p · y(p, w1, w2) − w1x1(p, w1, w2) − w2x2(p, w1, w2)
es la funci´on de beneficio de la firma.
De esta manera, condicional a los precios, la firma decide ´optimamente sobre la cantidad de
factores que ocupar´ıa, con lo cual queda determinado el nivel producto que ofrecer´ıa, y con ello
el m´aximo beneficio que podr´ıa obtener.
Nota. 5.1 El problema de maximizaci´on de beneficio (46) es uno de optimizaci´on sin restricciones,
lo que corresponde a decir que no hay restricciones a la elecci´on de los factores. Cuando la firma
enfrenta restricciones (corto plazo), el problema (46) deja de ser irrestricto: las condiciones de corto
plazo pasan a ser restricciones para el problema. Esto se discute m´as adelante.
39La idea de costos expuesta puede diferir de aquella utilizada en t´erminos contables, pues en ese caso el valor hist´orico
(el costo cuando se llev´o a cabo la venta) y no el econ´omico (cuanto valdr´ıa hoy en el mercado) es el utilizado. En
resumen, la valoraci´on de mercado de los insumos se har´a a trav´es de los precios de mercado de los mismos. A modo
de ejemplo, si el factor de producci´on 1 corresponde a trabajo, su valoraci´on unitaria corresponder´a al salario de mercado
por el tipo de trabajador considerado. Esto mismo sigue siendo v´alido para los productos de la firma.
40En forma abreviada, las notaremos x1(p, w) y x2(p, w).
89

90. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Bajo supuestos de regularidad de la funci´on de producci´on41
, el problema (46) se puede resolver a
partir de las condiciones de optimalidad de primer orden, que en este caso, por tratarse de un problema
irrestricto, vienen de igualar a cero cada una de las derivadas de la funci´on objetivo c.r. a los factores:



∂π(x1,x2)
∂x1
= 0 ⇔ p · PMgx1 (x1, x2) = w1
∂π(x1,x2)
∂x2
= 0 ⇔ p · PMgx2 (x1, x2) = w2,
(47)
es decir, el valor del producto marginal de cada factor debe ser igual a su precio42
.
Visto de otra manera, puesto que
π(x1, x2) = I(x1, x2) − C(x1, x2),
al derivar c.r. a xi, i = 1, 2, e igualar a cero, se tiene que,
∂I(x1, x2)
∂xi
=
∂C(x1, x2)
∂xi
,
es decir, en el ´optimo se debe cumplir que el ingreso marginal de cada factor es igual al costo
marginal del mismo, costo marginal que en este caso corresponde al precio del factor.
Ilustremos la condici´on de optimalidad con un ejemplo: ¿hasta cu´ando debe una firma contratar
un trabajador adicional? A partir de las condiciones de optimalidad (47), debe hacerlo hasta que el
ingreso marginal por su labor en la organizaci´on sea igual al costo (marginal) de su inclusi´on, es decir,
hasta que el beneficio extra que aporta su contrataci´on sea igual al costo extra que dicha contrataci´on
trae asociado, que en este caso corresponde al precio (salario) del mismo. De lo contrario, si el beneficio
de contratar un trabajador adicional sigue siendo positivo, entonces la firma tiene incentivos a seguir
contratando y, por el contrario, si el beneficio extra es negativo, la firma no debi´o haber hecho la
contrataci´on, pues incurre en p´erdidas, con lo cual tiene incentivo a despedir y no contratar m´as mano
de obra. Expresado lo anterior en t´erminos matem´aticos, si p · PMgx1 (x1, x2) > w1, entonces la firma
obtiene ganancia con el uso de una unidad adicional de factor 1, ya que su costo unitario es menor
que el valor del producto extra que obtiene. De esta manera, tiene incentivo a aumentar la cantidad
de factor a utilizar en el proceso productivo. Por otro lado, si p · PMgx1 (x1, x2) < w1, entonces la
firma puede obtener m´as beneficio si disminuye la cantidad de factor 1 en una unidad, ya que ya que
su costo unitario (w1) es mayor que el valor del producto extra que obtiene de mantenerlo. Luego, en
el ´optimo necesariamente se debe cumplir que p · PMgx1 (x1, x2) = w1, no habiendo as´ı incentivos a
modificar (subir o bajar) el uso de los mismos.
Geom´etricamente la interpretaci´on de la condici´on de optimalidad es an´aloga a aquella de maxi-
mizaci´on de utilidad para el caso de consumidores. En este caso, la recta presupuestaria es reemplazada
por la denominada recta de isobeneficio.
Definici´on 5.3 Dada una cantidad π > 043
, definimos la recta de isobeneficio como el conjunto de
puntos x1, x2 e y (insumos y producto) tales que al ser valorados por la firma, dan como beneficio el
valor π. Es decir, x1, x2 e y tales que:
π = p · y − w1x1 − w2x2.
Ordenando t´erminos, la recta de isobeneficio tiene la forma:
y =
π
p
+
w1
p
x1 +
w2
p
x2,
41Por ejemplo, que la funci´on de producci´on tenga rendimientos decrecientes de escala, que como caso particular se
tiene cuando es c´oncava. Se ver´an detalles m´as adelante
42Esto viene directamente de la derivaci´on del beneficio: ∂π(x1,x2)
∂x1
= 0 ↔ p· ∂f(x1,x2)
∂x1
−w1 = 0 ↔ p·P Mgx1(x1, x2) =
w1. An´alogo con el factor 2.
43Para el caso es un par´ametro.
90

91. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
donde, como ten´ıamos, el valor de π representa el par´ametro de beneficio considerado.
Si hay s´olo un factor de producci´on, la recta de isobeneficio es
y =
π
p
+
w1
p
x1.
En tal caso, dibujemos (Figura 45) la funci´on de producci´on junto con rectas de isobeneficio para
distintos par´ametros de beneficio.
Figure 45: Isobeneficio
y
b1
y∗
b2
b3
x∗
1 x1
f
(3)
(2)
(3)
En la figura, para la recta (1) no existe plan de producci´on que nos pueda dar el beneficio b1. En
el caso de la recta (3), existen puntos factibles de ser elaborados que pueden entregar un beneficio
mayor que b3 (cualquiera que este en la curva por sobre la recta). Por ´ultimo, la recta (2) est´a
definida por el nivel m´aximo de beneficio que puede alcanzar la firma: en el punto x∗
1 la firma
maximiza beneficio y el valor de este beneficio m´aximo es b2. Notemos que en el ´optimo, la recta
de isobeneficio es tangente a la funci´on de producci´on. As´ı, en x∗
1 la pendiente de la recta y la
pendiente de la curva en el punto deben ser iguales, es decir:
w1
p
=
∂f(x∗
1)
∂x1
= Pmgx1 (x∗
1) ⇔ p · PMgx1 (x∗
1) = w1,
cuesti´on que ya ten´ıamos.
Siguiendo con la interpretaci´on de las condiciones de optimalidad, del hecho que p · ∂f(x1,x2)
∂xi
=
wi, i = 1, 2, dividiendo se obtiene
p · ∂f(x1,x2)
∂x1
p · ∂f(x1,x2)
∂x2
=
w1
w2
,
es decir,
∂f(x1,x2)
∂x1
∂f(x1,x2)
∂x2
=
w1
w2
⇔ RT S1,2(x1, x2) = −
w1
w2
.
De esta manera, en el ´optimo, la relaci´on t´ecnica de sustituci´on es igual a menos el coeficiente de
los precios de insumos (precios relativos). La interpretaci´on de este resultado es: supongamos que por
91

92. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
alguna raz´on hemos escogido el nivel de producto y∗
, de modo que el ingreso est´a fijo en I∗
= p · y∗
.
Para maximizar el beneficio, claramente debemos buscar en la isocuanta respectiva aquella combinaci´on
de factores que tenga el menor costo, pues en tal caso el margen (beneficio) es el mayor posible. Para
ello, definamos las rectas de isocosto al nivel c, como el conjunto de puntos x1, x2 tales que,
w1x1 + w2x2 = c.
Gr´aficamente la situaci´on es como sigue:
Figure 46: Maximizaci´on de Beneficios
x2
x∗
2
x∗
1 x1
y∗
(1)(2)(3)
En la Figura 46 se han dibujado tres rectas de isocosto, digamos con par´ametros c3 < c2 < c1
para cada recta (1), (2) y (3) respectivamente. Los puntos de la recta (3) no permiten elaborar y∗
pues est´an por debajo de la isocuanta al nivel y∗
. Los puntos de intersecci´on de la recta (1) con
la isocuanta permiten elaborar exactamente y∗
, pero tienen un costo muy elevado de modo que
no maximizan beneficio. El punto de intersecci´on (tangencia) entre la recta de isocosto (2) y la
isocuanta es compatible con la producci´on de y∗
y es, adem´as, aquel de menor costo, de modo que
resuelve el problema de maximizaci´on de beneficio.
De la tangencia entre la recta de isocosto y la isocuanta al nivel de la oferta, se tiene la igualdad
de las pendientes:
−
w1
w2
= RT S1,2(x∗
1, x∗
2),
que es la condici´on que ya se ten´ıa.
Nota. 5.2 Otra interpretaci´on de la condici´on de optimalidad es como sigue. Supongamos dado un
punto x∗
1, x∗
2 que no m´aximiza beneficio, de modo que |RT S|1,2(x∗
1, x∗
2) = w1
w2
. En tal caso, dado que el
beneficio es:
π(x∗
1, x∗
2) = p · f(x∗
1, x∗
2) − w1x∗
1 − w2x∗
2,
si aumentamos x∗
1 es una unidad, para mantener producto constante (y luego, ingreso constante),
debemos bajar x∗
2 en RT S1,2(x∗
1, x∗
2). Con estas modificaciones, por el lado del primer factor, el costo
sube en w1 y, por el lado del segundo factor, baja en |RT S1,2| · w2. Luego, el cambio en el costo (y por
ende en el beneficio, ya que el ingreso no cambia) es,
∆C = w1 − |RT S|1,2 · w2.
Como |RT S|1,2 = w1
w2
, existen dos posibilidades: o bien |RT S|1,2 > w1
w2
o bien |RT S|1,2 < w1
w2
.
Para el primer caso, ∆C < 0 (bajan los costos), raz´on por la cual la firma puede incrementar sus
92

93. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
beneficios cambiando el uso de factores al aumentar x∗
1 es una unidad y bajando el uso del factor 2 en
|RT S|1,2(x∗
1, x∗
2). En el segundo caso, la firma tambi´en puede incrementar su beneficio disminuyendo
el uso del factor 1 en una unidad y aumentando el uso del factor 2 en |RT S|1,2(x∗
1, x∗
2)44
. Luego, a
partir del hecho que la relaci´on t´ecnica de sustituci´on es distinta del cuociente de precios, la firma puede
obtener m´as beneficio modificando el plan de producci´on que ten´ıa, de modo que el punto en cuesti´on
no puede ser ´optimo.
La siguiente proposici´on relaciona los conceptos anteriores.
Proposici´on 5.1 Lema de Hotelling.
A partir de las definiciones anteriores, se tiene que
a.-
∂π(p, w1, w2)
∂p
= y(p, w1, w2).
b.-
∂π(p, w1, w2)
∂wi
= xi(p, w1, w2), i = 1, 2.
Demostraci´on.
a.- Derivemos directamente la funci´on de beneficios c.r a p:
∂π(p, w)
∂p
=
∂[p · f(x1(p, w), x2(p, w))]
∂p
− w1 ·
∂x1(p, w)
∂p
− w2 ·
∂x2(p, w)
∂p
.
Pero como, ∂[p·y(p,w)]
∂p = p · ∂f(x1(p,w),x2(p,w))
∂p + y(p, w). Aplicando regla de la cadena, y simplifi-
cando la notaci´on, se tiene que,
p ·
∂f(x1(p, w), x2(p, w))
∂p
= p ·
∂f
∂x1
·
∂x1(p, w)
∂p
+ p ·
∂f
∂x2
·
∂x2(p, w)
∂p
.
Por otro lado, de la condici´on de optimalidad, sabemos que p · ∂f
∂xi
= wi, i = 1, 2. Luego,
reemplazando en la expresi´on original, se concluye que:
∂π(p, w)
∂p
= w1 ·
∂x1(p, w)
∂p
+ w2 ·
∂x2(p, w)
∂p
+ y(p, w) − w1 ·
∂x1(p, w)
∂p
− w2 ·
∂x2(p, w)
∂p
.
Simplificando t´erminos, se tiene lo indicado.
b.- Derivando directamente c.r. a w1 (an´alogo c.r. a w2), y simplificando la notaci´on, se tiene que:
∂π(p, w)
∂w1
= p ·
∂f
∂x1
·
∂x1
∂w1
+ p ·
∂f
∂x2
·
∂x2
∂w1
− w1
∂x1
∂w1
− w2
∂x2
∂w1
+ x1.
De las condiciones de optimalidad, se tiene que p · ∂f
∂xi
= wi, i = 1, 2. Luego, reemplazando
esto en la expresi´on anterior se obtiene el resultado.
44Recuerde que −|RTS| representa la disminuci´on en el uso del factor 2 cuando el factor 1 aumenta en una unidad. En
forma equivalente, |RTS| nos da el valor de aumento en el uso del factor 2 cuando el factor 1 disminuye en una unidad.
93

94. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
En lo que sigue haremos un estudio de est´atica comparativa de las funciones de oferta y demanda,
ante variaciones de los precios de los factores y el precio del producto. Supongamos que inicialmente
los precios son (p, w1, w2), y que ´estos son modificados en una etapa siguiente, siendo los nuevos
precios (p∗
, w∗
1, w∗
2). Con el primer set de precios, la oferta y demanda de factores ser´a y, x1, x2
mientras que con el segundo estas ser´an y∗
, x∗
1, x∗
2. Definamos adem´as los cambios como ∆y = y∗
− y,
∆xi = x∗
i − xi, ∆wi = w∗
i − wi, con i = 1, 2. De la definici´on de m´aximo beneficio, se tiene que:
py − w1x1 − w2x2 ≥ py∗
− w1x∗
1 − w2x∗
2
es decir,
p(y − y∗
) − w1(x1 − x∗
1) − w2(x2 − x∗
2) ≥ 0.
En forma an´aloga,
p∗
y∗
− w∗
1x∗
1 − w∗
2x∗
2 ≥ p∗
y − w∗
1x1 − w∗
2x2
que implica
p∗
(y∗
− y) − w∗
1(x∗
1 − x1) − w∗
2(x∗
2 − x2) ≥ 0.
Sumando ambas inecuaciones, se deduce que,
[p∗
(y∗
− y) − w∗
1(x∗
1 − x1) − w∗
2(x∗
2 − x2)] + [p(y − y∗
) − w1(x1 − x∗
1) − w2(x2 − x∗
2)] ≥ 0.
Finalmente, ordenando t´erminos, se concluye,
(y∗
− y)(p∗
− p) − (x∗
1 − x1)(w∗
1 − w1) − (x∗
2 − x2)(w∗
2 − w2) ≥ 0,
es decir:
∆y · ∆p − ∆x1 · ∆w1 − ∆x2 · ∆w2 ≥ 0.
A partir de esta relaci´on fundamental se puede concluir lo siguiente:
a.- Si ∆w1 = ∆w2 = 0 (no hay cambios en los precios de los factores) y ∆p > 0 (sube el precio del
producto), entonces necesariamente ∆y ≥ 0 (sube la oferta de la firma).
b.- Si ∆w2 = ∆p = 0 (no hay cambios en el precio del factor 2 y en el producto), si ∆w1 > 0 (sube
el precio del factor 1), entonces necesariamente ∆x1 ≤ 0 (disminuye la demanda del factor 1).
c.- Si ∆w1 = ∆p = 0 (no hay cambios en el precio del factor 1 y en el producto), si ∆w2 > 0 (sube
el precio del factor 2), entonces necesariamente ∆x2 ≤ 0 (disminuye la demanda del factor 2).
5.2 Maximizaci´on del beneficio de corto plazo
Recordemos que a diferencia del largo plazo, en el corto plazo existen restricciones al uso de los
factores, que como caso particular se modela asumiendo que alguno de ellos est´a fijo. Por simplicidad,
supongamos que en el corto plazo est´a fijada la cantidad del factor 2, en ¯x2. En tal caso, la funci´on
de producci´on de corto plazo es fcp(x1) = f(x1, ¯x2), la que ahora depende de s´olo un factor, habiendo
por tanto s´olo una variable de decisi´on por parte de la firma45
. De esta manera, dado x2 = ¯x2, el
beneficio condicional de corto plazo es entonces:
πcp(x1) = π(x1, ¯x2) = p · f(x1, ¯x2) − w1x1 − w2 ¯x2,
45Esto en el caso que el proceso productivo tenga s´olo dos factores. Si los factores fuesen n y est´a fijo uno de ellos por
razones de corto plazo, entonces las variables de decisi´on de la firma ser´ıan (n − 1).
94

95. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
y luego el problema de maximizaci´on de beneficios de corto plazo es
max
x1
πcp(x1) = max
x1
{p · f(x1, ¯x2) − w1x1 − w2 ¯x2}. (48)
Las condiciones de optimalidad son an´alogas a las anteriores, s´olo que ahora dicha condici´on aplica
s´olo a la variable x1. Luego, la condici´on de optimalidad es
p ·
∂f(x1, ¯x2)
∂x1
= w1.
Con esto queda definida una funci´on de demanda de corto plazo por el factor 1, funci´on que
denotaremos x1(p, w, ¯x2)46
. La demanda de corto plazo del factor dos es ¯x2. Podemos definir tambi´en
la funci´on de oferta de corto plazo y la funci´on de beneficio de corto plazo, como
ycp(p, w, ¯x2) = p · f(x1(p, w, ¯x2), ¯x2),
πcp(p, w, ¯x2) = p · f(x1(p, w, ¯x2), ¯x2) − w1x1(p, w, ¯x2) − w2 ¯x2.
Sobre la base de lo expuesto, es directo que (ejercicio):
a.- Para todo ¯x2,
πcp(p, w, ¯x2) ≤ π(p, w).
b.- Si ¯x2 = x2(p, w), entonces,
πcp(p, w, ¯x2) = π(p, w).
Nota. 5.3 El problema de maximizaci´on de beneficio de corto plazo corresponde se puede ver como
aquel de largo plazo, pero donde se agrega la restricci´on que define al corto plazo, es decir, el problema
(48) corresponde a
max
x1,x2
{p · f(x1, x2) − w1x1 − w2x2} s.a. x2 = ¯x2.
Esta idea aplica a cualquier otro tipo de problema de maximizaci´on de beneficio de corto plazo. Por
ejemplo, supongamos que la restricci´on de corto plazo es que el empleo de factores debe obedecer una
regla de proporciones: “por cada unidad de factor uno, se debe emplear α unidades de factor dos”. En
tal caso, el problema de maximizaci´on de beneficio de corto plazo es
max
x1,x2
{p · f(x1, x2) − w1x1 − w2x2} s.a. x2 = α · x1.
El problema anterior es equivalente a
max
x1
{p · f(x1, α · x1) − w1 · x1 − w2 · α · x1},
que obviamente depende de una variable.
46Hacemos expl´ıcita la dependencia de la demanda de corto plazo del factor 1 en la cantidad del factor fijo ¯x2.
95

96. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
5.3 Maximizaci´on del beneficio y rendimientos a escala
Supongamos que la funci´on de producci´on presenta alg´un tipo de rendimiento a escala. Si fuese
creciente, entonces al duplicar la cantidad de factores el ingreso que se obtiene crece m´as del doble
pues p · f(2x1, 2x2) > 2p · f(x1, x2), mientras que los costos crecen linealmente con el factor de los
insumos (s´olo se duplican). De esta manera, al maximizar beneficio en presencia de rendimientos
crecientes a escala, la firma tiene incentivo a ocupar la mayor cantidad de insumo posible, pues el
ingreso crece m´as r´apido que los costo. Luego, en este caso, el problema no es acotado y la soluci´on
(demanda) tiende a infinito.
Por otro lado, si la funci´on de producci´on tiene rendimientos constantes de escala, entonces un
incremento proporcional de los factores implica un aumento en la misma proporci´on tanto del ingreso
como de los costos. De hecho, en este caso, por la relaci´on de Euler se tiene que
f(x1, x2) = PMgx1 (x1, x2) · x1 + PMgx2 (x1, x2) · x2,
y luego,
π(p, w) = p · [PMgx1 x1(p, w) + PMgx2 x2(p, w)] − w1x1(p, w) − w2x2(p, w),
es decir,
π(p, w) = x1(p, w) · [PMgx1 (x1, x2) − w1] + x2(p, w) · [PMgx2 (x1, x2) − w2]
Luego, si se cumple la condici´on de optimalidad precio del factor = valor de producto marginal,
necesariamente se tendr´ıa que π(p, w) = 0, cuesti´on que es independiente de la demanda por factores.
Sin embargo, si el valor del producto marginal es mayor que el precio del factor (cuesti´on que puede
ocurrir, por ejemplo, si la f.d.p es lineal y el producto marginal constante en tal caso, es mayor que el
precio), entonces el incentivo de la firma es ocupar la mayor cantidad posible de factores, no habiendo
por tanto soluci´on al problema (no acotada). Por otro lado, bajo el supuesto simplificatorio que el
producto marginal es constante (f.d.p lineal), si el valor del producto marginal es menor que el precio
del factor, entonces necesariamente la demanda por factores es cero, pues el uso positivo de ellos
implicar´ıa p´erdidas para la firma. De esta manera, habiendo demanda positiva por factores, cuando
la firma tiene rendimientos constantes de escala, necesariamente el m´aximo beneficio es
cero.
Finalmente, si la funci´on de producci´on tiene rendimientos decrecientes de escala, al aumentar la
cantidad de factores, los costos crecen en proporci´on a dicho aumento, mientras que el ingreso lo hace
a una tasa menor. Este es el caso donde podemos aspirar a tener una solucu´on interior del problema,
quedando por tanto definida una demanda y oferta en funci´on de los precios.
Ciertamente puede haber casos donde la f.d.p no necesariamente tenga rendimientos decrecientes a
escala y el problema de maximizaci´on de beneficios tenga soluci´on interior. Por ejemplo, imaginemos
una f.d.p con un factor, donde para peque˜nos niveles del mismo la funci´on es convexa, pero que luego de
cierto nivel es c´oncava. En tal caso, la f.d.p no presenta retornos a escala decrecientes, pero dependiendo
de los precios, la demanda por factores perfectamente podr´ıa estar en la parte donde la curva es c´oncava.
Obviamente en dicho lugar, la f.d.p presenta, localmente, retornos a escala decrecientes.
Ejemplo 5.1 Supongamos el caso con un factor y que la f.d.p es f(x) = xα
. El precio del producto es
p y aquel del factor w. El problema de maximizaci´on de beneficio es
max
x
p · xα
− w · x. (49)
Para encontrar la oferta y la demanda, la primera tentaci´on es derivar y resolver la ecuaci´on
α · p · xα−1
− w = 0, que nos dar´ıa como resultado (demanda)
x(p, w) =
w
α · p
1
α−1
. (50)
96

97. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Sin embargo, todo lo anterior (procedimiento y resultado) tiene sentido si el par´ametro α es
menor que uno. Para ver esto, consideremos, en primer lugar, α = 1. En este caso, obviamente no
se puede evaluar la expresi´on (50) (se indefine el exponente). De hecho, cuando α = 1, el problema
de maximizaci´on de beneficio (49) es
max
x
p · x − w · x ⇔ max
x
(p − w) · x.
Si p > w (de modo que (p − w) > 0), entonces a la firma “le conviene” que x tienda a infinito, no
habiendo por tanto soluci´on al problema (no acotada). Por otro lado, si p < w, de modo que (p−w) < 0,
la soluci´on del problema es x = 0, pues cualquier otro valor arroja beneficios negativos. Por ´ultimo, si
p = w, entonces cualquier valor de x es soluci´on del problema: la soluci´on est´a indeterminada.
De todas maneras, en tal caso, cualquiera sea la soluci´on, el m´aximo beneficio que logra es cero, y
adem´as es el ´unico caso donde la demanda por factor puede ser distinta de cero (y por ende
la oferta).
Si α > 1 (retornos crecientes), notemos que si x aumenta, entonces el ingreso p · xα
crece m´as
r´apido que el costo de emplear el factor, w · x. Luego, a la firma conviene aumentar x, llevando a que
la “soluci´on del problema” sea no acotada. As´ı, en este caso nuevamente no hay soluci´on al problema
(49). De hecho, la “soluci´on” (50) caracteriza a un m´ınimo y NO a un m´aximo del problema (49).
En resumen, para el ejemplo en comento, los ´unicos casos donde podemos aspirar a que haya
soluci´on positiva para el problema de maximizaci´on de beneficio es cuando la f.d.p presenta rendimientos
decrecientes a escala (α < 1), o bien cuando hay rendimientos constantes (α = 1), pero bajo ciertas
condiciones sobre los precios y par´ametros de la f.d.p.
6 Costos
6.1 Definiciones y propiedades b´asicas
Suponga que a Ud. le piden fabricar pan amasado, para lo cual (simplificando) s´olo utiliza harina
(x1) y manteca (x2). El precio del kilo de harina es w1 y aquel del kilo de manteca es w2; el precio
del kilo de pan es p. El pedido es pagado por adelantado, y le encargan y0 kilos de pan. Por lo tanto,
Ud. recibi´o p · y0 pesos por el trato. La pregunta que nos convoca es, ¿ c´omo fabricar´a el pan para
cumplir con el compromiso? Bajo los supuestos que hemos asumido para el comportamiento de
las firmas, la respuesta es que Ud. fabricar´a el pan de manera tal que depare el m´aximo posible de
ganancia, es decir, que maximice el beneficio condicional al hecho que debe entregar y0 kilos de pan.
Las opciones para fabricar los y0 kilos de pan est´an definidas por la isocuanta de producci´on a dicho
nivel: (x1, x2) tales que f(x1, x2) = y0, siendo f su funci´on de producci´on. Obviamente no todas las
combinaciones de factores que permiten cubrir el requerimiento cuestan lo mismo. Luego, su problema
es buscar aquella que sea la m´as barata posible, pues de esa manera el margen de ganancia que obtiene
es el mayor. Es decir, Ud. debe buscar aquella combinaci´on de factores en la isocuanta al nivel y0
de modo que el valor de la misma sea m´ınimo. Formalmente, debe resolver el siguiente problema de
optimizaci´on:
min w1 · x1 + w2 · x2
s.a f(x1, x2) = y0.
(51)
El problema (51) se llama problema de costos y su soluci´on se denota por
x1(p, w1, w2), x2(p, w1, w2),
que se llama demanda restringida de factores. Con la demanda restringida, el costo en que se incurre
es dado por la siguiente expresi´on, que se denomina funci´on de costos:
C(w1, w2, y0) := w1 · x1(p, w1, w2) + w2 · x2(p, w1, w2).
97

98. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Nota. 6.1 De manera natural, el problema de costos se puede extender para considerar m´as de dos
factores, digamos, n ∈ N: si w1, . . . , wn son los precios de los inputs en la econom´ıa, cuyas cantidades
son x1, ..., xn, dado y0 un nivel de producci´on fijado a priori, si la funci´on de producci´on es f : Rn
→ R,
entonces el m´ınimo costo al cual se pueden producir las y0 unidades del output viene de resolver el
problema de optimizaci´on
min {w1 · x1 + ... + wn · xn}
s.a f(x1, ..., xn) = y0.
(52)
cuya soluci´on ser´a es denotada como xi(w1, ..., wn, y), i = 1, . . . , n, (que en forma resumida ser´a escrita
como xi(w, y)). Esta es que recibe demanda restringida de factores dado el nivel de producto y0
y los precios de factores wi, i = 1, ..., n. La funci´on de costos es C(w1, ..., wn, y0) (que en forma
resumida se denotar´a como C(w, y0)), de modo que
C(w1, ..., wn, y0) =
n
i=1
wi · xi(w, y0).
Nota. 6.2 Hay una evidente analog´ıa entre el problema de costos y el problema de gasto que se
defini´o para los consumidores. La demanda Hicksiana del problema de gasto se corresponde con la
demanda restringida del problema de costos, y la funci´on de gasto con la funci´on de costos.
Para el caso general con n factores, el Lagrangeano del problema de costos (52) es
L(x1, ..., xn, λ) = w1 · x1 + ... + wn · xn + λ · (f(x1, ..., xn) − y0).
Por lo tanto, la soluci´on resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:



∂L(x1,x2,...,xn,λ)
∂xi
= wi + λ∂f(x1,x2,...xn)
∂xi
= 0, i = 1, ..., n,
∂L(x1,x2,...,xn,λ)
∂λ = f(x1, x2, ..., xn) − y0 = 0.
Este sistema es de n + 1 ecuaciones, con n + 1 inc´ognitas. En lo que sigue, para fijar ideas e ilustrar,
supongamos que n = 2. En tal caso, las condiciones anteriores son:



∂L(x1,x2,λ)
∂x1
= w1 + λ∂f(x1,x2)
∂x1
= 0,
∂L(x1,x2,λ)
∂x2
= w2 + λ∂f(x1,x2)
∂x2
= 0,
∂L(x1,x2,λ)
∂λ = f(x1, x2) − y0 = 0.
Al despejar λ de las dos primeras ecuaciones e igualar los resultados, se tiene que:
−w1
∂f(x1,x2)
∂x1
=
−w2
∂f(x1,x2)
∂x2
,
es decir,
∂f(x1,x2)
∂x1
∂f(x1,x2)
∂x2
=
w1
w2
.
Pero,
RT S1,2(x1, x2) = −
∂f(x1,x2)
∂x1
∂f(x1,x2)
∂x2
,
y en consecuencia, en el ´optimo se verifica que:
98

99. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
RT S1,2(x1, x2) = −
w1
w2
,
es decir, la relaci´on t´ecnica de sustituci´on es igual a menos el cuociente de los precios de
los factores. Esta condici´on y la de producci´on definen el sistema que usualmente se resuelve para
encontrar las demandas y luego el costo:
a.- RT S1,2(x1, x2) = −w1
w2
,
b.- f(x1, x2) = y0.
Ejemplo 6.1 Considere la funci´on de producci´on f(x1, x2) = Axα
1 · xβ
2 , con A, α, β > 0 (dos inputs).
Dado un cierto nivel producci´on y y precios de los factores w1 y w2 respectivamente, el problema de
minimizaci´on de costos corresponde a:
min {w1 · x1 + w2 · x2}
s.a f(x1, x2) = A · xα
1 · xβ
2 = y.
En este caso, el problema se resuelve utilizando la t´ecnica de mulitplicadores de Lagrange. Para
ello, se define el Lagrangeano del problema y se calculan las derivadas parciales respecto de cada una
de las variables y multiplicadores (las xi-es y los λ’s, respectivamente). As´ı, en este caso particular, el
Lagrangeano del problema es:
L(x1, x2, λ) = w1 · x1 + w2 · x2 + λ(A · xα
1 · xβ
2 − y),
luego, las condiciones necesarias de optimalidad son:
∂L(x,λ)
∂xi
= 0, i = 1, ..., n
∂L(x,λ)
∂λ = 0.
En nuestro problema n = 2, de modo que, reemplazando los valores de la funci´on, se tiene:



∂L(x,λ)
∂x1
= w1 + λAαxα−1
1 xβ
2 = 0,
∂L(x,λ)
∂x2
= w2 + λAβxα
1 xβ−1
2 = 0,
∂L(x,λ)
∂λ = xα
1 · xβ
2 − y = 0.
Resolviendo el sistema anterior, se obtiene como resultado:
x1(w, y) =
1
A
1
α+β
·
αw2
βw1
β
α+β
· y
1
α+β ,
x2(w, y) =
1
A
1
α+β
·
βw1
αw2
α
α+β
· y
1
α+β ,
de lo cual se deduce que la funci´on de costos corresponde a:
C(w, y) = w1 ·
1
A
1
α+β
·
αw2
βw1
β
α+β
· y
1
α+β + w2 ·
1
A
1
α+β
·
βw1
αw2
α
α+β
· y
1
α+β ,
es decir,
C(w, y) = γ · y
1
α+β ,
donde,
γ := w1 ·
1
A
1
α+β
·
αw2
βw1
β
α+β
+ w2 ·
1
A
1
α+β
·
βw1
αw2
α
α+β
.
99

100. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Ejemplo 6.2 Supongamos los precios p, w1 y w2 y que la f.d.p es
f(x1, x2) = a · x1 + b · x2,
con a, b > 0. En tal caso, el problema de costos (nivel de producto es y0) es
min {w1 · x1 + w2 · x2}
s.a a · x1 + b · x2 = y0.
Si aplicamos directamente las condiciones de optimalidad al problema anterior, la demanda re-
stringida deber´ıa cumplir con las siguientes ecuaciones
RT S1,2(x1, x2) = −
w1
w2
⇔
a
b
=
w1
w2
,
a · x1 + b · x2 = y0.
En este caso, como los productos marginales son constantes, la “primera ecuaci´on” no depende de
los factores, cuesti´on que, a priori, har´ıa que la soluci´on quede indeterminada. Sin embargo, analizando
con m´as detalle, en primer lugar indicar que la “primera ecuaci´on” es en realidad es absurda, pues
tanto los precios como los productos marginales no tienen porque obedecer a alguna condici´on previa.
Por otro lado, de la restricci´on de producci´on se tiene que
x2 =
y0
b
−
a
b
· x1,
que incorpor´andola en la funci´on objetivo, nos lleva a que el problema se puede re-escribir equivalente-
mente como
min
x1
w1 · x1 + w2 ·
y0
b
−
a
b
· x1 ⇔ min
x1
x1 · w1 −
a · w2
b
+
w2 · y0
b
.
Evidentemente la constante del problema de la derecha no altera la soluci´on del mismo, por lo que
el problema de costos corresponde finalmente a
min
x1
x1 · w1 −
a · w2
b
. (53)
Para resolver este ´ultimo problema, debemos considerar tres casos:
(i) que w1 − a·w2
b > 0 (equivalente a b · w1 − a · w2 > 0, es decir, w1
a > w2
b ),
(ii) que w1 − a·w2
b < 0 (equivalente a b · w1 − a · w2 < 0, es decir, w1
a < w2
b ),
(iii) que w1 − a·w2
b = 0 (equivalente a b · w1 − a · w2 = 0, es decir, w1
a = w2
b ).
Para el caso (i), el m´ınimo valor de la funci´on objetivo del problema (53) se obtiene cuando x1 = 0
y por ende x2 = y0
b
47
. As´ı, las demandas restringidas son las indicadas y el costo es
C(w, y0) =
w2
b
· y0.
Por otro lado, para el caso (ii), la demanda es x1 = y0
a y x2 = 0, en cuyo caso el costo es
C(w, y0) =
w1
a
· y0.
Finalmente, para el tercer caso, respetando la restricci´on de producci´on, x1 puede tomar cualquier
valor, como as´ı x2. Por lo tanto, tomando x1 = y0
a , x2 = 0, el costo es
C(w, y0) =
w1
a
· y0 =
w2
b
· y0 .
47Recordar que a · x1 + b · x2 = y0; luego, cuando x1 = 0 se obtiene x2 = y0
b
.
100

101. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
En resumen, (i) cuando w1
a > w2
b el costo es C(w, y0) = w2
b · y0, (ii) cuando w1
a < w2
b el costo es
C(w, y0) = w1
a · y0 y (iii) cuando w1
a = w2
b el costo es C(w, y0) = w2
b · y0 = w1
a · y0, todo lo cual queda
resumido en la siguiente expresi´on:
C(w, y0) = Min
w1
a
,
w2
b
· y0,
donde Min{s, t} es el m´ınimo de ambos. As´ı, para el caso de funciones de producci´on lineal, (a)
las condiciones de optimalidad a partir de derivadas no nos permiten encontrar la soluci´on del
problema (de hecho, nos lleva a condiciones absurdas) y, por otro lado, (b) queda claro que en general
(casos (i) y (ii)) las demandas que se obtienen en este caso son “esquinas”, en el sentido que se utiliza
todo lo posible de alguno de los insumos y nada del otro.
Ejemplo 6.3 Evaluada en w, y, supongamos que la f.d.p de una firma es f(x1, x2) y que la funci´on de
costos correspondiente, evaluada en w, y, es Cf (w, y). Una segunda firma tiene una tecnolog´ıa basada
en la anterior, denotada g(·), que cumple con la siguiente condici´on
g(x1, x2) = (φ ◦ f)(x1, x2) = φ(f(x1, x2)),
con φ : R → R una funci´on dada. Supongamos que φ es invertible, y denotemos su inversa por φ−1
.
¿Cu´al es la funci´on de costos de la segunda firma? Para responder, se debe resolver el problema
min {w1 · x1 + w2 · x2}
s.a g(x1, x2) = y0
⇔
min {w1 · x1 + w2 · x2}
s.a φ(f(x1, x2)) = y0,
que a su vez es equivalente a
min {w1 · x1 + w2 · x2}
s.a f(x1, x2) = φ−1
(y0).
Por lo tanto, la funci´on de costos de la segunda firma es
Cg(w, y0) = Cf (w, φ−1
(y0)).
Para la interpretaci´on geom´etrica del problema de costos, necesitamos introducir un nuevo con-
cepto: curvas de isocosto. Estas curvas (en realidad l´ıneas rectas) est´an formadas por todas aquellas
combinaciones de inputs que reportan el mismo valor de canastas de factores. As´ı, dado un nivel de
gasto c > 0 (un par´ametro), la curva (l´ınea) de isocosto corresponde al conjunto L(C) definido por las
combinaciones de factores (x1, x2) tales que
w1 · x1 + w2 · x2 = c.
La Figura 47 ilustra el concepto.
101

102. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 47: Isocosto
L(C1) L(C2)L(C3)
C1 < C2 < C3
Isocosto:m = −(w1/w2)
Con dos factores, la isocosto es una l´ınea recta con pendiente −w1
w2
y coeficiente de posici´on c
w2
.
En el ´optimo, la isocosto se desplaza hasta ser tangente a la isocuanta en el nivel de producto, y. Este
desplazamiento se logra con el par´ametro
c = C(w, y),
y el punto de tangencia entre ambas define la demanda condicionada. Todo lo expuesto se resume en
la siguiente relaci´on (ver (42))
L(C(w, y)) ∩ Iy = {(x1(w, y), x2(w, y))}.
La Figura 48 ilustra lo indicado.
Figure 48: Gr´afico de las Condiciones de Optimalidad
x2(w, y)
x1(w, y)
Isocosto
Isocuanta nivel y
´Optimo
6.2 Costos medios y marginales
Conceptos auxiliares obtenidos a partir de la funci´on de costo, que son relevantes en diversas aplica-
ciones en econom´ıa, son dados en la siguiente definici´on.
Definici´on 6.1 A partir de una funci´on de costos C(w, y), las funciones de costo medio y costo
marginal, que notaremos CMe(w, y) y CMg(w, y) respectivamente, se definen como:
102

103. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
CMe(w, y) :=
C(w, y)
y
,
CMg(w, y) :=
∂C(w, y)
∂y
.
La funci´on de costo medio es s´olo una medida indicativa de costo por unidad de producto: es un valor
promedio que no necesariamente da cuenta de una situaci´on puntual, como si lo hace el costo marginal,
pues corresponde al costo adicional en que se incurre para producir una unidad extra de producto a
partir del nivel ya indicado:
CMg(w, y) =
∂C(w, y)
∂y
≈ C(w, y + 1) − C(w, y).
Del hecho que la funci´on de costos es creciente en el nivel de producto48
, obviamente el costo
marginal siempre es positivo.
La siguiente Figura 49 ilustra de los conceptos anteriores.
Figure 49: Costo Medio y Costo Marginal
C(y)
y
A
CMg
C
CMe
El costo marginal en y es igual a la pendiente de la tangente a la curva de costos en el punto A,
mientras que el costo medio corresponde a la pendiente de la recta que parte del origen y termina
en A.
Ejemplo 6.4 Del Ejemplo 6.1, se tiene que
CMe(w, y) =
C(w, y)
y
=
γ · y
1
α+β
y
= γ · y
1−α−β
α+β ,
mientras que,
CMg(w, y) =
∂C(w, y)
∂y
=
∂γ · y
1
α+β
∂y
= γ ·
1
α + β
· y
1−α−β
α+β .
Note que CMg(w, y) > CMe(w, y) siempre y cuando 1
α+β > 1, es decir, α + β < 1.
48Caso contrario, de resultar m´as barato fabricar y1 que y0, con y1 > y0, entonces los y0 los har´ıamos como hacemos
los y1 y botamos el resto de la producci´on.
103

104. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
A partir de las definiciones anteriores, una propiedad b´asica que relaciona los conceptos ya intro-
ducidos es la siguiente49
.
Proposici´on 6.1 Dados precios w = (w1, . . . , wn) y un nivel de producto y0, se tiene que
C(w, y0) = y0 · CMe(w, y0).
C(w, y0) =
y0
0
CMg(w, y)dy + C(w, 0)50
.
6.3 Costos de corto plazo
Como sabemos, el corto plazo se caracteriza por la existencia de restricciones al uso de los factores,
que de manera simple se modela asumiendo que algunos de ellos son fijos en cantidad; en el largo
plazo todos los factores son variables, es decir, se pueden escoger sin restricciones. Por lo mismo, la
optimizaci´on de corto plazo que lleva a los costos deber´ıa entregar una soluci´on sub-´optima respecto de
aquella donde los factores se escogen en libertad. Esto se traduce en que necesariamente los costos de
corto plazo son necesariamente mayores o iguales que los costos de largo plazo. Por otro lado, puesto
que el corto plazo puede ser caracterizado de michas maneras (depende de cual sea la restricci´on que
se asume), puede entonces haber muchas opciones para las curvas de tales costos, no as´ı para aquella
de largo plazo.
En lo que sigue modelaremos el corto plazo asumiendo que algunos factores est´an fijosm los que
con una barra. De esta manera, supongamos dada una firma en cuyo proceso productivo hay n ∈ N
inputs, de los cuales los primeros k < n son factores variables mientras que los factores fijos van de
(k + 1) a n. En este caso, dado un nivel de producci´on y, el problema de mimizaci´on de costos
de corto plazo corresponde a
min {w1 · x1 + . . . + wk · xk + wk+1 · ¯xk+1 + . . . + .wn · ¯xn}
s.a f(x1, . . . , xk, ¯xk+1, . . . , ¯xn) = y.
En el problema de corto plazo anterior, las ´unicas variables de decisi´on de la firma son x1 hasta xk.
El resto (xk+1 hasta xn) est´an fijas.
Supongamos entonces que resolvemos el problema anterior, y encontramos las soluciones xi(w, y, ¯x),
i = 1, ..., k. Se hace presente que la soluci´on encontrada depende, adem´as de los precios de los factores
y la cantidad que se produce, de los factores fijos, que hemos notado por simplicidad como ¯x haciendo
referencia a ¯xk+1, ..., ¯xn. La funci´on de costos de corto plazo corresponde a
Ccp(w, y) =
k
i=1
wi · xi(w, y) +
n
i=k+1
wi · ¯xi.
La primera del t´ermino de la derecha da cuenta de los costos variables de la firma, mientras que
la segunda de los costos fijos. En lo que sigue, notaremos los costos variables como CV (·) mientras
que los costos fijos por CF(·), es decir:
CV (w, y, ¯x) =
k
i=1
wi · xi(w, y), CF(w, ¯x) =
n
i=k+1
wi · ¯xi.
De esta manera, se tiene que
Ccp(w, y, ¯x) = CV (w, y, ¯x) + CF(w, ¯x)
49 La demostraci´on de ´esta queda como ejercicio.
50Usualmente C(w, 0) = 0. Sin embargo, tal como veremos m´as adelante, esta cantidad corresponde a lo que llamaremos
costo fijo, el cual en situaciones de corto plazo no necesariamente (m´as bien, usualmente) es distinto de cero.
104

105. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
donde se hace expl´ıcita la dependencia de los costos de aquellos factores que est´an fijos. Note que los
costos fijos no dependen del nivel de producci´on y.
Por otro lado, ya sea porque no es relevante, o bien que la notaci´on sea clara, o que el contexto lo
amerita, usualmente de los costos variables y fijos se omiten los argumentos de precio y factores fijos,
dejando expl´ıcita s´olo la dependencia en la cantidad de producto:
CV (w, y, ¯x) → CV (y), CF(w, ¯x) → CF.
Por ´ulitmo, indistintamente hablaremos de costo de corto plazo o costo total de corto plazo, s´olo
para enfatizar que ´este es la suma de las componentes variables y fijas.
Sobre lo reci´en expuesto, definen los costos marginales y costos medios de corto plazo, deno-
tados CMecp(·) y CMgcp(·) respectivamente, como
CMecp(w, y, ¯x) =
Ccp(w, y, ¯x)
y
,
CMgcp =
∂Ccp(w, y, ¯x)
∂y
Puesto que los costos fijos no dependen del nivel de producci´on se tiene que ∂CF (w,¯)x
∂y = 0 y luego:
CMgcp =
∂CV (w, y, ¯x)
∂y
.
Nota. 6.3 Es importante notar que Ccp(w, y, ¯x) es siempre mayor o igual a C(w, y), cualquiera
sea la condici´on que define al corto plazo. Matem´aticamente es claro, puesto que el problema de costos
de corto plazo es un problema de optimizaci´on donde el conjunto factible est´a incluido en aquel de
costos de largo plazo (donde no existen restricciones a priori sobre las variables). Econ´omicamente,
tambi´en es claro pues esta afirmaci´on s´olo establece que la empresa al tener libertades para escoger los
insumos puede hacerlo de manera m´as eficiente (es decir, m´as barata) que cuando existen restricciones
que fijan a priori ciertas cantidades que se deben utilizar.
Ejemplo 6.5 Supongamos que f(x1, x2) = Axα
1 · xβ
2 , con A, α, β > 0 (dos inputs). Del Ejemplo 6.1,
dados w1, w2 e y, se tiene que
C(w, y) = γ · y
1
α+β ,
con
γ := w1 ·
1
A
1
α+β
·
αw2
βw1
β
α+β
+ w2 ·
1
A
1
α+β
·
βw1
αw2
α
α+β
.
Supongamos ahora que la restricci´on de corto plazo es x2 = ¯x2. En tal caso, para determinar el
costo de corto plazo se debe resolver el problema
min
x1
{w1 · x1 + w2 · x2}
s.a Axα
1 · ¯xβ
2 = y.
(54)
Obviamente el problema (54) se puede ver como uno de “largo plazo” (es decir, optimizando en las
dos variables), pero con la condici´on de corto plazo como restricci´on del mismo, es decir,



min
x1,x2
{w1 · x1 + w2 · x2}
s.a Axα
1 · x2
β
= y
x2 = ¯x2.
Para resolver (54), notemos que la ´unica inc´ognita es x1, pues x2 ya est´a dada. Sin embargo, de
la restricci´on del mismo, es directo que
105

106. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
x1(w, y, ¯x) =
y
A · ¯xβ
2
1
α
,
con lo cual
Ccp(w, y, ¯x) = w1 ·
y
A · ¯xβ
2
1
α
+ w2 · ¯x2.
As´ı,
CV (y) = w1 ·
y
A · ¯xβ
2
1
α
, CF = w2 · ¯x2.
Note adem´as como el costo total de corto plazo, como as´ı los costos variable y fijo, dependen de
la elecci´on del factor fijo.
Nota. 6.4 Evidentemente los costos fijos pueden variar si los insumos fijos se modifican. Por lo tanto,
puede haber muchos costos de corto plazo, pero s´olo un ´unico costo de largo plazo para la firma. Por
otro lado, el hecho que los costos fijos sean cero no garantiza que se est´e en situaci´on de largo plazo. Por
ejemplo, si la f.d.p es lineal, digamos f(x1, x2) = a·x1 +b·x2, y el factor dos es cero, entonces el costo
fijo es cero, y el costo total de corto plazo (que coincide con el costo varianle) es Ccp(w, y, ¯x2) = w1 ·y/a.
Ejemplo 6.6 Supongamos que f(x1, x2) = Axα
1 · xβ
2 , con A, α, β > 0 (dos inputs). Determinemos
el costos si la restricci´on de corto plazo es que los factores se deben emplear en alguna proporci´on
prefijada, digamos, x1 = γ · x2, con γ > 0. En tal caso, el problema es



min
x1,x2
{w1 · x1 + w2 · x2}
s.a Axα
1 · x2
β
= y
x1 = γ · x2.
S´olo empleando las restricciones del problema es posible encontrar las demandas correspondientes:
A · (γ · x2)
α
· x2
β
= y ⇒ x2(w, y, γ) =
y
A · γ
1
α+β
⇒ x1(w, y, γ) = γ ·
y
A · γ
1
α+β
lo cual implica que
C(w1, w2, y, γ) =
γ · w1 + w2
(A · γ)
1
α+β
· y
1
α+β .
6.4 An´alisis de sensibilidad de los costos
6.4.1 Costos y eficiencia productiva
Suponga que hay dos tecnolog´ıas disponibles, f y g, una de ellas (g) m´as eficiente que la otra, esto en
el sentido que con los mismos factores, se produce m´as output utilizando la tecnolog´ıa g que la f. Por
simplicidad, supongamos que para cualquier (x1, x2) ∈ R2
+ se tiene que
f(x1, x2) < g(x1, x2). (55)
Dados precios w1, w2 y un nivel de producto y, denotemos, respectivamente, el costo inducido por f y
g como
Cf (w, y), Cg(w, y).
106

107. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
De lo expuesto, es directo ver que para cualquier nivel de output y,
Cg(w, y) < Cf (w, y).
En efecto, supongamos que las respectivas demandas restringidas usando la tecnolog´ıa f y g es
xf
i (w, y), xg
i (w, y), i = 1, 2.
De la condici´on (55), se tiene que (pos simplicidad para la notaci´on, se omiten los argumentos de
las funciones de demanda)
f(xf
1 , xf
2 ) < g(xf
1 , xf
2 ) ⇒ y < g(xf
1 , xf
2 ).
Por lo tanto, de emplear los factores que se demandan con f, utilizando g se produce m´as producto
que el requerido. Como g(xg
1, xg
2) = y, se concluye que
g(xg
1, xg
2) < g(xf
1 , xf
2 ).
Por otro lado, como el costo es creciente en la cantidad de producto, es directo que
Cg(w, y) ≤ Cg(w, g(xf
1 , xf
2 )), (56)
pero, ya que Cg(w, g(xf
1 , xf
2 )) es lo m´as barato que se puede producir g(xf
1 , xf
2 )), se concluye que
Cg(w, g(xf
1 , xf
2 )) ≤ w1 · xf
1 + w2 · xf
2 . (57)
Combinando (56) y (57), y recordando que Cf (w, y) = w1 · xf
1 + w2 · xf
2 se concluye lo que quer´ıamos
demostrar.
Una manera m´as directa para ver lo anterior: si el costo con la tecnolog´ıa m´as eficiente es mayor
que aquel que se obtiene con la tecnolog´ıa menos eficiente, entonces para el primer caso se pueden
ocupar los mismos factores que se utilizan en el segundo, y “botar” la producci´on restante; con ello, la
menos se igualar´ıan los costos entre ambas opciones.
Ejemplo 6.7 Supongamos que una firma tiene dos plantas para producir, cada una de ellas con costos
C1(w, y) y C2(w, y) respectivamente. Supongamos adem´as que para todo y se tiene que
C1(w, y) < C2(w, y),
es decir, que la planta uno es m´as eficiente que la planta dos. A la firma le piden fabricar y0 unidades
del producto. ¿C´omo las har´a? La primera tentaci´on es afirmar que lo har´a s´olo ocupando la planta
uno (m’´as eficiente). Esto no necesariamente es cierto. En efecto, supongamos que para producir la y0
unidades requeridas, y1 las fabrica con la planta uno y y2 con la planta dos, de modo que y1 + y2 = y0.
En tal caso, el costo en que incurre es C1(w, y1) + C2(w, y2). Por lo tanto, su problema es escoger la
combinaci´on de producciones que le permitan minimizar dicho valor, es decir, resolver el problema
min
y1,y2
C1(w, y1) + C2(w, y2)
s.a y1 + y2 = y0.
(58)
La soluci´on de (58) no necesariamente es y1 = y0, y2 = 0. De hecho, internalizando la restricci´on
en la funci´on objetivo, el problema (58) es equivalente a
min
y1
C1(w, y1) + C2(w, y0 − y1).
Derivando lo anterior c.r a y1 y aplicando regla de la cadena, en el ´optimo se tiene que
CMg1(y1) − CMg2(y0 − y1) = 0 ⇔ CMg1(y1) = CMg2(y2),
es decir, que el ´optimo se tiene en niveles de producci´on donde se igualan los costos marginales de
ambas plantas.
107

108. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
6.4.2 Costos y rendimientos de escala
Cuando la firma tiene rendimientos de escala constantes51
, los costos de la firma aumentan en forma
proporcional con las cantidades de output requeridas, es decir, C(w, t · y) = t · C(w, y), o, en forma
equivalente, C(w, y) = y · C(w, 1). En efecto, hay dos razones para lo anterior. Matem´aticamente,
se desprende de las propiedades del problema de optimizaci´on que define los costos. As´ı, sea t > 0,
entonces para calcular C(w, t · y) se debe resolver el problema (ilustramos con dos inputs):
min {w1 · x1 + w2 · x2}
s.a f(x1, x2) = t · y.
Ahora bien, f(x1, x2) = t · y es equivalente a f x1
t , x2
t = y. Si definimos ˜xi = xi
t , con i = 1, 2, se
tiene que xi = t · ˜xi y luego el problema anterior se puede reescribir como:
min {w1 · t · ˜x1 + w2 · t · ˜x2}
s.a f(˜x1, ˜x2) = y,
es decir,
t · min {w1 · ˜x1 + w2 · ˜x2}
s.a f(˜x1, ˜x2) = y,
lo que equivale a decir que C(w, t · y) = t · C(w, y).
Econ´omicamente, se tiene que al aumentar en forma proporcional los factores (digamos por un
factor 2 para ilustrar), la producci´on aumenta en la misma proporci´on. Luego, si en el proceso inicial
ten´ıamos costos C(w, y), al duplicar los inputs se puede replicar exactamente lo que antes estaba
haciendo, luego los costos deben aumentar al doble, es decir, C(w, 2 · y) = 2 · C(w, y) como ya se hab´ıa
visto.
Si ahora hay rendimientos crecientes a escala en la producci´on, al duplicar los inputs m´as que se
duplica la producci´on. Luego, para producir el doble de producto se requiere menos del doble de inputs
y por lo tanto, los costos de producir el doble son menores que el doble de los costos de producir la
cantidad inicial, es decir: C(w, 2 · y) ≤ 2 · C(w, y). En t´erminos generales, en este caso se tiene que los
costos verifican la siguiente propiedad:
C(w, t · y) ≤ t · C(w, y), ∀t > 1.
En forma an´aloga podemos deducir que cuando existen rendimientos decrecientes a escala en la
producci´on se tiene que:
C(w, t · y) ≥ t · C(w, y), ∀t > 1.
La siguiente Figura 50 ilustra lo anterior:
51Recordemos que una tecnolog´ıa f tiene rendimientos a escala constantes, crecientes o decrecientes si f(tx) es igual,
mayor o menor que t · f(x) respectivamente, con t > 1.
108

109. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 50: Costos y Rendimientos de Escala
C
y
Decrecientes
Constantes
Crecientes
En resumen, si la tecnolog´ıa de producci´on tiene rendimientos constantes de escala, los costos son
lineales en el producto; si hay rendimientos crecientes en la producci´on, los costos se comportan
como si tuvieran rendimientos decrecientes a escala en el producto. Finalmente, si la f.d.p tiene
rendimientos decrecientes a escala, los costos son como si tuvieran rendimientos crecientes en
el nivel de producto. Ahora bien, como se ha detallado para las f.d.p, el hecho que haya rendimientos
crecientes corresponde a que la funci´on es convexa, mientras que retornos decrecientes corresponde a
su concavidad. Luego, funciones de producci´on convexas tienen asociados costos c´oncavos
en el producto, mientras que funciones de producci´on c´oncavas tiene asociados costos
convexos.
Ahora bien, si los costos son convexos en las cantidades, entonces sabemos que la derivada re-
spectiva es creciente (si son c´oncavos, la derivada es decreciente). Luego, hemos probado finalmente
que si la funci´on de producci´on presenta retornos decrecientes a escala, entonces los costos
marginales asociados son crecientes, mientras que si la funci´on de producci´on presenta rendimien-
tos de crecientes de escala, los costos marginales son decrecientes. Cuando la f.d.p presenta retornos
constantes a escala, los costos marginales son constantes.
Respecto de los costos medios, es directo probar que si la f.d.p presenta retornos decrecientes a
escala, entonces el correspondiente costo medio es creciente (es creciente si la f.d.p tiene retornos
crecientes a escala). Lo indicado es directo de la concavidad - convexidad de los costos seg´un el caso.
Ejemplo 6.8 Supongamos que f : R2
+ → R es homog´enea de grado k ∈ N. Dados precios w1, w2 y
nivel de producci´on y, el problema de costos es
min {w1 · x1 + w2 · x2}
s.a f(x1, x2) = y.
Si f(x1, x2) = y, entonces 1
y f(x1, x2) = 1. Pero f es homog´enea de grado k, es decir f(tx1, tx2) =
tk
f(x1, x2). Tomando entonces t = 1
y1/k , se tiene que
1
y
f(x1, x2) = f
x1
y1/k
,
x2
y1/k
,
y por lo tanto, el problema de costos asociado a f corresponde a
min {w1 · x1 + w2 · x2}
s.a f x1
y1/k , x2
y1/k = 1.
(59)
Haciendo el cambio de variables
109

110. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
zi =
xi
y1/k
, i = 1, 2,
el problema (60) es equivalente a
min y1/k
· {w1 · z1 + w2 · z2}
s.a f (z1, z2) = 1.
(60)
Como la constante y1/k
no altera la soluci´on del problema (s´ı su valor), para encontrar el costo
seg´un el problema (60) basta con resolver el problema
min {w1 · z1 + w2 · z2}
s.a f (z1, z2) = 1
(61)
y multiplicar el valor de la funci´on objetivo por y1/k
. Puesto que el valor del problema (61) es C(w, 1),
se tiene finalmente que
C(w, y) = y1/k
· C(w, 1).
Notemos que C(w, 1) no depende de las cantidades, pero si obviamente de los precios.
Ciando f(x1, x2) = Axα
1 · xβ
2 , con A, α, β > 0, del Ejemplo 6.1, tenemos que
C(w, y) = γ · y
1
α+β .
En este caso, k = α + β y obviamente se cumple lo expuesto.
Ejemplo 6.9 Costos de funciones de producci´on homot´eticas
Una funci´on de producci´on f : R → R es homot´etica si es la composici´on de una funci´on
homog´enea de grado uno con una estrictamente creciente, es decir, si existe una funci´on g :
R2
+ → R homog´enea de grado uno y φ : R → R estrictamente creciente tal que
f(x1, x2) = φ(g(x1, x2)).
En este caso, el problema de costos con la f.d.p f es
min {w1 · x1 + w2 · x2}
s.a f(x1, x2) = y,
que es equivalente a
min {w1 · x1 + w2 · x2}
s.a φ(g(x1, x2)) = y,
.
Como φ es estrictamente creciente, se puede asumir invertible, con inversa denotada por φ−1
.
Luego, el problema de costos asociado a f corresponde a
min {w1 · x1 + w2 · x2}
s.a g(x1, x2) = φ−1
(y).
.
Ahora bien, como g es homog´enea de grado uno, es decir, presenta retornos constantes a escala,
el costo correspondiente es lineal en la cantidad de producto, que en este caso es ψ−1
(y). Luego, el
costo asociado a f necesariamente es una expresi´on lineal es ψ−1
(y), con una constante que depende
de los precios. En definitiva, el costo asociado a una f.d.p homot´etica es de la forma
Cf (w, y) = θ(w) · ψ−1
(y),
110

111. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
es decir, separable en el producto de dos funciones, una de ellas dependiendo s´olo de los precios y otra
dependiendo s´olo de las cantidades. Siguiendo un argumento similar, este resultado de separabilidad se
puede extender directamente para funciones de producci´on que son la composici´on de una homog´enea
de grado k ∈ N y una estrictamente creciente (Ejercicio).
6.4.3 Costos y precios de los factores
Para realizar nuestro an´alisis, supongamos en primer lugar que todos los precios de los factores aumen-
tan en una proporci´on fija, digamos t > 0, de modo que los precios finales de los factores es t · wi para
el factor xi. De esta manera, el nuevo costo es C(t · w, y), que se construye a partir de la soluci´on del
problema:
min {(t · w1) · x1 + (t · w2) · x2}
s.a f(x1, x2) = y,
es decir,
t · min {·w1 · x1 + ·w2 · x2}
s.a f(x1, x2) = y,
que es equivalente a t · C(w, y). De esta manera, concluimos que:
C(t · w, y) = t · C(w, y), ∀t > 0.
Esta ´ultima propiedad nos dice que la funci´on de costos es homog´enea de grado 1 en los precios de
los factores52
.
Por otro lado, si aumentamos los precios de los factores, no necesariamente en la misma pro-
porci´on como en el caso anterior, entonces veremos que los costos deben aumentar, es decir, si
wi ≤ ˜wi, ∀i = 1, ..., n, entonces C(w, y) ≤ C( ˜w, y). En efecto, sean x(w, y) y x( ˜w, y) las deman-
das de factores asociadas a los respectivos precios de factores w = (wi) y ˜w = ( ˜wi) respectivamente.
Entonces, C(w, y) =
n
i=1
wi ·xi(w, y) ≤
n
i=1
wi ·xi( ˜w, y) (esto por minimizaci´on de costos); por otro lado,
puesto que wi ≤ ˜wi, se tiene que
n
i=1
wi · xi( ˜w, y) ≤
n
i=1
˜wi · xi( ˜w, y) = C( ˜w, y). En consecuencia, mi-
rando los extremos de las desigualdades anteriores, se tiene que C(w, y) ≤ C( ˜w, y). En otras palabras,
los costos deben ser crecientes en los precios de los inputs.
Para seguir con este an´alisis, en lo que sigue vamos a probar que las funciones de costos son
c´oncavas en los precios de los factores, es decir, que dados precios w = (wi) y ˜w = ( ˜wi), y dado
λ ∈ [0, 1], entonces
C(λ · w + (1 − λ) · ˜w, y) ≥ λ · C(w, y) + (1 − λ) · C( ˜w, y).
Dados w y ˜w como antes, notemos por wλ
= λ · w + (1 − λ) · ˜w, es decir, wλ
i = λ · wi + (1 − λ) · ˜wi.
Entonces
C(wλ
, y) =
i
wλ
i · xi(wλ
, y) =
i
(λ · wi + (1 − λ) · ˜wi) · xi(wλ
, y).
Luego,
C(wλ
, y) = λ ·
i
wi · xi(wλ
, y) + (1 − λ) ·
i
˜wi · xi(wλ
, y).
Pero, por definici´on de funci´on de costos,
i
wi · xi(wλ
, y) ≥ C(w, y), y adem´as
i
˜wi · xi(wλ
, y) ≥
C( ˜w, y); en consecuencia, reemplazando estas desigualdades en la expresi´on anterior, se tiene que,
C(λ · w + (1 − λ) · ˜w, y) ≥ λ · C(w, y) + (1 − λ) · C( ˜w, y),
52Recordemos que una funci´on g : Rn → R es homog´enea de grado k > 0 si para todo t > 0 se tiene que g(t·x) = tk ·g(x)
111

112. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
que es lo indicado.
Para finalizar este an´alisis del costo respecto del precio de los factores, veamos ahora las derivadas
del costo respecto de dichos par´ametros. La propiedad que se deduce es conocida como el Lema de
Shephard, la cual establece que, bajo supuestos generales, la demanda por factores corresponde al
cambio marginal de los costos ante variaciones en el precio del factor respectivo, es decir, dado un nivel
de precios de factores w∗
= (w∗
i ), entonces,
xi(w∗
, y) =
∂C(w∗
, y)
∂wi
.
En efecto, dado w∗
∈ Rn
, consideremos la funci´on g : Rn
→ R tal que, g(w) = C(w, y) −
i
wi ·
xi(w∗
, y). Notar que g(w) ≤ 0, ∀w ∈ Rn53
y que g(w∗
) = 0. Luego, g(·) tiene un m´aximo en
w = w∗
y por lo tanto, utilizando las condiciones de primer orden se deduce que ∂g(w∗
,y)
∂wi
= 0, es decir,
∂C(w∗
,y)
∂wi
− xi(w∗
, y) = 0, con lo cual se obtiene el resultado.
Veamos otra demostraci´on del lema de Shephard54
. Para ello derivemos directamente la funci´on de
costos c.r. a wi. De esta manera, dado j ∈ {1, ..., n}, puesto que,
C(w, y) =
i
wi · xi(w, y) =
n
i=j
wi · xi(w, y) + wj · xj(w, y), luego, derivando con respecto a wj se
tiene que,
∂C(w, y)
∂wj
= +xj(w, y) + wj ·
∂xj(w, y)
∂wj
n
i=j
wi ·
∂xi(w, y)
∂wj
,
es decir,
∂C(w, y)
∂wj
=
i
wi ·
∂xi(w, y)
∂wi
+ xj(w, y) (62)
Por otro lado, de las condiciones de optimalidad del problema de costos sabemos que para todo
i ∈ {1, ..., n} se verifica que:
wi + λ ·
∂f(x(w, y))
∂xi
= 0 =⇒
∂f(x(w, y))
∂xi
=
−wi
λ
(63)
Finalmente, dado que f(x(w, y)) = y se tiene que ∂f(x(w,y))
∂wj
= 0, es decir,
i
∂f(x(w,y))
∂xi
· ∂xi(w,y)
∂wj
= 0.
En consecuencia, reemplazando el resultado de (63) en lo anterior se obtiene que
i
−wi
λ · ∂xi(w,y)
∂wj
= 0,
es decir,
i
wi ·
∂xi(w, y)
∂wj
= 0.
Aplicando esto en la ecuaci´on (62) se concluye ∂C(w,y)
wj
= xj(w, y).
53La justificaci´on de aquella como ejercicio para el lector
54 ´Esta es un poco m´as t´ecnica, pero menos rebuscada (astuta) que la anterior. Es ´util para recordar algo de c´alculo y
las condiciones de optimalidad
112

113. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Nota. 6.5 Veamos finalmente otra demostraci´on que es directa. Puesto que la funci´on de costos es
homog´enea de grado 1 en los precios de los factores55
se tiene que, C(w, y) =
i
wi · ∂C(w,y)
wi
56
y por lo
tanto, ya que C(w, y) =
i
wi · xi(w, y), se concluye directamente que ∂C(w,y)
wi
= xi(w, y).
En resumen, hemos demostrado la siguiente proposici´on.
Proposici´on 6.1 Con respecto a los precios de los factores, las funciones de costos son homog´eneas
de grado 1, crecientes y c´oncavas. Adem´as se cumple el Lema de Shephard, es decir,
∂C(w, y)
∂wi
= xi(w, y), i = 1, 2.
Nota. 6.6 Una consecuencia importante de la Proposici´on (6.1) es que no cualquier funci´on que
dependa de w1, w2 e y (precios y cantidades) corresponde a una funci´on de costos. Para
que una relaci´on entre precios y cantidades sea una funci´on de costos, debe ser (i) creciente en el nivel
de producci´on, y (ii) cumplir lo indicado en la proposici´on respecto de los precios (homogeneidad y
c´oncavidad). Por ejemplo, la relaci´on
θ(w1, w2, y) = w2
1 · w2 · y2
,
no puede ser una funci´on de costos, ya que no es homog´enea de grado uno en los precios (ni c´oncava).
¿Qu´e significa que θ(w1, w2, y) no puede ser una funci´on de costos? Que no hay una funci´on de
producci´on (creciente por componentes y que en cero vale cero) tal que al resolver el problema de
minimizaci´on del costo sujeto a restricci´on de producci´on, se obtenga θ(w1, w2, y) como el valor del
problema.
Nota. 6.7 Del Lema de Shephard, es directo es que el costo es creciente con los precios, pues
su respectiva derivada es positiva (es igual a la demanda). Por otro lado, del mismo Lema, conocidos
los costos en funci´on de los precios, resolviendo el sistema de ecuaciones para eliminar los precios del
mismo, se puede obtener la funci´on de producci´on que induce al costo en cuesti´on. Esto es
muy relevante pues, en definitiva, disponer de los costos como funci´on de los precios es equivalente a
conocer la funci´on de producci´on de la firma.
Ejemplo 6.10 Suponga que todos los factores son variables y que el costo medio de una firma es
CMe(w, y) = wα
1 · wβ
2 , con α, β > 0. Dado esto, la idea es encontrar la demanda Marshaliana
de los factores. Para ello, notemos, en primer lugar, que la funci´on de costos es
C(w, y) = y · wα
1 · wβ
2 .
Como es homog´enea de grado 1 en los precios, se debe cumplir que
C(λ · w, y) = λC(w, y) ⇔ tα+β
· y · wα
1 · wβ
2 = t · y · wα
1 · wβ
2 .
Luego, α + β = 1 y por lo tanto β = 1 − α. De esta manera, la funci´on de costos debe ser de la forma
C(w, y) = y · wα
1 · w1−α
2 .
Para responder a la pregunta, encontremos la f.d.p que define al costo anterior y, dado esto, re-
solver el problema de maximizaci´on de beneficio para determinar las funciones de demanda. Para
55Es decir, C(t · w, y) = t · C(w, y), ∀t > 0.
56Recordemos que si f : Rn → R es homog´enea de grado 1 entonces
f(x) =
i
xi ·
∂f(x)
∂xi
.
113

114. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
encontrar la f.d.p, por Shephard sabemos que ∂C(w,y)
∂wi
= xi(w, y), i = 1, 2. As´ı, el sistema de ecuaciones
que resulta es
∂C(w, y)
∂w1
= y · α · wα−1
1 w1−α
2 = x1(w, y). (64)
∂C(w, y)
∂w2
= y · (1 − α) · wα
1 w−α
2 = x2(w, y).
Del cuociente entre las derivadas anteriores, queda
α
1 − α
·
w2
w1
=
x1(w, y)
x2(w, y)
.
La idea es despejar “y” en funci´on de (x1(w, y), x2(w, y)). De lo anterior obtenemos w2 en funci´on
de w1
w2 =
1 − α
α
·
x1
x2
· w1,
reemplazando esto en (64) queda,
y · α · wα−1
1 ·
x1
x2
1−α
·
1 − α
α
1−α
· w1−α
1 = x1,
es decir,
y =
1
α
·
α
1 − α
α
· xα
1 · x1−α
2 ,
que es la funci´on de producci´on buscada. Con esta f.d.p podemos encontrar las demandas solicitadas
al resolver el problema
max
x1,x2
p ·
1
α
·
α
1 − α
α
· xα
1 · x1−α
2 − w1x1 − w2x2.
6.4.4 Costos y cantidades de producto.
En primer lugar, ya sabemos que los costos deben ser crecientes en las cantidades de producto: producir
m´as cuesta m´as, pues de lo contrario ser´ıamos ineficientes. Esto se resumen, se tiene directamente la
siguiente proposici´on.
Proposici´on 6.2 La funci´on de costos es creciente en el nivel de producto, y por lo tanto,
∂C(w, y)
∂y
≥ 0.
(costo marginal positivo.)
Veamos ahora la relaci´on que existe entre los costos medios y marginales ante variaciones en el
producto. Para esto, aplicando la regla de cuociente, evaluemos la derivada del costo medio c.r. a la
cantidad:
∂CMe(w, y)
∂y
=
∂ C(w,y)
y
∂y
=
CMg(w, y) · y − C(w, y)
y2
.
De esto se deduce que,
∂CMe(w, y)
∂y
> 0 ⇔ CMg(w, y) · y − C(w, y) > 0,
114

115. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
es decir, cuando CMg(w, y) > CMe(w, y). As´ı, los costos medios son crecientes en el producto
toda vez que los costos marginales son mayores que los costos medios57
. En forma an´aloga,
los costos medios son decrecientes en el producto toda vez que los costos marginales son
menores que los costos medios.
De hecho, en el nivel de producci´on que lleva al m´ınimo costo medio, digamos y∗
, se tiene que los
costos marginales son iguales a los costos medios, es decir, CMe(w, y∗
) = CMg(w, y∗
).
La Figura 51 ilustra lo anterior:
Figure 51: Costo Medio M´ınimo
y∗
: punto de CMe m´ınimo
CMe
CMg
6.5 Geometr´ıa de costos
El an´alisis gr´afico en que estamos empe˜nados consiste en estudiar las curvas de costos en funci´on de
los niveles de producci´on, con el fin posterior de estudiar la oferta de la firma en competencia perfecta.
En primera instancia, debemos recordar que, dados los precios de los factores, el costo de largo
plazo siempre est´a por debajo de los costos de corto plazo, cualquiera sea este. Esto viene
directamente del problema de optimizaci´on que define la funci´on de costo, ya que en el problema de
corto plazo la firma tiene menos variables de decisi´on que le permitan mejorar su soluci´on, por lo cual
el conjunto de restricciones es m´as peque˜no, y por ende su valor es peor58
.
Ejemplo 6.11 Supongamos que la funci´on de producci´on es,
f(x1, x2) = xa
1 · x
(1−a)
2 ,
con a ∈]0, 1[. En este caso, el costo de producir y, dados los precios de factores w1, w2, es
C(w, y) = a−a
(1 − a)a−1
wa
1 w1−a
2 y,
57Recordemos que una condici´on para que una funci´on sea creciente en un intervalo es que su primera derivada debe
ser positiva en el mismo.
58Dado un problema de optimizaci´on, digamos
opt f(x)
s.a x ∈ A,
en la medida que el conjunto factible (A en nuestro caso) es m´as grande, entonces la soluci´on es mejor. A modo de
ejemplo, si opt = min entonces, sea xA la soluci´on del problema anterior con el conjunto factible A. Si este conjunto es
reemplazado por otro, digamos B, de modo que A ⊆ B, entonces f(xB) ≤ f(xA). En caso de considerar opt = max,
entonces la conclusi´on es la contraria.
115

116. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
mientras que las demandas de factores son
x1(w, y) =
aw2
(1 − a)w1
(1−a)
, x2(w, y) =
aw2
(1 − a)w1
−a
y.
Si fijamos x2 = ¯x2 se tiene que el problema de costos es,
min {w1 · x1 + w2 · ¯x2}
s.a xa
1(¯x2)
(1−a)
= y,
de lo cual se tiene que
x1(w1, w2, ¯x2, y) =
y
1
a
(¯x2)
(1−a)
a
.
De esta manera, el costo de corto plazo es:
Ccp(w, y) =
w1
(¯x2)
(1−a)
a
· y
1
a + w2 ¯x2.
Con esto queda definida una familia de curvas de costos de corto plazo, siendo el par´ametro
que las define el valor de la cantidad fija del factor considerado (¯x2). Gr´aficamente la situaci´on es
como sigue:
Figure 52: Costos en el Corto Plazo
CF3
CF2
CF1
(1)
(2)
(3)
CCP
y
En la Figura 52, cada una de las curvas de costos de corto plazo est´a definida por cantidades
distintas de factor fijo: para la curva (1) se tiene un valor ¯x2 = ¯x2,1, para la curva (2) dicho valor ser´a
¯x2 = ¯x2,2, ¯x2,2 > ¯x2,1, etc. Con esto queda adem´as definido un valor de costo fijo (CF1, CF2, CF3)
que nos da la partida de la curva de costo de corto plazo en cero.
La afirmaci´on de que el costo de largo plazo est´a por debajo de aquellos de corto plazo corresponde
a afirmar que para cualquiera que sea el nivel de factor fijo que define el costo de corto
plazo, la curva correspondiente est´a por encima de aquella de largo plazo.
Sin embargo, note que dado ¯x2, entonces existir´a alg´un nivel de producci´on, digamos ¯y, tal que
para dicho valor se tiene que la cantidad ´optima que la firma demandar´ıa en el largo plazo ser´a igual
a aquella que tiene prefijada en el corto plazo. Es decir, para alg´un ¯y se cumplir´a que:
116

117. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
x1(w, ¯y) = x1(w, ¯x2, ¯y), x2(w, ¯y) = ¯x2,
de tal forma que en dicho nivel de producto se igualan los costos de largo y corto plazo.
Ejemplo 6.12 Del ejemplo anterior, como x1(w, y) = y aw2
(1−a)w1
(1−a)
, mientras que x2(w, y) =
y aw2
(1−a)w1
−a
, la cantidad de producto ¯y que iguala los costos de largo y corto plazo est´a definida por:
Demanda de largo plazo en ¯y = Demanda de corto plazo en ¯y,
es decir,
x2(w, y) =
aw2
(1 − a)w1
−a
¯y = ¯x2.
Con esto se obtiene que,
¯y =
¯x2
aw2
(1−a)w1
−a .
Gr´aficamente, la situaci´on para este problema es como sigue59
:
Figure 53: Costos en el Corto y Largo Plazo
C
CF = w2 ¯x2
¯y y
C
CCP
En ¯y se igualan los costos de corto y largo plazo. De hecho, como la curva de costo de largo plazo
est´a siempre por encima de aquella de corto plazo, en este punto ¯y donde se igualan, ambas curvas
deben ser tangentes.
El punto de intersecci´on ¯y del ejemplo anterior obviamente depende de la cantidad de factor fijo
que hemos considerado (en el caso anterior, ¯x2). Para otra curva de corto plazo, la intersecci´on con
la curva de largo plazo se dar´a en otro punto. De esta manera, los costos de largo y corto plazo
son tangentes en al menos un punto y la curva de costo de largo plazo est´a por debajo de
todas ellas. La Figura 54 ilustra lo expuesto.
59Recuerde que el costo de largo plazo es lineal mientras que aquel de corto plazo es una exponencial.
117

118. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 54: Costos de Largo Plazo como la envolvente de Costos de Corto Plazo
C CLP
C4
CPC3
CPC2
CPC1
CP
y
Lo anterior corresponde a deice que la curva de costos de largo plazo es la envolvente de las
curvas de costos de corto plazo. La misma propiedad se tiene entre costos medios de corto y largo
plazo. En efecto, si dado el nivel de producci´on y, ya sabemos que C(y) ≤ Ccp(y), luego,
C(y)
y
≤
Ccp(y)
y
⇔ CMe(y) ≤ CMecp(y).
Por otro lado, como existe un nivel ¯y tal que C(¯y) = Ccp(¯y), para ese nivel de producci´on se tiene
que CMe(¯y) = CMecp(¯y). En resumen, los costos medios de largo plazo est´an por debajo de los costos
medios de corto plazo y son tangentes en un punto. Gr´aficamente la situaci´on es como sigue.
Figure 55: Costos Medios de Corto y Largo Plazo
C
y
CMe1
CP
CMe2
CP
CMe3
CP
CMe4
CP
CMe5
CP
CMeLP
Cada curva de costos medios de corto plazo viene de una curva de costo de corto plazo, la cual,
como hemos dicho, depende del nivel de factor fijo.
Nota. 6.8 En la figura anterior hemos supuesto que las curvas de costos medios de corto y largo
plazo tienen forma de U, es decir, son convexas con una rama creciente (derecha, altas cantidades
de producto) y otra decreciente (izquierda, bajas cantidades de producto). En rigor este supuesto no
es necesario para el an´alisis que viene: es s´olo un supuesto simplificatorio que nos ayudar´a a ilustrar
algunas ideas. Este supuesto se puede interpretar diciendo que para niveles bajos de producci´on, la
118

119. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
firma presenta rendimientos crecientes de escala en la producci´on, mientras que para niveles altos de
producto, la firma tiene rendimientos decrecientes a escala (corto y largo plazo).
Para terminar con este an´alisis gr´afico, consideremos ahora los costos marginales. Ya sabemos que,
tanto en el corto como en el largo plazo, los costos marginales cruzan a los costos medios por
su m´ınimo. Gr´aficamente es como sigue.
Figure 56: Costos Marginales de Corto y Largo Plazo
C
y
CMg1
CP
CMg2
CP CMg3
CP
CMg4
CP
CMg5
CP
CMgLP
En la Figura 56, los costos marginales de corto plazo se han ilustrado con l´ıneas punteadas y el
costo marginal de largo plazo con l´ınea m´as gruesa.
A partir de todo lo anterior, note que,
a.- La curva de costos medios de largo plazo no corta necesariamente a la curva de costos medios de
corto plazo en su m´ınimo.
b.- La curva de costos marginales de largo plazo no tiene a priori alguna relaci´on con aquellas de
corto plazo, en el sentido de estar por abajo o por arriba de estas.
7 Oferta de la firma y la industria en competencia perfecta
7.1 Introducci´on
El objetivo de este cap´ıtulo es analizar el comportamiento de una firma en un contexto de mercado,
es decir, donde existen interacciones con otras firmas que producen el mismo producto y, en forma
complementaria, con demandantes (consumidores) de los mismos (puede haber adem´as otras firmas
que producen productos similares, o bien complementos, etc.).
Hasta el momento, s´olo nos hemos preocupado de analizar el comportamiento de una firma de
manera autoreferente, es decir, en funci´on de sus propias caracter´ısticas, resumidas sea por su f.d.p
o su funci´on de costo, obviando eventuales interacciones con otros agentes. Con este enfoque, se ha
hecho abstracci´on que, en general, el desempe˜no de las mismas es funcional al contexto econ´omico
donde se desenvuelven, donde en particular otras firmas compiten por la demanda de los consumidores
del producto que elaboran. Este contexto de interdependencia y de relaciones entre diversos agentes
(oferentes y demandantes de producto) define lo que llamaremos el mercado del producto.
Por el lado de los consumidores, en lo que sigue asumiremos que todos ellos ser´an representados
(digamos, resumidos) por una curva de demanda dada ex´ogenamente. Esta curva relaciona el precio
del producto con la cantidad del mismo, cantidad que dichos agentes estar´ıan dispuestos a comprar al
119

120. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
precio indicado. Asumiremos que tal curva tiene pendiente negativa, es decir, que mientras mayor es
el precio del bien ofrecido, menor es la demanda que se tiene60
.
C´omo act´uan las firmas en este nuevo marco es un problema central en econom´ıa. La forma de
modelar tal situaci´on, y su nivel de complejidad y realismo, depender´an de muchos factores. Por
un lado, la manera de abordar el enfoque en una situaci´on de corto o largo plazo es completamente
distinto. Por otro lado, dependiendo del grado de poder de mercado que cada firma tenga, la situaci´on
puede cambiar radicalmente. Si por ejemplo, hay s´olo una firma que provee el bien bajo an´alisis, la
demanda que ella enfrenta estar´ıa simplemente definida por la curva de demanda de mercado del bien
en cuesti´on. Por otro lado, si la firma compite otras firmas, actuando como tomadora de precios,
al cobrar m´as que el precio de equilibrio de mercado, la demanda que observar´ıa es cero, situaci´on
completamente distinta a la que se hay de tener el poder de fijar los precios. En caso que la firma
act´ua como tomadora de precios, sus decisiones de producci´on dependen, adem´as del comportamiento
de los consumidores y de sus propias caracter´ısticas, de las decisiones de las otras firmas al respecto.
En definitiva, lo que nos ocupar´a en esta secci´on estudiar algunos mecanismos por medio de los
cuales se fijan los precios del producto, que a su vez permite determinar la cantidad de ´este que se
vende, los beneficios de cada firma y sus producciones individuales. Parte de lo relevante de este
an´alisis es entender que tal soluci´on depende de c´omo las firmas se vinculan entre s´ı, y con la demanda.
Al respecto, los modelos m´as simples a considerar son cuando (i) las firmas act´uan en competencia
perfecta, es decir, son tomadoras de precio y, en el otro extremo, cuando son (ii) monopolio (es decir,
oferentes ´unicos que fijan los precios de venta del producto).
7.2 Modelo de equilibrio parcial en competencia perfecta
Diremos que un mercado es de competencia perfecta, o mercado competitivo, si ning´un oferente
(firma) ni demandante (consumidor) tiene, individualmente, influencia sobre el precio del bien: los
precios finales de los productos son obtenidos de la interacci´on conjunta de todos los agentes econ´omicos
(productores y consumidores), sin que exista una influencia singular de alguno de ellos sobre el valor
resultante. Es por esto que, tanto las firmas como los consumidores, son llamados agentes precio-
aceptantes.
7.2.1 La demanda de mercado
La demanda de marcado por alg´un bien es la suma de las demandas individuales por el mismo, la
que, como sabemos, se determina a partir de la soluci´on del problema de maximizaci´on de utilidad
sujeta a restricci´on presupuestaria. Suponiendo que hay m ∈ N individuos en la econom´ıa, cada uno
de ellos con funci´on de utilidad ui, i = 1, . . . , m e ingresos Ri, i = 1, . . . , m, el problema del individuo
i = 1, . . . , m (dos bienes) es
max
x1,x2
ui(x1, x2)
s.a p1 · x1 + p2 · x2 = Ri,
y la correspondiente demanda Marshaliana por el bien uno y dos es notada como
xi1(p1, p2, Ri), xi2(p1, p2, Ri), i = 1, . . . , m.
En lo que sigue, supongamos que nos interesa el bien uno y denotemos gen´ericamente su precio por
p. El precio del bien dos est´a fijo, como as´ı las rentas de los agentes. En tal caso, ceteris paribus, la
demanda de mercado por el bien bajo an´alisis uno
X(p) =
m
i=1
xi1(p, p2, Ri).
60En otras palabras, estamos asumiendo que el bien ofrecido por la firmas no es un bien de Giffen.
120

121. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Bajo el supuesto que el bien uno no es Giffen, la demanda de mercado X(p) tiene pendiente
negativa. La Figura 57 ilustra una curva de demanda usual.
Figure 57: Curva de Demanda de Mercado
p
p∗
y∗ y
En la figura anterior, dado un precio del producto, digamos p∗
, la demanda de mercado es y∗
=
X(p∗
). Como sabemos, esta cantidad de producto es la que estar´ıan dispuestos a comprar los
consumidores si el precio fuera p∗
.
Evidentemente la demanda de mercado por cierto bien depende de muchos factores. Al respecto,
en todo lo que sigue supondremos que el precio del bien dos est´a fijo, siendo nuestro inter´es el
efecto que el precio propio tiene sobre la demanda. Notar adem´as que si el n´umero de agentes crece,
entonces la curva de demanda del bien bajo an´alisis se desplaza hacia la derecha (movimiento de
la curva). Lo mismo ocurre si el bien es normal y se incrementan los ingresos de los individuos (por
ejemplo, a trav´es de un subsidio a la renta). En este caso, obviamente impuestos al ingreso desplazan
la curva de demanda hacia la izquierda.
7.2.2 Oferta de la firma y la industria
De lo expuesto en la secci´on previa, sabemos que una firma puede ser caracterizada sea a trav´es de
funci´on de producci´on, o bien por medio de su funci´on de costo. Si conocemos la funci´on de producci´on
(f), entonces, condicional a los precios, el problema de optimizaci´on que permite encontrar la oferta
Marshaliana de la firma es
max
x1,x2
{pf(x1, x2) − w1x1 − w2x2}. (65)
La soluci´on del problema (65) (demanda Marshaliana por factores) se denota como
xi(p, w1, w2), i = 1, 2,
y con ella, la oferta de la firma es
y(p, w1, w2) = f(x1(p, w1, w2), x2(p, w1, w2)).
Sin embargo, al disponer de la funci´on de costo puede resultar m´as simple determinar la oferta
de la firma. En efecto, supongamos que C(·) es la funci´on de costo de la firma en comento. Si el precio
del producto es p, entonces si la firma decide producir y unidades de ´este, el beneficio que obtiene es61
61Puesto que los precios de los factores no ser´an una variable de inter´es en el an´alisis que sigue, ser´an omitidos como
argumento de la funci´on de costos.
121

122. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
p · y − C(y).
Por lo tanto, condicional a los precios, la oferta de la firma debe es aquel nivel de producci´on que
maximiza el margen anterior, es decir, aquel que resuelve el siguiente problema de optimizaci´on:
max
y
{p · y − C(y)}. (66)
Aunque parezca obvio, es importante destacar que (65) y (66) son formulaciones equivalentes
del problema de maximizaci´on de beneficios de la firma; as´ı, las soluciones que se obtienen
seg´un ambos esquemas son las mismas. Empleando la f.d.p, primero se obtiene la demanda Marshaliana
y luego la oferta; con el esquema basado en costos, la oferta se obtiene directamente. De ser necesario,
la demanda Marshaliana se obtiene aplicando el lema de Shephard.
El esquema basado en costos es m´as directo que aquel basado en la f.d.p. Por otro lado, en la
pr´actica, los costos pueden ser aproximados seg´un registros contables u otros m´etodos, de modo que,
usualmente, es posible disponer de infomaci´on confiable al respecto. En cambio, la f.d.p puede ser
compleja de determinar. Por estas razones, en todo lo que sigue analizaremos el problema de oferta de
la firma (y la industria) seg´un el enfoque de costos.
Dado p, para determinar la oferta debemos derivar la funci´on objetivo del problema (66) c.r. al
producto; as´ı, la condici´on necesaria de optimalidad es
∂(p · y − C(y))
∂y
= 0 ⇔ p −
∂C(y)
∂y
= 0 ⇔ p = CMg(y),
es decir, que en la oferta de la firma, se debe cumplir que el precio es igual al costo marginal.
Nota. 7.1 M´as general, considerando que el ingreso de la firma es I(p, y) = p · y, la condici´on de
optimalidad del problema de maximizaci´on de beneficio corresponde a que, en el ´optimo, se cumple que
∂I(p, y)
∂y
=
∂C(y)
∂y
,
es decir, la firma ofrece en aquel punto donde el ingreso marginal es igual al costo marginal.
Para el caso de una firma precio-aceptante, el ingreso marginal es igual al precio. Sin embargo, esta
condici´on es m´as general, y aplica a otros contextos como se ver´a m´as adelante.
La condici´on p = CMg(y) es s´olo a la condici´on necesaria de optimalidad de primer orden para de-
terminar la oferta: se requiere una condici´on adicional para cerrar el problema. En efecto, supongamos
que el precio de mercado es p∗
y que, seg´un la regla anterior, la firma ofrece y∗
tal que CMg(y∗
) = p∗
,
es decir,
y∗
= CMg−1
(p∗
) : costo marginal inverso en p∗
. (67)
En tal caso, el beneficio que obtendr´ıa la firma es
π∗
= p∗
· y∗
− C(y∗
).
Ahora bien, considerando que CMe(y∗
) = C(y∗
)
y∗ , re-escribiendo el beneficio, se tiene que
π∗
= p∗
· y∗
− y∗
CM(y∗
) ⇔ π∗
= y∗
· [p∗
− CM(y∗
)].
Si todos los factores son variables, claramente el m´ınimo beneficio que la firma podr´ıa
obtener es cero, pues en el peor caso no produce. Por lo tanto, la oferta ser´a y∗
> 0 seg´un (67)
siempre y cuando se cumpla que π∗
≥ 0, es decir, se cumpla que
p∗
− CMe(y∗
) ≥ 0.
122

123. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Por lo tanto, la oferta es positiva si el precio de mercado (que la firma no controla!) es mayor que el
costo medio de producir dicho nivel de oferta. Caso contrario, si el precio de mercado es menor
que el costo medio de producir el nivel de producto seg´un la regla (67), entonces la oferta es cero.
¿Cu´al es entonces el umbral de precios de mercado a partir del cual la oferta es positiva? Es el valor
del m´ınimo costo medio de la firma. En efecto, supongamos que el precio de mercado es p∗
y que
la firma ofrece y∗
seg´un la regla (67). En tal caso, como sabemos, se cumple que p∗
− CMe(y∗
) ≥ 0.
Sea ahora CMemin ∈ R+ el valor m´ınimo del costo medio62
. Entonces, por definici´on, para todo
nivel de producto y se tiene que CMemin ≤ CMe(y), lo cual implica que
p∗
− CMe(y∗
) ≥ p∗
− CMemin.
Por lo tanto, tenemos garant´ıa de que el beneficio es positivo (mayor o igual a cero) siempre y
cuando
p∗
− CMemin ≥ 0 ⇔ p∗
≥ CMemin,
es decir, cuando el precio de mercado es mayor o igual al costo medio m´ınimo. Todo lo expuesto se
resume en la siguiente expresi´on para la oferta de la firma: dado el precio de mercado p∗
, la oferta de
la firma en un mercado competitivo, denotada por O(p∗
), corresponde a
O(p∗
) =



CMg−1
(p∗
) si p∗
≥ CMemin
0 si p∗
< CMemin
es decir, la curva de oferta de la firma est´a dada por la parte de la curva de costos marginales
que est´a por encima de la curva de costos medios; la oferta es cero si el precio de merado
es menor que el m´ınimo valor del costo medio.
Geom´etricamente es como sigue.
62Recordemos que el costo medio es m´ınimo en el nivel de producto donde el costo medio se iguala al costo marginal,
es decir, en ¯y donde CMg(¯y) = CMe(¯y). As´ı,
CMemin = CMe(¯y).
123

124. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 58: Oferta de la Firma en el Largo Plazo
p∗∗
CMeMIN
¯y y∗∗
CMe
CMg
p∗
En la Figura 58, si el precio de mercado es p∗∗
, la oferta de la firma ser´a y∗∗
tal que CMg(y∗∗
) = p∗∗
,
es decir, y∗∗
= CMg−1
(p∗∗
). Por el contrario, si el precio de mercado es p∗
la oferta de la firma
ser´a cero. Finalmente, si el precio del producto es igual al valor del m´ınimo costo medio, la firma
est´a indecisa en producir cero o la cantidad de producto donde se minimiza el costo medio.
Cuando todos los factores son variables, existen s´olo dos opciones en cuanto a los posibles
beneficios de la firma: que sean cero o que sean estrictamente positivos: el precio umbral que
separa ambas situaciones es ¯p = CMemin. La Figura 59 ilustra lo anterior.
124

125. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 59: Oferta de la Firma
Precio Umbral
¯p
¯y
Costo Medio M´ınimo
CMe
CMg
De haber factores fijos, para determinar la oferta de la firma se sigue el procedimiento anterior.
Sin embargo, a diferencia del caso con todos los factores variables, si la firma ofrece cero, su beneficio
alternativo no es cero, sino que menos el costo fijo, −CF. Luego, dado un precio de mercado p∗
,
para determinar la oferta de la firma debe considerar que:
(a) el nivel de oferta “candidato” debe cumplir con que el costo marginal (de corto plazo) debe ser
igual al precio en cuesti´on (esto igual al caso anterior; condici´on necesaria de optimalidad),
(b) si la firma produce cero, el beneficio que obtiene es −CF. Luego, dado p∗
, ofrecer´a positivo
(digamos y∗
) siempre y cuando el beneficio que obtenga de ello sea mayor o igual a menos el
costo fijo, es decir, se cumpla que
p∗
· y∗
− Ccp(y∗
) ≥ −CF.
Puesto que p∗
· y∗
− CV (y∗
) − CF ≥ −CF ⇔ p∗
· y∗
≥ CV (y∗
), se tiene que la firma ofrece una
cantidad positiva de producto siempre y cuando
p∗
≥
CV (y∗
)
y∗
⇔ p∗
≥ CV Me(y∗
). (68)
Al igual que cuando los factores variables, de la condici´on (68) queda definido un precio umbral
a partir del cual la oferta de la firma es positiva, y bajo el cual es cero. Este precio es simplemente el
valor del m´ınimo costo variable medio, denotado CV Memin. La oferta de la firma en presencia
de factores fijos es entonces
Ocp(p∗
) =



CMg−1
cp (p∗
) si p∗
≥ CV Memin
0 si p∗
< CV Memin
Obviamente la diferencia con el caso donde todos los factores son variables, es que ahora se consid-
eran los costos medios variables y antes era s´olo el costo medio. La Figura 60 ilustra lo anterior:
125

126. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 60: Oferta de la Firma en el Corto Plazo (1)
p∗
¯p
p∗∗
¯y y∗
CV Me
CMeCP
CMgCP
En la Figura, si el precio de mercado es p∗
, la oferta de la firma ser´ıa y∗
de tal forma que p∗
=
CMgcp(y∗
). Si el precio es p∗∗
, la oferta de la firma es cero.
Notemos que aun cuando el precio de mercado es mayor que el precio umbral, CV Memin, habiendo
factores fijos es perfectamente posible que la firma obtenga beneficio negativo a partir de su oferta
positiva. Para ello, basta con que el precio de mercado est´e por debajo del m´ınimo costo medio,
pero sobre el m´ınimo costo variable medio. La Figura 61 es ilustrativa.
126

127. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 61: Oferta de la Firma en el Corto Plazo (2)
p∗
1
p∗
2
p∗
3
p∗
4
y∗
3
CV Me
CMeCP
CMgCP
y∗
2 y∗
1
En la figura, si el precio de mercado es p∗
1, la oferta ser´ıa y∗
1 y el beneficio positivo; si el precio es
p∗
2, la oferta es y∗
2 y el beneficio cero. Si el precio es p∗
3, la oferta ser´ıa y∗
3 y el beneficio negativo.
Si el precio es p∗
4, la oferta ser´ıa cero (y∗
4 = 0) y el beneficio −CF.
Nota. 7.2 Los precios umbral que hemos presentado dependen, obviamente, de cada firma. Es indica-
tivo de cuanto ´esta “puede soportar” ca´ıdas en el precio de mercado, y por tanto, en cierta medida,
del nivel de eficiencia de la firma: mientras m´as bajo el precio umbral, la firma puede “sobrevivir a
mayores ca´ıdas de los precios de mercado”.
Nota. 7.3 En todo lo anterior hemos supuesto que los costos marginales son siempre crecientes, con
lo cual garantizamos que la intersecci´on del costo marginal con los costos medios se da en s´olo un
punto. Sin embargo, si fuera el caso que los costos marginales tuvieran una parte creciente y otra
decreciente, el an´alisis anterior se restringe a considerar s´olo la rama creciente de los mismos. En
efecto, la condici´on de segundo orden de maximizaci´on de beneficio implica que la segunda derivada
del beneficio debe ser negativa, es decir,
∂2
π
∂y2
≤ 0 ⇔
∂2
(p∗
· y − C(y))
∂y2
≤ 0.
Sin embargo,
∂2
(p∗
· y − C(y))
∂y2
= −
∂CMg(y)
∂y
.
Luego, la condici´on de segundo orden implica que, ∂CMg(y)
∂y debe ser positivo, es decir, el costo marginal
creciente. En general, en la mayor´ıa de los problemas que se tratan usualmente, los costos marginales
son crecientes en el nivel de producci´on (por ejemplo, en presencia de retornos decrecientes a escala)
Si en el mercado hay n ∈ N firmas, el procedimiento para calcular la oferta de la industria sigue
la l´ogica de lo desarrollado anteriormente: se procede con oferta para cada una en forma individual,
independientemente de las dem´as; la oferta de la industria es simplemente la suma de las ofertas
individuales. De esta manera, si para una firma i = 1, ..., n cualquiera, su curva de oferta es Oi(p), la
oferta de la industria ser´a:
127

128. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
O(p) =
n
i=1
Oi(p).
Ejemplo 7.1 Dada la funci´on de producci´on
f(x1, x2) = a · xα
1 · xβ
2 ,
d´onde 0 < α, β < 1 y a > 0, supongamos que el input 2 est´a fijo, ¯x. En tal caso, la funci´on de costos
se obtiene de resolver el siguiente problema de optimizaci´on:
min {w1 · x1 + w2 · ¯x}
s.a a · xα
1 · ¯xβ
= y.
De las restricciones se tiene que
x1(w, y) =
1
a¯xβ
1
α
· y
1
α ,
y luego la funci´on de costos es:
C(w, y) = C = w1 ·
1
a¯xβ
1
α
· y
1
α + w2 · ¯x.
Dado esto, se tiene lo siguiente:
(a.) Costos variables: CV = w1 · 1
a¯xβ
1
α
· y
1
α .
(b.) Costos fijos: CF = w2 · ¯x.
(c.) Costos marginales: CMg = w1 · 1
a¯xβ
1
α
· 1
α · y
1−α
α .
(d.) Costo medio: CMe = C
y = w1 · 1
a¯xβ
1
α
· y
1−α
α + w2·¯x
y .
(e.) Costo variable medio : CV Me = w1 · 1
a¯xβ
1
α
· y
1−α
α .
Para determinar el precio y la cantidad umbral que nos permite definir la curva de oferta, debemos
resolver la siguiente ecuaci´on:
CV Me(y) = CMg(y),
la cual se debe resolver en la parte creciente de la curva de costos marginales. Para determinar d´onde
los costos marginales son crecientes (respecto del nivel de producci´on obviamente) debemos considerar
la derivada del mismo y ver d´onde es positiva. En nuestro problema,
∂CMg
∂y
= w1 ·
1
a¯xβ
1
α
·
1
α
·
1 − α
α
· y
1−α
α −1
,
y, puesto que 0 < α < 1, se tiene que ∂CMg
∂y es siempre positiva, es decir, los costos marginales son
siempre crecientes. Notar que CMg(y = 0) = 0. Ahora bien, al igualar CV Me y CMg se tiene que,
w1 ·
1
a¯xβ
1
α
· y
1−α
α = w1 ·
1
a¯xβ
1
α
·
1
α
· y
1−α
α .
As´ı, ordenando los t´erminos y resolviendo la ecuaci´on se deduce que ¯y = 0 de lo cual se tiene que
¯p = CMg(¯y = 0) = 0. De esta manera, la curva de oferta de la firma en el corto plazo se obtiene de
resolver la ecuaci´on:
128

129. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
p = CMg(y) ⇔ p = w1 ·
1
a¯xβ
1
α
·
1
α
· y
1−α
α .
Despejando y en funci´on de p, se tiene que la curva de oferta de corto plazo es:
y(p) =
α
w1
α
1−α
· (a¯xβ
)
1
α
· p
α
1−α .
Ejemplo 7.2 Supongamos que hay n ∈ N firmas que tienen la misma funci´on de costos, C(y) =
y2
+ 1.El costo marginal de cada una de ellas es CMg(y) = 2 · y, mientras que el costo medio variable
es CV Me = y. Ya que el costo marginal es creciente y siempre mayor que el costo medio variable, se
tiene que la curva de oferta de cada una de las firmas se deduce de la expresi´on p = CMg(y), es decir,
p = 2 · y, de donde se tiene que la curva de oferta de cada firma es
yi(p) =
p
2
, i = 1, ..., n.
Por lo tanto, la oferta de la industria es
Y (p) =
n
i=1
yi(p) = n ·
p
2
.
7.3 ¿C´omo se determina el precio de mercado?: an´alisis de equilibrio par-
cial
En todo lo anterior hemos supuesto que el precio de mercado es dado ex´ogenamente y con ello ob-
tendremos la oferta de las firmas, y la industria, como as´ı la demanda del bien. Obviamente estas no
tienen porque ser coincidentes: si el precio es “muy alto”, entonces la industria tendr´a una oferta alta,
pero seguramente la demanda ser´a baja. A priori, dentro de todas las opciones de precio, podr´ıa haber
alguno donde efectivamente se igualen la oferta de la industria y la demanda del bien en cuesti´on. Este
precio es muy importante en econom´ıa y, de existir, recibe el nombre de precio de equilibrio en el
mercado considerado.
Es importante insistir que a un precio dado, la oferta de la industria se obtiene de sumar las ofertas
de cada una de las firmas al nivel del precio dado, las que suponemos est´an maximizando el beneficio
a dicho nivel de precios. Por otro lado, la demanda de mercado se obtiene a partir de la maximizaci´on
de utilidad de cada uno de los individuos (compradores) dado dicho nivel de precios, que obviamente
implica una restricci´on en el presupuesto de los mismos. As´ı, surge el problema de buscar un precio
para los bienes que sea compatible con los intereses contrapuestos de las firmas y de los consumidores.
Por un lado, las firmas buscan maximizar sus beneficios que, como ya sabemos, son crecientes con el
precio del producto, mientras que a los consumidores les conviene (en principio) que los precios sean
menores, por cuanto su nivel de satisfacci´on (utilidad indirecta) es decreciente en el precio. Encontrar
precios que hagan “compatibles los deseos” de ambos tipos de agentes es el problema de la teor´ıa del
equilibrio, a su vez parte fundamental de la teor´ıa econ´omica.
Para determinar el precio de equilibrio, existe una diferencia fundamental si el problema considerado
es de corto o largo plazo. En el corto plazo, adem´as de eventualmente haber factores que est´an fijos,
una condici´on adicional importante es que el n´umero de firmas que participan en el mercado es
constante. En el largo plazo, adem´as de no existir factores fijos, la cantidad de firmas que participan
en el mercado es variable: el n´umero de firmas que sobreviven en el largo plazo es una
cantidad que se obtiene de las condiciones del mercado, no siendo ex´ogeno como en el
corto plazo. Este es el modelo de equilibrio con libre entrada.
En primer lugar consideremos una situaci´on de corto plazo y supongamos que la cantidad de
firmas es n ∈ N. El an´alisis que sigue es similar si existen o no factores fijos. Supongamos entonces
que la oferta de cada firma es Oi(p), con i = 1, ..., n y que la demanda de mercado es X(p). En tal
caso, la oferta de mercado es,
129

130. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
O(p) =
n
i=1
Oi(p),
El precio de equilibrio en competencia perfecta se define como aquel que iguala la
oferta con la demanda de mercado, es decir, p∗
tal que
X(p∗
) = O(p∗
). (69)
Resolviendo la ecuaci´on (69) podemos encontramos el precio de equilibrio y, dado ´este, la oferta
de cada firma, sus beneficios, la cantidad que se demanda del bien, etc.
Ejemplo 7.3 Supongamos que hay N ∈ N firmas, cada una de ellas con costos
Ci(y) =
αi
2
· y2
,
con αi > 0 y tal que α1 < α2 < . . . < αN (la firma uno es la m´as eficiente, la N la menos eficiente).
La demanda de mercado por el bien que produce la industria es
X(p) = β · p−δ
,
con β, δ > 0. Dado p, la oferta de la firma i = 1, . . . , N viene de la condici´on p = CMgi(y), es decir,
p = αi · y ⇒ yi(p) =
p
αi
.
Note que al mismo precio, la firma m´as eficiente ofrece mayor cantidad de producto. De lo anterior,
la oferta de la industria es
Y (p) =
N
i=1
p
αi
= γ · p,
con
γ =
N
i=1
1
αi
: constante.
Por lo tanto, el precio de equilibrio cumple que
γ · p = β · p−δ
⇒ p∗
=
β
γ
1
1+δ
.
Con ´este, la oferta de cada firma en el equilibrio es
yi(p∗
) =
p∗
αi
,
y el beneficio en el equilibrio que obtiene la firma i = 1, . . . , N es
π∗
i = p∗
· yi(p∗
) − Ci(p∗
) = p∗
·
p∗
αi
−
αi
2
·
p∗
αi
2
=
p∗2
2 · αi
.
Note, por ejemplo, que si β aumenta, entonces el precio de equilibrio tambi´en aumenta. Note
adem´as que mientras m´as eficiente es la firma (menor α), mayor es su oferta de equilibrio, como as´ı
el beneficio que obtiene. Finalmente, ya que γ crece con N (¿por qu´e?), al aumentar el n´umero de
firmas en el mercado, el precio de equilibrio es menor.
Para el modelo de largo plazo, adem´as de asumir (i) que todos los factores son variables, suponemos
que (ii) existe libertad de entrada - salida de firmas en el mercado y que (iii) cada una de ellas
puede “copiar” las mejores pr´acticas para producir (caso contrario, habr´ıa restricciones para producir).
Dado esto, se tiene que:
130

131. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
a.- en el largo plazo, las firmas no pueden tener beneficio positivo, ya que, si fuera el caso,
existir´a un incentivo para que otra entre al mercado, y con ello haga que los beneficios de las que
ya estaban sean menores (aumenta la oferta, luego cae el precio de equilibrio). De esta manera,
entrar´an tantas firmas como sea necesario, hasta que el beneficio de cada una de ellas sea nulo,
situaci´on a partir de la cual ya no es atractiva la entrada.
b.- en el largo plazo “sobrevivir´a” aquella firma (o tipo de firma) m´as eficiente en el
sentido de sus costos. El hecho que una firma tenga menores costos que otra es ciertamente
una forma particular de caracterizar la eficiencia. Sin embargo, esta situaci´on no necesariamente
se observa en forma estricta, sino m´as bien que algunas firmas pueden ser m´as eficientes que otras
en ciertos rangos de producto, pero m´as ineficientes en otros. En este contexto no es evidente
c´omo definir que una firma sea “m´as eficiente que otra”. Sin embargo, del hecho que las firmas
pueden entrar libremente al mercado, y que esto implica una ca´ıda en el precio de equilibrio, lo
que en definitiva es relevante para caracterizar la oferta de equilibrio es el umbral de precio
hasta el cual la(s) firma(s) pueden soportar tales disminuciones. Como sabemos, la oferta de una
firma es positiva si el precio de mercado es mayor que su costo medio m´ınimo. Por lo tanto,
el par´ametro que en definitiva caracteriza la eficiencia de una firma en el modelo de largo plazo
es el m´ınimo costo medio.
c.- En el largo plazo, no existe impedimento para que una firma pueda copiar la tecnolog´ıa
m´as eficiente, por lo tanto, podemos asumir que todas ellas son id´enticas. De esta manera, la
empresa modelo sobre la cual se define la estructura productiva de largo plazo es aquella que
tiene, dentro de las opciones, el m´as bajo de los costos medios m´ınimos.
De lo anterior, se tiene que
(1) el precio de equilibrio en el largo plazo es el valor del menor de los costos medios m´ınimos
de las firmas que participan en el mercado, el cual es independiente de la demanda. En
efecto, como todas las firmas son id´enticas, si el precio de equilibrio fuese mayor que CMmin,
entonces cada una de las participantes tendr´ıa beneficio positivo, habiendo por tanto un incentivo
para entrar al mercado; por el contrario, si precio de equilibrio es menor que CMmin, entonces la
oferta de cada firma es cero, y por ende aquella de la industria: en tal caso, no habr´ıa equilibrio.
Luego, la ´unica opci´on es que el precio de equilibrio se p∗
= CMmin.
Obviamente al l precio de equilibrio p∗
anterior, todas las firmas que participan en el mercado
obtiene beneficio cero.
(2) el n´umero de firmas en equilibrio depende de la demanda que haya al precio de equilibrio:
si el precio de equilibrio es p∗
, y la demanda de mercado es X(p), entonces el n´umero de firmas
que hay en el equilibrio, N, cumple con N · y∗
= X(¯p∗
), donde y∗
es el nivel de producto donde
se minimiza el costo medio de la firma m´as eficiente63
.
(3) si la demanda se “desplaza”, la oferta responde modificando el n´umero de firmas que hay en el
mercado. Por lo tanto, al precio de equilibrio p∗
= CMmin, cualquier solicitud de producto es
cubierta simplemente agregando o eliminando firmas del mercado. De esta manera, al precio p∗
,
la oferta de la industria es perfectamente el´astica, es decir, plana. Esto corresponde a
decir que la industria en el largo plazo se comporta como si tuviese retornos constantes a escala
(¿por qu´e?).
Ejemplo 7.4 Un an´alisis de largo plazo.
Supongamos que en el mercado hay dos tipos de firmas que producen barquillos. Un tipo de firmas
produce ocupando una tecnolog´ıa que tiene costos C1(y) = y3
− 2y2
+ 2y, mientras que el otro tipo
de firmas produce con costos C2(y) = y3
− y2
+ 3y. Suponiendo que la demanda de mercado es
X(p) = 15 − p, la idea es determinar el n´umero de firmas que habr´a en el mercado en una situaci´on
de largo plazo y encontrar la oferta total de la industria de barquillos.
63Es decir, el nivel de producto donde se igualan el costo marginal y el costo medio de la tecnolog´ıa “m´as eficiente”.
131

132. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Para ello, en primer lugar notemos que para todo y, C2(y) > C1(y). En efecto, C2(y) − C1(y) =
y3
−y2
+3y−[y3
−2y2
+2y] = y2
+y > 0. En segundo lugar, sobreviven s´olo las firmas del primer tipo.
En este caso, el costo medio es CM1 = y2
− 2y + 2 y el valor del m´ınimo costo medio se tiene cuando
2y − 2 = 0, es decir, en y = 1. As´ı, el valor del m´ınimo costo medio es CM(y = 1) = 1 − 2 + 2 = 1,
que ser´a el precio de equilibrio de largo plazo, p∗
= 1. La oferta de cada firma en ese nivel de precios
es y∗
= 1, y la demanda de mercado es X(1) = 15 − 1 = 14. Por lo tanto, en el largo plazo debe haber
n = 14 firmas, pues n · y∗
= X(p∗
).
132

133. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Part III
Modelo de asignaci´on: equilibrio general
8 Modelo de equilibrio en econom´ıa de intercambio
8.1 Introducci´on
Desde un punto de vista formal, el estudio del equilibrio general en econom´ıa trata el problema de la
existencia de precios y distribuciones de bienes que cumplan ciertos objetivos fijados a priori respecto de
los agentes de la econom´ıa (consumidores y productores). Estos objetivos pueden ser de variada ´ındole
y normalmente vienen de alguna definici´on de comportamiento individual de agentes, considerando
adem´as la existencia de restricciones globales sobre las decisiones de los mismos.
M´as en detalle, la idea es estudiar la existencia y propiedades de ciertas cantidades (precios, con-
sumos y producciones) que ser´an las soluciones de unos problemas de optimizaci´on que definen el
comportamiento de cada agente de la econom´ıa. El punto central es que, normalmente para los di-
versos modelos que existen, estas soluciones deben satisfacer dos tipos de criterios centrales: por un
lado, uno de simultaneidad y, por otro lado, uno de balance econ´omico. El criterio de simultaneidad se
refiere a que el concepto de equilibrio que normalmente se define lleva impl´ıcitas variables que deben ser
comunes a todos los individuos participantes de la econom´ıa (precios), mientras que aquel de balance
se refiere a que los equilibrios deben cumplir con ciertas ecuaciones de conservaci´on64
.
El concepto de equilibrio econ´omico m´as ampliamente utilizado en la literatura (y m´as conocido)
es el Walrasiano. En este concepto, por un lado se asumen comportamientos hedonistas de los
consumidores (maximizaci´on de utilidad) y, para las firmas, se asumen comportamientos dados seg´un
la maximizaci´on del beneficio econ´omico. La idea es que s´olo a trav´es del consumo de bienes los
individuos logran su felicidad, mientras que por el lado de las firmas, es la ganancia que se logra con
la transacci´on (venta del producto) lo que motiva la producci´on. La ´unica restricci´on que se impone
en este modelo es que lo consumido m´as lo producido debe ser igual a lo que existe inicialmente en la
econom´ıa (digamos, recursos naturales o dotaciones de los individuos). La existencia del equilibrio es
referida, por tanto, a la existencia de precios y distribuciones de bienes que sean compatibles con los
objetivos antes indicados. El precio obviamente debe ser com´un a cada individuo, y es a trav´es de ´este
que existir´ıa un flujo de bienes que llevar´ıa a cada uno de los participantes a un estadio superior de
bienestar.
De esta manera, el rol del precio en econom´ıa es fundamental. Es a trav´es de ´el (ellos) que el
sistema resume sus valoraciones subjetivas sobre los bienes de consumo, y con ellos es que tambi´en
se transforman las cosas en unidades equivalentes que puedan servir para transar (esta es la riqueza
de los individuos, que no es otra cosa que la valoraci´on de los activos de un individuo a los precios
de mercado). Es tan complejo el mecanismo de formaci´on de los precios que no existe una teor´ıa
satisfactoria para explicarlo: no s´olo es un problema econ´omico, es adem´as un problema sociol´ogico
y/o sicol´ogico de gran complejidad.
No est´a dem´as decir que el concepto de equilibrio ya indicado no es el ´unico que podemos imaginar
razonablemente. De hecho, el supuesto de hodonismo es, en muchos casos, muy poco realista ya que,
para la mayor´ıa de nosotros, la felicidad de otros es una variable de decisi´on muy importante a la hora
de sacar las cuentas: es el bienestar de los hijos, y/o seres queridos, lo que muchas veces nos obliga a
sacrificar nuestro propio consumo. En este caso que se habla de la existencia de externalidades en el
consumo, lo que por cierto tiene efectos en el equilibrio de la econom´ıa.
Para efectos del estudio del equilibrio general en econom´ıa, tres son los problemas centrales que
ocupan la agenda de investigaci´on y an´alisis. En primer lugar, la existencia del concepto de equilibrio
que se defina en el contexto econ´omico considerado. En este sentido, para estudiar este problema
se verifica un balance natural entre supuestos que se asumen sobre la econom´ıa, y profundidad de
los resultados obtenidos. El segundo problema dice relaci´on con las propiedades de eficiencia
64Nada se crea o se destruye, s´olo se transforma...
133

134. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
asociados al equilibrio. En este sentido, hay dos conceptos b´asicos que buscan darnos luces sobre la
tem´atica del binestar asociado a las distribuciones: la Paretianidad de la asignaci´on y el concepto
de n´ucleo en la econom´ıa. Intuitivamente, el concepto de Paretianidad trata de modelar la eficiencia
de las asignaciones en el sentido de evitar el desperdicio de bienes; la idea de n´ucleo se relaciona con
que las asignaciones de equilibrio puedan o no ser robustas ante coaliciones de individuos que puedan
o no sacar provecho cambiando las distribuciones que se han obtenido. Sobre este ´ultimo punto no se
discute en el presente documento.
Finalmente, un tercer (e importante) problema viene de estudiar si dadas ciertas distribuciones
eficientes de bienes, ser´a (o no) posible encontrar precios tales que las conviertan en equilibrios de
la econom´ıa. En otras palabras, la problem´atica de descentralizar puntos eficicintes de la econom´ıa
(´optimos de Pareto). Este es un problema fundamental en econom´ıa.
En lo que sigue, no estudiaremos el modelo de equilibrio general en toda su extensi´on, sino que m´as
bien aquel denominado modelo de intercambio, y m´as espeficamente, el modelo de intermcabio con dos
agentes y dos bienes. A pesar de su simpleza, veremos que recoge varios de los aspectos relevantes de la
teor´ıa de equilibrio general en cuanto a los problemas que hemos mencionado. Adem´as, el tratamiento
matem´atico de estas materias se har´a de la manera m´as simple posible, evitando generalismos que a
estas alturas son inconducentes.
8.2 Modelo de intermcambio de 2 × 2
Supongamos que en la econom´ıa hay dos personas, indexadas por i = 1, 2, las que poseen ciertas dota-
ciones iniciales de los dos ´unicos bienes que hay en la econom´ıa. Estas dotaciones ser´an representadas
por wi = (wi1, wi2) ∈ R2
+, donde i = 1, 2 indexa al individuo. La cantidad total de bienes que hay en
la econom´ıa es, por tanto,
w = (w1, w2) = (w11, w12) + (w21, w22) = (w11 + w21, w12 + w22) ∈ R2
+.
Las dotaciones iniciales pueden ser herencias, regalos, etc. En definitiva, conforman todos aquellos
bienes (recursos) que definen lo que el individuo posee en la vida.
Si el precio de la econom´ıa fuera p = (p1, p2) ∈ R2
+, entonces el individuo i = 1, 2 posee una riqueza
igual al valor de sus dotaciones a los precios indicados, es decir, si denotamos la riqueza del individuo
i por ri, se debe cumplir que
ri = p1wi1 + p2wi2, i = 1, 2.
Note que en este modelo la riqueza de cada individuo es end´ogena al individuo, pues depende de sus
dotaciones iniciales. Pero adem´as, la riqueza es funci´on del acuerdo social entre los individuos respecto
c´omo se valoran de los activos que cada uno de ellos posee (el precio).
Supongamos ahora que las preferencias de los individuos son definidas por funciones de utilidad
que dependen del consumo de los dos bienes que existen en la econom´ıa. Para el individuo i = 1, 2,
supongamos que a partir de un consumo de x1 unidades del bien 1 y x2 unidades del bien 2, su utilidad
es
ui(x1, x2).
Con esto, dado un precio p = (p1, p2) de los bienes, el consumidor i = 1, 2 puede acceder a s´olo aque-
llos para los cuales la riqueza alcanza. El conjunto de todos los bienes que un determinado invidividuo
puede comprar (en rigor, intercambiar) define lo que en econom´ıa se llama conjunto presupuestario del
individuo. Claramente este conjunto depende de los precios de los bienes, y de las dotaciones iniciales
del individuo. Para un agente con dotaciones iniciales wi1, wi2, siendo los precios de los bienes iguales
a p = (p1, p2), el conjunto presupuestario corresponde a
B(p, (wi1, wi2)) = {(x1, x2) ∈ R2
| p1x1 + p2x2 ≤ p1wi1 + p2wi2}
134

135. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
es decir, todas aquellas canastas de bienes para las cuales alcanza la riqueza. Graficamente el conjunto
presupuestario es como sigue:
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
p=(p ,p )
1 2
w=(w ,w )
i1 i2
(x,y)
xxxxxxxxx xxxxxx
(x*,y*)xxxxxxxxx
Que la canasta (x1, x2) est´e en el conjunto presupuestario significa que el individuo correspondiente
lo puede comprar (puede acceder a ´el). Geom´etricamente, esto corresponde a que dicho vector de
consumo est´e en el interior del conjunto presupuestario (como el punto (x, y) en la figura), o incluso
en la frontera del mismo (recta presupuestaria, como en el caso del punto (x∗
, y∗
) de la figura.
Una cuesti´on que es importante respecto del conjunto presupuestario, es que las dotaciones iniciales
siempre est´an en la frontera superior del mismo. Esta frontera superior se llama recta presupuestaria,
y est´a conformada por todos aquellos puntos que satisfacen la siguiente ecuaci´on (individuo i):
Recta presupuestaria : (x1, x2) ∈ R2
| p1x1 + p2x2 = p1wi1 + p2wi2 .
De las definiciones anteriores, se tiene la siguiente proposici´on que nos ayudar´a mucho en la vida.
Proposici´on 8.1 Dados p = (p1, p2), (wi1, wi2) y λ > 0, se tiene que
B(p, (wi1, wi2)) = B(λp, (wi1, wi2)).
Prueba. La demostraci´on es muy simple. Supongamos que (x1, x2) ∈ B(p, (wi1, wi2)), entonces
p1x1 + p2x2 = p1wi1 + p2wi2 y luego, multiplicando toda la desigualdad por λ > 0 se tiene que
(λp1)x1 + (λp2)x2 ≤ (λp1)wi1 + (λp2)wi2
es decir, que el individuo puede comprar dicha canasta si los precios fueran λp1 y λp2, con lo cual
(x1, x2) ∈ B(λp, (wi1, wi2)). La reciproca es obvia: si
(λp1)x1 + (λp2)x2 ≤ (λp1)wi1 + (λp2)wi2
al simplificar por λ se obtiene lo indicado.
La consecuencia directa de lo anterior es que los precios se pueden normalizar, no alterando el
conjunto presupuestario. De esta manera, sin p’erdida de generalidad, se puede suponer que uno de los
precios de la econom´ıa es uno (digamos, p1 = 1), y el otro es arbitrario. Al bien que se asigna precio
uno se denomina numerario. En otras parablas, sismpre podemos suponer que un mercado con dos
bienes, uno de ellos (en lo que sigue, el primer bien) tiene precio uno. Otra consecuencia relevante de
lo anterior es que, finalmente, lo que importa para efectos de determinar las opciones de los individuos
son los precios relativos entre los bienes, m´as que el precio absoluto de cada uno de ellos.
135

136. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
8.3 La demanda en un modelo de intercambio
Supongamos que el precio de mercado es (1, p) ∈ R2
(precio del bien uno es uno, precio del bien dos
es p). Dadas las dotaciones iniciales wi1, wi2 del individuo i = 1, 2, el problema del consumidor
se define como aquel problema de optimizaci´on donde se maximiza la funci´on de utilidad sujeta a la
restricci´on presupuestaria dada por el conjunto presupuestario, es decir,
Pi :
max ui(x1, x2)
s.a x1 + px2 ≤ wi1 + pwi2.
La soluci´on del problema del consumidor i = 1, 2 se denomina demanda por el bien respectivo.
Denotemos entonces la demanda por el bien uno del individuo i como xi1(p, wi), y aquella para el
bien dos como xi2(p, wi). Bajo suopuestos adecuados sobre la funci´on de utilidad, la demanda siempre
ha de estar en la recta presupuestaria de cada consumidor.
Proposici´on 8.2 Sean xi1(p, wi) y xi2(p, wi) las demanda por bienes uno y dos del individuo i = 1, 2.
Si la funci´on de utilidad es creciente por componentes (“m´as es mejor”), entonces se cumple que la
demanda est´a en la recta presupuestaria del individuo, es decir,
xi1(p, wi) + pxi2(p, wi) = wi1 + pwi2.
Prueba. Si la demanda fuera interior, es decir, si se cumple que
xi1(p, wi) + pxi2(p, wi) < wi1 + pwi2,
podemos entonces encontrar otro punto en el conjunto presupuestario que entrega m´as satisfacci´on que
ella, lo que obviamente es contradictorio con la definici´on de demanda (por definici´on, ella es la que
maximiza utilidad dentro de los puntos de dicho conjunto). La siguiente figura nos ilustra cual podr´ıa
ser uno de estos puntos.
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
(1,p )
(x*,y*)
xxxxxxxxx
xxxxxx
(x(p,w),y(p,w))
Si la demanda es interior (como en la figura), entonces el punto (x∗
1, x∗
2) que se obtiene de prolongar
la demanda seg´un una recta de 45◦
hasta tocar la recta presupuestaria, es tal que x1(p, wi) < x∗
y
adem´as x2(p, wi) < y∗
, con lo cual, dado que la utilidad es creciente por componentes, se tendr´ıa que
ui(x1(p, wi), x2(p, wi)) < ui(x∗
1, x∗
2),
lo que obviamente contradice la definici´on de demanda.
Una consecuencia importante de la Proposici´on anterior es que bajo el supuesto indicado, la de-
manda se obtiene de resolver un problema m´as simple que el original, a saber,
136

137. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
max ui(x1, x2)
s.a x1 + px2 = wi1 + pwi2.
Con esto, en el modelo de 2 × 2 ocurre que la demanda por el bien dos proviene de maximizar la
siguiente funci´on
ui(wi1 + pwi2 − px2, x2).
Derivando (regla de la cadena), la condici´on de optimalidad es entonces
∂ui
∂x1
·
∂[wi1 + pwi2 − px2]
∂x2
+
∂ui
∂x2
= 0 ⇔
∂ui
∂x1
· (−p) +
∂ui
∂x2
= 0
es decir,
∂ui
∂x1
∂ui
∂x2
=
1
p
.
Goem´etricmente esta condici´on corresponde a que, en la demanda, la curva de indiferencia corre-
spondiente es tangente a la recta presupuestaria. Esto se ilustra en la siguiente figura.
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
(1,p )
xxxxxxxxx
(x(p,w),y(p,w))
Notemos que la demanda depende tanto de las dotaciones iniciales de los individuos como del
precio de los bienes. Si el precio se modifica, entonces la demanda puede cambiar, ya que la recta
presupuestaria modifica la pendiente. Si las dotaciones iniciales se modifican la demanda tambi´en
puede cambiar, ya que la recta presupuestaria se traslada paralelamente.
8.4 El equilibrio en la econom´ıa
Dado un precio de los bienes (1, p) ∈ R2
, y dadas las dotaciones iniciales de los individuos, entonces
cada uno de ellos manisfestar´a sus intenciones de compra de bienes, que obviamente quedan reflejadas
en la respectiva demanda. El cocepto de equilibrio que vamos a definir es uno donde, por un lado,
los agentes no tienen injerencia individual en el precio final de los bienes y, por otro lado, el precio
que se determine debe ser compatible con la dotaci´on de recursos que existen en la econom´ıa. Que
el precio no pueda ser fijado por ning´un agente en particular corresponde a lo que en econom´ıa se
denomina situaci´on competitiva, de competencia perfecta, modelo competitivo, etc. Que la demanda
en el equilibrio sea compatible con la cantidad total de recursos existentes es la llamada condici´on de
Walras del equilibrio. De todo lo anterior, en lo que sigue vamos a estudiar el equilibrio de Walras en
un mercado de intercambio competitivo.
137

138. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Definici´on 8.1 Diremos que un precio65
(1, p∗
) es de equilibrio para la econom´ıa de intercambio si
las demandas de ambos individuos por ambos bienes de consumo son compatibles con la cantidad total
de recursos que existen en la econm´ıa, es decir, si se cumple que:
x11(p∗
, w1) + x21(p∗
, w2) = w11 + w21,
x12(p∗
, w1) + x22(p∗
, w2) = w12 + w22.
Un problema central de la econom´ıa es precisamente determinar bajo qu´e condiciones sobre los
par´ametros que definen el sistema econ´omico (funciones de utilidad, dotaciones iniciales) existe un
equilibrio econ´omico. El problema es tanto m´as complejo cuando m´as bienes y m´as agantes hay en el
modelo, como as´ı cuando se introducen firmas en la estructura. Este problema de existencia ha sido
ampliamente estudiado en la literatura econ´omica, siendo K. J. Arrow y G. Debreu algunos de sus
grandes precursores.
Ejemplo 8.1 Supongamos que las funciones de utilidad de los individuos son funciones de las forma
u1(x1, x2) = xα
1 · x1−α
2 ,
u2(x1, x2) = xβ
1 · x1−β
2 ,
y que las dotaciones respectivas son w1 = (w11, w12), w2 = (w21, w22) ∈ R2
. Entonces, dado un precio
P ≡ (1, p), el problema del individuo 1 es
max xα
1 · x1−α
2
s.a x1 + px2 = w11 + pw12,
a partir de lo cual, imponiendo las condiciones de optimalidad, se obtiene que
x11(p, w1) =
α[w11 + pw12]
1
, x12(p, w1) =
(1 − α)[w11 + pw12]
p
.
En forma an´aloga, para el individuo 2 las demandas son
x21(p, w2) =
β[w21 + pw22]
1
, x22(p, w2) =
(1 − β)[w21 + pw22]
p
.
Por lo tanto, P∗
= (1, p∗
) ser´a precio de equilibrio si
α[w11 + p∗
w12]
1
+
β[w21 + p∗
w22]
1
= w11 + w21
(1 − α)[w11 + p∗
w12]
p∗
+
(1 − β)[w21 + p∗
w22]
p∗
= w12 + w22.
Aqu´ı aparece un problema, ya que en definitiva hay dos ecuaciones y s´olo una inc´ognita (p∗
). Sin
embargo, la siguiente proposici´on nos resuelve el aparente dilema.
Proposici´on 8.3 Bajo el supuesto “m´as es mejor”, en un modelo de 2 × 2 (en rigor, en cualquier
modelo de intercambio), ocurre que si el mercado por el bien 1 est´a en equilibrio a cierto precio, entonces
aquel del bien dos necesariamente tambi´en lo estar´a a ese precio.
65En realidad, por lo ya visto ser´ıa necesario hablar s´olo del precio del bien dos, p.
138

139. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Prueba. Si el mercado del bien uno est´a en equilibrio al precio P∗
= (1, p∗
), es decir,
x11(p∗
, w1) + x21(p∗
, w2) = w11 + w21
sean entonces x∗
12 y x∗
22 las demanda por bien dos de los individuos al mismo precio. Puesto que la
demanda est´a en la frontera de los conjuntos presupuestarios (m´as es mejor), ocurre que
x11(p∗
, w1) + p∗
x∗
12 = w11 + p∗
w12, x21(p∗
, w1) + p∗
x∗
22 = w21 + p∗
w22,
y, por lo tanto, al sumar ambas igualdades, se tiene que
x11(p∗
, w1) + x21(p∗
, w1) + p∗
· [x∗
12 + x∗
22] = w11 + w21 + p∗
· [w12 + w22].
Puesto que el mercado est´a equilibrado para el bien uno, se tiene que
x11(p∗
, w1) + x21(p∗
, w1) = w11 + w21
con lo cual
p∗
· [x∗
12 + x∗
22] = p∗
· [w12 + w22] ⇒ x∗
12 + x∗
22 = w12 + w22,
es decir, el mercado del bien dos tambi´en est´a equilibrado.
De lo anterior, para el caso 2 × 2 basta entonces con encontrar el precio de equilibrio s´olo en el
mercado del bien uno, ya que ese precio equilibrar´a el mercado del bien dos. Volviendo al ejemplo
anterior, de la primera ecuaci´on
α[w11 + pw12]
1
+
β[w21 + pw22]
1
= w11 + w21
sigue que el precio de equilibrio es
p∗
=
(1 − α)w11 + (1 − β)w21
αw12 + βw22
.
Es f´acil ver que este precio resuelve la ecuaci´on para el bien dos (ejercicio).
Ejemplo 8.2 Usando el precio de equilibrio del ejemplo anterior, se determinan entonces las demandas
(asignaciones) de equilibrio, que para el individuo uno son dadas por x11(p∗
) y x12(p∗
) (se reemplaza
p∗
en la expresi´on de la demanda). Obviamente x21(p∗
) = ω11 + ω21 − x∗
11 y x22(p∗
) = ω12 + ω22 − x∗
12.
As´ı mismo, es posible obtener el ingreso en el equilibrio que para cada individuo es dado por
I∗
1 = ω11 + p∗
ω12, I∗
2 = ω21 + p∗
ω22.
Note finalmente que el ingreso de equilibrio depende tanto del precio de equilibrio,
como de las dotaciones iniciales. Queda propuesto completar el problema anterior determinando
expl´ıcitamente el ingreso de equilibrio para cada individuo.
Nota 8.1 Notemos que las asignaciones de equilibrio corresponden a una reasignaci´on de los recur-
sos en la econom´ıa. Condicional al precio de equilibrio, en esta asignaci´on se tiene que cada individuo
est´a maximizando la utilidad, por lo que usualmente entregar´a m´as satisfacci´on que el consumo de los
recursos iniciales que posee. Esta es la asignaci´on de intermcambio entre los agentes.
139

140. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
8.5 La caja de Edgeworth
Una forma muy ´util para ilustrar el equilibrio de intercambio con dos bienes y dos agentes es usando
la caja de Edgeworth. Supongamos que del bien j = 1, 2 las dotaciones iniciales son wij, con
i = 1, 2 denotando al consumidor. Sea entonces wj = w1j + w2j la cantidad total de bien j = 1, 2, en
la econom´ıa. Dado esto, un punto de dotaciones inciales cualquiera se puede ilustrar en la siguiente
figura.
| |
| |
_
_
_
_
(1)
(2)
w
11
w
12
w
21w
22
| |
_
_
w
w
2
1
En ella, los origenes para los individuos 1 y 2 son representados por (1) y (2) respectivamente. El
sentido de los ejes (crecimiento) es indicado por la flechas en la figura. De acuerdo a la definici´on
anterior, de existir equilibrio (asignaci´on) en la econom´ıa, necesariamente el consumo ´optimo debe ser
alguno de los puntos de la caja anterior, pues cualquier punto factible es un punto de la misma.
En la figura que sigue, dada una dotaci´on inicial wi = (wi1, wi2), i = 1, 2, y dado un precio
P ≡ (1, p), se ilustra el conjunto de restricci´on presupuestario para ambos individuos. Note que dichos
conjuntos no necesariamente han de estar contenidos en la caja de Edgeworth (caso individuo 1).
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xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
| |
| |
_
_
_
_
(1)
(2)
w
11
w
12
w
21w
22
p
p
Por otro lado, dado un punto de consumo cualquiera, digamos (xi1, xi2), i = 1, 2, en la siguiente
figura se ilustra el conjunto de los preferidos.
140

141. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
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xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
(1)
(2)
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
x
11
x
12
x21
x22
A
B
C
Note que, eventualmente, existen puntos que son comunes a los preferidos para ambos individuos
(conjunto B en la figura). Finalmente, con el fin de ilustrar un equilibrio de Walras, en primer lugar
recordemos que la demanda de un individuo es el elemento maximal de la preferencia sobre el con-
junto presupuestario, que corresponde a aquellos del conjunto presupuestario que intersectados con los
preferidos estr´ıctamente resulta en conjunto vac´ıo (es decir, en el conjunto presupuestario no hay nada
mejor que la demanda). Por lo tanto, si suponemos que la preferencia es continua, de modo que los
preferidos son la clausura de los preferidos estrictos, se tiene que dichos puntos corresponden a aquellos
donde se verifica la tangencia entre los preferidos y el conjunto presupuestario. La siguiente figura
ilustra para el individuo 1 la demanda dado un precio p ≡ (1, p) ∈ R2
.
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
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| |
_
_
(1)
d
11
d
12
p
xxx
xxx
xxx
w
1
Por lo tanto, un precio P∗
≡ (1, p∗
), y una alocaci´on (x∗
i1, x∗
i2), i = 1, 2, ser´a de equilibrio si
dichos puntos satisfacen las condiciones de tangencia anterior, y adem´as la alocaci´on est´a en la caja de
Edgeworth (ya que en tal caso respeta la identidad de Walras). Un equilbrio se ilustra en la siguiente
figura.
141

142. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
| |
11
| |
21w
_
_
w
12
_
_
w22
(1)
(2)
_
_
12
| |
w
11
_
_
22
| |
21
x*
x*
x*
x*
p*
Indif 1
Indif 2
Note que:
a.- La tangencia de los preferidos con la recta presupuestaria debe darse en el mismo punto
de la caja de Edgeworth para ambos individuos (tal como se ilustra en la figura), pues esto
garantiza la identidad de Walras.
b- Para un precio dado, digamos p∗
del bien dos, puede no haber equilibrio ya que la tangencia se
verifica en “puntos distintos”. La siguiente figura ilustra lo anterior.
| |
21w
_
_
w
12
_
_
w22
(1)
(2)
| |
w
11
p*
Indif 1
Indif 2
8.6 Optimalidad y teoremas de bienestar
La asignaci´on de equilibrio es una dentro de muchas que se puedan establecer en la econom´ıa. Por
ejemplo, en el modelo de intermcabio uno podr´ıa pensar en asignaciones que son equitativas en el sentido
que a todos los individuos “les toca por igual” en la repartici´on de bienes; otras que son inequitativas,
donde, por ejemplo, s´olo a uno de los individuos se le entregan todos los bienes, y nada para el otro,
etc.
¿Qu´e es lo que define si una asignaci´on de bienes es “buena” o “mala‘’? Seguramente la “bondad”
o no de una asignaci´on es, en alg´un sentido, una cuesti´on ex´ogena a la econom´ıa, pues proviene de un
acuerdo entre todos nosotros para definir la calidad (bondad, equidad, calidad) de la asignaci´on. Al
respecto, no existe un acuerso universal y objetivo que nos permita decir si una distribuci´on es
buena o mala: la “calidad” de una asignaci´on es subjetivo, y muchas veces obedece a razones pol´ıticas,
sociales, de derecho, etc., todo en un amplio sentido de la palabra. Para ilustrar la complejidad del
problema de asignaci´on de recursos, consideremos una situaci´on donde Uds. deben decidir entregar
bienes a personas que los necesitan. ¿C´omo se hace la signaci´on sin tener que provocar maletar en
142

143. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
algunos, o injusticias en otros? ¿Qu´e significa la equidad o la justicia en la asignaci´ıon? No es claro
como abordar el asunto.
Tal vez el ´unico criterio ampliamente aceptado por la profesi´on con el fin de calificar una asig-
naci´on de bienes sea aquel de optimalidad de Pareto, que en definitiva da cuenta de la efeciencia
econ´omica en la asignaci´on de los recursos.
Definici´on 8.2 Una asignaci´on de bienes factibles se dice ´optimo de Pareto si para mejorar a alguno
de los individuos necesariamente se debe empeorar a otro de la comunidad.
Que la asignaci´on de bienes sea factible corresponde a decir que la suma de sus componentes coincide
con la cantidad total de bienes de la econom´ıa. Qu´e una asignaci´on sea ´optimo de Pareto significa que
los recursos fueron distribuidos de tal forma que nada sobra en la econom´ıa, y/o que no se desperdician
recursos, y/o que cada uno est´a conforme con lo que recibi´o, sin haber entonces incentivos para que
entre los agentes haya una posterior reasignaci´on de recursos. Por ejemplo, si repartimos todo de
manera equitativa, no necesariamente obtenemos una asignaci´on Pareto, pues esa repartici´on no inhibe
que luego de una transacci´on individual, los individuos puedan llegar a un nuevo acuerdo privado, que
implica una nueva asignaci´on de recursos, que los deja mejor respecto de la repartici´on original.
M´as formalmente, si hay m individuos en la econom´ıa (imaginar m = 2) y si cada uno de ellos tiene
dotaciones iniciales dadas por wi ∈ Rn
(hay n bienes en el mercado, imaginar n = 2) y funciones de
utilidad ui : Rn
→ R, entonces una asignaci´on de bienes x∗
i ∈ Rn
, i = 1, 2, · · · , m, es un ´optimo de
Pareto si ella es factible, es decir
m
i=1
x∗
i =
m
i=1
wi
y si no existe otra asignaci´on factible, digamos x′
i, i = 1, 2, · · · , m, tal que para todo i = 1, 2, · · · , m
se cumple que ui(x∗
i ) ≤ ui(x′
i) y que para alg´un i0 ∈ {1, 2, · · · , m} se cumpla que ui0 (x∗
i0
) < ui0 (x′
i0
):
no se puede mejorar estrictamente a un individuo (el i0) sin tener que empeorar a alguno de los otros,
es decir, no puede ser que i0 mejore y que los otros se mantengan igual o mejor en nivel de satisfacci´on.
La relaci´on entre la asignaci´on de equilibrio competitivo y la Paretianidad conforma lo que en
econom´ıa se conoce como los Teoremas de Bienestar. Estos son resultados fundamentales en
econom´ıa.El Primer Teorema de Bienestar plantea que toda asign aci´on que es un equilibrio com-
petitivo es una asignaci´on Pareto optimal. En otras palabras, la sociedad, al ponerse de acuerdo en los
precios del intermcabio con el fin de maximizar utilidad, est´a, finalmente, asignanado eficientemente
los recursos. Esta es la famosa mano invisible...
La proposici´on rec´ıproca de lo anterior es conocida como el Segundo Teorema de bienestar, y su
enunciado es algo m´as complejo. Para fijar ideas, supongamos que un “dictador”’ asigna los recursos
totales de la econom´ıa. Supongamos que este dictador sabe de algo de econom´ıa, y los asigna de manera
eficiente, en el sentido de Pareto, de tal forma que todos los individuos tocan algo en la repartici´on.
Alguien entonces podr´ıa argumentar que esta asignaci´on est´a fuera de mercado, y que obedece s´olo al
criterio de este dictador, que es arbitraria, etc. Sin embargo, si fuera el caso que el dictador decide
argumentar para defender su asignaci´on, nada mejor para ´el si pudiese demostrar que efectivamente
la asignaci´on que ha realizado podr´ıa ser considerada como una asignaci´on de mercado, donde los
precios son tales que el intercambio competitivo que se produce a los precios indicados (que desconoce)
es precisamente la asignaci´on que impuso. Si el dictador supiese de econom´ıa estar´ıa seguro que lo
indicado ocurre, pues el Segundo Teorema de Bienstar afirma que toda asignaci´on Pareto ´optima, donde
todos los individuos reciben algo de bienes, es compatible con alg´un precio de mercado en el sentido
que, a ese precio, se dar´ıa que la asignaci´on Pareto es exactamente la asignaci´on de equilibrio que se
tendr´ıa. Esto es lo que en econom´ıa se conoce como descentralizaci´on del Pareto, y constituye uno
de los resultados m´as importantes de la econom´ıa.
Para un modelo de intercambio de 2 × 2 es posible identificar los ´optimos de Pareto de la econom´ıa.
En la caja de Edgeworth, el conjunto de los ´optimos de Pareto conforman lo que se denomina curva
de contrato. Esto es relativamente simple, y la idea es como sigue. Dadas las funciones de utilidad
143

144. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
u1 y u2, podemos concebir entonces una funci´on de utilidad de la sociedad simplemente como la
suma ponderada de las funciones de utilidad de los individuos, es decir, una de la forma
u1 + λu2
con λ > 0 alguna constante (que en principio podr´ıa ser uno; como veremos, el resultado que se
obtiene no depende de la elecci´on de esta constante). Dado eso, consideremos el siguiente problema de
optimizaci´on:



max u1(x11, x12) + λu2(x21, x22)
s.a x11 + x21 = ω11 + ω21
x12 + x22 = ω12 + ω22.
Supongamos que resolvemos el problema anterior, siendo las soluciones x∗
11, x∗
12, x∗
21 y x∗
22. En
primer lugar, estas asignaciones de consumo son factibles, ya que cumplen con la restricci´on del
problema
x∗
11 + x∗
21 = ω11 + ω21, x∗
12 + x∗
22 = ω12 + ω22.
En segundo lugar, veamos que esta asignaci´on anterior es un ´optimo de Pareto. En efecto, si
existiese otra asignaci´on factible, digamos x′
11, x′
12, x′
21, x′
22, tal que mejora estrictamente a un individuo
(digamos al uno) manteniendo al otro igual o mejor de lo que estaba originalmente (al tipo dos), es
decir, u1(x′
11, x′
12) > u1(x∗
11, x∗
12) (mejora estrictamente al uno) y u2(x′
21, x′
22) > u2(x∗
21, x∗
22) (mejora
o mantiene igual al tipo dos), entonces se tendr´ıa que
u1(x′
11, x′
12) + λu2(x′
21, x′
22) > u1(x∗
11, x∗
12) + λu2(x∗
21, x∗
22)
lo que es una contradicci´on con el hecho que x∗
11, x∗
12, x∗
21 y x∗
22 maximizaba la funci´on u1 + λu2 en el
conjunto de las asignaciones factibles.
Proposici´on 8.4 Dada una econom´ıa de dos por dos, siendo las funciones de utilidad u1 y u2 y siendo
las dotaciones iniciales ωij, i, j = 1, 2, se tiene que los ´optimos de Pareto de la econom´ıa provienen de
resolver el problema de optimizaci´on



max u1(x11, x12) + λu2(x21, x22)
s.a x11 + x21 = ω11 + ω21
x12 + x22 = ω12 + ω22,
donde λ > 0 es un par´ametro arbitrario (que podemos suponer igual a uno).
Desarrollemos entonces las condiciones de optimalidad del problema. Para ello, notemos que al
definir ω1 = ω11 + ω21 y ω2 = ω12 + ω22: dotaciones totales de bienes uno y dos, y haciendo el
reemplazo x21 = ω1 − x11 y x22 = ω2 − x12, el problema de optimizaci´on anterior corresponde a
max
x11,x12
u1(x11, x12) + λu2(ω1 − x11, ω2 − x12).
As´ı, derivando c.r a las variables, se tiene que
∂u1(x11, x12)
∂x11
+ λ
∂u2(ω1 − x11, ω2 − x12)
∂x11
= 0 ⇔
∂u1(x11, x12)
∂x11
+ λ
∂u2(ω1 − x11, ω2 − x12)
∂x21
· (−1) = 0
lo que corresponde a decir que (deshacer el reemplazo)
∂u1(x11, x12)
∂x11
= λ
∂u2(x21, x22)
∂x21
.
144

145. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
An´alogamente para la segunda variable, se tiene
∂u1(x11, x12)
∂x12
= λ
∂u2(x21, x22)
∂x22
,
por lo que, finalmente, en el ´optimo de Pareto ocurre
∇x11,x12 u1(x∗
11, x∗
12) = λ∇x21,x22 u2(x∗
21, x∗
22),
es decir, los gradientes de las funciones de utilidad son proporcionales (es decir, linealmente
dependientes!), lo que es equivalente a decir que las curvas de indiferencia son tangentes en
los ´optimos de Pareto. Precisamente esta propiedad es la que caracteriza la curva de contrato:
son todos aquellos puntos de la caja de Edgewoth donde las curvas de indiferencia son
tangentes. La siguiente figura ilustra lo anterior
Indif
1
Indif
2
Pareto
Curva de
Contrato
A
B
| |
_
_
w1
w
2
_
_
Ejemplo 8.3 Curva de contrato
Supongamos que las funciones de utilidad de dos individuos son u1(x, y) = xy y u2(x, y) = x2
y.
Las dotaciones iniciales ser´an ω1 = (3
2 , 1
2 ) y ω2 = (3
2 , 3
2 ). Luego, las dotaci´on total es ω = (3, 2).
Para encontrar el (los) ´optimos de pareto, debemos encontrar todos aquellos puntos de la caja de
Edgeworth donde el gradiente de las utilidades es l.d. Para efectos del c´aculo, note que las variables
deben ser expresadas en el mismo sistema coordenado. As´ı, si (x, y) denota una canasta para el
individuo 1 entonces, (3 − x, 2 − y) denota aquella correspondiente para el individuo 2. Luego, un
´optimo de Pareto ha de satisfacer la siguiente condici´on:
∇ui(x, y) = λ∇u2(3 − x, 2 − y)
es decir66
,
(y, x) = −λ(2(3 − x)(2 − y), (3 − x)2
)
de lo cual se tiene que
y
x
=
2(2 − y)
3 − x
es decir,
y =
4x
x + 3
, 0 ≤ x ≤ 3.
66Calcular las derivadas parciales de u1 y u2 c.r a sus variables y evaluar en el punto indicado anteriormnente, es decir,
(x, y) para 1 y (3 − x, 2 − y) para 2.
145

146. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Luego, por ejemplo, x∗
1 = (2, 4·2
2+3 ) = (2, 8
5 ) y x∗
2 = (3 − 2, 2 − 8
5 ) = (1, 2
5 ) es un ´optimo de Pareto
para la econom´ıa. Note que, respecto del sistema coordenado del primer individuo, la curva de contrato
es
y =
4x
x + 3
, 0 ≤ x ≤ 3.
Ejercicio 8.1 1. Determine la curva de contrato cuando las funciones de utilidad son u1(x, y) =
xα
y1−α
y u2(x, y) = xβ
y1−β
, esto asumiendo que las dotaciones iniciales son ω1 = (1, a) ∈ R2
y
ω2 = (b, 1) ∈ R2
.
2. Muestre formalmente que todo equilibrio de Walras en una econom´a de 2 × 2 es un ´optimo de
Pareto (Primer Teorema de Bienestar).
3. Determine, si existe, el precio de equilibrio y las asignaciones de equilibrio de una econom´ıa donde
u1(x, y) = [xa
+µya
]1/a
y u2(x, y) = [xb
+ρyb
]1/b
, siendo las dotaciones iniciales ω1 = (0, R) ∈∈ R2
y ω2 = (R, 0) ∈ R2
.
4. Consideremos una econom´ıa de 2 × 2 y asumamos que los individuos tienen la misma funci´on de
utilidad u(x1, x2) = xα
1 · x1−α
2 , con α ∈]0, 1[. Asumamos adem´as que las dotaciones iniciales son
ω1 = (1, 1) ∈ R2
y ω2 = (40, 40) ∈ R2
. Determine entonces el precio de equilibrio y muestre que
la raz´on de ingresos en el equilibrio es 1 : 40. Suponga ahora que un planificador central decide
recolectar la mitad de todos los recursos de la ecnom´ıa y devolverlos de acuerdo a un porcentaje
prefijado. Sea r ∈ [0, 1] la fracci´on (porcentaje) de los recursos que se devuelven al individuo uno
(por lo tanto el individuo dos recibe (1 − r) del total recolectado). Determine el nuevo precio de
equilibrio y muestre entonces que la raz´on de ingresos en el nuevo equilibrio es dado por
IR(r) =
I2(r)
I1(r)
=
81 − 41r
1 + 41r
.
9 Complementos: fallas de mercado
Todo el modelo que hemos estudiado hasta el momento descanza en dos supuestos fundamentales. El
primero es que ninguno de los agantes de la econom´ıa tiene injerencia individual en los precios, y el
segundo que en las decisiones de consumo de los individuos, y de producci´on de las firmas, los agantes
deciden sobre las base de funciones objetivo que s´olo dependen de los bienes por ellos consumidos y de
precios, valores estos que resumen para cada agante los resultados de las decisiones de todos los otros
participantes de la econom´ıa.
En ning´un caso en el modelo que hemos desarrollado se han considerado hechos relevantes que
comunmente se observan en la realidad y que en alguna medida dan cuenta de situaciones donde,
precisamente, las decisiones de cada individuod pueden ser efectadas por las decisiones o acciones de
los dem´as. La ´unica interacci´on que se considera en el modelo usual radica en la igualdad entre oferta
y demanda que finalmente debe ser verificada para vaciar el mercado. Como dice Malinvaud, el modelo
de producci´on y consumo, con el que hemos razonado hasta ahora, ofrece una caracter´ıstica importante
a la que debemos prestar atenci´on: las interdependencias que reconoce entre los agantes se reducen al
m´ınimo m´as estricto.
Tratar de incorporar con toda generalidad las posibles inter-relaciones entre los agantes de la
econom´ıa es, en realidad, un trabajo esteril. Lo anterior se debe basicamente a la alta compleji-
dad que se alcanza en una estructura econ´omica tan general. El punto no es pensar en estos “super
modelos” que permitan incorporar toda la complejidad de la econom´ıa en un ´unico modelo, sino m´as
bien considerar algunos tipos de interrelaciones que puedan ser tratadas de manera satisfactoria, y
que adem´as tengan alg´un inter´es en la pr´actica. Precisamente el analisis de los bienes p´ublicos y la
presencia de externalidades en el mercado son dos de las interrelaciones m´as relevantes que usualmente
se consideran en econom´ıa.
146

147. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
9.1 Externalidades
Existe una externalidad en la econom´ıa toda vez que el bienestar de un consumidor o los planes
de producci´on de una firma son afectados directamente por las acciones de los otros agantes de la
econom´ıa, de tal forma que la decisi´on sobre tales acciones no depende de un mecanismo de precios.
La idea es entonces considerar la existencia de ciertas acciones (y sus consecuencias), que ejecutadas por
determinados individuos pueden tener efectos en los otros, y de tal forma que las decisiones sobre las
mismas no surgen como resultado de las transacciones entre los individuos, no interviendo as´ı precios
para determinar los valores finales resultantes.
Ejemplo 9.1 Cuando uno escucha m´usica, obviamente pag´o por el disco, por la electricidad, por
el reproductor, etc. Si la m´usica que Ud. escucha es desagradable para otro individuo, Ud. no
necesariamente “internaliza” tales perjuicios en su funci´on de utilidad de tal forma que su acci´on
(escuchar m´usica desagradable o muy fuerte) no tiene un costo para Ud., pero si representa un perjuicio
para el otro personaje. En tal caso, como Ud. no “debe pagar” por escuchar la m´usica como desee
pero ocurre que la utilidad del otro depende de esa decisi´on, estamos entonces en presencia de una
externalidad en la econom´ıa. En este caso, como la m´usica que Ud. escucha (o el volumen de la
misma) es “desagradable” para el otro (digamos, es un “mal” y no un “bien”) hablamos de externalidad
negativa. Por el contratrio, si su vecino disfrurta de sus gustos musicales, estamos entonces en presencia
de una externalidad positiva. Note que en este ´ultimo caso no hemos planteado la posibilidad que su
vecino le page para que Ud. ponga su musiquita. Tampoco hemos planteado la posibilidad que si su
m´usica es muy mala, Ud. deba pagar por escuchar, de modo que compense monetariamente su mal
gusto...
Para modelar la externalidades en la econom´ıa, consideremos un primer caso simple dos individuos
y dos bienes. Supongamos entonces que un individuo i = 1, 2 posee una funci´on de utilidad ui que
depende del vector de consumo xi = (xi1, xi2) ∈ R2
y de un nuevo factor e ∈ R. Supongamos adem´as
que uno de los individuos decide optimamente la cantidad de e (el tipo uno) y que el otro s´olo recibe
las consecuencias, sin tener injerencia en la cuant´ıa de la misma (el tipo dos). Que el efecto sobre
el individuo dos sea “positivo” o “negativo” no es relevante por el momento. As´ı, dadas dotaciones
iniciales ωi = (ωi1, ωi2) ∈ R2
de bienes de consumo, al precio de mercado p = (p1, p2) ∈ R2
tenemos
que el problema del consumidor uno es
max
xi,e
u1(xi, e)
s.a p · xi = p · ωi.
Note que en este problema no hemos supuesto que la cantidad demandada de e aletera la riqueza del
tipo. Precisamente esto est´a en la naturaleza de la externalidad. As´ı, si denotamos por e∗
la cantidad
´optima de externalidad del tipo uno, la demanda por bienes ser´a entonces x1(e∗
). Dada la utilidad
indirecta
v∗
1 = u1(x∗
1, e∗
),
se tiene entonces que
∂v∗
1
∂e e=e∗
= 0 ⇔
∂u1
∂x11
∂x∗
11
∂e
+
∂u1
∂x12
∂x∗
12
∂e e=e∗
= 0
por lo que en el ´optimo se cumple que
∂u1
∂x11
∂u1
∂x12
= −
∂x∗
12
∂e
∂x∗
11
∂e
. (70)
Para el tipo dos, su problema de maximizaci´on de beneficio es
147

148. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
max
x2
u2(x2, e∗
)
s.a p · x2 = p · ω2.
De las condiciones de optimalidad sigue que
∂u2
∂x21
∂u2
∂x22
=
p1
p2
. (71)
Por lo tanto, de las ecuaiones (70) y (71) se tiene que, en general,
∂u1
∂x11
∂u1
∂x12
=
∂u2
∂x21
∂u2
∂x22
,
es decir, que la decisi´on ´optima de externalidad por parte del individuo uno implica una asignaci´on de
recursos que no necesariamente es Pareto eficiente.
A partir de lo anterior, surge entonces la pregunta sobre cu´al es entonces la cantidad ´optima de
e que deber´ıa ocupar el individuo uno. La respuesta no es obvia y depende de como se comparen
la utilidades de los individuos. En efecto, uno podr´ıa ir al extremo y considerar que el ruido en la
econom´ıa no es deseable. Dado esto, el ´optimo ser´ıa e∗
= 0, y en tal caso el tipo dos estar´ıa muy
feliz, pero, y esto es lo relevante, el tipo uno estar´ıa muy descontento. Gana entonces la sociedad? No
es claro. En el ejemplo anterior, ganar´ıa si la sociedad valora muy poco la preferencia del individuo
uno y mucho la del dos. Para responder entonces a la pregunta uno deber´ıa disponer de una forma de
computar algo as´ı como una “utilidad social” y la decisi´on ´optima de e∗
es aquella que maximiza esta
utilidad. Por lo tanto, la respuesta finalmente depende de como se defina la utilidad social...
Con el fin de ser proactivos, supongamos, por simplicidad, que la “utilidad social” es simplemente
la suma de las utilidades de los individuos. En tal caso, la cantidad ´optima de e debe ser aquella que
maximice la utilidad anterior sujeto obviamente a la restricci´on de factibilidad de los consumos (que
no depende de la escogencia de e). As´ı, el problema que nos ocupa es



max
x11,x12,x21,x22,e
u1(x11, x12, e) + u2(x21, x32, e)
s.a x11 + x21 = ω1
x12 + x22 = ω2.
Adem´as de la condici´on de tangencia de las curvas de indiferencia, la soluci´on de este problema
implica que
∂u1
∂e
+
∂u2
∂e
= 0.
En otras palabras, la cantidad ´optima de externalidad que demanda el individuo uno debe ser tal que
la suma de las utilidades marginales c.r a la externalidad sumen cero. Es decir, que el beneficio extra
que obtiene el individuo uno por consumir una unidad m´as de e sea igual a des-utilidad que obtiene el
individuo dos por lo mismo. Si denotamos por e∗∗
el valor de la externalidad que resuelve el “problema
social” anterior, es claro que en general
e∗
= e∗∗
.
Lo anterior implica entonces un problema relevante: si el individuo uno “no internaliza” el problema
que le puede causar al individuo dos producto de su gusto por e, ocurre su demanda por externalidad
no tiene por qu´e ser compatible con lo que ser´ıa deseable socialmente. La preguna que surge entonces
es c´omo “obligar” al individuo uno para que su demanda por externalidad sea e∗∗
y no e∗
. Llamemos
e∗
la soluci´on privada y e∗∗
la soluci´on social. Por lo tanto, el tema es como hacer compatible la
soluci´on social con la privada. Una primera aproximaci´on para lograr esta compatibilidad parte de la
idea de “obligar” al individuo uno a “internalizar el costo” de su externalidad, ya sea v´ıa el pago de
148

149. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
“impuesto” o imponiendo cotas a la demanda. Esta soluci´on interventora es precisamente la soluci´on
que Pigou propone en su famoso trabajo67
. As´ı, supongamos que q denota un precio a la externalidad,
de tal forma que el problema del consumidor uno es ahora
max
x11,x12,e
u1(x11, x12, e)
s.a p1x11 + p2x12 + te · e = p · ω1.
En el problema anterior hemos internalizado la demanda de e. Este problema tiene una soluci´on,
digamos, x1(p, q) y e(p, q). Claramente si q = 0, entonces e(p, 0) = e∗
. Por otro lado, asuminiendo que
es posible, podemos imaginar la existencia de un valor q∗∗
tal que
e(p, q∗∗
) = e∗∗
,
es decir, al imponer precios adecuados (impuestos) podr´ıamos obligar a que la demanda privada coincida
con la demanda social.
Un enfoque distinto del anterior ser´ıa definir un mecanismo de mercado para lograr el mismo
objetivo. En el caso “pigoviano” la idea es hacer inervenir un tercer agente (el Estado) que fija
impuestos (precios) seg´un lo anterior. Sin embargo, si uno define ciertos derechos de los individuos
respecto de la externalidad y permite que estos derechos sean transados en el mercado, ocurre entonces
que bajo ciertas condiciones precisamente esta transacci´on de mercado llevar´a a la misma soluci´on
anterior. Para fijar ideas, supongamos que alg´un Estado garantiza que el individuo dos deber´ıa estar
libre de la externalidad e y que, bajo esta premisa, si el individuo uno de todas formas desea usar
externalidad, debe entonces compensar al individuo dos por los efectos que esta pueda provocar. En
tal caso, el individuo dos ofrece vender parte de su derecho, permitiendo al tipo uno ocupar cierta
cantidad de e, pagando por lo mismo. Si denotamos por q el precio de la externalidad (que ser´a una
variable end´ogena, es decir, por determinar al interior del equilibrio), el problema del consumidor uno
es
max u1(x1, e)
s.a p · x1 = p · ω1 − qe,
mientras que aquel del individuo dos es
max u2(x2, e)
s.a p · x2 = p · ω2 + qe.
En el modelo anterior, el individuo dos tiene el “derecho” a un ambiente libre de la externalidad
e. Si el individuo uno decide demandar una cierta cantidad e, debe entonces dado un precio q por
unidad, debe pagarle al individuo una cantidad qe, la que obviamente se resta de su riqueza. De lo
anterior entonces, dados los precios, en situaci´on de optimalidad ocurre que si el individuo uno decide
incrementar en una unidad el consumo de externalidad, su utilidad marginal ser´a ∂u1
∂e , y el costo de esto
es −q. Ahora, si el individuo dos decide vender una unidad de externalidad, su des-utilidad marginal
es ∂u1
∂e , pero recibe una ganancia q. Luego, en situaci´on optimal se debe cumplir que
∂u1
∂e
− q = 0,
∂u2
∂e
+ q = 0 ⇒
∂u1
∂e
+
∂u2
∂e
= 0. (72)
Por el lado de los bienes, en el ´optimo obviamente se debe cumplir la igualdad de tasas marginales de
sustituci´on. Con esto, las condiciones de optimalidad que se obtiene en este problema son las mismas
que ten´ıamos para el problema social antes detallado. Por lo tanto, la soluci´on de este problema
debe coincidir con dicho ´optimo social. La gran conclusi´on es entonces que: definiendo derechos
sobre la externalidad (es decir, introduciendo un mercado para la misma) y dejando que los individuos
intercambien libremente, la demanda ´optima de externalidad es aquella que se tendr´ıa como soluci´on
´optima social. En otras palabras, este modelo simple nos muestra que una alternativa a la intervenci´on
67Ver en http://www.econlib.org/library/NPDBooks/Pigou/pgEW.html
149

150. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
a la Pigou es precisamente dejar en claro los derechos de propiedad de los individuos respecto de la
externalidad y dejar que un mecanismo de mercado asigne los recursos. Este resultado, en forma
simple, es precisamente el Teorema de Coase68
: ante presencia de determinadas externalidades
(efectos externos) siempre ser´a posible la consecuci´on de una externalidad ´optima, compatible con el
m´aximo bienestar social. Esto se lograr´a a trav´es de la negociaci´on entre las partes, bajo el supuesto
que (i) que los derechos de propiedad de las distintas partes est´en bien asignados, (ii) que no existan
costos de transacci´on y (iii) que no existan efectos renta.
Nota 9.1 La transacci´on de derechos puede tener costos tan elevados que absorban completamente los
beneficios derivados del intercambio. Para fijar ideas, supongamos que una planta qu´ımica muy eficiente
se instala en la ribera de r´ıo, de tal manera que para producir necesariamente debe contaminar. Si r´ıo
abajo est´a instalada una planta lechera que ocupa agua del r´ıo, que ex-ante la instalaci´on de la planta
qu´ımica ocupaba el agua pura para producir, obviamente con la instalaci´on no podr´a producir. Si la
planta lechera tiene el derecho a agua pura, entonces la planta qu´ımica se instalar´a toda vez que llegue
a un acuerdo privado con la planta lechera respecto de cuanto pueda contaminar. Si efectivamente
contamina, deber´a entonces compensar a la planta lechera por un monto que acuerden. As´ı, Coase
funciona... Supongamos ahora que no hay planta lechera, de tal forma que ahora los perjudicados son
ba˜nistas del r´ıo, wuienes gen´ericamente tiene derecho a tener un ambiente libre de contaminaci´on para
su diversi´ıon. Para hacer su operacio´on, la plan tiene entonces que ponerse de acuerdo con dichas
personas. C´omo podr´a identificar a todos y cada uno de ba˜nistas y ponerse de acuerdo con cada uno
de ellos respecto del monto de la indemnizaci´on? Siempre aparecer´an nuevos individuos afirmando
que ten´ıan la intenci´on de ir ba˜narse al r´ıo y que por tanto quieren una indemnizaci´on. Por otro lado,
podr´ıa aparecer alguno que se aproveche de la situaci´on de tal manera que estando consciente que puede
impedir por s´ı solo que la planta qu´ımica entre en funcionamiento, pedir´a para s´ı una indemnizaci´on
excesiva. En este caso, los costos de transacci´on podr´ıan ser muy altos y con ello no necesariamente
una soluci´on de mercado es las que nos llevar´a al ´optimo social.
Nota 9.2 Otro efecto que puede ocurrir con el tema de los mercados de derechos, es que producto de
las transacciones algunos individuos pueden cambiar la renta y con ello su demanda por ciertos bienes.
Si la compensaci´on es alta, entonces determinados individuos que antes no valoraban la calidad del
medio ambiente pueden ahora, por efecto renta, valorarlo m´as de lo que lo hac´ıan originalmente. Esto
puede traer problemas que dificulten la negociaci´on ya que, por ejemplo, ex post el contrato pueden
alegar que no estan de acuerdo con el precio, que se “oponen a la externalidad”, etc. Este efecto renta
es despreciado en el Teorema de Coase.
Nota 9.3 Algunas criticas que ha recibido el enfoque de Coase se deben a Samuelson, qui´en dice que
con el teorema de Coase usualmente la riqueza no ser´a m´axima a´un con costos de transacci´on nulos.
Lo anterior ya que siempre habr´a en la negociaci´on un monopolio bilateral que lleve a un resultado
indeterminado, por miedo a empeorar una situaci´on de status quo existentre. Coase dice que esta
argumentaci´on es err´onea porque si ya hab´ıa contrato, las condiciones del mismo se cumplen, y si no
hay contrato no hay condici´on que poner en peligro. Dice Coase que Samuelson plantea esto porque
quiz´a considera una situaci´on en que no existe contrato ni intercambio, al no ponerse de acuerdo las
partes, y ello afecta a las ganancias. En ese caso, es posible que no se maximice la riqueza, pero dice
Coase que esas situaciones ser´an m´ınimas. Sin embargo Coase no argumenta por qu´e eso es as´ı, por lo
que cabe poner en tela de juicio la postura de ambos. Otra cr´ıtica a Coase es que, realmente, existen
efectos renta que var´ıan la asignaci´on de recursos. Pero lo que hace Coase es suponer un efecto total
de ingreso es cero tras la negociaci´on, por lo que no deber´ıa haber una modificaci´on en la asignaci´on de
recursos que invalide el teorema. En referencia a la asignaci´on de derechos, Coase afirma que si existen
costos de transacci´on nulos, aunque cambie la situaci´on legal la asignaci´on de recursos no var´ıa. En
cambio dicen sus cr´ıticos que ante una modificaci´on de las leyes var´ıa la distribuci´on de la riqueza, lo
cual da lugar a variaciones de la demanda y consecuentes cambios en la asignaci´on de recursos. Coase
niega esto, porque se ha explicado ya que la distribuci´on de riqueza no var´ıa ante cambios de leyes..
68Para m´as detalles y ejemplos, ver R. H. Coase (1994): “La empresa, el mercado y la ley”. Alianza Editorial. Madrid,
1994.
150

151. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
9.2 Bienes p´ublicos
Cuando (i) una manzana es consumida por un determinado individuo, se acab´o la manzana y nadie
nunca m´as podr´a consumir dicha manzana. Cuando algui´en ocupa (ii) una “balza p´ublica” para cruzar
un r´ıo, en el momento de ocuparla prohibe el uso de la misma por cualquier otra persona (balza chica),
pero una vez que la ha desocupado cualquier otro individuo puede hacer uso de la misma. An´alogo
con (iii) una balza por la cual hay que pagar alg´un peaje: el uso de ella en determinado momento
prohibe el uso de la misma por parte de cualquier otro individuo, pero una vez desocupada, cualquiera
que pague el peaje puede hacer uso. Por otro lado, (iv) la se˜nal p´ublica de TV es gratis para todos, a
nadie le est´a prohibido su consumo y adem´as cuando algui´en disfruta la TV nada implica respecto de
la calidad de la se˜nal que otros pueden recibir. Finalmente, (v) en general a nadie le est´a prohibido
pescar deportivamente en un lago, pero cuando lo hace ocurre que la cantidad de peces disponibles
para el resto de los individuos claramente se ve modificada. Salvo el ejemplo (i), todos los otros dan
cuenta de lo que en econom´ıa se denominan bienes p´ublicos.
Un bien privado es bien tal que su consumo puede ser hecho por una ´unica persona de manera
que una vez consumido no puede ser aprovechado por otro individuo y que adem´as dicho consumo no
implica externalidades hacia los dem´as. Por otro lado, un bien p´ublico es simplemente un bien que
puede ser consumido por m´as de un individuo, aunque no necesariamente en forma simult´anea.
Los bienes p´ublicos pueden a su vez ser clasificados seg´un sean rivales o excluyentes. Un bien
p´uublico se dice no rival si el consumo del mismo no reduce la cantidad disponible para otros indi-
viduos. Tal es el caso de la se˜nal de TV del ejemplo (iv) anterior. Los peces del lago seg´un el ejemplo
(v) son bienes p´ublicos rivales: son bienes p ublicos por que los peces pueden ser consuimidos por
cualquiera, son rivales ya que la cantidad de peces disponibles para el resto dependen de la cantidad
de peces que uno de los pescadores haya pescado.
Un bien p´ublico se dice no excluyente si ning´un individuo puede ser excluido de su consumo.
Ejemplos de no exclusi´on son la balsa p´ublica (ejemplo (ii), la se˜nal de TV (iv), y los peces del lago
seg´un el ejemplo (v). Un bien p´ublico excluyente es la balza privada del ejemplo (iii) anterior: es un
bien p´ublico (puede ser consumido por varios individuos) pero es escluyente ya que se debe pagar por
el uso.
Note que la naturaleza del bien p´ublico nada tiene que ver con sea el sector p´ublico que lo provea.
La idea de p´ublico viene de la posibilidad que m´as de un agente haga uso y goce del mismo.
Ejemplo 9.2 El bien p´ublico “plaza” es no rival ni excluyente. El bien p´ublico “carretera concesion-
ada” es un bien no rival pero excluyente: no es rival ya que el consumo de la cerretera no implica
que la carretera se acabe para el resto; es excluyente ya que para usarla se debe pagar. Sobre este
mismo ejemplo, la “carretera libre” es un bien p´ublico no excluyente, que cuando tiene poca demanda
(tr´afico) puede ser considerado no rival. Sin embargo, ante una alta solicitud se convierte en un bine
p´ublico rival o, como se plantea por algunos, parcialmente rival. De hecho, en econom´ıa se habla de
la congesti´on como un fen´omeno de rivalidad parcial. Finalmente, note que un bien p´ublico rival pero
no excluyente son los peces de un lago seg´un el ejemplo (v): es rival ya que el consumo por parte de
algunos obviamente incide en la cantidad disponible para los otros; no es excluyente ya que dific´ılmente
podr´ıamos prohibir la pesca deportiva en determinado lago.
Usando los conceptos anteriores, los bienes privados son simplemente aquellos que son rival
ni excluyentes: el consumo de un bien privado prohibe el consumo del mismo por parte de otro
individuo (rivalidad) y, por otro lado, su consumo no es ‘libre” ya que se debe pagar por el mismo
(excludabilidad).
Por lo anterior, el bien p´ublico es entonces aquel que no es privado, es decir, un bien tal
que: (a) o no es ni rival ni excluyente, (b) o es rival pero no excluyente, (c)o es excluyente pero no
rival. Ejemplo de (a) es la plaza, la balza p´ublica anterior, la se˜nal de TV abierta, etc.; ejemplo de
(b) son los peces de un lago que son usados para pesca deportiva; ejemplo de (c) es la “balza privada”
anterior: no es rival ya que el uso de la balza por alguien no prohibe el uso de la misma por otro, es
151

152. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
excluyente ya que se debe pagar por el uso, de tal forma que no todos pueden acceder a la misma. El
siguiente cuadro resume la nomenclatura que existe al respecto:
Rival No Rival
No Excluyente Bien P´ublico Puro “Recursos Comunes”
Excluyente Bien de club Bien privado
En todo lo que sigue, trabajaremos con bienes p´ublicos puros y consideremos un modelo
simple donde en la econom´ıa hay s´olo dos benes: uno privado y uno p´ublico que elabora una firma a
partir de bien privado. Asumimos que hay m consumidores que consumen los bienes privado y p´ublico.
Las dotaciones iniciales de bien privado del consumidor i ∈ I = {1, 2, . . ., m} son ωi ∈ R+ y la funci´on
de utilidad del tipo es ui. El bien p´ublico puro se asume deseable por todos los individuos. Por lo
tanto, si y ∈ R+ denota la cantidad de bien p´ublico disponible, entonces de la no rivalidad y la no
exclusi´on del mismo, la cantidad que consume cada individuo es precismente y. Dado esto, si xi ∈ R+
denota el consumo privado, la utilidad del tipo i ∈ I es simplemente ui(xi, y).
Finalmente, denotemos por f la funci´on de producci´on que elabora bien p´ublico a partir de bien
privado. As´ı, dada una cantidad xG
i de bien privado aportado por cada individuo para efectos de la
producci´on de bien p´ublico, resulta entonces que la cantidad disponible del mismo en el mercado es
y = f
i∈I
xG
i .
Con esto, dadas las contribuciones del resto de los individuos, asumiendo que el bien privado
tiene precio unitario (numerario), el problema del consumidor i ∈ I es entonces



max
xi,xG
i
ui(xi, y)
s.a xi + xG
i = ωi
y = f xG
i +
j∈I{i}
xG
j ,
es decir, dado lo que los otros est´an haciendo en materia de bien p´ublico, el problema es escoger
la cantidad de bien p´ublico y privado conducente a maximizar la funci´on de utilidad anterior. Sea
δ−i =
j∈I{i}
xG
j . Dado esto, el problema del individuo i ∈ I se puede re-escribir como
max
xG
i
ui ωi − xG
i , f xG
i + δ−i
La imponer las condiciones de optimalidad sigue que
−
∂ui
∂xi
+
∂ui
∂y
∂f
∂xG
i
= 0,
es decir,
∂ui
∂xi
∂ui
∂y
=
∂f
∂xG
i
,
es decir, que la relaci´on marginal de sustituci´on entre bien p´ublico y privado es igual al producto
marginal que se tiene con el aporte individual de bien privado para la provisi´on de bien p´ublico. Esta
´ultima se puede entender a su vez como la relaci´on marginal de transformaci´on entre bien p´ublico y
bien privado.
Obviamente que lo anterior es condicionar al aporte que han hecho los otros individuos. Esto no
altera el an´alisis que sigue. Lo relevante es que, desde el punto de vista privado, en el ´optimo se cumple
la igualdad anterior. Veamos ahora si la forma de provisionar bien p´ublico a partir de las decisiones
152

153. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
privadas como la anterior es eficiente. Recordemos que para hablar de eficiencia necesitamos definir
una funci´on de utilidad social. Sean entonces una funci´on de utilidad social de la forma
U =
i∈I
αiui.
Dado esto, el problema social para determinar la provisi´on ´optima de bien p´ublico es



max
xi, z
U(x1, x2, . . . , xm, y)
s.a
i∈I
xi + z =
i∈I
ωi
y = f(z).
Para imponer las condiciones de optimalidad, al reemplazar la segunda restricci´on en la funci´on
objetivo, resulta que el Lagrangeano del problema es
L =
i∈I
αiui(xi, f(z)) + λ
i∈I
xi + z =
i∈I
ωi
por lo que las condiciones de optimalidad son
αi
∂ui
∂xi
+ λ = 0
i∈I
αi
∂ui
∂y
∂f
∂z
+ λ = 0.
De la primera ecuaci´on,
αi = −
λ
∂ui
∂xi
⇒
i∈I
−
λ
∂ui
∂xi
∂ui
∂y
∂f
∂z
+ λ = 0 ⇔
i∈I
∂ui
∂y
∂ui
∂xi
=
1
∂f
∂z
.
Como la recipr´oca de la relaci´on marginal de sustituci´on entre a y b es la relaci´on marginal entre
b y a, lo anterior nos dice que, desde el punto de vista social, la condici´on que se debe satisfacer en
el ´optimo es que la suma de las relaciones marginales de sustituci´on entre bien p´ublico y
bien privado es igual a la relaci´on marginal de transformaci´on entre bien p´ublico y bien
privado (las rec´ıprocas de las relaciones marginales de sustituci´on entre bien privado y bien p´ublico!).
Claramente esta ´ultima condici´on no tiene nada que ver con la “condici´on privada” que ya habiamos
obtenido.
Una forma de “intuir” el porque la diferencia entre las condiciones sociales y privada seg´un lo
anterior viene del hecho que, desde el punto de vista privado, a cada individuo le conviene que sea
su vecino qui´en haga el sacrificio en bienes privados para financiar un bien p´ublico, el cual, ex post,
puede utilizar sin problemas. Esto es, ni m´as ni menos, que el denominado problema del “free rider”
en econom´ıa.
153

154. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Part IV
Ap´endice: Repaso Matem´atico
10 La derivada y conceptos relacionados
10.1 Conceptos B´asicos
Dada una funci´on f : Rn
→ R, recordemos que la derivada parcial c.r a la variable xj, evaluada en
x∗
= (x∗
1, x∗
2, ..., x∗
n), se define como:
∂f(x∗
)
∂xj
= lim
hj →0
f(x∗
1, x∗
2, ..., x∗
j + hj, x∗
j+1, ..., x∗
n) − f(x∗
1, x∗
2, ..., x∗
n)
hj
,
es decir, la derivada de la funci´on c.r a la variable indicada, asumiendo que todo el resto es constante.
En forma an´aloga, la segunda derivada parcial c.r a las variables xi, xj (que denotaremos ∂2
f(x∗
)
∂xi∂xj
)
se define como la derivada parcial c.r a xi de la derivada parcial c.r. a xj, es decir:
∂2
f(x∗
)
∂xi∂xj
=
∂ ∂f(x∗
)
∂xj
∂xi
.
En lo que sigue, asumiremos que las dobles derivadas parciales cruzadas son iguales69
. En otras
palabras, en todo lo que sigue trabajaremos bajo el siguiente supuesto:
∂2
f(x∗
)
∂xi∂xj
=
∂2
f(x∗
)
∂xj∂xi
, ∀ i, j.
Dadas las dobles derivadas parciales, para una funci´on, de varias variables, f : Rn
→ R, la segunda
derivada es una matriz de n×n, llamada matriz Hessiana, cuyos elementos constituyentes son dichas
dobles derivadas parciales. De esta manera, la matriz Hessiana corresponde a:
H(f, x∗
) =







∂2
f(x∗
)
∂x1∂x1
∂2
f(x∗
)
∂x1∂x2
· · · ∂2
f(x∗
)
∂x1∂xn
∂2
f(x∗
)
∂x2∂x1
∂2
f(x∗
)
∂x2∂x2
· · · ∂2
f(x∗
)
∂x2∂xn
...
...
...
...
∂2
f(x∗
)
∂xn∂x1
∂2
f(x∗
)
∂xn∂x2
· · · ∂2
f(x∗
)
∂xn∂xn







Para el caso de una funci´on f : R → R (es decir, de una variable), los conceptos son similares a
los anteriores, pero ahora considerando que s´olo tenemos una ´unica fuente de variaci´on (una variable).
As´ı, la derivada en x∗
, que ser´a denotada, indistintatemte, como f′
(x∗
) o df(x∗
)
dx o Df(x∗
), y ser´a
definida como:
f′
(x∗
) = lim
h→0
f(x∗
+ h) − f(x∗
)
h
.
De manera natural se define la segunda derivada de una funci´on de una variable como la derivada
de la derivada. As´ı tendremos que70
:
69En rigor, para ello basta que las funciones sean dos veces diferenciables y que las derivadas parciales sean continuas,
vistas como funci´on. En lo que sigue asumiremos tales condiciones, que aunque algo t´ecnicas, se verifican en la mayor´ıa
de los casos de nuestro inter´es.
70Para definir la derivada de orden n de una funci´on de una variable, se procede en forma recursiva: definida la derivada
de orden (n − 1), la derivada de orden n en un punto es simplemente la derivada de la derivada de orden (n − 1) en dicho
punto. Es decir:
f(n)
(x∗
) =
df(n−1)(x∗)
dx
= lim
h→0
f(n−1)(x∗ + h) − f(n−1)(x∗)
h
.
Para una funci´on de varias variables f : Rn → R, definir una derivada de orden mayor a 2 es complejo. Note que en
dicho caso, la primera derivada es un vector y la segunda una matriz. Siguiendo con esa l´ogica, la tercera derivada ser´a
un cubo, la cuarta un hipercubo, etc. Muy complejo en notaci´on y dif´ıcil de interpretar.
154

155. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
f′′
(x∗
) = lim
h→0
f′
(x∗
+ h) − f′
(x∗
)
h
.
Geom´etricamente, la primera derivada se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente
al gr´afico de la funci´on en el punto (x∗
, f(x∗
)) tal como se ilustra en la siguiente Figura 62:
Figure 62: Interpretaci´on de la derivada como pendiente de la tangente en el punto
f(x∗
)
x∗
m = f′
(x∗
)
f
Puesto que la pendiente de la recta es m = f′
(x∗
) y pasa por el punto (x∗
, f(x∗
)), la ecuaci´on de
la misma es,
y = f(x∗
) + f′
(x∗
) · (x − x∗
).
Para una funci´on de varias variables, la interpretaci´on geom´etrica de la derivada parcial corresponde
a la pendiente de las rectas tangentes seg´un la direcci´on de los ejes, tomadas en el plano tangente a la
superficie que define la funci´on. La siguiente figura es ilustrativa de lo indicado:
Figure 63: Derivadas parciales: pendientes de plano tangente para funci´on de dos variables
x1
(1)
(x1, x2)
x2 (2)
d2
d1
z = f(x1, x2)
155

156. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Algunas reglas b´asicas de derivaci´on se resumen en la siguiente proposici´on:
Proposici´on 10.1 Dadas las funciones f1, f2 : Rn
→ R, y h1, h2 : R → R y dado α ∈ R se tiene
entonces lo siguiente:
a.- ∂[f1+αf2](x)
∂xi
= ∂f1(x)
∂xi
+ α∂f2(x)
∂xi
; [h1 + αh2]
′
(x) = h′
1(x) + αh′
2(x): regla de la suma y la
ponderaci´on.
b.- ∂[f1·f2](x)
∂xi
= ∂f1(x)
∂xi
· f2(x1, x2) + f1(x1, x2) · ∂f2(x)
∂xi
; [h1(x) · h2(x)]
′
= h′
1(x) · h2(x) + h1(x) · h′
2(x):
regla del producto.
c.- h1(x)
h2(x)
′
=
h2(x)·h′
1(x)−h1(x)·h′
2(x)
h2
2(x)
: regla del cuociente (an´alogo con derivadas parciales).
Tal vez la regla de derivaci´on m´as importantes (y probablemente la m´as d´ıficil de comprender) es
la llamada regla de la cadena. Para ilustrar supongamos que un cierto fen´omeno econ´omico est´a
modelado por una funci´on f que depende de las variables x1, x2 y x3, las que a su vez dependen de
las variables p1 y p2: digamos, xi = xi(p1, p2), i = 1, 2, 3. Sabemos que una peque˜na variaci´on en x1
implica un cambio en la funci´on, el cual puede ser estimado por la derivada parcial correspondiente.
En efecto, si inicialmente los valores son x1, x2 y x3 dados, el valor de la funci´on es f(x1, x2, x3). Si
hay un cambio en δ ∈ R en la variable x1, el cambio en la funci´on ser´a,
∆f = f(x1 + δ, x2, x3) − f(x1, x2, x3),
y por lo tanto el cambio porcentual ser´a,
f(x1 + δ, x2, x3) − f(x1, x2, x3)
δ
.
Cuando δ es peque˜no, este cambio porcentual es aproximadamente la derivada. As´ı, tenemos la
siguiente aproximaci´on:
f(x1 + δ, x2, x3) − f(x1, x2, x3)
δ
≃
∂f(x1, x2)
∂x1
.
Luego,
f(x1 + δ, x2, x3) − f(x1, x2, x3) ≃ δ ·
∂f(x1, x2)
∂x1
.
Notemos en consecuencia que cuando δ = 1 se tiene que,
f(x1 + 1, x2, x3) − f(x1, x2, x3) ≃
∂f(x1, x2)
∂x1
lo que justifica el uso de la derivada para medir lo que en econom´ıa denominamos el cambio marginal:
c´omo cambia el valor de la funci´on cuando una de sus variables aumenta en una unidad.
De todo lo anterior, adem´as de la interpretaci´on de marginalidad, lo relevante es que un cambio
en una de las variables xi se puede estimar s´olo por la derivada parcial correspondiente. Sin embargo,
dada la dependencia de las variables en p1, p2, la pregunta que surge ahora es sobre el efecto en la
funci´on que tiene un cambio en alguna de estas variables. Vamos por partes. Si p1 cambia en δ,
entonces por un lado se ver´an afectadas las tres variables x1, x2, x2. El efecto en estas se puede estimar
por las derivadas parciales:
∂xi(p1, p2)
∂p1
≡
∂xi
∂p1
, i = 1, 2, 3.
Pero, por otro lado, un cambio en las variables xi implica cambios en la funci´on, que pueden ser
estimados por,
156

157. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
∂f(x1, x2, x3)
∂xi
, i = 1, 2, 3.
Lo que la regla de la cadena establece es que el cambio en la funci´on, dado un cambio en p1, es
simplemente la suma ponderada de todos los cambios anteriores:
∂f(x1, x2, x3)
∂p1
=
∂f(x1, x2, x3)
∂x1
·
∂x1
∂p1
+
∂f(x1, x2, x3)
∂x2
·
∂x2
∂p1
+
∂f(x1, x2, x3)
∂x3
·
∂x3
∂p1
:
Es decir, un cambio en la funci´on, dado cambio en p1, es igual a suma de cambios en la funci´on, dados
los cambios en las variables xi (las derivadas parciales ∂f
∂xi
) por el cambio en las variables xi, dados
los cambios en p1 (las derivadas parciales ∂xi
∂p1
).
Esta es una regla de derivaci´on muy importante. El siguiente ejemplo ilustra una aplicaci´on.
Ejemplo 10.1 Dada una funci´on de dos variables f(x1, x2), consideremos todos los puntos x1, x2 tales
que f(x1, x2) = α, con α constante. En este caso, est´a definida una relaci´on impl´ıcita entre x1 y x2,
que se puede obtener de despejar x2 en funci´on de x1 de la igualdad anterior. Denotemos dicha relaci´on
como x2 = x2(x1). Luego, la expresi´on funcional se puede reescribir como:
f(x1, x2(x1)) = α.
Derivemos lo anterior con respecto a x1. As´ı, aplicando la regla de la cadena, se tiene que:
∂f(x1, x2(x1))
∂x1
=
∂f(x1, x2(x1))
∂x1
·
∂x1
∂x1
+
∂f(x1, x2(x1))
∂x2
·
∂x2(x1)
∂x1
=
∂α
∂x1
= 0
pues α no depende de x1. Considerando que ∂x1
∂x1
= 1 y despejando de lo anterior, se tiene que
∂x2(x1)
∂x1
= −
∂f(x1,x2(x1))
∂x1
∂f(x1,x2(x1))
∂x2
.
Ejercicio 10.1 Suponga que f(x1, x2) = xa
1 · xb
2.
a.- Despeje x2 en funci´on de x1 a partir de la igualdad f(x1, x2) = α. Derive la expresi´on resultante
en funci´on de x1.
b.- Aplique lo visto en el ejemplo para calcular la derivada y compruebe que coincide con lo anterior.
10.2 El estudio del crecimiento
Una aplicaci´on importante de las derivadas se relaciona con el estudio de crecimiento (o decrecimiento)
de las funciones. Recordemos que una funci´on f : R → R es creciente si y s´olo si,
∀x, y ∈ R : x < y ⇒ f(x) ≤ f(y),
es decir, si aumenta la variable, la funci´on o bien aumenta o se mantiene, nunca disminuye. Si fuera
que aumentos estrictos en la variables implican aumentos estrictos en la funci´on, se dice que esta es
estrictamente creciente:
∀x, y ∈ R : x < y ⇒ f(x) < f(y).
La Figura 64 ilustra la diferencia entre una funci´on creciente y una estrictamente creciente:
157

158. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 64: Funciones Crecientes y Estrictamente Crecientes
Creciente Estrictamente Creciente Estrictamente Creciente Estrictamente Creciente
(1)
(2)
(3)
(4)
A partir de lo anterior, se tiene la siguiente caracterizaci´on de una funci´on creciente (diferenciable)
en t´erminos de las derivadas:
Proposici´on 10.2 Una funci´on f : R → R es creciente si y s´olo si f′
(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R. M´as aun, la
funci´on es estrictamente creciente si y s´olo si f′
(x) > 0, ∀ x ∈ R.
Que la derivada sea positiva, significa que un cambio positivo en x (es decir, un aumento) implica
un cambio positivo en la funci´on (derivada positiva); luego, la funci´on crece cuando x crece. Por el
contrario, un cambio negativo en x (es decir, una disminuci´on) implica un cambio negativo en la funci´on
(para que el cuociente que define la derivada sea positivo), luego la funci´on disminuye si x lo hace, es
decir, lo que equivale a decir que la funci´on es creciente.
Para el caso de una funci´on de varias variables, que una derivada parcial sea positiva significa que,
mantiendo constante el resto de las variables, la funci´on es creciente c.r a aquella con respecto a la cual
se realiza la derivaci´on.
Finalmente, en forma sim´etrica al resultado anterior se tiene una caracterizaci´on de las funciones
decrecientes:
Una funci´on f : R → R es decreciente, si y s´olo si, su derivada es negativa en todos los puntos de su
dominio.
Ahora bien, de la figura anterior notemos que aun cuando las funciones (2) y (3) son crecientes, en
el primer caso la derivada es creciente, mientras que para la funci´on (3) su derivada es decreciente. Los
gr´aficos respectivos son los siguientes71
:
71Para determinar si la derivada es creciente o decreciente utilizando s´olo el grafo de la funci´on, basta ver como cambia
la pendiente de la tangente a la curva. Imaginar que se est´a esquiando en la curva y ver si el esqu´ı se inclina hacia
arriba (creciente) o hacia abajo (decreciente) en la medida que se avanza sobre el eje x. Si el esqu´ı se inclina hacia
arriba significa que la derivada es creciente, ya que la pendiente es creciente; por lo tanto es el caso de una funci´on cuya
derivada es creciente. No confundir esto con que a su vez la funci´on sea creciente o no: una funci´on puede tener derivada
decreciente pero ella ser creciente. Un ejemplo de esto es f(x) = ln(x), x > 0: la funci´on es creciente (el logaritmo lo
es), pero su derivada es f′(x) = 1/x, que es decreciente.
158

159. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 65: Funciones estrictamente crecientes y sus derivadas correspondientes.
Funci´on
(2)
(3)
Estrictamente Creciente Estrictamente Creciente
(3)
(2)
Derivada
Este no es el caso, por ejemplo, de la funci´on (4), ya que su deriva es creciente en un rango y
decreciente en otro. Las funciones que tienen, ya sea, derivada creciente o derivada decreciente en
todo el rango de su dominio son fundamentales en econom´ıa. Son las llamadas funciones convexas
(derivada creciente) o c´oncavas (derivada decreciente). La definici´on es un poco m´as general que la
caracterizaci´on anterior72
.
10.3 Convexidad
En lo que sigue dedicaremos tiempo a estudiar el concepto convexidad (o concavidad) de funciones,
que es fundamental en econom´ıa.
Definici´on 10.1 Dados x, y ∈ Rn
, f : Rn
→ R y dado λ ∈ [0, 1] cualquiera, se tiene entonces la
siguiente definici´on:
a.- Combinaci´on convexa de puntos. Una combinaci´on convexa de los puntos x e y es cualquier
valor de la forma λx + (1 − λ)y ∈ Rn
.
b.- Diremos que f es una funci´on convexa si
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y).
72El concepto aplica, por ejemplo, a funciones de varias variables, a valores reales.
159

160. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
c.- Diremos que f es una funci´on c´oncava si
f(λx + (1 − λ)y) ≥ λf(x) + (1 − λ)f(y).
El conjunto de todas combinaciones convexas de dos puntos x e y corresponde al segmento de l´ınea
recta que une ambos puntos. De esta manera, un punto cualquiera de la combinaci´on convexa de otros
dos se puede entender como un valor promedio ponderado de los mismos, donde los extremos de estos
promedios son simplemente x e y. Note que si λ = 1/2 es el promedio simple; si λ = 0 corresponde a
y mientras que si λ = 1 corresponde a x.
De esta manera, utilizando el concepto anterior, la funci´on f(·) es convexa si evaluada en el promedio
ponderado de dos puntos (f(λx+ (1 − λ)y)), el resultado obtenido es menor que el promedio ponderado
de los valores de la funci´on (λf(x) + (1 − λ)f(y)). Para el caso de las c´oncavas la situaci´on es la
contraria: la funci´on en la combinaci´on convexa es mayor que la combinaci´on convexa de los valores
de la funci´on.
La Figura 66 ilustra el concepto de concavidad y convexidad utilizando la definici´on anterior:
Figure 66: Concavidad y convexidad
e
d
c
b
x a y
En la figura, a = λx + (1 − λ)y, λ ∈ [0, 1] (promedio ponderado de x e y); b = f(a) (valor de la
funci´on en el promedio), c = f(x), e = f(y), d = λc + (1 − λ)e (promedio ponderado de los valores de
la funci´on); como hay convexidad, se tiene que d ≥ b como se muestra en la figura.
Gr´aficamente las funciones convexas pueden ser como aquella de la figura anterior. Sin embargo,
la forma puede variar un poco, tal como se muestra en la Figura 67 que ilustra cuatro gr´aficos de
funciones convexas:
Figure 67: Funciones convexas
160

161. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Una forma sencilla de caracterizar la convexidad de funciones es a trav´es de sus derivadas. Ya
sabemos que para funciones de una variable, la convexidad (concavidad) se tiene cuando la primera
derivada es creciente (decreciente). Pero, una funci´on es creciente (decreciente) si y s´olo si su derivada
es positiva (negativa). Por lo tanto, una funci´on ser´a convexa (c´oncava) si y s´olo si su derivada segunda
(derivada de la derivada) es positiva (negativa). Esto se resume en la siguiente proposici´on fundamental.
Proposici´on 10.3 Una funci´on dos veces diferenciable f : R → R es convexa (c´oncava) si y s´olo si
f′′
(x) ≥ 0 (f′′
(x) ≤ 0) para todo x en el dominio.
Para el caso de una funci´on de varias variables, la caracterizaci´on en t´erminos de la segundas
derivadas parciales es algo m´as compleja de enunciar. De hecho, el resultado que se tiene es el siguiente:
una funci´on f : Rn
→ R es convexa, si y s´olo si, su matriz Hessiana es semi-definida positiva en todo
el dominio. Esta condici´on t´ecnica se tiene cuando, por ejemplo, los valores propios de dicha matriz
son mayores o iguales a cero. Un caso particular importante (dos variables) es el siguiente.
Proposici´on 10.4 Dada una funci´on f : R2
→ R, se tiene que es convexa si y s´olo si
∂2
f(x1, x2)
∂x2
1
+
∂2
f(x1, x2)
∂x2
2
≥ 0
y adem´as
∂2
f(x1, x2)
∂x2
1
·
∂2
f(x1, x2)
∂x2
2
−
∂2
f(x1, x2)
∂x1∂x2
2
≥ 0.
Para el caso de las c´oncavas, las condiciones son que la primera suma sea negativa y que la segunda
diferencia sea positiva.
Definici´on 10.2 Dada una funci´on f : Rn
→ R diremos que:
a.- La funci´on es homog´enea de grado k ∈ N, k = 1, si cumple que para todo t > 1
f(t · x) = tk
· f(x).
b.- La funci´on es homog´enea de grado 1 si cumple que para todo t > 0
f(t · x) = t · f(x).
c.- La funci´on es separable si existen n funciones fi : R → R tales que:
f(x1, x2, ..., xn) = f1(x1) + f2(x2) + ... + fn(xn).
Ejemplo 10.2 Sean α y β dos reales positivos. Dadas las siguientes funciones
i. f1(x1, x2) = xα
1 + βxγ
2 , α = γ
ii. f2(x1, x2) = xα
1 + βxα
2
iii. f3(x1, x2) = xα
1 · xβ
2
iv. f4(x1, x2) = xα
1 · x1−α
2
v. f5(x1, x2) = xα
1 + x1−α
2
se tiene que: f1 es separable; f2 es separable y homog´enea de grado α; f3 no es separable pero es
homog´enea de grado α + β; f4 es homog´enea de grado 1; f5 es s´olo separable.
161

162. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
10.4 Optimizaci´on
Para terminar con esta introducci´on matem´atica, vamos a establecer las condiciones de optimalidad de
un problema de optimizaci´on. En primer lugar, consideremos el caso simple de una funci´on f : R → R,
la que deseamos optimizar sin restricciones. Para ello, previamente necesitamos algunas definiciones
b´asicas.
Definici´on 10.3 Dada f : R → R, diremos que un punto x∗
es:
a.- un m´aximo local de la funci´on si existe un intervalo (x∗
− δ, x∗
+ δ) tal que f(x∗
) ≥ f(x), ∀x ∈
(x∗
− δ, x∗
+ δ).
b.- un m´aximo global de la funci´on si f(x∗
) ≥ f(x), para todo x ∈ R.
c.- un m´ınimo local de la funci´on si existe un intervalo (x∗
− δ, x∗
+ δ) tal que f(x∗
) ≤ f(x), ∀x ∈
(x∗
− δ, x∗
+ δ).
d.- un m´ınimo global de la funci´on si f(x∗
) ≤ f(x), para todo x ∈ R.
La diferencia entre local y global est´a simplemente en que para el concepto local se exige la condici´on
s´olo en un entorno del punto, mientras que para el concepto global se pide para todo el dominio de la
funci´on.
La Figura 68 ilustra los conceptos anteriores:
Figure 68: M´ınimos y M´aximos Locales y Globales (1)
a b c d e f g
En la figura, los puntos a, c, e, g son m´aximos locales, y los puntos b, d, f son m´ınimos locales.
De ellos, g es m´aximo global y b es m´ınimo global.
Para determinar qu´e puntos son m´aximos o m´ınimos locales o globales de una funci´on dada, se
procede de la siguiente forma:
a.- Se encuentran todos los puntos que satisfacen la relaci´on
f′
(x) = 0.
Esta es la llamada condici´on de optimalidad de primer orden o condici´on necesaria de
optimalidad. Supongamos que los puntos candidatos son x1, ..., xk.
b.- Se eval´ua la segunda derivada en los puntos candidatos anteriores. Si ella es negativa en xi se
tiene que dicho punto es un m´aximo local de la funci´on; si la segunda derivada es positiva en
xj se tiene que es un m´ınimo local de la funci´on73
.
73En lo que sigue no vamos a considerar el caso en que la segunda derivada es nula en el punto candidato. En rigor,
existe una regla m´as general que pueden revisar en cualquier libro de c´alculo.
162

163. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
c.- Para saber cual de ellos es el ´optimo global, se eval´ua la funci´on para decidir.
Geom´etricamente la situaci´on es como sigue:
Figure 69: M´ınimos y M´aximos Locales y Globales (2)
a b c d e f g
f′
= 0; f′′
> 0
f′
= 0; f′′
< 0
Una cuesti´on importante: notemos que si la funci´on objetivo es convexa, entonces se tiene que
f′′
(x) > 0 para todo x. Por lo tanto, cualquiera que sea el punto canditato que verifica la condici´on
de primer orden, necesariamente ser´a un punto de m´ınimo local: la funci´on convexa no puede tener
m´aximos locales pues nunca ser´a satisfecha la condici´on de segundo orden. M´as aun, se puede mostrar
que una funci´on convexa tiene un ´unico m´ınimo global, el cual, como sabemos, se encuentra a partir
de las condiciones de primer orden. An´alogo con las funciones c´oncavas y los m´aximos. Esta es otra
propiedad muy importante de las funciones c´oncavas y convexas.
Supongamos que ahora nos preocupa el problema de optimizar una funci´on de varias variables
f : Rn
→ R. Para encontrar m´aximo y m´ınimos locales, el procedemiento es el mismo que antes, s´olo
que ahora la primera derivada igual a cero se reemplaza por el gradiente igual a cero, es decir, que todas
las derivadas parciales sean nulas (condici´on de primer orden), mientras que la condici´on de segundo
orden corresponde a Hessiano definido positivo (m´ınimo) o Hessiano definido negativo (m´aximo).
Sin embargo, si la funci´on objetivo es convexa, al igual que en el caso de una variable, no se
requiere de condiciones de segundo orden para decidir si el punto candidato es m´ınimo local o global:
las funciones convexas tienen un ´unico punto que verifica las condiciones de primer orden y ese punto
es m´ınimo global. An´alogo con funciones c´oncavas y m´aximos globales.
Siguiendo con esta l´ınea, lo que nos preocupa ahora es resolver un problema de optimizaci´on (maxi-
mizaci´on o minimizaci´on), pero considerando que existen restricciones sobre las variables, restricciones
que ser´an resumidas en un conjunto S ⊆ Rn
. Para simplificar el an´alisis, vamos a suponer que S est´a
definido por igualdades de funciones: supongamos dadas m funciones hi : Rn
→ R, i = 1, ..., m, tales
que,
S = {x ∈ Rn
| hi(x) = 0, i = 1, ..., m}.
El problema que nos ocupa es entonces:
S = {x ∈ Rn
| hi(x) = 0, i = 1, ..., m}.
El problema que nos ocupa es entonces:
min (max) f(x)
s.a hi(x) = 0, i = 1, ..., m
163

164. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Diremos que un punto que verifica las restricciones del problema (hi(x) = 0, ∀i = 1, ..., m) es
un punto factible del mismo. De esta manera, nuestro asunto consiste en encontrar, dentro de los
puntos factibles, aquel que minimice (maximice) la funci´on objetivo f. El problema es que no existe
regla general que nos permita encontrar directamente los ´optimos globales de la funci´on, as´ı que s´olo
esperamos disponer de un criterio que nos permita encontrar los ´optimos locales de la misma, para
despu´es analizarlos para determinar cu´al de ellos es global.
Para establecer las condiciones necesarias de optimalidad de primer orden, vamos a introducir el
Lagrangeano del problema de optimizaci´on.
Definici´on 10.4 Dado el problema de optimizaci´on,
min (max) f(x)
s.a hi(x) = 0, i = 1, ..., m
definamos la funci´on,
L : Rn
× Rm
→ R
tal que,
L(x1, x2, ..., xn, λ1, λ2, ..., λm) = f(x) +
m
i=1
λi · hi(x).
Esta funci´on es el denominado Lagrangeano del problema de optimizaci´on.
Con lo anterior se tiene que bajo condiciones bastantes generales sobre la funci´on, si x∗
es un punto
m´ınimo (m´aximo) local de f sujeto a las restricciones hi(x) = 0, i = 1, ..., m, entonces existen valores
λ1, λ2, ..., λm ∈ R tales que,
∂f(x∗
)
∂xi
+
m
j=1
λj
∂hj(x∗
)
∂xi
= 0, i = 1, ..., n,
es decir, el gradiente de la funci´on objetivo y los gradientes de las restricciones son linealmente
dependientes en el punto en cuesti´on. Si a esto agregamos las restricciones del problema, se tiene un
sistema de n + m ecuaciones con n + m inc´ognitas, el cual en teor´ıa podemos resolver.
Es importante se˜nalar que cuando la funci´on objetivo es convexa, las condiciones anteriores derivan
en ecuaciones que permiten el punto de m´ınimo global de la misma sujeto a las restricciones del
problema; por el contrario, si la funci´on objetivo es c´oncava dichas condiciones nos permiten encontrar
el punto de m´aximo global de la misma sujeto a las restricciones.
En general, las condiciones de Lagrange son s´olo necesarias y en rigor, salvo el caso c´oncavo -
convexo, se requiere de condiciones de segundo orden para determinar si el punto candidato es m´aximo
o m´ınimo local.
En todo lo que sigue, supondremos que el problema de optimizaci´on planteado es
tal que con las condiciones de primer orden se encuentra directamente la soluci´on, sin
necesidad de utilizar condiciones de segundo orden. Como se ha indicado, este es el caso
de problemas de maximizaci´on con funciones objetivo c´oncavas y de minimizaci´on con
funciones objetivo convexas.
Ejemplo 10.3 a.- Dadas las funciones f1(x, y) = sen(a · x2
· y), f2(x, y) = [a · xr
+ b · yr
]
1
r
se tiene
que (verificar),
∂f1(x,y)
∂x = 2 a x y cos[a x2
y]
164

165. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
∂2
f1(x,y)
∂x2 = 2 a y cos[a x2
y] − 4 a2
x2
y2
sen[a x2
y]
∂f2(x,y)
∂x = a x(−1+r)
· (axr
+ byr
)
−1+(1/r)
∂2
f2(x,y)
∂x2 = a2
· (−1 + 1/r)rx−2+2/r
(axr
+ byr
)
−2+1/r
+ a(−1 + r)x−2+r
(axr
+ byr
)
−1+1/r
∂2
f2(x,y)
∂x∂y = (ab)(−1 + 1/r)rx−1+r
y−1+r
(axr
+ byr
)
−2+(1/r)
b.- Dada la funci´on f(x, y) = bx + x2
+ cy − axy + 5y2
, recordemos que las condiciones necesarias
de optimalidad son:
∂f(x, y)
∂x
= 0,
∂f(x, y)
∂y
= 0.
En este caso, el punto que satisface el sistema anterior para la funci´on dada es el siguiente:
x∗
= 10b+ac
−20+a2 e y∗
= ab+2c
−20+a2 .
Finalmente, viendo el ejemplo 1.1.2, si fuera que 20 − a2
≥ 0, entonces el punto encontrado es un
m´ınimo global de la funci´on, ya que ´esta es convexa.
Para terminar con esta introducci´on matem´atica, es necesario hacer la siguiente consideraci´on muy
importante. Supongamos que estamos interesados en resolver el siguiente problema de optimizaci´on:
min f(x)
s.a x ∈ S
es decir, maximizar la funci´on sujeto a que la variable vive en S, que es un conjunto de restricciones
dado. A modo de ejemplo, S puede representar restricciones presupuestarias, de capital, tecnol´ogicas,
etc. El punto es el siguiente: supongamos que hemos resuelto el problema anterior y hemos encontrado
una soluci´on que denotamos xS. Luego, el valor de la funci´on en dicho punto es f(xS), que por
definici´on de m´aximo satisface que
f(xS) ≥ f(x), ∀ x ∈ S.
¿Qu´e sucede con el valor de la funci´on si cambiamos la restricci´on por T , de modo que T es m´as
grande que S ( es decir, S ⊆ T )? En tal caso, si denotamos por xT la nueva soluci´on, ya que xS ∈ T
necesariamente se cumple que, f(xT ) ≥ f(xS). En otras palabras, al aumentar el tama˜no del conjunto,
necesariamente el valor de la funci´on aumenta: en el peor caso se mantiene igual, nunca empeora. Esta
es una cuesti´on muy importante. Para ilustrar sus consecuencias en la vida cotidiana, imaginemos que
para ir de vacaciones tenemos restricciones de dinero, digamos, s´olo podemos gastar 100 (lo que define
la restricci´on). Con esos 100, podemos pasarlo bien haciendo lo que hagamos. Sin embargo, si fuera
que ahora tenemos 150 (conjunto de restricci´on m´as grande, m´as posibilidades), es claro que con la
nueva restricci´on podemos, en particular, hacer exactamente lo mismo que con los 100. Pero ahora se
agregan nuevas posibilidades que antes no ten´ıamos, por lo tanto, en el peor caso lo pasaremos tan
bien que cuando ten´ıamos 100. En consecuencia, en el ´optimo de pasarlo bien, claramente con 150 lo
pasaremos mejor que con 100.
Para el caso de minimizar una funci´on, la situaci´on es exactamente la contraria, ya que ahora el
m´ınimo se escoge en un conjunto que es m´as grande, lo que entrega m´as posibilidades para encontrar
uno que otorge un valor m´as peque˜no. A modo de ejemplo, es claro que el individuo de m´as baja
estatura del curso es al menos m´as alto que el individuo m´as bajo de la promoci´on, que a su vez en
general es m´as alto que el individuo m´as bajo de la facultad, que a su vez, en general, ser´a m´as alto
que individuo m´as bajo de Santiago, etc. Los valores m´ınimos se hacen cada vez m´as peque˜nos en la
medida que el conjunto de restricci´on se hace m´as grande; caso contrario con los m´aximos.
165

166. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
11 Funciones Importantes
A continuaci´on vamos a estudiar algunas funciones que ser´an muy ´utiles al momento de estudiar el
comportamiento de los consumidores y de las firmas. Siendo funciones de utilidad en el primer caso, y
funciones de producci´on en el segundo.
11.1 Homog´eneas
Definici´on 11.1 Diremos que una funci´on de f es homog´enea de grado n si para todo t > 0 se
cumple que:
f(tx1, tx2) = tn
f(x1, x2).
En particular, la funci´on de es homog´enea de grado 1 (de ahora en adelante, simplemente ho-
mog´enea) si,
f(tx1, tx2) = t · f(x1, x2).
Derivando c.r. a t la funci´on homog´enea, se cumple que74
:
df(tx1, tx2)
dt
=
∂f(tx1, tx2)
∂x1
· x1 +
∂f(tx1, tx2)
∂x2
· x2 = f(x1, x2).
Luego, evaluando en t = 1 se obtiene la llamada identidad de Euler para funciones homog´eneas:
∂f(x1, x2)
∂x1
· x1 +
∂f(x1, x2)
∂x2
· x2 = f(x1, x2),
es decir, la funci´on es igual a la suma de las derivadas parciales (para cada una de las variables) por la
cantidad de ´estas. A modo de ejemplo, las siguientes funciones son homog´eneas del grado indicado:
1.- f(x1, x2) = a · x1 + b · x2: grado 1.
2.- f(x1, x2) = a · x1 · x2: grado 2.
3.- f(x1, x2) = a · xα
1 + b · xα
2 : grado α.
4.- f(x1, x2) = a · xα
1 + b · xβ
2 : no es homog´enea de alg´un grado.
5.- f(x1, x2) = a · xα
1 · xβ
2 : homog´enea de grado (α + β).
11.2 Cobb-Douglas
Definici´on 11.2 La funci´on Cobb - Douglas se define como:
f(x1, x2) = a · xα
1 · xβ
2 ,
donde a, α, β son reales positivos. Note que esta funci´on de producci´on es homog´enea de grado (α+β).
Por otro lado,
∂f(x1, x2)
∂x1
= aαxα−1
1 · xβ
2 ,
∂f(x1, x2)
∂x2
= aβxα
1 · xβ−1
2 .75
Adem´as, se tiene que,
74Aplicar la regla de la cadena.
75Las cuales corresponder´an a las Utilidades Marginales (ver Definici´on (1.3) ) y a las Productividades Marginales (ver
Definici´on (4.4)), del factor o bien 1 y 2, respectivamente.
166

167. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
f(x1, x2)
x1
=
a · xα
1 · xβ
2
x1
= a · xα−1
1 · xβ
2 ,
f(x1, x2)
x2
= a · xα
1 · xβ−1
2 .76
Dado un nivel de satifacci´on u0 o producto y, las correspondientes curvas de indiferencia e isocuantas
est´an definidas por los puntos (x1, x2) tales que,
x2 =
u
1
β
0
(a · xα
1 )
1
β
, x2 =
y
1
β
(a · xα
1 )
1
β
.
cuyos gr´aficos son una curva decreciente como se muestra en la Figura (70):
Figure 70: Curvas de Nivel de una funci´on Cobb-Douglas
x2
x1 x1
y0
y1
y2
x2
u0
u1
u2
11.3 CES
Definici´on 11.3 La funci´on CES (del ingl´es, Constant Elasticity of Substitution) se define como,
f(x1, x2) = [c0 + c1xρ
1 + c2xρ
2]
1
ρ
,
donde ρ ∈ R, no necesariamente positivo.
Notemos que,
∂f(x1, x2)
∂xi
=
1
ρ
· [c0 + c1xρ
1 + c2xρ
2]
1
ρ −1
· ciρxρ−1
i = [c0 + c1xρ
1 + c2xρ
2]
1
ρ −1
· cixρ−1
i , i = 1, 2.
A partir de lo anterior,
∂f(x1,x2)
∂x1
∂f(x1,x2)
∂x2
= −
c1
c2
x1
x2
ρ−1
.
Si c0 = 0, la fiunci´on es homog´enea de grado 1.
76 En teor´ıa de la firma esto se le conoce como Productividad Media del factor (ver Definici´on (4.5)).
167

168. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
11.4 Lineal
Definici´on 11.4 La funci´on lineal se define como:
f(x1, x2) = αx1 + βx2.
La cual es homog´enea de grado uno. Adem´as, esta es la funci´on asociada a perfectos sustitutos, ya
sea por el lado del consumo, para el caso de los individuos, como para el lado de la producci´on, para
el caso de las firmas.
Por otro lado, ∂f(x1,x2)
∂x1
= α y ∂f(x1,x2)
∂x2
= β, las cuales son constantes a diferencia de los casos
anteriores. Adem´as, f(x1,x2)
x1
= α + βx2
x1
y f(x1,x2)
x2
= β + αx1
x2
. Finalmente, las curvas de nivel (curvas
de indiferencia e isocuantas) est´an dadas por:
x2 =
u0
β
−
αx1
β
, x2 =
y
β
−
αx1
β
.
La Figura 71 ilustran lo anterior:
Figure 71: Curvas de Nivel de una funci´on Lineal
x2
x1 x1
y0
y1
y2
x2
u0
u1
u2
11.5 Leontiev o de Proporciones Fijas
Definici´on 11.5 La funci´on Leontiev se define como:
f(x1, x2) = min{αx1; βx2},
con α, β > 0. Este tipo de funci´on se llama de proporciones fijas, ya que para generar una nivel de
utilidad determinado, o producir una determinada unidad de producto se requiere de una proporci´on
fija de bienes o factores, respectivamente. Esta funci´on de producci´on es homog´enea de grado 1.
Los bienes o factores que participan en una funci´on Leontiev se denominan perfectos comple-
mentos.
Las derivadas parciales no est´an bien definidas en todos los puntos. Sin embargo, cuando tenga
sentido, cuando cambia la cantidad de uso (ya sea en consumo o producci´on), digamos de x1, el nivel
de satisfacci´on o de producto, no necesariamente aumenta y luego, en tal caso, ∂f(x1,x2)
∂x1
= 0
Las curvas de nivel para el caso de una funci´on Leontiev, son como las se˜naladas en la Figura 72
168

169. Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Figure 72: Curvas de Nivel de una funci´on Leontiev
x2
x1 x1
y0
y1
y2
x2
u0
u1
u2
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