Apunte Rivera, Microeconomía 1

ENMIC305, Microeconom´ıa I
Apunte de Curso, V.4∗
Jorge Rivera†
March 10, 2015
∗Se agradece muy especialmente el trabajo de Marco Rojas en la confecci´on de este apunte.
†Departamento de Econom´ıa, Universidad de Chile, email: jrivera@econ.uchile.cl
1

Departamento de Econom´ıa. FEN Universidad de Chile
Contents
I Teor´ıa del Consumidor 4
1 El modelo del consumidor 4
1.1 Preferencias y función de utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Elección del consumidor: conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Elección del consumidor: maximización de la satisfacción . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Análisis de sensibilidad del problema del consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Problema dual: demanda Hicksiana y función de gasto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Funciones de compensación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7 Efectos sustitución e ingreso, ecuación de Slutzky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Aplicaciones y complementos 40
2.1 Demanda agregada y equilibrio (parcial) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 El excedente del consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Modelo de consumo intertemporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Modelo de Ocio - Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Decisiones Bajo Incertidumbre 54
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Ejemplos de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 Aproximación de los individuos hacia el riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
II Teor´ıa de la Firma 66
4 Conceptos Básicos 66
4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 La firma y sus objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Sobre la función de producción y conceptos relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4 Rendimientos a escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5 Corto y largo plazo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Maximización de Beneficios 87
5.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Maximización del beneficio de corto plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3 Maximización del beneficio y rendimientos a escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6 Costos 96
6.1 Definiciones y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2 Costos medios y marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3 Costos de corto plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.4 Análisis de sensibilidad de los costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.4.1 Costos y eficiencia productiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.4.2 Costos y rendimientos de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.4.3 Costos y precios de los factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4.4 Costos y cantidades de producto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.5 Geometr´ıa de costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2

7 Oferta bajo competencia perfecta 117
7.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2 Modelo de equilibrio parcial en competencia perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.2.1 La demanda de mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.2.2 Oferta de la firma y la industria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.3 ¿Cómo se determina el precio de mercado?: análisis de equilibrio parcial . . . . . . . . . 126
III Modelo de asignación: equilibrio general 130
8 Modelo de equilibrio en econom´ıa de intercambio 130
8.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.2 Modelo de intermcambio de 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.3 La demanda en un modelo de intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.4 El equilibrio en la econom´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.5 La caja de Edgeworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.6 Optimalidad y teoremas de bienestar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9 Complementos: fallas de mercado 143
9.1 Externalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.2 Bienes públicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
IV Apéndice: Repaso Matemático 151
10 La derivada y conceptos relacionados 151
10.1 Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.2 El estudio del crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.3 Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.4 Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11 Funciones Importantes 163
11.1 Homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.2 Cobb-Douglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.3 CES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.4 Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.5 Leontiev o de Proporciones Fijas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3

Part I
Teor´ıa del Consumidor
1 El modelo del consumidor
1.1 Preferencias y función de utilidad
El objetivo de lo que sigue es plantear, y estudiar, un modelo sencillo de consumidores (personas,
empresas, inversionistas, etc.). El enfoque que adoptamos es tradicional en microeconom´ıa, y parte
del supuesto que los agentes económicos bajo estudio son racionales, con objetivos hedonistas
que son satisfechos a través del consumo de bienes (y/o servicios). Cuando hablamos de objetivos
hedonistas, estamos suponiendo que el consumo de bienes se realiza con el objetivo de lograr bienestar
(placer, satisfacción, etc.), y la racionalidad se refiere a que la elección de los mismos es hecha de la
mejor forma posible, en un sentido que precisaremos, pero que, anticipando, corresponde a utilizar de
la mejor manera los recursos que dicho agente dispone con el fin de cumplir sus objetivos. Es entonces
la combinación entre lo que se puede y lo que se quiere lo que en definitiva define el acercamiento de
los individuos al consumo.
En todo lo que sigue, salvo que se diga lo contrario, supondremos que sólo hay dos bienes de
consumo1
, digamos, los bienes 1 y 2, cuyas cantidades genéricas serán denotadas por x1 y x2, las
que sin pérdida de generalidad supondremos positivas (es decir, que x1 ≥ 0, x2 ≥ 0).
Definición 1.1 Una canasta de consumo para un individuo es un par ordenado de la forma
X = (x1, x2) ∈ R2
+,
que indica x1 ∈ R+ cantidad del bien uno y x2 ∈ R+ cantidad del bien dos.
Con el fin de definir preferencias sobre las canastas de consumo, debemos tener presente que no
existe un orden natural entre vectores, que de maneja objetiva (universal) nos diga cuál es mejor entre
dos de ellos2
. Por ejemplo, asumiendo que los bienes 1 y 2 son deseables por los individuos (cuestión que
obviamente debemos asumir), ciertamente la canasta (2, 3) será universalmente preferida a la canasta
(1, 2), pues tiene más de ambos bienes. Sin embargo, si el individuo debe decidir entre la canasta (2, 3)
y la canasta (3, 2), la respuesta dependerá de cada persona, no habiendo por tanto un criterio que, a
priori, nos permita anticipar tal elección.
Para lo que sigue, asumiremos que efectivamente cada individuo dispone de un criterio que le
permite hacer la elección entre dos canastas. Este criterio simplemente nos dirá lo que él prefiere
cuando se presentan dos opciones a escoger. Formalmente, dicho criterio corresponde a lo que en
econom´ıa se denomina relación de preferencias. As´ı, dadas dos canastas de consumo X = (x1, x2) ∈ R2
+
y X′
= (x′
1, x′
2) ∈ R2
+, supondremos que el individuo siempre puede manifestar su opción por una u
otra: si el agente prefiere X a X′
, se denotará
X′
X,
en cambio, si prefiere X′
a X se denotará
X X′
.
Si ocurre que X X′
y X′
X, diremos que el individuo es indiferente entre X y X′
, y se denotará
X′
∼ X.
1Cosa que en estricto rigor no es una restricción importante, pues éste se puede extender directamente para considerar
más bienes.
2Cuestión que se tiene para números reales.
4

Finalmente, si ocurre que X′
X pero no se tiene que X X′
(es decir, prefiere X a X′
pero no
prefiere X′
a X), diremos que el individuo prefiere estrictamente X a X′
, y se denotará
X′
≺ X.
Cómo un individuo elige entre dos opciones es seguramente una cuestión relacionada con la sicolog´ıa,
la sociolog´ıa, o con la genética, etc., aspectos sobre los cuales dif´ıcilmente la econom´ıa tiene algo que
decir. De hecho, este punto puede ser muy relevante para efectos normativos, e incluso morales: no
existe claridad de cómo se forman las preferencias, como tampoco se puede afirmar ex ante que unas
sean mejores que otras (“sobre gustos no hay nada escrito. . .”).
Para nuestros efectos, se asume como dado el “mecanismo interno” por medio del cual cada individuo
realiza sus elecciones. Obviamente haremos algunos supuestos (razonables) sobre dicho mecanismo, con
el fin de construir un modelo simple que nos permita, por ejemplo, estudiar cómo las decisiones de
los agentes se ven alteradas cuando se enfrentan a restricciones para escoger sus consumos deseables,
restricciones que a su vez se pueden modificar en función de parámetros exógenos, tales como precios,
ingreso, impuestos, etc.
Ejemplo 1.1 Supongamos que la preferencia de un individuo, denotada , es dada según el siguiente
criterio: la canasta X = (x1, x2) es preferida a la canasta X′
= (x′
1, x′
2) (es decir, X′
X)si y sólo si
α · x′
1 + β · x′
2 ≤ α · x1 + β · x2,
con α, β ∈ R++ conocidos. De esta manera, estamos considerando que el individuo tiene una relación
de preferencias, a través de la cual manifiesta sus opciones de consumo, de forma tal que al tener que
decidir entre X y X′
, optará por aquel vector (canasta) que arroje mayor valor del promedio ponderado
ya expuesto. Por ejemplo, si α = 1 y β = 2, entonces la canasta X = (2, 4) es preferida a la canasta
X′
= (4, 2), pues la primera arroja un valor 1 · 1 + 2 · 4 = 9, mientras que la segunda nos da valor 8.
Notemos que si los ponderadores cambian, entonces no necesariamente X continuará siendo preferido
a X′
. Es fácil ver que, de acuerdo a la definición de la preferencia, se tiene que
X′
≺ X ⇔ α · x′
1 + β · x′
2 < α · x1 + β · x2,
X′
∼ X ⇔ α · x′
1 + β · x′
2 = α · x1 + β · x2.
Ejemplo 1.2 La preferencia lexicográfica
Diremos que una canasta X = (x1, x2) ∈ R2
+ es preferida lexicográficamente a una canasta
X′
= (x′
1, x′
2) ∈ R2
+ si, (i) o bien x1 > x2, o bien, (ii) cuando x1 = x′
1, se tiene que x2 > x′
2. En tal
caso notaremos
X′
Lex X.
Esta preferencia se corresponde con el orden de las palabras en el diccionario: se entiende que una
palabra es mejor que otra cuando está “más arriba” en el diccionario.
Definición 1.2 Función de utilidad
Dados X = (x1, x2) ∈ R2
+ y X′
= (x′
1, x′
2) ∈ R2
+, supongamos que existe una función u : R2
+ → R
tal que la preferencia del individuo cumple con la siguiente propiedad:
X′
X ⇔ u(X′
) ≤ u(X),
es decir, que la canasta X es preferida a la canasta X′
si al evaluar la función u(·) en el correspondiente
vector se obtiene un valor mayor o igual según el caso. En tal caso decimos que la preferencia es
representada por la función de utilidad u(·).
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Ejemplo 1.3 Del Ejemplo 1.1, donde se tiene que
u(X) = u(x1, x2) = αx1 + βx2
es una función de utlilidad asociado a la preferencia del individuo.
Ejemplo 1.4 Funciones de utilidad “usuales”
En microeconom´ıa hay diversas opciones para considerar funciones u(·). Las más usuales para
representar preferencias son:
(a) Cobb-Douglas: u(x1, x2) = xα
1 · xβ
2 , con α, β ≥ 0.
(b) CES: u(x1, x2) = (xr
1 + µ · xr
2)
1/r
, con µ, r ≥ 0.
(c) Lineal: u(x1, x2) = αx1 + βx2, con α, β ≥ 0.
(d) Leontiev: u(x1, x2) = min{αx1, βx2}, con α, β ≥ 0.
Nota. 1.1 ¿Qué significa que la preferencia de un individuo es dada por una función de utilidad Cobb-
Douglas, cuyos parámetros son α = 1/3 y β = 1/2? Significa que enfrentado a la elección entre dos
canastas, digamos X = (x1, x2) ∈ R2
+ y X′
= (x′
1, x′
2) ∈ R2
+, esta persona escogerá aquella canasta que
entrega mayor valor una vez que el correspondiente vector es evaluado según la función correspondiente.
Es decir, escogerá X por sobre X′
si u(X) > u(X′
), o bien escogerá X′
sobre X si u(X′
) > u(X), y
será indiferente entre ambos si u(X) = u(X′
), donde u(X) = u(x1, x2) = x
1/3
1 x
1/2
2 (Cobb-Douglas).
Ejemplo 1.5 Una aplicación: selección de personal
Supongamos que una firma debe decidir contratar a una persona entre diversos postulantes. A cada
uno ellos se les toma un test de conocimientos sobre el trabajo que deber´ıan realizar y, además, se
los califica segú una entrevista sicológica. El puntaje de la prueba de conocimientos va de 1 a 100
(lo mejor es 100), misma escala para el test sicológico. Supongamos que hay N postulantes, indexados
por i = 1, . . . , N y que cada uno de ellos obtiene puntajes Ci, Si ∈ [1, 100] en cada una de las pruebas,
respectivamente. ¿A quién contrata? Obviamente las personas NO son bienes de consumo; aun as´ı,
podemos entender el problema de la firma como escoger entre canastas (Ci, Si) ∈ R2
+, i = 1, . . . , N,
según su conveniencia. “En la vida”, ocurre normalmente que NO existe un individuo que domine a
todos los demás en todos los aspectos que se están evaluando; si ese fuera el caso, la elección es obvia. El
problema es entonces disponer de un ranking que nos permita ordenar a los postulantes según algún
puntaje, y dado esto realizar la elección. En este caso, ese ranking es propio de cada firma, pues ella
(sus gerentes o tomadores de decisiones) deberán decidir qué aspecto privilegiar y cómo privilegiarlo.
En este caso, el ranking en comento se puede entender como la preferencia de la firma respecto de
los postulantes; obviamente hay muchas formas proceder. Por ejemplo, una firma podr´ıa considerar
un criterio basado en el siguiente modelo: el postulante i ∈ {1, . . . , N} es mejor que el postulante
i′
∈ {1, . . . , N} si 3Ci + 4Si > 3Ci′ + 4Si′ . En tal caso, entendemos que la preferencia de la firma
(puntaje) por las canastas (C, S) es 3C + 2S.
Generalizando lo anterior, podemos asumir que existe una función U : R2
+ → R+ tal que el puntaje
de cada postulante, con el cual se define el ranking, es dado por
u(C, S) ∈ R,
donde C, S es el puntaje en conocimientos y test sicológico respectivamente. Si este método es aceptado,
entonces se escogerá a aquel individuo que obtiene la mayor cantidad de puntos según la regla ya
expuesta.
Nota. 1.2 Un par de comentarios sobre el ejemplo anterior:
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(i) el criterio para asignar puntajes a los postulantes define un orden entre ellos, del mejor al peor.
Si en vez de utilizar un criterio basado en la función u : R2
+ → R+ ya expuesta, se hubiese
considerado otro, por ejemplo, basado en el cuadrado de dicha función, entonces el orden que
fue inducido por la función u(·) original no se ve alterado por el nuevo método. En efecto,
supongamos que una vez ordenados los postulantes según los puntajes definidos por la función
original, en orden decreciente las posiciones resultantes son i1, i2, . . . , iN (es decir, el primer
lugar para el Sr. i1, el segundo para el Sr. i2, etc.); por definición esto significa que
u(Ci1 , Si1 ) > u(Ci2 , Si2 ) > u(Ci3 , Si3 ) > . . . u(CiN , SiN ). (1)
Ahora bien, al aplicar cuadrado a las desigualdades en (1), el orden de individuos que all´ı
se ten´ıa NO se ve alterado, pues obviamente se cumple que
[u(Ci1 , Si1 )]
2
> [u(Ci2 , Si2 )]
2
> [u(Ci3 , Si3 )]
2
> . . . > [u(CiN , SiN )]
2
.
Más general, dada
ψ : R → R
estrictamente creciente, entonces el orden que se induce de utilizar la función u es el mismo
que induce la función
U : R2
+ → R | U(C, S) = ψ ◦ u(C, S) = ψ(u(C, S)).
La función U es la composición de ψ con u.
(ii) De lo anterior, con el fin de escoger canastas (bienes de consumo, selección de personal, etc.),
basado en un método que emplea una función U como antes, en rigor resulta que NO es relevante
el puntaje que se obtiene de aplicar dicha función, sino más bien el ranking (orden) que dicho
puntaje induce. Por esta razón se dirá que las preferencias son ordinales y NO cardinales.
En términos formales, lo expuesto en el punto (i) de la Nota 1.2 se resume en la siguiente proposición.
Proposición 1.1 Si u : R2
+ → R es una función de utilidad que representa a la relación de preferencias
, entonces para cualquier función ψ : R → R estrictamente creciente, se tiene que
U = ψ ◦ u | U(X) = ψ(u(X))
también es una función de utilidad que representa a la misma preferencia.
La Proposición 1.1 nos dice que, de existir, las funciones de utilidad de un individuo son
únicas salvo transformaciones crecientes. Como consecuencia directa de ésta proposición podemos
asumir, sin pérdida de generalidad, que las funciones de utilidad toman valores positivos, pues
en caso contrario es cuestión de sumar una constante suficientemente grande que garantice la positividad
(o elevar al cuadrado), cuestión que no altera el orden entre las canastas que induce la utilidad original.
Una pregunta relevante que surge de lo expuesto es si toda preferencia puede ser representada por
una función de utilidad. Desafortunadamente (más bien, afortunadamente) la respuesta es no. Para
que efectivamente una preferencia pueda ser representada por una función de utilidad, debe cumplir
con algunas condiciones que, a priori, no toda preferencia ha de satisfacer. Por ejemplo, se puede
demostrar que la preferencia lexicográfica definida en Ejemplo 1.2 no puede se representada por
una función de utilidad.
El resultado que sigue se presenta sin demostración (requiere conocimientos de matemáticas que
escapan al nivel del curso), y nos entrega condiciones necesarias para que una preferencia pueda ser
representada por una función de utilidad.
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Teorema 1.1 Dadas las canastas de consumo X = (x1, x2), X′
= (x′
1, x′
2) y X′′
= (x′′
1 , x′′
2 ) ∈ R2
+ , si
la relación de preferencias cumple con las siguientes condiciones:
a.- Completitud: o bien X X′
, o bien X′
X;
b.- Reflexividad: se cumple que X X;
c.- Transtividad: si X X′
y X′
X′′
entonces X X′′
;
d.- Monotonicidad estricta: dado h ∈ R2
+, h = (0, 0), entonces X ≺ X + h;
e.- Continuidad: si X ≺ X′
, existe ǫ > 0 tal que si X′
− X ≤ ǫ entonces X ≺ X;
existe entonces una función de utilidad continua que la representa, es decir, u : R2
+ → R tal que
X X′
⇔ u(X) ≤ u(X′
).
Diversos comentarios sobre el importante resultado anterior:
(i) La completitud asume que el consumidor siempre puede decidir qué prefiere ante
dos alternativas que se presentan. Este supuesto inhibe que el agente tenga dudas
sobre su elección. La reflexividad es un supuesto relativamente natural de asumir,
simplemente nos dice que algo es preferido (no estrictamente) a s´ı mismo.
(ii) La transitividad es un supuesto que puede resultar complejo de varificar en la
práctica: pensar en situaciones de elección de tres bienes, donde cada uno indica
preferencias de a pares, ¿por qué se deber´ıa mantener cierta consistencia en dichas
manifestaciones de a pares? Ciertamente este supuesto juega un papel muy impor-
tante en el modelo micro.
(iii) La monoton´ıa estricta es otro supuesto fuerte. En términos simples, corresponde
a decir que más es mejor, en el sentido que si aumentamos la cantidad de consumo
de al menos uno de los bienes de las canastas, entonces necesariamente la satisfacción
que se obtiene es más grande. Asume entonces que no existe saturación en el consumo
(es decir, que siempre será deseable consumir más), cosa que parece dif´ıcil de sostener
en general (¿o no?).
(iv) La continuidad es un supuesto técnico, y bastante general. Afirma que si una canasta
X es preferida estr´ıctamente a otra X′
, entonces canastas suficientemente cercanas en
cantidad a X también serán preferidas estrictamente a la canasta X′
.
(v) Si la preferencia es representada por la función de utilidad u, entonces es directo
concluir que:
(a) X ≺ X′
⇔ u(X) < u(X′
).
(b) X ∼ X′
⇔ u(X) = u(X′
)
Como se desprende del Teorema 1.1 , no todas las preferencias pueden ser representadas por fun-
ciones de utilidad. Por simplicidad, por la posibilidad de realizar diversos análisis económicos y cálculos
expl´ıcitos, porque el problema del consumidor se puede plantear como un problema de optimización
estándar, porque podemos disponer de soluciones anal´ıticas para conceptos económicos importantes,
porque podemos llevar a cabo análisis de sensibilidad de las soluciones, etc., en todo lo que sigue
trabajaremos con preferencias que se pueden representan por funciones de utilidad. De
hecho, cuando se plantee el problema del consumidos, pasar de relaciones de preferencia a funciones de
utilidad implica pasar de un problema de decisión (optimización) vectorial a un problema escalar, cosa
que efectivamente simplifica la vida enormemente (y que de paso, sabemos resolver bien bajo circun-
stancias relativamente usuales en econom´ıa). El sacrificio de tal simplificación está en la generalidad
que se pierde en el modelamiento de la econom´ıa, pues se trata de casos particulares de preferencias
de los agentes.
8

Proposición 1.2 Si la preferencia cumple las condiciones del Teorema 1.1, entonces cualquier
función de utilidad que la representa es estrictamente creciente por componentes.
Esto quiere decir que dada una función de utilidad u que viene de lo anterior, se tiene que si x1 < x′
1
y x2 < x′
2,
u(x1, x2) < u(x′
1, x2), u(x1, x2) < u(x1, x′
2),
(función de utilidad creciente por componentes). Obviamente se tiene que u(x1, x2) < u(x′
1, x′
2). Ahora
bien, si la función de utilidad (f.d.u) es diferenciable, lo anterior implica que
∂u(x1, x2)
∂x1
> 0,
∂u(x1, x2)
∂x2
> 0. (2)
El supuesto de monoton´ıa estricta (2) será asumido en todo lo que sigue. La demostración de la
Proposición 1.2 es directa de las definiciones, y se deja como ejercicio.
Algunas definiciones que serán utiles en todo lo que sigue.
Definición 1.3 Utilidad marginal
Dada una función de utilidad, u(·)y dada la canasta (x1, x2), la utilidad marginal del bien 1
corresponde al incremento en satisfacción dado un aumento marginal (en una unidad) en el consumo
del bien 1; análogo para la utilidad marginal del bien 2. La utilidad marginal del bien i = 1, 2 se
representará por UMgi(x1, x2), i = 1, 3.
De la definición anterior,
UMg1(x1, x2) = u(x1 + 1, x2) − u(x1, x2), UMg2(x1, x2) = u(x1, x2 + 1) − u(x1, x2). (3)
Ahora bien, si la f.d.u es derivable, sabemos que,
∂u(x1, x2)
∂x1
≡ lim
h→0
u(x1 + h, x2) − u(x1, x2)
h
.
Si h = 1, la expresión resultante es sólo una aproximación de la derivada, es decir,
∂u(x1, x2)
∂x1
≃
u(x1 + 1, x2) − u(x1, x2)
1
= u(x1 + 1, x2) − u(x1, x2) = UMg1(x1, x2).
En consecuencia, la utilidad marginal puede ser aproximada por la derivada parcial correspondi-
ente de la función de utilidad. En todo lo que sigue, supondremos que más que una aproximación se
trata de una igualdad, de modo que, en forma alternativa, entenderemos la utilidad marginal como
la derivada parcial de la f.d.u en el punto en cuestión. As´ı, de ahora en adelante,
UMgi(x1, x2) ≡
∂u(x1, x2)
∂xi
.
Definición 1.4 Curva de indiferencia
Dado un nivel de satisfacción α ≥ 0 prefijado, la curva de indiferencia al nivel α se define
como el conjunto de canastas (x1, x2) ∈ R2
+ para las cuales se cumple que
u(x1, x2) = α.
De la Definición 1.4, dado el nivel de utilidad α, de la relación u(x1, x2) = α, existe entonces una
función impl´ıcita entre x1 y x2, digamos, x2 = x2(x1), tal que
u(x1, x2(x1)) = α.
El gráfico de dicha función en el sistema coordenado x1−x2 corresponde a la curva de indiferencia
al nivel α. La siguiente Figura 1 ilustra el concepto:
9

Figure 1: Curva de Indiferencia (1)
x∗
2
x∗
1
u(x1, x2) = a
Que el punto (x∗
1, x∗
2) esté en la curva de indiferencia de la figura significa que u(x∗
1, x∗
2) = α.
Consideremos ahora dos niveles de utilidad a < b. Si u(x∗
1, x∗
2) = a claramente u(x∗
1, x∗
2) = b. Por
otro lado, dado que u(x∗
1, x∗
2) = a, entonces existirá un valor δ > 0 para el cual u(x∗
1 + δ, x∗
2) = b, pues
la f.d.u. es creciente. Análogamente, existirá un valor ǫ > 0 para el cual u(x∗
1, x∗
2 + ǫ) = b. Luego, la
curva de indiferencia al nivel b necesariamente está arriba de la curva de indiferencia al nivel a. De
esta manera, se concluye que las curvas de indiferencia a distinto nivel no se cortan y, además,
en la medida que aumentamos el nivel de satisfacción, la curva se desplaza hacia arriba y la derecha,
Supongamos ahora que u(¯x1, ¯x2) = a. Si ¯x1 aumenta, digamos a ¯x1 + δ, con δ > 0, sea entonces x∗
2
el nuevo valor para el cual u(¯x1 +δ, x∗
2) = a. Puesto que u(·) es estrictamente creciente, necesariamente
x∗
2 debe ser menor que ¯x2 pues, si fuera mayor o igual, entonces u(¯x1 +δ, x∗
2) ser´ıa mayor que a. Luego,
las curvas de indiferencia necesariamente son decrecientes en el sistema coordenado x1 − x2,
esto para cualquier función de utilidad estrictamente creciente. La Figura 2 ilustra lo expuesto.
Figure 2: Curva de Indiferencia (2)
a
b
c
a < b < c
Mientras mayor es el nivel de utilidad, la curva se desplaza hacia arriba y la derecha; las curvas de
indiferencia a distintos niveles de utilidad no se cortan; las curvas de indiferencia son decrecientes.
Finalmente, notemos que dada una curva de indiferencia al nivel α y dado un punto (x∗
1, x∗
2) sobre
la curva y otro (¯x1, ¯x2) bajo la curva, entonces se tiene que
u(x∗
1, x∗
2) > α, u(¯x1, ¯x2) < α.
Ejemplo 1.6 Dada la función de utilidad u1(x1, x2) = xa
1 · xb
2, con a, b > 0, la curva de indiferencia
al nivel u0 corresponde a las canastas (x1, x2) tales que xa
1 · xb
2 = u0, de lo cual se tiene que
x2(x1) =
u
1
b
0
x
a
b
1
,
10

que es precisamente la “función implicita” que hemos mencionado. Por otro lado, las utilidades
marginales son
UMg1(x1, x2) = axa−1
1 · xb
2, UMg1(x1, x2) = bxa
1 · xb−1
2 .
Note que la derivada de UMg1 c.r. a x1 es
∂UMg1
∂x1
= a · (a − 1) · xa−2
1 · xb
2,
que es negativa si a < 1, es decir, la utilidad marginal UMg1 es decreciente en el primer bien siempre
y cuando a < 1. Análogo con UMg2 decreciente si b < 1. Luego, si la función de utilidad es cóncava,
ambas utilidades marginales son decrecientes.
Dado un punto (x1, x2) en una curva de indiferencia al nivel α, calculemos la pendiente a la
tangente al grafo de la misma por el punto en cuestión. Obviamente esta pendiente corresponde a
la derivada de la función impl´ıcita x2(x1) ya definida, en el punto (x1, x2) de la misma. Procedamos,
en primer lugar, según un argumento informal basado en la Figura 3.
Figure 3: Pendiente de una Curva de Indiferencia
x2
x2 − b
x1 x1 + a
En la figura, supongamos que tenemos dos puntos cercanos (x1, x2), (x1 + a, x2 − b) en la curva
de indiferencia. Una aproximación de la pendiente a la tangente al grafo de la curva en (x1, x2) es
entonces
m =
(x2 − b) − x2
(x1 + a) − x1
= −
b
a
.
Por otro lado, del hecho que u(x1 + a, x2 − b) = u(x1, x2) = α, haciendo la aproximación por la
derivada se tiene que3
:
u(x1 + a, x2 − b) − u(x1, x2) = 0 = a ·
∂u(x1, x2)
∂x1
− b ·
∂u(x1, x2)
∂x2
,
y luego,
3En rigor, la siguiente relación es sólo una aproximación, que asumimos como igualdad. Recuerde además que
f(x1 + δ, x2) − f(x1, x2) ∼ δ
∂f(x1,x2)
∂x1
y que f(x1, x2 − ǫ) − f(x1, x2) ∼ ǫ
∂f(x1,x2)
∂x2
. Si se mueven ambas componentes,
se tiene la aproximación indicada.
11

m = −
b
a
≈ −
∂u(x1,x2)
∂x1
∂u(x1,x2)
∂x2
= −
UMg1(x1, x2)
UMg2(x1, x2)
.
Formalmente es como sigue. Puesto que u(x1, x2) = α, existe una relación impl´ıcita entre x1 y x2
(ver Ejemplo 1.1). Luego, x2 es una función de x1, digamos x2(x1). As´ı, u(x1, x2(x1)) = α. Derivando
esta expresión c.r. a x1 se tiene que
∂u(x1, x2(x1))
∂x1
=
∂α
∂x1
= 0,
ya que α no depende de x1. Desarrollando la derivada, por la regla de la cadena
∂u(x1, x2)
∂x1
+
∂u(x1, x2)
∂x2
·
∂x2(x1)
∂x1
= 0,
de lo cual se desprende que
∂x2(x1)
∂x1
= −
∂u(x1,x2)
∂x1
∂u(x1,x2)
∂x2
= −
UMg1(x1, x2)
UMg2(x1, x2)
,
que es análogo a lo ya mostrado. En consecuencia, la pendiente de la tangente a la curva de indiferencia
en un punto cualquiera de ella es menos el cuociente de las respectivas utilidades marginales.
Tal pendiente es un concepto importante en econom´ıa.
Definición 1.5 Relación marginal de sustitución
Dada una función de utilidad, u(·), y dado un nivel de satifacción α, se define la relación marginal
de sustitución en el punto (x1, x2) de la curva de indiferencia respectiva, como la pendiente de la
tangente a dicha curva en el punto indicado. Se denotará RMS1,2(x1, x2) y de esta manera
RMS1,2(x1, x2) = −
∂u(x1,x2)
∂x1
∂u(x1,x2)
∂x2
= −
UMg1(x1, x2)
UMg2(x1, x2)
.
La siguiente Figura 4 ilustra el concepto:
Figure 4: Relación Marginal de Sustitución
x2
x1
m = RMS1,2
12

¿Cómo se interpreta la RMS1,2? En primer lugar, supongamos que estamos en una canasta
(x1, x2) tal que u(x1, x2) = α y que decidimos aumentar en una unidad la cantidad del bien 1, pasando
de x1 a x1 + 1 (aumento marginal). En tal caso, si x2 no se modifica, necesariamente el aumento en
el bien de consumo 1 implicará aumentos de satisfacción; es decir, u(x1 + 1, x2) > α. De esta manera,
(x1 + 1, x2) no está en la curva de indiferencia al nivel α. Para seguir en la curva de indiferencia
(es decir, mantener el nivel de satisfacción constante a pesar del aumento marginal del consumo en el
bien uno), necesariamente la cantidad del bien 2 debe disminuir. Esta “disminución” es precisamente
la RMS1,2(x1, x2).
De todo lo anterior, es directo que:
a.- Si la función de utilidad es creciente por componentes, entonces la RMS1,2 es siempre negativa4
.
b.- La RMS2,1
5
es simplemente
RMS2,1 =
1
RMS1,2(x1, x2)
.
Ejemplo 1.7 Dada la función de utilidad u1(x1, x2) = xa
1 · xb
2, es directo que
RMS1,2(x1, x2) = −
ax2
bx1
.
Supongamos que la función de utilidad es estrictamente cóncava. En tal caso, sabemos (ver
Apéndice matemático) que la relación funcional x2(x1) que define la curva de indiferencia es con-
vexa, implicando que su derivada es creciente. Pero en este caso, la derivada de la curva de indiferencia
es la relación marginal de sustitución, y ya que ésta es siempre negativa, el hecho que sea creciente
significa que cada vez es “menos negativa” en la medida que aumenta la cantidad del bien 1. Esto
implica que la cantidad en que disminuye el consumo del bien 2 ante un aumento unitario (marginal) de
consumo del bien 1 es decreciente en la medida que aumenta la cantidad del bien 1. ¿Son las funciones
de utilidad cóncavas las únicas que tienen curvas de indiferencia convexa? La respuesta es NO, pues
existe una categor´ıa más amplia de funciones que tienen la misma propiedad. Estas funciones son las
llamadas cuasicóncavas. De hecho, existen diversas formas de definir qué se entiende por una función
cuasicóncava. Por ejemplo, se dice que una función u : R2
+ → R es cuasicóncava, si para cualquier
X = (x1, x2), X′
= (x′
1, x′
2) ∈ R2
+ y para cualquier λ ∈ [0, 1] se tiene que
u(λX + (1 − λ)X′
) ≥ min{u(X), u(X′
)}.
Para nuestros objetivos, lo que es relevante de las funciones cuasicóncavas es que:
(i) toda función cóncava es cuasicóncava; la rec´ıproca no es cierta, es decir, que existen fun-
ciones cuasicóncavas que no son cóncavas.
(ii) se puede demostrar que una caracterización de la cuasicóncavidad (y por lo tanto, se puede
entender como una forma alternativa de definirla) es que las curvas de indiferencia son
convexas:
una función es cuasicóncava si y sólo si sus curvas de indiferencia son convexas.
¿Qué es entonces lo relevante de las utilidades cuasicóncavas? Simplemente que la curva de indifer-
encia es convexa. Sobre este hecho se vuelve más adelante, donde se justificará la importancia de la
convexidad de las curvas de indiferencia en el modelo que estamos desarrollando.
4Esto del argumento de sustitubilidad anterior, pero también directamente de la definición, ya que los productos
marginales son positivos (función creciente ⇒ derivada positiva) y la RMS es el negativo del cuociente de los productos
marginales.
5Que obviamente corresponde a la cantidad en que se debe modificar el consumo del bien 1 ante un cambio unitario
del bien 2 con el fin de mantener utilidad constante.
13

1.2 Elección del consumidor: conceptos generales
En lo que sigue, vamos a modelar el problema de elección de bienes de consumo (o servicios) por
parte del agente, considerando que éste se desenvuelve en un contexto económico donde los bienes
tienen cierto precio y que nuestro agente tiene una cierta cantidad de recursos6
que puede gastar en
el consumo. Para los efectos de elección, asumiremos que el consumo de los bienes tiene un costo y que
de las posibles canastas que puede elegir, sólo puede acceder a aquellas que con sus recursos
puede pagar. Si los precios de los bienes son p1 y p2 y los recursos del consumidor son R (ingreso,
renta, recursos, etc.), el agente puede entonces escoger entre todas aquellas canastas (x1, x2) ∈ R2
+
tales que
p1x1 + p2x2 ≤ R,
lo que motiva la siguiente definición.
Definición 1.6 Conjunto de restricción presupuestaria
Dados los precios de los bienes p1, p2, el conjunto de las canastas factibles que un individuo con
riqueza es R podr´ıa consumir se denota por
B(p1, p2, R) = {(x1, x2) ∈ R2
+ | p1x1 + p2x2 ≤ R},
y se llama conjunto de restricción presupuestaria del consumidor (o simplemente “conjunto pre-
supuestario”).
La Figura 5 representa un conjunto de restricción presupuestaria cualquiera.
Figure 5: Restricción Presupuestaria
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx
x
x2
R/p2
R/p1 x1
B(p1, p2, R)
En la figura anterior, la recta frontera superior del conjunto presupuestario se llamada recta pre-
supuestaria, y queda definida por la por ecuación
p1x1 + p2x2 = R ⇔ x2 =
R
p2
−
p1
p2
x1.
Notemos que la intersección de la recta presupuestaria con los ejes se da en los puntos
Eje x1 :
R
p1
, 0 , Eje x2 : 0,
R
p2
6Digamos, dinero, sueldo, ingresos, rentas, riqueza, etc.
14

Ejemplo 1.8 ¿Qué quiere decir (x1, x2) ∈ B(23, 12, 130)? Significa que si los precios del bien uno y
dos son p1 = 23 y p2 = 12 respectivamente, y que si la renta (ingreso, riqueza, etc.) del individuo es
R = 130, entonces para este Sr. es factible comprar una canasta conformada por x1 del bien uno y x2
del bien dos.
¿Cómo se “interpreta” la recta presupuestaria? Como se ha expuesto, a los precios p1, p2 y al ingreso
R, una canasta (x1, x2) ∈ R2
+ está en la correspondiente recta presupuestaria si p1x1 + p2x2 = R. Por
lo tanto, si el individuo decide comprar esta canasta, se gasta todos los recursos que tiene. As´ı, para
una canasta (x′
1, x′
2) ∈ R2
+ que no está en la recta presupuestaria, o bien
(a) la canasta (x′
1, x′
2) ∈ R2
+ es demasiado cara para el nivel de recursos que dispone el sujeto, de
modo que no puede comprarla; en tal caso, es una canasta no factible, y obviamente se cumple
que
p1x′
1 + p2x′
2 > R,
(b) o bien que al comprar la canasta (x′
1, x′
2) ∈ R2
+ de todas formas le sobran recursos, pues con el
ingreso que tiene, paga demás dicho consumo; en este caso, luego de comprar le sigue sobrando
riqueza; el remanente de riqueza es
R − p1x′
1 + p2x′
2 > 0.
Cambios en los parámetros precio y riqueza tienen incidencia en la forma del conjunto presupues-
tario, cuestión que a su vez tiene una clara lectura desde el punto de vista de la econom´ıa. A priori,
si la riqueza aumenta, se deber´ıa tener una situación más favorable para el individuo en cuanto a sus
opciones de elegir, pues en tal caso, además de lo que ya pod´ıa comprar, tiene ahora nuevas opciones de
canastas que antes no ten´ıa. Por otro lado, que uno de los precios aumente (todo lo demás constante)
es una situación desfavorable para el agente, pues en tal caso no necesariamente podrá comprar las
mismas canastas que antes del alza. Formalmente, si los precios se mantienen constantes y la riqueza
del consumidor sube de R a R′
, entonces el conjunto factible al nuevo ingreso crece hacia arriba y hacia
la derecha respecto del original, de forma tal que contiene al original: si R′
> R entonces
B(p1, p2, R) ⊂ B(p1, p2, R′
). (4)
De hecho, ya que los precios se mantienen constantes, la recta presupuestaria del conjunto B(p1, p2, R′
)
es paralela a aquella del conjunto B(p1, p2, R). Lo expuesto se ilustra en la Figura 6,
Figure 6: Restricción Presupuestaria y aumento en la riqueza
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x2
R′
/p2
R/p2
R/p1R′
/p1 x1
15

En forma análoga, si la riqueza disminuye entonces la correspondiente frontera se desplaza paralela
hacia el origen, lo que resulta en un conjunto factible “más pequeño que el original”.
Por otro lado, si el precio p1 aumenta a p′
1 (el bien 1 se hace más caro), manteniendo constante p2
y R, el conjunto factible se modifica como se muestra en la Figura 7. En este caso, cambia la pendiente
de la recta presupuestaria, de forma tal que el nuevo conjunto está contenido en el original: si p′
1 > p1
entonces
B(p′
1, p2, R) ⊂ B(p1, p2, R). (5)
Figure 7: Conjunto Presupuestario y Aumento de Precio
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x2
R/p2
R/p′
1 R/p1x1
p′
1 > p1
Si el precio disminuye, entonces la recta presupuestaria pivotea hacia la derecha, de modo que el
nuevo cojunto contiene al original. Lo ya expuesto aplica para cambios en el precio del bien dos, todo
lo demás constante.
Ejemplo 1.9 Subsidios, impuestos, herencias, etc.
Los subsidios, impuestos, herencias, etc., los podemos entender como parámetros exógenos que
modifican ya sea los precios o la riqueza del individuo. Por ejemplo, si inicialmente una persona tiene
una riqueza R > 0 y los precios de los bienes de consumo son p1, p2, que el sujeto reciba una herencia
H > 0 implica que su nuevo riqueza es R + H, lo que ciertamente tiene implicancias en las opciones
tiene para elegir las canastas (en este caso, más opciones). Por el contrario, si se aplica un impuesto
al ingreso, digamos T > 0, entonces el nuevo escenario que enfrenta es con riqueza R − T ; en tal caso
las opciones de consumo son dadas por
B(p1, p2, R − T ).
Si deseamos “desincentivar” el consumo de, por ejemplo, el bien uno, se podr´ıa hacer (i) aumen-
tando exogenamente el precio del mismo, o bien (ii) poniendo un impuesto al gasto que se haga en
dicho bien. Por ejemplo, si se obliga un aumento del precio p1 en δ > 0, la nueva recta presupuestaria
es
(p1 + δ)x1 + p2x2 = R,
mientras que si grabamos el gasto en el bien uno, digamos, con una tasa de impuesto τ ∈ [0, 1],
entonces la nueva recta es
(1 + τ)p1x1 + p2x2 = R.
16

1.3 Elección del consumidor: maximización de la satisfacción
Lo anterior describe con algún detalle el conjunto factible donde el consumidor puede hacer la elección
de canastas de consumo. Obviamente dicho conjunto permite muchas opciones para escoger canastas.
El problema es determinar cuál de aquellos puntos factibles es el más razonable (deseable, conveniente,
etc.) para nuestro personaje. Para el efecto puede haber muchos criterios sobre qué es lo más razonable,
criterio que una vez adoptado define la elección del individuo. Por ejemplo, nuestro personaje podr´ıa
elegir dentro de aquellas (i) canastas de bienes que tienen un porcentaje pre-fijado entre uno y otro bien;
(ii) entre aquellas que contienen necesariamente una cantidad x∗
1 del bien 1 dada a priori; (iii) entre
aquellas que satisfacen una desigualdad de la forma x1 ≥ ξ1, x2 ≥ ξ2, donde ξ1, ξ2 son dados a priori,
etc. Lo anterior no es absurdo como forma de escoger. Por ejemplo, que las elecciones de canastas
sean condicionales a que existan consumos m´ınimos en alguno de los bienes (o ambos) puede aparecer
naturalmente bajo requisitos de salubridad, pues dicho consumo m´ınimo garantiza, por ejemplo, una
cantidad adecuada de nutrientes.
En resumen, no hay una única forma de establecer criterios de elección de canastas de
consumo para los individuos: hay muchas opciones y no necesariamente algún criterio es mejor
que otro, si es que tiene sentido hablar normativamente en estas materias. Sin embargo, hay un criterio
ampliamente utilizado en econom´ıa que, nuevamente, parte de la base del supuesto hedonista que ya
hemos indicado (el individuo consume porque le gusta, le hace bien, logra satisfacción, etc.). El criterio
considera que las elecciones de los individuos son hechas con el fin de maximizar la utilidad resultante
del misma, teniendo en cuesta las restricciones presupuestarias que enfrenta. De esta manera, se hace
compatible lo que se quiere con lo que se puede, siendo esta la idea de racionalidad económica
detrás de todo el modelo que estamos desarrollando7
.
Definición 1.7 Problema del consumidor: maximización de utilidad sujeto a restricción
presupuestaria.
Dados los precios de los bienes p1 y p2 y dada la renta del individuo R, el problema del consumidor
consiste en encontrar aquella canasta factible que maximiza su utilidad, lo que se traduce en resolver
el siguiente problema de optimización:
max u(x1, x2)
s.a (x1, x2) ∈ B(p1, p2, R)
⇔
max u(x1, x2)
s.a p1 · x1 + p2 · x2 ≤ R
Supongamos que la solución del problema del consumidor es x∗
1, x∗
2 y que
p1x∗
1 + p2x∗
2 < R (6)
Dos cuestiones. Primero, por definición se tiene que para todo (x1, x2) ∈ B(p1, p2, R), u(x1, x2) ≤
u(x∗
1, x∗
2). Segundo, puesto que se cumple la condición (6), entonces para δ > 0 suficientemente pequeño
se tiene que8
p1(x∗
1 + δ) + p2x∗
2 = R.
De lo anterior, (x∗
1 + δ, x∗
2) ∈ B(p1, p2, R). Pero además, ya que la función de utilidad es estrictamente
creciente,
u(x∗
1 + δ, x∗
2) > u(x∗
1, x∗
2),
lo que contradice el hecho que (x∗
1, x∗
2) maximiza la utilidad en el conjunto factible. Todo el problema
viene de suponer que p1x∗
1 + p2x∗
2 < R, pues a partir de este hecho hemos podido encontrar otro punto
que nos entrega más satisfacción. En concreto, se tiene la siguiente proposición.
7En algún sentido el criterio de racionalidad anterior sigue siendo “muy amplio”: muchas de las actividades que uno
realiza en la vida se pueden ver como resultado de un proceso de maximización; todo es cuestión de “escoger” la correcta
función de utilidad para justificar tal elección. A pesar de esto, en todo lo que sigue trabajaremos bajo el supuesto que
los consumidores son agentes cuyo objetivo es el indicado.
8Basta con δ =
R−p1x∗
1−p2x∗
2
p1
> 0.
17

Proposición 1.3 Dada una función de utilidad estrictamente creciente en cada componente, si (x∗
1, x∗
2)
es la solución del problema de maximización de utilidad sujeto a restricción presupuestaria, necesari-
amente se debe cumplir que,
p1x∗
1 + p2x∗
2 = R.
As´ı, bajo el supuesto que la f.d.u es estrictamente creciente por componentes, el problema del
consumidor se puede replantear equivalentemente de la siguiente manera (se da por descontado
que las variables son mayores o iguales a cero):
Formulación equivalente del problema del consumidor
max u(x1, x2)
s.a p1 · x1 + p2 · x2 = R
(7)
El problema de optimización (7) es uno con restricción de igualdad, y no de desigualdad como era
originalmente, lo que nos permite ocupar Lagrangeanos para resolverlo.
Definición 1.8 Demanda Marshaliana y utilidad indirecta
La solución del problema del consumidor (7) se denotará por
xi(p1, p2, R), i = 1, 2
y se llamará demanda Marshaliana del consumidor por el bien 1 y 2 respectivamente. El máximo
valor de la función de utilidad dada la restricción presupuestaria se denomina utilidad indirecta
del individuo y se denota por v(p1, p2, R), es decir,
v(p1, p2, R) = u(x1(p1, p2, R), x2(p1, p2, R)).
Para determinar las demandas, y con ello la función de utilidad indirecta, se procede, en primer
lugar, definiendo el Lagrangeano del problema del consumidor (7):
L(x1, x2, λ) = u(x1, x2) + λ · [R − p1x1 − p2x2].
Con ello, las condiciones necesarias de optimalidad son las siguientes:
a.- ∂L(x1,x2,λ)
∂x1
= 0 ⇔ ∂u(x1,x2)
∂x1
− λp1 = 0 ⇔ ∂u(x1,x2)
∂x1
= λp1.
b.- ∂L(x1,x2,λ)
∂x2
= 0 ⇔ ∂u(x1,x2)
∂x2
− λp2 = 0 ⇔ ∂u(x1,x2)
∂x2
= λp2.
c.- ∂L(x1,x2,λ)
∂λ = 0 ⇔ p1x1 + p2x2 = R.
De las condiciones a.− y b.− se tiene entonces que (cuociente),
∂u(x1,x2)
∂x1
∂u(x1,x2)
∂x2
=
λp1
λp2
=
p1
p2
⇔ RMS1,2(x1, x2) = −
p1
p2
.
Resumiendo, la demanda se obtiene de resolver el sistema de ecuaciones
Ec. 1 : RMS1,2(x1, x2) = −
p1
p2
,
Ec. 2 : p1x1 + p2x2 = R.
En todo lo que sigue, trabajaremos bajo el supuesto que efectivamente las condiciones
necesarias de primer orden nos permiten resolver el problema, sin requerir condiciones adi-
cionales (o de segundo orden) para determinar las demandas. Un caso particular muy importante
para el cual se cumple tal supuesto anterior ocurre cuando las curvas de indiferencia son estrictamente
18

convexas, cuestión que se tiene cuando la f.d.u es estrictamente cónicava (y más general, estrictamente
cuasicóncava). Esto justifica el empleo de tales funciones en la práctica.
Interpretemos geométricamente las condiciones de optimalidad del problema del consumidor. Para
ello, dada la restricción presupuestaria y dadas las demandas x1(p1, p2, R) y x2(p1, p2, R), sea v =
v(p1, p2, R) (utilidad indirecta). Entonces la curva de indiferencia al nivel v anterior es tangente
a la recta presupuestaria. En efecto, es claro que la curva de indiferencia debe cortar a la recta
presupuestaria, ya que de lo contrario cualquier punto de ella no ser´ıa factible. En segundo lugar, si la
curva de indiferencia corta a la recta presupuestaria en más de un punto, entonces habrá otra curva de
indiferencia de mayor nivel de utilidad que también cortará a la recta presupuestaria, lo cual contradice
la definición demanda pues no se estar´ıa maximizando en xi(p1, p2, R). La única alternativa que queda
es la de tangencia como se muestra en la Figura 8,
Figure 8: Maximización de Utilidad
x
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxR/p2
x2(p1, p2, R)
x1(p1, p2, R) R/p1
v
Note que, de la condición de tangencia se debe cumplir que la pendiente de la recta presupuestaria
−p1
p2
debe ser igual a la pendiente de la tangente de la curva de indiferencia en la demanda. Pero
dicha pendiente es simplemente la relación marginal de sustitución y, por lo tanto, se tiene que
RMS1,2(x1(p1, p2, R), x2(p1, p2, R)) = −
p1
p2
,
cuestión que ya sab´ıamos.
Nota. 1.3 Otra interpretación de las condiciones de optimalidad
Denotemos por x∗
1 = x1(p1, p2, R) y x∗
2 = x2(p1, p2, R). Como estamos en el óptimo, cualquier
modificación en dichas cantidades de consumo deber´ıa hacer disminuir el nivel de satisfacción del
individuo (las demandas maximizan utilidad, luego cualquier otra factible debe otorgar menos utilidad).
De esta manera, si fuera que el consumo del bien 1 aumenta en una unidad, entonces la utilidad
crecer´ıa
∂u(x∗
1,x∗
2)
∂x1
, pero, dado que existe una restricción presupuestaria, el aumento anterior deber´ıa
ser compensado por una disminución en el consumo del bien 2. Digamos que tal disminución es δ.
Luego, en primer lugar, se debe cumplir que,
p1(x∗
1 + 1) + p2(x∗
2 − δ) = R
de lo cual se tiene que δ = p1/p2. Ahora bien, en el punto factible (x∗
1 + 1, x∗
2 − δ) la utilidad del
individuo es menor que en la demanda. Luego, el cambio neto en utilidad producto de las modificaciones
19

anteriores será9
,
∂u(x∗
1, x∗
2)
∂x1
−
p1
p2
·
∂u(x∗
1, x∗
2)
∂x2
.
el cual necesariamente debe ser negativo, ya que si fuera positivo habr´ıamos encontrado otro punto con
mayor utilidad. De anterior se tiene entonces que,
∂u(x∗
1, x∗
2)
∂x1
−
p1
p2
·
∂u(x∗
1, x∗
2)
∂x2
≤ 0 ⇔
∂u(x∗
1 ,x∗
2)
∂x1
∂u(x∗
1 ,x∗
2)
∂x2
≤
p1
p2
⇔ RMS1,2(x∗
1, x∗
2) ≤ −
p1
p2
. (8)
Si ahora disminuimos el consumo del bien 1 en una unidad, la utilidad cae en
∂u(x∗
1 ,x∗
2)
∂x1
. Para
mantener la restricción presupuestaria, el bien 2 deber´ıa aumentar en (p1/p2) y con todo esto el cambio
(positivo) en utilidad ser´ıa, p1
p2
·
∂u(x∗
1,x∗
2)
∂x2
. De esta manera, el cambio neto en utilidad ser´ıa:
−
∂u(x∗
1, x∗
2)
∂x1
+
p1
p2
·
∂u(x∗
1, x∗
2)
∂x2
,
el cual debe ser positivo. Luego, se debe cumplir que,
−
∂u(x∗
1, x∗
2)
∂x1
+
p1
p2
·
∂u(x∗
1, x∗
2)
∂x2
≤ 0 ⇔
∂u(x∗
1 ,x∗
2)
∂x1
∂u(x∗
1 ,x∗
2)
∂x2
≥
p1
p2
⇔ RMS1,2(x∗
1, x∗
2) ≥ −
p1
p2
. (9)
Mirando (8) y (9), se concluye que en el óptimo se debe cumplir que, RMS1,2(x∗
1, x∗
2) = −p1
p2
,
condición que ya ten´ıamos.
Si la función de utilidad es “cóncava sin lados rectos” (es decir, estrictamente cóncava), sabemos
que las correspondientes curvas de indiferencia serán estrictamente convexas. En tal caso, al desplazar
la recta presupuestaria con el fin de intersectarlas con la curva de indiferencia, la tangencia se dará en
un único punto, el cual, como ya sabemos, corresponde la demanda. De esta manera, podemos concluir
que para cualquier p1, p2 > 0 y para cada ingreso R > 0, xi(p1, p2, R), i = 1, 2, está un´ıvocamente
definida y se puede determinar a partir de las condiciones necesarias de optimalidad del problema.
Ésta es la justificación fundamental para considerar funciones de utilidad cóncavas (más general,
cuasicóncavas) en el análisis.
La siguiente figura ilustra curvas de indiferencia convexas y no convexas y las demandas que se
tienen en ambos casos. Note que en el segundo caso hay más de una posibilidad para la demanda.
Figure 9: Curva de Indiferencia Convexa y No Convexa
x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
Demanda Única Demanda Múltiple
Curva de Indiferencia No ConvexaCurva de Indiferencia Convexa
9Recordemos que f(x1 + δ, x2 + ǫ) − f(x1, x2) ∼ δ ∂f(x1,x2)
∂x1
+ ǫ ∂f(x1,x2)
∂x2
.
20

Ejemplo 1.10 Dada la función de utilidad u(x1, x2) = xa
1 ·xb
2, y dados los precios p1, p2 y la renta R,
determinemos las demandas por bienes y la función de utilidad indirecta. Para el caso, el Lagrangeano
es
L = xa
1 · xb
2 + λ[R − p1x1 − p2x2].
De las condiciones de optimalidad, se tiene que,
a.- axa−1
1 xb
2 − λp1 = 0
b.- bxa
1xb−1
2 − λp2 = 0
c.- p1x1 + p2x2 = R.
Luego, de a.− y b.− se tiene que ax2
bx1
= p1
p2
, es decir, x2 = bp1x1
ap2
. De esta manera, lo anterior en
c.− implica que,
x1(p1, p2, R) =
aR
p1(a + b)
, x2(p1, p2, R) =
bR
p2(a + b)
y as´ı,
v(p1, p2, R) =
aR
p1(a + b)
a
·
bR
p2(a + b)
b
.
Ejemplo 1.11 Demanda con función de utilidad lineal
Dada la función de utilidad u(x1, x2) = a · x1 + b · x2, y dados los precios p1, p2 y la renta R,
determinemos las demandas por bienes y la función de utilidad indirecta. Si seguimos el enfoque
utilizando las condiciones de optimalidad del problema del consumidor, el Lagrangeano del problema es
L = a · x1 + b · x2 + λ · [R − p1x1 − p2x2] = [a − λp1]x1 + [b − λp2]x2 + λR,
de modo que derivando c.r. a x1 y x2 se tendr´ıa que
∂L
∂x1
= a − λp1,
∂L
∂x2
= b − λp2.
As´ı, en el óptimo se “deber´ıa cumplir” que
a
b
=
p1
p2
,
relación que obviamente es absurda pues, a priori, los parámetros son arbitrarios10
. As´ı, resolver el
problema empleando el cálculo es inconducente. Veamos directamente. De la restricción presupuestaria,
se tiene que
x2 =
R
p2
−
p1
p2
· x1,
que incorporándola en la función objetivo nos lleva a que el problema del consumidor se puede re-escribir
equivalentemente como
max
x1
a · x1 + b ·
R
p2
−
p1
p2
· x1 ⇔ max
x1
x1 · a −
p1 · b
p2
+
b · R
p2
.
La constante de la derecha no altera la solución del problema, siendo equivalente a
max
x1
x1 · a −
p1 · b
p2
. (10)
Para resolver (10), se deben considerar tres casos posibles:
10Incluso de tener sentido, dicha condición no nos permitir´ıa obtener las demandas.
21

(i) que a − p1·b
p2
> 0 (es decir, a
p1
> b
p2
),
(ii) que a − p1·b
p2
< 0 es decir, a
p1
< b
p2
),
(iii) a − p1·b
p2
= 0 (es decir, a
p1
= b
p2
),
Para el caso (i), el máximo valor de la función objetivo se obtiene cuando x1 = R
p1
y por ende11
x2 = 0. As´ı, la utilidad indirecta es
v(p, R) =
a · r
p1
.
Para el caso (ii), la demanda es x1 = 0 y x2 = R
p2
, en cuyo caso la utilidad indirecta es v(p, R) = b·R
p2
.
Finalmente, para el tercer caso, respetando la restricción presupuestaria, x1 puede tomar cualquier
valor, como as´ı x2: toda la recta presupuestaria es solución del problema. Por lo tanto, tomando
x1 = R
p1
, x2 = 0, la utilidad indirecta es v(p, R) = a·R
p1
= b·R
p2
.
Todo lo anterior puede resultar más claro si lo vemos desde un punto de vista gráfico. La Figura 10
es ilustrativa.
Figure 10: Maximización de Utilidad de Función Lineal
x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
R/p2
R/p1
(1) : a′
x1 + b′
x2 = R
(2) : ax1 + bx2
Para encontrar las demandas, debemos tener en cuenta la las pendientes de la recta presupuestaria
y de las curvas de indiferencia, ambas constantes. En primer lugar, del gráfico es claro que la solución
del problema es esquina, en el sentido que las demandas son, o sólo con bien 1 o sólo con bien 2 (salvo
el caso (iii) anterior). Para curvas de indiferencia como las punteadas, la demanda será x2 = R/p2 y
x1 = 0 (caso (ii)); para el otro tipo de curva de indiferencia de la figura, la demanda será x1 = R/p1
y x2 = 0 (caso (i)). La demanda depende, en definitiva, de las pendientes relativas de la recta
presupuestaria y las curvas de indiferencia. El único caso en que puede haber múltiples soluciones es
cuando las pendientes de ambas rectas coinciden (caso (iii)): la solución es entonces cualquier punto
de la recta presupuestaria.
Ejemplo 1.12 Maximización de beneficio con funciones de utilidad cuasi-lineales
Una función de utilidad u : R2
+ → R se dice cuasi-lineal cuando se puede expresar de la forma
u(x1, x2) = αx1 + φ(x2),
con φ : R+ → R una función creciente. Para u como antes, condicional a los precios y renta, el
problema de consumidor es
max
x1,x2
αx1 + φ(x2) s.a. p1x1 + p2x2 = R.
11Recordar que p1 · x1 + p2 · x2 = R.
22

De la restricción, despejando x1 en función de x2 y reemplazando en la función objetivo, el problema
anterior se convierte en
max
x2
α ·
R
p1
−
p2x2
p1
+ φ(x2).
De las condiciones de optimalidad del problema anterior, la demanda por bien dos debe cumplir que
φ′
(x2) = α ·
p2
p1
,
condición que nos permite encontrarla de manera directa, resolviendo as´ı el problema.
Supongamos ahora que la preferencia de un agente es representada por dos funciones de utilidad,
digamos u1 y u2. En tal caso, sabemos que existe una función estrictamente creciente φ tal que12
u1(x1, x2) = φ(u2(x1, x2)). (11)
A los precios p1, p2 y riqueza R, para determinar las demandas empleando la f.d.u u1, se debe
resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Ec. 1
∂u1(x1,x2)
∂x1
∂u1(x1,x2)
∂x2
=
p1
p2
.
Ec. 2 : p1x1 + p2x2 = R
Notemos que la Ecuación 2 no depende de las preferencias. Por otro lado, de (11), se tiene que
(aplicar regla de la cadena)
∂u1(x1, x2)
∂x1
=
∂φ(u2(x1, x2))
∂x1
= φ′
(u2(x1, x2)) ·
∂u2(x1, x2)
∂x1
.
Análogamente,
∂u1(x1, x2)
∂x2
=
∂φ(u2(x1, x2))
∂x2
= φ′
(u2(x1, x2)) ·
∂u2(x1, x2)
∂x2
,
y en consecuencia,
∂u1(x1,x2)
∂x1
∂u1(x1,x2)
∂x2
=
φ′
(u2(x1, x2)) · ∂u2(x1,x2)
∂x1
φ′(u2(x1, x2)) · ∂u2(x1,x2)
∂x2
=
∂u2(x1,x2)
∂x1
∂u2(x1,x2)
∂x2
.
Luego, el sistema de ecuaciones para determinar la demanda es el mismo si empleamos u1 o u2,
es decir, la demanda que se calcula con u1 es coincidente con aquella que se obtendr´ıa
de emplear u2. Obviamente la utilidad indirecta depende la función de utilidad que se
considere.
Ejemplo 1.13 Recordemos que el problema del consumidor es
max u(x1, x2)
s.a p1 · x1 + p2 · x2 = R.
Sea ahora f : R → R una función creciente estricta cualquiera. Como el objetivo es maximizar
u(x1, x2) sujeto a la restricción presupuestaria, claramente la solución no cambiará si el prob-
lema es maximizar f(u(x1, x2)) sujeto a la misma restricción presupuestaria. De esta manera, con
una adecuada elección de f, se podr´ıa simplificar la determinación de la demanda. Para fijar ideas,
supongamos que deseamos encontrar las demandas asociadas a la función de utilidad CES
12Recordemos que las funciones de utilidad son únicas salvo transformaciones crecientes.
23

u(x1, x2) = [c0 + c1xρ
1 + c2xρ
2]
1
ρ
.
En este caso, maximizar la utilidad anterior sujeta a restricción presupuestaria es equivalente a maxi-
mizar
uρ
(x1, x2) = [c0 + c1xρ
1 + c2xρ
2]
con la misma restricción. En este caso, f(x) = xρ
. Más aun, como la constante c0 no interviene en el
resultado de la maximización, al maximizar
[c1xρ
1 + c2xρ
2]
se obtiene un resultado equivalente. Obviamente las transformaciones se justifican siempre y cuando
el nuevo problema sea más sencillo de resolver que el original. Note, finalmente, que esta elección
permite encontrar las demandas; sin embargo, para evaluar la utilidad indirecta se debe volver a
la función de utilidad original.
1.4 Análisis de sensibilidad del problema del consumidor
En lo que sigue, vamos a estudiar los efectos sobre la demanda, y la utilidad indirecta, que implican
variaciones en los precios y la riqueza. Esto es lo que tradicionalmente se conoce como análisis de
sensibilidad del problema del consumidor.
En primer lugar, sabemos que si uno de los precios sube (ceteris paribus), entonces el nuevo
conjunto de restricción presupuestario es más pequeño que el original (ver (5)), por lo cual la nueva
demanda será necesariamente tal que la utilidad indirecta obtenida es menor o igual (en general,
menor estricta) que en la original: esto es simplemente porque el nuevo set de posibilidades tiene
menos opciones donde escoger que el original. Luego la solución resulta menos favorable que antes del
cambio en precio. Por lo tanto, hemos probado que13
,
∂v(p1, p2, R)
∂p1
< 0 ,
∂v(p1, p2, R)
∂p2
< 0. (12)
Por otro lado, si el ingreso aumenta (ceteris paribus), entonces el nuevo conjunto de restricción
presupuestario es más grande que el original (ver relación (4)). Luego, siguiendo el razonamiento
anterior, se concluye que la utilidad indirecta necesariamente debe aumentar, pues en este nuevo
escenario tenemos más opciones para escoger que en la situación original. En consecuencia, hemos
probado que
∂v(p1, p2, R)
∂R
> 0. (13)
Con lo anterior sólo hemos concluido sobre el efecto en la utilidad indirecta según cambios en los
precios y la riqueza. La pregunta obvia es, ¿qué sucede con las demandas en función de variaciones en los
parámetros? La respuesta es algo más compleja que lo expuesto, y se pueden dar múltiples situaciones
que pasaremos a detallar. En primer lugar, supongamos que p1 aumenta, digamos a p′
1. Sabemos
que este cambio puede afectar ambas demandas, pues ambas puedes depender del precio p1. Como
ya sabemos, en este escenario la utilidad indirecta disminuye, por lo que necesariamente al menos
una de las demandas debe disminuir debido al cambio de precios (si ambas demandas aumentasen,
entonces no podr´ıa ocurrir que la utilidad indirecta disminuya). A priori, no necesariamente las dos
demandas han de caer. Esto motiva la siguiente definición. Lo usual es que cuando el precio de un
bien aumente, la correspondiente demanda disminuya. Lo contrario motiva la siguiente definición.
13En forma análoga podemos deducir que si el precio disminuye, entonces el conjunto de restricción presupuetario
es “más grande” que el original, por lo cual la utilidad indirecta aumenta. De todo esto, si el precio sube la utilidad
indirecta cae, si el precio cae, la utilidad indirecta aumenta; es decir, la derivada respectiva es negativa como se indica.
24

Definición 1.9 Diremos que un bien i = 1, 2 es Giffen si un aumento del precio propio pi implica un
aumento en la demanda respectiva.
En otras palabras, el bien i = 1, 2 es de Giffen si,
∂xi(p1, p2, R)
∂pi
> 0.
Es claro que si el bien 1 es de Giffen, entonces necesariamente se debe cumplir que,
∂x2(p1, p2, R)
∂p1
< 0
pues de lo contrario, ante un aumento en el precio p1 ambos bienes aumentar´ıan la demanda, lo cual
contradice el hecho que la utilidad indirecta disminuya antes alzas de precio.
La Figura 11 ilustra la definición de un bien Giffen.
Figure 11: Bien Giffen
x
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxR/p2
b′′
b′
b
a′′
a′ a R/p1 R/p′
1 R/p′′
1
Notemos que, si el precio p1 disminuye (p1 > p′
1 > p
′′
1 ), la demanda respectiva del bien 1 también
disminuye (a > a′
> a
′′
), por lo cual, el bien 1 es de Giffen, es decir,
∂x1(p1, p2, R)
∂p1
> 0.
Notemos finalmente que disminuciones en el precio p1 implican disminuciones en la demanda del
bien dos:
p1 > p′
1 > p
′′
1 ⇒ b < b′
< b
′′
.
Si dibujamos la demanda de un bien de Giffen en función del precio respectivo, se tiene que la
pendiente de la curva es positiva, lo que obviamente es contrario a las situaciones usuales de demanda
de bienes. La Figura 12 ilustra la curva de demanda de un bien Giffen y de uno no Giffen.
25

Figure 12: Bien Giffen y No Giffen
x
x1
p1 p1No Giffen
x1
Giffen
Dados por los precios p1, p2 y la renta R, supongamos que el precio del bien uno aumenta a p′
1 > p1.
En tal caso, el cambio de demanda del bien i = 1, 2 es
xi(p′
1, p2, R) − xi(p1, p2, R),
que en términos porcentuales, corresponde a
xi(p′
1, p2, R) − xi(p1, p2, R)
xi(p1, p2, R)
.
El cambio porcentual en el precio es
p′
1 − p1
p1
.
La elasticidad precio de la demanda es simplemente el cuociente de los cambios porcentuales
anteriores: as´ı, la elasticidad “precio del bien uno” de la “demanda por el bien i = 1, 2” es
ǫp1,xi =
xi(p′
1,p2,R)−xi(p1,p2,R)
xi(p1,p2,R)
p′
1−p1
p1
.
Ordenando los términos, lo anterior corrresponde a
ǫp1,xi =
xi(p′
1, p2, R) − xi(p1, p2, R)
p′
1 − p1
·
xi(p1, p2, R)
p1
,
que cuando p′
1 ∼ p1 se puede aproximar por
ǫp1,xi =
xi(p′
1, p2, R) − xi(p1, p2, R)
p′
1 − p1
·
xi(p1, p2, R)
p1
∼
∂xi(p1, p2, R)
∂p1
·
xi(p1, p2, R)
p1
.
Es según la aproximación de la derecha que usualmente se define la elasticidad precio de la
demanda. Si en valor absoluto se tiene que la elasticidad precio de la demanda es mayor que uno,
se dice que el bien es elástico a ese precio; caso contratio, si en valor absoluto la elasticidad precio
del bien es menor que uno, se dice que es inelástico a dicho precio: un bien elástico responde
“fuertemente” a cambios en los precios, mientras que un bien inelástico es poco sensible a
tales modificaciones.
Consideremos ahora variaciones en la riqueza y su efecto en la demanda. En primer lugar, ya
sabemos que si el ingreso aumenta, la utilidad indirecta también lo hace. El problema, como antes, es
26

determinar que sucede con las demandas. En primer lugar, por lo antes indicado, si el ingreso aumenta
necesariamente al menos una de las demandas debe aumentar, pues si ambas disminuyen no podr´ıa ser
que la utilidad indirecta aumentase. El asunto es que no necesariamente ambas demandas aumentan
ante alzas de ingreso. Esto motiva la siguiente definición.
Definición 1.10 Diremos que un bien i = 1, 2 normal si aumentos en la riqueza implica aumentos
en su demanda. En caso contrario diremos que el bien es inferior.
De esta manera, el bien i = 1, 2 es normal si,
∂xi(p1, p2, R)
∂R
> 0,
y es inferior si,
∂xi(p1, p2, R)
∂R
< 0.
La Figura 13 ilustra las definiciones anteriores.
Figure 13: Bien Normal y Bien Inferior
x2
Ambos bienes normales x1 1: Normal; 2: Inferior x1
x2
A priori, podemos dibujar una curva que represente sólo las demandas de los bienes ante cambios
en el ingreso, la que recibe el nombre de Curva de Engel. Note que si ambos bienes son normales, las
curvas de Engel son crecientes. Por el contrario, si uno de los bienes es inferior, la curva es decreciente.
¿Cómo interpretar la curva de Engel? Recuerde que, por definición, la curva de Engel nos entrega
las demandas en diversos escenarios de ingreso (riqueza). Condicional a los precios, un punto cualquiera
de ella corresponde a la demanda de bienes que se tendr´ıa para el valor correspondiente de riqueza,
esto condicional a los precios de los bienes.
Dada la curva de Engel, suponiendo que ambos bienes son normales, es perfectamente posible que
en la medida que el ingreso aumenta la demanda de uno de ellos crezca más rápido que la demanda
del otro. Esto se puede interpretar diciendo que ante aumentos de ingreso, el individuo compra más
de uno en relación al otro (aumento del consumo de manera más que proporcional). En tal caso, si
por ejemplo la demanda del bien uno crece más rápido que la del dos, entonces la curva de Engel será
más plana, es decir, con pendiente de tangente (derivada) menor que uno; por el contrario, si fuera
que ante aumentos del ingreso la demanda del bien dos crece más rápido que la demanda del bien uno,
entonces la curva de Engel será más empinada, es decir, con pendiente de tangente mayor que uno en
todo punto. Gráficamente lo indicado es como sigue.
27

Figure 14: Bien de Lujo y Bien Necesario (1)
x2
x1
(2)
(1)
En la Figura 14, en la curva (1), la demanda del bien uno crece más rápido que aquella del bien
dos cuando aumenta el ingreso; lo contrario en la curva (2).
Lo anterior motiva la siguiente definición.
Definición 1.11 Para bienes normales, si en la medida que el ingreso aumenta se tiene que la demanda
de uno de ellos crece más que proporcionalmente que la demanda del otro, diremos que dicho bien es
un bien de lujo, mientras que el otro se denomina bien necesario.
Ejemplo 1.14 Dada la f.d.u. u(x1, x2) = xα
1 · xβ
2 , sabemos que
x1(p1, p2, R) =
αR
p1(α + β)
, x2(p1, p2, R) =
βR
p2(α + β)
.
En este caso, ambos bienes no son de Giffen pues si el respectivo precio aumenta, la demanda
disminuye:
∂x1(p1, p2, R)
∂p1
= −
αR
p2
1(α + β)
< 0;
∂x2(p1, p2, R)
∂p2
= −
βR
p2
2(α + β)
< 0.
Por otro lado, ambos bienes son normales pues aumentos del ingreso implican aumentos de la
demanda:
∂x1(p1, p2, R)
∂R
=
α
p2
1(α + β)
> 0;
∂x2(p1, p2, R)
∂R
=
β
p2
2(α + β)
> 0.
Para dibujar las curvas de Engel, notemos que
x1(p1, p2, R)
x2(p1, p2, R)
=
αR
p1(α+β)
βR
p2(α+β)
=
α
β
.
Luego, x1(p1, p2, R) = α
β · x2(p1, p2, R), que es una recta en el plano x1 − x2. La pendiente de dicha
recta es α
β , que gráficamente se ve en la Figura 15 es la siguiente:
28

x2
x1
(2)
(1)
Figure 15: Bien de Lujo y Bien Necesario
En la Figura 15, para el caso (1) se tiene que α > β mientras que en el caso (2) se tiene que α < β.
De esta manera, el bien uno será de lujo y el dos necesario si α > β y contrario si α < β.
Finalmente mostramos un resultado de sensibilidad que combina los conceptos que hemos intro-
ducido previamente, y que será de utilidad más adelante. Se conoce como identidad de Roy, y
establece un v´ınculo entre la demanda Marshaliana y variaciones de la utilidad indirecta.
Proposición 1.4 La función de utilidad indirecta y las funciones de demanda Marshaliana verifican
la siguiente relación:
∂v(p1,p2,R)
∂pi
∂v(p1,p2,R)
∂R
= −xi(p1, p2, R) i = 1, 2.
Demostración. En primer lugar, dadas las demandas x1(p1, p2, R) y x2(p1, p2, R) y dada la función
de utilidad indirecta v(p1, p2, R), sabemos que p1x1(p1, p2, R) + p2x2(p1, p2, R) = R. Luego, derivando
directamente con respecto a R se tiene que,
p1 ·
∂x1(p1, p2, R)
∂R
+ p2 ·
∂x2(p1, p2, R)
∂R
= 1
mientras que al hacerlo c.r. a p1 se tiene que,
p1 ·
∂x1(p1, p2, R)
∂p1
+ x1(p1, p2, R) + p2 ·
∂x2(p1, p2, R)
∂p1
= 0
de lo cual se tiene que, −x1(p1, p2, R) = p1 · ∂x1(p1,p2,R)
∂p1
+ p2 · ∂x2(p1,p2,R)
∂p1
.
Por otro lado, puesto que v(p1, p2, R) = u(x1(p1, p2, R), x2(p1, p2, R)), derivando directamente c.r.
a p1 y R se tiene que,
∂v
∂p1
∂v
∂R
=
∂u
∂x1
· ∂x1
∂p1
+ ∂u
∂x2
· ∂x2
∂p1
∂u
∂x1
· ∂x1
∂R + ∂u
∂x2
· ∂x2
∂R
=
∂u
∂x1
∂u
∂x2
· ∂x1
∂p1
+ ∂x2
∂p1
∂u
∂x1
∂u
∂x2
· ∂x1
∂R + ∂x2
∂R
.
Pero, por condición de optimalidad,
∂u
∂x1
∂u
∂x2
= p1
p2
y luego, reemplazando en lo anterior, se tiene que
∂v
∂p1
∂v
∂R
=
p1
p2
· ∂x1
∂p1
+ ∂x2
∂p1
p1
p2
· ∂x1
∂R + ∂x2
∂R
=
p1 · ∂x1
∂p1
+ p2
∂x2
∂p1
p1 · ∂x1
∂R + p2
∂x2
∂R
.
29

Finalmente, de lo indicado inicialmente, haciendo los reemplazos correspondientes, se obtiene lo indi-
cado.
1.5 Problema dual: demanda Hicksiana y función de gasto
En lo que sigue, vamos a definir una serie de conceptos complementarios que serán de utilidad para
el estudio del comportamiento de los agentes. Estableceremos, además, algunas relaciones entre los
mismos.
Básicamente, las relaciones que pretendemos establecer se determinan a partir del problema dual
del consumidor, a saber, condicional a cierto nivel de utilidad, determinar la cantidad de m´ınima de
recursos (ingreso, dinero, etc.) que se necesita para lograr tal nivel de satisfacción.
Para fijar ideas, dado cierto nivel de satisfacción u0 ∈ R, las canastas que permiten alcanzar tal
nivel de satisfacción definen, como ya sabemos, la isocuanta a dicho valor, es decir, todos los pares
ordenados (x1, x2) ∈ R2
+ tales que u(x1, x2) = u0. La pregunta que nos motiva es: si estuviésemos
obligados a escoger un punto de la isocuanta, ¿cuál elegir´ıamos? Puesto que cada uno de ellos entrega
el mismo nivel de satisfacción, la respuesta directa es que escoger´ıamos el “más barato”. ¿Por
qué? Simplemente porque en caso contrario estar´ıamos pagando de más para obtener el mismo nivel
de satisfacción.
A los precios p1, p2, el costo de un punto (x′
1, x′
2) de la isocuanta al nivel u0 = u(x′
1, x′
2) es
R′
= p1x′
1 + p2x′
2.
Si dispusiésemos de R′
pesos, ¿comprar´ıamos la canasta (x′
1, x′
2)? La respuesta es no necesaria-
mente. De hecho, lo que comprar´ıamos es la demanda a los precios p1, p2 y la renta R′
, es decir,
xi(p1, p2, R′
), i = 1, 2,
que no necesariamente es coincidente con x′
1, x′
2, respectivamente. De hecho, con la riqueza R′
es
perfectamente posible que el nivel de satisfacción que podr´ıamos lograr sea incluso mayor que u0
anterior.
Definición 1.12 Dado un nivel de utilidad u0 prefijado y dados los precios p1, p2, definimos la
función de gasto como el m´ınimo ingreso necesario para garantizar el nivel de utilidad indicado.
Dicha función se denotará por e(p1, p2, u0).
De lo expuesto, para encontrar la función de gasto se debe resolver el problema de optimización
min
x1,x2
p1x1 + p2x2
s.a u(x1, x2) = u0
(14)
cuya solución se denotará por
hi(p1, p2, u0), i = 1, 2.
Dichos funciones reciben el nombre de demanda Hicksiana por el bien en cuestión14
. Se tiene
entones que
e(p1, p2, u0) = p1 · h1(p1, p2, u0) + p2 · h2(p1, p2, u0).
El Lagrangeano del problema (14) es
L = p1x1 + p2x2 + λ · [u0 − u(x1, x2)],
de modo que las condiciones de optimalidad son:
14Note que las demandas Hicksianas dependen de los precios y de un nivel de utilidad prefijado, esto a diferencia
de la demanda Marshaliana, que depende de precios y de la riqueza.
30

(a) ∂L
∂x1
= 0 ⇔ p1 − λ∂u(x1,x2)
∂x1
= 0.
(b) ∂L
∂x2
= 0 ⇔ p2 − λ∂u(x1,x2)
∂x2
= 0.
(c) ∂L
∂λ = 0 ⇔ u(x1, x2) = u0.
Combinando (a) con (b) para eliminar el multiplicador λ, se tiene finalmente que el sistema ecua-
ciones que nos permiten encontrar las demandas Hicksianas es
(i)
Ec. 1 :
∂u(h1,h2)
∂x1
∂u(h1,h2)
∂x2
=
p1
p2
⇔ RMS1,2(h1, h2) = −
p1
p2
,
(ii)
Ec. 2 : u(h1, h2) = u0.
La primera ecuación es idéntica para las demandas Marshalianas y Hicksianas; la segunda condición
es completamente distinta: para las demandas Marshalianas es la restricción presupuestaria, para la
demanda Hicksiana es pertenecer a la curva de indiferencia al nivel de utilidad prefijado.
Ejemplo 1.15 Dada la función de utilidad CB u(x1, x2) = xα
1 · xβ
2 , determinemos las funciones de
demanda Hicksiana y la función de gasto. Dado u0, el Lagrangeano es
L = p1x1 + p2x2 + λ · [u0 − xα
1 · xβ
2 ].
Derivando c.r. a x1, x2 se tiene que,
p1 − λαxα−1
1 · xβ
2 = 0; p2 − λβxα
1 · xβ−1
2 = 0 ⇔
p1
p2
=
αx2
βx1
⇒ x2 =
βp1
αp2
· x1.
Luego, reemplazando esta última relación en la utilidad se tiene que,
xα
1 · xβ
2 = u0 ⇔ xα
1 ·
βp1
αp2
· x1
β
= u0
de lo cual se tiene finalmente que,
h1(p1, p2, u0) = u
(1/(α+β))
0
αp2
βp1
β/(α+β)
.
Con esto, se tiene que,
h2(p1, p2, u0) = u
(1/(α+β))
0
βp1
αp2
α/(α+β)
y as´ı,
e(p1, p2, u0) = p1 · u
(1/(α+β))
0
αp2
βp1
β/(α+β)
+ p2 · u
(1/(α+β))
0
βp1
αp2
α/(α+β)
Fijemos los precios, p1, p2 y veamos algunas relaciones entre las soluciones del problema “primal”
(demanda Marshaliana) y el “dual” (demanda Hicksiana). En primer lugar, si el individuo tiene ingreso
R, sabemos que comprará xi(p1, p2, R), i = 1, 2, obteniendo un nivel de satisfacción v(p1, p2, R). Al
revés ahora, para obtener satisfacción v(p1, p2, R), ¿cuánto dinero debe gastar? ¿Qué hará con ese
dinero? A la primera pregunta, la respuesta es R: si gasta más dinero, digamos R′
> R, entonces
obtiene nivel de stisfacción v(p1, p2, R′
); como la utilidad indirecta es creciente en el ingreso, en este
caso se tiene que v(p1, p2, R′
) > v(p1, p2, R); si gastase R′′
< R, siguiendo el mismo argumento,
la satisfacción que obtendrá es v(p1, p2, R′′
), que es menor que v(p1, p2, R). Luego, la única opción
31

es gastar R. Para responder la segunda pregunta (¿qué hará?), dado que gastará R para obtener
satisfacción v(p1, p2, R), por el lado del problema “primal”, sabemos que comprará
xi(p1, p2, R), i = 1, 2;
por otro lado, según el problema “dual”, sabemos que comprará hi(p1, p2, v(p1, p2, R)), i = 1, 2, que
obviamente debe ser coincidente con la anterior. As´ı, hemos probado que:
xi(p1, p2, R) = hi(p1, p2, v(p1, p2, R)), i = 1, 2
R = e(p1, p2, v(p1, p2, R)).
Proposición 1.5
(a) La función de gasto es homogénea de grado uno en los precios, es decir,
e(tp1, tp2, u0) = t · e(p1, p2, u0), ∀t > 0.
(b) Para cada i = 1, 2
∂e(p1, p2, u0)
∂pi
= hi(p1, p2, u0).
Demostración.
(a) Por definición, e(tp1, tp2, u0) viene de resolver el siguiente problema de optimización:
min (tp1)x1 + (tp2)x2
s.a u(x1, x2) = u0
problema es equivalente a resolver
t · min p1x1 + p2x2
s.a u(x1, x2) = u0,
pues t es positivo. Luego, el gasto que se tiene con los precios tp1 y tp2 es igual al gasto que se
tiene con los precios p1 y p2, pero multiplicado por t, que es lo indicado.
(b) Derivando directamente la función de gasto c.r. a p1 y recordando que e(p1, p2, u0) = p1h1(p1, p2, u0)+
p2h2(p1, p2, u0)15
, tenemos que:
∂e
∂p1
= p1
∂h1
∂p1
+ h1 + p2 ·
∂h2
∂p1
= h1 + p1
∂h1
∂p1
+ p2 ·
∂h2
∂p1
Ahora bien, sabemos que u(h1, h2) = u0 y luego, derivando c.r a p1 (aplicar regla de la cadena)
se tiene que16
,
∂u
∂x1
·
∂h1
∂p1
+
∂u
∂x2
·
∂h2
∂p1
= 0. (15)
Ahora bien, de las condiciones de optimalidad, sabemos que,
15En la medida de lo posible, omitiremos las variables de cada función para evitar notación excesiva.
16Recuerde que u0 es constante, luego su derivada c.r a p1 es cero.
32

∂u
∂x1
∂u
∂x2
=
p1
p2
y luego,
∂u
∂x1
=
p1
p2
·
∂u
∂x2
de lo cual, reemplzando en (15), se tiene que,
p1
p2
·
∂u
∂x2
·
∂h1
∂p1
+
∂u
∂x2
·
∂h2
∂p1
= 0 ⇔
p1
p2
·
∂h1
∂p1
+
∂h2
∂p1
= 0 ⇔ p1 ·
∂h1
∂p1
+ p2 ·
∂h2
∂p1
= 0.
Reemplazando esta última relación en la derivada del gasto, se obtiene lo indicado pues el término
de la derecha vale cero. Análogo con la derivada respecto de p2.
Nota. 1.4 Otra forma de ver la parte (b) de la Proposición 1.5 es como sigue: puesto que la función
de gasto es homogénea de grado uno en los precios, aplica entonces la identidad de Euler en dichas
variables, es decir
e(p1, p2, u0) = p1 ·
∂e(p1, p2, u0)
∂p1
+ p2 ·
∂e(p1, p2, u0)
∂p2
. (16)
Por otro lado, por definición se tiene que
e(p1, p2, u0) = p1 · h1(p1, p2, u0) + p2 · h2(p1, p2, u0) (17)
Identificando términos en (16) y (17) se obtiene directamente el resultado.
Finalmente, el problema de gasto tiene una interpretación geométrica análoga a la que ten´ıamos con
la demanda Marshaliana. En éste último, al estar fija la recta presupuestaria, la demanda Marshaliana
se obtiene “desplazando” curvas de indiferencia hasta lograr tangencia con dicha recta. Para determinar
la demanda Hicksiana, y por ende la función de gasto, es la curva de indiferencia la que está fija.
Dado esto, se desplaza paralelamente una recta de la forma
p1h1 + p2h2 = e
hasta lograr la tangencia con dicha curva, “desplazamiento” que se tiene incrementando el valor de e.
El valor del parámetro con el cual se logra la tangencia con la curva de indiferencia define el valor la
función de gasto, y el punto donde se intersectan recta y curva es la demanda Hicksiana.
1.6 Funciones de compensación
Consideremos el siguiente contexto general: hay dos instancias a analizar, una inicial, donde los
precios son P = (p1, p2) y el ingreso es R, y otra final con precios P∗
= (p∗
1, p∗
2) y la renta R∗
. El
bienestar del individuo es
Inicial : v(P, R), Final : v(P∗
, R∗
).
Evidentemente los niveles de satisfacción en uno y otro escenario pueden ser distintos; si por
ejemplo, el ingreso se mantiene constante (R = R∗
) y al menos uno de los precios aumenta, entonces
sabemos que v(P; R) > v(P∗
, R∗
).
Si uno de los precios aumenta, para mantener constante el nivel de satisfacción entre ambos esce-
narios, una posibilidad es que el ingreso en el escenario final suba para compensar tal alza. Se tiene
entonces lo siguiente:
33

(a) a los precios iniciales, se necesita R para obtener un nivel de satisfacción v(P, R), y se necesita
e(P, v(P∗
, R∗
)) para obtener un nivel de satisfacción v(P∗
, R∗
); por lo tanto
e(P, v(P∗
, R∗
)) − R ∈ R (18)
representa, en riqueza evaluada a los precios iniciales, P, la diferencia de satisfacción
del individuo entre la situaciones final e inicial. Es por tanto una medida del cambio en
satisfacción debido del cambio de precios e ingreso. Si la diferencia anterior es nega-
tiva (positiva), significa que el nuevo escenario (precios P∗
e ingreso R∗
) es más desfavorable
(favorable) para el individuo que aquel donde los precios son P y su ingreso es R.
(b) A los precios finales, se necesita R∗
para obtener un nivel de satisfacción v(P∗
, R∗
) y se necesita
e(P∗
, v(P, R)) para obtener un nivel de satisfacción v(P, R). Por lo tanto
R∗
− e(P∗
, v(P, R)) (19)
representa, en riqueza a los precios finales, P∗
, la diferencia de la satisfacción del indi-
viduo entre la situaciones final e inicial. Nuevamente, si la diferencia (19) es negativa (positiva),
significa que el escenario con precios P∗
e ingreso R∗
es más desfavorable (favorable) para el
individuo que un mundo donde los precios son P y su ingreso es R.
Tanto (18) como (19) representan medidas monetarias de los cambios en satisfacción dados
cambios en los parámetros que determinan la demanda de los individuos. Note que con (18) y (19) se
astá comparando el mismo cambio en nivel de satifacción, sólo que expresado en distintas bases
de precio. La medida (18) está construida sobre la base de cuantificar las riquezas en términos de los
precios iniciales, y se llama variación equivalente, V E,
V E = e(P, v(P∗
, R∗
)) − R (20)
Por otro lado, la medida (19) está construida sobre la base de cuantificar la riqueza (ingresos, renta,
etc.) en términos de los precios finales, y se llama variación compensatoria, V C, es decir,
V C = R∗
− e(P∗
, v(P, R)) (21)
Ambas medidas tienen el mismo signo, pues corresponden a diferencias en dinero para expresar
el mismo cambio en satisfacción. A priori, ambas medidas pueden diferir en sus cuant´ıas, pues,
como se ha indicado, están expresadas en distintas base de precios.
Ejemplo 1.16 Bonos y subsidios
¿Cuál deber´ıa ser el “bono de navidad” que se ha pagar a un trabajador? Resp. No hay una re-
spuesta categórica, pues depende de muchos factores que no controlamos a priori: poder de negociación
del sindicato, historia del bono en la empresa, del desempeño de la empresa en el periodo, etc. Sin
embargo, sin pretender decir cuál “deber´ıa ser” el valor del bono, podemos aproximarnos al problema
de la siguiente manera: inicialmente el individuo enfrenta precios P = (p1, p2) ∈ R2
++ y tiene renta
R > 0. En tal caso, su nivel de satifacción es v(P, R) > 0. Ahora bien, dado que se trata del “navidad”,
es bien sabido que los precios de los bienes de consumo suben sustancialmente (¿por qué?), digamos,
de P a P∗
= (p∗
1, p∗
2). De no mediar cambios en el ingreso, el nivel de satifacción del individuo caerá,
siendo ahora v(P∗
, R); la ca´ıda en el bienestar está dada por
v(P∗
, R) − v(P, R) < 0. (22)
A partir del alza de precios, una primera medida de compensación razonable ser´ıa preguntarse sobre
cuánto dinero extra habr´ıa que darle al individuo para que a los nuevos precios (P∗
) su nivel de
satisfacción sea el mismo que ten´ıa previo al alza. Si denotamos por V1 dicha cantidad, se debe entonces
cumplir que
34

v(P∗
, R + V1) − v(P, R) = 0.
Por lo tanto, buscamos V1 tal que si el individuo tiene ingresos V1 + R, a los precios P∗
su nivel
de satisfacción es v(P, R); luego, por definición, V1 + R es la función de gasto a los precios P∗
con
nivel de satisfacción v(P, R), es decir, se cumple que
R + V1 = e(P∗
, v(P, R)) ⇒ V1 = e(P∗
, v(P, R)) − R. (23)
Es decir, V1 es menos la variación compensatoria, donde la situación inicial es con precios P
y renta R y a final es con precios P∗
y renta R.
Interpretemos el resultado anterior: ya que los precios en la econom´ıa efectivamente serán P∗
,
para analizar los cambios en satisfacción, expresaremos todo en dichos precios. En tal caso, la felici-
dad inicial cuesta e(P∗
, v(P, R)) y la felicidad final cuesta R (= e(P∗
, v(P∗
, R)). As´ı, en términos
monetarios, el cambio en felicidad es
Felicidad Final − Felicidad Inicial = R − e(P∗
, v(P, R)) < 0.
Luego, para compensar, desde un punto de vista monetario, la ca´ıda en la felicidad debido al alza
de los precios, la cantidad de dinero a entregar debe ser tal que
Felicidad Final − Felicidad Inicial + Dinero a entregar = 0,
es decir, Dinero a entregar = e(P∗
, v(P, R)) − R > 0, que es precisamente lo que ten´ıamos. En este
caso, el dinero a entregar es simplemente el negativo de la variación compensatoria.
En enfoque complementario para entender el efecto en bienestar debido al alza de precios, es como
sigue: no habiendo cambios en el ingreso, en el escenario final la satifacción es v(P∗
, R), que es menor
que la inicial. A los precios P esta felicidad final es ciertamente más barata que la actual, pues
v(P, R) > v(P∗
, R). ¿Cuánto cuesta la felicidad final a los precios P? Simplemente e(P, v(P∗
, R)),
que evidentemente es menor que R. Expresado en términos monetarios, que el precio suba corresponde,
en este caso, a una pérdida de felicidad dada por
FINAL − INICIAL = e(P, v(P∗
, R)) − R < 0.
Esta es la medida de variación equivalente que hemos definido. Ahora bien, dado que se producirá
el alza en el precio, ¿cuánto dinero le deber´ıa quitar inicialmente al individuo para que a los precios
antiguos (P = (p1, p2)) su nivel de bienestar sea el mismo que tendrá dada el alza de precios? En otras
palabras, ¿cuánto dinero le debo quitar para que no sienta el efecto precio posterior? Nos preguntamos
entonces por una cantidad V2 (que será negativa) tal que v(P∗
, R) = v(P, R + V2). En este caso, es
directo que
R + V2 = e(P, v(P∗
, R)) ⇒ V2 = e(P, v(P∗
, R)) − R < 0, (24)
que es el resultado que ya ten´ıamos.
La esencia de todo lo anterior está en interpretar correctamente la función de gasto. La idea es
que condicional a cierto nivel de satifacción, digamos u0, a los precios P = (p1, p2), la función de
gasto e(P, u0) es una medida de la dispocisión a pagar que el individuo tiene por lograr tal nivel de
satifacción. De esta manera, cambios en la disposición a pagar debido a cambios en los precios (por
ejemplo), se puede entender como cambios en los niveles de satifacción que sufre el agente. El punto
es con respecto a qué base de precios se mide tal efecto: si son los precios finales, entonces estamos
hablando de variación compensatoria; si es a precios iniciales, es variación equivalente.
Para ilustrar geométricamente lo expuesto, supongamos que inicialmente los precios son p1, p2
y que la renta es R, con lo cual queda definida la recta presupuestaria (1) y la demanda (2) (ver
Figura 16), además de un nivel de satisfacción inicial u0. Si ahora el precio del bien uno aumenta
(digamos, a q1 > p1 con q2 = p2), si el ingreso no cambia, la nueva recta presupuestaria es (3), la nueva
35

demanda es (4) y el nivel de utilidad es u1. Para compensar este aumento de precio, modificaremos el
ingreso, digamos en (5), de tal forma que la nueva recta presupuestaria (6) sea tangente a la curva de
indiferencia inicial, siendo el punto de tangencia (7), no necesariamente igual a (2).
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
u1: Nivel Nuevo
u0: Nivel Original
Figure 16: Función de Compensación
Ejemplo 1.17 Considere un individuo cuya preferencia por dos bienes está dada por
U(x1, x2) = xβ
1 + x2, (25)
con β ∈]0, 1[ conocido. En lo que sigue, suponga que, inicialmente, el precio del bien uno es p1 = p
y aquel del bien dos es p2 = 1. La renta del individuo es R > 0.
(a) Dados los precios y la renta indicada, determine las demandas Marshallianas y la utilidad
indirecta de un agente cuya preferencia está dada por (25). ¿Para qué nivel de renta se tiene que
la demanda por el bien dos es estrictamente positiva? En lo que sigue, y cuando corresponda,
asuma que la renta del individuo es mayor que dicha cantidad.
Respuesta. De las condiciones de optimalidad del problema del consumidor, denotando P =
(p, 1) ∈ R2
, es directo que
x1(P, R) =
p
β
1
β−1
, x2(P, R) = R − p ·
p
β
1
β−1
,
lo cual implica que
v(P, R) = (x1(P, R))
β
+ x2(P, R) =
p
β
1
β−1
β
+ R − p ·
p
β
1
β−1
,
es decir,
v(P, R) =
1
β
β
β−1
· p
β
β−1 + R − p ·
1
β
1
β−1
· p
1
β−1 = β
β
1−β · p
β
β−1 + R − β
1
1−β · p
β
β−1 ,
lo que finalmente nos lleva a
v(P, R) = R + γ · p
β
β−1 , (26)
36

con
γ = β
β
1−β − β
1
1−β = β
β
1−β · [1 − β] > 0.
Finalmente, notemos que la demanda del bien dos es positiva si R − p · p
β
1
β−1
> 0, lo que
se tiene cuando R > p · p
β
1
β−1
. Note que la demanda del bien uno no depende de la renta.
(b) Dado un nivel de utilidad U0, a los precios ya indicados, determine las demandas Hicksianas y
la correspondiente función de gasto.
Respuesta. En este caso, el problema es
min
h1,h2
p · h1 + h2 s.a. hβ
1 + h2 = U0,
a partir del cual se tiene que, suponiendo solución interior,
h1(P, U0) =
p
β
1
β−1
, h2(P, U0) = U0 −
p
β
β
β−1
,
con lo cual se tiene que (ver definición de γ > 0 en la parte anterior)
e(P, U0) = p ·
p
β
1
β−1
+ U0 −
p
β
β
β−1
= U0 − γ · p
β
β−1 (27)
Note que lo anterior también se puede contestar invirtiendo la función de utilidad indirecta de la
parte (a) para obtener la función de gasto, y luego usar el Lema de Sheppard para encontrar las de-
mandas Hicksiansa).
Considere ahora un escenario final donde sólo el precio del bien uno se modifica, siendo ahora
p′
> p. El nuevo sistema de precios se denotará P′
= (p′
, 1) ∈ R2
.
(c) Comparando los escenarios final e inicial ya definidos, determine las variaciones compensatoria
(VC) y equivalente (VE). Muestre que, en este caso, ambos valores son iguales.
Respuesta. Para determinar la variación compensatoria, a los precios P y la renta R se obtiene
utilidad v(P, R), mientras que a los precios P′
y la renta R se obtiene una utilidad v(P′
, R).
Entonces, a los precios P se necesita R de renta para lograr el nivel de satisfacción v(P, R) y
se necesita una renta dada por (ver (27))
e(P, v(P′
, R)) = v(P′
, R) − γ · p
β
β−1 = R + γ · (p′
)
β
β−1
− γ · p
β
β−1
para lograr el nivel de utilidad v(P′
, R). Por lo tanto, la variación equivalente es
V E = e(P, V (P′
, R)) − R = R + γ · (p′
)
β
β−1
− γ · p
β
β−1 − R = γ · (p′
)
β
β−1
− p
β
β−1 < 0.
Por otro lado, a los precios P′
se necesita renta R para obtener utilidad v(P′
, R) y se necesita
renta
e(P′
, v(P, R)) = R + γ · (p)
β
β−1
− γ · (p′
)
β
β−1
para que a precios P′
se obtenga utilidad v(P, R). La variación compensatoria, V C, es entonces
V C = R − e(P′
, v(P, R)) = γ · (p′
)
β
β−1
− p
β
β−1 ,
que coincide con la V E.
37

1.7 Efectos sustitución e ingreso, ecuación de Slutzky
Supongamos que inicialmente los precios son p1, p2 y que la renta de nuestro agente es R. Entonces,
producto de un cambio en los precios (digamos, cambio de p1 a p′
1, con p′
1 > p1) ocurren dos fenómenos
que nos permitirán explicar el cambio en la demanda. En primer lugar, el cambio de precios implica
que el consumidor es ahora más pobre (pues puede acceder a menos canastas que las originales) y, en
segundo lugar, se modifica la sustitubilidad de bienes debido a que la razón de precios ha sido alterada.
El problema es entonces determinar la magnitud de estos efectos, y explicar el cambio de la demanda
en función de ellos. As´ı podremos identificar de mejor manera cuál de los efectos es más relevante para
explicar el cambio en la demanda, y con ello obtener información adicional sobre las preferencias de
los individuos.
Para fijar ideas, realicemos en primer lugar un análisis gráfico de la situación planteada. La
Figura 17 nos ilustra al respecto:
Figure 17: Ecuación de Slutzky
R/p2
R′
/p2
R/p′
1 R′
/p1 R/p1
v1
v0
a
b
c
(2) (1)
Con los precios p1, p2 y la renta R, el nivel de utilidad es v0 = v(p1, p2, R) y la demanda dada por
el punto a de la figura. Dado el cambio de precio, el nuevo nivel de utilidad es v1 = v(p′
1, p2, R) y
la respectiva demanda es c. Ahora bien, para los precios originales, el nivel de renta requerido para
obtener utilidad v1 ser´ıa e1 = e(p1, p2, v1), que corresponde a R′
de la figura, con lo cual queda
definida una nueva recta presupuestaria, paralela a la original, pero por debajo de ésta. Dada esta
recta presupuestaria, la demanda ser´ıa b. Con esto, el efecto ingreso quedará definido como el
cambio en la demanda de pasar de a a b. Para el caso del bien 1, corresponde a (1) de la figura.
Por otro lado, dado que los precios han sido alterados, y dado que la demanda final resultante está
en c, se tiene entonces que el efecto sustitución corresponde simplemente al cambio entre b y c
de la figura, que para el caso del bien 1 está dado por (2).
Estimemos los efectos identificados en lo anterior.
(a) Efecto ingreso.
Aprovechando la Figura 17, para el efecto ingreso, EI, se tiene que
EI = xa
1 − xb
1 = x1(p1, p2, R′
) − x1(p1, p2, R) ≃
∂x1(p1, p2, R)
∂R
· (R′
− R).
Sabemos además que v(p1, p2, R′
) = v(p′
1, p2, R), es decir, v(p1, p2, R′
) − v(p′
1, p2, R) = 0. Aprox-
imemos esta última expresión por las derivadas parciales:
38

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