Descargado 68 veces
Subido porAlfonso sanchez cortez
Unidad 1 NÚMEROS COMPLEJOS
Este documento presenta los temas centrales de un curso de álgebra lineal. Introduce los números complejos, incluyendo su definición, representaciones y operaciones. Luego cubre matrices y determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales y transformaciones lineales. El objetivo general es resolver problemas de ingeniería utilizando estas herramientas matemáticas.
Más contenido relacionado
Unidad 1 NÚMEROS COMPLEJOS
- 1. 1 APORTACION DE LAASIGNATURA AL PERFIL DEL EGRESADO. ....................................................................... 4 OBJETIVO GENERAL DEL CURSO..................................................................................................................... 4 COMPETECIAS PREVIAS.................................................................................................................................. 4 EXAMEN DIAGNOSTICO ...............................................................................................................................5 UNIDAD 1 NÚMEROS COMPLEJOS. ..............................................................................................................6 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.................................................................................................. 9 Actividad 1 .............................................................................................................................................. 10 CONJUGADOS DE UN NÚMERO COMPLEJO.............................................................................................................. 11 Actividad 2 .............................................................................................................................................. 11 Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos con sus conjugados............................................................................................................................................ 11 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS..................................................................................... 12 Actividad 3 .............................................................................................................................................. 12 El alumnos deberá evaluar las siguientes operaciones de suma de número complejos.................. 12 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS........................................................................................................... 13 Actividad 4 .............................................................................................................................................. 13 DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS...................................................................................................................... 14 Actividad 5 .............................................................................................................................................. 15 POTENCIAS DE “भ”............................................................................................................................................ 16 MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO........................................................................................ 16 Actividad 6 .............................................................................................................................................. 16 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO. ...................................................................................... 17 Actividad 7 .............................................................................................................................................. 17 CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO EN SU FORMA POLAR................................................................................... 18 Actividad 8 .............................................................................................................................................. 18 Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos en su forma polar con sus conjugados. ............................................................................................................................ 18 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS EN SU FORMA POLAR................................................................ 19 Actividad 9 .............................................................................................................................................. 19 Recuerde la conversión de un número complejo en su forma polar. ...................................................... 19 TEOREMA DE MOIVRE....................................................................................................................................... 20 POTENCIAS DE UN NÚMERO COMPLEJO. ................................................................................................................ 20 Actividad 10 ............................................................................................................................................ 20 ECUACIONES POLINOMICAS................................................................................................................................. 21 RAÍCES DE UN POLINOMIO.................................................................................................................................. 21 POLINOMIO COMPLEJO...................................................................................................................................... 22 Actividad 11 ............................................................................................................................................ 24 ACTIVIDAD FINAL DE NÚMEROS COMPLEJOS ............................................................................................ 25 UNIDAD 2: MATRICES Y DETERMINANTES. ................................................................................................ 26 OBJETIVO DE LA UNIDAD ............................................................................................................................. 26 DEFINICIÓN DE MATRIZ, NOTACIÓN Y ORDEN.......................................................................................................... 27 OPERACIONES CON MATRICES. ............................................................................................................................ 28 Definición de suma.................................................................................................................................. 28 Actividad 1 .............................................................................................................................................. 28
- 2. 2 Multiplicación por unescalar.................................................................................................................. 29 Actividad 2: ............................................................................................................................................. 29 Multiplicación de matrices...................................................................................................................... 29 Actividad 3 .............................................................................................................................................. 30 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLÓN.................................................................................................. 30 Escalonamiento de una matriz................................................................................................................ 30 Matriz escalonada reducida.................................................................................................................... 30 Actividad 3 .............................................................................................................................................. 31 Actividad 4 .............................................................................................................................................. 31 CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ............................................................................................................... 32 Actividad 5 .............................................................................................................................................. 33 DEFINICIÓN DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ...................................................................................................... 34 actividad 6............................................................................................................................................... 34 Definición de menores y cofactores de una matriz................................................................................. 35 Actividad 7 .............................................................................................................................................. 36 -Definición del determinante de una matriz por factores....................................................................... 36 Actividad 8 .............................................................................................................................................. 37 INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA A TRAVÉS DE LA ADJUNTA.................................................................................. 38 Actividad 9 .............................................................................................................................................. 40 UNIDAD 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ...................................................................................... 41 ELIMINACIÓN GAUSSIANA. ................................................................................................................................. 41 ELIMINACIÓN GAUSS-JORDAN............................................................................................................................. 42 Actividad 1 .............................................................................................................................................. 43 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE LA INVERSA............................................................................ 43 Actividad 2 .............................................................................................................................................. 44 Resuelva usando la inversa ݔ − 2ݕ + 3ݖ = 9 − ݔ + 3ݕ = −4 2ݔ − 5ݕ + 5ݖ = 17............................ 44 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR REGLA DE CRAMMER.......................................................................... 44 UNIDAD 4: ESPACIOS VECTORIALES. .......................................................................................................... 47 OBJETIVO DE LA UNIDAD ............................................................................................................................. 47 DEFINICIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL. ................................................................................................................ 48 DEFINICIÓN DE SUBESPACIOS VECTORIALES Y SUS PROPIEDADES.................................................................................. 49 COMBINACIÓN LINEAL. INDEPENDENCIA LINEAL. ..................................................................................................... 50 DEFINICIÓN DE DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL.................................................................................. 51 -Comprobación para la independencia y dependencia lineal. ................................................................ 51 CONJUNTO GENERADOR..................................................................................................................................... 52 -Definición de un conjunto generador de un espacio vectorial............................................................... 52 BASE Y DIMENSIÓN............................................................................................................................................ 53 -Base de un espacio vectorial.................................................................................................................. 53 -Base canónica........................................................................................................................................ 53 UNIDAD 5: TRANSFORMACIONES LINEALES............................................................................................... 54 INTRODUCCIÓN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES............................................................................................... 55 TRANSFORMACIÓN LINEAL.................................................................................................................................. 56 Actividad 1 .............................................................................................................................................. 57
- 3. 3 Actividad 2 ..............................................................................................................................................57 NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL. ............................................................................................ 58 MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL............................................................................................................ 58 APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES: REFLEXIÓN, DILATACIÓN, CONTRACCIÓN Y ROTACIÓN. ...................... 60 -Contracción y dilatación. ....................................................................................................................... 61 -Escalonamiento simultaneo................................................................................................................... 61 -Rotación................................................................................................................................................. 61
- 4. 4 APORTACION DE LAASIGNATURA AL PERFIL DEL EGRESADO. El álgebra lineal aporta al ingeniero, la capacidad para desarrollar un pensamiento lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos de la naturaleza lineal y resolver problemas. Esta asignatura proporciona al estudiante de ingeniería una herramienta para resolver problemas de aplicación de la vida diaria y aplicaciones en la ingeniería. OBJETIVO GENERAL DEL CURSO Resolver problemas de aplicación e interpretar soluciones utilizando matrices y sistemas de ecuaciones lineales para las diferentes áreas de la ingeniería. Identificar las propiedades de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales para describirlos, resolver problemas y vincularlos con otras ramas de las matemáticas. COMPETECIAS PREVIAS. • Manejar el concepto de los números reales y su representación gráfica • Usar las operaciones con vectores en el plano y el espacio. • Resolver ecuaciones cuadráticas ݔ = ି ±√మିସ ଶ • Emplear las funciones trigonométricas. • Graficar rectas y planos. • Obtener un modelo matemático de un enunciado. • Utilizar software matemático.
- 5. 5 EXAMEN DIAGNOSTICO 1.- ¿Queson los números reales y cuál es su interpretación geométrica en ܴଶ ܴݕଷ ? 2.- ¿Qué es un vector y cuál es su interpretación geométrica en 2 y 3 dimensiones? 3.- ¿Cuál es la fórmula general para obtener las raíces de un polinomio de grado 2? EJECICIO: Encuentre las raíces de los siguientes polinomios. 1.- ݔଶ + 6ݔ + 5 2.- ݔ2 + 2ݔ + 1 3.- ݔ2 + ݔ + 10
- 6. 6 • Investigación deltema 1.1 10% • Investigación del tema 1.2 10% • Investigación del tema 1.3 10% • Cuadro sinóptico “números complejos 10% y sus formas de representarse” • Problemario de operaciones con números complejos 10% • Examen escrito (80% asistencia) 50% UNIDAD 1 NÚMEROS COMPLEJOS. OBJETIVO DE LA UNIDAD Manejar los números complejos y las diferentes formas de representarlos, así como las operaciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales y en diferentes aplicaciones de ingeniería. Criterios de evaluación
- 7. 7 Rubricas: ACTIVIDAD 1 %puntuación obtenidaINVESTIGACION DEL TEMA 1.1 PUNTUACION MAXIMA 10% Definiciones 2.50% Por qué la introducción de "i" 2.50% quien o quienes propusieron los números complejos y en q tiempo 2.50% entregado en tiempo y forma 2.50% 10.00% ACTIVIDAD 2 % puntuación obtenidaINVESTIGACION DEL TEMA 1.2 PUNTUACION MAXIMA 10% sumas de 2 y más de 2 números complejos 2.00% resta de 2 y más de 2 números complejos 2.00% división de 2 números complejos 2.00% multiplicación de 2 números complejos 2.00% entregado en tiempo y forma 2.00% 10.00% ACTIVIDAD 3 % puntuación obtenidaINVESTIGACION DEL TEMA 1.3 PUNTUACION MAXIMA 10% cuanto vale "i" 2.50% cuanto vale cada potencia de "i" hasta la potencia 10 2.50% como calcular la magnitud de un numero complejo 2.50% entregado en tiempo y forma 2.50% 10.00% ACTIVIDAD 4 % puntuación obtenidaCUADRO SINOPTICO forma polar 1.00% forma exponencial 1.00% forma rectangular 1.00% interpretacion grafica y algebraica (z=a+ib) de cada forma 6.00% entregado en tiempo y forma 1.00% 10.00%
- 8. 8 ACTIVIDAD 5 %puntuación obtenidaSOLUCION DE PROBLEMARIO todos los problemas resueltos 1.00% todos los problemas con graficas 2.00% resultados correctos de los problemas 5.00% entregado en tiempo y forma 2.00% 10.00% EXAMEN % puntuación obtenida EXAMEN ESCRITO 50%
- 9. 9 Definición y origende los números complejos. Un número complejo es una expresión de la forma: Donde a y b son números reales, “a” se denomina la parte real de Z y se denota por ReZ. Y “b” se denomina la parte imaginaria de Z y se denota por ImZ. En ocasiones la representación ࢠ = ࢇ + भ࢈ recibe el nombre de formacartesiana o rectangular del número complejo Z. Un error muy común en los alumnos el confundir la parte imaginaria, ejemplo: cual es el valor de a y b en el siguiente número complejo: ࢆ = + La respuesta correcta es ࢇ = ࢟ ࢈ = El error común es ࢇ = ࢟ ࢈ = Es posible graficar un número complejo Z en el plano ሺ,ݔ ݕሻ graficando ReZ en el eje X e ImZ en el eje Y. Entonces se puede pensar que cada número complejo es un punto en el plano ሺ,ݔ ݕሻ. Con esta representación el plano (x, y) se denomina plano complejo. ݖ = ܽ + ܾࣻ ܴܼ݁ → ݔ ܼ݉ܫ → ݕ ܼ1 = 2 + 3ࣻ ܼ2 = െ2 െ ࣻ ܼ3 = െ1 െ ࣻ ܼ4 = 2
- 10. 10 Actividad 1 Proponga alestudiante representar gráficamente a 10 números complejos. El docente deberá revisar lo siguiente: • Que haya por lo menos un número en cada cuadrante • Que haya por lo menos un número en la parte positiva y negativa de los ejes coordenados
- 11. 11 Conjugados de unnúmero complejo. Sea ࢠ = ࢇ भ࢈ entonces z̄ (se lee como z conjugada) es ࢠ̄ = ࢇ െ भ࢈ que se obtiene reflejando a “z” con respecto al eje “x” Ejemplo: ݖ = 2 3ࣻ ݖ̄ ൌ 2 െ 3ࣻ ݖ ൌ 2 ݖ̄ ൌ 2 ݖ ൌ െ4ࣻ ݖ̄ ൌ 4ࣻ Actividad 2 Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos con sus conjugados. El docente deberá revisar lo siguiente: • Que haya por lo menos un número en cada cuadrante • Que haya por lo menos un número en la parte positiva y negativa de los ejes coordenados
- 12. 12 Operaciones fundamentales connúmeros complejos. Los números se pueden sumar y multiplicar utilizando las reglas normales del algebra, sea ࢠ = ࢇ भ࢈ un número complejo sea ࢝ = ࢉ ࢊ un número complejo también la suma queda definida como: ࢠ ࢝ = ሺࢇ ࢉሻ भሺ࢈ ࢊሻ ࢠ − ࢝ = (ࢇ − ࢉ) + भ(࢈ − ࢊ) Como puede observar se utiliza la letra a y b, mismos que son números reales, eh aquí el porqué, de no incluir la i en la letra b, como se explicó anterior mente Ejemplo: ݖ = 2 + 3ࣻ ݓ = 5 + ࣻ ݖ + ݓ = (2 + 3ࣻ) + (5 + ࣻ) = 7 + 4ࣻ ݖ − ݓ = (2 + 3ࣻ) − (5 + ࣻ) = −3 + 2ࣻ 3ݖ + ଵ ସ ݓ = ሾ3(2 + 3ࣻ)ሿ + ቂ ଵ ସ (5 + ࣻ)ቃ 3ݖ + ଵ ସ ݓ = (6 + 9ࣻ) + ቀ ହ ସ + ଵ ସ ࣻቁ 3ݖ + ଵ ସ ݓ = ଶଽ ସ + ଷ ସ ࣻ Actividad 3 El alumnos deberá evaluar las siguientes operaciones de suma de número complejos. Sea: zଵ = 2 + ࣻ zଶ = 5 + 3ࣻ zଷ = −2 − ࣻ zସ = 3ࣻ zଵ + zଶ + 7zଷ + zସ = zଵ + 2zଶ = zଷ − zସ = zସ + zଵ − zଷ = 2zଵ − 7zଷ + 2ࣻ =
- 13. 13 Multiplicación de númeroscomplejos. Para la multiplicación de números complejos utilizamos la misma regla que para la multiplicación de 2 binomios, tomado en cuenta que ݅ = √−1, esto se observa en el ejemplo siguiente: Sea ݖ = ܽ + ܾ݅ ݕ ݓ = ܿ + ݅݀ calcule ݖ ∗ ݓ ݖ ∗ ݓ = (ܽ + ܾࣻ)(ܿ + ࣻ݀) ݖ ∗ ݓ = ܽܿ + ࣻܽ݀ + ܾࣻܿ + ܾࣻ݀ ݖ ∗ ݓ = ܽܿ + ࣻ(ܽ݀ + ܾܿ) + (−1)ܾ݀ ݖ ∗ ݓ = (ܽܿ − ܾ݀) + ݅(ܽ݀ + ܾܿ) Ejemplo: Sea ݖ = 3 + 2ࣻ y ݓ = 1 + ࣻ ݖ ∗ ݓ = (3 + 2ࣻ)(1 + ࣻ) ݖ ∗ ݓ = 3 + 3ࣻ + 2ࣻ + 2ࣻଶ ݖ ∗ ݓ = 3 + 5ࣻ + 2ࣻଶ ݖ ∗ ݓ = 3 + 5ࣻ + 2(−1) ݖ ∗ ݓ = 3 + 5ࣻ − 2 ݖ ∗ ݓ = 1 + 5ࣻ Actividad 4 El alumno deberá realizar las siguientes operaciones con números complejos Sea: zଵ = 1 ࣻ zଶ = 2 2ࣻ wଵ = െ1 െ ࣻ wଶ = 3ࣻ Calcule: a) zଵ + zଶ + wଵ + wଶ = b) (zଵ ∗ zଶ) + (wଵ + wଶ) = c) ሾ(zଵ ∗ wଵ) − (wଶ ∗ zଶ)ሿzଵ = d) ሾ(wଵ + zଵ + zଶ)2iሿ−5zଵ = ࣻ = √−1 ࣻ2 = (ඥ−1) 2 ࣻ2 = −1
- 14. 14 División de númeroscomplejos. Para la división de números complejos, utilizaremos una de las propiedades de los conjugados la cual dice que ݖ ∗ ̅ݖ = ܽଶ + ܾଶ Y la forma de calcularlo es la siguiente: Sea ݖ = ܽ + ܾࣻ y ݓ = ܿ + ࣻ݀ ݓ ݖ = ݓ ∗ ̄ݖ ݖ̄ ∗ ݖ = ሺܿ ࣻ݀ሻሺܽ െ ܾࣻሻ ሺܽ ܾࣻሻሺܽ െ ܾࣻሻ ݓ ݖ = ݓ ∗ ̄ݖ ݖ̄ ∗ ݖ = ܽܿ − ܾࣻ + ࣻܽ݀ − ࣻ2 ܾ݀ ܽ2 − ܾࣻܽ + ܾࣻܽ − ࣻ2 ܾ2 ݓ ݖ = ݓ ∗ ̄ݖ ݖ̄ ∗ ݖ = ܽܿ − ࣻ(ܽ݀ − ܾܿ) + ܾ݀ ܽ2 + ܾ2 ݓ ∗ ̄ݖ ̄ݖ ∗ ݖ = ࢝ ࢠ = (ࢇࢉ + ࢈ࢊ) + भ(ࢇࢊ − ࢈ࢉ) ࢇ + ࢈ Ejemplo: 2 + ࣻ 3 + 4ࣻ a = 3 c = 2 b = 4 d = 1 ݓ ݖ = ൣ(3)(2) + (4)(1) + ࣻ൫(3)(1) − (4)(2)൯൧ 32 + 42 ݓ ݖ = ሾ(6 + 4) + ࣻ(3 − 8)ሿ 9 + 16 ݓ ݖ = 10 − 5ࣻ 25 ݓ ݖ = 10 25 − 5 25 ࣻ ݓ ݖ = 2 5 − 1 5 ࣻ = 0.4 − 0.2ࣻ
- 15. 15 Actividad 5 El alumnorealizara las siguientes divisiones de números complejos. El docente le explicara al alumnado que puede hacer el procediendo completo o en su defecto utilizar la formula 1.- ଵ ଵିࣻ 2.- ଶାࣻ ଵିࣻ 3.- ଶାࣻ ଵିࣻ ଶିࣻ ଵାࣻ ࣻ 4.- ቂ ଶାࣻ ଵିࣻ ଶିࣻ ଵାࣻ ࣻቃ ଶ 5.- ቂ ଵାࣻ ଵିࣻ ቃ ଷ
- 16. 16 Potencias de “भ” ࣻ0 =1 ࣻ1 ൌ ඥെ1 ࣻ2 ൌ െ1 ࣻ3 ൌ െ1 ∗ ࣻ ൌ െࣻ ࣻ4 ൌ ሺെ1ሻሺെ1ሻ ൌ 1 ࣻ5 ൌ 1 ∗ ࣻ ൌ ࣻ ࣻ6 ൌ ࣻ ∗ ࣻ ൌ െ1 ࣻ7 ൌ െ1 ∗ ࣻ ൌ െࣻ ࣻ8 ൌ െࣻ ∗ ࣻ ൌ 1 ࣻ9 ൌ 1 ∗ ࣻ ൌ ࣻ ࣻ10 ൌ ࣻ ∗ ࣻ ൌ െ1 ࣻ11 ൌ െ1 ∗ ࣻ ൌ െࣻ ࣻ12 ൌ െࣻ ∗ ࣻ ൌ 1 ࣻ13 ൌ 1 ∗ ࣻ ൌ ࣻ ࣻ14 ൌ ࣻ ∗ ࣻ ൌ െ1 ࣻ15 ൌ െ1 ∗ ࣻ ൌ െࣻ Modulo o valor absoluto de un número complejo. Sea ࢠ ൌ ࢇ भ࢈ un número complejo, su modulo se denota por |z| que es magnitud de Z. La magnitud de ࢠ ൌ |ࢠ| ൌ √ࢇ ࢈ El argumento de Z denotado por ArgZ se define como el ángulo entre la recta ΘZ y el lado positivo del eje X. Actividad 6 Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos en su forma polar (magnitud y argumento). El docente deberá revisar lo siguiente: • Que haya por lo menos un número en cada cuadrante • Que haya por lo menos un número en la parte positiva y negativa de los ejes coordenados
- 17. 17 Forma polar yexponencial de un número complejo. Anterior mente realizamos operaciones fundamentales tales como la suma, la resta, la multiplicación y la división de número complejos en su forma rectangular o cartesiana, en el caso de la multiplicación y la división es más sencillo calcularlas si se conoce la forma polar del número complejo, para esto definiremos como está conformada la forma polar y exponencial de un número complejo. Sea ࢠ = ࢇ भ࢈. Su forma polar es: ࢠ = ࢘ሺࢉ࢙ࣂ भ࢙ࢋࣂሻ = ࢘∟ࣂ = ࢘ࢉ࢙ࣂ. Donde ࢘ = |ࢠ| = √ࢇ ࢈. Su forma exponencial es: ࢠ = ࢘ࢋभࣂ Ejemplo: Sea ݖ = 3 4ࣻ ݖ = ߠ∟ݎ ݖ = ݁ݎࣻఏ ݎ = ? ߠ = ? POLAR ݖ = 5ሺܿ31.35ݏ ࣻ 31.35݊݁ݏሻ ൌ 5∟53.13 ൌ 5ܿ݅31.35ݏ EXPONENCIAL ݖ ൌ 5݁ࣻହଷ.ଵଷ Actividad 7 El alumno deberá convertir los siguiente números complejos a su forma polar y verificarlos realizando su interpretación gráfica. Tanto en polar como en rectangular a) z ൌ 3 െ 4ࣻ b) z ൌ െ3 4ࣻ c) z ൌ െ3 െ 4ࣻ d) z ൌ 2ࣻ e) z ൌ 7 f) z ൌ 4 4ࣻ g) z ൌ െ4 െ 4ࣻ ߠ ൌ ݃ݐିଵ ቀ ܽ ܾ ቁ ߠ ൌ ݃ݐିଵ ൬ 4 3 ൰ ߠ ൌ 53.13 ݎ ൌ ඥܽଶ ܾଶ ݎ ൌ ඥ3ଶ 4ଶ ݎ = 5
- 18. 18 Conjugado de unnúmero complejo en su forma polar. Sea ࢠ = ࢇ भ࢈ y en su forma polar ࢠ = ࢘∟ࣂ el conjugado del número z complejo queda definido como: ࢠ̄ = ࢇ െ भ࢈. Y en su forma polar: ࢠ̄ = ࢘∟ െ ࣂ. Ejemplo: ݖ = 5∟30 ݖ̄ = 5∟-30 Actividad 8 Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos en su forma polar con sus conjugados. El docente deberá revisar lo siguiente: • Que haya por lo menos un número en cada cuadrante • Que haya por lo menos un número en la parte positiva y negativa de los ejes coordenados
- 19. 19 Multiplicación y divisiónde números complejos en su forma polar. Para la multiplicación y división de números complejos es muy útil la forma polar, porque facilita los cálculos. MULTIPLICACION: Sea ࢠ = ࢘∟ࣂ y sea ࢠ = ࢘∟ࣂ la multiplicación queda definida como la multiplicación de las magnitudes y da como resultado la magnitud y el ángulo como la suma de los ángulos de los números complejos. ࢠ ∗ ࢠ ൌ ࢘ ∗ ࢘∟ࣂ ࣂ DIVISION: ࢠ ࢠ ൌ ࢘ ࢘ ∟ࣂ െ ࣂ Ejemplo: Sea ࢠ ൌ भ y ࢠ = भ. Calcule en forma polar ࢠ ∗ ࢠ y ࢠ ࢠ Actividad 9 El alumno deberá realizar las siguientes operaciones con números complejos en su forma polar Sea zଵ ൌ 4 6ࣻ y zଶ ൌ 2 െ 5ࣻ. Calcule zଵ ∗ zଶ, zଶ ∗ zଵ, zଵ/zଶ, zଶ/zଵ. Recuerde la conversión de un número complejo en su forma polar. Sea z ൌ r∟θ la forma polar de un número complejo en su forma compacta. Recuerde que z ൌ rሺcosθ ࣻsenθሻ también es u forma polar. ܢ ൌ ܚሺܛܗ܋ી भܖ܍ܛીሻ ܢ = ܛܗ܋ܚી भܖ܍ܛܚી 1 ࣻ 2 2ࣻ ൌ 1.41 2.82 ∟45 െ 45 1 ࣻ 2 2ࣻ ൌ 1.41 2.82 ∟0 1 ࣻ 2 2ࣻ ൌ 0.5∟0 ݖ1 ∗ ݖ2 ൌ ሺ1.41ሻሺ2.82ሻ∟45 45 ݖ1 ∗ ݖ2 ൌ 3.97∟90 -DIVISION -MULTIPLICACION ݎ1 ൌ ඥ1 1 ൌ 1.41 ݎ2 ൌ ඥ4 4 ൌ 2.82 ߠ1 ൌ 45 ߠ2 ൌ 45 ݖ1 ൌ 1.41∟45 ݖ2 ൌ 2.82∟45 FORMA POLAR a b
- 20. 20 Teorema De Moivre. Elteorema de moivre es utilizado para encontrar las potencias y raíces de un número complejo Potencias de un número complejo. Si ܼ1 ∗ ܼ2 ∗ ܼ3 …ܼ݊ ൌ ݎ1 ∗ ݎ2 ∗ ݎ3 … ݎ݊∟ߠ1 ߠ2 ߠ3 …ߠ݊ y los números complejos ܼ1, ܼ2, ܼ3, … ܼ݊ son idénticos podemos decir que: ܼ݊ = ݎ݊∟݊ߠ = ݎ݊(cos(݊ߠ) + ࣻ݊݁ݏ(݊ߠ)) Esto permite evaluar números complejos a potencias enteras: ሾ࢘(ࢉ࢙ࣂ + ࢙ࣻࢋࣂ)ሿ = ࢘(ࢉ࢙ࣂ) + ࢙ࣻࢋ(ࣂ) Ejemplo: (1 + ࣻ)10 = (ඥ2) 10 = ∟10(45) Actividad 10 El alumno deberá calcular las siguientes potencias utilizando z = 1 i a) Zଶ = b) Zଵ = c) Zଷ = Si necesitamos calcular la raíz de un número complejo utilizaremos: Zଵ ୫⁄ = rଵ ୫⁄ ∟ θ + πk m K= 0, 1, 2,…m-1 m≥1
- 21. 21 Ecuaciones polinomicas. Llamamos polinomioa toda expresión de la forma: ܽݔ + ܽିଵݔିଵ + ⋯ ܽଵݔ + ܽ. Donde “n” y ܽ,ܽଵ, … ܽଵ,ܽ son números reales denominados coeficientes. Si ܽ݊ diferentes de cero, decimos que el polinomio tiene grado “n” y ܽ es el coeficiente principal. El coeficiente ܽ recibe el nombre de término independiente. Ejemplo: 4ݔ5 + 3ݔ4 − 2ݔ3 − 1 2 ݔ + 1 es un polinomio. 1.- ¿Cuáles son los coeficientes? 2.- ¿Cuál es el grado del polinomio? 3.- ¿Cuál es el coeficiente principal? 4.- ¿Cuál es el término independiente? Raíces de un polinomio. Un número “a” es una raíz de un polinomio P(x) si el polinomio se anula para ese valor es decir “X = a” esa raíz de P(x) si y solo P(a) = 0. Ejemplo: ݔ = 1 ݁ܲ ݖ݅ܽݎ ݏሺݔሻ = ݔହ െ ݔଷ X = 1 ܲሺݔሻ = ݔହ െ ݔଷ ܲሺ1ሻ = 1ହ െ 1ଷ ܲሺ1ሻ = 0 Es raíz X = -1 ܲሺെ1ሻ = ሺെ1ሻହ െ ሺെ1ሻଷ ܲሺെ1ሻ = െ1 െ ሺെ1ሻ ܲሺെ1ሻ = 0 Es raíz X = 2 ܲሺ2ሻ = ሺ2ሻହ െ ሺ2ሻଷ ܲሺ2ሻ = 32 − 8 ܲሺ2ሻ = 24
- 22. 22 Denominamos ecuación polinomicaa toda ecuación de la forma P(x) = 0 donde P(x) es un polinomio. Resolver una ecuación polinomica es hallar los valores de “x” que anulan el polinomio, es decir equivalen a encontrar sus raíces. Polinomio complejo. ܲሺݖሻ = ܽݖ ܽିଵݖିଵ ⋯ ܽଵݖଵ ܽ Una raíz del polinomio P es un complejo Z que cumple con P(2) = 0 (esto es una ecuación polinomica compleja) un polinomio ܲሺܼሻ (de grado n) tiene exactamente “n” raíces complejas. ܼ1 , ܼ2 , ܼ3 , …ܼ݊ Para determinar dichas raíces podemos utilizar el Teorema de Moivre. Ejemplo: ݓ2 + 25 = 0 ݓ = √−25 = (−25)ଵ ଶ⁄ = (−25 + 0ࣻ)ଵ ଶ⁄ ݓ = ݖଵ ଶ⁄ = (−25 + 0ࣻ)ଵ ଶ⁄ ݖ = −25 + 0ࣻ ݉ = 2 ݉ − 1 = 1 ݇ = 0,1 ݎ = ඥ(−25)ଶ + 0ଶ ݎ = 25 ߠ = 180 Para ܼ1 = 0 ࢆ ⁄ = ඥ(࢘) ∟ ࣂ + ࣊ NOTA: Formula cuando requiere elevar a una fracción utilizaremos: ݇ = 0,1 ݉ − 1 ߠܼܽ݃ݎ ݎ = ||ݖ
- 23. 23 ܼ1 = (25) 12⁄ ∟ 180 + 2(180)(0) 2 ܼ1 = 5∟90 Para ܼ2 = 1 ܼ2 = (25) 1 2⁄ ∟ 180 + 2(180)(1) 2 ܼ2 = 5∟270 − 360 ܼ2 = 5∟ − 90
- 24. 24 Actividad 11 El alumnodeberá encontrar las raíces de los siguientes polinomios complejos. a) wହ െ ൫1 √3ࣻ൯ = 0 b) wସ ଷ⁄ + 2ࣻ = 0
- 25. 25 Actividad final denúmeros complejos I. Realice Las siguientes operaciones con números complejos. a) (1 + 2ࣻ) − (3 + 4ࣻ)(4 − 2ࣻ) b) ହାସࣻ ଶିଶࣻ − ଷାଶࣻ ଵିࣻ c) ቂ ଷାସࣻ ିଵିࣻ ቃ ଷ d) ሺ1 2ࣻሻሺ3 + 4ࣻ) + (3 − 4ࣻ)(4 − 2ࣻ) e) (−2 − 3ࣻ)ଵ ଷ⁄ f) (−√3 + √2ࣻ)ଶ + √3 ܿ݅°511ݏ g) ହ√ଶାଷ√ଵࣻ √ଷ II. Resuelva las siguientes operaciones. 1.- ݖ2 െ ࣻ = െ1ࣻ 2.- ݖଷ ହ⁄ െ ࣻ = √3 3.- ݖ − 2ݖଷ + 2 = 0 4.- ݖଶ + (1 − ࣻ)ݖ − ࣻ = 0
- 26. 26 UNIDAD 2: MATRICESY DETERMINANTES. OBJETIVO DE LA UNIDAD Manejar las matrices, sus propiedades y operaciones a fin de expresar, conceptos y problemas mediante ellas, en los sistemas de ecuaciones lineales, asi como en otras áreas de las matemáticas y la ingeniería, para una mejor comprensión y una solución más eficiente. Utilizar el determinante y sus propiedades para probar la existencia. Y el cálculo de la inversa de una matriz.