Este documento presenta los temas centrales de un curso de álgebra lineal. Introduce los números complejos, incluyendo su definición, representaciones y operaciones. Luego cubre matrices y determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales y transformaciones lineales. El objetivo general es resolver problemas de ingeniería utilizando estas herramientas matemáticas.

1. 1
APORTACION DE LA ASIGNATURA AL PERFIL DEL EGRESADO. ....................................................................... 4
OBJETIVO GENERAL DEL CURSO..................................................................................................................... 4
COMPETECIAS PREVIAS.................................................................................................................................. 4
EXAMEN DIAGNOSTICO ...............................................................................................................................5
UNIDAD 1 NÚMEROS COMPLEJOS. ..............................................................................................................6
DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.................................................................................................. 9
Actividad 1 .............................................................................................................................................. 10
CONJUGADOS DE UN NÚMERO COMPLEJO.............................................................................................................. 11
Actividad 2 .............................................................................................................................................. 11
Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos con sus
conjugados............................................................................................................................................ 11
OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS..................................................................................... 12
Actividad 3 .............................................................................................................................................. 12
El alumnos deberá evaluar las siguientes operaciones de suma de número complejos.................. 12
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS........................................................................................................... 13
Actividad 4 .............................................................................................................................................. 13
DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS...................................................................................................................... 14
Actividad 5 .............................................................................................................................................. 15
POTENCIAS DE “भ”............................................................................................................................................ 16
MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO........................................................................................ 16
Actividad 6 .............................................................................................................................................. 16
FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO. ...................................................................................... 17
Actividad 7 .............................................................................................................................................. 17
CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO EN SU FORMA POLAR................................................................................... 18
Actividad 8 .............................................................................................................................................. 18
Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos en su forma polar
con sus conjugados. ............................................................................................................................ 18
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS EN SU FORMA POLAR................................................................ 19
Actividad 9 .............................................................................................................................................. 19
Recuerde la conversión de un número complejo en su forma polar. ...................................................... 19
TEOREMA DE MOIVRE....................................................................................................................................... 20
POTENCIAS DE UN NÚMERO COMPLEJO. ................................................................................................................ 20
Actividad 10 ............................................................................................................................................ 20
ECUACIONES POLINOMICAS................................................................................................................................. 21
RAÍCES DE UN POLINOMIO.................................................................................................................................. 21
POLINOMIO COMPLEJO...................................................................................................................................... 22
Actividad 11 ............................................................................................................................................ 24
ACTIVIDAD FINAL DE NÚMEROS COMPLEJOS ............................................................................................ 25
UNIDAD 2: MATRICES Y DETERMINANTES. ................................................................................................ 26
OBJETIVO DE LA UNIDAD ............................................................................................................................. 26
DEFINICIÓN DE MATRIZ, NOTACIÓN Y ORDEN.......................................................................................................... 27
OPERACIONES CON MATRICES. ............................................................................................................................ 28
Definición de suma.................................................................................................................................. 28
Actividad 1 .............................................................................................................................................. 28

2. 2
Multiplicación por un escalar.................................................................................................................. 29
Actividad 2: ............................................................................................................................................. 29
Multiplicación de matrices...................................................................................................................... 29
Actividad 3 .............................................................................................................................................. 30
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLÓN.................................................................................................. 30
Escalonamiento de una matriz................................................................................................................ 30
Matriz escalonada reducida.................................................................................................................... 30
Actividad 3 .............................................................................................................................................. 31
Actividad 4 .............................................................................................................................................. 31
CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ............................................................................................................... 32
Actividad 5 .............................................................................................................................................. 33
DEFINICIÓN DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ...................................................................................................... 34
actividad 6............................................................................................................................................... 34
Definición de menores y cofactores de una matriz................................................................................. 35
Actividad 7 .............................................................................................................................................. 36
-Definición del determinante de una matriz por factores....................................................................... 36
Actividad 8 .............................................................................................................................................. 37
INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA A TRAVÉS DE LA ADJUNTA.................................................................................. 38
Actividad 9 .............................................................................................................................................. 40
UNIDAD 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ...................................................................................... 41
ELIMINACIÓN GAUSSIANA. ................................................................................................................................. 41
ELIMINACIÓN GAUSS-JORDAN............................................................................................................................. 42
Actividad 1 .............................................................................................................................................. 43
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE LA INVERSA............................................................................ 43
Actividad 2 .............................................................................................................................................. 44
Resuelva usando la inversa ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ + 3‫ݖ‬ = 9 − ‫ݔ‬ + 3‫ݕ‬ = −4 2‫ݔ‬ − 5‫ݕ‬ + 5‫ݖ‬ = 17............................ 44
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR REGLA DE CRAMMER.......................................................................... 44
UNIDAD 4: ESPACIOS VECTORIALES. .......................................................................................................... 47
OBJETIVO DE LA UNIDAD ............................................................................................................................. 47
DEFINICIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL. ................................................................................................................ 48
DEFINICIÓN DE SUBESPACIOS VECTORIALES Y SUS PROPIEDADES.................................................................................. 49
COMBINACIÓN LINEAL. INDEPENDENCIA LINEAL. ..................................................................................................... 50
DEFINICIÓN DE DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL.................................................................................. 51
-Comprobación para la independencia y dependencia lineal. ................................................................ 51
CONJUNTO GENERADOR..................................................................................................................................... 52
-Definición de un conjunto generador de un espacio vectorial............................................................... 52
BASE Y DIMENSIÓN............................................................................................................................................ 53
-Base de un espacio vectorial.................................................................................................................. 53
-Base canónica........................................................................................................................................ 53
UNIDAD 5: TRANSFORMACIONES LINEALES............................................................................................... 54
INTRODUCCIÓN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES............................................................................................... 55
TRANSFORMACIÓN LINEAL.................................................................................................................................. 56
Actividad 1 .............................................................................................................................................. 57

3. 3
Actividad 2 .............................................................................................................................................. 57
NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL. ............................................................................................ 58
MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL............................................................................................................ 58
APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES: REFLEXIÓN, DILATACIÓN, CONTRACCIÓN Y ROTACIÓN. ...................... 60
-Contracción y dilatación. ....................................................................................................................... 61
-Escalonamiento simultaneo................................................................................................................... 61
-Rotación................................................................................................................................................. 61

4. 4
APORTACION DE LA ASIGNATURA AL PERFIL DEL EGRESADO.
El álgebra lineal aporta al ingeniero, la capacidad para desarrollar un pensamiento
lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos de la naturaleza lineal y
resolver problemas. Esta asignatura proporciona al estudiante de ingeniería una
herramienta para resolver problemas de aplicación de la vida diaria y aplicaciones
en la ingeniería.
OBJETIVO GENERAL DEL CURSO
Resolver problemas de aplicación e interpretar soluciones utilizando matrices y
sistemas de ecuaciones lineales para las diferentes áreas de la ingeniería.
Identificar las propiedades de los espacios vectoriales y las transformaciones
lineales para describirlos, resolver problemas y vincularlos con otras ramas de las
matemáticas.
COMPETECIAS PREVIAS.
• Manejar el concepto de los números reales y su representación gráfica
• Usar las operaciones con vectores en el plano y el espacio.
• Resolver ecuaciones cuadráticas ‫ݔ‬ =
ି௕ ±√௕మିସ௔௖
ଶ௔
• Emplear las funciones trigonométricas.
• Graficar rectas y planos.
• Obtener un modelo matemático de un enunciado.
• Utilizar software matemático.

5. 5
EXAMEN DIAGNOSTICO
1.- ¿Que son los números reales y cuál es su interpretación geométrica en ܴଶ
‫ܴݕ‬ଷ
?
2.- ¿Qué es un vector y cuál es su interpretación geométrica en 2 y 3
dimensiones?
3.- ¿Cuál es la fórmula general para obtener las raíces de un polinomio de grado
2?
EJECICIO: Encuentre las raíces de los siguientes polinomios.
1.- ‫ݔ‬ଶ
+ 6‫ݔ‬ + 5
2.- ‫ݔ‬2 + 2‫ݔ‬ + 1
3.- ‫ݔ‬2 + ‫ݔ‬ + 10

6. 6
• Investigación del tema 1.1 10%
• Investigación del tema 1.2 10%
• Investigación del tema 1.3 10%
• Cuadro sinóptico “números complejos 10%
y sus formas de representarse”
• Problemario de operaciones con números complejos 10%
• Examen escrito (80% asistencia) 50%
UNIDAD 1 NÚMEROS COMPLEJOS.
OBJETIVO DE LA UNIDAD
Manejar los números complejos y las diferentes formas de representarlos, así
como las operaciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en
ecuaciones diferenciales y en diferentes aplicaciones de ingeniería.
Criterios de evaluación

7. 7
Rubricas:
ACTIVIDAD 1 % puntuación
obtenidaINVESTIGACION DEL TEMA 1.1 PUNTUACION MAXIMA 10%
Definiciones 2.50%
Por qué la introducción de "i" 2.50%
quien o quienes propusieron los números complejos y en q
tiempo 2.50%
entregado en tiempo y forma 2.50%
10.00%
ACTIVIDAD 2 % puntuación
obtenidaINVESTIGACION DEL TEMA 1.2 PUNTUACION MAXIMA 10%
sumas de 2 y más de 2 números complejos 2.00%
resta de 2 y más de 2 números complejos 2.00%
división de 2 números complejos 2.00%
multiplicación de 2 números complejos 2.00%
entregado en tiempo y forma 2.00%
10.00%
ACTIVIDAD 3 % puntuación
obtenidaINVESTIGACION DEL TEMA 1.3 PUNTUACION MAXIMA 10%
cuanto vale "i" 2.50%
cuanto vale cada potencia de "i" hasta la potencia 10 2.50%
como calcular la magnitud de un numero complejo 2.50%
entregado en tiempo y forma 2.50%
10.00%
ACTIVIDAD 4 % puntuación
obtenidaCUADRO SINOPTICO
forma polar 1.00%
forma exponencial 1.00%
forma rectangular 1.00%
interpretacion grafica y algebraica (z=a+ib) de cada forma 6.00%
entregado en tiempo y forma 1.00%
10.00%

8. 8
ACTIVIDAD 5 % puntuación
obtenidaSOLUCION DE PROBLEMARIO
todos los problemas resueltos 1.00%
todos los problemas con graficas 2.00%
resultados correctos de los problemas 5.00%
entregado en tiempo y forma 2.00%
10.00%
EXAMEN %
puntuación
obtenida
EXAMEN ESCRITO 50%

9. 9
Definición y origen de los números complejos.
Un número complejo es una expresión de la forma:
Donde a y b son números reales, “a” se denomina la parte real de Z y se denota
por ReZ. Y “b” se denomina la parte imaginaria de Z y se denota por ImZ.
En ocasiones la representación ࢠ = ࢇ + भ࢈ recibe el nombre de formacartesiana o
rectangular del número complejo Z.
Un error muy común en los alumnos el confundir la parte
imaginaria, ejemplo: cual es el valor de a y b en el siguiente
número complejo:
ࢆ = ૜ + ૛࢏
La respuesta correcta es ࢇ = ૜ ࢟ ࢈ = ૛
El error común es ࢇ = ૜ ࢟ ࢈ = ૛࢏
Es posible graficar un número complejo Z en el plano ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ graficando ReZ en el
eje X e ImZ en el eje Y. Entonces se puede pensar que cada número complejo es
un punto en el plano ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ. Con esta representación el plano (x, y) se denomina
plano complejo.
‫ݖ‬ = ܽ + ܾࣻ
ܴܼ݁ → ‫ ݔ‬
‫ܼ݉ܫ‬ → ‫ ݕ‬
ܼ1 = 2 + 3ࣻ
ܼ2 = െ2 െ ࣻ
ܼ3 = െ1 െ ࣻ
ܼ4 = 2

10. 10
Actividad 1
Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos.
El docente deberá revisar lo siguiente:
• Que haya por lo menos un número en cada cuadrante
• Que haya por lo menos un número en la parte positiva y negativa de los
ejes coordenados

11. 11
Conjugados de un número complejo.
Sea ࢠ = ࢇ ൅ भ࢈ entonces z̄ (se lee como z conjugada) es ࢠ̄ = ࢇ െ भ࢈ que se
obtiene reflejando a “z” con respecto al eje “x”
Ejemplo:
‫ݖ‬ = 2 ൅ 3ࣻ
‫ݖ‬̄ ൌ 2 െ 3ࣻ
‫ݖ‬ ൌ 2
‫ݖ‬̄ ൌ 2
‫ݖ‬ ൌ െ4ࣻ
‫ݖ‬̄ ൌ 4ࣻ
Actividad 2
Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos con sus
conjugados.
El docente deberá revisar lo siguiente:
• Que haya por lo menos un número en cada cuadrante
• Que haya por lo menos un número en la parte positiva y negativa de los
ejes coordenados

12. 12
Operaciones fundamentales con números complejos.
Los números se pueden sumar y multiplicar utilizando las reglas normales del
algebra, sea ࢠ = ࢇ ൅ भ࢈ un número complejo sea ࢝ = ࢉ ൅ ࢏ࢊ un número complejo
también la suma queda definida como:
ࢠ ൅ ࢝ = ሺࢇ ൅ ࢉሻ ൅ भሺ࢈ ൅ ࢊሻ
ࢠ − ࢝ = (ࢇ − ࢉ) + भ(࢈ − ࢊ)
Como puede observar se utiliza la letra a y b, mismos que
son números reales, eh aquí el porqué, de no incluir la i en la
letra b, como se explicó anterior mente
Ejemplo:
‫ݖ‬ = 2 + 3ࣻ
‫ݓ‬ = 5 + ࣻ
‫ݖ‬ + ‫ݓ‬ = (2 + 3ࣻ) + (5 + ࣻ) = 7 + 4ࣻ
‫ݖ‬ − ‫ݓ‬ = (2 + 3ࣻ) − (5 + ࣻ) = −3 + 2ࣻ
3‫ݖ‬ +
ଵ
ସ
‫ݓ‬ = ሾ3(2 + 3ࣻ)ሿ + ቂ
ଵ
ସ
(5 + ࣻ)ቃ
3‫ݖ‬ +
ଵ
ସ
‫ݓ‬ = (6 + 9ࣻ) + ቀ
ହ
ସ
+
ଵ
ସ
ࣻቁ
3‫ݖ‬ +
ଵ
ସ
‫ݓ‬ =
ଶଽ
ସ
+
ଷ଻
ସ
ࣻ
Actividad 3
El alumnos deberá evaluar las siguientes operaciones de suma de número complejos.
Sea:
zଵ = 2 + ࣻ
zଶ = 5 + 3ࣻ
zଷ = −2 − ࣻ
zସ = 3ࣻ
zଵ + zଶ + 7zଷ + zସ =
zଵ + 2zଶ =
zଷ − zସ =
zସ + zଵ − zଷ =
2zଵ − 7zଷ + 2ࣻ =

13. 13
Multiplicación de números complejos.
Para la multiplicación de números complejos utilizamos la misma regla que para la
multiplicación de 2 binomios, tomado en cuenta que ݅ = √−1, esto se observa en
el ejemplo siguiente:
Sea ‫ݖ‬ = ܽ + ܾ݅ ‫ݕ‬ ‫ݓ‬ = ܿ + ݅݀ calcule ‫ݖ‬ ∗ ‫ݓ‬
‫ݖ‬ ∗ ‫ݓ‬ = (ܽ + ܾࣻ)(ܿ + ࣻ݀)
‫ݖ‬ ∗ ‫ݓ‬ = ܽܿ + ࣻܽ݀ + ܾࣻܿ + ܾࣻ݀
‫ݖ‬ ∗ ‫ݓ‬ = ܽܿ + ࣻ(ܽ݀ + ܾܿ) + (−1)ܾ݀
‫ݖ‬ ∗ ‫ݓ‬ = (ܽܿ − ܾ݀) + ݅(ܽ݀ + ܾܿ)
Ejemplo:
Sea ‫ݖ‬ = 3 + 2ࣻ y ‫ݓ‬ = 1 + ࣻ
‫ݖ‬ ∗ ‫ݓ‬ = (3 + 2ࣻ)(1 + ࣻ)
‫ݖ‬ ∗ ‫ݓ‬ = 3 + 3ࣻ + 2ࣻ + 2ࣻଶ
‫ݖ‬ ∗ ‫ݓ‬ = 3 + 5ࣻ + 2ࣻଶ
‫ݖ‬ ∗ ‫ݓ‬ = 3 + 5ࣻ + 2(−1)
‫ݖ‬ ∗ ‫ݓ‬ = 3 + 5ࣻ − 2
‫ݖ‬ ∗ ‫ݓ‬ = 1 + 5ࣻ
Actividad 4
El alumno deberá realizar las siguientes operaciones con números complejos
Sea: zଵ = 1 ൅ ࣻ zଶ = 2 ൅ 2ࣻ wଵ = െ1 െ ࣻ wଶ = 3ࣻ
Calcule:
a) zଵ + zଶ + wଵ + wଶ =
b) (zଵ ∗ zଶ) + (wଵ + wଶ) =
c) ሾ(zଵ ∗ wଵ) − (wଶ ∗ zଶ)ሿzଵ =
d) ሾ(wଵ + zଵ + zଶ)2iሿ−5zଵ =
ࣻ = √−1
ࣻ2
= (ඥ−1)
2
ࣻ2
= −1

14. 14
División de números complejos.
Para la división de números complejos, utilizaremos una de las propiedades de los
conjugados la cual dice que ‫ݖ‬ ∗ ‫̅ݖ‬ = ܽଶ
+ ܾଶ
Y la forma de calcularlo es la siguiente:
Sea ‫ݖ‬ = ܽ + ܾࣻ y ‫ݓ‬ = ܿ + ࣻ݀
‫ݓ‬
‫ݖ‬
=
‫ݓ‬ ∗ ‫̄ݖ‬
‫ݖ‬̄ ∗ ‫ݖ‬
=
ሺܿ ൅ ࣻ݀ሻሺܽ െ ܾࣻሻ
ሺܽ ൅ ܾࣻሻሺܽ െ ܾࣻሻ
‫ݓ‬
‫ݖ‬
=
‫ݓ‬ ∗ ‫̄ݖ‬
‫ݖ‬̄ ∗ ‫ݖ‬
=
ܽܿ − ܾࣻ + ࣻܽ݀ − ࣻ2
ܾ݀
ܽ2 − ܾࣻܽ + ܾࣻܽ − ࣻ2
ܾ2
‫ݓ‬
‫ݖ‬
=
‫ݓ‬ ∗ ‫̄ݖ‬
‫ݖ‬̄ ∗ ‫ݖ‬
=
ܽܿ − ࣻ(ܽ݀ − ܾܿ) + ܾ݀
ܽ2 + ܾ2
‫ݓ‬ ∗ ‫̄ݖ‬
‫̄ݖ‬ ∗ ‫ݖ‬
=
࢝
ࢠ
=
(ࢇࢉ + ࢈ࢊ) + भ(ࢇࢊ − ࢈ࢉ)
ࢇ૛ + ࢈૛
Ejemplo:
2 + ࣻ
3 + 4ࣻ
a = 3 c = 2
b = 4 d = 1
‫ݓ‬
‫ݖ‬
=
ൣ(3)(2) + (4)(1) + ࣻ൫(3)(1) − (4)(2)൯൧
32
+ 42
‫ݓ‬
‫ݖ‬
=
ሾ(6 + 4) + ࣻ(3 − 8)ሿ
9 + 16
‫ݓ‬
‫ݖ‬
=
10 − 5ࣻ
25
‫ݓ‬
‫ݖ‬
=
10
25
−
5
25
ࣻ
‫ݓ‬
‫ݖ‬
=
2
5
−
1
5
ࣻ = 0.4 − 0.2ࣻ

15. 15
Actividad 5
El alumno realizara las siguientes divisiones de números complejos. El docente le
explicara al alumnado que puede hacer el procediendo completo o en su defecto
utilizar la formula
1.-
ଵ
ଵିࣻ
2.-
ଶାࣻ
ଵିࣻ
3.-
ଶାࣻ
ଵିࣻ
൅
ଶିࣻ
ଵାࣻ
ࣻ
4.- ቂ
ଶାࣻ
ଵିࣻ
൅
ଶିࣻ
ଵାࣻ
൅ ࣻቃ
ଶ
5.- ቂ
ଵାࣻ
ଵିࣻ
ቃ
ଷ

16. 16
Potencias de “भ”
ࣻ0
= 1
ࣻ1
ൌ ඥെ1
ࣻ2
ൌ െ1
ࣻ3
ൌ െ1 ∗ ࣻ ൌ െࣻ
ࣻ4
ൌ ሺെ1ሻሺെ1ሻ ൌ 1
ࣻ5
ൌ 1 ∗ ࣻ ൌ ࣻ
ࣻ6
ൌ ࣻ ∗ ࣻ ൌ െ1
ࣻ7
ൌ െ1 ∗ ࣻ ൌ െࣻ
ࣻ8
ൌ െࣻ ∗ ࣻ ൌ 1
ࣻ9
ൌ 1 ∗ ࣻ ൌ ࣻ
ࣻ10
ൌ ࣻ ∗ ࣻ ൌ െ1
ࣻ11
ൌ െ1 ∗ ࣻ ൌ െࣻ
ࣻ12
ൌ െࣻ ∗ ࣻ ൌ 1
ࣻ13
ൌ 1 ∗ ࣻ ൌ ࣻ
ࣻ14
ൌ ࣻ ∗ ࣻ ൌ െ1
ࣻ15
ൌ െ1 ∗ ࣻ ൌ െࣻ
Modulo o valor absoluto de un número complejo.
Sea ࢠ ൌ ࢇ ൅ भ࢈ un número complejo, su modulo se denota por |z| que es
magnitud de Z.
La magnitud de ࢠ ൌ |ࢠ| ൌ √ࢇ૛ ൅ ࢈૛
El argumento de Z denotado por ArgZ se define como el ángulo entre la recta ΘZ
y el lado positivo del eje X.
Actividad 6
Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos en su
forma polar (magnitud y argumento).
El docente deberá revisar lo siguiente:
• Que haya por lo menos un número en cada cuadrante
• Que haya por lo menos un número en la parte positiva y negativa de los
ejes coordenados

17. 17
Forma polar y exponencial de un número complejo.
Anterior mente realizamos operaciones fundamentales tales como la suma, la
resta, la multiplicación y la división de número complejos en su forma rectangular o
cartesiana, en el caso de la multiplicación y la división es más sencillo calcularlas
si se conoce la forma polar del número complejo, para esto definiremos como está
conformada la forma polar y exponencial de un número complejo.
Sea ࢠ = ࢇ ൅ भ࢈. Su forma polar es: ࢠ = ࢘ሺࢉ࢕࢙ࣂ ൅ भ࢙ࢋ࢔ࣂሻ = ࢘∟ࣂ = ࢘ࢉ࢏࢙ࣂ.
Donde
࢘ = |ࢠ| = √ࢇ૛ ൅ ࢈૛.
Su forma exponencial es: ࢠ = ࢘ࢋभࣂ
Ejemplo:
Sea ‫ݖ‬ = 3 ൅ 4ࣻ
‫ݖ‬ = ‫ ߠ∟ݎ‬
‫ݖ‬ = ‫݁ݎ‬ࣻఏ
‫ݎ‬ = ?
ߠ = ?
POLAR
‫ݖ‬ = 5ሺܿ‫31.35ݏ݋‬ ൅ ࣻ ‫31.35݊݁ݏ‬ሻ ൌ 5∟53.13 ൌ 5ܿ݅‫31.35ݏ‬
EXPONENCIAL
‫ݖ‬ ൌ 5݁ࣻହଷ.ଵଷ
Actividad 7
El alumno deberá convertir los siguiente números complejos a su forma polar y
verificarlos realizando su interpretación gráfica. Tanto en polar como en
rectangular
a) z ൌ 3 െ 4ࣻ
b) z ൌ െ3 ൅ 4ࣻ
c) z ൌ െ3 െ 4ࣻ
d) z ൌ 2ࣻ
e) z ൌ 7
f) z ൌ 4 ൅ 4ࣻ
g) z ൌ െ4 െ 4ࣻ
ߠ ൌ ‫݃ݐ‬ିଵ
ቀ
ܽ
ܾ
ቁ
ߠ ൌ ‫݃ݐ‬ିଵ
൬
4
3
൰
ߠ ൌ 53.13
‫ݎ‬ ൌ ඥܽଶ ൅ ܾଶ
‫ݎ‬ ൌ ඥ3ଶ ൅ 4ଶ
‫ݎ‬ = 5

18. 18
Conjugado de un número complejo en su forma polar.
Sea ࢠ = ࢇ ൅ भ࢈ y en su forma polar ࢠ = ࢘∟ࣂ el conjugado del número z complejo
queda definido como: ࢠ̄ = ࢇ െ भ࢈. Y en su forma polar: ࢠ̄ = ࢘∟ െ ࣂ.
Ejemplo:
‫ݖ‬ = 5∟30
‫ݖ‬̄ = 5∟-30
Actividad 8
Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos en su
forma polar con sus conjugados.
El docente deberá revisar lo siguiente:
• Que haya por lo menos un número en cada cuadrante
• Que haya por lo menos un número en la parte positiva y negativa de los
ejes coordenados

19. 19
Multiplicación y división de números complejos en su forma
polar.
Para la multiplicación y división de números complejos es muy útil la forma polar,
porque facilita los cálculos.
MULTIPLICACION: Sea ࢠ૚ = ࢘૚∟ࣂ૚ y sea ࢠ૛ = ࢘૛∟ࣂ૛ la multiplicación queda
definida como la multiplicación de las magnitudes y da como resultado la magnitud
y el ángulo como la suma de los ángulos de los números complejos.
ࢠ૚ ∗ ࢠ૛ ൌ ࢘૚ ∗ ࢘૛∟ࣂ૚ ൅ ࣂ૛
DIVISION:
ࢠ૚
ࢠ૛
ൌ
࢘૚
࢘૛
∟ࣂ૚ െ ࣂ૛
Ejemplo: Sea ࢠ૚ ൌ ૚ ൅ भ y ࢠ૛ = ૛ ൅ ૛भ. Calcule en forma polar ࢠ૚ ∗ ࢠ૛ y
ࢠ૚
ࢠ૛
Actividad 9
El alumno deberá realizar las siguientes operaciones con números complejos en
su forma polar
Sea zଵ ൌ 4 ൅ 6ࣻ y zଶ ൌ 2 െ 5ࣻ.
Calcule zଵ ∗ zଶ, zଶ ∗ zଵ, zଵ/zଶ, zଶ/zଵ.
Recuerde la conversión de un número complejo en su forma polar.
Sea z ൌ r∟θ la forma polar de un número complejo en su forma compacta.
Recuerde que z ൌ rሺcosθ ൅ ࣻsenθሻ también es u forma polar.
‫ܢ‬ ൌ ‫ܚ‬ሺ‫ܛܗ܋‬ી ൅ भ‫ܖ܍ܛ‬ીሻ ‫ܢ‬ = ‫ܛܗ܋ܚ‬ી ൅ भ‫ܖ܍ܛܚ‬ી
1 ൅ ࣻ
2 ൅ 2ࣻ
ൌ
1.41
2.82
∟45 െ 45
1 ൅ ࣻ
2 ൅ 2ࣻ
ൌ
1.41
2.82
∟0
1 ൅ ࣻ
2 ൅ 2ࣻ
ൌ 0.5∟0
‫ݖ‬1 ∗ ‫ݖ‬2 ൌ ሺ1.41ሻሺ2.82ሻ∟45 ൅ 45
‫ݖ‬1 ∗ ‫ݖ‬2 ൌ 3.97∟90
-DIVISION
-MULTIPLICACION
‫ݎ‬1 ൌ ඥ1 ൅ 1 ൌ 1.41
‫ݎ‬2 ൌ ඥ4 ൅ 4 ൌ 2.82
ߠ1 ൌ 45
ߠ2 ൌ 45
‫ݖ‬1 ൌ 1.41∟45
‫ݖ‬2 ൌ 2.82∟45
FORMA POLAR
a b

20. 20
Teorema De Moivre.
El teorema de moivre es utilizado para encontrar las potencias y raíces de un
número complejo
Potencias de un número complejo.
Si ܼ1 ∗ ܼ2 ∗ ܼ3 …ܼ݊ ൌ ‫ݎ‬1 ∗ ‫ݎ‬2 ∗ ‫ݎ‬3 … ‫ݎ‬݊∟ߠ1 ൅ ߠ2 ൅ ߠ3 …ߠ݊ y los números complejos
ܼ1, ܼ2, ܼ3, … ܼ݊ son idénticos podemos decir que:
ܼ݊
= ‫ݎ‬݊∟݊ߠ = ‫ݎ‬݊(cos(݊ߠ) + ࣻ‫݊݁ݏ‬(݊ߠ))
Esto permite evaluar números complejos a potencias enteras:
ሾ࢘(ࢉ࢕࢙ࣂ + ࢙ࣻࢋ࢔ࣂ)ሿ࢔
= ࢘࢔(ࢉ࢕࢙࢔ࣂ) + ࢙ࣻࢋ࢔(࢔ࣂ)
Ejemplo:
(1 + ࣻ)10
= (ඥ2)
10
= ∟10(45)
Actividad 10
El alumno deberá calcular las siguientes potencias utilizando z = 1 ൅ i
a) Zଶ
=
b) Zଵ଴
=
c) Zଷ଴
=
Si necesitamos calcular la raíz de un número complejo utilizaremos:
Zଵ ୫⁄
= rଵ ୫⁄
∟
θ + πk
m
K= 0, 1, 2,…m-1
m≥1

21. 21
Ecuaciones polinomicas.
Llamamos polinomio a toda expresión de la forma: ܽ௡‫ݔ‬௡
+ ܽ௡ିଵ‫ݔ‬௡ିଵ
+ ⋯ ܽଵ‫ݔ‬ + ܽ଴.
Donde “n” y ܽ௡,ܽ௡ଵ, … ܽଵ,ܽ଴ son números reales denominados coeficientes.
Si ܽ݊ diferentes de cero, decimos que el polinomio tiene grado “n” y ܽ௡ es el
coeficiente principal. El coeficiente ܽ଴ recibe el nombre de término independiente.
Ejemplo: 4‫ݔ‬5
+ 3‫ݔ‬4
− 2‫ݔ‬3
−
1
2
‫ݔ‬ + 1 es un polinomio.
1.- ¿Cuáles son los coeficientes?
2.- ¿Cuál es el grado del polinomio?
3.- ¿Cuál es el coeficiente principal?
4.- ¿Cuál es el término independiente?
Raíces de un polinomio.
Un número “a” es una raíz de un polinomio P(x) si el polinomio se anula para ese
valor es decir “X = a” esa raíz de P(x) si y solo P(a) = 0.
Ejemplo:
‫ݔ‬ = 1 ݁‫ܲ ݖ݅ܽݎ ݏ‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ହ
െ ‫ݔ‬ଷ
X = 1
ܲሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬ହ
െ ‫ݔ‬ଷ
ܲሺ1ሻ = 1ହ
െ 1ଷ
ܲሺ1ሻ = 0
Es raíz
X = -1
ܲሺെ1ሻ = ሺെ1ሻହ
െ ሺെ1ሻଷ
ܲሺെ1ሻ = െ1 െ ሺെ1ሻ
ܲሺെ1ሻ = 0
Es raíz
X = 2
ܲሺ2ሻ = ሺ2ሻହ
െ ሺ2ሻଷ
ܲሺ2ሻ = 32 − 8
ܲሺ2ሻ = 24

22. 22
Denominamos ecuación polinomica a toda ecuación de la forma P(x) = 0 donde
P(x) es un polinomio.
Resolver una ecuación polinomica es hallar los valores de “x” que anulan el
polinomio, es decir equivalen a encontrar sus raíces.
Polinomio complejo.
ܲሺ‫ݖ‬ሻ = ܽ௡‫ݖ‬௡
൅ ܽ௡ିଵ‫ݖ‬௡ିଵ
൅ ⋯ ܽଵ‫ݖ‬ଵ
൅ ܽ଴
Una raíz del polinomio P es un complejo Z que cumple con P(2) = 0 (esto es una
ecuación polinomica compleja) un polinomio ܲሺܼሻ௡
(de grado n) tiene exactamente
“n” raíces complejas. ܼ1
, ܼ2
, ܼ3
, …ܼ݊
Para determinar dichas raíces podemos utilizar el Teorema de Moivre.
Ejemplo:
‫ݓ‬2 + 25 = 0
‫ݓ‬ = √−25 = (−25)ଵ ଶ⁄
= (−25 + 0ࣻ)ଵ ଶ⁄
‫ݓ‬ = ‫ݖ‬ଵ ଶ⁄
= (−25 + 0ࣻ)ଵ ଶ⁄
‫ݖ‬ = −25 + 0ࣻ
݉ = 2
݉ − 1 = 1
݇ = 0,1
‫ݎ‬ = ඥ(−25)ଶ + 0ଶ
‫ݎ‬ = 25
ߠ = 180
Para ܼ1 = 0
ࢆ
࢔
࢓⁄
= ඥ(࢘)࢔࢓
∟
࢔
࢓
ࣂ +
૛࢑ ࣊࢔
࢓
NOTA: Formula cuando requiere elevar a una fracción utilizaremos:
݇ = 0,1 ݉ − 1
ߠܽ‫ܼ݃ݎ‬ ‫ݎ‬ = |‫|ݖ‬

23. 23
ܼ1 = (25)
1 2⁄
∟
180 + 2(180)(0)
2
ܼ1 = 5∟90
Para ܼ2 = 1
ܼ2 = (25)
1 2⁄
∟
180 + 2(180)(1)
2
ܼ2 = 5∟270 − 360
ܼ2 = 5∟ − 90

24. 24
Actividad 11
El alumno deberá encontrar las raíces de los siguientes polinomios complejos.
a) wହ
െ ൫1 ൅ √3ࣻ൯ = 0
b) wସ ଷ⁄
+ 2ࣻ = 0

25. 25
Actividad final de números complejos
I. Realice Las siguientes operaciones con números complejos.
a) (1 + 2ࣻ) − (3 + 4ࣻ)(4 − 2ࣻ)
b)
ହାସࣻ
ଶିଶࣻ
−
ଷାଶࣻ
ଵିࣻ
c) ቂ
ଷାସࣻ
ିଵିࣻ
ቃ
ଷ
d) ሺ1 ൅ 2ࣻሻሺ3 + 4ࣻ) + (3 − 4ࣻ)(4 − 2ࣻ)
e) (−2 − 3ࣻ)ଵ ଷ⁄
f) (−√3 + √2ࣻ)ଶ
+ √3 ܿ݅‫°511ݏ‬
g)
ହ√ଶାଷ√ଵࣻ
√ଷ
II. Resuelva las siguientes operaciones.
1.- ‫ݖ‬2 െ ࣻ = െ1ࣻ
2.- ‫ݖ‬ଷ ହ⁄
െ ࣻ = √3
3.- ‫ݖ‬଺
− 2‫ݖ‬ଷ
+ 2 = 0
4.- ‫ݖ‬ଶ
+ (1 − ࣻ)‫ݖ‬ − ࣻ = 0

26. 26
UNIDAD 2: MATRICES Y DETERMINANTES.
OBJETIVO DE LA UNIDAD
Manejar las matrices, sus propiedades y operaciones a fin de expresar, conceptos
y problemas mediante ellas, en los sistemas de ecuaciones lineales, asi como en
otras áreas de las matemáticas y la ingeniería, para una mejor comprensión y una
solución más eficiente.
Utilizar el determinante y sus propiedades para probar la existencia. Y el cálculo
de la inversa de una matriz.