1. RADICALES. DEFINICIONES:
Definición de radical o raíz n-esima:
n n
 A=B⇔B =A .  A es el número que elevado a n nos da A
n
Potencia con exponente fraccionario:
m
a = a
n n m . Una potencia con exponente fraccionario es un radical.
Número radical:
Cuando un radical no da exacto, se deja indicada la parte radical. El número
real así expresado se denomina número radical.
Un número radical sencillo se compone de coeficiente y parte radical.
n
N=c  A
3 3
Ejemplo: 5  12 Coeficiente: 5; parte radical:  12
Forma típica de un radical:
Se dice que un número radical está en forma típica si está expresado con el
menor índice y radicando posible.
Ejemplos:
 200= 100· 2= 100·  2=10  2 La forma típica para  200 es 10  2
4 1
8
 16= 2 =2 =2 = 2 = 2 La forma típica para  16 es  2
8 8 2 14 8 2
Radicales semejantes:
Se dice que dos radicales son semejantes si, expresados en forma típica,
tienen idéntica parte radical (mismo índice y mismo radicando).
Ejemplo:
8
 200 y  16 Son semejantes ya que en forma tipica se expresan 10  2 y
 2 que tienen idéntica parte radical.
Radicales. Procedimientos:
Pasar a forma típica:
Para pasar a forma típica, hay que seguir el procedimiento siguiente:
1) Descomponer en factores primos el radicando.
2) Reducir índice si es posible, simplificando el índice y los exponentes.
3) Por último extraer factores fuera del radical si se puede:
Se puede si el exponente del factor es mayor o igual que el índice. En
ese caso se divide el exponente entre el índice,obteniendo un cociente y
un resto. El factor saldrá con exponente el cociente y dentro se quedará
con exponente el resto.
Ejemplos: Ejemplos:
4 3 3
 600   2 ·3·5  2  3 ·5  2  75
3 3 2 2 3
 129600
4
1) 4 129600= 26 ·34 · 52

4 2
2) (dividiendo el 4, 6, 4 y 2 entre 2)  324   2 ·3   2·3  3  2=3 2
4 2 4 2 2
4 2
 26 · 34 ·52 = 23 · 32 ·51 = 23 · 32 ·5 4 2
3) (Se pueden sacar fuera el 2 y el 3)  8100   2 · 3 ·5   2· 3 ·5  3  10=3  10
4 2 4 2 2 2
 23 · 32 ·5=21 ·31 ·  21 ·5=6sqrt10 4 2
 64  2 ·3 ·5   2·3 ·5 3  10=3  10
2 2 4 2 2 2

2. Reducir a índice común:
Cuando tenemos varios radicales con índices distintos, reducir a índice común
consiste en expresar todos los radicales con el mismo índice. Se procede
como cuando reducíamos fracciones a común denominador pero operando
únicamente con los índices y los exponentes del radicando. También se puede
hacer pasando a potencia con exponente fraccionario y luego reduciendo los
exponentes a común denominador. Como siempre, primero hay que
descomponer en factores primos el radicando.
Ejemplo: (directamente) Ejemplo (pasando a potencia)
4 3 6 4 3 6
 24 ;  20 ;  49 ;  32  24 ; 20;  49 ; 32
2 3
 2 ·3 ;  2 ·5 ; 3 72 ; 6 25
4 2
  2 3
 2 ·3 ;  2 · 5 ; 3 72 ; 6 25
4 2
 
3 1 2 1 2 5
m.c.m.2,4 ,3 ,6=12 2 2 4 4 3 6
12 18 2 ·3 ; 2 · 5 ; 7 ; 2
 2 · 36 ; 12 26 ·53 ; 12 78 ; 12 210
   m.c.m.2,4 ,3 ,6=12
18 6 6 3 8 10
12 12 12 12 12 12
2 ·3 ; 2 ·5 ; 7 ; 2
12 12 6 12 8 12
 2 ·3 ;  2 · 5 ;  7 ;  210
18 6 3
Introducir factores dentro del radical:
Para introducir factores dentro del radical, se multiplica el exponente por el
índice y el resultado es el exponente que tendrá el factor dentro del radical.
Ejemplos: Ejemplos:
23 3 4
3a  6a = 3 ·a ·2· 3·a =
2 1·3 2·3 2
3a b  24ab= 3 · a · b 2 · 3·a· b=
2 34 1·4 2·4 3·4 3
3 3 3 4 4
 3 ·a6 ·2 ·3·a2 = 2·34· a8  34 ·a8 ·b12 ·23 ·3·a ·b= 23 ·35 ·a9 · b14
Suma y resta de radicales:
1) Pasar a forma típica todos los radicales
2) Sólo se pueden sumar o restar aquellos radicales que sean semejantes.
Para sumarlos o restarlos, se mantiene la parte radical idéntica y se suman o
restan los coeficientes.
3) Aquellos que no se puedan sumar se dejan indicados
Ejemplos: Ejemplos:
3 4 3 4 6 6
 75 128 9− 2= 3  50− 642  5− 8=
 3·523 274 32− 2=
  3 4 6
3  2·52 − 262 5−  23 =
6
3 2 3 2 3 2 1
5 322 ·  2 3− 2= 3· 5  2− 2 2  5− 2 =
6
3 3 6
5  34 2 3− 2= 15  2−2  22  5− 2=
3 3 6 6
51 34−1  2=6  33  2 15−2−1  22  5=12  22  5
Multiplicación y división de radicales:
1) Reducir a índice común.
2) Se mantiene el índice común y se multiplican o dividen los radicandos.
Ejemplo:

3 4 3 4 12 12 12
5 ·  12 · 9 = 5 ·  2 ·3· 3 =  5 ·  2 ·3 ·  2 =12 5 ·2 ·3 ·2 =12 56 ·28 =6 53 · 24
2 2 6 8 4 6 6 8 4 6
6 6 3 12 6
34 ·26
 
 72  2 ·32  2 ·34
m.c.m.2,3 ,4,6=12

3. Racionalización de radicales:
En ocasiones, un número radical aparece en forma de fracción de radicales,
en esos casos, siempre intentaremos que en el denominador no aparezca
ningún radical, es decir que el denominador sea Racional. Este procedimiento
se denomina racionalizar. Hay dos tipos de racionalización.
1) Si el denominador es un radical puro.
En este caso para eliminar el radical del denominador multiplicaremos el
numerador y el denominador por un radical puro del mismo índice que el
radical del denominador y cuyo radicando complete el radicando para alcanzar
el índice.
Ejemplos:
6 6
2 ·3 2  2 · 3 ·5
1 6 6 6 2 1 5
2 23 23 2 3 2
6 5= 6 5 6 1= 6 5 =6 6= ; 6 =6 6 =
 3  3 ·  3 3 ·3  3
1 3  24 ·35 ·5  24 ·35 · 5·  22 ·31 ·55
6 6 6 6
22 3 5 2 2 3 5
2  2 3 5  2 · 3·5
2 1 5 2 1 5 2 1 5 2 5
6 4 = 6 6 6 6= =
 2 ·3 ·5· 2 ·3 ·5 2 ·3 ·5 2 ·3·5
5 2 1 5 15
2) Si el denominador es un binomio con raíces cuadradas.
En este caso para eliminar la o las raíces del denominador multiplicaremos el
numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Ejemplos:
2 2·   35 2·   35  2·   35  2·   35   35
= = 2 = = =−
3−5   3−5   35   3  −5 2 3−25 −22 11
2 5  2 5  ·   3 5  2 ·  32  5 5 ·  3 5·  5
= = 2 2 =
3− 5   3− 5   35   3  −  5 
2  32  5 155 2  32  5 155
=−
3−5 2