1. Exponentes y radicales
(Versión preliminar)
M. en C. René Benítez López
Departamento de Matemáticas
Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa

2. Un poco de gimnasia mental
Mediante el trazo de 4 líneas, una los 9 puntos que siguen.
No se permite levantar el lápiz del papel, ni recorrer dos
veces la misma línea, ni tocar dos veces el mismo punto.
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3. Solución:
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4. Un año luz es igual a 9 461 000 000 000 000 km. Esta cantidad también se expresa
así:
9461× 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
El producto 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10, se abrevia como 1012
lo cual se lee 10 a la 12, en ello el número 10 se llama base y el número 12 se
llama exponente, y ambas cosas forman lo que se llama una potencia. El
exponente indica el número de veces que la base actúa como factor en el
producto que se abrevia.
Los términos que forman una potencia ax son estos:
x
a x es el exponente
a es la
base

5. Leyes de los exponentes:
am
1. a ma n = a m + n m −n
5. n = a , a ≠ 0
a
(a )
n
2. m
=a mn
−n 1
6. a = n , a ≠ 0
a
3. (ab ) = a b
n n n
7. a0 = 1, a ≠ 0
n n
a a
4.   = n , b ≠ 0
b b

6. ( )
−1 2
−1 2
7 
2 72 7 −1 52 25
Ejemplo 1  4 = = −2 = 1 =
(5 )
−1 2
5 
4 5 7 7
1 1 1 1
( −x )
−3
Ejemplo 2 2
= = = =− 6
( −x ) ( −1) ( x ) −x6
3 3
2 3 2 x
2
−2
  2
3 1  1  4 42 16
Ejemplo 3 4 = =  =  = 2 =
  3
2
3 3 3 9
 
4  4 
 
9a3b −1/ 3c −1 2  9   a  b
3 −1/ 3
 c −1/ 2  3+
1 1 1
− +6 − −4
Ejemplo 4 −1 3 −6 4 =    −1/ 3  −6  4  = 3a 3 b 3 c 2
3a b c  3  a  b  c 
= 3a10 3b17 3c −9 2

7. Leyes de los radicales
• Los radicales se rigen por las leyes de los
exponentes, porque:
n
a =a
m mn

8. 2
( )
3⋅
= 8 = ( 8)
23 23
Ejemplo 5 3
64
3 2
= 2 3
=2 3
= 22 = 4
3
64 = 3 43 = 43 3 = 41 = 4
1 1
( )
12 2+ 1+
864 = 2 ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 =2 ⋅3 =2 ⋅3 = 22 ⋅ 21 2 ⋅ 31 ⋅ 31 2
5 3 5 3 52 32
Ejemplo 6 2 2
= 22 ⋅ 3 ⋅ ( 2 ⋅ 3 )
12
= 12 6
( −1) ( z ) ( ( −1) ( z ) ) (z )
13
= ( −1)
13 13
Ejemplo 7 3
− z −1 3 = 3 −1 3
= −1 3 −1 3
1
= ( −1) z −1 9 = −
z1 9

9. ( )
13 13
8x 6a
 8x  6a 8 x 6a 81 3 x 2a 2 x 2a
Ejemplo 8 = = = 13 b =
3b 
3
27 y 3 b  27 y  ( 27y ) 3b 1 3 27 y 3y b
13
(2 ) (2 ) ( ) (
 23 ⋅ 10 −3 2 26 ⋅ 10 −4 ) 
2
( 0.008 ) ( 0.0064 )
−3 −4
2 3
⋅ 10 6
⋅ 10
Ejemplo 9 3 = 3 = 
( 80000 ) (2 )  ( ) 
2 2 2
3
⋅ 10 4
 2 ⋅ 10
3 4

13
 212 ⋅ 10 −10 
( )
13
= 6  = 26 ⋅ 10−18 = 22 ⋅ 10 −6 = 0.000004
 2 ⋅ 108 
( 24 ) ( )
2 13
Ejemplo 10 3
576 = 3
= 3 24 = 3 23 ⋅ 3 = 23 ⋅ 3 = 23 3

10. Ejemplo 11 Si a1 = 2, a2 = 2 2 , a3 = 2 2 2 , a4 = 2 2 2 2 ,
exprese como potencia fraccionaria de 2 cada uno de
los términos de la sucesión anterior, y obtenga en la
misma forma el término an de la sucesión, en donde n
es un número entero positivo.
Solución Nótese que:
2 −1
a1 = 212
=2 2
,
22 −1
a2 = 2 2 = 2 ( 2 )( 12 12
) 2
= 23 2 = 2 22
23 −1
( )
12
 12 12 
a3 = 2 2 2 =  2 2 ( 2 )
3
 = 27 2 = 2 23
 
12 24 −1
   
( )
15
12 12
a4 = 2 2 2 2 =  2  2 2 ( 2 )
12
= 22 = 2
4
24
   
  

2n −1
Entonces: an = 2 2n

11. Problema de aplicación:
Júpiter es el planeta más grande del Sistema Solar, y tiene
un diámetro aproximado de 142 880 000 m, y el más
pequeño es Plutón con un diámetro aproximado de
3 500 000 m. ¿Cuántos plutones caben en Júpiter?

12. Solución Sea VJ el volumen de Júpiter y sea VP el volumen de Plutón,
entonces:
3 3 3 3
VJ 4 3π R 3  R   1.4288 × 108   1.4288   108 
= =  =  =   6
VP 4 3π r 3
 r   3.5 × 10   3.5 
6
 10 
3
 108  1024
≈ 0.0680315 ×  6  = 0.0680315 × 18 = 0.0680315 × 106 = 6.80315 × 104
 10  10
Así que, caben aproximadamente 68,031 plutones en Júpiter.

13. Fin