El documento describe un prototipo de laboratorio para la trituración de cobre desarrollado por estudiantes de la Universidad Nacional de Loja en Ecuador. El prototipo es una trituradora de mandíbulas diseñada en SolidWorks y AutoCAD que funciona de manera similar a las trituradoras industriales pero a menor escala. El objetivo es obtener datos del prototipo para identificar su modelo matemático y aplicar diferentes técnicas de control como PID, MPC y LQR con el fin de mejorar la eficiencia del proceso de trituración.

1. Abstract— Ecuador is a small country located in the
northwestern region of South America. Colombia this limited to
the north, south and east by Peru and west by the Pacific Ocean.
Its area is 283,561 , is the fourth smallest country in South
America, is a country rich in mineral resources such as copper.
The presence of wealth and openness for your exploitation
(copper) through national and multinational companies has
allowed increasing interest to specialize and train students in
these areas in the country. The actual demand for specialization
and innovation in this area, has made students UNL (National
University of Loja), develop a prototype laboratory scale of the
first copper process as is the crushing as that is where it
consumes about 50% of the total energy which deals in obtaining
copper. This prototype developed with SolidWorks® and
AutoCad® is jaw type, based on mark Retch of fabrication
German with the respective adjustments such as adding an extra
side drum as a counterweight. For offline control we require
several proposals as PID controllers (Proportional, Integral and
Derivative), MPC (Model of predictive control), LQR (Lineal
Quadratic Regulator) and Linear Observers with MATLAB®,
and real-time control of Arduino® card for easy programming
and low coste.
Keywords— Control PID, control MPC, control LQR, control
con Observadores lineales, identificación Modelado, simulación.
I. INTRODUCCIÓN
ESPUÉS de la extracción de los minerales de la tierra estos
deben ser preparados para el mejor uso o mejor
procesamiento. El primer paso es la reducción gradual del
material duro hasta convertirlo en polvo fino con la ayuda de
un circuito de trituración que exige mucha energía para su
correcto funcionamiento. El objetivo del sistema de
automatización que se utiliza en la minería tiene por contexto
el de aumentar la eficiencia y la productividad, así como
ayudar a apoyar a la operación con información, de esta forma
las trituradoras juegan un papel importante en la trituración de
minerales y el control de su funcionamiento puede conducir a
un aumento del rendimiento y la eficiencia de la planta [1]. En
este artículo se pretende lograr lo anterior pero a escala de
laboratorio, partiendo de la construccion de un protoripo y
luego realizando un modelo matemático del proceso para
poder aplicarle tecnicas de control.
Con la creciente complejidad de los procesos industriales
se hace en ocasiones muy difícil la elaboración de modelos
dinámicos fenomenológicos o de primeros principios
J. Benavides, Universidad Nacional de Loja, Loja, Ecuador,
josephle2004@yahoo.es
A. del Pozo, Instituto de Cibernética Matemática y Física, Habana, Cuba,
pozo@icimaf.cu
E. Salinas, Universidad Nacional de Loja, Loja, Ecuador,
stefysn@hotmail.com
adecuados para realizar predicción, optimización y control,
entre otras tareas importantes, un enfoque alternativo y
fructífero para abordar este problema consiste el diseño de
modelos basado en datos [2]. Estos datos se pueden obtener a
través de un proceso real o un prototipo a escala de
laboratorio, como en el presente trabajo.
En la actualidad existen diversos prototipos educacionales
en los que se han aplicado diferentes técnicas de control como:
sistemas placa ventilador [3]. La importancia de estos
prototipos radica en el bajo coste que estos tienen con relación
a sistemas reales como el de un proyectil en vuelo, una
estación espacial, un satélite orbitando la tierra o un tren de
levitación magnética [4].
El costo es más bajo al trabajar con prototipos que con un
proceso real por las ventajas que permite el simular diferentes
ambientes de trabajo, esto es posible en gran parte porque a
través de sensores instalados a una DAQ se puede monitorear
el comportamiento del proceso y de esta forma obtener datos
que permitan hallar un modelo matemático de la dinámica del
mismo.
En el mundo académico, en la evolución hacia modelos no
lineales se puede observar que los modelos lineales y no
lineales pueden ser construidos en el conocimiento
mecanicista (modelos de caja blanca) o los datos de entrada-
salida disponibles (modelos caja negra). Este último método
en general, se puede emplear de forma flexible y sin un gran
esfuerzo, estos modelos lineales a menudo se prefieren en la
práctica industrial, donde las técnicas de identificación de
sistemas de caja negra se conocen bien y se describen en [5].
En este artículo se muestran diferentes estrategias de control
como son: PID, MPC, LQR y observadores lineales de manera
de comparar los resultados aplicados a un modelo de caja
negra que sirvió para la identificación del modelo matemático,
esto se pudo realizar gracias a la ayuda de MATLAB®
que
posee algunos comandos como pem y la caja de herramientas
ident que cubre todos los casos de modelos de caja negra sin
embargo existen rutinas más eficientes para algunos casos
especiales como son la estrategia BJ [6].
1.1. Descripción del proceso
Para la obtención del cobre se procede con las siguientes
fases: perforación, voladura, carga y acarreo del mineral, esto
es una secuencia ordenada que ayuda a fragmentar y
desplazar con menor vibración y ruido al cobre. Para lograr
esto se selecciona y recoge el material con camiones, luego se
tritura con cualquier modelo de trituradora un aproximado de
30000 toneladas diarias, las mismas son depositadas en la
trituradora, las rocas son fracturadas hasta los 80 milímetros
J. Benavides, A. Del Pozo and E. Salinas
Identification and Control of a Laboratory-scale
Prototype for Crushing Copper
D

2. de diámetro, bandas transportadoras conducen el material
hasta el molino semiautogeno SAG, que es un molino
giratorio tipo tambor, el material sale con un máximo de 27
milímetros, la trituración continua en el molino de bolas, las
partículas no superan los 0,15 milímetros, que es el
equivalente a una arena fina. A continuación se pasa a una
celda de flotación que es un proceso físico, que usa agua, aire
y colectores no contaminantes, las moléculas de cobre forman
espuma y se separan de la arena. En el espesador, el material
se centrifuga y filtra, con brazos y paletas mecánicas que
extraen el exceso de agua, de esta manera se obtiene el
concentrado de cobre tal como se observa en la Fig. 1. Este
concentrado contiene un 30% de cobre puro en mineral y un
9% de humedad, se almacena en depósitos cubiertos, el
transporte generalmente al aeropuerto realiza en camiones [7].
Figura 1. Etapas por las que pasa el mineral hasta obtener un concentrado de
cobre. Fuente de fotografía: www.ecsa.com.
1.2. Tipos de trituradoras primarias
Algunos de los equipos de una trituradora de cono típico y
con todo su equipamiento asociado, es decir, de alimentación,
cintas transportadoras y pantallas, se pueden encontrar en
algunos de los concentradores chilenos. Se representa a
continuación en la Fig. 2, el esquema de una trituradora con
los diferentes factores que afectan al proceso de reducción de
tamaño de un material de flujo a través de la tolva de
trituración. [8], [9].
Figura 2. Una trituradora tipo cono y sus equipos asociados.
En las trituradoras primarias se aplican fuerzas de rotura
por medio de comprension o impacto, las del tipo de
mandíbula giratorias son más comunes de las trituradoras
primarias por comprensión, en éstas la fuerza se aplica
lentamente (en comparación con las máquinas de impacto),
resultando en la abrasión y la escisión de la fractura.
En las trituradoras de impacto se aplican una fuerza de
impacto de alta velocidad entre las partículas de roca
utilizando martillos o barras de golpe. La velocidad de entrada
de la energía es mucho mayor y esto causa que las partículas
se rompan. Las trituradoras de impacto pueden alcanzar
relaciones de reducción más altas que las de mandíbulas
giratorios, pero éstas están limitadas por los altos índices de
desgaste por abrasión y por lo tanto se limitan a las rocas más
suaves [10].
Trituradoras de mandíbulas han existido por casi 175 años.
Todas las trituradoras de mandíbulas se distinguen por la
presencia de dos placas, una de las cuales es fija y otra que se
abre y luego se cierra entre las dos superficies. Hay tres tipos
de trituradoras de mandíbulas: Blake, Dodge, y Universal. Se
clasifican de acuerdo a la ubicación del punto de la mandíbula
oscilante de pivote. El tipo más común de la trituradora de
mandíbulas hoy es el de Blake, patentada por Eli Whitney
Blake en 1858 [11].
Para la selección de la trituradora tipo mandíbula debe
tomarse en cuenta los siguientes aspectos [10], [11], [12]:
• El carácter petrográfico de la roca
• El índice de la abrasión del agregado
• La resistencia mecánica de la roca
• El índice de trabajo, o quebrantabilidad de la roca
• La fragilidad de la roca
• La descamación de la roca
• El tamaño de alimentación
• El tamaño del producto deseado (o relación de
reducción)
• El rendimiento a triturar (toneladas por hora)
• El costo de capital
• Los costos de operación a largo plazo.
Las trituradoras de mandíbulas son máquinas grandes, y
resistentes, capaces de aplastar grandes cantidades de
materiales duros y abrasivos. Se emplean típicamente como
trituradoras primarias dentro de las plantas de procesamiento
de agregados. Estas trituradoras son los más comúnmente
definidas por tamaño, boca abierta.
Las placas de una trituradora de este tipo se utilizan para
aplicar fuerzas de compresión que inducen tensiones de
tracción dentro de las partículas, causando fractura. Las
partículas se muerden varias veces hasta que pasan a través de
la cámara de trituración. El proceso de rotura se produce entre
las placas de las mandíbulas actúa simultáneamente con un
proceso de clasificación. El proceso de clasificación define si
o no una partícula se somete a trituración y depende de los
ajustes del tamaño de la trituradora y de las partículas [13].
II. SELECCIÓN Y DISEÑO DE LA TRITURADORA
En nuestro caso se eligió una tipo mandíbula como la que
se muestra en la Fig. 3 en el extremo izquierdo, aquí se ve
nuestro prototipo con algunas modificaciones del modelo
original, una de éstas es el uso de un doble tambor para
balancear mejor el peso y el momento de la trituración del
material, así mismo a la derecha de esta misma figura se

3. observa una trituradora marca Retsch de fabricación alemana
y que utiliza un solo tambor, un perno de regulación de
movimiento, las placas de trituración de nuestra trituradora
son de acero y tipo diente sierra a diferencia de la Retch
moderna que es totalmente plana y de tungsteno, la cual logra
así una mayor trituración del material porque aprovecha toda
la superficie. En nuestro caso las placas que nos sugirió el
programa SolidWorks y que luego fueron diseñadas en
AutoCad son de acero templado que sirvieron sin problema
para triturar todas las rocas de mina que se utilizaron para las
pruebas.
Figura 3. A la izquierda se muestra el prototipo de trituración desarrollado y a
la derecha modelo de. Fuente de la Fotografía de la derecha: Trituradora que
se encuentra en los laboratorios Suelos de la UTPL.
2.1. Modelado de control del prototipo de trituración
Procesos en los cuales la salida (variable controlada) está
controlada por una sola entrada (variable manipulada) se
clasifican como sistemas de una entrada una salida (SISO).
Sin embargo debe señalarse, que la mayoría de los procesos en
ingeniería tiene más de un lazo de control. De hecho, cada
proceso requiere normalmente el control de al menos dos
variables, por ejemplo, tipo de producto y la calidad del
producto. Por lo tanto, existen al menos dos lazos de control.
Los Sistemas con más de un lazo se clasifican como sistemas
de múltiples-entradas múltiples-salidas (MIMO) o sistemas
multivariables [14].
Los sistemas de control multivariable son sistemas con
varias entradas y salidas, en los que una entrada afecta a varias
salidas y recíprocamente una salida es afectada por varias
entradas. El control de estos procesos, en la mayoría de los
casos, es altamente complejo y por lo general se deben tener
en cuenta varios interrogantes para dar solución al problema
de control [15]. Los circuitos de molienda son típicos sistemas
de múltiples-entradas y múltiples-salidas (MIMO)
caracterizados por ser variantes en el tiempo y no lineales
[16].
El modelo planteado en este trabajo en si consta de dos
entradas, dos salidas y dos perturbaciones como se puede
apreciar en la Tabla I, pero planteadas en un sistema típico de
control en cascada, en donde se trata de controlar la posicion
y el peso, pero una salida es intermedia la que se controla
mediante un regulador esclavo.
Además como dato adicional en nuestra trituradora la
variable posición es proporcional al torque. Para hallar el
modelo matemático se utiliza un torquímetro digital ,
mediante el cual se obtienen experimentalmente los datos de
la variable de entrada torque.
TABLA I. VARIABLES INVOLUCRADAS EN ESTE PROCESO
MODELO DE LA PLANTA
Variables de entrada Variables de salida
Torque ( τ ) (N•m ) Peso ( kg )
Voltaje (V) Posición (rad)
Perturbaciones
Relación Velocidad-Carga (m/s•kg).
Material que es 1% del total del material utilizado (kg).
A continuación se presenta la metodología utilizada para la
identificación del modelo matemático de la trituradora.
2.2. Identificación del modelo del lazo de control de la
trituradora
Para la identificación de nuestro sistema llevamos nuestras
variables planteadas en la tabla I a un modelo de caja negra,
como el de la Fig. 4, que posee una entrada, una salida y dos
perturbaciones, esto lo hacemos por dos razones principales,
porque está en cascada y por ser proporcional el torque con la
posición. Esto último lo pudimos constatar porque daba el
mismo modelo con datos de posición o con datos de torque.
Cabe señalar, que para poder aplicar este tipo de modelos
de caja es conveniente contar con una buena cantidad de datos
experimentales de entrada y de salida del proceso a modelar,
esto lo podemos apreciar en nuestro caso con los datos
obtenidos en las Tablas II y III.
El proceso completo en cascada que permite el control de
la posición de las placas para una mejor trituración se la
muestra en la Fig. 9 (es necesario aclara que la salida del
primer lazo es posición, pero por ser proporcional al torque y
por contar con datos experimentales obtenidos con un
torquímetro digital se utiliza los datos del torque como entrada
para hallar el modelo matemático de la trituradora).
Figura 4. Una de las dos variables de entrada involucradas en el sistema, ya
que están en cascada.
En la Tabla II y III se indica una muestra representativa de
los diferentes datos hallados experimentalmente a lazo abierto
y que serán posteriormente utilizados para la identificación del
modelo matemático de nuestra trituradora.

4. TABLA II. UNA MUESTRA DE LOS VALORES MÁS SIGNIFICATIVOS DE LOS
RESULTADOS HALLADOS EXPERIMENTALMENTE DE LA TRITURADORA.
Ángulo
en
radianes
Voltaje
(salida de
PLC)
enVoltios
Peso de
Entrada
(Trituradora)
kg.
Peso de
salida
Zaranda
kg.
0 0 2 1,25
π 9,81 2 1,36
2π 10,2 2 1,42
3π 10,1 2 1,385
3π 9,7 2 1,52
TABLA III. UNA MUESTRA DE LOS VALORES MÁS SIGNIFICADOS DE LOS
RESULTADOS HALLADOS EXPERIMENTALMENTE DE LA TRITURADORA.
Diferencia de
peso material
(entr/sali) kg
Torque Ʈ
(N•m)
Longitud de la
punta del perno
regulador (m)
0,75 2,706 7 x 10-4
0,64 4,671 8 x 10-4
0,58 5,428 9,3 x 10-4
0,615 6,28502 10,2 x 10-4
0,48 6,28502 10,2 x 10-4
Una vez que se conoce cuáles son las variables de entrada y
salida se considera el torque con el que se controla el perno
regulador de la apertura y cierre de las mandíbulas, para así
obtener el diámetro del material triturado que se requiere
como la entrada y a la salida el peso será medido con una
celda de carga. Se toman 1024 datos ( 102
= 1024) y así poder
aplicar la transformada rápida de Fourier en el análisis de la
calidad de la señal en el dominio de las frecuencias. Estos
datos hallados experimentalmente como se mencionó
anteriormente son mostrados en las Tablas I y II, repitiéndose
diferentes valores para un mismo ángulo en radianes debido a
la dureza del material.
Con los datos obtenidos se procede a cargarlos, dividiendo
512 datos para estimar el modelo y 512 para validar el
modelo, estos datos deben ser introducidos en forma de
vectores, y como un archivo de Excel, para que los reconozca
MATLAB®,
si esto se ha hecho correctamente deben aparecer
en el área de trabajo o workspace. Luego se procede a llamar
al toolbox ident de MATLAB®
, que nos permita hacer un
procesamiento de los datos para luego ajustar en primera
instancia un modelo lineal por lo que se escoge una función de
transferencia para nuestro sistema, observándose que la
bondad del ajuste fue muy bajo, por lo que se procede a probar
con otros modelos no lineales y así ajustar mejor la dinámica
con todas sus no linealidades de la trituradora
Antes de seleccionar la estructura más adecuada de
modelos entrada-salida se realizó un preprocesamiento de los
datos tanto de estimación como de validación seleccionándose
finalmente el modelo Box-Jenkins que también se les
denomina modelos ARIMA. Para ser aplicada este modelo se
requiere de una serie temporal de datos que se cuente con un
elevado número de observaciones, básicamente consiste en
encontrar un modelo matemático que represente el
comportamiento de una serie temporal [17]. Para comprender
la estructura Box-Jenkis, se debe partir del desarrollo del
modelo de error de salida, el cual se representa con la ecu-
ación (1) que es para adicionar ruido a la salida.
)()(.)(
)(
)(
tetu
F
B
ty
q
q
+=
(1)
Pero si se escribe esto en el marco de un modelo ARMA, se
llega al siguiente resultado
( )
)(.)(.)(
)(
)(
)(
te
D
C
tu
F
B
ty
q
q
q
q
+=
(2)
Siendo esta parametrización de dimensiones finitas más
natural sí se parte de la ecuación (3a, 3b), esto porque a veces
no es posible determinar a priori estos coeficientes partiendo
del conocimiento que se conoce de las leyes físicas que
gobiernan el comportamiento del sistema. Es por eso que la
determinación de uno o varios de dichos parámetros debe ser
dejado a la estimación, esto quiere decir que los coeficientes
en cuestión entran en el modelo como parámetros a ser
determinados. Llamaremos entonces al vector que contenga
todos los parámetros a estimar. O sea, que ahora la descripción
del modelo será la siguiente:
)().,()().,(),( teqHtuqGty θθθ += (3a)
{ } blancoruidotetedefdpxfe )();(),,( θ (3b)
Ya que en las funciones de transferencia G y H son
parametrizadas en forma independiente como funciones
racionales. Entonces de acuerdo a que se pueden predecir las
muestras para cada una de las ecuaciones (3a) y (3b), y para
enfatizar la dependencia que tiene el estimador con el vector
de parámetros , la notación se hace de la siguiente manera:
)(.)],(1/1[)(.),(1),(ˆ tyqHtuqHty θ−+θ−=θ
(4)
Es importante recalcar que la forma de este predictor no
depende de ( )θ,xfe
ya que se puede llegar a la ecuación (5)
sin hacer estas consideraciones probabilísticas.
)(.
)(
)()(
)(.
)(.)(
)(.)(
),(ˆ ty
qC
qDqC
tu
qFqC
qBqD
ty
−
+=θ
(5)
En la Fig. 5 se muestra la estructura Box-Jenkis, de la
ecuación (2) representada en diagrama de bloques con una
entrada, una perturbación o ruido y una salida [6].
Figura 5. Estructura Box-Jenkis, de la ecuación (2).
El toolbox ident de MATLAB®
, también tiene algunas
estructuras de modelos entrada-salida: ARX, ARMAX, OE,
BJ y SS (espacio de estado) entre otras. Para estimar el

5. modelo de la planta con los datos disponibles la mejor
estructura fue la de BJ (Box-Jenkins), con el coeficiente nb=7,
nc=28, nd=30, nf=4, nk=1(donde n es el orden del sistema, k
el número de retraso del sistema) y las variables b, c, d, f,
variables a calcular, con un coeficiente de reproductibilidad
del 100% (mejor FIT, estimación del modelo o lo que es lo
mismo un 100% del modelo original), este resultado se lo
puede observar en la Tabla IV.
TABLA IV. ESTRUCTURAS UTILIZADAS PARA LA IDENTIFICACIÓN
DEL MODELO MATEMÁTICO DE LA TRITURADORA.
Algoritmo Orden Ajuste (%)
ARX na=2, nb=2, nc=2 25
OTROS
MODELOS
---------------- Por debajo
de 5
BJ nb=7, nc=28, nc=30,
nf=4, nk=1
100
Entre las estructuras aplicadas se seleccionó el BJ cuyos
parámetros que se encontraron son: 7 28 30 4 1, por su mejor
ajuste y buenas propiedades, esto se muestra en la Fig. 6
donde se hace una comparación entre la salida real y el
modelo seleccionado que como se puede ver es muy bueno
porque sigue todo su comportamiento en el tiempo.
Figura 6. Respuesta del sistema y del modelo.
Para la selección del modelo discreto se analizaron tres
criterios: el mejor Fit que para este caso fue de 100%, el FPE
(Final prediction error-uso de datos nuevos) que permite saber
que tanto se acerca al modelo original de 0.0002158 y el MSE
(Factor de perdida) cuanto se aleja del modelo original de
0.0002676, lo cual nos permite afirmar que el modelo hallado
es el correcto.
A continuación se procede a exportarlo a nuestro modelo al
área de trabajo de MATLAB®
, o lo que se conoce como
workspace. Para finalmente ser visto como se muestra en la
ecuación (6), que nos muestra un polinomio de séptimo orden
en el numerador y cuarto orden en el denominador.
4
321
7
654
321
1
9856.0
01037.000944.0005427.01
00967.0
005082.00676.0000306.0
01037.000944.006987.0
−
−−−
−
−−−
−−−
−
−−+
−
+−−
−−
=
z
zzz
z
zzz
zzz
D
(6)
De igual forma como se calculó el modelo matemático de
la trituradora se lo hizo con una de las perturbaciones siendo
el modelo que mejor se ajustó del tipo BJ 34821, FPE de
0.00012, MSE de 0.000243 y que se muestra en la ecuación 7.
21
321
2
8146.05801.01
053.474.346.4
−−
−−−
++
−−
=
zz
zzz
D
(7)
Finalmente las dos ecuaciones anteriores las llevamos a su
equivalente en el tiempo continuo, para ser representada como
se observa en la Fig. 9 y ver su comportamiento en el tiempo,
cuando se le aplica una señal de entrada tipo escalón.
III. DISEÑO DEL CONTROLADOR
Todos los tipos de controladores que se plantean son
aplicados con la ayuda de Simulink®
de MATLAB®
, a un
sistema en cascada como el de la Fig. 9 y para descargar los
datos de la distintas mediciones, cuyos valores son analógicas
se recibió el ángulo a través de una entrada analógica, aquí se
puede apreciar que la posición en radianes es proporcional al
torque, para el modelo de la trituradora que tiene como
entrada el torque.
El modelo del motor en Simulink®
se representa por dos
ecuaciones diferencial a partir de las leyes físicas eléctricas y
mecánicas del motor, que se pueden apreciar en las ecuaciones
(8) y (9).
t
i
d
d
LiRwKV *** ++= (8)
t
w
d
d
JwbiKT *** ++= (9)
Las ecuaciones anteriores son representadas en la Fig. 7
que constituyen un motor de cd y que en la Fig. 9 se presenta
como un subsistema, que se encarga de medir los ángulos a los
que ciertas tensiones le están llegando a nuestro motor, esto se
hizo con una placa Arduino pero se puede hacer también con
LabVIEW y utilizando la vía puerto serie se debe comunicar
con la PC o un PLC.
Figura 7. Subsistema del motor que se usó para el control de la apertura y
cierre de las placas de la trituradora.
El retardo del tiempo es de 16 segundos, porque en todo
proceso en el que se presentan bandas transportadoras, poseen
un tiempo desde que el material cae en la banda hasta que es
finalmente medido este valor, tal como se hizo en este trabajo.
3.1. Controlador PID

6. Estos controladores son muy usados en la industria por su
fácil implementación, además de venir como un bloque de
programación en los PLC, son físicamente equipos que
permiten controlar con las ganancias Kp. Ki, Kd (ganancia
Proporcional, Integral y Derivativa respectivamente) los
procesos para los que han sido requeridos. En nuestro trabajo
se usó dos PID, el lazo maestro o principal como se muestra
en la Fig. 9, y un segundo lazo esclavo como se puede ver en
la Fig. 7, ambos están en cascada con la finalidad de obtener
mejores resultados, pero como se puede apreciar en la
primera parte de la simulación Fig. 8a y la salida que es
representada con color azul no sigue la referencia que esta con
color rojo y lo que hace es alejarse hacía un valor negativo
cada vez mayor.
Figura 8ª. Primera parte de la respuesta del sistema, cuando se le aplica un
clásico control PID, tanto en el subsistema como en el externo de la estrategia
en cascada que se ve en la Fig. 9.
La segunda parte de la simulación se puede apreciar en la
Fig. 8b, donde la salida representada con color azul no sigue la
referencia que esta con color rojo y lo que hace es quedarse en
un valor
Figura 8b. Respuesta del sistema, cuando se le aplica un clásico control PID,
tanto en el subsistema como en el externo de la estrategia en cascada que se ve
en la figura.
3.2. Controlador MPC (Modelo de Control Predictivo).
En este tipo de controlador la predicción de salida de un
proceso está basada en el perfil de la salida y entrada, pasada,
es un importante método de control avanzado, para superar los
problemas de control de sistemas multivariable. En las
aplicaciones de sistemas de control predictivo, las variables de
salida son también llamadas variables controladas o CVs,
mientras que la variables de entrada, son llamadas variables
manipuladas o MVs, lo disturbios se los conoce como,
variables anticipatorias o feedforward , o DVs. El objetivo del
control predictivo MPC, es determinar una secuencia del
movimiento del control, que son:
Los cambios en la entrada manipulada (u), así como
también la salida actual (y), la salida predictiva futura , y la
entrada manipulada (u), todas se muestran en la Fig. 10.
Figura 9. Modelo de la trituradora representado en la herramienta Simulink®
de MATLAB.
El instante actual muestreado es denotado por (k), la
estrategia calculada de MPC, de un conjunto de valores M, de
la entrada [u (k+i-1), i=1,2,…,M], o sea, el conjunto de
valores consiste de una entrada actual u(k) y entradas futuras
M-1, La entrada se mantiene, después que el control M se
mueve, las entradas se calculan de manera que el conjunto de
P que predijo la salida[ (k+i-1), i=1,2,…,P] alcanza el
punto de ajuste de manera óptima, los cálculos de control se
basan en la optimización y de la función objetivo. El número
de predicciones es referido como horizonte de predicción,
mientras que el número de movimiento de los controles es
llamado horizonte de control [18].
Figura 10. Objetivo del control predictivo MPC.
3.3. El método DMC Dinamic Control Matrix

7. Se actúa en el instante actual basándose en la predicción
futura del proceso, lo que hace es tratar de ver que puede
suceder y tratar de evitar que esas perturbaciones afecten
nuestro proceso.
Control predictivo basado en modelo, la idea de un modelo
MPC es que utiliza:
• Utiliza un modelo explicito
• Minimiza un objeto y es de
• Horizonte Deslizante.
Que elementos tiene el modelo de predicción que es el
modelo de predicción y el a modelo de perturbaciones. Tiene
una función objetivo y un método para encontrar la ley de
control, entre algunos algoritmos MPC, se tienen [19]:
• DMC (Dinamic Matrix Control) Dinámica de Matriz
de Control
• GPC (Generalized Predictive Controller) Control
Predictivo generalizado
• UPC
Este tipo control es aplicado a la trituradora, con la
finalidad de mejorar la respuesta del sistema tal como se
muestra en la Fig. 11, donde se puede apreciar que dentro del
subsystem 2 se encuentra casi la totalidad del modelo de la
trituradora planteado en la Fig. 9, la salida del mismo se la
compara con las dos entradas de referencia o r (t).
Figura 11. Control MPC, usando la herramienta de Simulink®
.
Los resultados obtenidos con este tipo de control se
muestran en la Fig. 12, donde se observa el comportamiento
de las dos variables de salida como son la posición y el peso
(Colocadas en cascada como se puede apreciar en la Fig. 9. En
la parte inferior se indica la respuesta de la variable peso que
solo llegar hasta 1.4 Kg del valor deseado o referencia que es
de 2 Kg y en la parte superior de esta misma figura se muestra
la respuesta de la variable posición y que es controlada a los
54 segundos porque sigue correctamente la salida al valor
deseado de 6.3 rad.
Figura 12. Respuesta del sistema, con color azul, para los valores de
referencia 2 Kg y 6.3 rad, correspondientes al peso y posición
respectivamente.
3.4. Controlador LQR (Regulador Lineal Cuadrático)
Esta estrategia de control permite realizar un programa en
el editor de MATLAB®
, utilizando la caja de herramientas con
modelos predictivos que posee este programa, el cual tiene las
herramientas necesarias para trabajar en espacio de estado,
definiendo 4 matrices de diferente orden. Se define la planta
con una entrada y una salida, entonces se fija las matrices A,
B, C, D y un periodo de muestreo. Estos reguladores según el
tutorial, tienen una penalización de la salida y una forma de
entrada que también está penalizada, las entradas están
penalizadas por la matriz R, y las salidas por la matriz U,
entonces viene una secuencia de operaciones que se tienen que
realizar para definir la planta, empezando primeramente
definiendo las matrices A, B, C, D y el tiempo de muestreo
Ts=0.1. Aquí se observa que el polinomio de las Y, tiene una
penalización Q, y el polinomio de las U tiene una penalización
R y luego esto multiplicado por Q y esa es la función que hay
que minimizar, cuando se encuentra el mínimo de esa función
se encuentra el óptimo [19], [20].
Para aplicar esta estrategia se elabora un programa que
parte con llevar todos los bloques de la Fig. 9 al espacio de
estado, de manera que se controle el peso a la salida y
observar su comportamiento ante una respuesta escalón. El
resultado de aplicar esto se muestra en la Fig. 13, aquí se ve
una oscilación al inicio, esto es propio de este tipo de sistemas
ya que se necesita identificar el comportamiento del proceso
para luego ajustar los parámetros del regulador. En ocasiones
estas oscilaciones no son permisibles pues dañan la
instalación.

8. Figura 13. Respuesta del sistema, con color azul, para un valor de 2 y 6.3, del
peso y posición respectivamente.
En los reguladores LQR a todas las variables y estados
intermedios se les minimiza el cuadrado del error (referencia
menos salida todo al cuadrado, para de esta manera todos los
valores tiendan a cero). Esto se pude interpretar mejor en la
Fig. 14, que nos muestra la respuesta de los estados
intermedios de nuestra trituradora que tienden a cero, excepto
una variable que es identificada como el error entre el peso
dado como referencia menos el que se mide con una celda de
carga y que es finalmente el valor que entra al regulador
principal.
Figura 14. Respuesta de los estados intermedios de la trituradora, que se los
puede apreciar mejor como cada unión de los bloques de la Fig. 9.
3.2.1 Uso de Observadores Lineales para conocer el
Comportamiento de cada una de las variables de nuestro
proceso
Al aplicar el método de los Observadores por medio de la
entrada y salida se puede estimar como sería el
comportamiento de las variables de los estados internamente y
con esto se usa un vector de regulación para realimentar el
estado [21].
Llamase estados intermedios a los lazos que une los
bloques de la Fig. 9, como ejemplo el subsistema que
representa al motor de cc tiene como variable de entrada el
voltaje que sería un estado y como salida la posición que sería
otro estado, es decir las variables que entran y salen de cada
bloque son los estados con sus respectivas unidades y en
nuestro caso son 5.
Nuestro Observador Lineal tiene la forma que se indica en
la Fig. 15, y que como se muestra es retroalimentado.
Figura 15. Esquema de control de la trituradora usando Observadores.
En la siguiente Fig. 16, se muestra la salida de nuestro
proceso que es el peso al usar un observador retroalimentado
con 46 segundos de simulación. Finalmente este controlador
hace que deje de oscilar en 450 segundos con un error de 0,15.
Figura 16. Esquema de control de la trituradora usando Observadores.
A continuación se muestra la tabla V, donde se muestran
los resultados obtenidos con las diferentes estrategias de
control que se aplicaron en este trabajo.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
TIEMPO (segundos)
SALIDADELOBSERVADORLOMASCERCANAACERO
SALIDA MODELO
SALIDA DE LA TRITURADORA

9. TABLA V. RESULTADO DE APLICAR DIFERENTES
CONTROLADORES PARA EL LAZO DE CONTROL, DONDE N/M
SIGNIFICA NO MEDIBLE.
CONTROLA-
DOR
1(PID)
CONTROLADOR
2(MPC)
PESO POSICIÓN
CONTROLA-
DOR
3(LQR)
CONTROLA-
DOR
4(O.L)
MÁXIMO
SOBREPICO
-5% 2100
%
16% 50% 4%
TIEMPO DE
ESTABILIZACIÓN
17.58s 25s 10s 55s,
todos los
estados
450s
TIEMPO DE
SUBIDA O
LEVANTAMIENTO
15s -22s 4s Peso: 22
s, Vel-
Ang: 14
s, los
demás
son
desprecia
bles
5s
ERROR EN
ESTADO ESTABLE
0.2 kg 0.01
kg
0.01
rad/s
Peso:
0.05 kg,
Vel-Ang:
0.01
rad/s, los
demás
son
desprecia
bles
0,15 kg
IV. CONCLUSIONES
1. En este trabajo hemos presentado algunos métodos para
controlar el peso a la salida de una trituradora tipo mandíbula
2. Se presentaron cuatro estrategias de control, los PID, MPC,
LQR y Observadores Lineales.
3. El que mejor resultado dio fue el LQR de la Fig. 15, porque
permitió controlar la mayoría de los estados intermedios de la
trituradora.
4. Con la estrategia del LQR, se puede observar que habían
fuertes oscilaciones al inicio característico de este tipo de
procesos ya que necesitan identificar el comportamiento del
proceso para luego ajustar los parámetros del regulador.
5. El modelo matemático encontrado debe trabajar con valores de
señales de entrada lo más cercana al punto de operación real.
6. En la Tabla V se mostraron los resultados al aplicar diferentes
tipos de controladores al modelo de la trituradora, donde se
puede apreciar el sistema de control en cascada que da una
solución mejor que el control con un solo regulador.
7. Es importante resaltar que el valor de la posición será
controlado con una tarjeta Arduino y dos sensores finales de
carrera que nos darán la posición inicial de giro y la posición
final de giro.
8. Finalmente, en la tabla V se mostraron el valor adquiridos por
los parámetros en la respuesta en el tiempo, para cada una de
las 4 estrategias de control aplicadas al modelo de una
trituradora de mandíbulas.
AGRADECIMIENTOS
A la Universidad Nacional de Loja (UNL) y al Instituto de
Cibernética Matemáticas y Física (ICIMAF) en Cuba, por las
facilidades prestadas para el desarrollo de este trabajo.
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Leonardo Benavides received the Engineering degree in
Electromechanical from Universidad Nacional de Loja,
Loja, Ecuador, in 2004, and Master in automatic and
computer systems from Universidad Central Marta Abreu,
Santa Clara, Cuba, 2008, and is a PhD student in Control
Automatic in the ICIMAF, Habana, Cuba. His current
research interest are Virtual laboratories for teaching
advanced control in mining copper and oil facilities in Ecuador.
Abelardo del Pozo received the Ph.D. degree in Technical
Cybernetics from Technical Cybernetics Institute, Bulgaria in
1980. From 1963 to 1965 he was employed by Central

10. University of the Villas, Sta. Clara, Cuba, as auxiliary professor. In 1965 he
joined to Institute Cybernetics, Mathematics and Physics in Havana, Cuba,
where he is now senior professor and researcher. From 1998 he was so far a
visiting professor in several Universities and Technological Institutes of
Mexico and Colombia. His current research interests are in the areas of
modeling, control and navigation of robots and applications of the Artificial
Intelligence. The Dr. Del Pozo was awarded a "Manuel Gran of the Academy
of Sciences of Cuba" in the year 1980 for the best work in research of that
year in the area of the Technical Sciences
Estefania Salinas received Engineering degree in Systems
from Universidad Nacional de Loja, Loja, Ecuador, in 2015.
She is a research interest in network security and
comuncationes.