1) El documento presenta 14 ejercicios sobre estimación puntual. Los ejercicios cubren temas como estimadores insesgados, métodos de estimación como máxima verosimilitud y momentos, y eficiencia de estimadores. Los ejercicios involucran distribuciones como uniforme, exponencial, Poisson y normal.

1. BLOQUE 3. ESTIMACIÓN PUNTUAL: PROPIEDADES
Y MÉTODOS DE OBTENCIÓN.
1) De una población ξ queremos estimar su varianza σ 2 . Para ello
2
_
⎛
⎞
∑ ⎜ xi − x ⎟
⎝
⎠ . Determinar cuál de los
tomamos dos estimadores S 2 =
n −1
dos estimadores es insesgado.
2) Consideremos una población ξ que sigue la distribución uniforme en
el intervalo [0; b ] . Para estimar b obtenemos una muestra aleatoria
x + x + x3 + x4
ˆ
.
x1 , x2 , x3 , x4 y tomamos como estimador b = k 1 2
4
ˆ
Se pide determinar el valor de k para que b sea insesgado.
3) Una variable ξ tiene como función de densidad f(x)= λe − λx ; x>0.
Tomamos una muestra al azar d tamaño dos: x1 = 10 y x2 = 12 .
Estimar el valor de
λ
por el método de la máxima verosimilitud.
4) Con los mismos datos que el ejercicio anterior, estimar el valor de
por el método de los momentos.
λ
5) El número de llamadas que recibe por hora una central telefónica
sigue la distribución de Poisson con parámetro λ desconocido.
Se observan 4 horas que arrojan los siguientes resultados: 1, 5 ,4 ,
2.
Se pide estimar el valor de
verosimilitud.
λ
por el método de la máxima
6) La altura de los alumnos de una facultad es una variable aleatoria
que se distribuye normalmente con media desconocida.

2. Para estimar m se escogen al azar 100 estudiantes con las siguientes
alturas (en cm):
xi ( altura )
ni (nº estudiantes )
160-164
164-168
168-172
172-176
176-180
15
20
30
25
10
Se pide obtener la altura media de los alumnos de esa Facultad
mediante la estimación por máxima verosimilitud.
7) Obtener la varianza de la distribución del ejercicio anterior por el
método de la máxima verosimilitud.
8) Hallar los estimadores por máxima verosimilitud de la población:
1
2
3
X
P
1
P2
P3
P
1
2
3
Xi
n1 = 2
ξ
n2 = 4
n3 = 4
Frecuencias
en virtud de la muestra
X
n1 + n2 + n3 = 10
9) Dada la población normal ξ ≡ (m;1) se consideran como estimadores
de la media:
ˆ
l1 = m1 =
2
1
x1 + x2
3
3
ˆ
l2 = m2
el estimador de máxima verosimilitud
Se pide:

3. a.
b.
c.
10)
¿Son insesgados estos estimadores?
Varianza de los estimadores
¿Son eficientes?
Dada una población N(m;5), se obtiene una muestra aleatoria simple
de tamaño 3, utilizándose como estimadores de m los estadísticos:
1
1
1
ˆ
1/ m1 = x1 + x2 + x3 ;
3
4
2
ˆ
2/ m2 =
x1 + x2 + x3
.
3
Analizar:
a) Si son o no estimadores insesgados.
b) La varianza de dichos estimadores.
c) Si son o no estimadores eficientes.
11)
Una población se distribuye uniformemente en el intervalo (0;θ).
Mediante una muestra aleatoria simple de tamaño n se estima θ,
θˆ = kx . Determinar k para que la
utilizándose como estimador
estimación sea centrada. Determinar, así mismo, la varianza de θ*.
12)
La distribución de Pareto tiene por función de distribución:
α
⎛k⎞
F ( x ) = 1 − ⎜ ⎟ , siendo x > k, α > 0
⎝x⎠
Obtener el estimador por momentos y por máxima verosimilitud del
parámetro α.

4. 13)
De una población N(m;1), se obtienen dos estimadores de m en una
muestra aleatoria simple de tamaño 2:
ˆ
a) m1 =
2
1
x1 + x2 ;
3
3
ˆ
b) m2 =
2
4
x1 + x2 .
5
5
Analizar si dichos estimadores son eficientes.
14)
En una población de Poisson se estima λ:
a. Mediante la media muestral;
b. Mediante la cuasivarianza muestral.
Siendo
2λ 2
V (s ) = +
n n −1
2
c
λ
analizar cuál de ambas estimaciones es más eficiente. Aplicarlo al caso
en que λ = 2, n = 50.