Este documento presenta información sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Introduce las funciones exponenciales y cómo modelan el crecimiento poblacional. Luego explica las funciones logarítmicas y sus propiedades, incluidas las leyes de los logaritmos. Finalmente, proporciona ejemplos numéricos y gráficos para ilustrar el uso de funciones exponenciales y logarítmicas.

1. FFuunncciioonneess eexxppoonneenncciiaalleess
yy llooggaarriittmmiiccaass
1

2. Temas
• Funciones Exponenciales
• Funciones logarítmicas
• Leyes de los logarítmos
• Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
• Examen
2

3. FFuunncciioonneess EExxppoonneenncciiaalleess
33

4. Esquema del capítulo
• Se estudia una nueva forma de funciones
llamadas funciones exponenciales.
• Las funciones exponenciales son apropiadas
para modelar el crecimiento poblacional para
los seres vivos.
4

5. Ejemplos:
5
f (x) = 2x
Es una función exponencial con base 2.
Veamos con la rapidez que crece:
f (3) = 23 = 8
f (10) = 210 =1024
f (30) = 230 =1,073,741,824

6. Funciones Exponenciales
La función exponencial con base a se
define para todos los números reales x por:
6
f (x) = ax
donde a > 0;a ¹ 0
Ejemplos de funciones exponenciales:
f (x) = 2x h(x) = 3x q(x) =10x
Base 2 Base 3 Base 10

7. EEjjeemmpplloo 11::
EEvvaalluuaacciióónn ddee ffuunncciioonneess eexxppoonneenncciiaalleess
7
Sea f ( x ) = 3 x y evalúe lo siguiente:
a) f (2) =
b) f 2
ö çè
= ÷ø
æ-
3
c) f ( 2) =
32 = 9
2 » -
3 3 0.4807
3 2 » 4.7288

8. EEjjeemmpplloo eessttrruuccttuurraall
El arco GGaatteewwaayy eenn SSaann LLuuiiss,, MMiissssoouurrii, tiene
la forma de la gráfica de una combinación de
funciones exponenciales, no una parábola
como pareceria. Es una función de la forma:
y = a(ebx + e-bx )
Se eligió esta forma porque es óptimo para
dirtibuir las fuerzas estructurales internas del
arco.
8

9. FFuunncciióónn EExxppoonneenncciiaall NNaattuurraall
9
La ffuunncciióónn eexxppoonneenncciiaall nnaattuurraall es la función exponencial
f (x) = ex
con base ee. Es común referirse a ella como la función exponencial.
f (x) = ex

10. EEjjeemmpplloo::
EEvvaalluuaarr llaa ffuunncciióónn eexxppoonneenncciiaall
10
Evalúe cada expresión correcta hasta cinco decimales.
Solución:
a )
e
b )2
e
4.8
0.53
3
c )
e
-
20.08554
1.17721
121.51042
»
»
»

11. EEjjeemmpplloo::
MMooddeelloo eexxppoonneenncciiaall ppaarraa llaa ddiisseemmiinnaacciióónn ddee uunn vviirruuss
11
Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una
ciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de t días, el
número de personas que ha sucumbido al virus se modela
mediante la función:
( ) 10000+ -
v t 5 1245 0.97
e t
=
Contesta:
a)Cuántas personas infectadas hay por el virus. (t = 0)
b) Calcule el número de personas infectadas despues de un
día y depués de cinco días.
c) Grafique la función y describa el comportamiento.

12. SSoolluucciióónn::
EEjjeemmpplloo aanntteerriioorr
12
a) Cuántas personas infectadas hay por el virus (t = 0).
8
( ) 10000 = 10000
=
0 1250
+
5 1245
=
e
v t
8 personas tienen inicialmente la enfermedad.
b) Calcule el número de personas infectadas después de un día y
cinco días. (t = 1, t = 2, t = 5)
Días Personas infectadas
1 21
2 54
5 678

13. SSoolluucciióónn::
EEjjeemmpplloo aanntteerriioorr ((ccoonntt))
13
c) Grafique la función y describa el comportamiento.
2000
0 12
El contagio comienza lento, luego aumenta con rapidez y luego
se estabiliza cuando estan infectados cerca de 2000 personas.

14. IInntteerreess ccoommppuueessttooss
14
El interés compuesto se calcula mediante la fórmula
nt
n
A ( t ) = P æ1÷ø+
r çè
ö donde: A(t) = cantidad después de t años
P = principal
r = tasa de interés por año
n = número de veces que el interés se compone por año
t = número de años

15. EEjjeemmpplloo
CCáállccuulloo ddeell iinntteerrééss ccoommppuueessttoo
15
Una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12%
anualmente. Calcule las cantidades en la cuenta después de
tres años si el interés se compone anualmente, cada medio año,
por trimestre, mensualmente o diario.
Solución:
Datos
P = 1000
r = 12% = 0.12
t = 3

16. EEjjeemmpplloo
CCáállccuulloo ddeell iinntteerrééss ccoommppuueessttoo
16
Capitalización n Cantidad después de tres años
Anual 1
Semianual 2
Trimestral 4
Mensual 12
Diaria 365
1404.93
1000 1 0.12
ö 1
çè
1(3)
= ÷ø
æ +
1418.52
1000 1 0.12
ö 2
çè
2(3)
= ÷ø
æ +
1425.76
1000 1 0.12
ö 4
çè
4(3)
= ÷ø
æ +
1430.77
1000 1 0.12
ö 12
çè
12(3)
= ÷ø
æ +
1433.24
1000 1 0.12
ö 365
çè
365(3)
= ÷ø
æ +

17. IInntteerrééss
ccoommppuueessttoo eenn ffoorrmmaa ccoonnttiinnuuaa
• El interés compuesto en forma continua se
calcula mediante la fórmula
donde A(t) = cantidad después de t años
P = principal
r = tasa de interés por año
t = número de años
17
A(t) = Pert

18. EEjjeemmpplloo
CCaallccuullaarr eell iinntteerrééss ccoommppuueessttoo ddee mmaanneerraa ccoonnttiinnuuaa
• Calcule la cantidad después de tres años si se invierten
$1000 a una tasa de interés de 12% por año,
capitalizado de forma continua.
• Solución:
Datos: P = 1000
r = 0.12
t = 3
18
A(t) =Pert
A(3) =1000e(0.12)3 =1000e0.36 =1433.33
SSee ppuueeddee ccoommppaarraarr ccoonn eell eejjeemmpplloo aanntteerriioorr..

19. Funciones LLooggaarrííttmmiiccaass
19

20. DDeeffiinniicciióónn
ddee llaa ffuunncciióónn llooggaarrííttmmiiccaa
• Sea a un número positivo con . La
función logarítmica con base a, denotada por
, se define
Así, es el exponente al que se debe
elevar la base a para dar x.
20
a ¹1
loga
x y ay x
a log = Û =
x loga

21. CCoommppaarraacciióónn
21
Comparemos la forma Exponencial y la forma Logarítmica
Logarítmica: Exponencial:
Exponente
ay =x
x y a log =
Base
Exponente
Base
EEnn aammbbaass ffoorrmmaass llaa bbaassee eess llaa mmiissmmaa..

22. Ejemplo
Formas logarítmicas y exponenciales
22
FFoorrmmaa LLooggaarrííttmmiiccaa FFoorrmmaa EExxppoonneenncciiaall
log 100000 5 10 =
log 8 3 2 =
log 1 2 = -
3
2
s = r 5 log
105 =100000
23 = 8
8 1
2-3 =
5r = s

23. EEvvaalluuaacciióónn ddee llooggaarrííttmmooss
23
log 1000 3 10 =
log 32 5 2 =
log 0.1 1 10 = -
log 4 1 16 =
2
103 =1000
25 = 32
0.1
10-1 = 1 =
10
1 =
162 4

24. Propiedad ddee llooss llooggaarrííttmmooss
Propiedad Razón
Se debe elevar a a la potencia 0
para obtener 1.
Se debe elevar a a la potencia 1
para obtener a.
ax
Se debe elevar a a la potencia x
para obtener .
es la potencia a la cual se
x a log
debe elevar a para obtener x.
© copywriter 24
log 1 = 0 a
log a =1 a
ax x
a log =
aloga x = x

25. EEjjeemmpplloo
AApplliiccaacciióónn ddee llaass pprrooppiieeddaaddeess llooggaarrííttmmiiccaass
25
= Propiedad 1
log 1 0
5
=
log 5 1
8
5
=
log 5 8
5
log 12
5 =
5 12
Propiedad 2
Propiedad 3
Propiedad 4

26. EEjjeemmpplloo
GGrraaffiiccaacciióónn ddee ffuunncciioonneess llooggaarrííttmmiiccaass
Para construir una tabla de valores, se eligen los valores para x
como potencias de 2 de modo que pueda hallar con facilidad sus
logaritmos.
26
f x x 2 ( ) = log
Traza la gráfica de
Solución:
f x x 2 ( ) = log
x
x 2 log
3
2
1
0
-1
-2
-3
23
22
21
20 =1
2-1
2-2
2-3

27. FFaammiilliiaa ddee FFuunncciioonneess
LLooggaarrííttmmiiccaass
27
y x 2 = log
y x 3 = log
y x 5 = log
y x 10 = log

28. LLooggaarrííttmmooss CCoommuunneess
VVeeaammooss llooggaarrííttmmooss ccoonn bbaassee 1100
28
Definición:
LLooggaarrííttmmoo ccoommúúnn
El logarítmo con base 10 se llama logarítmo común y se
denota omitiendo la base:
x x 10 log = log

29. De la definición de logarítmo se puede encontrar facílmente que:
29
log 10 = 1
log 100 = 2
Cómo se calcula log 50?
No tenemos un número tal que 10y = 50
, 1 es pequño y 2 es
demasiado grande.
1 log 50 2 5 < <
Las calculadoras científicas tienen una tecla equipada que da los
valores de manera directa de los logaritmos comunes.

30. Ejemplo
Evaluación de logarítmos comunes
30
Use uunnaa ccaallccuullaaddoorraa ppaarraa hhaallllaarr llooss vvaalloorreess aapprrooppiiaaddooss ddee
ff((xx)) == lloogg xx,, uussee llooss vvaalloorreess ppaarraa bboossqquueejjaarr uunnaa ggrrááffiiccaa..
x Log x
0.01
0.1
0.5
1
4
5
10
-2
-1
-0.30
0
0.602
0.699
1
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 5 6
f (x) = log x

31. Propiedades de los logarítmos naturales
Propiedad Razón
ln1 0 Se tiene que elevar e a la potencia 0
Se tiene que elevar e a la potencia x
para obtener e x .
© copywriter 31
e
=
=
ln 1
x
e x
x
=
ln
e =
x
ln
para obtener 1.
Se tiene que elevar e a la potencia 1
para obtener e.
ln x es la potencia a la cual e debe
ser elevada para obtener x.

32. Ejemplo
Elevar la función logaritmo natural
© copywriter 32
a ) ln
e
) ln 1
ö çè
) ln 5
2
8
c
e
b
÷ø
æ
= 8
= ln e-2 = -2
»1.609
Definición de
logarítmo natural
Definición de
logarítmo natural
Uso de la
calculadora

33. 33
Funciones LLooggaarrííttmmiiccaass

34. LLeeyyeess ddee llooss llooggaarrííttmmooss
34
EEnn eessttaa sseecccciióónn ssee eessttuuddiiaann llaass pprrooppiieeddaaddeess ddee
llooss llooggaarrííttmmooss.. EEssttaass pprrooppiieeddaaddeess ddaann aa llaass
ffuunncciioonneess llooggaarrííttmmooss uunnaa aammpplliiaa vvaarriieeddaadd ddee
aapplliiccaacciioonneess..
YYaa qquuee llooss llooggaarrííttmmooss ssoonn eexxppoonneenntteess,, llaass
lleeyyeess ddee llooss eexxppoonneenntteess ddaann lluuggaarr aa llaass lleeyyeess
ddee llooss llooggaarrííttmmooss..

35. Leyes ddee llooss llooggaarrííttmmooss
= + El logarítmos de un producto de
35
Leyes de los logarítmos
SSeeaa aa uunn nnúúmmeerroo ppoossiittiivvoo,, ccoonn a ¹ 1
.. SSeeaa AA,, BB yy CC nnúúmmeerrooss
rreeaalleess ccuuaalleessqquuiieerraa ccoonn A > 0yB > 0
..
LLeeyy DDeessccrriippcciióónn
AB A B
1) log ( ) log log
a a a
A B
A
ö çèæ
- = ÷ø
2) log log log
a a a
B
(A c
) C A
a
3) log log
a
=
números es la suma de los
logarítmos de los números.
El logarítmo de un cociente de
números es la diferencia de los
logarítmos de los números.
El logarítmo de una potencia de
un número es el exponente
multiplicado por el logarítmo de
número.

36. EEjjeemmpplloo
UUssoo ddee llaass lleeyyeess ddee llooss llooggaarrííttmmooss ppaarraa eevvaalluuaarr eexxpprreessiioonneess
36
Evalúe cada expresión:
+
) log 2 log 32
4 4
a
) log 80 log 5
b
) 1
2 2
log8
3
-
-
c

37. EEjjeemmpplloo
UUssoo ddee llaass lleeyyeess ddee llooss llooggaarrííttmmooss ppaarraa eevvaalluuaarr eexxpprreessiioonneess
37
log (2.32)
4
= =
log 64 3
4
=
) log 2 log 32 4 4 a +
Propiedad utilizada:
AB A B a a a 1) log ( ) = log + log

38. EEjjeemmpplloo
UUssoo ddee llaass lleeyyeess ddee llooss llooggaarrííttmmooss ppaarraa eevvaalluuaarr eexxpprreessiioonneess
38
) log 80 log 5 2 2 b -
log 80
5
2
= =
log 16 4
2
=
A B
Propiedad utilizada:
A
ö çè
2 ) log = log - ÷ø
log a B
a a æ

39. EEjjeemmpplloo
UUssoo ddee llaass lleeyyeess ddee llooss llooggaarrííttmmooss ppaarraa eevvaalluuaarr eexxpprreessiioonneess
39
c) -1
log8
3
= -
log8
log 1
1 3 3 3 3
log 1
ö çè
0.301
1
1
1
log(1) log(2)
2
2
2
8
8
3
1
» -
- = ÷ø
= æ
ö
÷ ÷ø
ç çè æ
= = = =
Propiedad utilizada:
(A c
) C A a
a 3) log = log

40. EEjjeemmpplloo
EExxppaannddiirr eexxpprreessiioonneess llooggaarrííttmmiiccaass
40
Use las leyes de logarítmos para expandir o desarrollar cada
expresión.
a x
) log (6 )
( )
2
b ) log
x y
c ab
ö çèæ
÷ø
3
3 6
5
) ln
c
x
= log 6 + log
Ley 1
2 2
x y
= +
log log
x y
= +
3log 6log
5 5
ab c
= -
a b c
= + -
ln ln ln
ln ln 1
a b c
ln
3
ln( ) ln
1 3
3
3
5
3
5
= + -
Ley 1
Ley 3
Ley 2
Ley 1
Ley 3

41. EEjjeemmpplloo
CCoommbbiinnaarr eexxpprreessiioonneess llooggaarrííttmmiiccaass
3 1 2 2 4
s t t
ln ln ln( 1)
41
Combinar en un solo logarítmo, la siguiente expresión:
a)3log x + 1 x +
log( 1)
2
3 1 2
x x
= + +
log log( 1)
= 3 +
1 2
x x
log( ( 1)
b)3ln s + 1 t - t2 +
ln 4ln( 1)
2
= + - +
3 1 2 2 4
s t t
= - +
ln( ) ln( 1)
ö
s t
= +
( ) ÷ ÷
ø
æ
ç ç
è
2 4
+
3
1
ln
t

42. CCaammbbiioo ddee bbaassee
• Sea:
• Entonces se forma de manera exponencial:
• Se toma el logarítmo base a en cada lado:
• Ley 3 de logarítmo:
• Se divide entre ambos logarítmos:
42
y x b = log
by = x
(b y
) x a
a log = log
y b x a a log = log
y x
b
a
a
= log
log

43. Fórmula ddee ccaammbbiioo ddee bbaassee
43
y x
b
a
a
=log
log
log a =1 a
Por consiguiente, si x = a, entonces y esta fórmula
se convierte en:
b
log a
= 1
a
b log

44. Fórmula ddee ccaammbbiioo ddee bbaassee
EEvvaalluuaarr llooggaarrííttmmooss ccoonn llaa ffóórrmmuullaa ddee ccaammbbiioo ddee bbaassee
44
a
) log 5
8
Se usa la fórmula de cambio de base con b = 8 y a = 10:
log 5 log 5
8 = »
) log 20
9
b
0.77398
10
log 8
10
Se usa la fórmula de cambio de base con b = 9 y a = e:
1.36342
log 20 ln 20 9 = »
ln 9
Nota: Se tiene la
misma respuesta si
se usa ó ln. 10 log

45. Ecuaciones EExxppoonneenncciiaalleess yy
LLooggaarrííttmmiiccaass
45

46. EEccuuaacciioonneess
eexxppoonneenncciiaalleess yy llooggaarrííttmmiiccaass
• Una ecuación exponencial es aquella en la que
la variable ocurre en el exponente.
• Por ejemplo:
• La variable x representa una dificultad por que esta en el
exponente. Para tomar este caso se toma el logarítmo en
cada lado y luego se usan las reglas de los logarítmos.
Veamos:
46
2x = 7

47. EEccuuaacciioonneess
eexxppoonneenncciiaalleess yy llooggaarrííttmmiiccaass
47
2x = 7
=
ln 2 ln 7
=
ln 2 ln 7
x
x
2.807
x = ln 7 »
ln 2
Recuerde la regla 3

48. Normas para resolver eeccuuaacciioonneess eexxppoonneenncciiaalleess
1) Aísle la expresión exponencial en un lado de la
ecuación.
2) Tome el logarítmo de cada lado, luego utilice las leyes
de los logarítmos para “bajar el exponente”.
3) Despeje la variable.
48

49. Ejemplo
Resolver una ecuación exponencial
49
Encuentre la solución de:
Solución:
3x+2 = 7
3x+2 = 7
log(3x+2 ) = log 7
(x + 2) log3 = log 7
(x + 2) = log 7
log3
x = log 7 - » -
2 0.228756
log3
Si verificas en tu calculadora:
3(-0.228756)+ 2 » 7

50. EEjjeemmpplloo
RReessoolluucciióónn ddee uunnaa eeccuuaacciióónn eexxppoonneenncciiaall
50
Resuelva la ecuación:
Solución:
8e2x = 20
8e2x = 20
e2x = 20
8
ln e2x = ln 2.5
2x = ln 2.5
0.458
x = ln 2.5 »
2
Ojo:
El, ln e = 1
Si verificas en tu calculadora:
8 20 e2(0.458) »

51. EEjjeemmpplloo
RReessoollvveerr uunnaa eeccuuaacciióónn eexxppoonneenncciiaall eenn ffoorrmmaa aallggeebbrraaiiccaa yy hhaazz
llaa ggrrááffiiccaa
Resuelva la ecuación: AAllggeebbrraaiiccaammeennttee
Solución (1):
51
e3-2x = 4
e3-2x = 4
ln(e3-2x ) = ln 4
3- 2x ln(e) = ln 4
1
3- 2x = ln 4
2x = 3- ln 4
x = 1 - »
(3 ln 4) 0.807
2

52. 52
EEjjeemmpplloo
RReessoollvveerr uunnaa eeccuuaacciióónn eexxppoonneenncciiaall eenn ffoorrmmaa aallggeebbrraaiiccaa yy hhaazz
llaa ggrrááffiiccaa
Resuelva la ecuación:
e3-2x = 4
Solución (2):
-2x Se gráfican las ecuaciones, y = e3y
y = 4
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 5 6
y = 4
y = e3-2x

53. 53
EEjjeemmpplloo
UUnnaa eeccuuaacciióónn eexxppoonneenncciiaall ddee ttiippoo ccuuaaddrrááttiiccoo
Resuelva la ecuación:
Solución:
e2x - ex - 6 = 0
e2x - ex - 6 = 0
(ex )2 - ex - 6 = 0
(ex - 3)(ex + 2) = 0
ex - 3 = 0 o ex + 2 = 0
ex = 3 ex = -2

54. 54
EEjjeemmpplloo
RReessoollvveerr uunnaa eeccuuaacciióónn eexxppoonneenncciiaall
Resuelva la ecuación:
3xex + x2ex = 0
Solución: Primero se factoriza el lado izquierdo de la ecuación.
3xex + x2ex = 0
xex (3+ x) = 0
x(3+ x) = 0
Se divide entre
ex
Las soluciones son:
x = 0 3+ x = 0
x = -3

55. EEccuuaacciioonneess LLooggaarrííttmmiiccaass
Una ecuación logarítmica es aquella en la ocurre un logarítmo de la
variable.
log ( 2) 5 2 x + =
55
Para despejar x, se escribe la ecuación en forma exponencial.
x +2 =25 =32-2 =30
Otra forma de considerar el primer paso es elevar la base, 2, a cada
la de ecuación.
2log2 ( x+2) =25
x +2 =25
x =32-2 =30
Los pasos se resumen a continuación.

56. 56
Normas para resolver ecuaciones
logarítmicas
1)Aísle el término logarítmico en un lado de la
ecuación; podría ser necesario combinar
primero los términos logarítmicos.
2)Escriba la ecuación en forma exponencial (o
eleve la base a cada lado de la ecuación).
3)Despeje la variable.

57. 57
EEjjeemmpplloo
RReessoollvveerr eeccuuaacciioonneess llooggaarrííttmmiiccaass
De cada ecuación despeje x.
a ) ln x
=
8
ln x = 8
x = e8
x » 2981
b x
2 - =
) log (25 ) 3
25 - 7 = 23
25 - x = 8
x = 25 -8 =17

58. 58
EEjjeemmpplloo
RReessoollvveerr uunnaa eeccuuaacciioonn llooggaarrííttmmiiccaa
Resuelva la ecuación: 4 + 3log(2x) =16
SSoolluucciióónn:: SSee aaííssllaa pprriimmeerroo eell ttéérrmmiinnoo llooggaarrííttmmiiccoo.. EEssttoo ppeerrmmiittee
eessccrriibbiirr llaa eeccuuaacciióónn eenn ffoorrmmaa eexxppoonneenncciiaall..
4 + 3log(2x) =16
3log(2x) =16 - 4
3log(2x) =12
log(2x) = 4
2x =104
2x =10000
x = 5000

59. 59
EEjjeemmpplloo
RReessoollvveerr uunnaa eeccuuaacciióónn llooggaarrííttmmiiccaa ddee mmaanneerraa
aallggeebbrraaiiccaa yy ggrrááffiiccaa
Resuelva la ecuación (1): log(x + 2) + log(x -1) =1
log[(x + 2)(x -1)] =1
(x + 2)(x -1) =10
x2 +x -2 =10
x2 +x -12 =0
(x + 4)(x -3) = 0
x = -4, x = 3

60. 60
EEjjeemmpplloo
RReessoollvveerr uunnaa eeccuuaacciióónn llooggaarrííttmmiiccaa ddee mmaanneerraa
aallggeebbrraaiiccaa yy ggrrááffiiccaa
Resuelva la gráfica (2): log(x + 2) + log(x -1) -1 = 0
y = log(x + 2) + log(x -1) -1
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 5 6

61. 61
EEjjeemmpplloo
RReessoollvveerr uunnaa eeccuuaacciióónn ddee mmaanneerraa ggrrááffiiccaa
Resuelva la ecuación: x2 = 2ln(x + 2)
SSoolluucciióónn:: PPrriimmeerroo ssee mmuueevveenn ttooddooss llooss ttéérrmmiinnooss aa uunn llaaddoo ddee llaa
eeccuuaacciióónn..
x2 - 2ln(x + 2) = 0
LLuueeggoo ssee hhaaccee llaa ggrrááffiiccaa:: y = x2 - 2ln(x + 2)
4
3
2
1
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 5 6