Este documento describe las expresiones matemáticas para el gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano en coordenadas curvilíneas ortogonales. Explica que estas expresiones son invariantes bajo cambios de coordenadas y son importantes para expresar ecuaciones que gobiernan fenómenos físicos. Luego presenta las fórmulas para calcular cada uno de estos operadores vectoriales en términos de las coordenadas curvilíneas.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD.
ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES
MÉTODOS MATEMÁTICOS
PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL
CAPÍTULO TRES: SISTEMAS DE COORDENADAS
CURVILÍNEAS ORTOGONALES.
LECCIÓN OCHO.
Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano en coordenadas curvilíneas ortogonales.
Una de las principales ventajas de expresar una ecuación que gobierna determinado fenómeno, en términos del
gradiente, la divergencia, el rotacional o el laplaciano, es que un cambio en el sistema de coordenadas no
modifica la forma de la ecuación en cuestión. Por ejemplo, en un sistema cartesiano una ley dada se expresa por
&
la ecuación, div(q ) 0 , esta ecuación será invariante para cualquier sistema de coordenadas sea cartesiano o
&
curvilíneo. Lo que puede cambiar es la forma de la expresión de div(q ) . Así, es de mucha importancia el
conocimiento de las ecuaciones que expresan el gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano en
sistemas de coordenadas curvilíneas. De ecuaciones ya vistas en el curso se puede obtener:
* Para el gradiente de una función escalar M M([ 1 , [ 2 , [ 3 ) :
&
a i wM
’M suma en i, i 1,2,3
h i w[ i
Donde el componente i de grad(M) es:
1 wM
(’M) i no es suma en i
h i w[ i
& &
*Para la divergencia de una función vectorial V V([ 1 , [ 2 , [ 3 ) :
w§ 1 2 3 i h ·
h h h V
& ¨ ¸ ª w( h 2 h 3 Vi ) w( h 1 h 3 Vi ) w( h 1 h 2 Vi ) º
’V
1 © i¹ 1
« »
h 1h 2 h 3 w[ i h 1h 2 h 3 ¬ w[ 1 w[ 2 w[ 3 ¼
* Para el rotacional de una función vectorial V V([ 1 , [ 2 , [ 3 ) :
’ u V

2. 1
h 1h 2 h 3
a i h i H ijk
w( h k Vk )
w[ j
suma en i, j y k de 1 a 3.
O escribiendo solamente el componente i del rotacional:
’uV i

3. 1
h 1h 2 h 3
h i H ijk
w( h k Vk )
w[ j
suma en j y k de 1 a 3, pero no suma en i
* Para el operador laplaciano:
1 w § h 1h 2 h 3 w ·
¨ ¸
’ ˜’ ’2 suma en i de 1 a 3
h 1 h 2 h 3 w[ i ¨ h i2
© w[ i ¸
¹
1 ª w § h2h3 w · w § h 1h 3 w · w § h 1 h 2 w ·º
’2 « ¨
¨ h ¸ ¨
¨ h w[ ¸ w[ ¨ ¸»
h 1h 2 h 3 « w[ 1
¬ © 1 w[ 1 ¸ w[ 2
¹ © 2
¸
2 ¹ 3
¨ h
© 3 w[ 3 ¹»
¸
¼
1