Este documento presenta los conceptos matemáticos de gradiente, divergencia y rotacional de funciones escalares y vectoriales en coordenadas cartesianas. Explica cómo estas entidades se definen mediante el operador nabla y cómo se aplican a funciones escalares y vectoriales. También presenta fórmulas y teoremas relacionados con estas operaciones y los teoremas de Gauss y Stokes sobre integrales de funciones vectoriales sobre volúmenes y superficies.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD.
ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES
MÉTODOS MATEMÁTICOS
PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL
CAPÍTULO DOS: CÁLCULO VECTORIAL
LECCIÓN CINCO.
El gradiente, la divergencia y el rotacional en coordenadas rectangulares.
Un modo simple y abreviado para escribir las ecuaciones que describen a los fenómenos de transporte es a
través del uso de entidades matemáticas denominadas “gradiente de una función escalar”, “divergencia de una
función vectorial” y “rotacional de una función vectorial”. La principal ventaja de utilizar estas entidades es que
las ecuaciones son invariantes como las transformaciones de coordenadas espaciales. Estas entidades son
definidas por medio de un operador vectorial diferencial denominado “nabla”, denotado por ’ , cuya definición
operacional en coordenadas rectangulares es:
w
’ ei i 1,2,3
wx i
x 1 x, x 2 y, x 3 z
Gradiente de una función escalar:
Sea f(x1,x2,x3) una función escalar, definida y derivable en todo su dominio. El gradiente de f(x1,x2,x3) es una
función vectorial obtenida aplicando el operador ’ a la izquierda de f(x1,x2,x3).
& wf
’f e i
wx i
O escribiendo solamente el componente i del vector ’ f.
wf
(’f ) i i 1,2 , 3
wx i
Divergencia de una función vectorial:
& &
Sea V( x 1 , x 2 , x 3 ) una función vectorial, definida y derivable en todo su dominio. La divergencia de V es una
&
función escalar obtenida aplicando el operador ’ a la izquierda de V( x 1 , x 2 , x 3 ) , por medio de multiplicación
escalar:
& wVi
’V( x 1 , x 2 , x 3 )
wx i
Rotacional de una función vectorial:
& &
Sea V( x 1 , x 2 , x 3 ) una función vectorial, definida y derivable en todo su dominio. El rotacional de V es una
&
función vectorial obtenida aplicando el operador ’ a la izquierda de V( x 1 , x 2 , x 3 ) , por medio de
multiplicación vectorial:
& & wVk
’ u V e i H ijk
wx j
O escribiendo solamente el componente i:
&
’ u V

2. i H ijk
wVk
wx j
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Formulas y teoremas:
Sean M y dos funciones escalares y V y W dos funciones vectoriales de x1, x2 y x3. Entonces se cumple:
grad(M ) grad(M) grad( )
div( V W ) divV divW
rot( V W ) rotV rotW
grad(M ) gradM Mgrad
div(MV ) VgradM MdivV
rot(MV ) gradM u V MrotV
rot( V u W ) ( W’ )V W(’V ) ( V’ )W V(’W )
grads( VW ) ( W’ )V ( V’ )W W u (’ u V ) V u (’ u W )
w 2M w2M w2M
div(gradM) ’ 2 M 2
tambien llamado operador ’ 2 u operador Laplaciano (’ 2 M),
wx 1 wx 2
2 wx 2
3
ó Laplaciano de M.
rot(gradM) 0
div(rotV) 0
rot(rotV) grad(divV) - ’ 2 V
Integrales que involucran funciones vectoriales.
En la descripción de los fenómenos de transporte es frecuente la ocurrencia de integrales que involucran
términos vectoriales. Sea F F( x 1 , x 2 , x 3 ) una función vectorial definida en una región : o sobre una superficie
6 o sobre una curva * :
I ³³³ F( x 1 , x 2 , x 3 )dV
:
³³ F( x 1 , x 2 , x 3 )ndA
6
W ³ F( x 1 , x 2 , x 3 )dr
*
Donde dV, dA y dr son respectivamente elementos de volumen en : , de área 6 y de vector de localización
sobre * y n el vector normal a la superficie 6 . La primera integral es un vector y las dos últimas escalares. Si la
superficie 6 y la curva * fuesen cerradas, las dos últimas integrales se denotan respectivamente como:
³³ F( x 1 , x 2 , x 3 )ndA
6
W ³ F( x 1 , x 2 , x 3 )dr
*
Teorema de la divergencia de Gauss y teorema de Stokes.
Sea : un volumen cuya superficie de contorno es 6(:) y sea F F( x 1 , x 2 , x 3 ) una función definida en el
interior y sobre 6 , entonces el teorema de la divergencia de Gauss garantiza que:
³³ F( x 1 , x 2 , x 3 )ndA ³³³ divF( x 1 , x 2 , x 3 )dV
6( : ) :
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Sea 6 una superficie abierta cuyo contorno es una curva simple (curva sin intersecciones) * , y sea
F F( x 1 , x 2 , x 3 ) una función vectorial definida sobre 6 , entonces el teorema del rotacional de Stokes garantiza
que:
³ F( x 1 , x 2 , x 3 )d r @
³³ rot F( x 1 , x 2 , x 3 ) ndA
*( 6 ) 6
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