Cap4 sp 99-123-2011 i

Cuaderno de Actividades: Física I

4) Dinámica de un sistema de
partículas

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 99


4) Dinámica de un sistema de partículas
r
4,1) Cantidad de movimiento p de un sistema de partículas

n partículas r r r r r
psp ≡ p ≡ p1 + p2 + K + pn
r
mi
≡ ∑ pi
i
r
vi

r i≡n r r m
p ≡ ∑ mi vi u [ p ] ≡ kg
i ≡1 s

rr
4,2) Impulso de una fuerza, I F

Definición: Es una CFV que considera el efecto integral de la fuerza en el
tiempo.

r
F rr tf r
I t1F t2 ≡ ∫ Fdt
→ ti

m

r uur
Caso particular: F ≡ cte

rr r
I t1F t2 ≡ F ∆ , ∆ ≡ t 2 −t1
→ t t

r
u  I  ≡ Ns
 



( )
rF r
r
4,3) R ≡ R I R, p

El impulso de la fuerza resultante se relaciona con los cambios de la
cantidad de movimiento lineal de tal forma que tendríamos otra forma
alternativa de expresar la segunda ley de Newton, en este caso, para fuerzas
que dependen del tiempo.

r
F ≡ FR
rFr r
I 1 partícula p

r r
r
 dp  r
I FR
≡ ∫ FR dt ≡ ∫   dt ≡ ∆p
 dt 

rr r
I F ≡ ∆p

Este resultado que puede entenderse para una partícula puede extenderse
para un SP, veamos, la fuerza resultante sobre cada partícula podría
considerarse constituida por una fracción interna y externa, la parte interna de
estas fuerzas, es decir, entre las partículas del SP, se cancelarían en estricto
cumplimiento de la Tercera Ley de Newton, quedando solo la fuerza resultante
externa actuando sobre el SP, por lo tanto,

SP
rFr r
I R r p rFr
r
r I R , EXT ≡ ∆p
FR ≡ FR ,EXT

r r uur r FR , EXT r
r
Según la última ecuación para que el p ≡ pSP ≡ cte el I ≡o,

r r uur r FR ,EXT r
r
p ≡ pSP ≡ cte ← I ≡o

r
Esto quiere decir que para un SP donde no exista FR , EXT o el efecto integral de
r
ella se cancele, el pSP deberá de conservarse.



4,4) Centro de masa de un SP, CM

Sea un sistema de partículas de “n” partículas,

r r r
r m1r1 + K + mi ri + K + mn rn
rcm ≡
m1 + K + mi + mn

r 1 r 1 r
∑ mi ri ≡
M∫
rcm ≡
M
ρ dv r
i

r 1 r 1 r
∑m v ≡
M∫
vcm ≡
M
i i ρ dv v
i

r 1 r 1 r
∑mi ai ≡
M∫
acm ≡
M
ρ dv a
i

¿Como se vincula el CM con el SP?

En el contexto cinemático,

r r r
p ≡ psp ≡ ∑ mi vi ⇔ CM
i

r 1 s
vcm ≡ { p} →
r r
p ≡ M vcm
M

Y en el dinámico,

r r d r d r r r r
FR ≡ FR ,ext ≡ p ≡ (mvCM ) ≡ M acm → FR ,ext ≡ M acm
dt dt



De estos resultados se puede inferir rápidamente que le SP puede
r
reemplazarse por una partícula con la masa del SP, M, moviéndose según rcm ,

r r r
FR p ≡ mv r
FR ,CM
r
vCM
mi
≡
M CM

Observaciones:

i) Ahora, si i → ∞: SP continuo ≡ cuerpo (CR): Σ→∫
En las sumas discretas las mi son reemplazadas por ρ dv , donde
ρ : densidad volumétrica de masa
dv: elemento de volumen

ii) En muchos casos es recomendable hacer la descripción del fenómeno
desde el sistema CM, debido a que las ecuaciones pueden simplificarse
r
r r
sustancialmente ,por ejemplo, la vCM siempre es cero, esto es, v 'CM ≡ 0 .

¿? Como describo el CM en base a simetrías del SP (cuerpo)

¿? El CM da información acerca de como esta distribuida la masa del SP

¿? Se puede calcular el CM de manera sencilla

¿? Como interviene el CM en el movimiento de los cuerpos

¿? Como utilizamos el CM en nuestra vida cotidiana

¿? Intervendrá en CM en otros campos de la Física

¿? Se usara CM tecnológicamente



4,5) Energía para un sistema de partículas

i) Energía Cinética, Ek

1
Ek ≡ Ek , sp ≡ ∑Ek ,i ≡ ∑ mi vi2
i i 2

Relación entre Ek,0 y Ek,cm

1 2
Ek ,o ≡ Mvcm + Ek ,cm
2

ii) Energía Potencial, Ep

E p , sp ≡ E p ≡ ∑E p ,i
i

Si la E p ,i fuese E pg ,i , entonces, E pg ≡ ∑E pg ,i ≡ MgzCM
i

iii) Energía Mecánica, EM

EM , sp ≡ EM ≡ ∑EM ,i
i

4,6) Momento Angular, L



r
L → descripción rotacional de los movimientos
r r
rr
F → rotaciones… τ F ≡ τ FR ,ext

i) L para una partícula
m
r
v
r r r r r r
r 
L0 ≡ r xp ≡ mr xr

0

LAB ≡ FIJO

ii) L para un SP

r r r r r r r
L ≡ Lsp ≡ ∑Li ≡ ∑ri xpi ≡ ∑mi ri xri

i i i

r r
Relación entre Lo y Lcm

0

≡ CM

r r r r

Lo ≡ MrCM xrCM + LCM

4,7) Torque para un sistema de partículas,τ



i) n =1

m
•
r
r r r r
r τ 0 = rxF
0 F

ii) n partículas

m1 ° mi r n
r n
r r
τ 0 = ∑τ i = ∑ ri xFi
r i =1 i =1
0 ri
r
Fi

r r
Relación entre τ y L

r r r d r
p → L : rotacional, están vinculados por FR = p
dt
r rr
F → τ F : rotacional, están vinculados por ¿?

r r
R = R ( L,τ )

r
r d r r dL
τR = L → τ R ,ext =
dt dt o

r r
Esta ecuación simple que vincula a τ y L es valida cuando,

i) O: fijo en el espacio
ii) O: el CM, 0 = 0’ =CM
iii) O:v0 // vcm ; ‘0’ se mueve // al cm



r d r d r r r r r
Ahora, de ii) FR ,ext = p = { mv } = m { a} = Ma cm , esto es, FR ,ext = Macm ,
dt dt
esta ecuación también debe de cumplirse para mostrar la simetría
completa entre lo trasnacional y lo rotacional.
Para ciertas direcciones especiales se cumple,

r r
L = Iw ejes principales de inercia

I: momento de inercia

r r
τ R ,ext = I α

Los momentos de inercia son, por lo tanto, equivalentes a las masas,
dan información acerca de la oposición que muestra un SP (cuerpo) a
las rotaciones en ciertas direcciones, también están fuertemente ligados
a la simetría del SP (cuerpo) así como a la distribución de las masas, por
supuesto.

El I para un SP en cierta dirección dada por el eje ξ, se determina de la
siguiente forma,

ξ

ri mi I ξ ≡ ∑ mi ri 2
i



S4P22) La figura muestra un sistema de dos partículas en el instante inicial ( t
r
j (ˆ r
) ( )
= 0 s), donde r1 = 4i + 3 ˆ + 2k m, r2 = 5i + 12 ˆ m, m1 = 2m2 = 1kg y las
ˆ ˆ j
r ˆ r ˆ j ˆ
velocidades en función del tiempo son v1 = tk m/s y v2 = 5ti − 6 ˆ + k ( )
m/s. Halle para t = 1 s,
a) El centro de masa
b) La fuerza sobre el sistema
c) El momentum angular respecto de O
d) El momentum angular del centro de masa
e) El momento de inercia respecto del eje z.
f) La energía cinética respecto del centro de masa
g) La energía cinética respecto de O
h) Interprete la diferencia entre c y d, también entre f y g.

SOLUCION:

r r1 (0) ≡√
v2 r2 (0) ≡√
m2 m1 ≡ 1
r m2 ≡ 0,5
r2 m1
r
v1 ≡ t k
r
r1
r
( j ˆ
v2 ≡ 5ti − 6 ˆ + k
ˆ )
r
v1

r
a) rCM ≡ ? t ≡ 1s

r 1 r r
rCM (t ) ≡ { m1r1 ( t ) + m2 r2 ( t ) }
M

r r r r
b) F ≡ ?, F ≡ f1 + f 2

r r
c) L ≡ L0
r r r r r r r
L ≡ L1 + L2 ≡ m1 ri xv1 + m2 r2 xv 2 / t ≡ 1



r r r
d) LCM ≡ L0' ≡ L′
r r
r  ≡ m1v1 + m2 v 2 / t ≡ 1
r
vCM ≡ rCM
m1 + m2

e) I = ¿?

f) Ek del sistema de partículas / o’ ≡ CM

Ek ≡ Ek,CM

1 1
Ek ,cm ≡ m1v '1 + m2v '2
2 2

2 2

cm ≡ móvil:
r r r r
v '1 ≡ v1,cm ≡ v1 − vcm

r r r
v1 ≡ v0′ / 0 + v '1

r r r
v '2 ≡ v2 − vcm

1
Ek ,cm ≡ Ek − MvCM
2

2

1 1
Ek ≡ m1v12 + m2 v2
2

2 2

=√√ , t ≡ 1

g) Ek
r r 
h) c) – d): I - Icm≡ M rcm xrcm

1 2
f) – g): Ek – Ekicm ≡ m v cm
2



4,8) Aplicación importante de sistema de partículas: Choques o
colisiones.

El fenómeno es muy importante puesto que nos permite acceder a
conocimiento valioso acerca de,

→ Estructura de la materia:

Experimento de E Rutherford

α

Modelo planetario

Aceleradores de partículas: AL de Stanford, anillo del CERN (Teoría M)

P P: INF n
1012 eV

→ Caracterización de materiales:

e=√
θi=√
µ
θr=√
µ : se puede conocer!

→ Eventos de extinción masiva, EEM

Extinción de saurios.
Desaparición de la especie humana: colisión con asteroide masivo para
2027.

r
Este fenómeno es producido por fuerzas impulsivas FI , las cuales se
caracterizan por:

- Ser muy intensas 103-4 r
- ∆t: tiempo de actuación de los FIr del orden ∼ 10-3 a 10-4



Y

-FI FI
X

Línea de colisión o impacto: x

r 
En la aproximación de los FI se considera la conservación del p para todo
choque.

p ≡ cte
 
p ≡ p'

Los choques pueden clasificarse espacialmente de la siguiente manera,

i) Choques frontales o unidimensionales:

Cuando las velocidades antes y después de la colisión se encuentran en una L.
Esta línea L es la línea de colisión o impacto, Lc.

v1 v2 x

x: Línea de colisión o impacto

ii) Choques oblicuos o bidimensionales:
r
Las v de las partículas en un plano, este plano es determinado por la L de
colisión y cualquier otra L ⊥ a ella.

r r r1
v11 y p' v2

x
r r r
v1 p v2


iii) Choques Espaciales o Tridimensionales
r
v s en el R3.

Los choques también pueden describirse en función de las Ek
involucradas,

i) Choques elásticos

Ek = cte → Eki ≡ Ekf

ii) Choques inelásticos

Ek ≠ cte → Eki = Ekf + Q; Q: forma de energía no cinética, por ejemplo
energía potencial de deformación.

Es frecuente introducir el coeficiente de restitución del choque, e, cantidad
definida por Newton que valora las velocidades relativas antes y después de la
colisión,

v12 ' = −ev12 , v12 ≡ v1 − v2

Donde: e: coeficiente de restitución

v12: velocidad de 1 respecto de 2 antes de la colisión, v12 = v1-v2

v '12 : velocidad de 1 respecto de 2 después de la colisión, v’12 = v’1-v’2

v '2 − v '1
e=
v1 − v2

Esta ecuación valida para el choque frontal puede ser aplicada en el caso
bidimensional respecto de la L de colisión o impacto,



r r r
v '1 y p' v '2

r r v '2 − v '1 v '2 x − v '1x
v '1x v '2 x x e= =
v1 − v2 x
v1x − v2 x
r r r
v1 p v2
r r
v1x v2 x

r
En los choques por lo general se miden las v s o en ciertos casos las masas,

→vs =?

v '1 , v '2 = ?
r r
1) p = p ' → p = p '
r r r r
→ m1v1 + m2 v2 = m1v '1 + m2 v '2

2) Es e
Ek = Ek’ o e=1o

Ek = Ek’+Q 0≤e<1

1 2 1 2 1 1 v '2 − v '1 v ' − v '1x
Ek = mv1 + mv2 = m1v1 + m2 v2
1 2
e= = 2x
2 2 2 2 v1 − v2 x v1x − v2 x

Y
r
S4P12) Dos discos circulares A y B se están moviendo VA
sobre una superficie horizontal lisa cuando chocan r
VB
según un impacto central oblicuo, como se indica

A B X


en la figura. El disco A pesa 10 kg y el disco B 6 kg . Antes del choque
r r r
la velocidad de A fue V A = 5i + 5j m / s y la velocidad de B fue
r r r
V B = - 12i + 5j m / s .
Si el coeficiente de restitución para estos dos discos es 0,7, determine
las velocidades de los discos después del choque y el porcentaje total de
energía cinética perdida.

SOLUCION:

Y
r
VA mA = 10
r
VB mB = 6
vA = (5 i + 5 ˆ ) m/s
ˆ j
A B X vB = -12 i +5 ˆ
ˆ j
e= 0,7

a) x : Lc , se analizaran los cambios del p solo en x ,
r r r r
1°) p ≡ p ' → p = p '/ x
r r r r
mA v A + mB vB = mAv ' A + mB v 'B

{ˆ j } { ˆ j } ˆ j{ } {
10 5i + 5 ˆ + 6 −12i + 5 ˆ = 10 v ' Ax i + v Ay ˆ + 6 v 'Bx i + vBy ˆ
ˆ j }
x : 50 − 72 = 10v ' Ax + 6v 'Bx ≡ −22

v2 x − v1' x 1 = A
'

2°) e = 0, 7 = :
v1x − v2 x 2 = B

vBx − v Ax
' '
0, 7 =
v Ax − vBx

vBx − vAx
' '
= → vBx − vAx ≡ 17 × 0, 7 ≡ 11, 9
' '

{ 5} − { −12}

vBx ≡ ?
'

v Ax ≡ ?
'

r'
→ v A = v Ax i + 5 ˆ
' ˆ
j ∧ vB = vBx i + 5 ˆ
' ' ˆ
j



Ek − Ek'
b) x 100%
Ek

Ek =
1
2
2 2 1
mA { v Ax + v Ay } + mB { vBx + vBy }
2
2 2
E 'k =
1
2
{ 2 2

}1
2
2

{ 2
mA v ' Ax + v ' Ay + mB v 'Bx + v 'By }

S4P2) El sistema que se muestra esta formado por dos cuerpos A y B, unidos
por una cuerda y un resorte comprimido tal como se muestra en la
figura. Todo el sistema se mueve con velocidad constante V 0 = 6 m/s
sobre una superficie horizontal sin fricción y la energía potencial del
sistema es 27,12 J. Si se rompe la cuerda, determine la velocidad que
tiene cada cuerpo inmediatamente después de que esto sucede.
Considere mA = 0,90 kg y mB = 1,36 kg.

Y' V 'A

A
A

60° 60°
V0 '
B X’

B

V 'B

SOLUCION:

Piso horizontal liso



V0 = 6

Epe = 27,12 v 'A =?
mA = 0,9
'
mB = 1,36 v B =?

r uur r r
p ≡ cte : p ≡ p′
r r r r' r' r
p ≡ mAv A + mB vB ≡ mAv A + mB vB ≡ p '

r
EM = cte ← wFNC ≡ 0 ← FNC = N

EM = E’M

1 1 1 1
EM ≡ mAv A + mB vB + E pe = mAv '2 + mB vB
2 2
A
'2

2 2 2 2

Desde el CM:

→ v 'A , vB : Epe →Ek
'

r r
→ p ' : p desde el CM

r r r r r r r
p ' ≡ 0' ← p ' ≡ MvCM → p ' = m0 ' ≡ 0

m A v 'A ≡ m B v B (l)
'

→ E M ≡ cte
1 1
EM ≡ 0 + E pe ≡ mAv A + mB vB ≡ E 'M (ll)
'2 '2

2 2

vA ≡ ?, vB ≡ ?
' '

Calculando velocidades desde O

r r r'
v A ≡ vCM + v A



r r r'
vB + vCM + vB
r r
v A ≡ ?, vB ≡ ?

S4P4) Un niño de m kg de masa se encuentra
inicialmente parado sobre un tablón de M A B
kg de masa y L m de longitud, como X
muestra la figura. Si el niño empieza a O L



r ˆ
moverse con una v ≡ − v 0 i m/s (respecto de O) y la superficie X es lisa,
determine:
a) La velocidad del tablón (respecto de O.
b) La posición del niño (desde O) cuando llegue al extremo A del tablón.
c) La posición del tablón (punto medio del tablón) cuando el niño este en
A.
d) ¿Qué ocurre con el CM del sistema niño-tablón?

SOLUCION:

a)

V -v0
M m

o X

m 
0 ≡ MV + m(-v0) → V ≡   v0
M 

b)

-(v0 + V)

m o’

O xA X

L L ML
vn / t ≡ − ( v0 + V ) → t ≡ ≡ ≡
v0 + V v + m v v0 ( M + m )
0 0
M

t: tiempo para que el niño se desplace desde B hasta A, o sea, tiempo para que
el niño se encuentre en la posición xA. Calculamos dicha posición usando al
tablón,

 m  ML mL
→ xA ≡ V × t ≡   v0 × → xA ≡
 M  v0 ( M + m ) ( M + m)

mL L L
c) De b) xo ' ≡ + ≡ { M + 3m}
( M + m) 2 2( M + m)


d) vcm ≡ 0

S4P7) Un sistema consiste de cuatro partículas de Y
igual masa “m” que están unidas por medio
de barras rígidas de igual longitud “l” y de m
masa despreciable. El sistema está
l
inicialmente en reposo sobre una superficier
horizontal lisa. Se aplica un impulso I , X
r
como se indica en la figura, I = I i , para t r
= 0. Determine: I
r
a) La velocidad del CM, r .
cm
r
b) La velocidad angular del sistema, w .

SOLUCION:

y

m
0 x

l cm

r
I

ˆ
I ≡ Ii
r r
a) vcm ≡ ?
r FR , EXT r
r r
I ≡ I ≡ ∆P

r r r r r r
∆P ≡ P(t ) − P (0) → P ≡ { 4m} vcm − 0

r r r
r
∆P ≡ { 4m} vcm ≡ I → r
vcm ≡
I
4m



r r
b) w≡?
r r
r dL r ∆w
CM: τ R ,ext ≡ ≡ Iα ≡ I
dt ∆t
r r r r
∆t → 0 τ R ,ext ∆t ≡ ( F lk ˆ)∆t ≡ ( I )l ≡ I ∆w (Problema escalar)

{
( Fl )∆t ≡ ( F ∆t )l ≡ I l ≡ 4ml 2 } { w − 0} → w≡
I
4ml

S4P11) Una bala de masa m y velocidad v pasa a
través de la esfera de un péndulo de masa
M saliendo con una velocidad v/2. La esfera
pendular cuelga del extremo de la cuerda 0
de longitud l. ¿Cuál es el menor valor de v
para el cual la esfera complete una l

circunferencia?
v
v
2
SOLUCION:

r r r
Por conservación del L debido a que el τ R ,ext ≡ 0,
r uur
L ≡ cte

v
L ≡ mlv ≡ L ' ≡ MlV + ml
2

Asumiendo que la esfera adquiere una velocidad V inmediatamente después.
 r uur v 
 p ≡ cte : mv ≡ MV + m , ojo : IDEM 
 2 

Por conservación de la Energía. Igualando EKA ≡ E pgB ,

B



l
V
A
M

1
EKA ≡ mv 2 ≡ E pgB ≡ mg (2l ) → v ≡ 4lg
2

Con lo cual para que la esfera pueda completar la vuelta se requerirá, V > 2 gl
r uur
, y conjugando esta condición con la ecuación que se desprende de L ≡ cte ,

m mv
v ≡ MV → V ≡
2 2M

mv 4M
→ > 2 gl → v>
m
gl
2M

S4P10) Una granada de masa M está cayendo con una velocidad v0, y se
halla a una altura h, cuando explota en dos fragmentos iguales que
inicialmente se mueven horizontalmente en el sistema-CM. La
2
explosión tiene un valor Q igual a Mv0 . Determine los puntos donde
los fragmentos chocarán con el suelo con relación al punto
directamente debajo de la granada en el momento de la explosión.

SOLUCION:
y M/2 M/2
h M -v’ v’
v0 CM
CM:

x0 x
R x0 P

r r M  M 
p' ≡ 0:0 ≡   v1 '−   v2 ' → v1 ' ≡ v2 ' ≡ v '
 2   2 

1 M  1 M  M
Q ≡ M v0 ≡ 
2
 (v ') + 
2
 (v ') ≡
2
(v ') 2 → v ' ≡ 2v0
2 2  2 2  2

Ahora, el tiempo de movimiento de los fragmentos, t,



v y ( 0 ) ≡ −v0  y ( t ) ≡ y ( 0 ) + v y (0)t − 5t 2

en el eje y el CM realiza MRUV y ( t ) ≡ 0  0 ≡ h − v0t − 5t
2

y ( 0 ) ≡ h  → 5t 2 + v0t − h ≡ 0


−v0 ± v0 + 20h
2

t1,2 ≡
10

v0 + 20h − v0
2

t≡
10

Con lo que,

 v 2 + 20h − v 
 0
xR ≡ x0 − 2v 0t → xR ≡ x0 − 2v 0  0 
 10 
 

y

 v 2 + 20h − v 
 0 
xR ≡ x0 + 2v 0t → xR ≡ x0 + 2v 0  0 
 10 
 

¿? Como seria si se analizara desde O

r
O : v1 ≡ v ' i − v0 ˆ
ˆ j
r
v2 ≡ −v ' i − v0 ˆ
ˆ j

Por conservación de la energía,

1 M
1
2
Mv0 + Mv0 + Mgh ≡ 
2 2

2 2
{ v ' 2 + v02 } + M gh +  1 M { v ' 2 + v02 } + M gh
2  2 2
  2 


3 M
2
M v0 ≡
2

2
{ v ' 2 + v02 } → 2v02 ≡ v ' 2→ v ' ≡ 2 v0
…


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