Cap 3 w y e 68-84

Cuaderno de Trabajo: Física I

3)Trabajo y Energía

68
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo


3) Trabajo y Energía
r
3,1) Trabajo de una fuerza, w F

A
r
F τ
B
r
m ∆rAB
r
dr

rr r r
rB
W ≡ ∫r F ⋅ dr
F
A→ B
{ rA
1 24
4 3
τ
τ

El trabajo de una fuerza wF es una integral de línea a través de la τ.
r r
El w F dependerá del conocimiento de F ≡ F(r) en cada punto de la τ, el
r
vector dr
es un desplazamiento elemental. Como toda integral de línea se
deberá parametrizar τ.

El w F se puede “entender” como la evaluación total del efecto de la fuerza F
en el desplazamiento del cuerpo.

r uur
CASO PARTICULAR: F ≡ cte

r r r
W F
A→B ≡ F .∆rAB
τ

F⊥ F

θ
F//
69
A B
∆rAB


r
W → + ,Si F // ∆ rAB
r
W → 0 ,Si F ⊥ ∆ rAB
r
W → - ,Si F//  ∆ rAB

µ[W] ≡ Nm ≡ Joule ≡ J

3,2) Energía, E
Es la capacidad que posee un cuerpo o sistema para realizar trabajo.

Tipos de Energía:

i) Energía Cinética, Ek

Energía vinculada a la velocidad que poseen los cuerpos.

r
v
1 2
Ek = mv m
2
0

ii) Energía Potencial, Ep

Energía asociada a la configuración del sistema para la cual se define.
Es una energía que corresponde al sistema. Depende de cómo están
distribuidos los elementos del sistema.

70


i) Ep Gravitacional: Epg m2

r

m1
− G m1 m2
E pg =
r

Caso Particular de Epg:

m
→ E pg = mgh
h

NIVEL

∆Ep: √; El nivel es irrelevante!

ii) Ep Elástica, Epe

→ Sistema Elásticos
→ Sistema m – k ideal

PE: Posición de equilibrio

k

m F

0 x
m

x x

Configuración del sistema: x{x deformación del resorte)

1
E pe ≡ kx 2
2

71


∆Epe: Nuevamente la cantidad importante son los cambios de esta energía, con
lo cual la referencia no es importante.

Es posible lograr una ecuación similar de Epe para todo sistema elástico.

iii) Energía Mecánica, EM

Es la energía constituida por la energía cinética y la energía potencial de una
partícula. Observar que no es una energía que describa alguna propiedad de la
partícula. Resulta una definición conveniente, como veremos.

EM ≡ E K + E P
≡ EKT + EKR + E pg + E pe

3.3) Relaciones entre W y E, R ≡ R (W,E)
El trabajo y la energía están íntimamente conectados, reflejándose dicha
conexión en sendas relaciones comparables a la Segunda Ley de Newton por
un lado, y a Leyes de Conservación, por otro.

( )
r
i) R ≡ R W , EK FR

Esta relación es una forma elegante de la Segunda ley de Newton.

r2 r
r
r
W1→2 ≡ ∫ FR .dr
FR

r1

r r
 dv  r dv r
r

≡ ∫ m  .dr ≡ m ∫ .dr
FR
W12
 dt  dt
124
4 3
*

r ˆ
v = v x i + v y ˆ + vz k
ˆ j
r ˆ ˆ ˆ
dr = dxi + dyj + dzk

72


 dvx ˆ dv y ˆ dvz ˆ
(*) = ∫  dt i + dt j + dt

{ ˆ ˆ ˆ
k  . dxi + dyj + dzk

}
   dx = vx dt
 dvx dv y dvz  
= ∫ dx + dy + dz  ←  dy = v y dt
1 dt 3 dt
2 dt   dz = v dt
 α   z

 dv  d 1 2  1 2
α → ∫  x vx  dt = ∫  vx  dt = vx
 dt  dt  2  2

Y por simetría operacional,

1 2 1
≡
2
{ 2 2

2
}
vx + v y + v z ≡ v 2

2

W12
r
FR
r
 dv  r 1 2 
≡ ∫ m  .dr ≡ m  v 
 dt  2  1

2
= Ek 1 = ∆Ek
r
→W FR
= ∆Ek

r r r
W FK
= ∆Ek ↔ FR = ma

ii) R = R (WFNC, ∆EM)

Esta relación muestra como las Fnc son capaces de cambiar la EM mostrando
claramente su carácter no conservativo. Sin embargo, esto proporcionara las
condiciones para que dicha energía se conserve.

Fnc = Fuerza no conservativa: Esta fuerza no conserva la EM.

73


r
FNC = Trabajo de la Fnc
W
∆Q; ∆EM

50 J de Ek a 50J de Q (forma de energía no mecánica)

Conoceremos mejor a estas fuerzas mediante las Fc: Fuerzas conservativas.

Fc = Son fuerzas que conservan la EM.

Están definidas por Fc = - ∇U

∇: Operador Nabla

U: Función potencial escalar

U = Ep (Energía Potencial)

Toda Fc tendrá asociada una energía potencial: Fc ↔ Ep

r
Fc Ep
Fg ≡ W Epg
Felásticas Epe

Esto debe ser así debido a que el rotor del gradiente siempre es nulo, lo cual
significa que el trabajo de estas fuerzas, en cualquier trayectoria cerrada,
siempre es cero,
r r r
∇ × F = ∇ × (−∇U ) ≡ −∇ × (∇U ) = 0 → ∇ × (∇U ) = 0

El operador nabla se define así,
 d ˆ d ˆ d ˆ
∇≡ i + j + k
 dx dy dz 

r r
Ahora, si una fuerza es conservativa, F = Fc , entonces, deberá satisfacer de
la condición de rotor nulo,

74


∂Fx ∂Fy ∂Fx ∂Fz ∂Fy ∂Fz
≡ ∧ ≡ ∧ ≡
∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y

r r r r
Esto es, la fuerza j ˆ
F = Fxi + Fy ˆ + Fz k
ˆ deberá de cumplir simultáneamente
las tres ecuaciones en derivadas parciales cruzadas.
r
Otra forma equivalente de identificar a las fuerzas conservativas ( )
Fc es
mediante la independencia de su W según cualquier trayectoria τ.

1 Fc
r r r r
τ1 r2 F ≡ cte
τ2 2 ∫r
r1
Fc .dr ≡ W1→ 2
τ3 ∀τ

Finalmente, podríamos decir según la definición de estas fuerzas, que el
r
W FC ≡ −∆E p , ecuación que será muy útil para efecto de determinar
relaciones importantes.

Regresando a la FNC:

→ No están definidas por la ecuación Fnc = - ∇U

→ ∃ U = E p asociada

→ W FNC depende de la τ
r
→W FNC
no es evaluable por la ecuación W
FNC
≡ −∆E p

De todo lo anterior,

75


W FNC ≡ ∆ M
E

¿? Probar esta relación partiendo de la primera relación donde la
r r r
FR = Fc + Fnc .

Conservación de la EM: Para que la energía mecánica se conserve,

∆EM ≡ 0 → W FNC ≡ 0

r r
FNC → ∃ FNC ∨

∆r

→ EMi ≡ EMf

En general,

Como W
FNC
≡ ∆EM ≡ EMf − EMi , entonces,

EMf ≡ EMi +W FNC

3,4) Potencia, P
Es la cantidad física escalar que informa la rapidez de realizar trabajo o
energía.

i) Potencia media, PM:

76


W
Pm =
∆t

ii) Potencial Instantánea, P:

W  dW
P ( t ) ≡ lim   =
∆t →0  ∆t  dt

r
v ( t)
r
F ( t)

rr
P ( t ) ≡ F .v

J
u [ P] = = watt ≡ W
s

S3P18) Una pequeña piedra de 0,10 kg se deja en
libertad desde su posición de reposo en el
punto A, en el borde de un tazón hemisférico A R
de radio R = 0,60 m. Suponga que la piedra es
pequeña en comparación con R, así que V
puede tratarse como una partícula. El trabajo
efectuado por la fricción sobre la piedra al
bajar de A y B en el fondo del tazón es –0,22
J,¿Qué rapidez tiene la piedra al llegar a B?,

B
77


SOLUCION:

A R R
w = 0,1 R = 0,6 VB =?

nivel m
r
B vB

r
N f r
w: fuerza conservativa

f, N : fuerzas no conservativas.
r
w

WFnc = ∆EM, FNC ≡ f
r
W f
A→ B = EMB − EMA

EM = Ek + Epg
r
1 2
W f
A→ B = EkB − E pgA = mvB − mgR
2

2
( )
r
vB = WA→B + mgR ≡ ¿?
f

m

r
¿? Se podrá resolver usando W FR
≡ ∆Ek

2 FRr
vB = WA→B
m
r r r r
W FR
=W + W w N
+W f

↓

78


r r r
ww ≡ w.∆r = wR

2 FRr
vB = WA→B ≡ ¿?
m

S3P1) Sobre una partícula actúa la fuerza
r
( )
F ( x, y , z ) ≡ 3 x y 2 z i +  3 x 2 yz + zy  ˆ N:
ˆ 

j

r
a) ¿Es F una fuerza conservativa?
b) Si a) es afirmativo, halle la función potencial escalar, U (x,y,z).
c) Halle la energía potencial si para un problema particular U (1,0,1) ≡ 1.
d) ¿El movimiento es en el plano? Discuta.

SOLUCION:

r r
124
{ ˆ
4 3 14243
} {
F ( r ) = F ( x, y , z ) = 3xy 2 z i + 3x 2 yz + zy ˆ
j }
Fx Fy

r r
a) F → Fc ?
r r
∇× F = 0 derivadas parciales cruzadas

= ∧ = ∧ =
∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y

6xyz = 6xyz ∧ 3xy2 ≠ 0…La ultima ecuación no es correcta…la fuerza es no
conservativa!

¿? Como modifica el problema para que F sea conservativa y terminar el
problema.

S3P2) Dado el siguiente campo de fuerzas,
r
( ) ( )
F ( x, y, z ) ≡ x + x iˆ + ( 2 y + 1) ˆ + z + z k ,
2
j 3 ˆ
a) Demuestre que el campo de fuerzas es conservativo.
b) Halle la energía potencial asociada para U (1,1,1) ≡ 0.
c) De una curva de energía potencial que represente un caso físico
concreto.

79


SOLUCION:

(
4 3 124
124
ˆ ) 4 3
j
124
4 3
(
F ( x, y , z ) ≡ x 2 + x i + ( 2 y + 1) ˆ + z 3 + z k
ˆ )

a) ≡ → 0 ≡ 0, ≡ → 0 ≡ 0, ≡ →0≡0
∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y
r
F → Fc ∴∃U { ≡ E p } / F ≡ −∇U

b) U ≡ U(x,y,z)

F ≡ Fc ≡ - ∇U
r r
F .dr ≡ −∇U .dr
123

∂U ˆ ∂U ˆ ∂U ˆ r
∇U ≡ i+ j+ k ∧ ˆ ˆ ˆ
dr = dxi + dyj + dzk
∂x ∂y ∂z

r ∂U ∂U ∂U
∇U .dr ≡ dx + dy + dz ≡ dU
∂x ∂y ∂z
r r
F .dr ≡ −dU
r r
∫ : U ≡ − ∫ F .dr
r
Para determinar U se puede integrar F tal como lo indica la Ec anterior,

U ≡ − ∫ { Fx dx + Fy dy + Fz dz}
Analizando la ∫ por cada componente e introduciendo una “cte” funcional en
cada caso:

x : U ≡ − ∫ Fxdx

80


 x3 x 2 
U ≡ −∫ { }
x + x dx ≡ −  +  + cx ( y, z )
2

3 2

y : U ≡ − ∫ Fy dy

{ }
U ≡ − ∫ { 2 y + 1} dy ≡ − y 2 + y + c y ( x, z )

z : U ≡ − ∫ Fz dz

 z4 z2 
U ≡ −∫ { }
z + z dz ≡ −  +  + cz ( x, y )
3

4 2

Ahora, comparando los resultados parciales, se obtiene,

 x3 x 2   z4 z2 
{ }
U ( x, y , z ) ≡ −  +  − y + y −  +  + c ≡ E p ( x, y , z )
2

3 2 4 2
r
→ Fc ≡ −∇U ≡ Fx i + Fy ˆ + Fz k
ˆ j ˆ

Donde la constante c se determina por la condición que caracteriza al problema
físico, Ep (1,1,1) ≡ 0

1 1  1 1 
c ≡  +  + { 1 + 1} +  + 
3 2  4 2
Ep ≡ (x,y,z) / c ≡ 43/12

c) c1) Ep de un núcleo atómico

Ep

0 R r
81


c2) Ep de sistema m - k

Ep

-A A x

c3) Ep de sistema planetario o sistema atómico

Ep

r

¿? Podría proponer dos curvas más de Ep.

S3P34) El cuerpo A que pesa 4 kg se suelta A
desde el reposo sobe una superficie
circular lisa AB para después moverse
sobre la superficie horizontal BC, cuyo k 8m

C

D 12 m B
82


coeficiente de rozamiento es µ = 0,2. En el punto C está colocado
un resorte de constante k = 103 N/m:
a) Halle la normal sobre el cuerpo al pasar por B.
b) ¿Cuánto se comprime el resorte?

SOLUCION:

m=4 AB = liso k = 103
VA = 0 BC = rugoso µ = 0,2

a) NB=?

0 A

k

0 B

DCL (m) al pasar por B,
0
2
mvB
Fcp ≡ N B − w =
Fcp R
w
2
B vB
N B = w + m , w = mg
NB R
vB = ?

Analizando de A → B: WFnc ≡ 0, Fnc = N

→EmA ≡ EmB

1 2
EMA ≡ Epg A ≡ mgR ≡ EMB ≡ mvB → vB ≡ 2 gR
2

2
2 gR
N B ≡ mg + mx = 3mg
R
b) Sea la compresión dada por DE, DE=∆x?

83
C

E D


r r r
D − E : ∃ FNC ≡ f ;W FNC = f ≡ ∆EM

→ -f (12 + ∆X) ≡ EME - EMB

1 1
≡ k { ∆x} − m ( 2 gR )
2

2 2

→ a (∆x) 2 + b∆x + c ≡ 0 / f ≡ µ k mg

→ ∆x ≡ ?

84

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