1. Problemas y Retos de la
Evaluación [en/para/por]
Competencias en las
Matemáticas Escolares
Carlos E. Vasco U.
Asocolme, Bogotá
Octubre 9 de 2010

2. Cambios curriculares
En los años 70 y 80, los cambios curriculares
por objetivos generales y específicos no
produjeron resultados apreciables.
La Ley 115 de 1994 propuso un cambio
curricular para la educación básica y media
por logros e indicadores de logro, que no fue
fructífero ni afectó a la educación superior.
Circula ahora un discurso educativo centrado
en las competencias.

3. El debate a favor y en contra
de las competencias
La noción de competencia no es clara.
La noción de competencia lingüística de
Chomsky no sirve:
todos los que no tenemos daño cerebral
tenemos esa competencia.
El dispositivo de adquisición del
lenguaje DAL (“LAD” en inglés).

4. La etimología de “competencia”
Parece venir de “competir”.
En latín es “competere”,
de “cum-petere”:
“dirigirse-con”, tender hacia una meta
conjuntamente con otros.
Puede acentuarse lo competitivo o lo
cooperativo.

5. Prefiero pensar que…
La palabra “competencia” en el ámbito
educativo no viene de “competir”,
sino de “ser competente”.
Ya veremos que no es lo mismo que
“ser experto”…
pero si es lo contrario de “ser
incompetente…”

6. Dell Hymes
La noción de competencia comunicativa
de Dell Hymes sí sirve…, pero
para las competencias comunicativas,
y no puede extenderse fácilmente a
otras, en particular a las competencias
académicas, científicas y menos
todavía a las matemáticas.

7. Las competencias laborales
La noción de competencia tomada de la
certificación para los oficios
sí sirve para las competencias técnicas y
tecnológicas,
pero no puede extenderse sin más a las
competencias académicas, científicas ni
menos a las matemáticas.
Tres volúmenes muy críticos sobre el
concepto de competencia, dirigidos por
Guillermo Bustamante (2001-2003).

8. Las alternativas son…
rechazar los discursos asociados a la noción de
competencia, tanto por su vaguedad como
por venir de organismos internacionales,
o construir un concepto potente de
competencia y configurar un discurso propio
pedagógicamente productivo sobre las
competencias.
¡Yo prefiero trabajar en lo segundo!

9. Puede servir de inspiración
la idea de describir competencias
claves para la vida.
Un proyecto de la Unión Europea:
“Keycompetencies” (OECD, 1997).
2 volúmenes editados por Dominique
Rychen y Laura Salganik (2001 y 2003).

10. Hay mucho trabajo previo en
la educación básica y media
en los estándares básicos de
competencias en matemáticas;
en los estándares conjuntos de ciencias
naturales y sociales,
y en los estándares de competencias
ciudadanas, que no pueden desligarse
de las laborales, ni de las científicas, ni
de las matemáticas.

11. Va quedando claro
que en una competencia intervienen los
conocimientos (contenidos o saber-qué
y habilidades o saber-cómo),
las actitudes y motivaciones
y un tercer factor poco visible…

12. Que se debe a las reflexiones
del Dr. David Perkins y sus
colaboradores
Shari Tishman, Ron Ritchart y otros
del “Proyecto Cero” de Harvard
sobre lo que ellos llaman “dispositions”
o disposiciones, publicadas en 2000:
Educational Psychology
Review, 12(3), 269-293.

13. Un modelo para las
competencias
Una mesa de tres patas:
Aptitud (tener conocimientos
declarativos y procedimentales)
Inclinación (“actitud”: tener “buena
disposición”)
Sensitividad para detectar
oportunidades de movilizar esos
conocimientos para la acción.

14. La mesa de tres patas
.
COMPETENCIA
Inclinación
Aptitud: Sensitividad:
conocimientos Detección de
“quéycómo” oportunidades

15. No basta decir
“uso del conocimiento en contexto”,
pues en primer lugar, el uso puede ser
errado, incorrecto, aun perjudicial;
habría que agregar “uso eficaz del
conocimiento”.

16. Tampoco basta decir
“uso del conocimiento en contexto”,
pues todo uso es en contexto
y el examen también es un contexto
(precisamente un contexto de examen).
Habría que decir “uso eficaz y flexible
del conocimiento en contextos diferentes
de aquellos en los que se aprendió”.

17. Tres tipos de competencias
El ICFES ha propuesto tres tipos:
Competencias interpretativas
Competencias argumentativas
Competencias propositivas.
No parece que las propositivas puedan
medirse con pruebas de escogencia
múltiple.

18. Pero no hay duda de que
en las matemáticas escolares se
necesitan y se desarrollan
competencias interpretativas
específicas a cada registro semiótico,
y sobre todo argumentativas.
En contra de Raymond Duval, incluyo
las competencias demostrativas dentro
de las argumentativas.

19. Cinco niveles de ascenso
en la escala de novicio a experto:
1. Novicio
2. Practicante
3. Competente
4. Proficiente
5. Experto

20. Ser competente
no es pues lo mismo que ser experto.
Una cosa son los estándares básicos
de competencia,
y otra cosa son los estándares de
excelencia.
Muy pocos van a llegar a ser expertos
en matemáticas.

21. Pero si formulamos y
seleccionamos en forma cuidadosa y realista
algunas competencias en matemáticas,
podemos esperamos que la gran mayoría de
los egresados de la educación media
llegarán a ser competentes en el nivel de
comprensión y manejo del pensamiento
matemático para resolver muchos problemas
de la vida cotidiana.

22. La escalera de niveles
¡Soy competente!
Nivel de base:
Soy novicio…

23. Uno de esos niveles se
escoge como estándar:
¡Soy competente!
Grados 10 y 11
Noveno grado
Séptimo grado
Quinto grado
Primero a terecer
grado
Nivel de base:
Soy novicio…

24. Un desglose semejante
debe hacerse para las distintas
competencias matemáticas para poder
evaluarlas.
Es necesario describir cuidadosamente
cada competencia
y desglosarla en niveles de
competencia.

25. Pero una cosa es…
describir cuidadosamente cada
competencia con sus niveles,
otra cosa es enseñar para el desarrollo
de esa competencia y
otra evaluar el nivel de competencia.
Lo único que sabemos es… que no
sabemos cuál de las tres es más difícil.

26. Enseñaryevaluar
en competencias,
paralascompetencias,
porcompetencias…
Prefierodecir:
“enseñarpara el
desarrollo de
competencias”

27. y decir:
“Evaluar el
avance
en el nivel de
competencia”
Eso está bien,
pero, ¿cómo?

28. La importancia de las
preguntas del tipo
“¿Para qué sirve…”
o: “¿Para qué me
sirve…”
Por ejemplo:
… el álgebra,
… los negativos.
… la mayoría de los
temas de cada curso.

29. “Entrar en reversa”
a preparar la clase, las actividades de
enseñanza y las de evaluación.
Primero, preguntarnos para qué sirve este
contenido con relación a su posible uso flexible
y eficaz para un problema de la vida real.
Segundo, ver qué es lo que sirve, para qué, por
qué, cómo se usa o cómo se aplica.

30. Tercero,
cómo se motiva a los estudiantes para
desarrollar esa competencia.
Cuarto, cómo se les enseñan los
conocimientos declarativos y
procedimentales,
llamados también “contenidos o saber-
qué y habilidades o saber-cómo”,

31. … y un punto muy difícil:
Quinto, cómo se desarrolla la
sensitividad a las oportunidades de
utilización de lo que se sabe, y
Sexto, el más difícil de todos,
cómo se evalúa el avance en los
niveles de esa competencia.

32. El problema de la transferencia
Es difícil que los estudiantes detecten la
oportunidad de utilizar sus conocimientos en
una situación nueva.
Eso se puede lograr haciendo desde el
comienzo transferencias cercanas a distintas
situaciones suficientemente diferentes de la
primera situación tratada en clase,
pero eso requiere mucho tiempo…

33. En esa forma…
se van a cubrir menos
contenidos que los
actuales,
y los que sí se vayan a
ver, se verán como
parte de una red mucho
más amplia de lo que
llamamos “contenidos”:
conocimientos y
habilidades.

34. Por eso, en los programas
para cada nivel, grado y bimestre,
en lo relacionado con una competencia,
puede no aparecer ningún contenido
específico nuevo,
o muy pocos contenidos de los que
había en los programas de 1974.

35. El pensamiento numérico
En la educación básica primaria podemos
concentrarnos en desarrollar competencias
en el manejo de los números de contar,
y en la básica secundaria, competencias en
el manejo de los números de medir y de los
distintos sistemas métricos.
La ciencia y la tecnología exigen ese
dominio.

36. Competencia aritmética con
números de contar
Los números de contar son los
correspondientes a los numerales
verbales orales de uno en adelante,
con su modelo mental de la (semi)-fila
numérica orientada y ordenada
que se usan para enumerar conjuntos
finitos bien delimitados: N+ = N1

37. Los números de contar
también corresponden a otros registros
semióticos distintos de la lengua
materna oral, como la lengua escrita, el
registro de palotes, el romano, el
polinomial decimal indo-arábigo, etc.
No corresponden a la recta numérica
sino a la semi-fila •• • • • • • • • • • • . . .

38. N+ no es sólo un conjunto,
sino un sistema con operaciones:
las binarias, como la adición,
sustracción, multiplicación, división y
otras tres,
las unarias, como los empujadores
hacia adelante y hacia atrás, y los
multiplicadores,
y al menos ocho relaciones de orden.

39. Habilidades de conteo
Contar a partir de cualquier numeral
dado, hacia adelante y hacia atrás
y con cualquier tipo de salto de uno a
diez, de a veinte, de a cincuenta, de a
cien y de a mil.
con el fin de utilizar esos conteos para
la enumeración de conjuntos finitos bien
delimitados.

40. Se puede enumerar
sin contar:
subitizar
utilizar patrones como en el caso de los
números del dado o de los naipes
estimar aproximadamente,
o preguntarle al que sepa.

41. Pero en general,
lo mejor para enumerar un conjunto
finito es utilizar el conteo…
y el dedeo,
y fijarse en el numeral que se dice de
último.
La correspondencia uno a uno se
genera con el dedeo.

42. Competencia aditiva en N+
El estudiante es competente para
identificar situaciones en las que sea
conveniente modelar las variaciones
por el sistema aditivo de los números
de contar y obtener resultados por
medio de distintos tipos de conteo.

43. Por ejemplo,
por conteo por saltos “diá” n,
por tablas (ojalá hasta la tabla del 20),
con billetes y monedas,
con calculadora,
o con el algoritmo usual para columnas
de dos números de unas cinco cifras.

44. El “álgebra”
puede aparecer desde el preescolar en
sus tres formas puramente aditivas:
n+m = x, n+x = m, x+n = m,
que es la más difícil para los niños.
También puede aparecer
n+m = m+n como resumen de un
patrón que se repite.

45. Las restas
aparecen en las situaciones aditivas,
cuando se sabe el estado inicial y el
final, o la transición y el estado final.
Dos tipos de diferencias orientadas.
Sustracciones y complementaciones.
Al menos dos algoritmos útiles.

46. Competencia multiplicativa en
N+
El estudiante es competente para
identificar situaciones en las que sea
conveniente modelar las variaciones
por el sistema multiplicativo de los
números de contar y obtener resultados
por medio de distintos tipos de conteo;

47. por ejemplo,
conteos por saltos “diá” n,
con tablas (ojalá hasta la tabla del 12),
con billetes y monedas,
con calculadora
y con el algoritmo usual para columnas
de dos números de unas cinco cifras.

48. Otra competencia básica es
modelar mentalmente situaciones-
problema (o situaciones problemáticas)
de la vida cotidiana
con la ayuda de los sistemas de
números de medir,
para proponer, plantear y resolver
problemas solubles con ayuda de ellos.

49. También tiene tres aspectos
Los modelos mentales y el registro
verbal oral y gestual,
la mediación por la medición de
cantidades de magnitudes distintas,
y los resultados numéricos en números
de medir “con letreros o rótulos”.

50. También se prolonga a
modelar las situaciones mal llamadas
“multiplicativas”,
pues se trata de la composición de
operadores agrandadores y achicadores
y las situaciones aditivas que son
indirectas y ambiguas.

51. Esas competencias
se desarrollan desde 4° grado de
básica y aun en la media.
Diez años… y nada.
No hay competencia de resolver
problemas en general.
Ni siquiera de resolver problemas de
matemáticas en general.

52. Tampoco hay competencia
de resolver “problemas de álgebra”.
Eso es sólo una habilidad.
Una competencia matemática especial
para la básica secundaria y la media,
pero que puede comenzarse en quinto
(o aun en tercero) de primaria es:

53. Competencia aritmética
generalizada
Modelar mentalmente situaciones-problema
(o situaciones problemáticas) de la vida
cotidiana que puedan resolverse
con la ayuda de los sistemas de números
de medir y de las hojas de cálculo,
para plantear, resolver y proponer
problemas solubles con ayuda de ellos.

54. Los números de medir
Ya sabemos desde hace unos ciento
veinte años que para medir en la teoría
son necesarios los números reales, R,
pero para medir en la práctica,
en las competencias para la vida,
bastan los racionales, Q, y talvez
son suficientes los fraccionarios Q+.

55. Llamamos “fraccionarios”
a los números racionales positivos Q+,
sin ni siquiera contar el cero, ni menos
los negativos,
porque se pueden pensar como
razones entre dos números de contar
y expresar como fracciones con
numerador y denominador en N+

56. Los números de medir
conforman los sistemas conceptuales
de números racionales con sus
operaciones y relaciones,
que pueden expresarse por medio de
distintos sistemas simbólicos o registros
semióticos
verbales, decimales, fraccionales, porce
ntuales y figurales.

57. No son un solo concepto
Conforman un archipiélago conceptual:
“El archipiélago fraccionario”
No se expresan con un solo sistema, el
de las fracciones, sino con muchos
sistemas simbólicos
o registros semióticos de
representación.

58. Por ejemplo, las

59. La isla principal
del archipiélago es
la Isla de los Monstruos: hay
achicadores y agrandadores.
Pero hay otras, como la Isla de los
Partidores,
pero allí no viven los partidores físicos
sino los matemáticos.

60. Observemos estos dibujitos:
“La mitad”
0.5
1/2
50%
|––––|------|

61. Y faltan al menos dos
La mitad

62. Con cada registro semiótico
después del verbal oral-gestual,
se desarrolla una competencia
discursiva diferente con aspectos
inyectivos, proyectivos y de tratamiento,
además del aspecto clave de
conversión de y a los registros
anteriores.

63. Q no es sólo un conjunto,
sino un sistema con operaciones:
las binarias, como la adición,
sustracción, multiplicación, división, y
otras tres.
las unarias, como la inversión aditiva u
oposición, y la inversión multiplicativa o
reciprocación,
y al menos cuatro relaciones de orden.

64. Y las operaciones son
transformaciones mentales un poco
extrañas:
La adición no es propiamente de
fraccionarios sino de resultados,
La multiplicación no es propiamente
multiplicación sino aplicación sucesiva
de operadores.

65. Y la división,
ni se diga…
¿Hay alguna situación problemática de
la vida cotidiana en donde haya que
dividir una fracción por otra?
Piensen un ejemplo…

66. En el pensamiento espacial
la competencia más importante parece
ser la de resolver problemas en
situaciones que se puedan representar
mentalmente en el espacio
tridimensional y plasmarse en el plano
del papel, el tablero o la pantalla del
computador.

67. Los tipos de pensamiento
En los lineamientos y estándares:
Numérico, espacial, métrico y
variacional.
Los tipos de procesos:
La modelación y
la resolución de problemas.

68. Resolver problemas
Una cosa son las tareas y los
problemas reales o de la vida real,
otra las tareas y los problemas propios
de cada una de las áreas y disciplinas,
y otra los ejercicios o problemas de libro
de texto.
Todos tienen su función, pero…

69. Una cosa es un problema
y otra una situación-problema
o situación problémica
o situación problemática
que genere distintos problemas
y conecte con las otras áreas y
con la vida cotidiana.

70. Las situaciones-problema
que generen
distintos problemas
y ejercicios,
que estén abiertas a
distintos métodos,
con datos que faltan
con datos que
sobran,

71. … que sean realistas, o sea:
que tengan qué ver con la vida real de
nuestros estudiantes,
con la de la institución,
la ciudad,
el país y
el mundo.

72. … y además…
que provoquen
muchas preguntas
que ojalá tengan
distintas respuestas
y generen
debates, búsquedas
e indagaciones.

73. Son mejores si
exigen distintos tipos de pensamiento
propios del área o la disciplina que
enseño,
de pensamiento lógico,
del pensamiento propio de otras áreas y
disciplinas,
e involucran distintos sistemas teóricos
o conceptuales y simbólicos.

74. La propuesta es…
Trabajar con situaciones-problema
cercanas a la vida real y cotidiana.
Primero una que ya sabemos manejar por
nuestra experiencia anterior,
y luego con otras dos o tres cercanas
pero suficientemente distintas para
facilitar la transferencia y la detección de
oportunidades de utilizar lo que saben.

75. Así, para evaluar
el avance en el nivel de competencia,
se diseñan otras situaciones-problema
todavía cercanas, pero más alejadas de
aquéllas con las cuales se aprendió.

76. El cambio
De los problemas de los textos a
situaciones-problema no es meramente
cosmético.
Es planear las situaciones “en reversa”
de los problemas reales y cotidianos
para desarrollar las competencias para
resolverlos.

77. Se trata de hacer real
La autonomía de las instituciones educativas
para diseñar y desarrollar sus programas de
acuerdo a su P.E.I.
Se trata de reducir las listas de
contenidos, conocimientos y habilidades para
seleccionar los más afines a las
competencias para la vida real.

78. No es fácil
diseñar buenas situaciones-problema
o buenos proyectos integrados,
ni tampoco desarrollarlos en clase.
No es fácil involucrar a otros colegas y
directivos para lograr un proyecto de
toda la primaria o toda la básica y media

79. No es fácil evaluar el avance
en el nivel de competencia.
Eso requiere nuevas competencias de
evaluación,
además de las que ya habíamos
desarrollado,
aprender a diseñar nuevas situaciones-
problema y a hacer nuevas preguntas.

80. Paradoja de la evaluación
Teorema:
Para cualquier X, existe una
proporcionalidad inversa
y perversa
entre la facilidad de evaluar X, F (X),
y la importancia de X, I (X).

81. Evaluar el avance en el nivel
de competencia
no es pues tarea fácil,
pero de su éxito o fracaso depende el
éxito o fracaso de otro siglo más de
educación…
o de deseducación
y un siglo más de atraso del país.

82. Se trata de expandir el
conocimiento
que sirve para lucirse como “buen
estudiante”,
(pero suele quedarse inerte)
hacia el conocimiento actuante
que sirve resolver problemas de la vida
real de cada uno, de la ciudad, del país
y del planeta.

83. FIN
o comienzo del trabajo...