Instituto 127, San Nicolás, provincia de Buenos Aires, República Argentina Enseñanza de la Matemática, un desafío constante. El lunes 24 de agosto de 2015. Disertante: Doctora Mabel Rodríguez

1. Interpretación de textos
matemáticos
Mabel Rodríguez
Universidad Nacional de General Sarmiento
JORNADA DE MATEMATICA
ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA:
UN DESAFÍO CONSTANTE

2. El plan para el taller
Importancia de enseñar a interpretar textos
en la formación docente
Un primer ejercicio
Algunas cuestiones teóricas
Un segundo ejercicio
Cierre

3. La importancia de enseñar a
interpretar textos matemáticos

4. Una meta de la formación superior:
autonomía del estudiante
¿Qué incluye la “autonomía”?
Estudiar / Integrar / Resolver problemas /
Crear / Aplicar / …
Agregamos:
Interpretar un texto matemático
sea de contenido conocido o
desconocido

5. ¿Qué observamos ante la lectura de un
texto matemático?
repiten enunciados, definiciones o
demostraciones sin manifestar que
interpretan ni que comprenden.
Poder “leer los símbolos” parece ser
suficiente indicador, para los estudiantes,
de estar comprendiendo.

6. Algunos ejemplos preocupantes
 Formación de Profesores de Matemática
 Asignatura de Educación Matemática
Previo a cuestiones didácticas, se pide:
 Desarrollo matemático de un contenido
(distintos contenidos en todo el curso)

7. Ejemplos (2013)
 Consigna: hacer un desarrollo matemático
de un tema dado
 Características:
- diversidad de temas, muchos de los cuales
eran desconocidos
- obligatoriedad de uso de textos de nivel
superior
- el texto debe evidenciar comprensión de parte
del autor

8. Entregas de un alumno (puntos notables
de un triángulo)
Definiciones:
1.1 Se llama mediatriz al punto medio del
segmento de la recta.
1.2 Se llama circuncentro de un triángulo a
la intersección O de las mediatrices de sus
lados.
Teorema. Las tres mediatrices de los lados
de un triángulo son concurrentes en el
circuncentro del triángulo.
?
¿Qué dice 1.2?

9. Definición
2.1 La bisectriz del ángulo ABC es el lugar
geométrico de los puntos P en el interior del
ángulo que son equidistantes de los lados del
ángulo.
Demostración: Se debe recordar que la
distancia de un punto a una recta se mide
perpendicularmente. Si P está en el interior
del triángulo ABC como en la figura 1, se
trazan las perpendiculares PX y PY a las
rectas AC y CB. Decir que P es equidistante
de los lados del ángulo, por tanto, es lo
mismo que decir que PX=PY, y nuestra tarea
es demostrar que esto ocurre si y solo si P
está en la bisectriz…. SIGUE
¿Demostración de una
definición…?

10. Otro alumno (sucesiones numéricas)
Definición: Las sucesiones son funciones an
= f(n) valores reales donde la variable
independiente toma solo valores
naturales. Es decir an: N  R pues si
n = k, ak = f(k).
Ejemplo:
Si an = 1/n, es an = {1, ½, 1/3, …, 1/n}
?
?

11. En la devolución…
Sorpresa
desconcierto

12. Se ratifica este riesgo
Leer símbolos nos
hace creer que
comprenden
Al enseñar,
esperamos que
nuestros alumnos
“lean símbolos”
No advertimos
que no
comprenden

13. Una primera consigna de trabajo

14. Una primera consigna - Encuadre
 Reflexionar sobre cómo interpretamos un
texto matemático (mirada matemática)
 Reflexionar sobre cómo enseñamos a
estudiantes a interpretar un texto
matemático

15. Proponemos un escrito y pedimos:
 Leer el escrito
 Explicar qué significa ese escrito
 Reflexionar sobre cómo nos manejamos
para interpretar un escrito

16. Ejemplo 1:
Propiedad:
a, b  R, a = b    > 0, |a – b|< 
Dem.
) inmediato
) si a  b, podemos suponer sin pérdida de
generalidad que a > b. Sea a – b > 0. Por
hipótesis |a – b|< a – b lo que es
absurdo.◊

17. Algunas cuestiones teóricas

18. Enfoque teórico
 Registros de representación semiótica
 Asignar y extraer significado
 Lenguajes
 interpretación de un texto como una
“habilidad matemática”.
 Decisión sobre el encuadre teórico:
Enfoque Cognitivo

19. ESCUELA
ANGLOSAJONA
(Polya – Schoenfeld)
ENFOQUE
COGNITIVISTA
Pensamiento
Matemático
Avanzado
(Tall – Vinner)
Teoría de los Campos
Conceptuales
(Vergnaud)
Teoría APOS
(Dubinsky)
Teoría Antropológica
de lo Didáctico
(Chevallard)
ESCUELA
FRANCESA
Teoría de Situaciones
(Brousseau)
Ingeniería Didáctica
(Artigue)
…
CONSTRUCTIVISMO
RADICAL
(Von Glasersfeld)
SOCIOEPISTEMOLOGÍA
(Cantoral – Farfán)
EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
CRÍTICA
(Skovsmose)
EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
REALISTA
(Freudenthal)
ENFOQUE
ONTOSEMIÓTICO
(Godino- Batanero - Font)
ETNOMATEMÁTICA
(D’Ambrosio)
SOCIO-
CONSTRUCTIVISMO
(Ernest)
EPISTEMOLOGÍA
GENÉTICA
(Ortiz Hurtado)

20. SIMBÓLICO
VERBAL O COLOQUIAL
NUMÉRICO
GRÁFICO
C
O
N
V
E
R
S
I
O
N
OBJETO
vs.
REPRESENTACIÓN
ASIGNAR
SIGNIFICADO
EXTRAER
SIGNIFICADO
Registros de representación semiótica

21. En la elección de registros
Dada f: R  R, f(x) = 2x + 1, hacer una
tabla y graficar
Se revierte fácilmente…
Ejemplos de “circuitos privilegiados”

22. f: R  R, f(x) = 2x + 1
x f(x)
0 1
1 3
Características de la conversión. Ejemplo
anterior. ¿SE CONSERVA LA
INFORMACIÓN?
¿SE CONSERVA LA
INFORMACIÓN?
¿SE CONSERVA LA
INFORMACIÓN?
Características de la conversión
1
1
3

23.  c  R,  n  N / n  c
El conjunto de los números naturales es no
acotado
Ejemplo de extraer significado

24. Dos números reales son iguales si la
distancia entre ellos puede hacerse
arbitrariamente chica.
Sean a, b  R.
∀ Ɛ > 0, ∣a – b∣< Ɛ  a = b
Ejemplo de asignar significado

25.  Intención de comunicación
 Se da/usa entre partes
 Hay mensajes a transmitir y recibir.
 Hay símbolos y acuerdos, en una
comunidad, de sus significados según el
contexto de uso
 No basta leer símbolos
 No basta la interpretación “local”
Lenguajes

26. Volvamos con esto a la “interpretación de
textos matemáticos”

27. ¿Cómo encarar la interpretación de un
texto?
 El segundo nivel de control incluye, para
cada contenido con el que se trabaje:
 (a) reconocer la estructura del texto
(identifica secciones)
 (b) identificar las distintas finalidades de
las secciones
 (c) según la finalidad identificada,
particulariza cómo encarar la
interpretación.
¿-presenta una definición,
-ejemplifica
-y muestra aplicaciones?
¿-discute sobre una noción
sin definirla,
-ahonda en precisiones y
-finalmente presenta una definición?
etc.
¿demuestra un resultado?
¿comunica sólo el enunciado? Y lo explica
¿explica un procedimiento?
¿esboza la idea de una demostración?
¿muestra una aplicación?
¿exhibe un procedimiento?
¿define un concepto nuevo?
etc.
Detallamos esto
en breve

28. Pensemos cómo enseñar esto…
 ¿qué hacemos nosotros cuando queremos
interpretar la demostración de un
resultado?
 ¿y cuando queremos interpretar una parte
de un libro?

29. Para una demostración
 Expresar oralmente qué dice el resultado
 Reconocer cuáles son los datos con los
que se cuenta y a dónde se debe llegar
 Realizar una mirada global de la
demostración. Poder expresar cómo es el
plan para demostrar.
 Entender “cada paso” que está explicado /
completar las explicaciones que faltan
(mirada local)

30. ¿Cómo enseñar esto?
Pista…. “de lo global a lo particular”
 Realizar una mirada global del texto,
identificar “secciones”
 Identificar qué pretende el autor en cada
sección. Expresarlo oralmente
 Adentro de cada sección hay que empezar
de nuevo de lo global a lo particular:
 Eso que pretende, ¿cómo lo hace?
 detalles

31. Algo no muy usual en alumnos
Incorporar como algo “natural”:
 Se necesita leer varias veces
 Con distintas “lupas”
 Se necesita “poder decir”
 No poder explicar o comunicar
es señal de “falta comprensión”

32. Un segundo ejercicio

33. Consigna 1: Identificar “secciones” dentro
esa parte y “la finalidad que cada una
persigue” (no necesariamente estén
identificadas como tales)
Consigna 2: Para cada “sección” (excepto
la demostración) hacer un escrito en el
que retomes lo que ahí se trabaja,
explicando lo matemático, ampliando,
completando, corrigiendo si es necesario,
etc.

34. Consigna 3: reescribir la demostración
atendiendo a las siguiente pautas
 Expresar en lenguaje natural el resultado
 Reconocer datos y meta
 Expresar cuál es el plan que usó el autor
 Completar cada paso, explicando lo que
falte

35. Consigna 4: Te invitamos a hacer una
reflexión en la que pienses sobre: ¿cómo
solés hacer (hiciste) para interpretar el
texto?, si tuvieras que explicar ese texto,
¿qué tendrías en cuenta?, ¿qué aporte te
llevás sobre lo trabajado para tu tarea
docente usual?

38. Presenta el
tema con
un
problema
Resuelve
Dice que “se
aprecia” que
son rectas
paralelas y
que tener la
misma
pendiente es
la causa.
Define

39. Da un
ejemplo
Dice que “se
aprecia la
perpendicularidad
en el gráfico, “es
decir” que se
intersecan a 90º
Demuestra que
son
perpendiculares
?

40. Instrumento para evaluar el desarrollo de
la habilidad
 Un rubric
 Coherente con evaluar “proceso de
aprendizaje” y no resultados

41. HMG: Interpretar un texto matemático
NIVEL MENOS
DESARROLLADO
NIVEL INTERMEDIO
NIVEL DE MAYOR
DESARROLLO
Operativización de la
habilidad
INDICADORES DEL SEGUNDO NIVEL DE CONTROL:
Identifica secciones del texto
No analiza globalmente el
texto para identificar
secciones y sus
particularidades
Identifica las secciones
del texto a medida que
las lee. No repara
previamente en la
estructura general.
Reconoce que primero
identificará las distintas
secciones del texto
INDICADORES
OPERATIVOS
Lee ingenuamente el
texto, considera que “leer
los símbolos” y
reproducirlos es
interpretar
Reconoce que leer una
definición, o un ejemplo,
etc. sin advertir cómo está
organizado el texto
Menciona la
organización general
del texto

42. INDICADORES DEL SEGUNDO NIVEL DE CONTROL: Identificar las finalidades
de las secciones del texto
No se plantea
reconocer qué
finalidad persigue
cada sección
Reconoce la finalidad
de las secciones
cuando está
explicitada en el texto
y cuando no está, no
lo hace.
Tiene claro que debe
entender qué es lo
que en cada sección
se intenta comunicar
INDICADOR
ES
OPERATIVO
S
Lee el texto, sin previo
análisis
Anticipa que se
encontrará con una
definición o propiedad
cuando el texto lo
explicita
Es capaz de
expresar si el texto
intenta demostrar,
ejemplificar, etc.

43. INDICADORES DEL SEGUNDO NIVEL DE CONTROL: Para cada finalidad, encara
su interpretación
No advierte que ante
cada finalidad, el texto
tendrá características
diferentes
Con algunas
finalidades, es capaz
de anticipar las
características
esperables
Identifica las
características
esperables en el
texto, según la
finalidad de la
sección
INDICADOR
ES
OPERATIVO
S
Lee el texto, sin previo
análisis
Reconoce que el texto
persigue cierta
finalidad y en alguna
anticipa, previo a la
lectura, las
características
esperables
Explica claramente
cómo son las
características de
cada sección, según
su finalidad.

44. Cierre

45. En primer lugar
¿Enseñamos a interpretar un texto
matemático?

46. Propiedad:
a, b  R, a = b    > 0, |a – b|< 
Dem.
) inmediato
) si a  b, podemos suponer sin pérdida de
generalidad que a > b. Sea a – b > 0. Por
hipótesis |a – b|< a – b lo que es
absurdo.◊
¿Qué
hacemos
en el aula?

47. Ejemplo 2: en un libro encontramos…
Terminamos esta sección, mencionando que
resulta evidente, y por eso no lo
demostramos aquí, que vale que el
conjunto de los números naturales es no
acotado.
Queda como tarea para el lector dejar
expresada esta propiedad en símbolos. La
misma se llama Principio de Arquímedes.
Y en este
caso, ¿qué
hacemos
en el aula?

48. ¿Cómo llega un alumno del texto a esto?
 c  R,  n  N / n  c

49. Empecemos de a poco…
¡¡pero empecemos!!

50. ¡¡ Muuuuuchas gracias !!
mrodri@ungs.edu.ar

51. Un tercer ejercicio

52. Propiedad: I
Dem: supongamos que
 = p/q para p, q
naturales co-primos
Entonces 2 = p2/q2. Luego
2. q2 = p2 de donde p2 es par
por lo que p es par. Así, p =
2.n (n N), por lo que 2. q2
= (2n)2  2. q2 = 4n2
q2 = 2n2 de donde q es par.
Absurdo
2
2



Mirada
global
Mirada
local

53. Mirada local
 Poder responder:
 ¿por qué vale?
 ¿Qué significa?
 ¿Cómo llegó acá?