CINEMATICA DE MECANISMOS PLANOS EN INGENÍERIA .pdf

113
Cinemática de
mecanismos planos
Teoría y Problemas resueltos
Manuel Gloria
Reino Flores Galán Marín
Colección manuales uex - 113
ÍNDICE

CINEMÁTICADEMECANISMOSPLANOS
TEORÍAYPROBLEMASRESUELTOS
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113
MANUALESUEX
ÍNDICE
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MANUELREINOFLORES
GLORIAGALÁNMARÍN
2020
CINEMÁTICADEMECANISMOSPLANOS
TEORÍAYPROBLEMASRESUELTOS
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© Los autores
© Universidad de Extremadura para esta 1ª edición
Edita:
Universidad de Extremadura. Servicio de Publicaciones
C/ Caldereros, 2 - Planta 3ª. 10071 Cáceres (España)
Tel. 927 257 041 ; Fax 927 257 046
E-mail: publicac@unex.es
http://www.unex.es/publicaciones
ISSN 1135-870-X
ISBN 978-84-09-25222-0
Maquetación: Control P - Cáceres - 927 233 223 - www.control-p.eu
Esta obra ha sido objeto de una doble evaluación, una interna, llevada a cabo por el consejo asesor del
Servicio de Publicaciones de la Universidad de Extremadura, y otra externa, efectuada por evaluadores
independientes de reconocido prestigio en el campo temático de la misma.
ÍNDICE
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A César
A Juan y Hernán
ÍNDICE

ÍNDICEGENERAL
ÍN
DI
CE
PRÓLOGO 11
1.
CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE
MÁQUINAS Y MECANISMOS 13
1.1. Introducción 13
1.2. Eslabones, pares y cadena cinemática 13
1.3. Mecanismos y máquinas 15
1.4. Tipos de movimiento 16
1.5. Grados de libertad de un mecanismo 16
1.6. Inversión cinemática 19
1.7.
Mecanismo de cuatro barras. Ley de
Grashof21
1.8. Mecanismos de retroceso rápido 24
1.8.1.
Mecanismo excéntrico de biela-
manivela 24
1.8.2.
Mecanismo de Whitworth 25
1.8.3.
Mecanismo manivela-balancín 26
2.
INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA DEL
SÓLIDO RÍGIDO 27
2.1. Tipos de movimiento 27
2.2. Movimiento de traslación 28
2.3.
Movimiento de rotación alrededor de
un eje fijo 29
2.4. Movimiento plano general 32
2.4.1. Velocidad absoluta y relativa 33
2.4.2. Aceleración absoluta y relativa 34
2.5.
Movimiento relativo respecto a un
sistema en rotación 37
2.5.1. Velocidades 37
2.5.2. Aceleraciones 40
3.
ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS
PLANOS43
3.1. Introducción 43
3.2. Métodos gráficos 44
ÍNDICE
ÍNDICE

ÍN
DI
CE
3.2.1.
Movimiento relativo entre dos
puntos. Polígonos de velocidades y
aceleraciones 44
3.2.2. Centro instantáneo de rotación 51
3.3. Métodos analíticos 53
3.3.1. Análisis trigonométrico 53
3.3.2. Álgebra vectorial 56
3.3.3.
Análisis mediante números
complejos. Ecuaciones de lazo 59
4. PROBLEMAS RESUELTOS 65
5.
RESOLUCIÓN CINEMÁTICA DE UN
MECANISMO CON AYUDA DE MATLAB 135
ÍNDICE
ÍNDICE

MANUALES
UEX
11
El presente manual se presenta como resultado de diez años impartiendo la asignatura
Mecanismos y Máquinas en la Escuela de Ingenierías Industriales de la Universidad de
Extremadura. Mecanismos y Máquinas es común a las titulaciones de Grado de la Rama
Industrial y es de carácter obligatorio. Se imparte en el segundo curso de cuatro titulaciones
de la Universidad de Extremadura: Grado en Ingeniería Eléctrica, Grado en Ingeniería Elec-
trónica y Automática, Grado en Ingeniería Mecánica y Grado en Ingeniería en Tecnologías
Industriales.
A través de la asignatura Mecanismos y Máquinas, el alumno adquiere los fundamentos
de la Teoría de Máquinas y Mecanismos, así como otros conocimientos conceptuales que
sirven como base para aquellas materias y aplicaciones relacionadas con la Ingeniería
Mecánica. La Teoría de Máquinas y Mecanismos estudia las relaciones existentes entre la
geometría y el movimiento de un mecanismo o máquina, las acciones que generan dichos
movimientos, así como la energía asociada. Esta ciencia aplicada puede abordarse de dos
formas distintas, análisis y síntesis. La síntesis trata de diseñar un mecanismo o máquina que
cumpla unas especificaciones dadas, mientras que el análisis desarrolla el estudio cinemá-
tico y dinámico de la máquina.
Durante el estudio cinemático, se analiza el movimiento sin tener en cuenta las causas
que lo producen, mientras que en el estudio dinámico ya se incluyen las acciones que
generan el movimiento. Este manual se dedicará al análisis de mecanismos, abordando el
estudio cinemático de los mismos. Aunque existen muchos manuales dedicados al estudio
cinemático de mecanismos, existe un cierto vacío en lo que se refiere a textos que, abor-
dando todos los aspectos introductorios básicos de la cinemática del sólido rígido, apliquen
al mismo tiempo los conceptos presentados sobre una extensa colección de mecanismos,
abordando tanto la resolución gráfica del problema como sobre todo la resolución analítica
para cualquier posición.
El contenido del manual se inicia con un capítulo dedicado a presentar los conceptos
básicos introductorios sobre la Teoría de Máquinas y Mecanismos. El segundo capítulo abor-
da la cinemática del sólido rígido sin presuponer conocimientos previos, de forma que el
texto pueda utilizarse como iniciación en un curso semestral en el que la formación y los
PRÓLOGO
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MANUALES
UEX
12
MANUEL REINO FLORES,GLORIA GALÁN MARÍN
intereses de los alumnos sean heterogéneos, al pertenecer a especialidades muy distintas de
un primer o segundo año de ingeniería.
En el tercer capítulo se aplicarán los conceptos presentados sobre la cinemática del sóli-
do rígido a los mecanismos planos. Se expondrán varios procedimientos, gráficos y analíticos,
para el estudio cinemático de un mecanismo. Los métodos gráficos son muy intuitivos, y de
gran ayuda a la hora de comprender fácilmente el movimiento de un mecanismo, aunque
sólo son útiles en una posición dada. Los métodos analíticos, por el contrario, permiten obte-
ner el análisis cinemático del mecanismo para todo el ciclo completo de movimiento, que es
normalmente el objetivo.
En el cuarto capítulo se presenta una extensa relación de casos prácticos resueltos, orde-
nados según una dificultad creciente, desde mecanismos con un movimiento básico hasta
aquellos en los que aparece movimiento relativo. Se aplicarán siempre métodos analíticos en
todos los problemas cinemáticos, que serán ilustrados también en algunos casos con la reso-
lución gráfica para posiciones concretas. A través de su aplicación, se comprobará que los
métodos analíticos tienen la ventaja de proporcionar planteamientos generales muy metódi-
cos, resolubles por ordenador. Como ilustración, en el último capítulo se presenta la resolu-
ción cinemática completa de un mecanismo de retorno rápido con ayuda de Matlab.
Se ha realizado así un manual que intenta integrar los distintos enfoques prácticos para la
resolución cinemática de un mecanismo plano, primando la sencillez y la didáctica en la
selección de contenidos tanto teóricos como aplicados. Por un lado, se presenta en cada
mecanismo un método analítico que permite obtener una expresión matemática de las varia-
bles de posición, velocidad y aceleración de los eslabones de salida en función de las varia-
bles que describen el movimiento de los eslabones de entrada. Por otro lado, puesto que en
ocasiones los métodos analíticos son poco intuitivos, se presenta también la interpretación
vectorial en términos de las ecuaciones de cinemática del sólido rígido en la resolución de
todos los casos prácticos, apoyándose en muchas ocasiones en métodos gráficos para com-
prender el movimiento en posiciones concretas.
De este modo, atendiendo a criterios de facilidad pedagógica y con un nivel introductorio
adecuado para una asignatura de grado común a distintas especialidades de ingeniería, se
presentan los conceptos básicos de cinemática de mecanismos planos sobre una extensa
relación de problemas resueltos, partiendo de un enfoque vectorial y gráfico, hasta llegar a
un enfoque analítico que pueda ser fácilmente programable.
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MANUALES
UEX
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1.1. INTRODUCCIÓN
La Teoría de Máquinas y Mecanismos estudia las relaciones existentes entre la geometría
y el movimiento de un mecanismo o máquina, las acciones (fuerzas y momentos) que gene-
ran dichos movimientos, así como la energía asociada.
Esta ciencia aplicada puede abordarse de dos formas distintas, análisis y síntesis. La síntesis
trata de diseñar un mecanismo o máquina que cumpla unas especificaciones dadas, mientras
que el análisis desarrolla el estudio cinemático y dinámico de la máquina. Durante el estudio
cinemático, se analiza el movimiento sin tener en cuenta las causas que lo producen, mientras
que en el estudio dinámico ya se incluyen las acciones que generan el movimiento.
Este libro se dedicará al análisis de mecanismos, abordando el estudio cinemático de los
mismos.
1.2. ESLABONES, PARES Y CADENA CINEMÁTICA
Se denomina eslabón a cada uno de los sólidos rígidos que componen la máquina. En
la literatura técnica suelen usarse también otros nombres como: elemento, miembro o
barra. El concepto de pieza se halla en un nivel inferior al de eslabón, pues una sola pieza,
o un conjunto de piezas unidas formando un sólido rígido constituyen un eslabón. Cada
eslabón está unido a otros eslabones, los cuales pueden clasificarse en según el tipo de
movimiento desarrollado:
• Balancín: eslabón que oscila respecto de un eje fijo.
• Manivela: eslabón que da vueltas completas alrededor de un eje fijo.
• Biela: eslabón que no tiene ningún punto articulado fijo, es decir, con un movimiento
general.
• Soporte: eslabón fijo.
1. CONCEPTOS BÁSICOS
DE LA TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS
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MANUALES
UEX
14
Se denomina par cinemático a la unión entre dos o más eslabones. El movimiento relati-
vo entre los eslabones unidos en el par cinemático está condicionado por el tipo de elemen-
to empleado en el enlace, de modo que se permiten algunos movimientos y se impiden otros.
A través de los pares cinemáticos, un eslabón se une a otros para transmitir movimiento o
fuerza.
Se definen los grados de libertad de un par cinemático o conectividad como el número
de grados de libertad del movimiento relativo de los miembros del par.
Si se suponen dos eslabones móviles conectados mediante un par cinemático, se puede
imaginar uno cualquiera de ellos como fijo, y calcular para el otro eslabón el número mínimo
de parámetros independientes que necesito establecer para determinar su posición relativa.
De este modo se obtienen el número de grados de libertad del par que limita el movimiento
de un eslabón respecto a otro (sin tener en cuenta las restricciones al movimiento que impli-
can el resto de pares cinemáticos del mecanismo). Obsérvese entonces que en el plano
aparecen pares con un grado de libertad y pares con dos grados de libertad.
Reuleaux clasificó los pares cinemáticos en dos grupos, superiores e inferiores, atendien-
do al tipo de contacto entre eslabones. A continuación, se describen sus características:
 Pares inferiores: los eslabones hacen contacto en una superficie. Los más habituales en
el plano son:
• Par rotatorio: sólo permite el movimiento
angular q entre los eslabones, es decir, la
rotación relativa. Por tanto, sólo tiene un
grado de libertad.
• Par prismático: sólo permite el movimiento
relativo de deslizamiento, es decir, el movi-
miento lineal entre dos eslabones. Por tanto,
sólo tiene un grado de libertad.
 Pares superiores: los eslabones hacen contacto en una línea o en un punto. Existe una
cantidad infinita de pares superiores, y como ejemplo
se presenta el movimiento de rodadura (con desliza-
miento) o la conexión entre una leva y su seguidor.
Ambos pares poseen dos grados de libertad.
9
θ
general.
Se denomina par cinemático a la unión entre dos o más eslabones. El movimiento relativo
entre los eslabones unidos en el par cinemático está condicionado por el tipo de elemento
empleado en el enlace, de modo que se permiten algunos movimientos y se impiden otros. A
través de los pares cinemáticos, un eslabón se une a otros para transmitir movimiento o fuer-
za.
Se definen los grados de libertad de un par cinemático o conectividad como el número de
grados de libertad del movimiento relativo de los miembros del par.
can el resto de pares cinemáticos del mecanismo). Obsérvese entonces que en el plano apa-
recen pares con un grado de libertad y pares con dos grados de libertad.
Reuleaux clasificó los pares cinemáticos en dos grupos, superiores e inferiores, atendiendo
al tipo de contacto entre eslabones. A continuación, se describen sus características:
 Pares inferiores: los eslabones hacen contacto en una superficie. Los más habituales en el
plano son:
• Par rotatorio: sólo permite el movimiento angular θ entre los eslabones, es decir, la ro-
tación relativa. Por tanto, sólo tiene un grado de libertad.
• Par prismático: sólo permite el movimiento relativo de deslizamiento, es decir, el movi-
cantidad infinita de pares superiores, y como ejemplo se
presenta el movimiento de rodadura (con deslizamiento) o
la conexión entre una leva y su seguidor. Ambos pares
poseen dos grados de libertad.
9
θ
general.
za.
plano son:
9
θ
general.
za.
plano son:
9
θ
general.
za.
plano son:
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MANUALES
UEX
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CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
MANUALES
UEX
15
Se define una cadena cinemática como un conjunto de eslabones unidos mediante pares
cinemáticos. Las cadenas cinemáticas pueden ser abiertas o cerradas. En una cadena cinemá-
tica no existe ningún eslabón fijo, y los pares limitan el movimiento relativo entre eslabones.
1.3. MECANISMOS Y MÁQUINAS
Se denomina mecanismo a una cadena cinemática cerrada en la que establecemos como
fijo uno de los eslabones. El objeto principal del funcionamiento de un mecanismo es la
transmisión y modificación del movimiento. En la figura siguiente se presenta una cadena
cinemática en la que, al fijar uno de los eslabones, obtenemos un mecanismo que transforma
un movimiento de rotación en una oscilación. La cadena cinemática de cuatro eslabones se
convierte así en un mecanismo de cuatro barras del tipo manivela-balancín, en el que la
manivela de entrada da vueltas alrededor de un eje fijo, y el balancín de salida oscila respec-
to de una articulación fija.
10
1.3. Mecanismos y máquinas
manivela de entrada da vueltas alrededor de un eje fijo, y el balancín de salida oscila respecto
de una articulación fija.

A continuación se presenta otro mecanismo habitual como es el biela-manivela, en el que
se consigue la transformación de un movimiento de traslación en una rotación, o viceversa:
Un mecanismo plano es aquel en el que todos sus puntos describen curvas planas, y éstas
se hallan en planos paralelos. En este caso, el movimiento real de todos los puntos del meca-
nismo puede proyectarse sobre un único plano, permitiendo eliminar una dimensión al anali-
zar el movimiento. La mayoría de mecanismos empleados son planos.
Existen muchas definiciones para establecer el concepto de máquina. Una definición co-
múnmente aceptada es el mecanismo o conjunto de mecanismos diseñado para llevar a cabo
una tarea determinada, la cual conlleva la transmisión de fuerza y movimiento desde una
10
1.3. Mecanismos y máquinas
manivela de entrada da vueltas alrededor de un eje fijo, y el balancín de salida oscila respecto
de una articulación fija.

nismo puede proyectarse sobre un único plano, permitiendo eliminar una dimensión al anali-
zar el movimiento. La mayoría de mecanismos empleados son planos.
Existen muchas definiciones para establecer el concepto de máquina. Una definición co-
múnmente aceptada es el mecanismo o conjunto de mecanismos diseñado para llevar a cabo
una tarea determinada, la cual conlleva la transmisión de fuerza y movimiento desde una
nismo puede proyectarse sobre un único plano, permitiendo eliminar una dimensión al
analizar el movimiento. La mayoría de mecanismos empleados son planos.
Existen muchas definiciones para establecer el concepto de máquina. Una definición
comúnmente aceptada es el mecanismo o conjunto de mecanismos diseñado para llevar a
cabo una tarea determinada, la cual conlleva la transmisión de fuerza y movimiento desde
una fuente de energía, a una resistencia a vencer realizando un trabajo. Un ejemplo de esta
definición es el motor de combustión interna.
Se pueden clasificar las máquinas atendiendo a muchos criterios. Uno de ellos es el tipo
de energía recibida, según el cual se divididen las máquinas en dos grandes grupos:
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MANUALES
UEX
16
• Motrices: reciben la energía procedente de una fuente natural y la transforman en
energía mecánica. Como ejemplos están la turbina hidráulica o un motor de explosión.
• Operadoras: reciben la energía mecánica o eléctrica producida por una máquina
motriz y la transforman en trabajo. Un ejemplo de ello son las máquinas herramientas.
1.4. TIPOS DE MOVIMIENTO
Un mecanismo ha completado un ciclo cinemático cuando inicia su movimiento desde
algún conjunto de posiciones relativas, y vuelve a la misma posición inicial, habiendo pasado
sus eslabones por todas las posiciones posibles que pueden tomar cada uno de ellos. El tiem-
po empleado en completar un ciclo se denomina periodo. Se define como fase al conjunto
de posiciones relativas simultáneas que ocupan los eslabones del mecanismo en un instante
cualquiera del ciclo cinemático.
Obsérvese que el concepto de ciclo cinemático difiere del de ciclo energético. Por ejem-
plo, el motor de combustión interna de cuatro tiempos realiza dos ciclos cinemáticos por
cada ciclo energético.
Si se consideran los eslabones de un mecanismo atendiendo al tipo de movimiento que
realizan durante un ciclo cinemático, se pueden clasificar según los siguientes modos de
funcionamiento:
• Continuo: el eslabón presenta un movimiento sin interrupción ni parada durante cada
ciclo. Un ejemplo sería una manivela o eje de motor en rotación constante.
• Intermitente: el eslabón permanece parado un tiempo durante cada ciclo. Ejemplos de
este tipo de movimiento son las válvulas con tiempo determinado de apertura y cierre, o el
eslabón Cruz de Malta.
• Alternativo: el eslabón se caracteriza por presentar ciclo de avance y retroceso, e invier-
te el sentido de su movimiento durante cada ciclo. Como ejemplos se tiene el balancín en el
mecanismo de cuatro barras, o el pistón en el biela-manivela.
1.5. GRADOS DE LIBERTAD DE UN MECANISMO
Se definen los grados de libertad o movilidad de un mecanismo como el número de pará-
metros independientes de entrada que es necesario utilizar para definir completamente su
posición.
Considérese en primer lugar un eslabón libre en el plano. Puesto que se necesitan tres
parámetros para fijarlo en una posición, el eslabón tendrá tres grados de libertad en el plano.
Por tanto, antes de conectar los eslabones entre sí, un mecanismo plano de n eslabones tendrá
3.(n-1) grados de libertad, dado que hay que restar los tres grados de libertad que pierde el
eslabón fijo o soporte del mecanismo.
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MANUALES
UEX
17
MANUALES
UEX
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Si se conectan los eslabones mediante pares cinemáticos, se observa que cada par con un
grado de libertad implica dos restricciones de movimiento entre los eslabones conectados
(pues permite un único movimiento). Si se conectan los eslabones mediante un par con dos
grados de libertad, se observa que ello implica una sola restricción de movimiento entre los
eslabones del par cinemático (pues permite dos movimientos).
Si se restan las restricciones que conllevan los pares cinemáticos del número total de
grados de libertad que tendrían los eslabones no conectados, se obtiene el criterio de Grübler
en el plano, que proporciona el número de grados de libertad m de un mecanismo plano de
n eslabones:
m = 3 . (n – 1) – 2 . j1
– j2
donde j1
representa el número de pares con un grado de libertad, y j2
el número de pares
con dos grados de libertad.
Hay que señalar que el criterio de Grübler es válido para la mayoría de mecanismos
planos, exceptuando algunos mecanismos con restricciones o pares redundantes, o mecanis-
mos con características geométricas especiales.
Cuando el número total de grados de libertad de un mecanismo es cero, o negativo, no
es posible el movimiento relativo entre eslabones, por lo que se transforma en una estructura.
Si la movilidad es cero, se trata de una estructura estáticamente determinada. Si la movilidad
es negativa, la estructura es estáticamente indeterminada.
Cuando el número total de grados de libertad de un mecanismo es mayor que cero,
entonces es posible el movimiento relativo entre eslabones. Un mecanismo se denomina
desmodrómico si al definir el movimiento del eslabón considerado como entrada, queda
completamente definido el movimiento de todos los demás, que se repite en cada ciclo y
siempre será el mismo. Este tipo de mecanismos constituyen por ello la base del funciona-
miento de las máquinas.
Si en un mecanismo el número total de grados de libertad es uno, entonces, definiendo
el movimiento un eslabón, todos los puntos del resto de los eslabones se mueven sobre unas
líneas determinadas que siempre son las mismas. Por tanto, será desmodrómico.
Por último, aquellos mecanismos con un número total de grados de libertad igual o supe-
rior a dos se denominan libres o no desmodrómicos, puesto que, si se define el movimiento
del eslabón considerado como entrada, los movimientos relativos del resto de eslabones no
están determinados. Esto implica que los puntos de los eslabones no se mueven, en general,
siempre sobre las mismas trayectorias.
Sin embargo, obsérvese que si en un mecanismo no desmodrómico con m grados de
libertad, se define el movimiento de m eslabones considerados como entradas, se consigue
un mecanismo desmodrómico, puesto que el movimiento del resto de los eslabones queda
ya determinado.
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MANUALES
UEX
18
A continuación, se presentan una serie de ejemplos que ilustran cada uno de los casos
anteriores:
• m = 0 ð El sistema es una estructura estáticamente determinada.
13
A continuación, se presentan una serie de ejemplos que ilustran cada uno de los casos ante‐
riores:
 m = 0  El sistema es una estructura estáticamente determinada.
 m = ‐ 1  El sistema es una estructura estáticamente indeterminada.
 m = 1  El mecanismo es desmodrómico, puesto que fijando una variable de entrada quedan
determinadas todas las demás.
 m = 2  El mecanismo es no desmodrómico, a
no ser que se definan simultáneamente dos
variables de entrada para determinar el resto.
• m = - 1 ð El sistema es una estructura estáticamente indeterminada.
13
riores:
• m = 1 ð
El mecanismo es desmodrómico, puesto que fijando una variable de entra-
da quedan determinadas todas las demás.
13
riores:
• m = 2 ð
El mecanismo es no desmodrómico, a no ser que se definan simultánea-
mente dos variables de entrada para determinar el resto.
13
ntinuación, se presentan una serie de ejemplos que ilustran cada uno de los casos ante‐
 El sistema es una estructura estáticamente determinada.
 El sistema es una estructura estáticamente indeterminada.
 El mecanismo es desmodrómico, puesto que fijando una variable de entrada quedan
nadas todas las demás.
 El mecanismo es no desmodrómico, a
que se definan simultáneamente dos
de entrada para determinar el resto.
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MANUALES
UEX
19
A través de los ejemplos anteriores se observa que, cuando se unen varios eslabones en
un único par cinemático con un grado de libertad j1
, se deben considerar en el recuento
tantos pares j1
como eslabones unidos menos uno.
En las siguientes figuras aparecen dos mecanismos con movilidad uno en los que apare-
cen pares superiores con dos grados de libertad j2
:
14
A través de los ejemplos anteriores se observa que, cuando se unen varios eslabones en un
único par cinemático con un grado de libertad j1, se deben considerar en el recuento tantos pares
j1 como eslabones unidos menos uno.
En las siguientes figuras aparecen dos mecanismos con movilidad uno en los que aparecen pa‐
res superiores con dos grados de libertad j2:
A continuación, se presenta un mecanismo con movilidad dos:
1.6. Inversión cinemática
Tal y como se ha expuesto anteriormente, partiendo de una cadena cinemática y establecien‐
do un eslabón fijo, se obtiene un mecanismo. Si se toma como eslabón fijo, soporte o de referen‐
cia otro eslabón diferente del mecanismo, el movimiento del mecanismo obtenido puede cambiar
completamente.
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A través de los ejemplos anteriores se observa que, cuando se unen varios eslabones en un
único par cinemático con un grado de libertad j1, se deben considerar en el recuento tantos pares
j1 como eslabones unidos menos uno.
En las siguientes figuras aparecen dos mecanismos con movilidad uno en los que aparecen pa‐
res superiores con dos grados de libertad j2:
1.6. Inversión cinemática
Tal y como se ha expuesto anteriormente, partiendo de una cadena cinemática y establecien‐
do un eslabón fijo, se obtiene un mecanismo. Si se toma como eslabón fijo, soporte o de referen‐
cia otro eslabón diferente del mecanismo, el movimiento del mecanismo obtenido puede cambiar
completamente.
1.6. INVERSIÓN CINEMÁTICA
Tal y como se ha expuesto anteriormente, partiendo de una cadena cinemática y estable-
ciendo un eslabón fijo, se obtiene un mecanismo. Si se toma como eslabón fijo, soporte o de
referencia otro eslabón diferente del mecanismo, el movimiento del mecanismo obtenido
puede cambiar completamente.
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MANUALES
UEX
20
Al proceso que consiste en variar el eslabón considerado como soporte se le denomina
inversión de una cadena cinemática. Si una cadena cinemática tiene n eslabones, se pueden
obtener n inversiones cinemáticas y, por tanto, n mecanismos distintos.
Para el mecanismo de biela-manivela se obtendrían las inversiones cinemáticas que se
presentan en la siguiente figura. En la inversión (1), en la que el eslabón fijo es el cilindro,
se obtiene el mecanismo básico de biela-manivela empleado en la mayoría de los motores
de combustión. La entrada sería el pistón empujado por los gases en expansión y la salida
la manivela. Invirtiendo entrada y salida se tiene un mecanismo de compresión.
Estableciendo ahora como eslabón fijo el que anteriormente funcionaba como manivela,
se obtiene la inversión (2), denominada mecanismo de Witworth, que es un mecanismo de
retorno rápido que será estudiado más adelante. Su aplicación más habitual es en máquina
herramienta.
Considerando como único eslabón fijo el eslabón que en la inversión (1) funcionaba
como biela, se obtiene la inversión (3), que se empleó por ejemplo en las primeras locomo-
toras de vapor.
Por último, partiendo de la inversión (1), estableciendo ahora el pistón como el eslabón
fijo, se obtiene la inversión (4) que se puede emplear en una bomba de agua manual.
15
Al proceso que consiste en variar el eslabón considerado como soporte se le denomina inver‐
sión de una cadena cinemática. Si una cadena cinemática tiene n eslabones, se pueden obtener n
inversiones cinemáticas y, por tanto, n mecanismos distintos.
Para el mecanismo de biela‐manivela se obtendrían las inversiones cinemáticas que se pre‐
sentan en la siguiente figura. En la inversión (1), en la que el eslabón fijo es el cilindro, se obtiene
el mecanismo básico de biela‐manivela empleado en la mayoría de los motores de combustión. La
entrada sería el pistón empujado por los gases en expansión y la salida la manivela. Invirtiendo
entrada y salida se tiene un mecanismo de compresión.
Estableciendo ahora como eslabón fijo el que anteriormente funcionaba como manivela, se
obtiene la inversión (2), denominada mecanismo de Witworth, que es un mecanismo de retorno
rápido que será estudiado más adelante. Su aplicación más habitual es en máquina herramienta.
Considerando como único eslabón fijo el eslabón que en la inversión (1) funcionaba como bie‐
la, se obtiene la inversión (3), que se empleó por ejemplo en las primeras locomotoras de vapor.
Por último, partiendo de la inversión (1), estableciendo ahora el pistón como el eslabón fijo,
se obtiene la inversión (4) que se puede emplear en una bomba de agua manual.
(1) (2)
(3) (4)
15
Al proceso que consiste en variar el eslabón considerado como soporte se le denomina inver‐
sión de una cadena cinemática. Si una cadena cinemática tiene n eslabones, se pueden obtener n
inversiones cinemáticas y, por tanto, n mecanismos distintos.
Para el mecanismo de biela‐manivela se obtendrían las inversiones cinemáticas que se pre‐
sentan en la siguiente figura. En la inversión (1), en la que el eslabón fijo es el cilindro, se obtiene
el mecanismo básico de biela‐manivela empleado en la mayoría de los motores de combustión. La
entrada sería el pistón empujado por los gases en expansión y la salida la manivela. Invirtiendo
entrada y salida se tiene un mecanismo de compresión.
Estableciendo ahora como eslabón fijo el que anteriormente funcionaba como manivela, se
obtiene la inversión (2), denominada mecanismo de Witworth, que es un mecanismo de retorno
rápido que será estudiado más adelante. Su aplicación más habitual es en máquina herramienta.
Considerando como único eslabón fijo el eslabón que en la inversión (1) funcionaba como bie‐
la, se obtiene la inversión (3), que se empleó por ejemplo en las primeras locomotoras de vapor.
Por último, partiendo de la inversión (1), estableciendo ahora el pistón como el eslabón fijo,
se obtiene la inversión (4) que se puede emplear en una bomba de agua manual.
(1) (2)
(3) (4)
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MANUALES
UEX
21
1.7. MECANISMO DE CUATRO BARRAS. LEY DE GRASHOF
Partiendo de la cadena cinemática cerrada más simple formada por cuatro eslabones arti-
culados, se obtiene el mecanismo de cuatro barras o cuadrilátero articulado, que tiene un grado
de libertad. Se trata de uno de los mecanismos más usados, por su sencillez y versatilidad.
Una consideración importante a la hora del diseño del cuadrilátero articulado es confir-
mar que en su funcionamiento alguno de los eslabones pueda dar una vuelta completa. De
este modo, por ejemplo, se asegura que la manivela de entrada pueda efectuar revoluciones
completas si el mecanismo es impulsado porun motor. Existe una ley muy sencilla que garan-
tiza este punto, que es la denominada Ley de Grashof.
La ley de Grashof indica que, para garantizar que al menos uno de los eslabones pueda
dar vueltas completas en un mecanismo plano de cuatro barras, se debe cumplir que la suma
de las longitudes de la barra más larga y de la barra más corta debe ser menor o igual que la
suma de las longitudes de las dos barras restantes.
Es decir que debe verificarse la expresión:
a + d ≤ c + b
donde el eslabón más corto es a, el eslabón más largo es d, y el resto tienen las longitudes
b y c.
16
1.7. Mecanismo de cuatro barras. Ley de Grashof
Partiendo de la cadena cinemática cerrada más simple formada por cuatro eslabones articula‐
dos, se obtiene el mecanismo de cuatro barras o cuadrilátero articulado, que tiene un grado de
libertad. Se trata de uno de los mecanismos más usados, por su sencillez y versatilidad.
Una consideración importante a la hora del diseño del cuadrilátero articulado es confirmar
que en su funcionamiento alguno de los eslabones pueda dar una vuelta completa. De este modo,
por ejemplo, se asegura que la manivela de entrada pueda efectuar revoluciones completas si el
mecanismo es impulsado por un motor. Existe una ley muy sencilla que garantiza este punto, que
es la denominada Ley de Grashof.
La ley de Grashof indica que, para garantizar que al menos uno de los eslabones pueda dar
vueltas completas en un mecanismo plano de cuatro barras, se debe cumplir que la suma de las
longitudes de la barra más larga y de la barra más corta debe ser menor o igual que la suma de las
longitudes de las dos barras restantes.
Es decir que debe verificarse la expresión:
a + d ≤ c + b
donde el eslabón más corto es a, el eslabón más largo es d, y el resto tienen las longitudes b y c.
Obsérvese que los eslabones más corto y más largo, así como los otros dos, pueden estar co‐
locados en cualquier posición, es decir que la ley de Grashof no especifica el modo en el que se
conectan los eslabones.
Si un cuadrilátero articulado no verifica la ley anterior, ningún eslabón podrá dar vueltas com‐
pletas. Los mecanismos de no‐Grashof también tienen aplicaciones interesantes, como por ejem‐
plo para controlar el movimiento de las ruedas de un automóvil, empleando en los eslabones un
movimiento oscilatorio de corto alcance. En este caso el eslabón fijo es el chasis o bastidor y la
biela está unida a la rueda.
c
b
d
a
Obsérvese que los eslabones más corto y más largo, así como los otros dos, pueden estar
colocados en cualquier posición, es decir que la ley de Grashof no especifica el modo en el
que se conectan los eslabones.
Si un cuadrilátero articulado no verifica la ley anterior, ningún eslabón podrá dar vueltas
completas. Los mecanismos de no-Grashof también tienen aplicaciones interesantes, como
por ejemplo para controlar el movimiento de las ruedas de un automóvil, empleando en los
eslabones un movimiento oscilatorio de corto alcance. En este caso el eslabón fijo es el cha-
sis o bastidor y la biela está unida a la rueda.
ÍNDICE
ÍNDICE

MANUALES
UEX
22
Si en un mecanismo de cuatro barras se va variando el eslabón considerado como fijo, se
obtienen las distintas inversiones del mismo que se describen a continuación:
1) y 2)
Mecanismo de manivela-balancín: el eslabón más corto es contiguo al eslabón
fijo. Como aplicaciones se tienen las bicicletas elípticas, máquinas de coser, lim-
piaparabrisas, bombas de petróleo, muelas de afilar, etc.
17
Si en un mecanismo de cuatro barras se va variando el eslabón considerado como fijo, se ob‐
tienen las distintas inversiones del mismo que se describen a continuación:
1) y 2) Mecanismo de manivela‐balancín: el eslabón más corto es contiguo al eslabón fijo. Como
aplicaciones se tienen las bicicletas elípticas, máquinas de coser, limpiaparabrisas, bombas de
petróleo, muelas de afilar, etc.
1) 2)
3) Mecanismo de doble manivela: el eslabón más corto es el eslabón fijo. Como aplicaciones se
tienen mecanismos de máquinas transportadoras o máquinas de ejercicio.
4) Mecanismo de doble balancín: el eslabón más corto es el opuesto al eslabón fijo. Como ejemplo
están las grúas con pescante plegable. Obsérvese que en un doble balancín de Grashof sería el
eslabón más corto el que actúa como biela y podría efectuar revoluciones completas.
4)
3)
3)
Mecanismo de doble manivela: el eslabón más corto es el eslabón fijo. Como aplica-
ciones se tienen mecanismos de máquinas transportadoras o máquinas de ejercicio.
4)
Mecanismo de doble balancín: el eslabón más corto es el opuesto al eslabón fijo.
Como ejemplo están las grúas con pescante plegable. Obsérvese que en un doble
balancín de Grashof sería el eslabón más corto el que actúa como biela y podría
efectuar revoluciones completas.
17
Si en un mecanismo de cuatro barras se va variando el eslabón considerado como fijo, se ob‐
tienen las distintas inversiones del mismo que se describen a continuación:
1) y 2) Mecanismo de manivela‐balancín: el eslabón más corto es contiguo al eslabón fijo. Como
aplicaciones se tienen las bicicletas elípticas, máquinas de coser, limpiaparabrisas, bombas de
petróleo, muelas de afilar, etc.
1) 2)
3) Mecanismo de doble manivela: el eslabón más corto es el eslabón fijo. Como aplicaciones se
tienen mecanismos de máquinas transportadoras o máquinas de ejercicio.
4) Mecanismo de doble balancín: el eslabón más corto es el opuesto al eslabón fijo. Como ejemplo
están las grúas con pescante plegable. Obsérvese que en un doble balancín de Grashof sería el
eslabón más corto el que actúa como biela y podría efectuar revoluciones completas.
4)
3)
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ÍNDICE

MANUALES
UEX
23
Un caso particular sucede cuando en el mecanismo de cuatro barras cada barra es igual
a su opuesta, es decir que se verifica:
18
Un caso particular sucede cuando en el mecanismo de cuatro barras cada barra es igual a su
opuesta, es decir que se verifica:
a = c
b = d
Se obtiene así un cuadrilátero articulado de manivelas paralelas o paralelogramo articulado,
en el que las dos barras contiguas al soporte son manivelas. Este mecanismo de doble manivela es
muy útil, ya que dado un movimiento de entrada se obtiene el mismo movimiento en la barra de
salida, mientras que la biela se mueve en traslación curvilínea. Una aplicación común es el aco‐
plamiento de los balancines del limpiaparabrisas de un automóvil. El movimiento de un eslabón
en traslación curvilínea también tiene múltiples aplicaciones como por ejemplo en robots indus‐
triales o en elevadores de carga para camiones.
Un punto importante para garantizar el correcto funcionamiento del mecanismo de cuatro ba‐
rras es el estudio de las posiciones límites. Tal y como muestra la siguiente figura, en un mecanis‐
mo de manivela‐balancín las posiciones límites del balancín se producen cuando la biela y la mani‐
vela están alineadas.
También es interesante el estudio de aquellos mecanismos de cuatro barras con la capacidad
de ser plegables, es decir que existe una posición en la que todas las barras están alineadas. Para
ello debe cumplirse la condición:
a + b = c + d
En este caso normalmente existe una posición límite en la que el mecanismo trabaja como es‐
tructura. Como aplicación de este tipo de mecanismos se tienen las sillas plegables o algunos
maleteros de automóvil. En este último caso, el chasis del vehículo sería el eslabón fijo y la biela el
portón del maletero. En la posición cerrada del maletero, el mecanismo se encuentra plegado.
Se obtiene así un cuadrilátero articulado de manivelas paralelas o paralelogramo articu-
lado, en el que las dos barras contiguas al soporte son manivelas. Este mecanismo de doble
manivela es muy útil, ya que dado un movimiento de entrada se obtiene el mismo movimien-
to en la barra de salida, mientras que la biela se mueve en traslación curvilínea. Una aplica-
ción común es el acoplamiento de los balancines del limpiaparabrisas de un automóvil. El
movimiento de un eslabón en traslación curvilínea también tiene múltiples aplicaciones
como por ejemplo en robots industriales o en elevadores de carga para camiones.
Un punto importante para garantizar el correcto funcionamiento del mecanismo de cua-
tro barras es el estudio de las posiciones límites. Tal y como muestra la siguiente figura, en un
mecanismo de manivela-balancín las posiciones límites del balancín se producen cuando la
biela y la manivela están alineadas.
18
Un caso particular sucede cuando en el mecanismo de cuatro barras cada barra es igual a su
opuesta, es decir que se verifica:
a = c
b = d
Se obtiene así un cuadrilátero articulado de manivelas paralelas o paralelogramo articulado,
en el que las dos barras contiguas al soporte son manivelas. Este mecanismo de doble manivela es
muy útil, ya que dado un movimiento de entrada se obtiene el mismo movimiento en la barra de
salida, mientras que la biela se mueve en traslación curvilínea. Una aplicación común es el aco‐
plamiento de los balancines del limpiaparabrisas de un automóvil. El movimiento de un eslabón
en traslación curvilínea también tiene múltiples aplicaciones como por ejemplo en robots indus‐
triales o en elevadores de carga para camiones.
Un punto importante para garantizar el correcto funcionamiento del mecanismo de cuatro ba‐
rras es el estudio de las posiciones límites. Tal y como muestra la siguiente figura, en un mecanis‐
mo de manivela‐balancín las posiciones límites del balancín se producen cuando la biela y la mani‐
vela están alineadas.
También es interesante el estudio de aquellos mecanismos de cuatro barras con la capacidad
de ser plegables, es decir que existe una posición en la que todas las barras están alineadas. Para
ello debe cumplirse la condición:
a + b = c + d
En este caso normalmente existe una posición límite en la que el mecanismo trabaja como es‐
tructura. Como aplicación de este tipo de mecanismos se tienen las sillas plegables o algunos
maleteros de automóvil. En este último caso, el chasis del vehículo sería el eslabón fijo y la biela el
portón del maletero. En la posición cerrada del maletero, el mecanismo se encuentra plegado.
También es interesante el estudio de aquellos mecanismos de cuatro barras con la capa-
cidad de ser plegables, es decir que existe una posición en la que todas las barras están ali-
neadas. Para ello debe cumplirse la condición:
a + b = c + d
En este caso normalmente existe una posición límite en la que el mecanismo trabaja
como estructura. Como aplicación de este tipo de mecanismos se tienen las sillas plegables
o algunos maleteros de automóvil. En este último caso, el chasis del vehículo sería el eslabón
fijo y la biela el portón del maletero. En la posición cerrada del maletero, el mecanismo se
encuentra plegado.
ÍNDICE
ÍNDICE

MANUALES
UEX
24
1.8. MECANISMOS DE RETROCESO RÁPIDO
En muchas operaciones industriales se requieren mecanismos que realicen tareas repeti-
tivas como parte de su ciclo de movimiento, como por ejemplo sujetar o empujar piezas en
una cadena de montaje, o en máquinas-herramienta. Habitualmente existe una parte del
ciclo, llamada carrera de avance o de trabajo, en la que el mecanismo se somete a una carga.
De este modo, el resto del ciclo constituye la llamada carrera de retorno, que es la parte del
ciclo en la que el mecanismo no realiza trabajo y se limita a volver a la posición inicial.
En estos casos resulta especialmente útil que el mecanismo vuelva rápidamente a la posi-
ción inicial para realizar un nuevo trabajo. Es decir, interesa diseñar un mecanismo que
emplee una fracción del ciclo mayor para llevar a cabo la tarea de la máquina (carrera de
avance), que para simplemente volver a la posición inicial (carrera de retorno). De este modo
se evita el desperdicio de tiempo y el mecanismo es más eficaz.
Denominando tα
al tiempo empleado en la carrera de avance y tβ
al tiempo utilizado en la
carrera de retorno, se define la razón de tiempos de un mecanismo del siguiente modo:
19
1.8. Mecanismos de retroceso rápido
En muchas operaciones industriales se requieren mecanismos que realicen tareas repetitivas
como parte de su ciclo de movimiento, como por ejemplo sujetar o empujar piezas en una cadena
de montaje, o en máquinas‐herramienta. Habitualmente existe una parte del ciclo, llamada carre‐
ra de avance o de trabajo, en la que el mecanismo se somete a una carga. De este modo, el resto
del ciclo constituye la llamada carrera de retorno, que es la parte del ciclo en la que el mecanismo
no realiza trabajo y se limita a volver a la posición inicial.
En estos casos resulta especialmente útil que el mecanismo vuelva rápidamente a la posición
inicial para realizar un nuevo trabajo. Es decir, interesa diseñar un mecanismo que emplee una
fracción del ciclo mayor para llevar a cabo la tarea de la máquina (carrera de avance), que para
simplemente volver a la posición inicial (carrera de retorno). De este modo se evita el desperdicio
de tiempo y el mecanismo es más eficaz.
Denominando tα al tiempo empleado en la carrera de avance y tβ al tiempo utilizado en la ca‐
rrera de retorno, se define la razón de tiempos de un mecanismo del siguiente modo:
t
E
t



Este parámetro indica lo adecuado que es un mecanismo para realizar este tipo de operacio‐
nes repetitivas. Los mecanismos que verifican E1 se denominan mecanismos de retorno o retro‐
ceso rápido. A continuación, se describe la razón de tiempos en tres mecanismos habituales.
1.8.1. Mecanismo excéntrico de biela‐manivela.
En el mecanismo de la siguiente figura se observa que las dos posiciones límite se producen
cuando la biela y la manivela están alineadas. La posición que se corresponde con el principio de
la carrera se representa con trazo continuo, y la correspondiente al final de la carrera con trazo
discontinuo.


Avance
Retorno
Este parámetro indica lo adecuado que es un mecanismo para realizar este tipo de ope-
raciones repetitivas. Los mecanismos que verifican E1 se denominan mecanismos de retorno
o retroceso rápido. A continuación, se describe la razón de tiempos en tres mecanismos
habituales.
1.8.1. Mecanismo excéntrico de biela-manivela.
En el mecanismo de la siguiente figura se observa que las dos posiciones límite se produ-
cen cuando la biela y la manivela están alineadas. La posición que se corresponde con el
principio de la carrera se representa con trazo continuo, y la correspondiente al final de la
carrera con trazo discontinuo.
19
1.8. Mecanismos de retroceso rápido
En muchas operaciones industriales se requieren mecanismos que realicen tareas repetitivas
como parte de su ciclo de movimiento, como por ejemplo sujetar o empujar piezas en una cadena
de montaje, o en máquinas‐herramienta. Habitualmente existe una parte del ciclo, llamada carre‐
ra de avance o de trabajo, en la que el mecanismo se somete a una carga. De este modo, el resto
del ciclo constituye la llamada carrera de retorno, que es la parte del ciclo en la que el mecanismo
no realiza trabajo y se limita a volver a la posición inicial.
En estos casos resulta especialmente útil que el mecanismo vuelva rápidamente a la posición
inicial para realizar un nuevo trabajo. Es decir, interesa diseñar un mecanismo que emplee una
fracción del ciclo mayor para llevar a cabo la tarea de la máquina (carrera de avance), que para
simplemente volver a la posición inicial (carrera de retorno). De este modo se evita el desperdicio
de tiempo y el mecanismo es más eficaz.
Denominando tα al tiempo empleado en la carrera de avance y tβ al tiempo utilizado en la ca‐
rrera de retorno, se define la razón de tiempos de un mecanismo del siguiente modo:
t
E
t



Este parámetro indica lo adecuado que es un mecanismo para realizar este tipo de operacio‐
nes repetitivas. Los mecanismos que verifican E1 se denominan mecanismos de retorno o retro‐
ceso rápido. A continuación, se describe la razón de tiempos en tres mecanismos habituales.
1.8.1. Mecanismo excéntrico de biela‐manivela.
En el mecanismo de la siguiente figura se observa que las dos posiciones límite se producen
cuando la biela y la manivela están alineadas. La posición que se corresponde con el principio de
la carrera se representa con trazo continuo, y la correspondiente al final de la carrera con trazo
discontinuo.


Avance
Retorno
ÍNDICE
ÍNDICE

MANUALES
UEX
25
Suponiendo que para impulsar la manivela se emplea un motor de periodo t que gira a
velocidad constante, y α es el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de avance,
se puede determinar el tiempo de la carrera de avance tα
:
20
Suponiendo que para impulsar la manivela se emplea un motor de periodo que gira a velo‐
cidad constante, y α es el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de avance, se puede
determinar el tiempo de la carrera de avance tα:
t
2


 

=
.
Del mismo modo, si  es el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de retorno, el
tiempo de la carrera de retorno t es:
t =
2.


 

De esta forma, la razón de tiempos será:
E



Aunque el cálculo de  y es distinto en cada mecanismo, la expresión anterior es válida en
todos. Puede observarse que la razón de tiempos depende únicamente de la geometría del meca‐
nismo. Por tanto, este valor no varía con la velocidad del motor ni con el trabajo realizado.
Nótese que las dos posiciones límite dividen el ángulo 2.π girado por la manivela en dos par‐
tes no iguales. Tomando el ángulo mayor como  y el menor como, se consigue un mecanismo
de retorno rápido, puesto que el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de avance
será mayor que el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de retorno, lo que implica
que tα tβ. 
Nótese que si se invierte el sentido de rotación de la manivela se invierten también  y De
este modo se tendría un mecanismo con E1, que ya no sería de retorno rápido.
1.8.2. Mecanismo de Whitworth.
Este mecanismo (también llamado de
limadora), presentado en la figura, es una
inversión del mecanismo biela‐manivela
en el que, a través de la rotación constan‐
te de la manivela se obtiene un movi‐
miento de oscilación en la guía. Las posi‐
ciones límites del mecanismo también se
describen en la figura y coinciden con las
dos situaciones en las que la manivela y la
guía son perpendiculares.
d

2


r
Del mismo modo, si b es el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de retor-
no, el tiempo de la carrera de retorno tb
es:
20
t
2


 

=
.
t =
2.


 

E



que tα tβ. 
d

2


r
20
t
2


 

=
.
t =
2.


 

E



que tα tβ. 
d

2


r
Aunque el cálculo de a y b es distinto en cada mecanismo, la expresión anterior es
válida en todos. Puede observarse que la razón de tiempos depende únicamente de la geo-
metría del mecanismo. Por tanto, este valor no varía con la velocidad del motor ni con el
trabajo realizado.
Nótese que las dos posiciones límite dividen el ángulo 2.π girado por la manivela en dos
partes no iguales. Tomando el ángulo mayor como a y el menor como b, se consigue un
mecanismo de retorno rápido, puesto que el ángulo recorrido por la manivela durante la
carrera de avance será mayor que el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de
retorno, lo que implica que tα
tβ
.
Nótese que si se invierte el sentido de rotación de la manivela se invierten también a y
b. De este modo se tendría un mecanismo con E1, que ya no sería de retorno rápido.
inversión del mecanismo biela-manivela en el
que, a través de la rotación constante de la
manivela se obtiene un movimiento de oscila-
ción en la guía. Las posiciones límites del
mecanismo también se describen en la figura
y coinciden con las dos situaciones en las que
la manivela y la guía son perpendiculares.
Es necesario observar que, para que el
movimiento de la guía sea de oscilación, debe-
rá verificarse que la longitud r de la manivela
20
t
2


 

=
.
t =
2.


 

E



que tα tβ. 
d

2


r
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ÍNDICE

MANUALES
UEX
26
sea menor que la distancia d entre las articulaciones fijas. En el caso contrario, en el que rd,
la guía llevaría a cabo vueltas completas en lugar de oscilar.
Nótese que, como en el caso anterior, las dos posiciones límite dividen el ángulo 2.π
girado por la manivela en dos partes no iguales. Tomando el ángulo mayor como a, es decir,
como el correspondiente a la carrera de trabajo, y el menor como b, o correspondiente a la
carrera de retorno, se obtiene un mecanismo de retorno rápido.
A través de la figura anterior se deduce la siguiente expresión que relaciona la longitud
de la manivela r, la distancia entre centros fijos d y el ángulo b:
21
Es necesario observar que, para que el movimiento de la guía sea de oscilación, deberá verifi‐
carse que la longitud r de la manivela sea menor que la distancia d entre las articulaciones fijas. En
el caso contrario, en el que rd, la guía llevaría a cabo vueltas completas en lugar de oscilar.
Nótese que, como en el caso anterior, las dos posiciones límite dividen el ángulo 2.π girado
por la manivela en dos partes no iguales. Tomando el ángulo mayor como , es decir, como el
correspondiente a la carrera de trabajo, y el menor como o correspondiente a la carrera de
retorno, se obtiene un mecanismo de retorno rápido.
A través de la figura anterior se deduce la siguiente expresión que relaciona la longitud de la
manivela r, la distancia entre centros fijos d y el ángulo :
r
r = d . cos = 2 . arccos
2 d

 
Puesto que =


E , si se quiere mejorar la razón de tiempos se puede disminuir la distancia
d entre las articulaciones fijas, o aumentar el valor de la longitud de la manivela r, de forma que
disminuya el ángulo . Hay que tener en cuenta que se debe mantener rd para que el movimien‐
to de la guía siga siendo oscilante.
1.8.3. Mecanismo manivela‐balancín.
Para el cálculo de la razón de tiempos E en un mecanismo de cuatro barras del tipo manivela‐
balancín se determinarán en primer lugar los ángulos correspondientes a las posiciones límites,
que son aquellas en las que
la biela y la manivela se
hallan alineadas, tal y como
se representa en la figura. A
partir de las longitudes de los
eslabones, y empleando el
teorema del coseno, se
calculan los ángulos que
forma la biela con la horizon‐
tal en cada una de las posi‐
ciones límite:
 
 
 
 
2 2
2 2 2 2
1 3 2 4 1 3 2 4
1 2
1 3 2 1 3 2
r + r + r - r r + r - r - r
cos = ; cos =
2 . r . r + r 2 . r . r - r
 
Si se define el ángulo 2 1
= -
   , se deduce a través de la figura que = 180º +
  y análo‐
gamente, = 180º -
  , lo que permite hallar la razón de tiempos E =


.
r1
r4
r3
2

1
r2

Puesto que
21
r
2 d

 
Puesto que =


ciones límite:
 
 
 
 
2 2
2 2 2 2
1 3 2 4 1 3 2 4
1 2
1 3 2 1 3 2
r + r + r - r r + r - r - r
cos = ; cos =
2 . r . r + r 2 . r . r - r
 
= -
  y análo‐
gamente, = 180º -


.
r1
r4
r3
2

1
r2

, si se quiere mejorar la razón de tiempos se puede disminuir la distancia d
entre las articulaciones fijas, o aumentar el valor de la longitud de la manivela r, de forma
que disminuya el ángulo b. Hay que tener en cuenta que se debe mantener rd para que el
movimiento de la guía siga siendo oscilante.
1.8.3. Mecanismo manivela-balancín.
Para el cálculo de la razón de tiempos E en un mecanismo de cuatro barras del tipo
manivela-balancín se determinarán en primer lugar los ángulos correspondientes a las posi-
ciones límites, que son aquellas en las que la biela y la manivela se hallan alineadas, tal y
como se representa en la figura. A partir de las longitudes de los eslabones, y empleando el
teorema del coseno, se calculan los ángulos que forma la biela con la horizontal en cada una
de las posiciones límite:
21
r
2 d

 
Puesto que =


ciones límite:
 
 
 
 
2 2
2 2 2 2
1 3 2 4 1 3 2 4
1 2
1 3 2 1 3 2
r + r + r - r r + r - r - r
cos = ; cos =
2 . r . r + r 2 . r . r - r
 
= -
  y análo‐
gamente, = 180º -


.
r1
r4
r3
2

1
r2

21
r
2 d

 
Puesto que =


ciones límite:
 
 
 
 
2 2
2 2 2 2
1 3 2 4 1 3 2 4
1 2
1 3 2 1 3 2
r + r + r - r r + r - r - r
cos = ; cos =
2 . r . r + r 2 . r . r - r
 
= -
  y análo‐
gamente, = 180º -


.
r1
r4
r3
2

1
r2

22
con la horizontal en cada una de las posiciones límite:
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2
1 3 2 4 1 3 2 4
1 2
1 3 2 1 3 2
r + r + r - r r + r - r - r
cos = ; cos =
2 . r . r + r 2 . r . r - r
γ γ
= -
φ γ γ , se deduce a través de la figura que = 180º +
α φ y
análogamente, = 180º -
β φ , lo que permite hallar la razón de tiempos E =
α
β
.
22
con la horizontal en cada una de las posiciones límite:
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2
1 3 2 4 1 3 2 4
1 2
1 3 2 1 3 2
r + r + r - r r + r - r - r
cos = ; cos =
2 . r . r + r 2 . r . r - r
γ γ
= -
φ γ γ , se deduce a través de la figura que = 180º +
α φ y
análogamente, = 180º -
β φ , lo que permite hallar la razón de tiempos E =
α
β
.
ÍNDICE
ÍNDICE

MANUALES
UEX
27
2. INTRODUCCIÓN A LA
CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
2.1. TIPOS DE MOVIMIENTO
En el presente capítulo se realiza una introducción a la cinemática del sólido rígido, con
el objetivo de sentar las bases del análisis cinemático de mecanismos planos que se llevará a
cabo en el siguiente capítulo. Se comienza estudiando los diferentes tipos de movimiento que
cualquier sólido rígido puede realizar en un sistema plano. El posterior análisis se realizará
de acuerdo con la siguiente clasificación:
•
Movimiento de traslación: ocurre cuando cualquier línea que une dos puntos del cuer-
po permanece invariable en su dirección a lo largo del movimiento. Tal como se mues-
tra en las figuras siguientes, se puede tener un movimiento de traslación rectilínea o un
movimiento de traslación curvilínea, según sean las trayectorias descritas por cualquier
punto del cuerpo.
22
2. INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
2.1. Tipos de movimiento
En el presente capítulo se realiza una introducción a la cinemática del sólido rígido, con el ob‐
jetivo de sentar las bases del análisis cinemático de mecanismos planos que se llevará a cabo en el
siguiente capítulo. Se comienza estudiando los diferentes tipos de movimiento que cualquier
sólido rígido puede realizar en un sistema plano. El posterior análisis se realizará de acuerdo con la
siguiente clasificación:
 Movimiento de traslación: ocurre cuando cualquier línea que une dos puntos del cuerpo
permanece invariable en su dirección a lo largo del movimiento. Tal como se muestra en las figu‐
ras siguientes, se puede tener un movimiento de traslación rectilínea o un movimiento de trasla‐
ción curvilínea, según sean las trayectorias descritas por cualquier punto del cuerpo.
•
Movimiento de rotación: todos los puntos del cuerpo describen trayectorias circulares
con centro en el eje de rotación, tal como se representa en la figura siguiente.
ÍNDICE
ÍNDICE

MANUALES
UEX
28
23
O
A
B
rB/A
rA
rB A
B
rB/A
x
y
 Movimiento de rotación: todos los puntos del cuerpo describen trayectorias circulares con
centro en el eje de rotación, tal como se representa en la figura siguiente.
 Movimiento plano general: se trata de un movimiento que puede ser representado en un
sistema bidimensional como una combinación de los dos anteriores. En las figuras siguientes se
representan el movimiento de una barra apoyada en dos superficies ortogonales y el movimiento
de rodadura de un disco.
2.2. Movimiento de traslación
La figura muestra un sólido rígido que realiza un movimiento de traslación. Respecto a un sis‐
tema de ejes cartesia‐
nos, la relación existen‐
te entre los vectores de
posición de dos puntos
del cuerpo, A y B, es:
B A B/A
r r r
 
  
donde el vector B/A
r

define la posición de B
respecto de A.
A
Eje de rotación
Trayectoria de A
C C
A
•
Movimiento plano general: se trata de un movimiento que puede ser representado en
un sistema bidimensional como una combinación de los dos anteriores. En las figuras
siguientes se representan el movimiento de una barra apoyada en dos superficies orto-
gonales y el movimiento de rodadura de un disco.
23
O
A
B
rB/A
rA
rB A
B
rB/A
x
y
B A B/A
r r r
 
  
donde el vector B/A
r

respecto de A.
A
Eje de rotación
Trayectoria de A
C C
A
2.2. MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN
23
O
A
B
rB/A
rA
rB A
B
rB/A
x
y
• Movimiento de rotación: todos los puntos del cuerpo describen trayectorias circulares
con centro en el eje de rotación, tal como se representa en la figura siguiente.
• Movimiento plano general: se trata de un movimiento que puede ser representado en un
sistema bidimensional como una combinación de los dos anteriores. En las figuras siguientes
se representan el movimiento de una barra apoyada en dos superficies ortogonales y el
movimiento de rodadura de un disco.
La figura muestra un sólido rígido que realiza un movimiento de traslación. Respecto a
un sistema de ejes
cartesianos, la rela-
ción existente entre
los vectores de posi-
ción de dos puntos
B A B/A
r r r
= +
  
donde el vector B/A
r

define la posición de
B respecto de A.
A
Eje de rotación
Trayectoria de A
C C
A
23
O
A
B
rB/A
rA
rB A
B
rB/A
x
y
B A B/A
r r r
 
  
donde el vector B/A
r

respecto de A.
A
Eje de rotación
Trayectoria de A
C C
A
ÍNDICE
ÍNDICE

MANUALES
UEX
29
Derivando respecto del tiempo:
24
B/A
B A dr
dr dr
dt dt dt
 

 
Como:








B
B
A
A
B/A
dr
v
dt
dr
v
dt
dr
0 (el vector no varía ni su módulo ni su dirección)
dt
se tiene:
B A
v v

 
Por tanto, la velocidad de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un movimiento de
traslación es la misma. Si se vuelve a derivar respecto del tiempo:
B A
dv dv
dt dt

 
 B A
a a

 
En consecuencia, la aceleración de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un movi‐
miento de traslación es la misma.
2.3. Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo
En la figura se representa un cuerpo que gira alrededor de un eje LL. Como ya se ha indicado
anteriormente, todos los puntos del cuerpo describen una trayectoria circular alrededor de dicho
eje. Se va a analizar el movimiento de un punto cualquiera A del cuerpo, tomando como referen‐
cia otro punto O perteneciente al eje de rotación.
Como la trayectoria del punto A es circular, de radio r, se verifica:
 
ds r . d
L
L
O
A
Como:
24
B/A
B A dr
dr dr
dt dt dt
 

 
Como:








B
B
A
A
B/A
dr
v
dt
dr
v
dt
dr
dt
se tiene:
B A
v v

 
B A
dv dv
dt dt

 
 B A
a a

 
 
ds r . d
L
L
O
A
se tiene:
24
B/A
B A dr
dr dr
dt dt dt
 

 
Como:








B
B
A
A
B/A
dr
v
dt
dr
v
dt
dr
dt
se tiene:
B A
v v

 
B A
dv dv
dt dt

 
 B A
a a

 
 
ds r . d
L
L
O
A
Por tanto, la velocidad de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un movimien-
to de traslación es la misma. Si se vuelve a derivar respecto del tiempo:
24
B/A
B A dr
dr dr
dt dt dt
 

 
Como:








B
B
A
A
B/A
dr
v
dt
dr
v
dt
dr
dt
se tiene:
B A
v v

 
B A
dv dv
dt dt

 
 B A
a a

 
 
ds r . d
L
L
O
A
En consecuencia, la aceleración de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un
movimiento de traslación es la misma.
2.3. MOVIMIENTO DE ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO
En la figura se representa un cuerpo que gira alrededor de un eje LL. Como ya se ha indi-
cado anteriormente, todos los puntos del cuerpo describen una trayectoria circular alrededor
de dicho eje. Se va a analizar el movimiento de un punto cualquiera A del cuerpo, tomando
como referencia otro punto O perteneciente al eje de rotación.
24
B/A
B A dr
dr dr
dt dt dt
 

 
Como:








B
B
A
A
B/A
dr
v
dt
dr
v
dt
dr
dt
se tiene:
B A
v v

 
B A
dv dv
dt dt

 
 B A
a a

 
 
ds r . d
L
L
O
A
24
B/A
B A dr
dr dr
dt dt dt
 

 
Como:








B
B
A
A
B/A
dr
v
dt
dr
v
dt
dr
dt
se tiene:
B A
v v

 
B A
dv dv
dt dt

 
 B A
a a

 
 
ds r . d
L
L
O
A
ÍNDICE
ÍNDICE

MANUALES
UEX
30
25
Respecto del punto O del eje se tiene:
A
r r . sen
= φ
donde φ es constante a lo
largo de toda la trayectoria
circular de A. Por tanto:
A
ds r . sen . d
= φ θ
El cálculo de la veloci-
dad de A se obtiene deri-
vando la expresión anterior
respecto del tiempo:
( )
θ θ
= = = φ
φ
⋅
A
A A
d r . sen . d
ds d
v r . sen
dt dt dt
El término
d
dt
θ
es la velocidad angular del sólido y se representa por ω. La unidad de la
velocidad angular es
rad
s
, pudiéndose también expresar en revoluciones por minuto (rpm).
Por tanto, el módulo de la velocidad de A es:
A A
v r . sen .
= ϕ ω
Para definir totalmente la velocidad del punto A es necesario también conocer su línea
de acción y sentido. El vector A
v

, teniendo en cuenta que ω es un vector situado en el eje
de rotación, se determina mediante la expresión vectorial:
= ω ×

 
A A
v r
Si se hubiera elegido otro punto de referencia O’ del eje, se tendría un nuevo vector A
r '

y un nuevo ángulo φ’, pero la velocidad de A no varía, ya que el valor del radio de la trayec-
toria circular es el mismo, dado que se tiene:
A A
r r . sen r' . sen '
= φ
= φ
Por tanto, el estudio del movimiento
de A es independiente del punto del eje
tomado como referencia. En la figura
siguiente se representa el vector A
v

en el
plano definido por su trayectoria. Como
se ve, A
v

siempre será tangente a la
trayectoria en el punto A, y de módulo vA
= ω . r.
dθ
ds
O
C
rA r
L
L
φ
Trayectoria de A
A
ω
r
vA
Eje de rotación
25
A
r r . sen
= φ
A
ds r . sen . d
= φ θ
( )
θ θ
= = = φ
φ
⋅
A
A A
d r . sen . d
ds d
v r . sen
dt dt dt
El término
d
dt
θ
rad
s
A A
v r . sen .
= ϕ ω
v

= ω ×

 
A A
v r
r '

A A
= φ
= φ
v

en el
se ve, A
v

= ω . r.
dθ
ds
O
C
rA r
L
L
φ
Trayectoria de A
A
ω
r
vA
Eje de rotación
25
A
r r . sen
= φ
A
ds r . sen . d
= φ θ
( )
θ θ
= = = φ
φ
⋅
A
A A
d r . sen . d
ds d
v r . sen
dt dt dt
El término
d
dt
θ
rad
s
A A
v r . sen .
= ϕ ω
v

= ω ×

 
A A
v r
r '

A A
= φ
= φ
v

en el
se ve, A
v

= ω . r.
dθ
ds
O
C
rA r
L
L
φ
Trayectoria de A
A
ω
r
vA
Eje de rotación
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