Cinematica, presentación teorico practica.pdf

CINEMÁTICA
2da Unidad
6 horas
6 horas
Lic .Hector Valdivia Mendoza

2
Lic. Héctor Valdivia Mendoza
CONTENIDO
CONTENIDO
●
Capítulo 02
Semana
Semana
Introducción. Sistemas de referencia. Sistemas coordenados. Definiciones: móvil, movimiento. Vector
posición. Trayectoria. Espacio o longitud recorrida.
vector desplazamiento. Vector velocidad media. Vector velocidad instantánea, unidades. Vector aceleración
media. Vector aceleración instantánea, unidades.
Movimiento rectilíneo uniforme. Movimiento rectilíneo con aceleración constante: caída libre. Movimiento
rectilíneo con aceleración variable.
Semana
Semana
Movimiento curvilíneo en el plano: Movimiento parabólico. Componentes tangencial y normal de la
Aceleración.
Movimiento circular. Desplazamiento angular. Velocidad angular. Aceleración angular, Unidades.
Movimiento curvilíneo en el plano: componentes radial y transversal.
Movimiento curvilíneo en el espacio.
Movimiento relativo.

CINEMÁTICA
La Cinemática
La Cinemática estudia el movimiento de los objetos sin considerar las causas que lo
producen.
Partícula:
Partícula: Es un objeto que solo tiene movimiento de traslación pura (no rota, no vibra),
y sus dimensiones no interesan en el problema.
Movimiento:
Movimiento: Ligado a “lugar” y tiempo. Es el cambio de lugar que un objeto
experimenta respecto de otro (el observador)
Sistema de Referencia (SR):
Sistema de Referencia (SR): Es un objeto real respecto del cual se realizan las
mediciones. Se llama también observador. Son SR equivalentes aquellos que no tienen
movimiento entre sí.
Sistema de Coordenadas (SC):
Sistema de Coordenadas (SC): Idea abstracta que permite la identificación de cada
punto del espacio, de modo que se pueda describir el movimiento sin ambigüedad.

4
Z
X
Y
s
Δr
r1
r2
t1
t2
t3
o
CANTIDADES CINEMATICAS
Posición: r = r(t)
Desplazamiento: Δr = r(t) - r(t0)
r
r y 
r
r son cantidades
vectoriales, que dependen
del tiempo
El desplazamiento no
depende del sistema de
coordenadas elegido
s
Trayectoria: S

5
Velocidad media ( vm )
2 1
m
2 1
t t t


 
 
 


v
r r
r
Δr
r1
r2
vm
t1
t2
m
Unidad SI :
s
Es cantidad vectorial, paralela
al desplazamiento
Está definida para un
intervalo de tiempo t

6
Velocidad instantánea ( v
v )
d
dt


 r
v
t 0
Lim
t
 



r
v

 m
Unidad SI :
s
Es cantidad vectorial,
tangente a la trayectoria
|v
v| es llamada rapidez

7



s
v
Δ t
t2
t1
L
Rapidez media o promedio ( v )
m
Unidad SI :
s
Es cantidad escalar
L = Longitud recorrida o
trayectoria
t = Intervalo de tiempo que
demora en recorrer L
En general: L
r
Δ 

0
2
2 2
t y
x z
t
dα
dα dα
Δs = + + dt
dt dt dt
 
   
 
   
   
 


8
Aceleración media ( am )
1
2
m
t
t
Δt
Δ



 1
2 v
v
v
a




2
m
Unidad SI :
s
Está definida para un
intervalo de tiempo t
Es cantidad vectorial

v
v = Cambio de velocidad

9
Aceleración instantánea (a
a)
dt
dv
a



La aceleración a debe
apuntar hacia la
concavidad
t 0
Lim
t
 



v
a


2
m
Unidad SI :
s

10
MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION
z (m)
El movimiento es a lo largo de una recta
En este caso los
vectores cinemáticos
tienen tres
componentes.
La figura muestra el sistema coordenado NO
coincidente con la recta del movimiento.

11
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME
(MRU
MRU)
•La velocidad es constante
•Velocidad media igual a la velocidad instantánea
•Aceleración cero
(⃗
V =⃗
cte)

12
Si t0
=0, entonces:
0 0
(t t )
  
v
r r
0 t
  v
r r o t
  v o
x x
0 ro
r
x
Δ
x
x
o
X
(m)
y
(m)
r

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME
(MRU)

 


t
t0
0
t
d
d
t
d
d
v
r
r
v
r
r
 1D

13
GRAFICAS DEL MRU

14
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME VARIADO (MRUV
MRUV)

a=
d v
d t
⇒ ∫
v0
v
d v =∫
t0
t
a d t
• La aceleración es constante
• Movimiento cuya velocidad aumenta o disminuye linealmente con el tiempo
•Aceleración media igual a la aceleración instantánea
(⃗
a=⃗
cte)
v=v0+a t
+→

15
0
m
( )
2


v v
v
Gráfica de: v = vo+ at
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME VARIADO (MRUV)
∫
x0
x
d x =∫
t 0
t
(v0+a t ) d t
v=
d x
d t
TAREA: Mostrar que:
x=x0+v0 t+
1
2
a t
2
v2
=v0
2
+2 ⃗
a⋅Δ ⃗
x

16
Gráfica posición vs tiempo Gráfica aceleración vs tiempo
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME VARIADO (MRUV)
x(m)
t(s)
0
Pendiente de la
tangente es la
velocidad

17
Aplicación
2
0 0
g t
y=y +v t-
2
0
v=v -g t
0
m
(v v)
v
2


2 2
0
v v 2g y
  
Y(m)
VO
VO
0
g
ˆ
j
•vsubida = vbajada (rapidez)
•tsubida = tbajada (tiempo)
ˆ
a = g j
g

 
Movimiento sobre la tierra en el que actúa sólo la
gravedad, que se supone constante. Se desprecia el
efecto del aire

18
Y(m)
VO
0
V = 0
0
S
v
t
g

2
0
max
v
h
2g

t(s)
v(m/s)
0
VO
-VO
ts
2ts
0
v=v -g t
Gráfica de CAIDA LIBRE

19
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON
ACELERACIÓN VARIABLE
(t)
a
a 
La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje X es dada por X = t3
– 12 t2
+ 36 t + 30
con X en metros y t en segundos. Determine:
a) La velocidad media en 2 s  t  6 s
b) La aceleración media en 0 s  t  4 s
c) Los intervalos de tiempo en el que el movimiento es desacelerado
d) Los intervalos de tiempo en el que el movimiento es acelerado
   
6 2 ˆ
) 8 /
6 2
x x
v i
m
a m s

 

) acelerado en 2, 4 6,
d 

 
) desacelerado en 0, 2 4, 6
c 
2
s
m
24
6t
X
a 

 

s
m
36
24t
3t
X
v 2



 
     2
m s
m
î
12
0
4
0
4





v
v
a
b Tarea: Hallar la longitud recorrida en
los tres primeros segundos.
Δ S=|x(2)−x(0)|+|x(3)−x(2)|

20
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN
VARIABLE
(v)
a
a 
Para una partícula en movimiento rectilíneo cuya aceleración está dada por a(v) = 32 – 4v
(las condiciones iniciales son x = 0 m y v = 4 m/s cuando t = 0 s), encuentre v en función de
t, x en función de t, y x en función de v.
 
v t v
4 0 4
dv dv dv -4t
a = dt = t v = 4 2 - e
dt a 32 - 4v
   
  
   
t x t
1 1
4 4
0 0 0
dx -4t -4t
v vdt = dx x 4 2 e dt x = 4 2t + e
dt
       
  
Este movimiento es típico de un objeto en un fluido donde el rozamiento es proporcional a la velocidad (con
signo negativo)
 
4v
32
ln
2
4
v
ln2
8
1
x
a
vdv
dx
dx
dv
v
dx
dx
dt
dv
a
v
4
x
0















 


21
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON
ACELERACIÓN VARIABLE
(x)
a
a 
Supongamos que la aceleración es una función de x, donde a(x) = -ω2
x m/s2
, donde
ω2
=2 rad2
/s2
y x está en metros. Si la velocidad en x = 1 m es cero, ¿Cuál es la
velocidad en x = 3 m? ¿Cuánto tiempo tarda en desplazarse desde x = 1 m a x = 3 m?
 
0 0 0
2
2
x v x
2 2 2 2 2
0
1
0 0
2 2
x v x
v
v x v
a v x vdv x x v v v = ω x + - x
x x ω
d d d
ad d
dt d d

 
 
          
 
   
  
2
2 -1
0 0
0 0
2
v x
Sea A = x + y θ = sen
ω A
   
   
 
 
0 0 0
x t x
-1
0 0 0
2 2
x t x
dx dx dx 1 x
v = dt = t - t t - t = sen - θ
dt v ω A
ω A - x
 
 
     
 
 
 
  
   
0
x t = A sen ωt + θ
El movimiento resultante se llama MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS). Este movimiento es
periódico, tipo ida y vuelta alrededor de un punto.






 
A
x
sen
θ 0
1
0

22
APLICACIONES DEL MOVIMIENTO
RECTILÍNEO
La figura muestra la aceleración en función del tiempo, si
las condiciones iniciales son: X = 0 m, cuando t = 0 s, y V
= -40 m/s cuando t = 20 s. Construya las gráficas de:
a) La velocidad en función del tiempo; y
b)La posición en función del tiempo.
-10
 
t s
 
a m/s
5
20
30 40 50 60
0
a) 60
35
-15
-40
20 30
40 50 60
0
v(m/s)
t(s)
recta
b)

23
cte

a
Un móvil es disparado desde P0 sobre el plano 3x -2y + 5z = 38. P0 es el punto de intersección de
la recta perpendicular al plano que pasa por el origen de coordenadas. La velocidad inicial del
móvil es V0 = 38 m/s siguiendo la dirección perpendicular al plano, con V0z>0. (Considere g = -10
k m/s2
). Calcule:
a)El instante en que el móvil impacta con el plano xy
b)La ubicación del punto de impacto
c)La velocidad cuando z = 0
d)La ecuación del plano de movimiento.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
     
0
ˆ ˆ ˆ
ˆ
Se sabe : n = 3i - 2j+ 5k = vector normal;
ˆ
P / 3 , 2 ,5 P 3, 2,5
t t t t t
       
0 n


  2
ˆ ˆ ˆ
3i - 2j + 5k 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
a) 3i - 2j+ 5k 38 10k ;
2
38
2
1
0 0 2
r=r +v + g r=
t t t t
 
   
 
 
 
 
2 1
2
Luego de z = 0 5 + 5 38t - 5t = 0 t 42 38 s
=
  
0
ˆ ˆ ˆ
c) v = v + gt v = 3 38 i - 2 38 j-5 42 k m/s


  

24
MOVIMIENTO CURVILÍNEO
La orientación de la aceleración NO es constante
NO es constante.
       
ˆ ˆ ˆ
r i j k
t x t y t z t
  

 
     
ˆ ˆ ˆ
v i j k
d x t d y t d z t
t
dt dt dt
  

 
     
2 2 2
2 2 2
ˆ ˆ ˆ
a i j k
d x t d y t d z t
t
dt dt dt
  

       
ˆ ˆ ˆ
v v v
x y z
v i j k
t t t t
  

       
2 2 2
r t x t y t z t
  
       
2 2 2
v v v v
x y z
t t t t
  
       
2 2 2
a a a a
x y z
t t t t
  
       
x y z
ˆ ˆ ˆ
a a a
a i j k
t t t t
  

 
r t
 
0
r t
r

s

x
y
z
0
 
0
v t
 
0
a t
CONDICIÓN:
CONDICIÓN: ^
a(t)≠ ⃗
cte

25
MOVIMIENTO CURVILÍNEO
Una partícula se mueve en el espacio según la ecuación siguiente x + y2
– z3
= bt2
,
y cuando t = 0:
r = ci + 3j – 2k,
v = di + 5j + k,
a = 10i + 2j + 3k.
en donde b, c y d son constantes. Determine estas constantes.
      -17
c
17
3
2
0
0
x
y
z
bt
x
2
3
0
t
2
3
2












 
         -18
d
18
5
3
2
1
2
3
0
0
x
y
2y
z
3z
2bt
x
2
0
t
2












 




24
b
y
2
-
y
2y
z
6z
z
3z
2b
x 0
t
2
2
2






 









26
ACELERACIÓN NORMAL (aN) Y ACELERACIÓN
TANGENCIAL (at)
v
x
y
z
0
a
t
a
N
a
La aceleración tangencial cambia sólo la
cambia sólo la
magnitud
magnitud de la velocidad.
La aceleración normal cambia sólo la
cambia sólo la
dirección
dirección de la velocidad.
2 2
N t
a = a +a
N t
a = a + a
  
T̂ = vector tangente unitario
N̂ = vector normal unitario
s = Longitud recorrida (trayectoria)
La velocidad se expresa como:
ds
ˆ ˆ
v = v T = T
dt

t
dv ˆ
a = T; v = módulo de la velocidad
dt

x y
z
0
T̂
N̂ v

27
TANGENCIAL (at)
Definición de Radio de curvatura (ρ)
Δs 0
ˆ
1 ΔT
=
ρ Δs
Lim

x
y
z
0
ˆ
0
T
s

T̂
ρ
1
m
 
 
 
2
N
v ˆ
a = N; v = módulo de la velocidad
ρ

La aceleración normal se escribe:
Se cumple:
2
2
1 d r
=
ρ d s

3
1 a v
=
ρ v

 
2
2
3
2 2
d y
dx
1
=
ρ
dy
1
dx
 
 

 
 
 
 
 
3
2 2 2
1 x y - y x
=
ρ x + y
 
 
   
 
3D

28
TANGENCIAL (at)
El vector posición de una partícula esta dado por r(t) = 3t2
i + 6t j+ t3
k, donde t está en
segundos y r en metros.
a)Halle los vectores T(t) y N(t)
b) Obtenga s  s(t) si en s(t  0)=0.
c) Exprese la velocidad y la aceleración en componentes tangencial y normal.
d) Halle el radio de curvatura en t = 2 s.

 
2
2
2 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ 2-t 2t 2t
2t 2 t
ˆ ˆ
;
t 2 t 2
i - j + k
i + j + k
T N
a  
 
    
2
ˆ ˆ ˆ ˆ
c =v =3 t +2 t =6t 6
a 
v T T; T N
 
  
d ρ 2 =54 m
 
 
 
ˆ
d t
dt
ˆ t
ˆ
d t
dt
T
N =
T
^
N=
(⃗
v×⃗
a)×⃗
v
|(⃗
v×⃗
a)×⃗
v|
=
v
2
⃗
a−(⃗
v⋅⃗
a)⃗
v
v|⃗
v×⃗
a|
b) ∫
0
s
ds=∫
0
t
|⃗
v|dt ⇒ s(t)=t
3
+6t

29
ACELERACIÓN NORMAL (aN) Y TANGENCIAL (at)
Una partícula está en un campo con aceleración a (t)= sen (ωt) j + cos (ωt) k, donde  y ω son constantes.
Inicialmente está en el punto r0=7π i+5 j+4 k, moviéndose en la dirección del eje x, con rapidez ω. A los 2 s su
velocidad es v= π/4 i+4 j+ 4/π k. Todas las unidades son del SI. Calcule los vectores:
a) Posición en cualquier instante
b)Velocidad media entre el punto inicial y cuando x = 9 m. Además la velocidad instantánea en este último punto.
c)La aceleración media entre los puntos dados en b)
d)Aceleración normal en t = 2 s
e)Aceleración tangencial en t = 2 s
       
ˆ ˆ
ˆ ˆ
0 0 0 2 2
α 1 α 1
Integrando: v=v - cos ωt j+ sen ωt k; y r=r +v t- sen ωt j- cos ωt k
ω ω ω ω
 
  
  2 2
π 16 πt 16 16 πt
ˆ ˆ ˆ
r 0 r = 7π + t + 5 + 4t - sen + 4 + - cos
4 π 4 π 4

   
     
      
   
     
   
a) Con i j k
 
     
m m
ˆ ˆ
π +16
r 8 r 0
π
b) x = 9 = 7π + t t = 8 s; v = v =
4 8 - 0 4
i j m
s

 
 
 
    π
α
y
4
π
ω
2
v
con
y
;
ĵ
ω
α
î
ω
v
î
ω
0
v
:
como 0 










30
TANGENCIAL (at)
   
   
 
2 2
t N
e) a 2 = a 2 - a 2
     
   
 
 
     
   
 
π 4
4 π
2 2
2 4
4 3 3
2 2
2 4
4
ˆ ˆ ˆ ˆ
i + 4j + k × π k
v 2 a 2
1
d) v 2 = 4 ; = =
v 2 4






 
 


   
   
 
 
     
   
2
2 2 2 2
π
4 4
4 4 π
N
3 2
2 2
2
2 2 π 4
2 4
4 π
4
π +
v 2
1 m
= a = =
ρ s
+ 4 +
4








 

31
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
y
x
( x , y )
El movimiento en cada
dimensión es independiente.
La trayectoria se encuentra en un plano,
puede describirse por dos coordenadas, por
ejemplo ( x , y )
 
x
y
z
a = cte
a = cte
a = cte
a t






Movimiento Parabólico
Movimiento Parabólico
r
θ
2
0 0
t
= + t+
2
a
r r v
0
= + t
v v a
⃗
a× ⃗
v0≠⃗
0
CONDICIONES:
CONDICIONES:
⇒

32
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Condiciones:
Condiciones:
2
ˆ
) a = g = -10 /
j
a m s
 
tierra
) << R
Max
b h
c) Se desprecia el rozamiento
del aire
Eje x: Es MRU
Eje y: Es MRUV
x
y
2
0 0
t
= + t+
2
g
r r v
0
= + t
v v g

33
R = Alcance horizontal
Max
subida bajada
t = t
subida bajada
=
 
v v
máxima
Altura
hMax 

34
2g
α
sen
v
2g
v
h 0
2
2
0
2
0y
Max 

g
α
sen
v
g
v
t 0
0
0y
s 

g
α
sen
2v
g
2v
t 0
0
0y
v 

g
2α
sen
v
g
v
2v
R 0
2
0
0y
0x


x
y
v
v
α
tg 
Si v0=cte.  R es
máximo si 0=45º

35
Un proyectil es lanzado con una rapidez de v0 = 75 m/s (ver fig). Si en el instante
de lanzamiento empieza a soplar un viento que le imprime una aceleración a1 =
2 i+2 j m/s2
. Si g = -10 k m/s2,
determine
a) El vector velocidad transcurridos 2 s del lanzamiento.
b) En que punto caerá el proyectil.
x
y
z
g

0
v

37º
53º
 ˆ ˆ ˆ ˆ
2 2 10 y 27 36 60
1 0
a a = a +g = i+ j- k; v = i+ j+ k
 
   
     
ˆ ˆ
t 27 + 2t 36 + 2t 60 10t
0
v = v +a = i+ j+ - k


 
       
ˆ ˆ
2 31 40 40 m s
v = i+ j+ k


    2
z t z t 60t - 5t 0 t = 12 s
=0 =
  
      
2 2 2 2
1 ˆ ˆ
t t 27t + t 36t + t 60t 5t
2
0 0
b r = r +v + a = i+ j+ - k


  

     
ˆ ˆ
12 468 576 m
r = i+ j


36
Un cañón situado en el origen dispara un proyectil hacia un avión que vuela
con aceleración a(t)=(3t+4)i+(2t+6)j+17k m/s2
. Si cuando el cañón dispara el
avión pasa por el punto (0, -20, 60) y con velocidad v(t)=-3/2 i+7/3 j+13 k
m/s. Halle la velocidad inicial para que el proyectil alcance al avión cuando el
proyectil este justo en el punto mas alto de su trayectoria . (g= -10 k m/s2
)
Verificar : t=12 s
⃗
v0=24,5 ^
i+84,7 ^
j+17 ^
k m/s

37
MOVIMIENTO CIRCULAR
Desplazamiento Angular (Δθ)
Δθ=θ2 – θ1 (rad)
La trayectoria es una circunferencia
Posición Angular (θ)
θ(t) (rad)

38
MOVIMIENTO CIRCULAR
a
 
2
2 2
c N
v
a =a = =ω r=ωv m/s
r
 
ds
v= ω r m/s
dt
  
Rapidez v
 
C
Aceleración Normal a
modulo:
ω =lim
Δt→0
Δθ
Δt
=
dθ
dt
(rad/s)
Velocidad angular(⃗
ω )

39
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
•El módulo de la velocidad es constante.
•El módulo de la aceleración centrípeta o normal es constante.
0
θ=θ +ωt
Periodo (T): tiempo empleado para dar una vuelta.
 
rad/s
ν
π
2
T
π
2
ω 

0 0
θ t
θ t
dθ
ω = dθ ωdt
dt
 
 
•La velocidad angular es constante (⃗
ω =⃗
cte)
f =ν = 1
T
(Hz) frecuencia

40
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Gráficas (MCU)

41
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE
VARIADO (MCUV)
•La aceleración angular es constante
•El módulo de la aceleración tangencial es constante, solo cambia de dirección.
(⃗
α=⃗
cte)
Ecuaciones del (MCUV)
 
2
0
Δ d
= lim rad/s
Δt dt
x

ω ω
α
 

0
ω=ω +αt
2
1
0 0 2
θ=θ +ω t+ αt
2 2
0
ω =ω +2α Δθ
0
m
ω +ω
ω =
2
 
 
 
TAREA: Mostrar que:

42
MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)
t
a = α r
2 2
N t
a = a +a
t
N
a
a
tgθ 
TAREA: Mostrar que:
t N
a) a = α× r; b) a = ω× v
     

43
MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)
 
0 t
v=v +a t 2'
 
2
1
0 0 t
2
s=s +v t+ a t 3'
 
2 2
0 t
v =v +2a Δ 4'
s
 
0
m
v +v
v = 1'
2
 
 
 

44
GRAFICAS MCUV
q(rad)
t(s)
0
Pendiente de la
tangente es la
velocidad angular

45
MOVIMIENTO CIRCULAR
La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una circunferencia de radio 1 m,
esta descrita por s(t) = t2
-6t + 2, donde s es la longitud medida en metros, recorrida por
la partícula a lo largo de su trayectoria a partir de un origen conveniente, y t es el tiempo
en segundos. Halle el instante y la magnitud de la aceleración en que la magnitud de la
aceleración normal es de 16 m/s2
.
Comparando con la ec. Teórica: m
2
s
;
s
m
6
v
;
s
m
2
a 0
0
2
t 



De la ec. de la aceleración normal:
2t
6
t
a
v
v t
0 




Cálculo de la aceleración:
2
2
2
2
N
2
t s
m
16,12
16
2
a
a
a 




  s
5
t
y
s
1
t
1
2t
6
16
R
v
a 0
0
2
0
2
N 







Cálculo de la velocidad:
1 s , corresponde cuando se mueve en sentido horario; el otro valor cuando se mueve en
sentido contrario

46
MOVIMIENTO EN EL PLANO
Coordenadas Polares (r,θ)
x = r cos θ
y = r sen θ



î
x
x
y
θ
r
û
θ
û
ĵ
v

y
r
2 2
-1
r = x y
y
θ = tan
x
 

  
  
 

r
θ
ˆ ˆ
û = cosθ i + sen θ j
ˆ ˆ
û = -sen θ i + cos θ j





r
r θ
θ
θ r
ˆ
du
ˆ ˆ
= u = θ u
dt
ˆ
du
ˆ ˆ
= u = -θ u
dt







 
 
Ec. de Transformación
Vectores unitarios
Vectores cinemáticos
r
ˆ
r = r u

r θ
ˆ ˆ
v = r u + rθ u
 
    
2
r θ
ˆ ˆ
a = r - rθ u + 2 rθ + rθ u
   
 

47
MOVIMIENTO EN EL PLANO
Una partícula se mueve en el plano XY sobre una circunferencia de 10 m de radio según la ecuación S
= t3
- 3t2
- 9t + 5 donde S es la longitud de arco (en m) y t es el tiempo (en segundos). Determine:
a) Si es un MCUV
b) La posición, velocidad y aceleración en función de vectores unitarios i y j.
c) La posición velocidad y aceleración en función de los vectores unitarios uθ y ur.
d) Los instantes en los cuales la aceleración tiene componente sólo tangencial y ¿Cuánto vale esta?
e) Describa brevemente el movimiento de la partícula.
   2
t
a No es MCUV, pues a = S = 6t - 6 es variable; v = s = 3t - 6t - 9
  3 2
θ t = S r = 0,1t - 0,3t - 0,9t + 0,5 rad
    
ˆ ˆ ˆ ˆ
r = 10cosθ i +10sen θ j; v = -sen θ i + cosθ j ;
  2
b 3t - 6t - 9
   
     
 
2 2
2 2
ˆ ˆ
a = - 6t - 6 sen θ + 3t - 6t - 9 10 cos θ i + 6t - 6 cos θ - 3t - 6t - 9 10 sen θ j
   
   
   

        
2
ˆ ˆ ˆ ˆ
r = 10 u ; v = u ; a = - 0,1 u u
r θ r θ

 
 2 2
c 3t - 6t - 9 3t - 6t - 9 6t - 6
      
 
2
ˆ ˆ ˆ
a = - 0,1 u = ; a = u 18u
r r θ θ
0  

 
2
d 3t - 6t - 9 t = 3 s 6 3 - 6

48
MOVIMIENTO RELATIVO
Fuente figura: www.wikipedia.org
Recordemos que cada objeto real puede
ser un SR. En la figura se muestra tres
objetos, la descripción del movimiento
de uno (vg. B) por los otros es diferente.
La relación entre estas descripciones se
conoce como movimiento relativo.
⃗
rBA=⃗
rB/ A=⃗
rB−⃗
rA
Notación:
⃗
vBA=⃗
vB/ A=⃗
vB−⃗
vA
⃗
aBA=⃗
aB/ A=⃗
aB−⃗
aA

49
Si el camión viaja a una rapidez constante de νT
, determine la rapidez del embalaje a cualquier ángulo q
de la cuerda. La cuerda es de 100 pies de largo y pasa sobre una polea de tamaño insignificante en A.
● Sugerencia: relacione las coordenadas xT
y xC
con la longitud de la cuerda y evalúe la derivada con respecto al
tiempo. Luego sustituya la relación trigonométrica entre xC
y q.
MOVIMIENTO RELATIVO
L=xT +20cosec(θ) =cte
Derivando:
0=vT −20ctg(θ) cosec(θ)θ̇
vT=20ctg(θ) cosec (θ) θ̇ =xC θ̇ cosec(θ) (1)
También:
tan(θ) xC=cte ⇒ θ̇ xC=−sin(θ)cos(θ)vC (2)
De (2) en (1) y despejando: vC=−sec(θ) vT XC
disminuye, luego vC
→

50
REFERENCIAS y BIBLIOGRAFÍA
●
BURBANO DE ERCILLA, S., BURBANO GARCIA, E., GRACIA MUÑOZ, C.
(2003). Física General. Trigésima segunda edición. ZARAGOZA: TÉBAR.
●
FIIS-UNI, prácticas y exámenes anteriores
●
HIBBELER R. C. (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros. Dinámica.
Décimasegunda edición. México: Pearson Educación.
●
SERWAY R. A. & JEWETT J. W., ( 2008), Física para ciencias e ingeniería,
Volumen 1, Séptima edición. México: Cengage Learning.
●
TIPLER P., MOSCA G.(2005). Física volumen 1, Quinta edición. Madrid: Reverté.
●
Valdivia, H. G.(2004). Apuntes de clase en CepreUni. Lima.
●
YOUNG, H. D., FREEDMAN, R. A. (2009). Física Universitaria volumen 1,
décimosegunda edición. Mexico: Pearson Educación.

51
CINEMÁTICA Y LA SIMETRÍA DE INVERSIÓN DEL
TIEMPO
La aceleración NO cambia, es invariante
NO cambia, es invariante.
La velocidad sólo invierte la dirección.
sólo invierte la dirección.
La inversión del tiempo (t → -t), afecta las
cantidades cinemáticas. NO se considera
tiempos negativos, sino es el tiempo que
retrocede desde algún valor positivo hacia cero.
⃗
r (t)= ⃗
r (−t)
⃗
v(t)=−⃗
v(−t)
⃗
a(t)=
d ⃗
v(t)
d t
=
d( ⃗
−v(−t))
d(−t)
= ⃗
a(−t)
x y
z
0
v
a
r
x y
z
0
v
a
r
La posición NO cambia, es invariante
NO cambia, es invariante.

52
CINEMÁTICA Y LA SIMETRÍA DE INVERSIÓN DEL
TIEMPO
Una partícula se lanza con rapidez v0 hacia arriba. Halle el tiempo que demora en alcanza
la altura máxima. Aplique la inversión del tiempo para describir la caída de la partícula.
y(t)=y0+v0 t−
1
2
g t2
y(−t)=y0+(−v0)(−t)−
1
2
g(−t)
2

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