MATERIAL INFORMATIVO Sesión7 física 1.pdf

FÍSICA I
SESIÓN 07:Movimiento curvilíneo de partículas en el
plano. Componentes rectangulares de la velocidad y
aceleración. Movimiento parabólico. Movimiento circular,
Componentes tangencial y normal. Movimiento plano
de una partícula. Componentes radial y transversal..
Ingeniería de Minas

FISICA I
Actividades de Inicio
Docente: Mg. Francisco José Guerrero Mendoza

MOTIVACION :
En actividad de inicio, observan el video:
“Movimiento circular uniformemente”
https://youtu.be/p-xWAos5isc

MOTIVACION :

Recogemos nuestros Saberes Previos:
¿Qué es el movimiento circular uniformemente?
¿ Qué magnitudes físicas están relacionadas con el
movimiento circular uniforme?

Conflicto cognitivo
¿Qué es el movimiento circular uniforme?

Logro de la sesión
Al finalizar la sesión el estudiante el identifica los conceptos de
movimiento curvilíneo de una partícula para el desarrollo de sus
ejercicios.

CINEMÁTICA
Actividades de Proceso
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE PARTÍCULAS EN EL
PLANO.
En un plano una partícula tiene un movimiento curvilíneo,
en el cuál el vector de posición de la partícula cambia en el
tiempo. La velocidad media entre un punto A y A´ es 𝑣
∆ ⃗
∆
, y la celeridad media entre dichos puntos es el cociente
escalar:
∆
∆
.
La velocidad o velocidad instantánea es 𝑣
⃗
⃗
, y es
tangente a la trayectoria. La celeridad es el módulo de la
velocidad.
La aceleración media de un punto material entre un punto A
y A´es : 𝑎
∆
∆
; y la aceleración instantánea es: 𝑎
⃗

CINEMÁTICA
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE PARTÍCULAS EN EL
PLANO.
En el plano x,y las coordenadas rectangulares la posición
de una partícula, la velocidad y aceleración se representan:
𝑟
⃗ 𝑥𝚤̂ 𝑦𝚥̂;
𝑣
⃗ 𝑟
𝑎
⃗ 𝑣

CINEMÁTICA
MOVIMIENTO PARABÓLICO.
MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA EN DOS DIMENSIONES Y GRÁFICAS: MOVIMIENTO
COMPUESTO .
El Movimiento compuesto resulta de dos movimientos simples: MRU y MRUV.
Por el principio de independencia de movimientos: “Si un cuerpo tiene movimiento
compuesto, cada movimiento se realiza como si los otros no existiesen”, Por ejemplo el
movimiento parabólico es un movimiento en dos dimensiones.
Ecuaciones del movimiento compuesto:
Componente horizontal
1. 𝑥 𝑣 𝑡 𝑡 ; 𝑣 𝑣 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃
Componente vertical
2. 𝑦 𝑦 𝑣 𝑡 𝑡 𝑔 𝑡 𝑡
3. 𝑣 𝑣 𝑔 𝑡 𝑡 ; 𝑣 𝑣 𝑠𝑒𝑛𝜃
4. 𝑣 𝑣 2𝑔. 𝑦 𝑦
5. 𝑦 𝑦 𝑡 𝑡
Si el tiempo inicial es cero ⇒ 𝑡 0
Si la posición inicial es cero ⇒ 𝑦 0

CINEMÁTICA
Rapidez ó celeridad total: 𝒗 𝑣 𝑣
El alcance: es la distancia horizontal total cubierta durante el vuelo de
la partícula: R 𝑣 . 𝑡
Cuando el punto de partida y el de llegada están al mismo nivel
horizontal entonces:
El tiempo de subida es 𝑡
.
El tiempo de vuelo es 𝑡 2.
.
La altura máxima es ℎ á
.
g: aceleración de la gravedad.
Para un tiro horizontal desde una altura determinada:
𝑥 𝑣 𝑡 𝑡 ;
𝑦 ℎ 𝑔 𝑡 𝑡 ;
𝑣 𝑔 𝑡 𝑡 ;

CINEMÁTICA
MCU. La trayectoria es una circunferencia. En tiempos iguales se
recorren longitudes de arco iguales y se barren ángulos centrales iguales.
Ecuaciones:
. Longitud de arco recorrido:𝑠 𝑠 𝑣 𝑡 𝑡 ; donde “v” es
velocidad tangencial.
Desplazamiento angular: 𝜃 𝜃 𝑤 𝑡 𝑡
aceleración Centrípeta: ac=v2/r ó ac=r.w2; donde “ac “ es la
aceleración centrípeta o normal. “r” es radio de la circunferencia descrita.
Velocidad tangencial: “v” cuyo valor o módulo es v=r.w ; “r” es el
radio, “w” es la velocidad angular.
Período (T): Tiempo del móvil en dar una vuelta. Ó tiempo total entre el
número de vueltas.
Frecuencia (f): número de vueltas entre el tiempo total. ó para una
vuelta: f=1/T
Velocidad angular “w”:es una magnitud vectorial cuyo valor “w” mide
el ángulo central barrido por el móvil en cada unidad de tiempo , w=2π.f
ó w=2π.(1/T), con unidades radianes /s, grados/s , RPM ( revoluciones o
vueltas por minuto); RPS ( revoluciones o vueltas por segundo).

CINEMÁTICA
MCUV. La aceleración angular “𝛼” es constante. La aceleración
tangencial “at” es constante en su valor ( módulo) pero su dirección varía.
“En tiempos iguales los cambios en la velocidad angular y en la
rapidez tangencial son iguales”.
En tiempos iguales se recorren arcos y ángulos centrales diferentes.
Ecuaciones para el MCUV.
Tangenciales.
1. v 𝑟. 𝑤;
2. 𝑣 𝑣 𝑎 𝑡 𝑡 ;
3. 𝑎 𝑟. 𝛼 ; donde “ 𝑎 ” es la aceleración tangencial; “ 𝛼 ” es la
aceleración angular
4. 𝑠 𝑠 𝑣 𝑡 𝑡 𝑎 𝑡 𝑡
5. 𝑣 𝑣 2. 𝑎 𝑠 𝑠
6. 𝑠 𝑠 𝑡 𝑡

CINEMÁTICA
Ecuaciones para el MCUV.
Angulares.
1. 𝑤 𝑤 𝛼 𝑡 𝑡 ;
2. 𝜃 𝜃 𝑤 𝑡 𝑡 𝛼 𝑡 𝑡
3. 𝑤 𝑤 2. 𝛼 𝜃 𝜃
4. 𝜃 𝜃 𝑡 𝑡
Normales.
5. 𝑎 ; 𝑎 𝑟. 𝑤

CINEMÁTICA
Movimiento curvilíneo en coordenadas normal y tangencial.
El movimiento curvilíneo se puede describir mediante las componentes locales,
que son medidas a lo largo de la tangente “t” y la normal “n” a la trayectoria, para
medir de manera directa los movimientos curvilíneos. Los ejes “t” y “n” se
desplazan con el punto material.
Entre A y A´ hay un pequeño arco descrito por la partícula: 𝑑𝑠 𝜌. 𝑑𝛽 ; Entonces el
módulo de la velocidad 𝑣 𝜌 ; donde “𝛽” es el radio de curvatura.
La velocidad es: 𝑣
⃗ 𝑣. 𝑒 𝜌 𝑒
La aceleración es: 𝑎
⃗
.
𝑣. 𝑒 𝑣. 𝑒 donde:
𝑑𝑒 𝑒 . 𝑑𝛽 ; 𝑑𝑒 1. 𝑑𝛽 ; 𝑑𝑒 𝑑𝛽. 𝑒 ;
.
;
.
𝑒 ; 𝑒 𝛽𝑒 ;
Entonces: 𝑎
⃗ 𝑣. 𝛽𝑒 𝑣. 𝑒 ; 𝑎
⃗ 𝑣. 𝑒 𝑣. 𝑒 ; 𝑎
⃗ 𝑣.
.
.
𝑒 𝑣. 𝑒 ;
𝑎
⃗ 𝑣. 𝑤𝑒 𝑣. 𝑒 ; 𝑎
⃗ 𝑒 𝑣. 𝑒 ; 𝑎
⃗ 𝑎
⃗ 𝑎
⃗ ;
La componente normal de la aceleración siempre está dirigida hacia el centro de
curvatura. La componente tangencial de la aceleración está dirigida en el sentido
“t” positivo del movimiento si la rapidez (ó celeridad) aumenta y en el sentido
negativo si la celeridad disminuye

CINEMÁTICA
Movimiento curvilíneo en coordenadas normal y tangencial: Para el
movimiento circular.
Para el movimiento circular de un punto material en el movimiento curvilíneo.
La velocidad es: 𝑣
⃗ 𝑣. 𝑒 ; 𝑣
⃗ 𝑟. . 𝑒 ; 𝑣
⃗ 𝑟. 𝜃. 𝑒 ; donde: 𝑣 𝑟. 𝜃 ;
Las componentes de la aceleración son:
La aceleración es :𝑎
⃗ 𝑒 . 𝑒 ; 𝑎
⃗ 𝑎
⃗ 𝑎
⃗ ; Donde las componentes normal
y tangencial de la aceleración son: 𝑎 ; 𝑎 𝑟.
Si “α” es constante y diferente de cero: tenemos el MCUV. Cuyas ecuaciones
vectoriales son: 𝑤 𝑤 𝛼
⃗ 𝑡 𝑡 ; 𝜃
⃗ 𝜃 𝑤 𝑡 𝑡 𝛼
⃗ 𝑡 𝑡 ;
𝑤 𝑤 2𝛼
⃗ 𝑟
⃗ 𝑟 ; 𝑤 ; 𝛼 ;
Si “α=0”: tenemos el MCU. Cuyas ecuaciones vectoriales son: 𝑤 𝑤 ;
𝜃
⃗ 𝜃 𝑤 𝑡 𝑡 ; 𝑤 ; 𝑎
⃗ 𝑒 ; 𝑎
⃗ 𝑎
⃗ ;
Si el movimiento es períodico: T es el período o tiempo que demora un móvil en
dar una vuelta completa. 𝑇 ; “f” es la frecuencia.

CINEMÁTICA
Movimiento curvilíneo en coordenadas radial y transversal.
El movimiento de un punto material se puede representar mediante las coordenadas polares.
“r” es el módulo del vector posición y los vectores unitarios 𝑒 y 𝑒 están en el sentido positivo de “r” y “θ” .
Un punto material “A”se puede expresar por : 𝑟
⃗ 𝑟. 𝑒
Derivando: 𝑣
⃗ 𝑟
⃗ 𝑟. 𝑒 𝑟. 𝑒 ; donde: 𝑒
.
. 𝑒 𝜃. 𝑒 ; → 𝑣
⃗ 𝑟
⃗ 𝑟. 𝑒 𝑟𝜃. 𝑒 ó𝑣
⃗ 𝑣 𝑣 (velocidad en
componentes radial y transversal).
Donde :𝑣 𝑣 𝑣 ; Derivando la velocidad 𝑣
⃗ 𝑟
⃗ 𝑟. 𝑒 𝑟𝜃. 𝑒 nos da la aceleración:
𝑎
⃗ 𝑣
⃗ 𝑟
⃗ 𝑟. 𝑒 𝑟. 𝑒 𝑟𝜃. 𝑒 𝑟𝜃. 𝑒 𝑟𝜃. 𝑒 ; donde: 𝑒 ; 𝑒 ; 𝑒 𝑒 ; 𝑒 𝜃𝑒 ;
𝑎
⃗ 𝑣
⃗ 𝑟
⃗ 𝑟. 𝑒 𝑟. 𝜃. 𝑒 𝑟𝜃. 𝑒 𝑟𝜃. 𝑒 𝑟𝜃. 𝜃𝑒 ;
𝑎
⃗ 𝑣
⃗ 𝑟 𝑟𝜃 𝑒 𝑟𝜃 2𝑟𝜃 𝑒 ; donde : 𝑎 𝑟 𝑟𝜃 ; 𝑎 𝑟𝜃 2𝑟𝜃 ; 𝑎 ; 𝑎 𝑎 𝑎 ;
Las variaciones del módulo de “𝑣 ” y de la dirección de “𝑣 ” son:
𝑑𝑣 𝑑𝑟; ; 𝑟 ; es el término de la aceleración en el sentido positivo de la coordenada “r”
𝑟. 𝜃. 𝑑𝜃 entonces
. .
𝑟. 𝜃 ; Término de la aceleración en el sentido negativo de la coordenada “r”.

CINEMÁTICA
Las variaciones de la dirección de “𝑣 ” y del módulo de “𝑣 ” son:
;𝑣 . 𝑑𝜃 𝑟. 𝑑𝜃 entonces:
.
𝑟𝜃 y 𝑑 𝑟. 𝜃 →
.
𝑟𝜗 𝑟𝜃 son las contribuciones de la aceleración en
el sentido positivo de “𝜃” positivo.
Si “r” constante (trayectoria circular): Para 𝒗 ; entonces 𝑣 0 y 𝑣 𝑟𝜃;
Para la aceleración: “𝑎
⃗”; 𝑎 𝑟𝜃 ; 𝑎 𝑟𝜃 ; En este caso coinciden los sentidos de “𝜃” y “t” y los
sentidos de “r” y “t” son apuestos.
Para el caso de l movimiento circular con centro en el origen de coordenadas polares: “𝑎 𝑎

Ejemplo 1: La coordenada en mm de un punto animado de movimiento curvilíneo
varían con el tiempo “t” en segundos, de acuerdo con 𝑥 2𝑡2
4𝑡 e
𝑦 3𝑡3 1
3
𝑡3
. Hallar los módulos de la velocidad “𝑣
⃗” y de la aceleración “𝑎
⃗” y los ángulos
que esos vectores forman con el eje X en el instante t=2s
DATOS:

Ejemplo 2: En el instante t= 6s la velocidad de un punto que se mueve en un plano XY es
4𝑖 5𝑗 𝑚/𝑠 y en el instante t=6,1s la velocidad a cambiado a
4,3𝑖 5,4𝑗 𝑚/𝑠. Hallar el módulo “a” de la aceleración media durante el intervalo de 0,1 s y el
ángulo “θ” que la misma forma con el eje X
DATOS:

Ejemplo 3Una bola se lanza desde una ventana en un piso superior de un edificio. A la bola se le da
una velocidad inicial de 8,0 m/s a un ángulo de 20,0° bajo la horizontal. Golpea el suelo 3,00 s después.
a) ¿A que distancia, horizontalmente, desde la base del edificio, la bola golpea el suelo? b) Encuentre la
altura desde la que se lanzó la bola. c) ¿Cuánto tarda la bola en llegar a un punto 10,0 m abajo del nivel
de lanzamiento?

Ejemplo 4: Un volante cuyo diámetro es de 8pies tiene una velocidad angular
que disminuye uniformemente desde 100RPM a t = 0, hasta detenerse cuando
t=4s. Calcular las aceleraciones tangencial y normal de un punto situado sobre el
borde del volante cuando t=2s

Procesamiento de la información
EJERCICIOS
1. En el instante t=3,60s, el vector de posición de un punto que se mueve en el plana xy es de
2,76𝚤̂ 3,28𝚥̂ 𝑚. En el instante t=3,62s el vector de posición a cambiado a 2,79𝚤̂ 3,33𝚥̂ 𝑚 .
Hallar el módulo “v” de la velocidad media en ese intervalo de tiempo y el ángulo “θ” que la misma
forma con el eje X. Rpta.: v=2,92 m/s; θ=-59°

EJERCICIOS
2. Se lanzó una pelota con una velocidad inicial de 20m/s que hace un ángulo de
37° con la horizontal. Calcular el alcance de la pelota

EJERCICIOS
3. En la figura adjunta se representa la aceleración total de una partícula que
se mueve en el sentido de las manecillas del reloj en un círculo de 2,50 m de
radio en cierto instante de tiempo. En este instante, encuentre a) la aceleración
radial, b) la rapidez de la partícula y c) su aceleración tangencial.

Aplicación
● Valora el movimiento curvilíneo y redactan con sus propias
palabras ¿por qué es importante el movimiento el
movimiento curvilíneo?, en la Sesión 7 – Movimiento
curvilíneo de la partícula.

Actividades de Finales
Evaluación
Desarrollan los problemas asignados y lo presentan
en un informe académico: de resolución de problemas
de movimiento curvilíneo.

Actividades de Finales
Metacognición
Reflexionan en clase sobre:
¿Qué aprendimos hoy?
¿Qué actividades en la clase fueron más
interesantes?
¿En qué debemos mejorar?

Ingeniería de
Sistemas
Pregrado
Referencias
Hewitt P. 2009. Física conceptual. (1a Ed.) Mexico – Pearson. ISBN : 978-970-26-1510-1. Disponible:
https://ucv.primo.exlibrisgroup.com/discovery/fulldisplay?docid=alma991000237929707001&context=L&vid=
51UCV_INST:UCV&lang=es&search_scope=MyInst_and_CI&adaptor=Local%20Search%20Engine&tab=E
verything&query=any,contains,Paul%20Hewitt&sortby=rank
Freedman Roger A. Young Hugh D.2009. Física universitaria. (12a ed.) México D. F. Pearson Educación.
ISBN : 9786074422887. Disponible:
https://ucv.primo.exlibrisgroup.com/permalink/51UCV_INST/175ppoi/alma991001296749707001
Freedman Roger A. Young Hugh D. Física universitaria (12a ed.) México D. F. Pearson Educación. 2009.
SBN: 9786074422887. Disponible:
https://ucv.primo.exlibrisgroup.com/permalink/51UCV_INST/175ppoi/alma991001296749707001
RAYMON, S. y CHRIS , V., 2015. Fundamentos de Física. Ebooks7-24 [en línea]. [Consulta: 21 febrero
2022]. Disponible en: http://www.ebooks7-24.com/Default.aspx.
SERWAY, R. y JEWETT, J., 2018. Física para ciencias e ingeniería. Ebooks7-24 [en línea]. [Consulta: 21
febrero 2022]. Disponible en: https://www.ebooks7-24.com/Default.aspxSerway, R y Vuille, C. 2018.
Fundamentos de Física [en línea] . 10ª Ed. México. Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. ISBN:
9786075265629. Disponible en: http://www.ebooks7-24.com/?il=5066

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