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• Sistemas de referencia.
• Vector de posición y trayectoria.
• Velocidad.
• Aceleración.
• Componentes intrínsecas de la
velocidad y de la aceleración.
• Movimientos particulares.
Tema 2. Cinemática de la partícula
• Parte de la Mecánica que estudia el movimiento sin
tener en cuenta las causas que lo producen
• La cinemática del punto estudia la posición del punto y
sus características en función del tiempo
• Un sistema de referencia o referencial permite describir
el movimiento de la partícula en el espacio en función
del tiempo.
𝒌
𝒊
𝒋
Z
X
y
O
O: Origen de coordenadas
Base vectorial: vectores unitarios
ortogonales i, j, k
Cinemática de la partícula
Coordenadas cartesianas
𝒓𝒑
Base unitaria (𝒊, 𝒋, 𝒌)
Vector de posición
Z
X
y
𝒊
𝒌
𝒋
Vector posición
r(t1)
• Une en cada instante el origen O del Sistema de
referencia con el punto P en movimiento
• Tiene dependencia temporal r=r(t). Al variar t, el
extremo describe una curva llamada trayectoria
• OP(t)=r(t) vector de posición.
O
P(t1)
r(t2)
S
P(t2)
Ec vectorial:
r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k
Ecuaciones del movimiento
r(t)
• Expresiones de las coordenadas de la partícula móvil en
función del tiempo
O
P(t1)
r(t+Δt)=r+ Δr
x= x(t)
Ec. Paramétricas y= y(t)
z= z(t)
S
P(t2)
Trayectoria
r(t1)
O
P(t1)
r(t2)
S
• TRAYECTORIA (S en la figura) : Curva indicatriz que
describe el extremo del vector de posición al avanzar el
tiempo.
P(t2)
Ecuación de la trayectoria
f(x,y,z)=0
g(x,y,z)=0
Eliminar variable tiempo
Ec. Movimiento
x= x(t)
y= y(t)
z= z(t)
Ej. cálculo trayectoria
El movimiento de una partícula móvil viene dado por las
siguientes ecuaciones (donde K y ω son constantes
positivas conocidas)
Vector desplazamiento Δr y
espacio recorrido Δs
r1(t)
O
P Δr Q
r2(t)
Δs
∆𝑡 → 0, Δs = Δr
P
Δr1
Q R
S
Δr2
Δr3
• Caso particular de coordenadas Cilíndricas
• Movimiento en un plano
Coordenadas Polares Planas
Vector velocidad
• Velocidad media: variación del vector desplazamiento ∆𝑟 en
el intervalo de tiempo ∆𝑡 𝑣𝑚 =
∆𝑟
∆𝑡
• Velocidad instantánea: Derivada del vector desplazamiento
respecto al tiempo (límite cuando ∆𝑡 → 0)
𝑣 = lim
∆𝑡→0
∆𝑟
∆𝑡
=
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 𝑟
P
Δr1
Q R
S
Δr2
Δr3
v
Vector velocidad
• Velocidad media: variación del vector desplazamiento ∆𝑟 en
el intervalo de tiempo ∆𝑡 𝑣𝑚 =
∆𝑟
∆𝑡
• Velocidad instantánea: Derivada del vector desplazamiento
respecto al tiempo (límite cuando ∆𝑡 → 0)
ds: Elemento de arco
de la curva trayectoria
𝑣 = lim
∆𝑡→0
∆𝑟
∆𝑡
= lim
∆𝑠→0
∆𝑟
∆𝑠
lim
∆𝑡→0
∆𝑠
∆𝑡
(Regla de la cadena)
𝑼𝒕
𝑼𝒕
𝑼𝒕
o Sentido: el del movimiento
o Dirección: tangente a la
trayectoria en cada punto
Vector velocidad
• Velocidad media: variación del vector desplazamiento ∆𝑟 en
el intervalo de tiempo en el tiempo ∆𝑡 𝑣𝑚 =
∆𝑟
∆𝑡
• Velocidad instantánea: Derivada del vector desplazamiento
respecto al tiempo (límite cuando ∆𝑡 → 0)
𝑣 = lim
∆𝑡→0
∆𝑟
∆𝑡
= lim
∆𝑠→0
∆𝑟
∆𝑠
lim
∆𝑡→0
∆𝑠
∆𝑡
(Regla de la cadena)
Módulo: celeridad instantánea (espacio recorrido
sobre la trayectoria por unidad de tiempo)
𝑣(𝑡) = 𝑟 = lim
∆𝑡→0
∆𝑟
∆𝑡
= lim
∆𝑡→0
∆𝑠
∆𝑡
=
𝑑𝑠
𝑑𝑡
Vector velocidad
• Características:
o Sentido: el del movimiento
o Dirección: tangente a la trayectoria en cada punto
o Módulo: celeridad
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑢𝑡
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑢𝑡 𝑣(𝑡) =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑑𝑠
𝑠
𝑠0
= 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
• Función horaria: S =S(t) espacio recorrido sobre la
trayectoria en función del tiempo
v(t) = 𝑣(𝑡) =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
• Función cinemática o velocidad escalar: v=v(t) derivada
temporal de la función horaria
• Hodógrafa de velocidades : curva indicatriz de la
función 𝑣 = 𝑣 (t)
Velocidad: hodógrafa, funciones
horaria y cinemática
Vector velocidad: cartesianas
𝑣 = lim
∆𝑡→0
∆𝑟
∆𝑡
=
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 𝑟 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑖 +
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑗 +
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝑘
𝑣 =Vx𝑖 + V𝑦𝑗 +Vz𝑘
𝑟 𝑡 = 𝑥𝑝 t 𝑖 + 𝑦𝑝 𝑡 𝑗 + 𝑧𝑝(𝑡)𝑘
Vector aceleración
• Vector aceleración instantánea: función vectorial obtenida
como la derivada del vector velocidad respecto al tiempo
𝑎 = lim
∆𝑡→0
𝑣 𝑡+∆𝑡 −𝑣 𝑡
∆𝑡
= lim
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Características:
• Dirección : no se puede determinar a priori
• Sentido: hacia la región donde se encuentre el centro
de curvatura
• Módulo: a t = 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑 𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
Función aceleración escalar: a=a(t) derivada temporal de
la función cinemática
Hodógrafa de aceleraciones: indicatriz de la función 𝑎 = 𝑎 (t)
Aceleración
Cartesianas
𝑣(𝑡) = 𝑟(𝑡) = 𝑥 (𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗 + 𝑧(𝑡)𝑘
𝑟 𝑡 = 𝑥𝑝 t 𝑖 + 𝑦𝑝 𝑡 𝑗 + 𝑧𝑝(𝑡)𝑘
Caracterización cinemática del punto
• A partir del vector posición 𝒓 (t)
𝒓 (t) 𝒗(t)=
𝑑𝒓
𝑑𝑡
𝒂 (t)=
𝑑𝒗
𝑑𝑡
• A partir de la velocidad 𝒗 (t)
𝒂 (t) =
𝑑𝒗
𝑑𝑡
𝒗(t)=
𝑑𝒓
𝑑𝑡
𝒅𝒓
𝒓
𝒓𝟎
= 𝒗𝒅𝒕
𝒕
𝒕𝟎
Caracterización cinemática del punto
• A partir de la aceleracion 𝒂 (t)
𝒗(t)=
𝑑𝒓
𝑑𝑡
𝒅𝒓
𝒓
𝒓𝟎
= 𝒗𝒅𝒕
𝒕
𝒕𝟎
𝒂 (t) =
𝑑𝒗
𝑑𝑡
𝒅𝒗
𝒗
𝒗𝟎
= 𝒂𝒅𝒕
𝒕
𝒕𝟎
Movimientos particulares
Movimientos rectilíneos:
 Trayectoria línea recta
 𝑟 𝑡 , 𝑣 𝑡 , 𝑎 𝑡 dirección trayectoria
a) Movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.):
 velocidad constante
𝒅𝒓
𝒓
𝒓𝟎
= 𝒗𝒅𝒕
𝒕
𝒕𝟎
𝒓 = 𝒓𝟎 + 𝒗(𝒕 − 𝒕𝟎)
𝒗(t)=
𝑑𝒓
𝑑𝑡
b) Mov. rectilíneo uniformemente acelerado
 aceleración constante
𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂(𝒕 − 𝒕𝟎) (1)
Movimiento rectilíneo
𝒓 = 𝒓𝟎 + 𝒗𝟎(𝒕 − 𝒕𝟎)+
𝟏
𝟐
𝒂(𝒕 − 𝒕𝟎) 𝟐
(𝟐)
𝒂 (t) =
𝑑𝒗
𝑑𝑡
𝒅𝒗
𝒗
𝒗𝟎
= 𝒂𝒅𝒕
𝒕
𝒕𝟎
𝒗(t)=
𝑑𝒓
𝑑𝑡
𝒅𝒓
𝒓
𝒓𝟎
= 𝒗𝒅𝒕
𝒕
𝒕𝟎
Despejando (t-t0) en (1) y
sustuyendo en (2)
𝒗𝟐 − 𝒗𝟎
𝟐
= 𝟐𝒂(𝒓 − 𝒓𝟎)
Composición de movimientos
Movimiento parabólico
Eje OY: Movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado
Eje OX: Movimiento rectilíneo
uniforme
𝒂 = 𝟎𝒊 − 𝒈𝒋
𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂(𝒕 − 𝒕𝟎)
𝒂 (t) =
𝑑𝒗
𝑑𝑡
𝒅𝒗
𝒗
𝒗𝟎
= 𝒂𝒅𝒕
𝒕
𝒕𝟎
𝒂 = 𝟎𝒊 − 𝒈𝒋
Composición de movimientos
Movimiento parabólico
Condiciones iniciales
t0=0s, 𝒗𝟎 = 𝑉
𝑜𝑥𝒊 + 𝑉
𝑜𝑦𝑗 = 𝑉
𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑𝒊 + 𝑉
𝑜𝑠𝑒𝑛𝜑𝑗
𝒗 = 𝑉
𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖 + 𝑉
𝑜𝑠𝑒𝑛𝜑𝑗 − 𝒈𝒋𝑡
Composición de movimientos
Movimiento parabólico
𝒗 = 𝑉
𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖 + 𝑉
𝑜𝑠𝑒𝑛𝜑𝑗 − 𝒈𝒋𝒕
𝒗 = 𝑉
𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖 + (𝑉
𝑜𝑠𝑒𝑛𝜑 − 𝑔𝑡)𝑗
𝑉
𝑥 = 𝑉
𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑉
𝑦 = 𝑉
𝑜𝑠𝑒𝑛𝜑 − 𝑔𝑡
Ecuaciones de velocidad
Composición de movimientos
Movimiento parabólico
𝒗 = 𝑉
𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖 + (𝑉
𝑜𝑠𝑒𝑛𝜑 − 𝑔𝑡)𝑗
𝒗(t)=
𝑑𝒓
𝑑𝑡
𝒅𝒓
𝒓
𝒓𝟎
= 𝒗𝑑𝑡
𝒕
𝒕𝟎
𝒓 − 𝒓𝟎 = 𝑉
𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖 + (𝑉
𝑜𝑠𝑒𝑛𝜑 − 𝑔𝑡)𝑗 𝑑𝑡
𝒕
𝟎
𝒓 − 𝒓𝟎 = 𝑉
𝑜𝑡𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖 + (𝑉
𝑜𝑡𝑠𝑒𝑛𝜑 −
𝑔𝑡2
2
)𝑗
Condiciones iniciales t0=0s
Composición de movimientos
Movimiento parabólico
𝒓 = 𝒓𝟎 + 𝑉
𝑜𝑡𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖 + (𝑉
𝑜𝑡𝑠𝑒𝑛𝜑 −
𝑔𝑡2
2
)𝑗
Ecuaciones del movimiento
𝑥 = 𝑥0 + 𝑉
𝑜𝑡𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝑦0 + 𝑉
𝑜𝑡𝑠𝑒𝑛𝜑 −
𝑔𝑡2
2
Condiciones iniciales t0=0s, 𝒓𝟎 = 𝑥0𝑖+𝑦0𝑗 = 0𝑖+0𝑗
Composición de movimientos
Movimiento parabólico
Ecuación de la trayectoria
𝑥 = 𝑉
𝑜𝑡𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝑉
𝑜𝑡𝑠𝑒𝑛𝜑 −
𝑔𝑡2
2
𝑡 =
𝑥
𝑉
𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝑉
𝑜
𝑥
𝑉
𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑠𝑒𝑛𝜑 −
𝑔
𝑥
𝑉
𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑
2
2
𝑦 = 𝑥𝑡𝑎𝑛𝜑 −
𝑔𝑥2
2𝑉
𝑜
2
𝑐𝑜𝑠2𝜑
Radio, centro de curvatura y arco
• Dibujar el vector velocidad v en los
instantes t y t+dt.
• Centro de curvatura C: el punto de
cruce de las rectas perpendiculares a las
direcciones anteriores
• Radio de curvatura ρ: La distancia entre
la posición del móvil y el centro de
curvatura C
• Relación entre el arco y el radio (figura
izquierda) a través del radián (unidad de
ángulos)
𝜃 =
𝑠1
ρ1
=
𝑠2
ρ2
s= ρ𝜃
V
C
ρ
Componentes intrínsecas
(triedro intrínseco)
• Característico de la trayectoria del móvil caso de estudio
• Compuesto por :
 Eje Tangente a trayectoria (𝑢𝑡 )
 Eje Normal a trayectoria (𝑢𝑛 )
 Eje binormal: perpendicular plano osculador (𝑢𝑏 )
• 𝑢𝑏 = 𝑢𝑡 𝑥 𝑢𝑛
• Velocidad: tangente a la trayectoria 𝑣(𝑡) =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑢𝑡
Plano
osculador
Aceleración Coordenadas intrínsecas
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑 (𝑣.𝑢𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑 (𝑣)
𝑑𝑡
𝑢𝑡 + 𝑣
𝑑 (𝑢𝑡)
𝑑𝑡
Aceleración Tangencial
𝑎𝑡
𝑎𝑛
• Deducción a través de la expresión de vector velocidad
como el productor de escalar por vector unitario 𝑣 = 𝑣. 𝑢𝑡
La derivada del vector unitario tangencial
es perpendicular a dicho vector
𝑢𝑡. 𝑢𝑡= u2 =1
𝑑 𝑢𝑡.𝑢𝑡
𝑑𝑡
= 2𝑢𝑡
𝑑 (𝑢𝑡)
𝑑𝑡
=0
𝑑 𝑢𝑡.𝑢𝑡
𝑑𝑡
=
𝑑 (u2 )
𝑑𝑡
=0
• Sentido positivo de 𝑢𝑛 : hacia el centro de curvatura de la
trayectoria.
vt
at
an
Aceleración Normal
Aceleración Coordenadas intrínsecas
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑 (𝑣.𝑢𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑 (𝑣)
𝑑𝑡
𝑢𝑡 + 𝑣
𝑑 (𝑢𝑡)
𝑑𝑡
Aceleración Tangencial
𝑎𝑡
𝑎𝑛
vt
at
an
Aceleración Normal
𝑢𝑡 = cte
𝑑 𝑢𝑡
𝑑𝑡
=0 𝑎 𝑦 𝑢𝑡 paralelos
𝑑 𝑢𝑡
𝑑𝑡
≠0
 Trayectoria rectilínea
 Trayectoria curvilínea
𝑎 no es necesariamente
paralela a la velocidad
𝑎𝑡=
𝑑 𝑣
𝑑𝑡
𝑢𝑡
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑 (𝑣.𝑢𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑 (𝑣)
𝑑𝑡
𝑢𝑡 + 𝑣
𝑑 (𝑢𝑡)
𝑑𝑡
Aceleración Tangencial
Aceleración Coordenadas intrínsecas
𝑎𝑛=𝑣
𝑑 𝑢𝑡
𝑑𝑡
= 𝑣
𝑢𝑛
ρ
𝑣 =
𝑣2
𝜌
𝑢𝑛
ds= ρd𝜃 d𝜃 =
𝑑𝑠
𝜌
d ut
dt
=
𝑑 𝑢𝑡
𝑑θ
𝑑θ
𝑑𝑡
=
𝑑(cosθ·i+sinθ·j )
𝑑θ
𝑑θ
𝑑𝑡
= (−sinθi+cosθj)
𝑑θ
𝑑𝑡
d ut
dt
= 𝑢𝑛
𝑑θ
𝑑𝑡
=
𝑢𝑛
ρ
𝑑s
𝑑𝑡
=
𝑢𝑛
ρ
𝑣
𝜃
Ut=cosθ·i+sinθ·j
𝑢𝑛
X
y
𝜃 𝑢𝑡
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑 (𝑣.𝑢𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑 (𝑣)
𝑑𝑡
𝑢𝑡 + 𝑣
𝑑 (𝑢𝑡)
𝑑𝑡
𝑎𝑛
Aceleración Normal
Aceleración Coordenadas intrínsecas
Radio, centro de curvatura y arco
• Dibujar el vector velocidad v en los
instantes t y t+dt.
• Centro de curvatura C: el punto de
cruce de las rectas perpendiculares a las
direcciones anteriores
• Radio de curvatura ρ: La distancia entre
la posición del móvil y el centro de
curvatura C
• Relación entre el arco y el radio (figura
izquierda) a través del radián (unidad de
ángulos)
𝜃 =
𝑠1
ρ1
=
𝑠2
ρ2
s= ρ𝜃
V
C
ρ
Movimiento curvilíneo circular
 Radio de curvatura ρ constante
durante el movimiento
 Trayectoria: circunferencia.
Relación entre el arco y el radio a través del ángulo
s= ρ𝜃
C
ρ
s
𝜽
Relación entre magnitudes
escalares lineales y angulares
ds= ρd𝜃
𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= ρ
d𝜃
𝑑𝑡
= ρω
ω≡ velocidad angular: ángulo
girado por unidad de tiempo
𝑎t=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= ρ
dω
𝑑𝑡
= ρ𝛼
 Relación entre velocidad lineal y velocidad angular
 3.Relación entre aceleración normal y la velocidad angular
𝛼 aceleración angular
𝑎n=
𝑣2
𝜌
=
(ρω)
2
𝜌
= ρω2
 Relación entre aceleración tangencial y aceleración angular
Descripción vectorial magnitudes
angulares
 Vector velocidad angular ω
Módulo ω = 𝜃
Recta soporte: eje de giro
Sentido : sacacorchos
 Vector aceleración angular 𝛼 =
𝑑ω
𝑑𝑡
Colineal con ω
𝑣 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 𝑤 𝑥 𝑟
𝑎 =
𝑑 𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑 (𝑤 𝑥 𝑟)
𝑑𝑡
= 𝛼 𝑥 𝑟 + 𝑤 𝑥 (𝑤 𝑥 𝑟)
Tangencial Normal
𝜶
ω
vt
at
Eje de giro
O
P
𝑶𝑷 = 𝒓
Movimientos particulares
a) Movimiento circular uniforme
b) Movimiento circular uniformemente acelerado
ω = 𝑐𝑡𝑒 𝛼 = 0
𝜔 =
d𝜃
𝑑𝑡 d𝜃
𝜃
𝜃0
= 𝜔𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
𝜃 = 𝜃0 + 𝜔(𝑡 − 𝑡0)
𝛼 = 𝑐𝑡𝑒
𝜔 = 𝜔0 + 𝛼(𝑡 − 𝑡0)
𝜃 = 𝜃0 + 𝜔 𝑡 − 𝑡0 +
1
2
𝛼 𝑡 − 𝑡0
2
Movimiento armónico simple
Oscilación de la partícula entre dos posiciones
extremas en torno a un punto fijo.
Aceleración 𝒂 = −𝒌𝒙
Periodo (T): Tiempo que tarda en realizarse una
oscilación completa.
Unidad de medida SI: segundo (s)
Frecuencia (f): Número de veces que se repite una
oscilación en un segundo.
Unidad de medida SI: el hertzio (Hz)
Movimiento armónico simple
• Función horaria
𝑥 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (ω𝑡 + φ)
• Función cinemática
v = 𝐴ω 𝑐𝑜𝑠 (ω𝑡 + φ)
• Función aceleración
a = −𝐴ω2 𝑠𝑒𝑛 ω𝑡 + φ
a = −ω2𝑥
Construcción de Fresnel
Punto P describe un movimiento
curvilíneo circular con radio r=A y
velocidad angular ω
Vector de posición 𝑟 = 𝑟 𝑈𝑟
Punto M (Proyección del punto P
sobre el eje X) describe un
movimiento armónico simple:
𝑥 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (ω𝑡 + φ)
v = 𝐴ω 𝑐𝑜𝑠 (ω𝑡 + φ)
a = −𝐴ω2
𝑠𝑒𝑛 (ω𝑡 + φ)
• Alonso, M., Finn, E. J., 1995. Física, Addison-Wesley.
• Halliday, D., Resnick, R., Walker J.,
2001. Fundamentos de Física, (2 vols.), Compañía
Editorial Continental, México.
• Sears, F. W., Zemansky, M. W., Young, H. D.,
Freedman, R. A., 2004. Física universitaria (2 vols.),
Pearson.
• Serway, R. A., Jewett, J. W., 2005, Física para
Ciencias e Ingeniería (2 Vols.), Thomson.
• Tipler, P. A., Mosca, G., 2005. Física para la ciencia y
la tecnología (2 vols.), Reverté.
Bibliografía

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  • 1. • Sistemas de referencia. • Vector de posición y trayectoria. • Velocidad. • Aceleración. • Componentes intrínsecas de la velocidad y de la aceleración. • Movimientos particulares. Tema 2. Cinemática de la partícula
  • 2. • Parte de la Mecánica que estudia el movimiento sin tener en cuenta las causas que lo producen • La cinemática del punto estudia la posición del punto y sus características en función del tiempo • Un sistema de referencia o referencial permite describir el movimiento de la partícula en el espacio en función del tiempo. 𝒌 𝒊 𝒋 Z X y O O: Origen de coordenadas Base vectorial: vectores unitarios ortogonales i, j, k Cinemática de la partícula
  • 3. Coordenadas cartesianas 𝒓𝒑 Base unitaria (𝒊, 𝒋, 𝒌) Vector de posición Z X y 𝒊 𝒌 𝒋
  • 4. Vector posición r(t1) • Une en cada instante el origen O del Sistema de referencia con el punto P en movimiento • Tiene dependencia temporal r=r(t). Al variar t, el extremo describe una curva llamada trayectoria • OP(t)=r(t) vector de posición. O P(t1) r(t2) S P(t2) Ec vectorial: r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k
  • 5. Ecuaciones del movimiento r(t) • Expresiones de las coordenadas de la partícula móvil en función del tiempo O P(t1) r(t+Δt)=r+ Δr x= x(t) Ec. Paramétricas y= y(t) z= z(t) S P(t2)
  • 6. Trayectoria r(t1) O P(t1) r(t2) S • TRAYECTORIA (S en la figura) : Curva indicatriz que describe el extremo del vector de posición al avanzar el tiempo. P(t2) Ecuación de la trayectoria f(x,y,z)=0 g(x,y,z)=0 Eliminar variable tiempo Ec. Movimiento x= x(t) y= y(t) z= z(t)
  • 7. Ej. cálculo trayectoria El movimiento de una partícula móvil viene dado por las siguientes ecuaciones (donde K y ω son constantes positivas conocidas)
  • 8. Vector desplazamiento Δr y espacio recorrido Δs r1(t) O P Δr Q r2(t) Δs ∆𝑡 → 0, Δs = Δr P Δr1 Q R S Δr2 Δr3
  • 9. • Caso particular de coordenadas Cilíndricas • Movimiento en un plano Coordenadas Polares Planas
  • 10. Vector velocidad • Velocidad media: variación del vector desplazamiento ∆𝑟 en el intervalo de tiempo ∆𝑡 𝑣𝑚 = ∆𝑟 ∆𝑡 • Velocidad instantánea: Derivada del vector desplazamiento respecto al tiempo (límite cuando ∆𝑡 → 0) 𝑣 = lim ∆𝑡→0 ∆𝑟 ∆𝑡 = 𝑑𝑟 𝑑𝑡 = 𝑟
  • 11. P Δr1 Q R S Δr2 Δr3 v Vector velocidad • Velocidad media: variación del vector desplazamiento ∆𝑟 en el intervalo de tiempo ∆𝑡 𝑣𝑚 = ∆𝑟 ∆𝑡 • Velocidad instantánea: Derivada del vector desplazamiento respecto al tiempo (límite cuando ∆𝑡 → 0) ds: Elemento de arco de la curva trayectoria 𝑣 = lim ∆𝑡→0 ∆𝑟 ∆𝑡 = lim ∆𝑠→0 ∆𝑟 ∆𝑠 lim ∆𝑡→0 ∆𝑠 ∆𝑡 (Regla de la cadena) 𝑼𝒕 𝑼𝒕 𝑼𝒕 o Sentido: el del movimiento o Dirección: tangente a la trayectoria en cada punto
  • 12. Vector velocidad • Velocidad media: variación del vector desplazamiento ∆𝑟 en el intervalo de tiempo en el tiempo ∆𝑡 𝑣𝑚 = ∆𝑟 ∆𝑡 • Velocidad instantánea: Derivada del vector desplazamiento respecto al tiempo (límite cuando ∆𝑡 → 0) 𝑣 = lim ∆𝑡→0 ∆𝑟 ∆𝑡 = lim ∆𝑠→0 ∆𝑟 ∆𝑠 lim ∆𝑡→0 ∆𝑠 ∆𝑡 (Regla de la cadena) Módulo: celeridad instantánea (espacio recorrido sobre la trayectoria por unidad de tiempo) 𝑣(𝑡) = 𝑟 = lim ∆𝑡→0 ∆𝑟 ∆𝑡 = lim ∆𝑡→0 ∆𝑠 ∆𝑡 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡
  • 13. Vector velocidad • Características: o Sentido: el del movimiento o Dirección: tangente a la trayectoria en cada punto o Módulo: celeridad 𝑣(𝑡) = 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑢𝑡
  • 14. 𝑣(𝑡) = 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑢𝑡 𝑣(𝑡) = 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑠 𝑠0 = 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 𝑡 𝑡0 • Función horaria: S =S(t) espacio recorrido sobre la trayectoria en función del tiempo v(t) = 𝑣(𝑡) = 𝑑𝑠 𝑑𝑡 • Función cinemática o velocidad escalar: v=v(t) derivada temporal de la función horaria • Hodógrafa de velocidades : curva indicatriz de la función 𝑣 = 𝑣 (t) Velocidad: hodógrafa, funciones horaria y cinemática
  • 15. Vector velocidad: cartesianas 𝑣 = lim ∆𝑡→0 ∆𝑟 ∆𝑡 = 𝑑𝑟 𝑑𝑡 = 𝑟 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑖 + 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑗 + 𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝑘 𝑣 =Vx𝑖 + V𝑦𝑗 +Vz𝑘 𝑟 𝑡 = 𝑥𝑝 t 𝑖 + 𝑦𝑝 𝑡 𝑗 + 𝑧𝑝(𝑡)𝑘
  • 16. Vector aceleración • Vector aceleración instantánea: función vectorial obtenida como la derivada del vector velocidad respecto al tiempo 𝑎 = lim ∆𝑡→0 𝑣 𝑡+∆𝑡 −𝑣 𝑡 ∆𝑡 = lim ∆𝑡→0 ∆𝑣 ∆𝑡 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 Características: • Dirección : no se puede determinar a priori • Sentido: hacia la región donde se encuentre el centro de curvatura • Módulo: a t = 𝑎 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑2𝑠 𝑑𝑡2 Función aceleración escalar: a=a(t) derivada temporal de la función cinemática Hodógrafa de aceleraciones: indicatriz de la función 𝑎 = 𝑎 (t)
  • 17. Aceleración Cartesianas 𝑣(𝑡) = 𝑟(𝑡) = 𝑥 (𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗 + 𝑧(𝑡)𝑘 𝑟 𝑡 = 𝑥𝑝 t 𝑖 + 𝑦𝑝 𝑡 𝑗 + 𝑧𝑝(𝑡)𝑘
  • 18. Caracterización cinemática del punto • A partir del vector posición 𝒓 (t) 𝒓 (t) 𝒗(t)= 𝑑𝒓 𝑑𝑡 𝒂 (t)= 𝑑𝒗 𝑑𝑡 • A partir de la velocidad 𝒗 (t) 𝒂 (t) = 𝑑𝒗 𝑑𝑡 𝒗(t)= 𝑑𝒓 𝑑𝑡 𝒅𝒓 𝒓 𝒓𝟎 = 𝒗𝒅𝒕 𝒕 𝒕𝟎
  • 19. Caracterización cinemática del punto • A partir de la aceleracion 𝒂 (t) 𝒗(t)= 𝑑𝒓 𝑑𝑡 𝒅𝒓 𝒓 𝒓𝟎 = 𝒗𝒅𝒕 𝒕 𝒕𝟎 𝒂 (t) = 𝑑𝒗 𝑑𝑡 𝒅𝒗 𝒗 𝒗𝟎 = 𝒂𝒅𝒕 𝒕 𝒕𝟎
  • 20. Movimientos particulares Movimientos rectilíneos:  Trayectoria línea recta  𝑟 𝑡 , 𝑣 𝑡 , 𝑎 𝑡 dirección trayectoria a) Movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.):  velocidad constante 𝒅𝒓 𝒓 𝒓𝟎 = 𝒗𝒅𝒕 𝒕 𝒕𝟎 𝒓 = 𝒓𝟎 + 𝒗(𝒕 − 𝒕𝟎) 𝒗(t)= 𝑑𝒓 𝑑𝑡
  • 21. b) Mov. rectilíneo uniformemente acelerado  aceleración constante 𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂(𝒕 − 𝒕𝟎) (1) Movimiento rectilíneo 𝒓 = 𝒓𝟎 + 𝒗𝟎(𝒕 − 𝒕𝟎)+ 𝟏 𝟐 𝒂(𝒕 − 𝒕𝟎) 𝟐 (𝟐) 𝒂 (t) = 𝑑𝒗 𝑑𝑡 𝒅𝒗 𝒗 𝒗𝟎 = 𝒂𝒅𝒕 𝒕 𝒕𝟎 𝒗(t)= 𝑑𝒓 𝑑𝑡 𝒅𝒓 𝒓 𝒓𝟎 = 𝒗𝒅𝒕 𝒕 𝒕𝟎 Despejando (t-t0) en (1) y sustuyendo en (2) 𝒗𝟐 − 𝒗𝟎 𝟐 = 𝟐𝒂(𝒓 − 𝒓𝟎)
  • 22. Composición de movimientos Movimiento parabólico Eje OY: Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Eje OX: Movimiento rectilíneo uniforme 𝒂 = 𝟎𝒊 − 𝒈𝒋
  • 23. 𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂(𝒕 − 𝒕𝟎) 𝒂 (t) = 𝑑𝒗 𝑑𝑡 𝒅𝒗 𝒗 𝒗𝟎 = 𝒂𝒅𝒕 𝒕 𝒕𝟎 𝒂 = 𝟎𝒊 − 𝒈𝒋 Composición de movimientos Movimiento parabólico Condiciones iniciales t0=0s, 𝒗𝟎 = 𝑉 𝑜𝑥𝒊 + 𝑉 𝑜𝑦𝑗 = 𝑉 𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑𝒊 + 𝑉 𝑜𝑠𝑒𝑛𝜑𝑗 𝒗 = 𝑉 𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖 + 𝑉 𝑜𝑠𝑒𝑛𝜑𝑗 − 𝒈𝒋𝑡
  • 24. Composición de movimientos Movimiento parabólico 𝒗 = 𝑉 𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖 + 𝑉 𝑜𝑠𝑒𝑛𝜑𝑗 − 𝒈𝒋𝒕 𝒗 = 𝑉 𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖 + (𝑉 𝑜𝑠𝑒𝑛𝜑 − 𝑔𝑡)𝑗 𝑉 𝑥 = 𝑉 𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑉 𝑦 = 𝑉 𝑜𝑠𝑒𝑛𝜑 − 𝑔𝑡 Ecuaciones de velocidad
  • 25. Composición de movimientos Movimiento parabólico 𝒗 = 𝑉 𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖 + (𝑉 𝑜𝑠𝑒𝑛𝜑 − 𝑔𝑡)𝑗 𝒗(t)= 𝑑𝒓 𝑑𝑡 𝒅𝒓 𝒓 𝒓𝟎 = 𝒗𝑑𝑡 𝒕 𝒕𝟎 𝒓 − 𝒓𝟎 = 𝑉 𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖 + (𝑉 𝑜𝑠𝑒𝑛𝜑 − 𝑔𝑡)𝑗 𝑑𝑡 𝒕 𝟎 𝒓 − 𝒓𝟎 = 𝑉 𝑜𝑡𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖 + (𝑉 𝑜𝑡𝑠𝑒𝑛𝜑 − 𝑔𝑡2 2 )𝑗 Condiciones iniciales t0=0s
  • 26. Composición de movimientos Movimiento parabólico 𝒓 = 𝒓𝟎 + 𝑉 𝑜𝑡𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖 + (𝑉 𝑜𝑡𝑠𝑒𝑛𝜑 − 𝑔𝑡2 2 )𝑗 Ecuaciones del movimiento 𝑥 = 𝑥0 + 𝑉 𝑜𝑡𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 = 𝑦0 + 𝑉 𝑜𝑡𝑠𝑒𝑛𝜑 − 𝑔𝑡2 2 Condiciones iniciales t0=0s, 𝒓𝟎 = 𝑥0𝑖+𝑦0𝑗 = 0𝑖+0𝑗
  • 27. Composición de movimientos Movimiento parabólico Ecuación de la trayectoria 𝑥 = 𝑉 𝑜𝑡𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 = 𝑉 𝑜𝑡𝑠𝑒𝑛𝜑 − 𝑔𝑡2 2 𝑡 = 𝑥 𝑉 𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 = 𝑉 𝑜 𝑥 𝑉 𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑠𝑒𝑛𝜑 − 𝑔 𝑥 𝑉 𝑜𝑐𝑜𝑠𝜑 2 2 𝑦 = 𝑥𝑡𝑎𝑛𝜑 − 𝑔𝑥2 2𝑉 𝑜 2 𝑐𝑜𝑠2𝜑
  • 28. Radio, centro de curvatura y arco • Dibujar el vector velocidad v en los instantes t y t+dt. • Centro de curvatura C: el punto de cruce de las rectas perpendiculares a las direcciones anteriores • Radio de curvatura ρ: La distancia entre la posición del móvil y el centro de curvatura C • Relación entre el arco y el radio (figura izquierda) a través del radián (unidad de ángulos) 𝜃 = 𝑠1 ρ1 = 𝑠2 ρ2 s= ρ𝜃 V C ρ
  • 29. Componentes intrínsecas (triedro intrínseco) • Característico de la trayectoria del móvil caso de estudio • Compuesto por :  Eje Tangente a trayectoria (𝑢𝑡 )  Eje Normal a trayectoria (𝑢𝑛 )  Eje binormal: perpendicular plano osculador (𝑢𝑏 ) • 𝑢𝑏 = 𝑢𝑡 𝑥 𝑢𝑛 • Velocidad: tangente a la trayectoria 𝑣(𝑡) = 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑢𝑡 Plano osculador
  • 30. Aceleración Coordenadas intrínsecas 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑 (𝑣.𝑢𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑑 (𝑣) 𝑑𝑡 𝑢𝑡 + 𝑣 𝑑 (𝑢𝑡) 𝑑𝑡 Aceleración Tangencial 𝑎𝑡 𝑎𝑛 • Deducción a través de la expresión de vector velocidad como el productor de escalar por vector unitario 𝑣 = 𝑣. 𝑢𝑡 La derivada del vector unitario tangencial es perpendicular a dicho vector 𝑢𝑡. 𝑢𝑡= u2 =1 𝑑 𝑢𝑡.𝑢𝑡 𝑑𝑡 = 2𝑢𝑡 𝑑 (𝑢𝑡) 𝑑𝑡 =0 𝑑 𝑢𝑡.𝑢𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑 (u2 ) 𝑑𝑡 =0 • Sentido positivo de 𝑢𝑛 : hacia el centro de curvatura de la trayectoria. vt at an Aceleración Normal
  • 31. Aceleración Coordenadas intrínsecas 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑 (𝑣.𝑢𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑑 (𝑣) 𝑑𝑡 𝑢𝑡 + 𝑣 𝑑 (𝑢𝑡) 𝑑𝑡 Aceleración Tangencial 𝑎𝑡 𝑎𝑛 vt at an Aceleración Normal 𝑢𝑡 = cte 𝑑 𝑢𝑡 𝑑𝑡 =0 𝑎 𝑦 𝑢𝑡 paralelos 𝑑 𝑢𝑡 𝑑𝑡 ≠0  Trayectoria rectilínea  Trayectoria curvilínea 𝑎 no es necesariamente paralela a la velocidad
  • 32. 𝑎𝑡= 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 𝑢𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑 (𝑣.𝑢𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑑 (𝑣) 𝑑𝑡 𝑢𝑡 + 𝑣 𝑑 (𝑢𝑡) 𝑑𝑡 Aceleración Tangencial Aceleración Coordenadas intrínsecas
  • 33. 𝑎𝑛=𝑣 𝑑 𝑢𝑡 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑢𝑛 ρ 𝑣 = 𝑣2 𝜌 𝑢𝑛 ds= ρd𝜃 d𝜃 = 𝑑𝑠 𝜌 d ut dt = 𝑑 𝑢𝑡 𝑑θ 𝑑θ 𝑑𝑡 = 𝑑(cosθ·i+sinθ·j ) 𝑑θ 𝑑θ 𝑑𝑡 = (−sinθi+cosθj) 𝑑θ 𝑑𝑡 d ut dt = 𝑢𝑛 𝑑θ 𝑑𝑡 = 𝑢𝑛 ρ 𝑑s 𝑑𝑡 = 𝑢𝑛 ρ 𝑣 𝜃 Ut=cosθ·i+sinθ·j 𝑢𝑛 X y 𝜃 𝑢𝑡 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑 (𝑣.𝑢𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑑 (𝑣) 𝑑𝑡 𝑢𝑡 + 𝑣 𝑑 (𝑢𝑡) 𝑑𝑡 𝑎𝑛 Aceleración Normal Aceleración Coordenadas intrínsecas
  • 34. Radio, centro de curvatura y arco • Dibujar el vector velocidad v en los instantes t y t+dt. • Centro de curvatura C: el punto de cruce de las rectas perpendiculares a las direcciones anteriores • Radio de curvatura ρ: La distancia entre la posición del móvil y el centro de curvatura C • Relación entre el arco y el radio (figura izquierda) a través del radián (unidad de ángulos) 𝜃 = 𝑠1 ρ1 = 𝑠2 ρ2 s= ρ𝜃 V C ρ
  • 35. Movimiento curvilíneo circular  Radio de curvatura ρ constante durante el movimiento  Trayectoria: circunferencia. Relación entre el arco y el radio a través del ángulo s= ρ𝜃 C ρ s 𝜽
  • 36. Relación entre magnitudes escalares lineales y angulares ds= ρd𝜃 𝑣 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = ρ d𝜃 𝑑𝑡 = ρω ω≡ velocidad angular: ángulo girado por unidad de tiempo 𝑎t= 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = ρ dω 𝑑𝑡 = ρ𝛼  Relación entre velocidad lineal y velocidad angular  3.Relación entre aceleración normal y la velocidad angular 𝛼 aceleración angular 𝑎n= 𝑣2 𝜌 = (ρω) 2 𝜌 = ρω2  Relación entre aceleración tangencial y aceleración angular
  • 37. Descripción vectorial magnitudes angulares  Vector velocidad angular ω Módulo ω = 𝜃 Recta soporte: eje de giro Sentido : sacacorchos  Vector aceleración angular 𝛼 = 𝑑ω 𝑑𝑡 Colineal con ω 𝑣 = 𝑑𝑟 𝑑𝑡 = 𝑤 𝑥 𝑟 𝑎 = 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑 (𝑤 𝑥 𝑟) 𝑑𝑡 = 𝛼 𝑥 𝑟 + 𝑤 𝑥 (𝑤 𝑥 𝑟) Tangencial Normal 𝜶 ω vt at Eje de giro O P 𝑶𝑷 = 𝒓
  • 38. Movimientos particulares a) Movimiento circular uniforme b) Movimiento circular uniformemente acelerado ω = 𝑐𝑡𝑒 𝛼 = 0 𝜔 = d𝜃 𝑑𝑡 d𝜃 𝜃 𝜃0 = 𝜔𝑑𝑡 𝑡 𝑡0 𝜃 = 𝜃0 + 𝜔(𝑡 − 𝑡0) 𝛼 = 𝑐𝑡𝑒 𝜔 = 𝜔0 + 𝛼(𝑡 − 𝑡0) 𝜃 = 𝜃0 + 𝜔 𝑡 − 𝑡0 + 1 2 𝛼 𝑡 − 𝑡0 2
  • 39. Movimiento armónico simple Oscilación de la partícula entre dos posiciones extremas en torno a un punto fijo. Aceleración 𝒂 = −𝒌𝒙 Periodo (T): Tiempo que tarda en realizarse una oscilación completa. Unidad de medida SI: segundo (s) Frecuencia (f): Número de veces que se repite una oscilación en un segundo. Unidad de medida SI: el hertzio (Hz)
  • 40. Movimiento armónico simple • Función horaria 𝑥 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (ω𝑡 + φ) • Función cinemática v = 𝐴ω 𝑐𝑜𝑠 (ω𝑡 + φ) • Función aceleración a = −𝐴ω2 𝑠𝑒𝑛 ω𝑡 + φ a = −ω2𝑥
  • 41. Construcción de Fresnel Punto P describe un movimiento curvilíneo circular con radio r=A y velocidad angular ω Vector de posición 𝑟 = 𝑟 𝑈𝑟 Punto M (Proyección del punto P sobre el eje X) describe un movimiento armónico simple: 𝑥 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (ω𝑡 + φ) v = 𝐴ω 𝑐𝑜𝑠 (ω𝑡 + φ) a = −𝐴ω2 𝑠𝑒𝑛 (ω𝑡 + φ)
  • 42. • Alonso, M., Finn, E. J., 1995. Física, Addison-Wesley. • Halliday, D., Resnick, R., Walker J., 2001. Fundamentos de Física, (2 vols.), Compañía Editorial Continental, México. • Sears, F. W., Zemansky, M. W., Young, H. D., Freedman, R. A., 2004. Física universitaria (2 vols.), Pearson. • Serway, R. A., Jewett, J. W., 2005, Física para Ciencias e Ingeniería (2 Vols.), Thomson. • Tipler, P. A., Mosca, G., 2005. Física para la ciencia y la tecnología (2 vols.), Reverté. Bibliografía