Este documento introduce los conceptos básicos del álgebra de Boole y las funciones lógicas utilizadas en circuitos digitales. Explica las operaciones lógicas fundamentales como AND, OR y NOT y sus símbolos. También describe las compuertas lógicas básicas como AND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR y XNOR y sus tablas de verdad. El documento provee una base para entender la manipulación de expresiones lógicas y el diseño de circuitos digitales simples.

1. CIRCUITOS DIGITALES I
Algebra Booleana Operadores Lógicas
Docente: Edwin Mamani Larico

2. Algo de historia
En 1854 George Boole introdujo una
notación simbólica para el tratamiento de
variables cuyo valor podría ser verdadero
o falso (variables binarias) Así el álgebra
de Boole nos permite manipular relaciones
proposicionales y cantidades binarias.
Aplicada a las técnicas digitales se utiliza
para la descripción y diseño de circuitos
mas económicos. Las expresiones
booleanas serán una representación de la
función que realiza un circuito digital. En
estas expresiones booleanas se utilizarán
las tres operaciones básicas ( AND, OR
NOT ) para construir expresiones
matemáticas en las cuales estos
operadores manejan variables booleanas
(lo que quiere decir variables binarias).

3. Elementos del álgebra de Boole
Los símbolos elementales son:
· 0: representativo de FALSO
· 1: representativo de VERDADERO
Las operaciones fundamentales son:
· Conjunción u operación AND (se
representa con · )
· Disyunción u operación OR (se
representa con + )
· Complementación, Negación u
operación NOT ( se representa con
una barra sobre la variable,
Las variables son las proposiciones,
que se representan o simbolizan
por letras
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
F + F = F
F + V = V
V + F = V
V + V = V
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
0 . 0 = 0
0 . 1 = 0
1 . 0 = 0
1 . 1 = 1
0 = 1
1 = 0
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

4. Postulados del algebra de Boole
a) Las operaciones del Álgebra de
Boole son conmutativas.
a + b = b + a
a . b = b . a
b) Identidad
0 + a = a
1 . a = a
c) Cada operación es distributiva
respecto de la otra:
a . (b + c) = (a . b )+ (a . c)
a + b . c = (a + b) . (a + c)
d) Para cada elemento "a" existe
un elemento complementario , . Se
comprueba que:
a+a=1
a.a=0 y a=a

5. Teoremas del algebra de Boole
?

7. Resuelva aplicando los postulados
y teoremas de Boole
• preguntas • Respuesta
cbacbacbacba ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ cbba ⋅+⋅
bacbababa ⋅+⋅⋅++⋅⋅ )()( b
dcbadcbadcbadcba ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ )( dccba ⋅+⋅⋅
baa ⋅+ ba +
)( acbacbababaa +⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅ a
dcbadcbadcbadcba ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ba ⋅
)()( acba +⋅+ ba +

8. Axiomas y Postulados del algebra de boole
Existe un elemento
complementario para c/
operación.
a + ā = 1
a . ā = 0
Ley de absorción
a + a b = a
a (a + b) = a
a + b = b + a
a .b = b .a

9. Axiomas y Postulados del algebra de boole
Las operaciones de suma y
producto son conmutativas
a + b = b + a
a .b = b .a
Ambas operaciones son
asociativas
(a +b) + c =a + (b + c) = a + b + c
(a b)c = a (b c) = a b c
Ambas operaciones son
distributivas
a + bc = (a + b)(a + c)
a (b + c) = (a b) + (a c)
A B C (a +b) + c a + (b + c)
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
A B C a +b c (a + b)(a + c)
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1

10. Cada compuerta tiene dos o más variables de
entrada designadas por A, B y C y una salida binaria
designada por X, Salida y se puede asociar al
producto.
La compuerta AND produce multiplicación lógica
AND: esto es: la salida es 1 si las entradas A y la
entrada B y C, están en el binario 1: de otra
manera, la salida es 0.
El símbolo de operación algebraico de la función
AND es el mismo que el símbolo de la
multiplicación de la aritmética ordinaria (*).
Las compuertas AND pueden tener más de dos
entradas y por definición, la salida es 1 si todas las
entradas son 1.
Compuerta AND: (ver funcionamiento)

11. Compuerta OR: (ver funcionamiento)
La compuerta OR produce la función
sumadora, esto es, la salida es 1 si la
entrada A o la entrada B o ambas
entradas son 1; de otra manera, la
salida es 0.
El símbolo algebraico de la función OR
(+), es igual a la operación de
aritmética de suma.
Las compuertas OR pueden tener más
de dos entradas y por definición la
salida es 1 si cualquier entrada es 1.

12. Compuerta NOT: (ver funcionamiento)
El circuito NOT es un inversor que
invierte el nivel lógico de una señal
binaria. Produce el NOT, o función
complementaria. El símbolo
algebraico utilizado para el
complemento es una barra sobre el
símbolo de la variable binaria.
Si la variable binaria posee un valor 0,
la compuerta NOT cambia su estado
al valor 1 y viceversa.
El círculo pequeño en la salida de un
símbolo gráfico de un inversor
designa un inversor lógico. Es decir
cambia los valores binarios 1 a 0 y
viceversa.

13. Compuerta NAND: (ver funcionamiento)
Es el complemento de la función AND,
como se indica por el símbolo gráfico,
que consiste en una compuerta AND
seguida por un pequeño círculo
(quiere decir que invierte la señal).
La designación NAND se deriva de la
abreviación NOT - AND. Una
designación más adecuada habría sido
AND invertido puesto que es la
función AND la que se ha invertido.
Las compuertas NAND pueden tener
más de dos entradas, y la salida es
siempre el complemento de la función
AND.

14. Compuerta NOR: (ver funcionamiento)
La compuerta NOR es el
complemento de la
compuerta OR y utiliza el
símbolo de la compuerta OR
seguido de un círculo
pequeño (quiere decir que
invierte la señal). Las
compuertas NOR pueden
tener más de dos entradas, y
la salida es siempre el
complemento de la función
OR.

15. Compuerta Separador (yes):
Un símbolo triángulo por sí mismo
designa un circuito separador, el cual no
produce ninguna función lógica particular
puesto que el valor binario de la salida es
el mismo de la entrada.
Este circuito se utiliza simplemente para
amplificación de la señal. Por ejemplo, un
separador que utiliza 5 volt para el binario
1, producirá una salida de 5 volt cuando la
entrada es 5 volt. Sin embargo, la
corriente producida a la salida es muy
superior a la corriente suministrada a la
entrada de la misma.

16. Compuerta XOR (or
exclusiva)
En la electrónica digital hay unas
compuertas que no son comunes. Una
de ellas es la compuerta XOR ó
compuerta O exclusiva ó compuerta O
excluyente.
El siguiente diagrama muestra el
símbolo de una compuerta XOR (O
exclusiva) de 2 entradas asi como la
tabla de verdad de una de tres
entradas
Comprender el funcionamiento de esta
compuerta digital es muy importante
para después poder implementar lo
que se llama un comparador digital.
X = A.B + A.B

17. LA PUERTA NOR EXCLUSIVA O
XNOR
Una compuerta NOR - exclusiva o XNOR
opera en forma exactamente opuesta a
una compuerta XOR-
Es decir que una compuerta XNOR indica,
mediante un UNO lógico en su salida,
cuando las dos entradas tienen el mismo
estado.
Esta característica la hace ideal para su
utilización como verificador de igual en
comparadores y otros circuitos
aritméticos ..
En la figura se muestra el símbolo lógico, y
en la tabla el funcionamiento de una
compuerta XNOR.
EN TTL ES EL 7486 y 74266
A B Y
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1

18. Resumen Funciones lógicas

19. TERMINOLOGIA
CONSTANTES. " O lógico " que significa condición no existente que no
se cumple, Falsa. " 1 lógico " que significa condición
existente, que se cumple, Verdadera.
VARIABLES. Representación de proposiciones o condiciones
lógicas por medio de letras.
OPERADORES. Establecen la manera en que se relacionan u operan las
constantes, y variables lógicas para proporcionar
un resultado lógico
EXPRESIÓN. Término formado con constantes y variables lógicas por medio
de uno perador lógico
FUNCION. Una variable lógica cuya veracidad está en dependencia
de otras variables lógicas, las cuales forman una expresión lógica y su
dependencia funcional se establece por el operador de asignación o de
igual