El documento describe los conceptos fundamentales del álgebra de Boole, incluyendo: - El álgebra de Boole esquematiza las operaciones lógicas AND, OR y NOT, así como conjuntos de operaciones de unión, intersección y complemento. - Fue desarrollada por George Boole en el siglo XIX para describir expresiones lógicas utilizando técnicas algebraicas. - Actualmente se aplica ampliamente en diseño electrónico, particularmente en circuitos lógicos digitales.

1. *Telesup*
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2. Álgebra de Boole (también llamada álgebra booleana)
en informática y matemática, es una estructura
algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y
SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de
operaciones unión, intersección y complemento.
*Telesup*
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3. Se denomina así en honor a George Boole (2 de
noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés
autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de
un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto: The
Mathematical Analysis of Logic,1publicado en 1847, en respuesta a
una controversia en curso entre Augustus De Morgan y Sir William
Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas
algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. Más
tarde como un libro más importante: The Laws of
Thought,2 publicado en 1854.
En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma
generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude
Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de
conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede
aplicar a dos campos:
Al análisis, porque es una forma concreta de describir como
funcionan los circuitos.
Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, 3
*Telesup*
para poder desarrollar una implementación de la función.

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9. Nivel lógico
0 lógico
Algebra
tradicional
Algebra
booleana
Variables
Representan
números reales
Representan solo
0 o 1.
Operadores
Retornan
números
reales.
Retornan solo 0 o
1.
1 lógico
Falso
Verdadero
Apagado
Encendido
Bajo
Alto
No
Si
Interruptor abierto
Interruptor cerrado
Operadores básicos
AND, OR, NOT
Ejemplo:
Don Ramón se pone bravo si doña Florinda le pega o el
chavo le da bomba y la chilindrina no lo consuela.
• F: Don Ramón se pone bravo. (F=1, don Ramón bravo;
F=0 don Ramón calmado).
• A: El chavo le da bomba a don Ramón.
• B: Doña florinda le pega a don Ramón.
• C: La chilindrina consuela a don Ramón.
F = (A OR
B)AND(NOT(C))
Expresión
booleana
*Telesup*
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10. • Algebra booleana: Sistema algebraico que opera sobre variables
booleanas. La naturaleza binaria (de 2 estados) del algebra
booleana la hace apta para el análisis, simplificación y diseño de
circuitos lógicos.
• Variables booleana: Variable que
puede tomar solo dos posibles valores,
tales como HIGH/LOW, 1/0, On/Off o
TRUE/FALSE.
• Expresión booleana: Expresión
algebraica compuesta por variables
booleanas y operadores tales como
AND, OR o NOT. También es
conocida como función booleana o
función lógica.
F = (A OR
B)AND(NOT(C))
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0

11. OPERADORES
BOOLEANOS
OPERADORES
BOOLEANOS
LOGICOS BASICOS
Este operador retorna V solo
cuando ambas entradas son
V.
Este operador retorna V
cuando cualquiera de las
entradas es V.
Ejemplo:
Dada la función lógica mostrada a
continuación. ¿Cuál es su valor si A=1, B=0,
D=0, C=0 y E=1?
Este operador retorna como
salida el valor opuesto a la
entrada.
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12. TABLA DE
VERDAD
Es una herramienta para describir la forma en que la salida de una
función o circuito lógico depende de los niveles lógicos presentes a la
entrada.
Entradas Salida
(3)
A
B
C
Circuito
lógico
x
Filas
(8)
Para N entradas existen un total
de
2^N
combinaciones
posibles y por ende 2^N filas
en la tabla de verdad asociada
a la función que esta se
encuentra representando.
Ejemplo:
Se tiene un circuito con 3 entradas el cual se
enciende en los siguientes casos:
• Cuando dos de las entradas se
encuentran en alto.
• Cuando las tres entradas son iguales.
Llene la tabla de verdad asociada a este
circuito.
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13. COMPUERTAS
LOGICAS
Las funciones lógicas pueden representar circuitos lógicos.
Tabla de
verdad
Función
booleana
Circuito
lógico
Compuerta lógica
Circuito electrónico que realiza
una función lógica booleana.
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14. OPERADORES
BOOLEANOS Y
COMPUERTAS Compuerta AND
LOGICAS
Inversor
A
A
B
Z
Compuerta NOR
A
B
Z
Compuerta NAND
Z
A
B
Compuerta OR
A
B
Z
Z
Compuerta XOR
A
B
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Z
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15. COMPUERTA
NOT
A
X
La operación NOT produce una salida cuyo
valor es el opuesto al valor de su entrada.
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16. COMPUERTA AND
A
B
X
La operación AND produce una
salida de 1 solo cuando todas sus
entradas son 1. En cualquier otro
caso la salida es 0.
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17. COMPUERTA
OR A
B
X
La operación OR produce una salida
de 1 siempre que cualquiera de sus
entradas sea 0. En cualquier otro
caso la salida es 0.
*Telesup*
1
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18. DIAGRAMAS DE TIEMPO PARA
LAS COMPUERTAS AND, OR Y
NOT
*Telesup*
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19. COMPUERTA
NOR
A
X
B
La operación NOR produce una salida de 1 solo cuando todas sus entradas
son 0. En cualquier otro caso la salida es 0.
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20. COMPUERTA NAND
A
X
B
La operación NAND produce una salida de 0 solo cuando todas sus entradas
son 1. En cualquier otro caso la salida es 1.
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21. COMPUERTA XOR
A
B
X
La operación XOR produce una salida de 1 cuando sus entradas son
diferentes. En cualquier otro caso la salida es 0.
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22. COMPUERTA
XNOR A
X
B
Produce una salida 1 solo cuando las entradas son iguales, en caso
opuesto la salida producida es 0.
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2

23. RESUMEN
COMPUERTAS
Compuerta
Símbolo
Tabla de
verdad
Expresión
AND
OR
NOT
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24. RESUMEN
COMPUERTAS
Compuerta
Símbolo
Tabla de
verdad
Expresión
NOR
NAND
XNOR
*Telesup*
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25. RESUMEN
COMPUERTAS
Compuerta
Tabla de
Símbolo
Expresión
verdad
XOR
*Telesup*
2
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26. REPASO DE LO
VISTO
Ejemplo 1: Determine la forma de onda de salida para la compuerta OR,
cuando se tiene la siguiente entrada a estas:
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27. REPASO DE LO
VISTO
Ejemplo 2: Para la compuerta OR de 3 entradas mostrada a
continuación, determine la forma de onda a la salida.
Ejemplo 3: Como seria la salida si
lo que se tuviera fuera una
compuerta AND de 3 entradas
*Telesup*
2
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28. DESCRIBIENDO CIRCUITOS
LOGICOS
ALGEBRAICAMENTE
• Cualquier circuito lógico, sin importar su complejidad, pueden ser
completamente descritos usando las tres operaciones básicas: OR,
AND y NOT.
¿Como se interpreta AB +
C?
Se aplica un OR
entre A.B y el
termino C
Se aplica un AND
entre A y el termino
B+C
ORDEN DE PROCEDENCIA
*Telesup*
2
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29. •
ORDEN DE
LasPRESEDENCIAlas operaciones OR
operaciones AND se hace antes que
Los paréntesis hacen mas clara la
precedencia pero no son necesarios
para el caso anterior
• Cuando in inversor esta presente en un diagrama de circuito lógico, su
expresión de salida simplemente es igual a la expresión de entrada con
una barra sobre esta.
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30. REGLAS DE PRECEDENCIA
EN ALGEBRA BOOLEANA
La siguiente tabla muestra el orden de precedencia,
siendo la mas alta la que va de primero.
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31. PRECEDENCIA EN ALGEBRA
BOOLEANA ALGUNOS EJEMPLOS
Evalué las siguientes expresiones booleanas,
asumiendo que a=1, b = 1, c = 0 y d = 1.
1. F = a*b +
c
Respuesta: * tiene precedencia sobre +, así que
cuando se evalúa la expresión se tiene que F=(1*1) + 0
= 1 + 0 = 1.
2. F = ab +
c
Respuesta: El problema es similar al anterior +, solo que
en este caso se usa la notación alternativa para la
operación AND.
3. F = ab’
Respuesta: Primero debe evaluarse b’ por que el NOT tiene
precedencia sobre el AND, esto resulta en:
F=1*(1’)=1*(0)=1*0=0.
4. F = (ac)’
Respuesta: Primero se evalúa lo que esta dentro de
paréntesis para luego se negar el resultado: F=(1*0)’=(0)’=0’=1.
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32. PRECEDENCIA EN ALGEBRA
BOOLEANA ALGUNOS
EJEMPLOS
Evalué las siguientes expresiones booleanas,
asumiendo que A=0, B = 1, C = 1 y D = 1.
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3
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33. ANALISIS DE FUNCIONES
BOOLEANAS MEDIANTE EL USO DE
TABLAS
Siempre que se tenga un circuito lógico combinacional
y desee saber como funciona, la mejor manera de
analizarlo es mediante el uso de una tabla se verdad.
Salida
Entradas
Nodos intermedios: No
son entradas ni salidas
son solo conexiones entre
la salida de una
compuerta y la entrada de
3
otra
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34. ANALISIS DE FUNCIONES BOOLEANAS
MEDIANTE EL USO DE TABLAS
Ejercicio:
Muestre la tabla de verdad asociada a la siguiente
función lógica:
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35. RELACION ENTRE FUNCIONES
LOGICAS Y CIRCUITOS
DIGITALES
Cuando la operación de un circuito esta definida por una
función booleana, nosotros podemos dibujar el circuito
directamente de la expresión.
*Telesup*
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36. ANALISIS DE FUNCIONES
BOOLEANAS MEDIANTE EL USO DE
TABLAS
Dibuje el circuito que implementa la siguiente función
lógica:
Dibuje nuevamente el circuito pero esta vez asuma
como restricción que este no puede tener compuertas
de mas de 3 entradas.
*Telesup*
3
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37. ANALISIS DE FUNCIONES
BOOLEANAS MEDIANTE EL USO DE
TABLAS
Dibuje el circuito que implementa la siguiente función
lógica:
Como restricción use compuertas que no tengan mas
de dos entradas.
Ahora siguiendo la misma restricción implemente en un
circuito digital la siguiente función lógica.
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38. TEOREMAS
BOOLEANOS
*Telesup*
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39. TEOREMAS
BOOLEANOS
Postulados de Huntington
Las operaciones en algebra booleana están basadas en los
siguientes postulados:
x+y=y+x
yx
;
xy =
En aplicación en los circuitos digitales podríamos decir que no
importa el orden de conexión de las entradas a una compuerta OR
o AND.
*Telesup*
3
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40. TEOREMAS
BOOLEANOS
x + (y+z) = (x + y)+z
x + (y.z) = (x + y).(x+z)
x.z
;
x.(y.z) = (x.y).z
;
x.(y+z) = x.y +
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0

41. TEOREMAS
BOOLEANOS
Postulado 5 (Identidades): En el conjunto S existen dos
elementos 1 (uno) y 0 (cero), únicos, tales que:
x+0=x
x
0
x
;
x.1 = x
x
1
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x
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42. TEOREMAS DEL
ALGEBRA BOOLEANA
Principio de dualidad:
Cualquier expresión algebraica derivada de los axiomas continua
siendo valida cuando los operandos AND y OR, y los elementos 1 y 0
son intercambiados.
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43. TEOREMAS DEL
ALGEBRA BOOLEANA
Teoremas
Teorema 1: Los elementos de identidad 0 y 1 son unicos.
Teorema 2 (Idempotencia):
(i) x + x = x
(ii) x.x = x
Teorema 3 (Elemento nulo):
(i) x + 1 = 1
(ii) x.0 = 0
Teorema 4 (Leyes de absorción):
(i) x + xy = x
(ii) x(x+y) = x
Teorema 5: Cada elemento en el conjunto S tiene un único
complemento.
*Telesup*
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3

44. TEOREMAS DEL
ALGEBRA BOOLEANA
El cual generalizado para mas elementos mas de dos elementos
será:
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45. TEOREMAS DEL
ALGEBRA BOOLEANA
*Telesup*
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46. DEMOSTRACIONE
S
P5. Identidades: x.1 = x
P4. Propiedad distributiva: x(y+z) = xy
+ xz
T3. x + 1 = 1
P5. x.1 = x
P4. Propiedad distributiva: x+y.z =
(x+y)(x+z)
P5. Identidades: x+1 = x
P4. Propiedad distributiva: x+y.z =
(x+y)(x+z)
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47. SIMPLIFICACION DE
FUNCIONES es la simplificación de funciones
Una las principales aplicaciones
lógicas, lo cual tiene un efecto en la disminución del numero de
compuertas que tendrá al circuito lógico asociado a la función en
cuestión. A este proceso se le conoce como manipulación
algebraica.
Ejemplo 1:
Simplifique la siguiente expresión utilizando las leyes y reglas de
boole.
ab + a(b+c) + b (b+c) = ab + ab + ac + b +
bc
= ab + ac + b (1+ c)
= ab + ac + b  1
= ab + ac + b
= b (a +1) + ac
= b  1 + ac
= b +ac *Telesup*
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48. REPRESENTACION DE
FUNCIONES BOOLEANAS
MEDIANTE TABLAS DE VERDAD
*Telesup*
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49. REPRESENTACION DE
FUNCIONES BOOLEANAS
MEDIANTE TABLAS DE VERDAD
Ejemplo:
Use una tabla de verdad para definir una función F(a,b,c) que sea 1
cuando el numero binario abc sea mayor o igual a 5.
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50. •
CONVIRTIENDO
ENTRE
Podemos convertir desde una representación cualquiera a
REPRESENTACIONES
otra.
Evaluar Circuito
la ecuación para
cada
combinación
de
entrada (fila).
Crear columnas
intermedias
ayuda
Tabla de
verdad
Ecuació
n
Hacer un OR de cada
termino de entrada cuya
salida sea 1
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51. RESUMEN REPRESENTACION
DE FUNCIONES LOGICAS
Una función puede ser representada en diferentes formas
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52. PROCESO DE DISEÑO
LOGICO COMBINACIONAL
1. Capture la función: Cree la tabla de verdad o las
ecuaciones para describir el comportamiento
deseado de la lógica combinacional.
2. Convierta a ecuaciones: Este paso es necesario si
la función es capturada usando tabla de verdad en
vez de ecuaciones. Para crear la ecuación se hace
un OR de cada una de las entradas cuya salida es 1.
Luego si así lo desea puede simplificar la ecuación.
3. Implemente el circuito digital: Para cada salida
cree un circuito asociado a la ecuación.
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53. *Telesup*
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