Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de vectores en el análisis estructural. Explica que un vector tiene magnitud, dirección y sentido, y puede representarse geométricamente como un segmento de recta dirigido. Luego describe las características de los vectores como su módulo, dirección, sentido y punto de aplicación. Finalmente, presenta ejemplos del cálculo de las coordenadas de un vector en el plano y la determinación de la dirección de un vector.

1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL
SECCIÓN 500
24 – MARZO – 2022
CLASE N°01
1ª Unidad

2. En física, un vector es una magnitud física definida en un sistema de
referencia, que se caracteriza por tener un módulo, una dirección y un sentido.
En matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial. Los
vectores en un espacio euclidiano, se pueden representar geométricamente como
segmentos de recta dirigidos (flechas) en el plano o en el espacio.
Por otro lado las magnitudes escalares son aquéllas que quedan completamente
determinadas a través del conocimiento de su valor, expresado mediante una
cantidad (un número real).
VECTORES
ANÁLISIS ESTRUCTURAL
1er SEM. 2022

3. VECTORES
ANÁLISIS ESTRUCTURAL
1er SEM. 2022

4. VECTORES
ANÁLISIS ESTRUCTURAL
1er SEM. 2022
CARACTERÍSTICAS
Si representamos el vector gráficamente; podemos
diferenciar la recta o dirección, sobre la que se traza el
vector.
El módulo o amplitud es la longitud proporcional al
valor del vector.
El sentido, está indicado por la punta de flecha, siendo
uno de los dos posibles, sobre la recta que lo contiene.

5. VECTORES
ANÁLISIS ESTRUCTURAL
1er SEM. 2022
CARACTERÍSTICAS
El punto de aplicación, que corresponde al lugar
geométrico donde se posiciona la característica
vectorial representada por el vector.
El nombre o denominación es la letra, signo o
secuencia de signos que define al vector
Por lo tanto en un vector podemos diferenciar, los
siguientes elementos:

6. VECTORES
ANÁLISIS ESTRUCTURAL
1er SEM. 2022
CARACTERÍSTICAS
Coordenadas Cartesianas:
Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector esta en el plano xy,
se representa por:
Siendo sus coordenadas:
y
a
x
a
a

( )
y
x a
a
a ,
=

y
x a
a ,

7. VECTORES
ANÁLISIS ESTRUCTURAL
1er SEM. 2022
CARACTERÍSTICAS
Nótese, que se puede obtener el vector ,como la suma de los vectores
y .
Donde:
Luego:
a

y
a

x
a

( )
0
,
x
x a
a =

( )
y
y a
a ,
0
=

( ) ( ) ( )
y
x
y
x
y
x a
a
a
a
a
a
a ,
,
0
0
, =
+
=
+
=



a

x
a

y
a


8. VECTORES
ANÁLISIS ESTRUCTURAL
1er SEM. 2022
CARACTERÍSTICAS
Además:
Si consideramos el triángulo formado por los
vectores , , , , se tiene, en términos de
sus magnitudes, lo siguiente.
• Se puede calcular ax multiplicando a por
el cosα (siendo α el ángulo entre por a y ax), o
multiplicando a por senβ (siendo β el ángulo
entre a y ay).
• Se puede calcular ay multiplicando a por
el senα (siendo α el ángulo entre por a y ax), o
multiplicando a por cosβ (siendo β el ángulo entre
a y a ).
a
y
a
x
a

 sin
cos 
=

= a
a
ax

 sin
cos 
=

= a
a
ay
a

x
a

y
a


9. VECTORES
ANÁLISIS ESTRUCTURAL
1er SEM. 2022
CARACTERÍSTICAS
Coordenadas tridimensionales.
Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z,
se puede representar:
Siendo sus coordenadas:
( )
z
y
x a
a
a
a ,
,
=

z
y
x a
a
a ,
,
y
a
z
a
a

x
a
y
x
z

10. VECTORES
ANÁLISIS ESTRUCTURAL
1er SEM. 2022
CARACTERÍSTICAS
Además:
z
y
x a
a
a
a




+
+
=
( ) ( ) ( )
z
y
x a
a
a
a ,
0
,
0
0
,
,
0
0
,
0
, +
+
=

( )
z
y
x a
a
a
a ,
,
=

y
a

z
a

x
a

a


11. VECTORES
ANÁLISIS ESTRUCTURAL
1er SEM. 2022
EJEMPLO
1. Determinar la coordenada ay de un vector, si se sabe que el vector forma un
ángulo de 25° con la horizontal y su coordenada x es ax = 15.
𝑎𝑥 = 𝑎 ∙ cos 𝛼
15 = 𝑎 ∙ cos 25°
𝑎 =
15
cos 25°
𝑎 = 16,551
𝑎𝑦 = 𝑎 ∙ sin 𝛼
𝑎𝑦 = 16,551 ∙ sin 25°
𝑎𝑦 = 6,995

12. VECTORES
ANÁLISIS ESTRUCTURAL
1er SEM. 2022
EJEMPLO
2. Determinar la dirección de un vector del plano cuyas componentes
rectangulares son ax = −12 y ay = 8.
𝑎 = 𝑎𝑥
2 + 𝑎𝑦
2
𝑎 = 122 + 82 = 14,422
𝑎𝑦 = 𝑎 ∙ sin 𝛼
8 = 14,422 ∙ sin 𝛼
sin 𝛼 =
8
14,422
= 0,5547
𝛼 = 33,69°

13. MUCHAS GRACIAS