Este documento describe una actividad extraescolar llamada "Taller de Talento Matemático" organizada por profesores de enseñanza secundaria y universitaria para alumnos aficionados a las matemáticas. El taller busca que los estudiantes disfruten resolviendo problemas matemáticos. Además, presenta brevemente algunos conceptos matemáticos como códigos, aritmética modular y cifrados.

1. CÓDIGOSCÓDIGOS
Agrupación Astronómica deAgrupación Astronómica de
Huesca, 5 Agosto 2009Huesca, 5 Agosto 2009

2. Alberto Elduque. Univ. de Zaragoza
"Taller de Talento Matemático" es una actividad extraescolar,
pensada para alumnos aficionados a las matemáticas,
que quieran pasar un rato discurriendo y sacando lo mejor
de sus cabezas. Está organizado por un grupo de profesores,
tanto de enseñanza secundaria como de la Universidad de
Zaragoza.

3. CÓDIGOCÓDIGO
 1.1. Conjunto de normas legales sistemáticas queConjunto de normas legales sistemáticas que
regulan unitariamente una materia determinada.regulan unitariamente una materia determinada.
 2.2. Cifra para formular y comprender mensajesCifra para formular y comprender mensajes
secretos.secretos.
 3.3. Combinación de signos que tiene unCombinación de signos que tiene un
determinado valor dentro de un sistemadeterminado valor dentro de un sistema
establecido.establecido. (Códigos de seguridad)(Códigos de seguridad)
 ……

4. Códigos de seguridadCódigos de seguridad
La letra del DNILa letra del DNI

5. Dividir el número del DNI por 23Dividir el número del DNI por 23
¿qué resto da?¿qué resto da?
Según el resto asignar la letra:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T R W A G M Y F P D X B
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
N J Z S Q V H L C K E

6.  EjemploEjemplo
 99999999 : 23 = 4347826,0434782608…99999999 : 23 = 4347826,0434782608…
 4347826 x 23 = 99999984347826 x 23 = 9999998
 99999999 – 99999998 = 199999999 – 99999998 = 1 Resto = 1Resto = 1

7. Aritmética modular (o del reloj)Aritmética modular (o del reloj)
Resto al dividir por 2:Resto al dividir por 2: 00 (par) ó(par) ó 11 (impar).(impar).
xx 00 11
00 00 00
11 00 11
++ 00 11
00 00 11
11 11 00
Se escribe 15 = 1Se escribe 15 = 1 (mod 2)(mod 2) ó 26 = 0ó 26 = 0 (mod 2)(mod 2)

8. Aritmética modular (o del reloj)Aritmética modular (o del reloj)
Resto al dividir por 3:Resto al dividir por 3: 00 ,, 11 óó 2.2.
++ 00 11 22
00 00 11 22
11 11 22 00
22 22 00 11
xx 00 11 22
00 00 00 00
11 00 11 22
22 00 22 11
Se escribe por ejemplo 16 = 1Se escribe por ejemplo 16 = 1 (mod 3)(mod 3)

9. Aritmética modular (o del reloj)Aritmética modular (o del reloj)
En un reloj los restos son 0, 1, 2… 11.En un reloj los restos son 0, 1, 2… 11.
Por ejemplo, 15 = 3Por ejemplo, 15 = 3 (mod 12)(mod 12) ó 21 = 9ó 21 = 9 (mod 12)(mod 12)
Primero se acuerda elPrimero se acuerda el módulomódulo y luego con losy luego con los
restos al dividir por eserestos al dividir por ese módulomódulo se confeccionanse confeccionan
las tablas de operaciones.las tablas de operaciones.

10. ISBNISBN ((International Standar Book Number)
Hasta 2007, el ISBN
constaba de 10
dígitos divididos en 4
partes de longitud
variable: país, editor,
título y código de
control.

11. AcertijoAcertijo
 CADA AÑO, UN REY AFICIONADO A LASCADA AÑO, UN REY AFICIONADO A LAS
MATEMÁTICAS, RECIBE DE LOS 10 NOBLES QUEMATEMÁTICAS, RECIBE DE LOS 10 NOBLES QUE
FORMAN SU CORTE UN SACO DE MONEDAS DEFORMAN SU CORTE UN SACO DE MONEDAS DE
ORO. CADA MONEDA PESA 10 GRAMOS. UN AÑO,ORO. CADA MONEDA PESA 10 GRAMOS. UN AÑO,
UN NOBLE DECIDE ESTAFAR AL REY DÁNDOLEUN NOBLE DECIDE ESTAFAR AL REY DÁNDOLE
MONEDAS QUE PESAN 9 GRAMOS.MONEDAS QUE PESAN 9 GRAMOS.
 EL ESPÍA DEL REY LE ADVIERTE QUE ALGUIEN LEEL ESPÍA DEL REY LE ADVIERTE QUE ALGUIEN LE
ESTÁ ENGAÑANDO. HACIENDOESTÁ ENGAÑANDO. HACIENDO UNA SOLAUNA SOLA
PESADAPESADA EN UNA BALANZA, EL REY DESCUBRE ALEN UNA BALANZA, EL REY DESCUBRE AL
ESTAFADOR,ESTAFADOR, ¿CÓMO LO HA HECHO?¿CÓMO LO HA HECHO?

12. El rey pesó:
1 Moneda del Primer noble
2 Monedas del Segundo noble
3 Monedas del Tercer noble
.
.
9 Monedas del Noveno noble
10 Monedas del Décimo noble
Hay en total 55
monedas. Si fueran
todas verdaderas
pesarían 550 gramos.
Si pesan 549, el estafador es el primer
noble, si pesan 548 el segundo…

13. Número de control del ISBN
Ejemplo: 0 13 041717
(0 × 1) + (1 × 2) + (3 × 3) + (0 × 4) + (4 × 5)+ (1 ×
6) + (7 × 7) + (1 × 8) + (7 × 9) = 157 =
= D (mod 11)
Si D=0,1…9 se pone ese número. Si D=10 se pone
una X. (Por eso, aproximadamente 1 de cada 11
libros acaba en X).
En el ejemplo, 11 x 14 = 154, luego D=3.

14. Cifrar y descifrar mensajesCifrar y descifrar mensajes
El código de Julio CésarEl código de Julio César
Si tenía que decir algo confidencial, loSi tenía que decir algo confidencial, lo
escribía usando el cifrado, esto es,escribía usando el cifrado, esto es,
cambiando el orden de las letras del alfabeto,cambiando el orden de las letras del alfabeto,
para que ni una palabra pudiera entenderse.para que ni una palabra pudiera entenderse.
Si alguien quiere decodificarlo, y entender suSi alguien quiere decodificarlo, y entender su
significado, debe sustituir la cuarta letra delsignificado, debe sustituir la cuarta letra del
alfabeto, es decir, la D por la A, y así con lasalfabeto, es decir, la D por la A, y así con las
demás.demás.
Suetonio, Vida de Julio CésarSuetonio, Vida de Julio César

15. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
WXWDPELHQEUXWR
TU
TAMBIEN
BRUTO
MENSAJE DE JULIO CÉSAR:
Con aritmética del reloj
Cifrar: C=M+3 (mod 26)
Descifrar: M=C-3 (mod 26)
C= Número del mensaje cifrado
M= Número del mensaje real
¿Qué significa?

16. Ejemplo más difícil: Clave a=3, b=2
Cifrado: C=3 M+2 (mod 26)
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
MENSAJE: HOLA
H=7H=7 7x3+2=237x3+2=23 (mod 26) 23=X23=X
0=140=14 14x3+2=44=1814x3+2=44=18 (mod 26) 18=S18=S
L=11L=11 11x3+2=35=911x3+2=35=9 (mod 26) 9=J9=J
A=0A=0 0x3+2=20x3+2=2 (mod 26) 2=C2=C
Mensaje Cifrado: XSJC

17. Descifrado: M=(C-2):3 (mod 26)
Cifrado: C=3 M+2 (mod 26)
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Propiedad crucial 9x3=27=1 (mod 26)
Dividir por 3 es multiplicar por 9
X=23X=23 (23-2)x9=189=7(23-2)x9=189=7 (mod 26) 7=H7=H
S=18S=18 (18-2)x9=144=14(18-2)x9=144=14 (mod 26) 14=O14=O
J=9J=9 (9-2)x9=63=11(9-2)x9=63=11 (mod 26) 11=L11=L
C=2C=2 (2-2)x9=0(2-2)x9=0 (mod 26) 0=A0=A

18. En resumen:
En este cifrado por sustitución monoalfabético (una
letra es sustituída por otra), el emisor y el receptor
han de ponerse de acuerdo en la clave (a,b). P. ej.
César, a=1, b=3.
Para cifrar se hace
C=a M+b (mod 26)
y para descifrarlo el receptor
M=(C-b):a (mod 26)

19. Sherlock Holmes debe
descifrar un mensaje
en su aventura
"La aventura de los
hombres danzantes"
Manuel González Rodríguez
Universidad de Las Palmas de
Gran Canaria.

20. Romper un mensaje secreto
(monoalfabético)
 Análisis de frecuenciasAnálisis de frecuencias de las letrasde las letras
 Mejor con un texto largoMejor con un texto largo
E - 16,78% R - 4,94% Y - 1,54% J - 0,30%
A - 11,96% U - 4,80% Q - 1,53% Ñ - 0,29%
O - 8,69% I - 4,15% B - 0,92% Z - 0,15%
L - 8,37% T - 3,31% H - 0,89% X - 0,06%
S - 7,88% C - 2,92% G - 0,73% K - 0,00%
N - 7,01% P - 2,77% F - 0,52% W - 0,00%
D - 6,87% M - 2,12% V - 0,39% -
Distribución de frecuencias de letras en español
para un texto literario

21.  EJEMPLO:EJEMPLO:
Mensaje cifrado:Mensaje cifrado:
HA UHB KDHA UHB KD
AAHJDGRAAHJDGR
E - 16,78% R - 4,94% Y - 1,54% J - 0,30%
A - 11,96% U - 4,80% Q - 1,53% Ñ - 0,29%
O - 8,69% I - 4,15% B - 0,92% Z - 0,15%
L - 8,37% T - 3,31% H - 0,89% X - 0,06%
S - 7,88% C - 2,92% G - 0,73% K - 0,00%
N - 7,01% P - 2,77% F - 0,52% W - 0,00%
D - 6,87% M - 2,12% V - 0,39% -
EEA UA UEEB KDB KD
AAAAEEJDGRJDGR
ELEL UUEEB KDB KD
LLELLEJDGRJDGR
ELEL UUEEB KB KAA
LLELLEJJAAGRGR
ELEL REY HAREY HA
LLEGADOLLEGADO

22. La Cifra General de Felipe II
La Cifra General de 1556 era usada para
comunicarse con los miembros del gobierno
en el extranjero.
© Arturo Quirantes Sierra www.cripto.es

23. La Cifra General de Felipe II solamente se mantuvo secreta
durante unos tres meses. Confiado en lo inviolable de su
clave la continuó usando hasta 1590.
“Habiéndose interceptado en Francia algunas cartas de España,
escritas con caracteres voluntarios, en que se añadía la precaución
de variar diferentes alfabetos dentro de una misma carta, lo que
parece hacía absolutamente imposible la inteligencia a quien no
tuviese la clave [...].
Muchos juzgaron esta hazaña superior a toda humana industria, y
según refiere Jacobo Augusto Thuano, los Españoles dieron
algunas quejas en Roma, de que los Franceses usaban de artes
diabólicas para penetrar sus secretos.”
Padre Feijoo

24. François Viéte 1540-1603
“Pero la verdad era, que no
había intervenido en este
negocio más diablo que un
espíritu de rara comprensión, y
sutileza, ayudado de una
aplicación infatigable; pues se
cuenta de este raro hombre,
que algunas veces sucedió
estarse tres días con sus
noches embelesado en sus
especulaciones Matemáticas,
sin comer, ni dormir, salvo un
brevísimo reposo que tomaba,
reclinándose sobre el brazo de
la silla”
Padre Feijoo

25. Cifrados polialfabéticos
Blaise de Vigenère
(1523 - 1596)
le chiffre indéchiffrable

26. Clave = HIELO
CIFRADO

27. Charles Babbage (1791 - 1871)
© La güeb de Joaquin. Criptografía.
Buscar secuencias de
letras
que aparecen más de una
vez en el texto cifrado.
Romper el cifrado

28. WCXYM se repite con un
espacio de 20 letras.
PSDLP se repite con un
espacio de 5 letras.
Es posible que una misma
secuencia del mensaje
haya sido cifrado con una
misma parte de la clave.
Es posible que la clave tenga 5 letras

29. Si la clave tiene 5 letras, las
letras en posición
1,6,11,16,21,26,31…
han sido cifradas con un
sistema de sustitución
monoalfabético.
A esas letras seleccionadas
se les hace un análisis de
frecuencias.
El sistema polialfabético se puede
reducir a uno monoalfabético.

30. Criptografía en la guerra civil españolaCriptografía en la guerra civil española
Ref: Arturo Quirantes Sierra
Clave Violeta usada por el 415 batallón, 104 Brigada republicana
y capturada por el bando nacional.

31. Código usado por la Guardia Civil
Código o criptógrafo de cinta

32. Mensaje nacional captado por los
republicanos
(cifrar parte del mensaje no es buena idea)

34. Ron
Rivest
Adi
Shamir
Leonard
Adleman
R.S.A.
SISTEMA DE
CLAVE PÚBLICA
Cifrar con clave pública
Descifrar con clave privada
Útil para comunicación entre p. ej. un banco y sus clientes.

35. Usuarios de Internet (2008):
1.6 x 109
Claves necesarias (privadas):
1.28 x 1018

36. R.S.A.
 El banco genera dos números primos grandes (p.ej. de 100El banco genera dos números primos grandes (p.ej. de 100
cifras)cifras) pp yy qq. Hace la operación. Hace la operación n = p x qn = p x q
 El banco elige dos númerosEl banco elige dos números ee yy dd tales quetales que
e x d = 1e x d = 1 (mod n)(mod n)
 El banco hace públicosEl banco hace públicos n y en y e (clave pública) y se guarda(clave pública) y se guarda dd
(clave privada).(clave privada).
Teorema:Teorema: HallarHallar dd es equivalente a hallares equivalente a hallar pp yy qq..

37.  Con la claveCon la clave n,en,e los mensajes al banco selos mensajes al banco se
codifican mediante C=Mcodifican mediante C=Mee
(mod n)(mod n)
 Para leerlo el banco usa su clave privadaPara leerlo el banco usa su clave privada dd
CCdd
=(M=(Mee
))dd
= M= M (mod n)(mod n)
Luego M= CLuego M= Cdd
(mod n)(mod n)
Cualquier otra persona que quiera leer elCualquier otra persona que quiera leer el
mensaje ha de conocermensaje ha de conocer dd, es decir, ha de, es decir, ha de
conocerconocer pp yy qq

38. Con este sistema, cifrar un mensaje es muy sencilloCon este sistema, cifrar un mensaje es muy sencillo
(la clave es pública).(la clave es pública). Tan sólo hay que hacerTan sólo hay que hacer
unas multiplicaciones.unas multiplicaciones.
Para romper el mensaje hay que encontrar losPara romper el mensaje hay que encontrar los factoresfactores
primosprimos del númerodel número nn (que tiene 100 cifras).(que tiene 100 cifras).
SiSi nn es pequeño, es fácil p.ej.es pequeño, es fácil p.ej. n=60=2n=60=222
x 3 x 5x 3 x 5
Pero actualmente, hallar la factorización de un número es unPero actualmente, hallar la factorización de un número es un
problema que requiere un tiempoproblema que requiere un tiempo exponencialexponencial en el númeroen el número
de cifras, en nuestro caso del orden de 10de cifras, en nuestro caso del orden de 10100100
u.t.u.t.
(el número de partículas elementales del universo es del(el número de partículas elementales del universo es del
orden de 10orden de 107979
).).