Este documento describe conceptos básicos sobre conjuntos ordenados, incluyendo: (1) las propiedades de relaciones de orden como reflexividad y transitividad; (2) elementos distinguidos como máximos y mínimos; y (3) isomorfismos entre conjuntos ordenados definidos como funciones biyectivas que preservan el orden.

1. Conjuntos Ordenados
Elementos Distinguidos de un Conjunto Ordenado
Isomorfismo

2. Conjuntos Ordenados
Orden Amplio: Sea el conjunto A y la relación R: A → A, si R cumple con las
propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva entonces es una relación de orden
amplio u orden.
Se dice que el conjunto A es un conjunto ordenado y se indica ( A; ).
Sean a, b ∈ A, a b decimos “a precede a b” si a es anterior a b en el orden establecido
Sean a, b ∈ A, si a b y b a, decimos que a y b no son comparables y se indica a II b.
Orden Estricto: Sea el conjunto A y la relación R: A → A, si R cumple con las
propiedades asimétrica y transitiva entonces es una relación de orden estricto.
Se dice que el conjunto A es un conjunto estrictamente ordenado y se indica ( A; ).
Orden Parcial y Total: Sea R una relación de orden en A
 R es de orden parcial ⇔ existen pares de elementos incomparables
 El orden es total en caso contrario
 Si ( A; ) está totalmente ordenado el orden se dice total o lineal y es una cadena

3. Ejemplo: Sea IN el conjunto de números naturales y la relación R: IN → IN / a R b ⇔ a I b
Por definición: a I b ⇔ ∃ m ∈ IN / b = a.m
Reflexiva:
∀ a ∈ IN : a = a . 1 ⇒ a I a ⇒ a R a
Antisimétrica:
∀a, b ∈ IN: a R b ∧ b R a ⇒ a I b ∧ b I a ⇒ ∃ m, n ∈ IN /
b = a.n ∧ a = b.m ⇒ a.b = a.n.b.m ⇒ n.m = 1 ⇒ n = m = 1 ⇒ a = b
Transitiva:
∀a, b, c ∈ IN: a R b ∧ b R c ⇒ a I b ∧ b I c ⇒ ∃ n, m ∈ IN / b = a.n ∧ c = b.m ⇒
⇒ c = a.n.m ⇒ c = a. p con p = n.m ∈ IN ⇒ a I c

4. Diagrama de Hasse
Es posible representar un conjunto ordenado y finito mediante un diagrama llamado
de Hasse.
En el diagrama se suprimen los arcos redundantes (bucles o los que son
consecuencias de la transitividad).
Ejemplo: Sea A = { 2, 3, 6, 9, 12, 36 } ordenado por la relación de divisor, el diagrama
de Hasse correspondiente es
Observación
En el diagrama de Hasse se puede
prescindir de los arcos y reemplazarlos
por aristas si se lee de abajo hacia arriba.

5. Orden Recíproco u Orden Inverso
Sean ( A; ) un conjunto ordenado y R-1
= { ( b, a ) / ( a, b ) ∈ R } es la relación inversa o
recíproca, se la llama orden recíproco o inverso y se lo denota .
Ejemplo: Si ( Z; ≤ ) es el conjunto ordenado, el orden recíproco es ( Z; ≥ ).
Orden Restringido
Sea ( A; ) un conjunto ordenado, sea Ø ≠ B ⊆ A, entonces la restricción del orden a B es:
/ B = ( B x B ) ∩ , que indicamos ( B; ) o ( B; / B )
Orden Usual Producto
Sean ( A; ) y ( B; ) dos conjuntos ordenados, se define en A x B, producto cartesiano,
la siguiente relación ( x, y ) R ( z, t ) ⇔ x z ∧ y t.
Se lo denomina orden usual producto.

6. Ejemplo:
Sea A = { a, b } y la relación = { ( a, a ), ( a, b ), ( b, b ) }
y B = { 0, 1, 2 } y la relación = { ( 0, 0 ), ( 0, 1 ), ( 0, 2 ), ( 1, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, 2 ) }
A x B = { ( a, 0 ), ( a, 1 ), ( a, 2 ), ( b, 0 ), ( b, 1 ), ( b, 2 ) }
R = { ( ( a, 0 ), ( a, 0 ) ); ( ( a, 0 ), ( a, 1 ) ); ( ( a, 0 ), ( a, 2 ) );
( ( a, 0 ), ( b, 0 ) ), ( ( a, 0 ), ( b, 1 ) ); ( ( a, 0 ), ( b, 2 ) );
( ( a, 1 ), ( a, 1 ) ); ( ( a, 1 ), ( a, 2 ) ); ( ( a, 1 ), ( b, 1 ) ); ( ( a, 1 ), ( b, 2 ) );
( ( a, 2 ), ( a, 2 ) ); ( ( a, 2 ), ( b, 2 ) ); ( ( b, 0 ), ( b, 0 ) ); ( ( b, 0 ), ( b, 1 ) );
( ( b, 0 ), ( b, 2 ) ); ( ( b, 1 ), ( b, 1 ) ); ( ( b, 1 ), ( b, 2 ) ) }

7. Elementos Distinguidos de un Conjunto Ordenado
Sea ( A; ) un conjunto ordenado
 Un elemento a ∈ A es maximal si: ∀ x ∈ A / a x ⇒ x = a
ningún elemento “lo sigue” excepto si mismo
 Un elemento a ∈ A es minimal si: ∀ x ∈ A / x a ⇒ x = a
ningún elemento “lo precede” excepto si mismo
Ejemplo: Sea A = { a, b, c, d } ordenado según el diagrama
Maximales = { d, e }
Minimales = { a }

8. Observaciones
 Los maximales y/o minimales pueden no existir
 Los maximales y/o minimales pueden no ser únicos
 Si el maximal es único se lo llama máximo o último elemento ( 1A )
 Si el minimal es único se lo llama mínimo o primer elemento ( 0A )
Átomos: Sea ( A; ) un conjunto ordenado con primer elemento 0A, los átomos
son los elementos que siguen inmediatamente al primer elemento
Ejemplo: Sea A = { a, b, c, d, e } ordenado según el diagrama de Hasse
Son átomos { b, c }

9. Cotas. Conjuntos.
Sean ( A, ) un conjunto ordenado y B ≠ Ø, B ⊆ A
 k ∈ A es cota superior de B si ∀ x ∈ B , x k
 k ∈ A es cota inferior de B si ∀ x ∈ B , k x
 El conjunto de las cotas superiores se llama conjunto mayorante
 El conjunto de las cotas inferiores se llama conjunto minorante
 A la menor de las cotas superiores se la denomina supremo
 A la mayor de las cotas inferiores se la denomina ínfimo
 Si el supremo pertenece a B entonces es máximo
 Si el ínfimo pertenece a B entonces es mínimo

10. Ejemplo: Sean A = { a, b, c, d, e, f, g, h } un conjunto ordenado según y B = { c, d, f }
Minimales = { a, b } en A
Maximales = { g, h } en A
A no tiene primer elemento
A no tiene último elemento
Cotas Superiores = { f, g, h } de B
f es supremo, como f ∈ B entonces f es máximo
Cotas Inferiores = { a }
a es ínfimo, como a ∉ B entonces B no tiene mínimo

11. Conjunto bien ordenado
Sea ( A, ) un conjunto ordenado, está bien ordenado si y sólo si todo subconjunto
de A tiene primer elemento, es decir que si ∀ B ≠ Ø , B ⊆ A, B tiene primer elemento.
Observaciones
 se llama buen orden
 Si B ≠ Ø, B ⊆ A ⇒ B está bien ordenado
 Si ( A, ) está bien ordenado ⇒ A está totalmente ordenado
Ejemplo:
El conjunto de IN de números naturales con la relación ≤ es un conjunto bien ordenado.

12. Isomorfismos
Dos conjuntos ( A, ) y ( B, ) ordenados son isomorfos si existe una función biyectiva
que preserva el orden
A ≈ B si ∃ f: A → B biyectiva / a b ⇒ f (a) f (b)
Ejemplo: Sean
A = { 2, 3, 6, 9, 18 }
ordenado por la
relación de divisor
B = { a, b, c, d, e }
ordenado según el
diagrama
Si f: A → B / f (2) = a
f (3) = b
f (6) = c
f (9) = d
f (18) = e
f es una función biyectiva, que además preserva el
orden, es decir es un isomorfismo