EN ESTE COMPENDIO ESTAN TODOS LOS CURSOS, PARA UNA COMPLETA ENSEÑANZA, CON EL FIN DE PROMOVER EL ESTUDIO A NUESTRO JOVENES Y PODER CONSTRUIR UN MEJOR FUTURO. ADEMÁS CONSTA DE EJERCICIOS RESUELTOS PARA PODER GUIARSE CON EL TEMA DE CADA CURSO. CONSTA DE 640 PAGINAS LEGIBLES Y CON TOTAL NITIDEZ , PARA UN COMPLETO ENTENDIMIENTO.

1. LICENCIADA
CICLO
CICLO
NORMAL
NORMAL
2023-II
2023-II
CICLO
NORMAL
2023-II

2. Dra. Salomé Ochoa Sosa
VICERRECTORA DE INVESTIGACIÓN
Dr. Eli Teobaldo Caro Meza
VICERRECTOR ACADÉMICO
Dr. Amador Vilcatoma Sánchez
RECTOR
AUTORIDADES

3. Lic. Moisés Bernardino Núñez Cerrón
SUBDIRECTOR ACADÉMICO
M.Sc. Edgar Rodriguez Garcia
SUBDIRECTOR ADMINISTRATIVO
Dr. Wilmer Rojas Carhuamaca
DIRECTOR
DIRECTORIO

4. Centro de Estudios Preuniversitarios: ¡Tu preparación merece lo mejor!
El verdadero aprendizaje llega al corazón de lo que significa ser humano. A través del aprendizaje nos
recreamos a nosotros mismos. A través del aprendizaje nos capacitamos para hacer algo que antes no
podíamos. A través del aprendizaje percibimos nuevamente el mundo y nuestra relación con él. A través del
aprendizaje ampliamos nuestra capacidad para crear, para formar parte del proceso generativo de la vida.
Peter M. Senge
Las personas exitosas no han sido el resultado del azar o la improvisación, ellas llegaron a ese lugar sobresaliente
con esfuerzo, dedicación y aprendizaje constante. Eso quiere decir que comprendieron que el aprendizaje no
solo se limita al estudio en cuatro paredes sino que aprovecharon cada momento para complementar sus
conocimientos con lecturas y prácticas realizadas por ellos mismos. Este dominio personal se consigue concentrando
energías, analizando la realidad objetivamente y planificando nuestra actividad personal.
Durante este ciclo has visto que el aprendizaje de cada tema o asignatura requiere solo un aspecto: interés.
Ahora con ese interés desarrollado y tu habilidad cognitiva empieza a fortalecer tus conocimientos todos los días.
No desmayes en el intento, es “normal” que se presenten dificultades, pero contesta ¿acaso TÚ no eres más
grande que tus problemas? Claro que SÍ. Aplica todos los conocimientos, estrategias y pautas académicas que te
brindaron los docentes del Cepre; recuerda sus consejos y practícalos; al final cuando hayas logrado tus objetivos
trazados sonreirás por esos problemas y te darás cuenta que no eran tan grandes como parecían; todo está en
ti.
El aprendizaje comprende no solo lo académico sino lo personal en todas sus dimensiones, por eso recuerda:
1. Desarrollar tu dimensión física: Comer saludablemente, practicar ejercicio, descansar lo necesario, dormir
bien.
2. Fortalecer tu dimensión mental: Leer, autoeducarse, escribir, aprender habilidades nuevas, asistir a charlas o
conferencias.
3. Consolidar tu dimensión personal: Fortalecer tu autoapreciación personal, consolidar tus relaciones
interpersonales, ayudar, sonreír.
4. Cuidar tu dimensión espiritual: Reflexionar profundamente, rezar, dar servicios de generosidad a otros, escu-
char música que nos anime.
El directorio Cepre UNCP confía en tu capacidad de decisión y tiene la firme convicción de que vas a desarrollar
un aprendizaje constante. El éxito espera a quienes han mostrado perseverancia en corregir sus defectos,
aprendieron en cada momento, nunca abandonaron sus ideales y demostraron que la vida es una sola y hay que
aprovecharla.
EL DIRECTORIO

5. CONOCIMIENTOS
ARITMÉTICA
Semana 01 : TEORÍA DE CONJUNTOS 11
Semana 02 : NUMERACIÓN 12
Semana 03 : CONTEO DE NÚMEROS 14
Semana 04 : CUATRO OPERACIONES 15
Semana 05 : DIVISIBILIDAD 17
Semana 06 : NÚMEROS PRIMOS 19
Semana 07 : MCD - MCM 21
Semana 08 : POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN 22
Semana 09 : NÚMEROS RACIONALES 24
Semana 10 : RAZONES Y PROPORCIONES 26
Semana 11 : PROMEDIOS Y MEZCLAS 27
Semana 12 : PROPORCIONALIDAD 29
Semana 13 : REGLA DE INTERÉS 30
ÁLGEBRA
Semana 01 : TEORÍA DE EXPONENTES Y LOGARITMOS EN R 31
Semana 02 : EXPRESIONES ALGEBRAICAS - POLINOMIOS 34
Semana 03 : PRODUCTOS NOTABLES - BINOMIO DE NEWTON 37
Semana 04 : DIVISIÓN DE POLINOMIOS - COCIENTES NOTABLES 40
Semana 05 : FACTORIZACIÓN - MCD Y MCM DE POLINOMIOS 43
Semana 06 : FRACCIONES Y RADICACIÓN ALGEBRAICA 46
Semana 07 : TEORÍA DE ECUACIONES 48
Semana 08 : MATRICES Y DETERMINANTES 51
Semana 09 : DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS 56
Semana 10 : INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR, FRACCIONARIAS, IRRACIONALES Y CON VALOR ABSOLUTO 58
Semana 11 : FUNCIONES I 61
Semana 12 : FUNCIONES II 64
Semana 13 : SISTEMA DE ECUACIONES E INECUACIONES (INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL) 66
GEOMETRÍA
Semana 01 : SEGMENTOS Y ÁNGULOS 71
Semana 02 : TRIÁNGULOS I: PROPIEDADES FUNDAMENTALES 73
Semana 03 : TRIÁNGULOS II: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 74
Semana 04 : POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS 76
Semana 05 : CIRCUNFERENCIAS: PROPIEDADES FUNDAMENTALES 79
Semana 06 : PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 83
Semana 07 : RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA Y EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 85
Semana 08 : RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y EN LOS CUADRILÁTEROS 87
Semana 09 : ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES 89
Semana 10 : ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES Y CIRCULARES 91
Semana 11 : POLIEDROS, PRISMAS Y PIRÁMIDES 93
Semana 12 : PIRÁMIDES Y CONOS 95
Semana 13 : CILINDROS - ESFERAS Y TEOREMA DE PAPPUS - GULDIN 97
TRIGONOMETRÍA
Semana 01 : ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO 101
Semana 02 : RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS - RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 103
Semana 03 : INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA 107

6. Semana 04 : RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD - REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE 112
Semana 05 : CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA 116
Semana 06 : IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCO SIMPLE 118
Semana 07 : IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCOS COMPUESTOS 120
Semana 08 : IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCOS MÚLTIPLES 121
Semana 09 : TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS 123
Semana 10 : ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 124
Semana 11 : FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I 126
Semana 12 : FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II 129
Semana 13 : RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 134
ESTADÍSTICA
Semana 01 : INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS COMBINATORIO 137
Semana 02 : PERMUTACIÓN LINEAL Y CIRCULAR 137
Semana 03 : PERMUTACIÓN CON ELEMENTOS REPETIDOS Y VARIACIÓN 138
Semana 04 : COMBINACIONES Y PROPIEDADES 139
Semana 05 : INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD 139
Semana 06 : EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES, INDEPENDIENTES Y COMPUESTOS 141
Semana 07 : EVENTOS CONTRARIOS Y ESPERANZA MATEMÁTICA 142
Semana 08 : INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA Y DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCUAS 142
Semana 09 : GRÁFICOS ESTADÍSTICOS 145
Semana 10 : MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL I 146
Semana 11 : MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL II 147
Semana 12 : MEDIDAS DE DISPERSIÓN 148
Semana 13 : MEDIDAS DE POSICIÓN 148
COMUNICACIÓN
Semana 01 : LA COMUNICACIÓN 151
Semana 02 : ORTOGRAFÍA I 153
Semana 03 : LINGÜÍSTICA 155
Semana 04 : ORTOGRAFÍA II 157
Semana 05 : MORFOLOGÍA I 161
Semana 06 : PRECEPTIVA LITERARIA 164
Semana 07 : MORFOLOGÍA II 168
Semana 08 : MORFOLOGÍA III 170
Semana 09 : LITERATURA UNIVERSAL Y ESPAÑOLA I 174
Semana 10 : SINTAXIS I 178
Semana 11 : LITERATURA UNIVERSAL Y ESPAÑOLA II 180
Semana 12 : SINTAXIS II 186
Semana 13 : LITERATURA HISPANOAMERICANA Y PERUANA 188
BIOLOGÍA
Semana 01 : COMPOSICIÓN QUÍMICA DE LOS SERES VIVOS 193
Semana 02 : PROTEÍNAS Y ÁCIDOS NUCLEICOS 195
Semana 03 : CITOLOGÍA 198
Semana 04 : FISIOLOGÍA CELULAR 201
Semana 05 : HISTOLOGÍA ANIMAL I 205
Semana 06 : HISTOLOGÍA ANIMAL II Y VEGETAL 206
Semana 07 : FUNCIÓN DE NUTRICIÓN 208

7. Semana 08 : FUNCIÓN DE CIRCULACIÓN 212
Semana 09 : FUNCIÓN DE RESPIRACIÓN Y EXCRECIÓN 214
Semana 10 : COORDINACIÓN QUÍMICA 217
Semana 11 : COODINACIÓN NERVIOSA 218
Semana 12 : FUNCIÓN DE REPRODUCCIÓN, SALUD Y ENFERMEDAD 221
Semana 13 : GENÉTICA, EVOLUCIÓN Y BIOTECNOLOGÍA 226
QUÍMICA
Semana 01 : MATERIA Y ENERGÍA 231
Semana 02 : TEORÍAS Y MODELOS ATÓMICOS - ESTRUCTURA ATÓMICA 233
Semana 03 : QUÍMICA NUCLEAR 237
Semana 04 : ZONA EXTRANUCLEAR 239
Semana 05 : TABLA PERIÓDICA ACTUAL 240
Semana 06 : ENLACE QUÍMICO 242
Semana 07 : NOMENCLATURA INORGÁNICA 245
Semana 08 : UNIDADES QUÍMICAS DE MASA 248
Semana 09 : REACCIONES QUÍMICAS 249
Semana 10 : ESTEQUIOMETRIA 252
Semana 11 : SOLUCIONES 253
Semana 12 : QUÍMICA ORGÁNICA - HIDROCARBUROS 256
Semana 13 : FUNCIONES ORGÁNICAS OXIGENADAS Y NITROGENADAS 259
FÍSICA
Semana 01 : ANÁLISIS VECTORIAL 265
Semana 02 : CINEMÁTICA I 266
Semana 03 : CINEMÁTICA II 270
Semana 04 : ESTÁTICA - CENTRO DE GRAVEDAD 273
Semana 05 : DINÁMICA 277
Semana 06 : TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA 280
Semana 07 : M.A.S. Y ONDAS MECÁNICAS 285
Semana 08 : FENÓMENOS TÉRMICOS 288
Semana 09 : TERMODINÁMICA 290
Semana 10 : ELECTROSTÁTICA 294
Semana 11 : ELECTRODINÁMICA 298
Semana 12 : ELECTROMAGNETISMO 301
Semana 13 : ÓPTICA Y FÍSICA MODERNA 306
ECOLOGÍA
Semana 01 : ECOLOGÍA, UNIVERSO, SISTEMA SOLAR Y TIERRA 313
Semana 02 : LUZ Y CALOR 320
Semana 03 : AGUA Y AIRE 322
Semana 04 : ROCAS Y SUELO 323
Semana 05 : CLIMA Y DESASTRES NATURALES 326
Semana 06 : REINO MONERA, PROTISTA Y FUNGI 326
Semana 07 : REINO VEGETAL 329
Semana 08 : REINO ANIMAL 334
Semana 09 : RELACIONES EN EL ECOSISTEMA - SUCESIONES ECOLÓGICAS 337
Semana 10 : FLUJO DE MATERIA Y ENERGÍA - RECURSOS NATURALES 339
Semana 11 : ECORREGIONES DEL PERÚ, BIOMAS Y ÁREAS NATURALES PROTEGIDAS 340
Semana 12 : CONTAMINACIÓN AMBIENTAL 345

8. Semana 13 : SANEAMIENTO AMBIENTAL 348
HISTORIA
Semana 01 : LA HISTORIA Y LA COMUNIDAD PRIMITIVA 353
Semana 02 : EL POBLAMIENTO AMERICANO Y EL ÁREA ANDINA 355
Semana 03 : EL ESCLAVISMO EN ORIENTE 357
Semana 04 : CULTURAS CLÁSICAS DE OCCIDENTE 359
Semana 05 : SOCIEDADES CLASISTAS DEL PERÚ PRE INCA I 361
Semana 06 : SOCIEDADES CLASISTAS DEL PERÚ PREINCA II 363
Semana 07 : EL TAHUANTINSUYO 365
Semana 08 : EL FEUDALISMO Y CAPITALISMO EN EUROPA (EDAD MEDIA Y MODERNA) 367
Semana 09 : DEPENDENCIA HISPÁNICA 371
Semana 10 : CAPITALISMO INDUSTRIAL SIGLOS XVIII Y XIX - INDEPENDENCIA POLÍTICA DEL PERÚ 372
Semana 11 : DEPENDENCIA INGLESA 376
Semana 12 : DESARROLLO DEL CAPITALISMO INDUSTRIAL Y FINANCIERO 379
Semana 13 : DEPENDENCIA NORTEAMERICANA, REFORMISMO POPULISMO Y NEOLIBERALISMO 381
GEOGRAFÍA
Semana 01 : GEOGRAFÍA UNA CIENCIA ÚTIL 387
Semana 02 : GEOGRAFÍA ASTRONÓMICA 389
Semana 03 : ORIENTACIÓN Y LOCALIZACIÓN ABSOLUTA (GEODESIA Y HUSOS HORARIOS) 392
Semana 04 : CARTOGRAFÍA 394
Semana 05 : RELIEVE PERUANO Y CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DEL RELIEVE PERUANO 397
Semana 06 : ECOSISTEMAS DEL PERÚ 403
Semana 07 : CLIMAS Y BIOMAS DEL MUNDO 406
Semana 08 : ÁREAS NATURALES PROTEGIDAS DEL PERÚ 409
Semana 09 : REGIONES HIDROGRÁFICAS - GESTIÓN DE RIESGO DE DESASTRES - FENÓMENOS Y DESASTRES NATURALES 414
Semana 10 : GEOGRAFÍA ECONÓMICA 417
Semana 11 : POBLACIÓN DEL PERÚ 421
Semana 12 : GEOGRAFÍA POLÍTICA Y DEMARCACIÓN TERRITORIAL 426
Semana 13 : GEOPOLÍTICA Y GEOGRAFÍA MUNDIAL 429
ECONOMÍA
Semana 01 : DOCTRINAS ECONÓMICAS 433
Semana 02 : NOCIONES GENERALES DE ECONOMÍA 436
Semana 03 : PROCESO ECONÓMICO 437
Semana 04 : PRODUCCIÓN I 439
Semana 05 : PRODUCCIÓN II 442
Semana 06 : CIRCULACIÓN Y MERCADO 444
Semana 07 : PRECIO 447
Semana 08 : SISTEMA FINANCIERO I 450
Semana 09 : SISTEMA FINANCIERO II 451
Semana 10 : ACTIVIDADES MACROECONÓMICAS 453
Semana 11 : DISTRIBUCIÓN, CONSUMO Y POBREZA 455
Semana 12 : SECTOR EXTERNO 459
Semana 13 : INTEGRACIÓN ECONÓMICA 460
PSICOLOGÍA
Semana 01 : PANORAMA GENERAL DE LA PSICOLOGÍA 463
Semana 02 : EL DESARROLLO HUMANO 465

9. Semana 03 : LA ADOLESCENCIA Y LA IDENTIDAD PERSONAL 467
Semana 04 : EL SISTEMA DE LA PERSONALIDAD 469
Semana 05 : LAS BASES SOCIALES DEL COMPORTAMIENTO 471
Semana 06 : PENSAMIENTO Y CREENCIAS 473
Semana 07 : SEXUALIDAD 476
Semana 08 : SALUD SEXUAL 477
Semana 09 : VÍNCULO FAMILIAR 478
Semana 10 : APRENDIZZAJE 480
Semana 11 : INTELIGENCIA 481
Semana 12 : CULTURA DE PREVENCIÓN 483
Semana 13 : VIDA SALUDABLE 486
FILOSOFÍA
Semana 01 : DESARROLLO DEL PENSAMIENTO Y EL ORIGEN DE LA FILOSOFÍA 489
Semana 02 : HISTORIA DE LA FILOSOFÍA DE LA EDAD ANTIGUA Y MEDIEVAL 490
Semana 03 : HISTORIA DE LA FILOSOFÍA DE LA EDAD MODERNA Y CONTEMPORÁNEA 491
Semana 04 : EL SER HUMANO Y EL SENTIDO DE LA VIDA 493
Semana 05 : FILOSOFÍA DEL DERECHO 495
Semana 06 : LOS VALORES Y LA EXPERIENCIA VALORATIVA 497
Semana 07 : EL SENTIDO DE LA ÉTICA 498
Semana 08 : ÉTICA EN SOCIEDAD 500
Semana 09 : DISCRIMINACIÓN, EXCLUSIÓN E INJUSTICIA 501
Semana 10 : FILOSOFÍA POLÍTICA 504
Semana 11 : GOBIERNOS DEMOCRÁTICOS Y DICTATORIALES 506
Semana 12 : LA MIGRACIÓN INTERNACIONAL COMO PROBLEMA ÉTICO 508
Semana 13 : LOS CONFLICTOS SOCIALES 509
CÍVICA
Semana 01 : LA CONVIVENCIA SOCIAL Y LA FORMACIÓN INTERCULTURAL 513
Semana 02 : IDENTIDAD Y PATRIMONIO NACIONAL 515
Semana 03 : LA PARTICIPACIÓN CIUDADANA EN EL SISTEMA DEMOCRÁTICO 517
Semana 04 : EL ESTADO DE DERECHO Y LA CARTA MAGNA 520
Semana 05 : RECONOCIENDO EL ORDENAMIENTO JURÍDICO 522
Semana 06 : LOS DERECHOS HUMANOS 524
Semana 07 : EL ESTADO PERUANO I 526
Semana 08 : EL ESTADO PERUANO II 527
Semana 09 : ORGANISMOS CONSTITUCIONALES AUTÓNOMOS I 529
Semana 10 : ORGANISMOS CONSTITUCIONALES AUTÓNOMOS II 531
Semana 11 : CONFLICTO Y VIOLENCIA 532
Semana 12 : SEGURIDAD Y BIENESTAR NACIONAL 533
Semana 13 : EL PERÚ EN EL MUNDO GLOBALIZADO 535
APTITUDES
APTITUD LÓGICO MATEMÁTICO
Semana 01 : RAZONAMIENTO LÓGICO RECREATIVO 539
Semana 02 : RAZONAMIENTO LÓGICO FORMAL 541
Semana 03 : RAZONAMIEMTO ANALÍTICO 544
Semana 04 : RAZONAMIENTO INDUCTIVO-DEDUCTIVO 547

10. Semana 05 : OPERACIONES MATEMÁTICAS 549
Semana 06 : LÓGICA PROPOSICIONAL Y DE CLASES 550
Semana 07 : PLANTEO DE ECUACIONES Y EDADES 552
Semana 08 : CRONOMETRÍA Y CALENDARIOS 555
Semana 09 : PROBLEMAS CON FRACCIONES 556
Semana 10 : PROBLEMAS CON PORCENTAJES 558
Semana 11 : SUCSIONES, SERIES Y SUMATORIAS 560
Semana 12 : CONTEO DE FIGURAS Y RECORRIDOS EULERIANOS 562
Semana 13 : PSICOTÉCNICO 565
APTITUD COMUNICATIVA
Semana 01 : RELACIONES LÉXICO SEMÁNTICAS 569
Semana 02 : REFERENCIAS TEXTUALES 571
Semana 03 : MARCADORES TEXTUALES 573
Semana 04 : ORACIONES ELIMINADAS - TÉRMINO EXCLUIDO 575
Semana 05 : ESTRATEGIAS DE LECTURA I 576
Semana 06 : ESTRATEGIAS DESPUÉS DE LA LECTURA 579
Semana 07 : ANÁLISIS DE IMÁGENES - MACROESTRUCTURA 584
Semana 08 : MACROESTRUCTURA TEXTUAL 586
Semana 09 : TEXTOS PERIODÍSTICOS 588
Semana 10 : TEXTOS ARGUMENTATIVOS 593
Semana 11 : ORACIONES INCOMPLETAS 596
Semana 12 : TEXTOS NARRATIVOS Y DESCRIPTIVOS 599
Semana 13 : EXPRESIÓN ESCRITA I y II 603
APTITUD COMUNICATIVA INGLÉS
Semana 01 : THE VERB TO BE (PRESENT) 607
Semana 02 : SINGULAR AND PLURAL NOUNS 610
Semana 03 : COUNT AND NON COUNT NOUNS 614
Semana 04 : SIMPLE PRESENT 616
Semana 05 : PRESENT CONTINUOUS 619
Semana 06 : SIMPLE PAST TENSE 621
Semana 07 : PAST CONTINUOUS 624
Semana 08 : COMPARATIVE AND SUPERLATIVE 626
Semana 09 : FUTURE TIME "WILL" AND "BE GOING TO" 628
Semana 10 : MODAL VERBS 631
Semana 11 : PRESENT PERFECT 634
Semana 12 : PAST PERFECT 636
Semana 13 : CONDITIONALS 638

11. 11
ARITMÉTICA
SEMANA 01
TEORÍA DE CONJUNTOS
NOCIÓN. El término conjunto no tiene definición matemática, por lo
que entenderemos por conjunto a la reunión, agrupación, colección
de objetos reales o abstractos que comparten una misma característica,
llamados elementos.
Se toma en cuenta que:
• El orden de los elementos no tiene importancia alguna.
• Todos los conjuntos se representan con letras mayúsculas para
identificarlos más fácilmente.
• Los elementos de un conjunto van entre llaves o signos de
colección, separados por comas o puntos y comas.
Ejemplos:
A = {1; 3; 5}
B = {c, e, p, r, i, t, o}
RELACIÓN DE PERTENENCIA.- La relación de pertenencia es
exclusiva y se da solamente entre elemento y conjunto.
Ejemplo: dado el conjunto 
A {3; 5; 11} , se observa que:
   
    
   
3 A A 7 A 11 A
3 A 2 A 7 A n A
NÚMERO CARDINAL .- El número cardinal de un conjunto A,
nos indica la cantidad de elementos diferentes que posee, y se
denota por n(A).
Ejemplos:   
  
A {b,a,b,a} n (A) 2
B { 2;6;12;....;90 } n(B) 9
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS.- Determinar un con-
junto es especificar o señalar, en forma precisa, quiénes son los
elementos que lo conforman.
Por extensión o forma tabular: es cuando se nombran a
cada uno de los elementos de un conjunto, enumerándolos o
indicándolos.
Ejemplos:
M = {2; 6; 12; 20; 30; 42; 56; 72; 90}
N = {1; 3; 5; 7; .....; 999}
Por comprensión o forma constructiva: es cuando se men-
cionan una o más características comunes y exclusivas a los
elementos del conjunto. Así tenemos:
 

    
 



x 2
forma del condición de característica de
elemento la variable la variable
A { x / x 1 x 4 }
RELACIONESENTRECONJUNTOS
a) INCLUSIÓN: se dice que un conjunto "A" está incluido en
"B" si todos los elementos de "A" son también elementos de
"B". Se denota: 
A B .Se lee:
"A está incluido en B" ; "A está contenido en B"
"A es subconjunto de B"
b) IGUALDAD: se dice que dos conjuntos son iguales cuando
poseen los mismos elementos. Se denota: A = B.
    
A B A B B A
c) CONJUNTOS COMPARABLES: dos conjuntos son com-
parables, cuando por lo menos uno de ellos está incluido en
el otro. Es decir:   
A B B A
d) DISJUNTOS: dos conjuntos A y B son disjuntos cuando
no tienen elementos en común.
CLASES DE CONJUNTOS
a) FINITO: si tiene una cantidad limitada de elementos diferentes, es
decir el proceso de contar sus elementos tiene fin en el tiempo.
b) INFINITO: si tiene una cantidad ilimitada de elementos diferen-
tes, es decir el proceso del conteo de sus elementos no tiene fin
en el tiempo.
CONJUNTOS ESPECIALES
a) CONJUNTO VACÍO O NULO: aquel conjunto que no tiene
elementos. Se denota por Ø o { }.
Propiedad: el conjunto vacío (Ø) es subconjunto de todo
conjunto.Ejemplo:
      

P { x / 2 x 3} P Ø { }
b) CONJUNTO UNITARIO O SINGLETÓN: aquel conjunto que
tiene un solo elemento. Su cardinal es 1.
Ejemplo:       

R {x / 34 x 36} R {35} n(R)=1
c) CONJUNTO UNIVERSAL: es un conjunto referencial que se
toma para el estudio de otros conjuntos incluidos en él. No
existe un conjunto universal absoluto y se denota generalmente
con la letra "U".
d) CONJUNTO DE CONJUNTOS O FAMILIA DE CONJUNTOS:
Es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos.
Ejemplo:  
A {{1};{2};{7;8};{5}; }
e) CONJUNTO POTENCIA: el conjunto potencia de un conjunto
"A" es la familia de subconjuntos de A y se denota como P(A).
Observación importante:
* Número de subconjuntos de A:
n(A)
(A)
n P 2
  
 
* Se denomina subconjunto propio de "A" a todo subconjunto
de "A" diferente de "A".
# subconjuntos propios de A: (A)
2 1
n

OPERACIONES CON CONJUNTOS
A. UNIÓN    

A B {x/x A x B}
B
U
A
A B
U
A
B
U

A B 
A B 
A B
PROPIEDADES:
  
 
A A A U U
B. INTERSECCIÓN  
   
A B x / x A x B

B
U
A
A B
U
A
B
U

A B 
A B  
A B

PROPIEDADES:
   
 
A A U A
C. DIFERENCIA  
    
A B x / x A x B
B
U
A
A B
U
B
A
U

A B 
A B

A B
PROPIEDADES:
         
A A A A A
D. COMPLEMENTO  
   
´ c
A A A x/x A
A
A’

  
 


c c c
c c
c
(A ) A A A = U
U = A A
U

12. 12
ARITMÉTICA
PROPIEDADES
OBSERVACIÓN: para dos conjuntos A y B
 
   
c c c c c c
A B (A B) A B (A B)
E. DIFERENCIA SIMÉTRICA:
      
  
A B (A B) (B A) A B (A B) (B A)
PROPIEDADES:
      c
A A A A = A A = A
DIAGRAMA DE VENN - EULER
Son regiones planas simples limitadas por figuras geométricas cerradas,
que se utilizan para representar gráficamente a los conjuntos. El
rectángulo representa generalmente al conjunto universal.
U
A B
C
DIAGRAMA DE CARROLL
Se utiliza generalmente para conjuntos disjuntos.
A B
C
D
Donde: A y B disjuntos
C y D disjuntos
DIAGRAMA LINEAL
Para conjuntos comparables:
EJERCICIORESUELTO
1. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto C?
C = 
a) 127 b) 63 c) 15 d) 7 e) 31
SOLUCIÓN
n(C) = 4
# de subconjuntos propios = n(C)
2 1

# de subconjuntos propios = 4
2 1
 = 15 Clave: c
2. De un grupo de 30 personas: 20 van al teatro, 5 sólo van al cine;
18 van al cine o al teatro; pero no a ambos sitios. ¿Cuántos van
a ambos sitios?
a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 4
SOLUCIÓN
Cine = C Teatro = T
Empleamos el diagrama de Venn - Euler y ubicamos los datos:
T
c
5 13
7
(20)
5
n(C T) = 7
  Clave: b
3. En una peña criolla trabajan 32 artistas. De estos, 16 bailan, 25
cantan y 12 cantan y bailan.
¿Cuántos artistas no cantan ni bailan?
a) 4 b) 5 c) 2 d) 1 e) 3
SOLUCIÓN
Cantan = C Bailan = B
Empleamos el diagrama de Venn – Euler y ubicamos los datos:
n(U) = 32
B
c
13 4
12
3
(25) (16)
c
n(C B) = 3
  Clave: e
SEMANA 02
NUMERACIÓN
CONCEPTOSFUNDAMENTALES
Sistema posicional de numeración
Es el conjunto de reglas y principios que hacen posible la correcta
formación, escritura y lectura de los números. Fue inventada por los
híndúes y se basa en el valor relativo de las cifras, según su ubicación
en el numeral.
Número:
Es un ente matemático que nos permite cuantificar los elementos de
la naturaleza, el cual nos da la idea de cantidad.
Numeral:
Representación de un número en forma simbólica, jeroglífica, gráfica
o pictográfica.
Ejemplos:
* HINDO - ARABIGO: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
* ROMANO: I, II, X, L, C, M, D
* Actualmente: 145 ; abc
PRINCIPIOS
DEL ORDEN: toda cifra en el numeral tiene un orden, por convención
se enumera de derecha a izquierda.
4 3 2 1 Orden
Número 6 7 8 9
Lugar 1º 2º 3º 4º
Observación: algunos autores consideran a la cifra de unidades
simples como la cifra de orden cero.
DE LA BASE: es un número entero, positivo, mayor que uno, que
nos indica como se agrupan las unidades de un orden cualquiera
para formar la unidad colectiva del orden inmediato superior.
Sea « n» una base, entonces:
n = 2; 3; 4; 5; 6; 7; …………..
Ejemplo: Representar el número: «doce» en base 5 y en base 4
12 225 304
PROPIEDAD
Un mismo número escrito en diferentes sistemas de numeración cumple
que «A mayor numeral aparente le corresponde menor base» o «A
menor numeral aparente le corresponde mayor base»
+ -
n
abcd = m
xyz Se cumple : m > n
- +
DE LAS CIFRAS
Las cifras o dígitos son símbolos convencionales que se utilizan para
escribir los numerales.
Las cifras son siempre menores que la base en la cual se representa el
numeral.
Cifras en base "n":
Cifras significativas
Cifra no
significativa
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... ; (n 1)



Un numeral tiene un valor absoluto y un valor de posición o relativo.

13. 13
ARITMÉTICA
VALOR ABSOLUTO (VA): es el valor que posee por sí mismo
independientemente de su ubicación.
VALOR RELATIVO (VR): es el valor que tiene una cifra de acuerdo
al orden o ubicación que ocupa dentro de un numeral.
1
Representación literal de los números
Cuando no se conocen las cifras de un numeral, estas se van a
representar mediante letras minúsculas, considerando que:
a. Las letras diferentes no necesariamente indican cifras diferen-
tes; a menos que lo señalen.
Ejemplo: ab  {10 ; 11 ; 12 ; .... ; 99}
b. Toda expresión entre paréntesis representa una cifra.
Ejemplo: (a 2)(b 5)(c 8)
   ; tiene 3 cifras
c. La cifra de mayor orden debe ser diferente de cero:
Ejemplo: mnp entonces m 0

SISTEMAS DE NUMERACIÓN MÁS COMUNES
BASE SISTEMA CIFRAS UTILIZADAS
2 Binario 0; 1
3 Ternario 0; 1; 2
4 Cuaternario 0; 1; 2; 3
5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4
6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5
7 Heptanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
8 Octanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
10 Decimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
11 Undecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 
12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;  ; 
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NUMERAL
Viene a ser la suma indicada de los valores relativos de cada una de
sus cifras; es decir, de acuerdo al orden que ocupan en el numeral.
Ejemplos:
n
ab a.n b
 
2
n
abc a.n b.n c
  
3 2
n
abcd a.n b.n c.n d
   
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA POR BLOQUES
2
n n n
abab ab .n ab
 
3
abcabc abc.10 abc 1001.abc
  
CAMBIOS DE BASE
1. De base n a base 10 (n  10):
• E
xpresar23146 en base 10
Por Descomposición Polinómica (DP)
2314(6) = 2. 63 + 3. 62 + 1.6 + 4 = 550
• Expresar 13225 en base 10
Por Ruffini:
1 3 2 2
5  5 40 210
1 8 42 212
Entonces: 13225 = 212
2. De base 10 a base m (m  10):
• Expresar 465 en base 6
Usando Divisiones Sucesivas
465 6
6
6
77
12
2
0
5
3
Luego: 465 = 20536
3. De base "n" a base nk (k 

 ):
• Se forman grupos de k cifras; a partir del orden uno.
• Cada grupo así formado se descompone polinomicamente,
dicho resultado es la cifra en la nueva base(nk).
Ejemplo: expresar 1011110112 a base 8.
Solución:
1 0 1 1 1 1 0 1 1(2) a base 8 = 23
5 7 3(8)
4. De base "nk" a base n (k  
 ):
• Cada cifra del numeral de la base nk genera un grupo de k
cifras en base n.
• Las cifras de cada grupo se obtienen por divisiones sucesi-
vas entre n.
Ejemplo: expresar 5207(9) en el sistema ternario.
Solución:
5 2 0 7
5 3
1
2
1 2
2 3
0
2
0 2
0 3
0
0
0 0
7 3
2
1
2 1
(9) (3)
5207 12020021
 
NUMERAL CAPICÚA: es aquel número cuyas cifras
equidistantes de los extremos son iguales (leído de derecha a
izquierda y viceversa representa el mismo numeral).
Ejemplos:
Numeral capicúa de 2 cifras : aa
Numeral capicúa de 3 cifras : aaa;aba
Numeral capicúa de 4 cifras : aaaa;abba
PROPIEDADES:
A. Numeral de cifras máximas
k
n
"k " cifras
(n 1)(n 1)...(n 1) n 1
    

B. Bases sucesivas
b0
1b
1c c0n
1dn
1a a b c d n a0 a.b.c n
     
C. Cantidad de numerales con cierta cantidad de cifras.
k 1 k
n
"k"cifras
n abc...p n

 
EJERCICIOSRESUELTOS
1. Se cumple que n 4
a2a a00

Determina 2 2
a n

a) 10 b) 13 c) 12 d) 18 e) 20

14. 14
ARITMÉTICA
Solución:
n 4
a2a a00
  
3
2 n 4
 
3 4
a2a a00

6 6a
a 1

 2 2
a n 1 9 10
    
Rpta: a
2. Determina a + m, si: (m)
aaa 4210

a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 36
Solución:
(m)
aaa 4210

2
2
a(m m 1) (10)(421)
a 10 m m 1 421
m(m 1) 420
m 20
  
   
 

a m 10 20 30
    
Rpta: c
3. Si:
a
mnq 329
 , determina la cantidad de valores que toma "a"
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
Solución:

(a)
a a
(a)
2 3
7;8;9;...;18
12#
mnq 329
100 mnq 1000
a 329 a
6,4 a 18,1

 
 
 





Rpta: c
SEMANA 03
CONTEO DE NÚMEROS
En el caso específico, que se desee conocer la cantidad de elementos
que posee un conjunto de números, se debe de diferenciar los casos
que se puedan presentar:
I) Si los números forman parte de una sucesión numérica.
II) Si los números admiten condiciones particulares entre ellos.
I. PROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.A.)
Es una sucesión numérica en la que cada término es igual al
anterior má<s una cantidad constante llamada razón, la cual se
calcula mediante la sustracción de dos términos consecutivos.
En forma general:
a1; a2; a3; . . . . ; an
+r +r +r
Donde:
* a1 : primer término
* a2 : segundo término
* a3 : tercer término
 
* an : enésimo término (último término)
* n : Cantidad de términos (lugar del
último término)
* r : razón de la progresión aritmética.
Además:
* Si r < 0  P.A. decreciente
* Si r > 0  P.A. creciente
Fórmulas importantes:
* Número de términos (n)
n 1
a a
n 1
r

 
 
 
 

último tér mino anterior
tér mino al primero
n
razón
   

   
   

* Término general (an): n 1
a a (n 1).r
  
II. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA (PG.)
Es una sucesión de términos, tal que cada uno es igual al ante-
rior por una cantidad llamada razón (q).
NOTACIÓN:

1 2 3 n
2 n 1
1 1 1 1
1):: t ; t ; t ; .....; t
2) :: (t ); (t .q); (t .q ); .....; (t .q )
PROPIEDADES
n 1
n 1
c n 1
n
1
n
1. P.G. creciente q 1
P.G. decreciente 0 q
P. G. oscilante q 0
2. Término enésimo : t t .q
3. Término central: t t .t
4. Suma de una progresión geométrica :
t (q 1)
S
q 1

 
   
  





1
L
m 1
5. Suma de una P.G. decreciente
t
(Suma límite) S
1 q
6. Razón de la P.G. al interpolar
b
q=
a



III. PAGINACIÓN
Utilizando tipos de imprenta se considera un problema: el deter-
minar los necesarios para numerar las páginas de un libro; es
decir, calcular la cantidad de cifras necesarias para escribir todos
los enteros desde 1 hasta N, y para ello aplicaremos de manera
práctica lo siguiente:
1 N
"k " cifras
C (N 1)K 111....11
    
Donde: "k" es el número de cifras que tiene N.
Observación: en otras bases:
 
1 N (n) (n)
(n)
C N 1 k 111...11
   
“k” cifras
Ejemplo:
¿Cuántos tipos de imprenta se utiliza en la enumeración de un
texto de 19 páginas?
* En base 10: 1; 2; 3; . . . . ; 19
1 19
C (19 1).2 11 29

    
* En base 4: 19 = (4)
103 ; esto es:
1; 2; 3; 10, 11; 12; 13; 20; 21; 22; 23; 30; 31; 32; 33; 100;

15. 15
ARITMÉTICA
101; 102; 103.
 
1 103 (4) (4)
(4)
C 103 1 .3 111 39

    
EJERCICIOSRESUELTOS
1. Determina cuántas cifras tiene el término de lugar 80 de la si-
guiente progresión aritmética: n n n
21 ;24 ;31 ;...
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Solución:
n n n
n n n n
6 6 6
80 6
4cifras
21 ;24 ;31 ;...
24 21 31 24
n 6
21 ;24 ;31 ;......
13;16;19;.......
r 3
T 13 (80 1)3 250 1054
  


    



Rpta: c
2. En una P.A. la suma de los «n» primeros términos está dada por
n(7n+3). Determina el décimo término.
a) 132 b) 134 c) 135 d) 136 e) 138
Solución:
n
1
2
3
S n(7n 3)
S 1(7.1 3) 10
S 2(7.2 3) 34
S 3(7.3 3) 72
 
  
  
  
S 34
S 72
P.A. 10;24;38









10
10
r 14
T 10 (10 1).14
T 136

  

Rpta: d
3. Se enumeran las primeras «n» páginas de un libro. Determina la
suma de cifras de «n», si se utilizaron 4333 dígitos.
a) 18 b) 10 c) 9 d) 12 e) 15
Solución:
;2;3;......;n debe ser de 4 cifras
(n 1)4 1111 4333
n 1360
cifras 10

   

 
Rpta: b
SEMANA 04
LAS CUATRO OPERACIONES
ADICIÓN
Se llama «adición» a la operación que hace corresponder a ciertos
pares de números naturales llamados sumandos (a,b) una tercera
cantidad llamada suma (S).
(a,b) S




Donde: a y b : sumandos
S : Suma
 a + b = S
La adición en otros Sistemas de Numeración
Ejemplo:
Determina la suma de: 4357., 1647., 4167
Solución:
Los sumandos son colocados en forma vertical para efectuar la
operación de acuerdo al orden que ocupa sus cifras.
7
7
7
3º 2º 1º
4 3 5
1 6 4
4 1 6

Orden Procedimiento
1
5+4+6=15=217
 1 queda
 2 se lleva
2
3+6+1+2=12=157
 5 queda
 1 se lleva
3
4+1+4+1=137
 3 queda
 1 se lleva
7
7
7
7
4 3 5
1 6 4
4 1 6
1 3 5 1

SUSTRACCIÓN
Es una operación binaria que hace corresponder a ciertos pares de
números naturales llamados minuendo y sustraendo, un tercer número
natural llamado diferencia
(M,S) D




Donde:
M : Minuendo
S: Sustraendo
D : Diferencia
 M – S = D
En general se cumple que:
1) M – S = D
2) S + D = M
3) M + S + D = 2M
Propiedades de la Sustracción
1) Si n
N ab
 se cumple que
n n n
ab ba xy x y n 1
     
Donde: a>b
2) Sea n
N abc
 , donde a>c se cumple:
n n n
abc cba xyz y x z n 1
      
La sustracción en otros sistemas de numeración
Ejm. Halla la diferencia de los siguientes números 432(5) y 143(5)
Solución:
Se disponen los términos de manera vertical para trabajar de
acuerdo al orden.

16. 16
ARITMÉTICA
5
5
3º 2º 1º
4 3 2
1 4 3

Orden Procedimiento
1º
Como a “2” no se le puede disminuir “3”, lo que se hace
es regresar del orden 2 una vez a la base (es decir 5).
Luego 5 + 2 – 3 = 4 queda
2º
Como se ha regresado una vez la base, quiere decir
que en este orden se tiene ahora 3-1 = 2, pero a 2 no
le podemos disminuir en 4, luego del orden 3
regresamos una vez la base (es decir 5)
5 + 2 – 4 = 3 queda
3º
Aquí se tenía 4 veces la base, pero regresamos al orden
anterior luego aquí quedó
4-1 = 3, entonces
3 – 1 = 2 queda
Al final se tiene que:
5
5
5
4 3 2
1 4 3
2 3 4

Complemento Aritmético (CA.)
Se denomina complemento aritmético de un número natural a la
cantidad que le falta a dicho número para ser igual a una unidad
del orden inmediato superior, a su cifra de mayor orden.
Ejemplo: Halla el C.A. de 24
CA (24) = 10² - 24 = 76
Ejemplo: Halla el C.A. de 327
CA(327)=1000 – 327 = 673
En general:
C.A. (N) = 10k – N
Siendo k el número de cifras que tiene N.
Método práctico para calcular el C.A. de los números
A partir del menor orden se observa la primera cifra significati-
va, la cual va a disminuir a la base y las demás cifras disminuyen
a la base menos 1.
Ejemplo:
9 9 9 9 9 10
CA(10 4 6 8 3) 895317

MULTIPLICACIÓN
Es una operación binaria que hace corresponder a ciertos pares de
números naturales llamados multiplicando y multiplicador, un tercer
número natural denominado producto.
x
(a,b) P



Donde: a: Multiplicando
b: Multiplicador
P: Producto
a y b: Factores
 a x b = P
Determinación de la cantidad de cifras de un producto
La cantidad de cifras de un producto de «n» factores será máxima
cuando sea igual a la suma de la cantidades de cifras de cada factor
y como mínimo dicha suma disminuida en (n-1).
Sea:
P = A1 . A2 . A3 ......An
A1: a1 cifras
A2: a2 cifras
A3: a3 cifras
  
An: an cifras
Cuantas cifras como máximo y como mínimo puede tener P.
Máximo: a1 + a2 + a3 + .... + an = S
Mínimo: S – (n-1)
MULTIPLICACIÓN EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Efectuar 2437 . 367
Procedimiento. Los términos son colocados en la forma siguiente,
para efectuar la operación de acuerdo al orden que ocupan sus
cifras.
7
7
3º 2º 1º Orden
2 4 3 x multiplicando
3 6 multiplicador



Orden Procedimiento
1º del
multiplicador
6 x 3 = 18=247 4(queda) 2(se lleva)
6 x 4 + 2 = 26=357 5(queda) 3(se lleva)
6 x 2 + 3 = 15=217 1(queda) 2(se lleva)
2º del
multiplicador
3 x 3 = 9=127 2(queda) 1(se lleva)
3 x 4 + 1 = 13=167 6(queda) 1(se lleva)
3 x 2 + 1 = 7=107 4(queda) 2(se lleva)
Al final se tiene que:
Multiplicando
Multiplicador
Productos
Parciales
ProductoFinal
7
7
7
7
7
2 4 3 x
3 6
2 1 5 4
1 0 6 2
1 3 1 0 4
DIVISIÓN
Es una operación binaria que hace corresponder a ciertos pares de
números naturales llamados dividendo y divisor, un tercer número
llamado cociente.
:
(D;d) q


Donde: D: Dividendo
d: Divisor
q: Cociente  D : d = q
CLASIFICACIÓN
División exacta. Es cuando no existe presencia de resto
D d D d.q
q
 
División inexacta. Es cuando existe presencia de resto y a su
vez se clasifica en:
Defecto Exceso
D d
r q
D = d.q + r
e
D d
r q 1

D = d.(q+1) -re
Donde:
Cociente por defecto (q)
Cociente por exceso (q+1)
Residuo por defecto (r)
Residuo por exceso (re)
Propiedades de la División Inexacta
 r + re = d
 0 < r < d
rmin = 1 rmax = d-1
EJERCICIOSRESUELTOS
1. Determina:  
a b c ;
 
si n + x =16 y

17. 17
ARITMÉTICA
 
x1x x2x x3x ... x n 1 x abc4
     
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 19
RESOLUCIÓN:
n + x = 16 ; (n – 1) . x = ... 4
n = 10
x = 6
“n-1”
Sumandos
a
5
5 5
x x
x
1
2
x
x (n-1) x
b c 4
9 0
.
.
.
* x = 6
6 9 n=10
a + b + c = 14
RPTA.:B
2. Determina:  
a b
 si:
     
C.A. 1ab C.A 2ab C.A. 3ab ...
  
 
C.A. 9ab 41ab
 
A) 1
B) 6
C) 8
D) 10
E) 4
RESOLUCIÓN:
     
CA 1ab CA 2ab ... CA 9ab 41ab
   
     
3 3 3
10 1ab 10 2ab ... 10 9ab 41ab
      
 
3
9 10 1ab 2ab ... 9ab 4100 ab
      
3 1ab 9ab
9 10 9 4100 ab
2

    
 
9000 500 ab 9 4100 ab
    
400 10 ab ab 40
   
a + b = 4
RPTA.: E
3. Calcula la cantidad total de números enteros, los cuales al ser
divididos entre 31, producen un resto que es el triple del cocien-
te correspondiente.
A) 13
B) 4
C) 10
D) 11
E) 12
RESOLUCIÓN:
Sea «N» uno de dichos números:
N = 31 q + 3 q
N = 34 q
Además, sabemos:
resto < divisor  3q < 31
q < 31/3
 q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Cantidad de valores: 10
RPTA.: C
SEMANA 05
DIVISIBILIDAD
1. DEFINICIÓN
Parte de la Aritmética que estudia las condiciones que cumple
cierto numeral para ser divisible entre otros y, las consecuencias
que se derivan de estos análisis.
2. MÓDULO DE UN NÚMERO
Es lo que antes se llamaba divisor. Se debe considerar, además la
propiedad: "El residuo menor que el divisor" ( r< d ).
Ejm.: Determina los módulos de 12 . Sean: 1; 2; 3; 4; 6; 12
3. MÚLTIPLODEUNNÚMERO
Es lo que antes se llamaba dividendo; aquel número que contie-
ne a otros números.
Ejemplo: determina los múltiplos de 7. Sean: 7; 14; 21; 28; ……
CASOS:
I. Un número entero, será divisible por otro entero posi-
tivo, llamado módulo, si al dividirse, el cociente es otro nú-
mero entero y el residuo es cero.
Dados: A ; B 
 
 
A B A B.K; K
0 K
   
Notación de múltiplos:
o
A B
 o A B.K
 ; K  
Y se lee: A es divisible por B; A es múltiplo de B; A es
dividido exactamente por B; A contiene exactamente a B.
Ejm:
o o o
42 6;120 10 ;372 4
  
Observación: "El cero (0), es múltiplo de cualquier número
entero positivo; OJO: excepto de si mismo".
o
0 n; 0 n
 
II. Un número entero, no será divisible por otro entero positi-
vo, llamado módulo, si al dividirse, el cociente es otro núme-
ro entero y el residuo, diferente de cero. Luego:
A) Por defecto:
o
d d
d
A B A B.q r ó A B r
r q
    
B) Por exceso:
o
e e
e
A B A B(q 1) r ó A B r
r (q 1)
     


18. 18
ARITMÉTICA
Ejemplo:
º º
Por defecto Por exceso
73 7 3 7 4
   
Recuerda: d e
B r r
 
4. PRINCIPIOSFUNDAMENTALESDELADIVISIBILIDAD
4.1 OPERACIONESCONMÚLTIPLOSDEUNMISMOMÓDULO
a) Para sumas y/o restas:
o
n  o
n =
o
n
Ejemplo:
o
9 -
o
9 +
o
9 -….. =
o
9
b) Para multiplicaciones:
o
n .
o
n .
o
n . ……=
o
n
Ejemplo:
o
7 .
o
7 .
o
7 . ……=
o
7 También: (
o
n )k =
o
n ; k
Ejemplo: 23(
o
5 ) =
o
5
c) Para Potenciación :
o o
k
(n) n; k 
  
Ejemplo:
o o
100
(9) 9

También:
-
o
o o
2
n . n (n )

- (
o
n +r1)(
o
n +r2)(
o
n +r3) =
o
n +r1.r2.r3
4.2 TODONÚMEROESDIVISIBLENECESARIAMENTEPORCADA
DIVISORQUETIENE.
Ejemplo:
divisores
10 1;2;5;10





o o o o
10 1; 10 2; 10 5 ;10 10
   
4.3 TODONÚMEROQUEESDIVISIBLEPORVARIOSMÓDULOS,
ENTONCESELNÚMEROESMÚLTIPLODELMCMDEDICHOS
MÓDULOS.
Sea:
o
o
o
a
N b
c



Cumplirá:
º
N MCM(a;b;c)

Corolario:
a r
N
b r






Luego: N=
o
MCM(a;b)  r
4.4 PRINCIPIO DE ARQUÍMIDES
º
k.m n; siendo k y npesi
 Luego:
º
m n

Ejemplo:
º º
5.w 7 ; Luego : w 7
 
Ejemplo:
º º
21.x 5 ; Luego : x 5
 
4.5 ALEXPRESAR UN NUMERALENCIERTABASE"K"
o
o
2
k
k
o
3
k
k w
xyzw (k ) zw
(k ) yzw

 



4.6 DIVISIBILIDAD APLICADAALBINOMIODENEWTON
I.
º º
k k
(a b) a b
  
o
k
o
k
o
k
a b ; para"K " valor par
II. (a b)
a b ; para"K "valor impar



  



Ejm.:
º º º º
10 10 25 25
(9 3) 9 3 ; (13 5) 13 5
     
5. RESTOS POTENCIALES (RP.)
Son los restos que se obtienen, al dividir las potencias sucesivas
de cierto número, respecto de otro, llamado módulo.
Ejm.: Determina los r. p. de 4 respecto del módulo 9.
Sean:
o o o o
0 1 2 3
4 9 1; 4 9 4 ; 4 9 7; 4 9 1;...
        Luego, los res-
tos potenciales son: 1; 4; 7; 1; 4; 7; ……
Gaussiano (G). Es un grupo de restos potenciales, que
se van repitiendo periódicamente, al hallar los r. p. de un
número respecto de otro, llamado módulo. Ejm.: Determina el
Gaussiano (G), al hallar los r. p. de 5 respecto del módulo 11.
Sea :
o o o o
0 1 2 3
o o
4 5
5 11 1; 5 11 5; 5 11 3; 5 11 4;
5 11 9;5 11 1;...
       
   
Se observa, que en la potencia 5
5 , se repite el resto "1". Por lo
tanto, el Gaussiano de 5 respecto del módulo 11, es 5.
(Visualiza:r.p. : 1; 5; 3; 4; 9). Es decir: 11
G(5) 5
 .
Observación: el Gaussiano, divide a un exponente incógnita
de cierta igualdad;pudiendo tener cierto residuo.
I. CRITERIOSDEDIVISIBILIDAD
Definición: son ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras
de un numeral permitirán determinar su divisibilidad respecto a
cierto módulo.
1.1. Criterios de divisibilidad entre potencias de 2:
o o
o o
o o
abcde 2 e 2
abcde 4 de 4
abcde 8 cde 8
  
  
  
* Ejemplo:
Determina el valor que debe asignarse a "X" para que el
numeral 21327X sea divisible entre 8.
Solución: 21327X =
o
8  27X =
o
8
 X = 2

19. 19
ARITMÉTICA
1.2. Criterios de divisibilidad entre potencias de 5
o o
o o
o o
abcde 5 e 5
abcde 25 de 25
abcde 125 cde 125
  
  
  
* Ejemplo:
Determina m + n ; si: 10363mn 125


Solución: 3mn = 125

 3mn = 375
 m = 7  n = 5
m+n=12

1.3. Criterio de divisibilidad entre 3 o 9
abcd 3


 a + b + c + d = 3

abcd 9


 a + b + c + d = 9

* Ejemplo:
Hallar: "X", si: 13X52 9


Solución: 1 + 3 + X + 5 + 2 = 9

11 + X = 9

 X = 7
1.4.Criterio de Divisibilidad entre 11
Un numeral es divisible entre 11 si empezando de dere-
cha a izquierda, la diferencia entre la suma de sus cifras
de orden impar y la suma de sus cifras de orden par es
divisible entre 11.
abcde
    
= 11

 a - b + c - d + e = 11

Ejemplo:
¿Cuál es el valor de "X" para que el numeral 4X17 sea
divisible entre 11?
Solución: 4X17
   
= 11

Entonces: - 4 + X - 1 + 7 = 11

 X + 2 = 11

 X = 9
1.5.Criterio de divisibilidad entre 7
Un numeral es divisible entre 7 si al multiplicar cada una de
sus cifras (a partir de la derecha) por
1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; . . . . y luego de efectuar, la suma
algebraica resultante es divisible entre 7.
o o
1231231
abcdefg = 7 a 2b 3c d+2e+3f+g =7
+ +
   

* Ejemplo:
¿Cuál es el valor de "a" si el numeral 13a372 es divisible
entre 7?
Solución:
o
231231
13a372 = 7
 
Entonces: –2–9–a+6+21+2= 7

 18–a = 7

a = 4
1.6.Criterio de divisibilidad entre 13
Un numeral es divisible entre 13 si al multiplicar a cada una de
sus cifras (a partir de la derecha) por: 1; -3;-4;-1;3;4; 1;-3;-
4; . . y luego efectuar la suma algebraica resultante, es divi-
sible entre 13.
o o
1431431
abcdefg = 13 a 4b+3c d 4e 3f+g =13
+ +
    

* Ejemplo:
¿Qué valor debe tomar "b" en el numeral 128b306 si es
divisible entre 13.
Solución:
o
1431431
128b306 = 13
  
Entonces: 1+8+24–b–12–0+6 = 13

 27 - b = 13

b = 1

1.7. Criterio de divisibilidad entre 33 y 99
Se descompone el numeral de derecha a izquierda en
bloques de 2 cifras y la suma de ellos es 33

o 99

o o
o o
abcdef 33 ab cd ef 33
abcdef 99 ab cd ef 99
    
    
Ejemplo:
¿Cuál es el valor de "a+b" si el numeral 13ab54 es 99

?
Solución: 13ab54 : 13 + ab + 54 = 99

ab = 99

– 67
ab = 99

+ 32
 a + b = 5
SEMANA 06
NÚMEROS PRIMOS
CLASIFICACIÓNDELOSNÚMEROSENTEROSPOSITIVOSSEGÚNLA
CANTIDADDESUSDIVISORES
Dado el conjunto numérico:

 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; . . . }
Los números enteros positivos se pueden clasificar de diversas
maneras. Por ejemplo, si se toma en cuenta la divisibilidad entre dos
se puede clasificar en pares e impares.
Para el estudio que abarca el siguiente capítulo se toma en cuenta "la
cantidad de divisores enteros y positivos que tiene un número entero
y positivo"
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Divisores 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 2 5 2 7 2 3 2 11 2
4 3 4 9 5 3
6 8 10 4
6
12

La unidad
I. Números simples
Números primos
II. Números compuestos

 


 




20. 20
ARITMÉTICA
NÚMEROSSIMPLES
Son aquellos números que tienen a lo más 2 divisores.
LAUNIDAD
Es el único número entero positivo que posee un solo divisor; él
mismo.
NÚMEROS PRIMOS
También llamados PRIMOS ABSOLUTOS. Son aquellos números que
carecen de ley de formación alguna, por tener sólo divisores: la
unidad y él mismo.
Observaciones:
1) El menor y único número primo par es el 2.
2) Los únicos números primos consecutivos son el 2 y el 3.
3) Todo número primo mayor que 7 termina en 1 ó en 3 ó en 7 ó en 9.
Propiedades de los números primos:
1) Si un número es primo entre sí de una potencia, también lo será
de su base.
2) El conjunto de los números primos es ilimitado.
3) Todo número entero mayor que 1 tiene por lo menos un factor
primo mayor que la unidad.
4) Todo número primo que divide a un producto de varios facto-
res, divide por lo menos a uno de los factores (teorema de
Arquímedes).
Forma de reconocer a un número primo:
1) Al número dato se le halla su raíz cuadrada por defecto.
2) Se ubican a todas los números primos menores que la raíz del
número dato.
3) Se divide el número dato con cada número primo menor que su
raíz, si no se presenta división exacta entonces será un número
primo.
Ejemplo: 37
1) 37 = 6, sobrando 1
2) Primos menores que 6: 2, 3 y 5
3) 37 2 37 3 37 5
1 18 1 12 2 7
37 es número primo
Número compuesto
Todo aquel número que tiene más de 2 divisores se llama número
compuesto.
Ejemplo: d4 = 1; 2; 4 4 es un número compuesto
Observación:
- El número uno no es un número primo ni un número compues-
to, forma el conjunto de los números simples.
Números primos entre sí (PESI):
Llamados también primos relativos o coprimos. Es un grupo de
números que poseen como único divisor común a la unidad (1).
Ejemplo:
(18)
(25)
d 1 ;2;3;6;9;18
d 1 ;5;25


 18 y 25 son PESI
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA
Todo número entero y positivo mayor que uno, se puede expresar
como el producto de sus divisores primos diferentes elevados cada
uno de ellos a exponentes enteros positivos. Esta representación es
única y se le denomina como la descomposición canónica de dicho
número.
Ejemplo:
Descomponer canónicamente a 1740.
1740 2
870 2
435 3
145 5
29 29
1
 1740 = 22 x 31 x 51 x 291
Forma general:
N = (a)m (b)n (c)p
Donde: a, b y c son números primos.
m, n y p son números enteros positivos.
ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO
Regla para determinar los divisores de un número:
1) Se descompone el número en factores primos.
2) Se escribe 1 (que es divisor de todo número y a continuación se
ponen las diversas potencias del primer factor primo.
3) Se multiplican los divisores hallados por las diferentes potencias
del segundo factor primo.
4) Se multiplican todos los factores hallados anteriormente por las
diferentes potencias del tercer factor primo y así sucesivamente
hasta que aparezca el número original.
Ejemplo:
Determinar los divisores de 60:
60 = 3 x 5 x 22
1 2 4
3 6 12 3
5 10 20 5
15 30 (60)
12 divisores
Cantidad de divisores (Cd):
El número total de divisores es igual al producto de los expo-
nentes de los factores primos aumentado en 1.
Sea: N = am .bn .cp (D.C)
 CdN = (m + 1) (n + 1) (p + 1)
Ejm.: ¿Cuántos divisores tiene 60?
60 = 22 x 31 x 51
 Cd60= (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 12 divisores.
Suma de divisores (Sd):
Dado: N = a . b . c (D.C)
Sdiv(N) =
1 1 1
a 1 b 1 c 1
a 1 b 1 c 1
  
     
  
     
     
  
     
Producto de divisores (Pd):
Dado: N = am . bn . cp (D.C)
Pdiv (N) = CdN
N
FUNCIÓN EULER O INDICADOR DE
UN NÚMERO ENTERO POSITIVO
Notación: (N) :

Se lee indicador de N
El indicador de N es la cantidad de números enteros positivos primos
entre sí con N, que existen entre dos múltiplos consecutivos de N. En
forma práctica se dice que el indicador de N es la cantidad de números
enteros positivos menores o iguales que N, primos entre sí con N.
Sea: N a .b
 
 (D. C)
1 1
N a .(a 1).b .(b 1)
 
   
Ejemplo: ¿cuántos números menores que 12 son PESI con 12?
Solución:

21. 21
ARITMÉTICA
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12
4N° PESI con 12
12 = 22 . 31
12
 = 22–1 (2-1) . 31–1 . (3-1) = 4
Nota: Para calcular la suma de todos los enteros positivos menores o
iguales a N y PESI con N es:

 N
N.
S
2
Ejemplo:
Los números menores que 12 PESI con 12 son:
{1, 5, 7, 11} cuya suma es: 24 mediante la fórmula
24
2
4
12
S 


TEOREMA DE EULER
Si: m > 1, además a y m son PESI entonces:
o
(m)
a m 1

 
TEOREMA DE WILSON
Si P es primo absoluto, entonces:
(P - 1)! + 1 =
o
P  (P - 1)! =
o
P – 1
SEMANA 07
MCD - MCM
MÁXIMOCOMÚNDIVISOR(MCD)
I. DEFINICIÓN.- Es el mayor de los divisores comunes a un
grupo de números.
Sean los Sus divisores
Números
24 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24
36 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36
48 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16, 24; 48
Los divisores
comunes de 1; 2; 3; 4; 6; 12
los 3 números
El mayor MCD = 12
divisor común
II. PROPIEDADES:
- Si 2 números son divisibles el menor es el MCD.
Ejemplo: (8 y 24) su MCD = 8
- El MCD de un grupo de números PESI es la unidad
Ejemplo: (3; 8 ; 25) su MCD = 1
MÍNIMOCOMÚNMÚLTIPLO(MCM)
I. DEFINICIÓN.- Es el menor de los múltiplos comunes a un
grupo de números.
Sean los Sus múltiplos
números
9 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; ...
12 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; ...
18 18; 36; 54; 72; 90; ...
Los múltiplos
comunes a los 36; 72; ...
3 números
El menor
múltiplo común MCM = 36
II. PROPIEDADES:
- Si 2 números son divisibles el mayor es el MCM.
Ejm: (8; 24) su MCM = 24
- El MCM de dos números PESI es igual a su producto.
Ejm: MCM (3; 5) = 15
CÁLCULODELMCMYMCD
1. Por descomposición canónica simultánea
Ejm: Determina el MCM y MCD de 24 y 56
Cálculo del MCM
24 56 2
12 28 2
6 14 2
3 7 3
1 7 7
1 1
MCM = 23.3.7 = 168
Cálculo del MCD
24 56 2
12 28 2
6 14 2
3 7
 MCD = 23 = 8
2. Con los números descompuestos canónicamente
Ejemplo: Si: A = 22.3.5.7
B = 2.33.11.13
¿Cuál es el MCD y MCM de A y B?
MCD(A, B) = 2.3
"Se toman los factores primos comunes con los menores expo-
nentes".
MCM(A, B) = 22.33. 5.7.11.13
"Se toman todos los factores primos comunes y no comunes
tomando en cuenta que los factores primos comunes lleven los
mayores exponentes".
3. Por divisiones sucesivas (Algoritmo de EUCLIDES)
Se utiliza en forma directa para la obtención del MCD de 2
números.
NOTA: Dado: A B
r q  MCD(A, B) = MCD(B, r)
Ejm: Calcula el MCD de 408 y 180
408 180 48 36
___ 2 __ 1
48 12
2 3 1 3
408 180 48 36 12 MCD(408;180)
48 36 12 0
180 48 36 12
___ 3 __ 3
36 0

22. 22
ARITMÉTICA
SEMANA08
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
POTENCIACIÓN
Potenciación: Es una operación matemática que consiste en
multiplicar un número por sí mismo varias veces.
Ejemplo:
625= 5.5.5.5 = 54 es una potencia perfecta de grado 4.
729= 9.9.9 = 93 es una potencia perfecta de grado 3.
729= 32.32.32 = 36 es una potencia perfecta de grado 6.
En general:
n
1
n veces
n
P K.K.K...K K
k


 






Donde: K es la base
n es el exponente
P es la potencia perfecta de grado "n"
TEOREMAFUNDAMENTAL
Para que un número entero positivo sea una potencia perfecta de
grado "n", es condición necesaria y suficiente que los exponentes en
su descomposición canónica sean múltiplos de "n".
Si: α
α α 3
1 2
1 2 3
nα
nα nα
n 3
1 2
1 2 3
P=p .p .p (D.C)
P =p .p .P
 Pn es una potencia perfecta de grado n
CASOSPARTICULARES
1. Potencia perfecta de grado 2
(Cuadrado perfecto)
Ejm: 144= 24. 32 = (22.3)2 = 122
225= 32.52 = (3.5)2 = 152
En general: Si:
 
3
1 2
1 2 3
3
1 2
1 2 3
2α
2α 2α
2
α
α α
P = p .p .p (D.C)
P = p .p .p
P es un cuadrado perfecto
2. Potencia perfecta de grado 3
(cubo perfecto)
Ejm: 125 = 5.5.5 = 53
64 = 26 = (22)3 = 43
216 = 23.33 = (2.3)3 = 63
En general si:
 
3
1 2
1 2 3
3
1 2
1 2 3
3α
3α 3α
3
α
α α
3
P = p .p .p (D.C)
P = p .p .p
P = K forma general
CRITERIOSDEINCLUSIÓNYEXCLUSIÓNDE CUADRADOSY
CUBOSPERFECTOS
1. Según su última cifra
- Si un número termina en la cifra 2; 3; 7 u 8 no es un cuadra-
do perfecto, en los demás casos tiene la posibilidad de serlo.
- Un cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra.
2. Por su terminación en cifras cero
- 640000 = 64.104 = 82. 104
- 216000000 = 216 . 106 = 63 . 106
En general:
Dados los números A y B (A > B)
Cocientes q1 q2 q3 ........... qn
A B r1 r2 .......... rn– 1
Residuos r1 r2 r3 .......... 0
 MCD(A, B) = rn–1
Nota: Las divisiones se pueden hacer por defecto o por exceso.
En el ejemplo anterior
408 180 180 48
___ 2 ___ 4
48 12
2 4 4
408 180 48 12  MCD (408; 180)
48 12 0
EJERCICIOSRESUELTOS
2. El MCD de dos números es 9, cuyo producto es de tres cifras y
divisible por 5. Determina la suma de los números, si estos no
son divisibles entre sí.
a) 63
b) 45
c) 60
d) 72
e) 81
Solución:
Sean los números A y B; MCD = 12
A = 9.x ; B = 9.y
A.B = 81.x.y = mnp (múltiplo de 5)
 x = 5 ; y = 2
A = 45 ; B = 18
 A + B = 63
Rpta: a)
3. Determina la cantidad de divisores del MCM que tienen dos
números compuestos de tres cifras cada uno divisibles por 211 y
119 respectivamente, si la diferencia entre ambos números es
máxima
a) 12
b) 18
c) 20
d) 24
e) 30
Solución:
Sean los números A y B
A = 211.MCD ; B = 119.MCD
A – B = 92.MCD (máx.)
 MCD = 4
MCM = 4.211.119 =22.7.17.211
 CD(MCM) = 3.2.2.2 = 24
Rpta: d)

23. 23
ARITMÉTICA
2
cuadrado 2n ceros
perfecto
3
cubo 3n ceros
perfecto
ab z00 00 k
ab z00 00 k


 
 



 
 



3. Por su terminación en cifra 5
- 1225 = 352  12 = 3.4
- 13225=1152  132 = 11.12
En general:
abc25 =
2
n5 ; abc = n(n+1)=
....0
....2
....6





- 3375 = 153 ; 42875 = 353 ; 91125 = 453
En general:
3
ab cd5= n5  d = 2 si n : par
d = 7 si n : impar
4. Por criterios de divisibilidad
i) Divisibilidad por 4
0 0 0 0
0 0 0 0
2
0 0 0 0
3
N 4 4+1 4+2 4+3
N 4 4+1 4 4+1
N 4 4+1 4 4+3
ii) Divisibilidad por 9
RADICACIÓN
Es una operación matemática inversa a la potenciación, que consiste
en que dados dos números llamados índice y radicando se calcula un
tercer número llamado raíz, donde este último elevado al índice
reproduzca el radicando, así tenemos:
K = n
N  N = Kn
K; N y n  
 y n > 1
Donde:
N es el radicando o cantidad subradical.
n es el índice
K es la raíz enésima.
RADICACIÓN CUADRADA ENTERA
Clasificación:
a) Raíz cuadrada exacta: (R = 0)
N K
0  2
N = K
b) Raíz cuadrada inexacta (R 0)

Tipos:
1. Por defecto:
N K
Rd
2
d
N = K + Rd
0< R < 2K + 1
2. Por exceso:
N K+1
Re
2
N = (K + 1) Re

Propiedades:
1. Rd + Re = 2K + 1
2. Rmáximo = 2K
3. Rmínimo = 1
RADICACIÓN CÚBICA ENTERA
A ) Raíz cúbica exacta (R = 0)
Es exacta cuando el residuo es cero.
N K
0
3
3
N = K
B) Raíz cúbica inexacta (R  0)
1. Por defecto:
N K
Rd
3
3
N = K + Rd
0 <Rd< 3K (K + 1) + 1
2. Por exceso:
N K+1
Re
3
 3
N = (K+1) - Re
Propiedades:
1. Rd + Re = 3K (K + 1) +1
2. Rmáximo = 3K(k + 1)
3. Rmínimo = 1
Ejemplos:
1. Si
2
ab =5cd ,
Determina: máximo
(a + b + c + d) .
A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20
Solución:
2
500 ab 599
 
22,... ab 24,...
 
Si ab = 23 entonces
2
23 = 529
a + b + c + d = 16
Si ab = 24 entonces 2
24 = 576
a + b + c + d = 19
Nos piden: máx
(a + b + c + d) = 19
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Determina el menor número múltiplo de 18 y tal que al sumarle
sus 3/7 nos dé como resultado un cubo perfecto.
a) 1080
b) 960
c) 750
d) 950
e) 1050
Solución:
Sea N el menor número, tal que: N = 18n
Además:
3
3
N N k
7
  3
10N
k
7
 
Reemplazando:
3
10x18xn
k
7

2 2
3
2 3 5 n
k
7
  

2
n 2 3 5 7 1050
    
Clave: e)
2. En una raíz cuadrada inexacta, donde el residuo por exceso
excede en 105 unidades al residuo por defecto, se sabe que la
suma de la raíz y el residuo por defecto es 108. Determina la
suma de las cifras del radicando.
a) 20
b) 21
c) 8
d) 18
e) 19

24. 24
ARITMÉTICA
Solución:
Sea el número: N
Sea N el número, tal que expresado por: Por defecto:
2
d
N q r
 
Por exceso:  2
e
N q 1 r
  
Por dato:
e d
r r 105
  ... (1)
q r 108
  ... (2)
Por propiedad: d e
r r 2q 1
   ... (3)
De (1), (2) y (3): d e
q 80;r 28;r 133
  
El número buscado es: N 802 28 6428
  
20
 
cifras
SEMANA 09
NÚMEROS RACIONALES
FRACCIÓN
La división indicada de dos números enteros positivos de la forma
a
b
ó a/b, donde “a y b ”

 recibe el nombre de fracción. Además al
efectuar la división “
a
b
 número entero”; es decir:
b
a
Ejemplo: Identifica cuáles son fracciones.
  

I II IV V VIII
III VI VII IX
3 14 5 0 9 7 20 6
; ; ; ; ; ; ; ;
2 2 16 4 12 3 3 4 2
Rpta: __________________________________
I. INTERPRETACIÓNGRÁFICADEUNAFRACCIÓN(NÚMERORACIONAL
POSITIVO)
Ejemplos: En cada caso, indique la fracción que representa la
región sombreada respecto al total.
1)
5
1
5
1
5
1
b
a
2) 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3
1 1 1
7 partes
_____ = _____
II. CLASIFICACIÓNDELASFRACCIONES
 





 
Fracción propia Fracción impropia
Fracción decimal Fracción reductible
27 8 227 4 12 15 8 25 18 5 21 26 7 14
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
100 10 1000 6 20 25 6 15 12 4 8 15 3 9
27 8 227 4 12 15 8 25 18
; ; ; ; ; ; ; ;
100 10 1000 6 20 25 6 15 12



 







Fracción irreductible
Fracción ordinaria
5 21 26 7 14
; ; ; ; ;
4 8 15 3 9


a
a
" es una fracción propia, si <1 a < b"
b
b
a a
" es una fracción impropia, si >1 a > b"
b b
a
" es una fracción irreductible, si a y b son primos
b
entre sí"
Ejemplo 1:
¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada si se agrega a sus
dos términos su denominador; y de qué clase es: propia, impropia,
reductible, irreductible?
SOLUCIÓN:
  
  
  

a
Sea la fracción :
b
a b a
Del problema : 3
b b b
a 1
b 5
 Es propia e irreductible.
Ejemplo 2:
Determina la fracción propia e irreductible cuya suma de términos
sea 14, si el doble del numerador es mayor que el denominador.
Solución:
Sea la fracción :
a
b
Planteando : a +b = 14  2a > b
Resolviendo : a = 5; b = 9
III. FRACCIÓNDEFRACCIÓN
Es la fracción que se toma de otra fracción:
 
  
 
La región sombreada representa:
"Los 3/6 de la novena parte de la
unidad"
3 1
Es decir: (1)
6 9
unidad
 
 
  
 
Ejemplo 1:
¿Qué fracción representa el bloque sombreado respecto del
total, si las divisiones son simétricas?
Solución:
Dividiendo el bloque mayor en bloques pequeños del tamaño
sombreado se cuentan en total 36.
El bloque sombreado es:
1
36
Ejemplo 2:
Determina los 3/5 de los 7/4 de los 2/9 de 90.

25. 25
ARITMÉTICA
Solución:
Planteando se tiene:    
3 7 2
90 21
5 4 9
 La respuesta es 21
IV. RELACIÓN“PARTETODO”
Es una comparación de una cantidad respecto a un todo.
* En general:
Todo
Parte
Ejemplo 1:
En una reunión se encuentran 30 parejas bailando. Además 40
hombres y 10 mujeres estaban sentados.
a) ¿Qué parte de los reunidos es el número de mujeres?
f = ________ Rpta: _____
b) ¿Qué parte del número de hombres es el número de mujeres?
f = ________ Rpta: _____
c) Los reunidos, ¿qué parte son del número de hombres?
f = ________ Rpta: _____
d) ¿Qué fracción de los que no bailan son los que bailan?
f = ________ Rpta: _____
Ejemplo 2:
De un grupo de postulantes, ingresan a la universidad 3/4 de los
que no ingresan, ¿qué parte de los postulantes ingresan?.
Solución:

  
3
Ingresan = no ingresan
4
Ingresan = 3K
No ingresan= 4K
ingresan 3k 3
f =
postulantes 7k 7
A. DECIMALES EXACTOS
- Si el número tiene una cantidad limitada de cifras decimales.
0,36 ; 2 ; 375 ;
- Origen: una fracción irreductible da origen a un decimal
exacto cuando al ser descompuesto su denominador pre-
senta factores 2; factores 5 ó ambos.
- Número de cifras decimales: Está determinado por el
mayor exponente de "2" o "5" que tenga el denominador de
la fracción irreductible.

3
7 7
125 5
(3 cifras decimales)

 4
9 9
80 5 2
(4 cifras decimales)
- Conversión de decimal exacto a fracción generatriz:
para ello se escribe el número decimal, como denominador
se escribe la unidad seguida de tantas cifras ceros como
cifras decimales presenta el número.
 
36 9
0,36
100 25
  
 
 
 
5
5
5
32
17
0,32
100 25
B. DECIMALES INEXACTOS
Presentan una cantidad de cifras decimales ilimitadas.
a. Periódicos puros:
Son aquellos que presentan una cantidad o un grupo de
cifras que se repite indefinidamente llamado periodo.

0,3333... 0,3
2,246246... 2,246



- Origen: Una fracción irreductible originará un decimal pe-
riódico puro cuando al ser descompuesto el denominador
no presenta factores 2 ni 5.


10 0, 9090... 0, 90
11
38 1, 407407... 1, 407
27
 
 
- El número de cifras del periodo está dado por la cantidad de
cifras del menor número formado por cifras 9 que contenga
exactamente al denominador de la fracción generatriz.

8 0,216
37

Genera tres cifras en el período porque el 37 está contenido
en un numeral de tres cifras 9.
37
13
11
7
3
999999
271
41
3
99999
101
11
3
9999
37
3
999
11
3
99
3
9
3
2
2
3
2
2
















TABLA DE NUEVES
- Conversión de decimal inexacto periódico puro a fracción
generatriz se divide las cifras del periodo entre tantos nueves
como cifras tenga el periodo.
33
5
99
15
15
,
0 
  ( )
()
( ) 171
165
342
330
666
651
651
,
0
7
7
7



b. Periódicos mixtos:
Cuando consta de una parte entera, luego de la coma deci-
mal presenta una cifra denominada parte no periódica segui-
do aparece el periodo.
3246
,
0
32464646
,
0 
594
,
1
...
59494
,
1 
- Origen: una fracción irreductible dará origen a un decimal
inexacto periódico mixto cuando al ser descompuesto su
denominador están presentes el factor 2, factor 5 y cuando
menos un factor diferente.
1590
,
0
...
159090
,
0
11
2
7
44
7
2




12837
,
0
...
12837837
,
0
37
2
19
148
19
2




La cantidad de cifras no periódicas está dado por el mayor
exponente del factor 2 ó 5 y el número de cifras del periodo
está dado por la regla del número de cifras de los decimales
periódicos puros.
64189
,
0
37
2
95
148
95
2



- Conversión de un Decimal Inexacto Periódico Mixto a
su fracción generatriz: Se escribe todo el número de la
parte del numerador, luego se resta la parte entera y la no
periódica y como denominador tantas cifras 9 como cifras
tiene el periodo y tantos ceros a la derecha como cifras tenga
la parte no periódica.
495
1607
990
32
3246
246
,
3
24646
,
3 



   
 
 
8
8
8
8
770
3
326
326
,
0
....
32626
,
0



Clave: a)

26. 26
ARITMÉTICA
SEMANA 10
RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN
Es la comparación que existe entre dos cantidades de una magnitud,
mediante las operaciones de sustracción y división.
RAZÓNARTIMÉTICA
Ejemplo:
Dos toneles contienen 20 litros y 15 litros respectivamente, al comparar
sus volúmenes.
20 - 15 = 5
l l l
Razón Aritmética
Antecedente
Consecuente
Valor de la razón
RAZÓNGEOMÉTRICA
Ejemplo:
Se comparan dos terrenos, cuyas superficies son: 80m2 y 48m2, así
obtenemos:

3
5
m
48
m
80
2
2
Antecedente
Consecuente
Valor de la razón
Razón Geométrica
En conclusión:
Sean a y b dos cantidades:
k
b
a
d
b
-
a
Razón
Geométrica
Aritmética


a : antecedente
b : consecuente
d y k : valores de las razones
PROPORCIÓN
Es la igualdad de dos razones de una misma especie.
PROPORCIÓNARITMÉTICA
Ejemplo:
Las edades de 4 hermanos son : 24 años, 20 años, 15 años y 11 años;
podemos decir :
24 años - 15 años = 9 años
20 años - 11 años = 9 años
Se puede establecer la siguiente igualdad:
24 - 15 = 20 - 11
Medios
Extremos
A la cual se le llama proporción aritmética.
PROPORCIÓNGEOMÉTRICA
Ejemplo:
Se tiene 4 terrenos cuyas superficies son ; 2
m
9 ; 2
m
12 ; 2
m
15 y
2
m
20 al compararlos se tiene:
4
3
m
20
15m
4
3
m
12
m
9
2
2
2
2



Se puede establecer la siguiente igualdad:
20
15
12
9 
A la cual se le llama proporción geométrica
"9 es a 12, como 15 es a 20"
De donde:
(9)(20) = (12)(15)
Extremos Medios
Nota:
"Cuando los medios son diferentes, la proporción se llama dis-
creta, pero cuando los medios son iguales se llama continua"
a - b = c - d a - b = b - c
d : cuarta diferencial b : media diferencial
c : tercera diferencial
d : cuarta proporcional b : media proporcional
c : tercera proporcional
c
b
b
a
d
c
b
a


PROPIEDADES DE PROPORCIONES
Sea
a c
b d
 se cumple:
I.
c
d
c
a
b
a
,
d
d
c
b
b
a 





II.
c
d
c
a
b
a
,
d
d
c
b
b
a 





III.
d
c
d
c
b
a
b
a





SERIEDERAZONESGEOMÉTRICASEQUIVALENTES
Sean:
k
c
a
......
c
a
c
a
c
a
n
n
3
3
2
2
1
1 




De donde:
k
c
a
;
.........
;
k
c
a
;
k
c
a n
n
2
2
1
1



Se cumple las siguientes propiedades:
I. k
c
a
...
c
a
c
a
c
...
c
c
a
...
a
a
n
n
2
2
1
1
n
2
1
n
2
1 










II.
n
n
2
1
n
2
1 k
c
...
c
c
a
...
a
a







III.
m
m
n
m
2
m
1
m
n
m
2
m
1 k
c
...
c
c
a
...
a
a







Obs: Donde "n" nos indica el número de razones.
SERIEDERAZONESGEOMÉTRICASCONTINUASEQUIVALENTES
En general:
Si:
4
3
2
a ek
a b c d b ek
k
b c b e c ek
d ek
 

 
     
 



PROBLEMASDEAPLICACIÓN
1. Si :
A 8 12
; ;
B 3 C 7
 
B
además A-C = 50. Calcular."B"
a) 20 b) 24 c) 22 d) 28 e)30
Resolución:

27. 27
ARITMÉTICA
* Multiplicando miembro a miembro los dos primeros datos, así:
A 8
B 3
B 12
C 7


A = 32k
C = 7k
A B 8 12
x x
B C 3 7

A 32k
A 32
C 7 C 7k


   


* Ahora utilizando: A-C = 50, tendremos esto:
32k – 7k = 50  k = 2
 c= 7(2) = 14
Luego en :
B 12 12
B (14)
C 7 7
    24 clave b)
2. Los consecuentes de una serie de razones iguales son respecti-
vamente 2;9 y 13. si la suma de los antecedentes es 480, ¿cuál es
la suma de los dos primeros antecedentes?
a) 260 b) 255 c) 220 d) 268 e) 270
Resolución:
· Sea la serie de razones iguales :
a b c
k
2 9 13
   donde k es
la constante de la proporcionalidad.
· Como el dato del problema es la suma de los antecedentes, es
decir.
a + b + c = 480, aplicando la propiedad:
a b c 480
k k
2 9 13 24
 
  
 
; de donde k=20
· La serie de razones iguales es :
a b c
20
2 9 13
   ; en donde:
a
20
2
 , entonces a = 40;
también :
b
20
9
 entonces: b = 180
· La suma de los antecedentes es :
· a + b = 40 + 180 = 220
3. La media diferencial de una proporción es 24. Determina la
razón de la proporción, si el primer extremo es el doble del
segundo.
a) 6 b) 15 c) 12 d) 8 e) 7
Resolución:
* Sea la proporción aritmética : a – 24 = 24- b
* Se cumple que: a + b =48..................(I)
* Además del otro dato se tiene que: a = 2b
* Que al reemplazar en (I), resulta:
2b + b = 48  b = 16  a = 32
* Luego la razón la razón aritmética, será: 32–24=8
clave d)
SEMANA 11
PROMEDIOS Y MEZCLAS
PROMEDIOS
El promedio es la cantidad representativa de otras varias cantidades.
El promedio es mayor que la mayor cantidad y menor que la mayor
cantidad.
Dados los números:
   
 
1 2 3
1
.......
promedio
n
n
a a a a
a a
PROMEDIOS IMPORTANTES
1. PROMEDIO ARITMÉTICO (PA.):
Es el cociente de la suma de las cantidades entre el número
de cantidades.
Suma de cantidades
. .
Numero de cantidades
P A 
Sean las cantidades: 1 2 3
, ,......., n
a a a a

1 2 3 .......
. .
Para n 2
n
a a a a
P A
n
   


Ejemplo:
Las notas de una asignatura de un estudiante son: 13,10,15,14,13.
Determina su promedio:
13 10 15 14 13 65
. .
5 5
P A
   
   
1.1 PROMEDIO PONDERADO
Si 1 2 3
, ,......., n
n n n n
 representa el número de elemen-
tos de n grupos y 1 2 3
, , ,..... n
P P P P el promedio aritmético de
dichos grupos, el promedio ponderado será:
Ejemplo:
El salario promedio de 20 trabajadores es de S/.50, el salario
de 30 trabajadores es de S/.40. ¿Cuál sera el salario prome-
dio de los 50 trabajadores?
Solución:
Grupo 1: Grupo 2:
1
1
20
0
n
P

 
1
1
30
0
n
P

 
     
1 1 2 2
1 2
20 50 30 40 2200
44
50 50
S/.44
n P n P
P
n n
P
P




  

El promedio ponderado de los 50 trabajadores es de S/.44.00.
Es incorrecto utilizar:
1 2 50 40
45
2 2
P P
P
 
  
2. PROMEDIO GEOMÉTRICO (PG.)
Es la raiz n-esima del producto de las n cantidades.
Sean las cantidades:
1 2 3
, ,......., n
a a a a

El promedio geométrico es:
1 2 3
. . Producto de cantidades
. . . . . ....... .
Para n 2
n
n
n
P G
P G a a a a



Ejemplo:
Determina el promedio geométrico de 1; 2; 4.
3 3
. . 1.2.4 8 2
P G   
3. PROMEDIO ARMÓNICO (PH.)
Es el cociente del número de cantidades entre la suma de las
inversas.

28. 28
ARITMÉTICA
1 2 3
Número de cantidades
. .
Suma de las inversas
. .
1 1 1 1
...


   
n
P H
n
P H
a a a a
Ejemplo:
Determina el promedio armónico de:3; 5; 10 y 15.
1 1 2 2 3 3
1 2 3
...
Promedio ponderado
...
n n
n
n P n P n P n P
n n n n
   

   
1 2 3 4
4
. .
1 1 1 1
4
. .
1 1 1 1
3 5 10 15
4 120 40
. .
21 21 7
30
P H
a a a a
P H
P H

  

  
  
PROPIEDADES:
1. Para cantidades diferentes:
PH PG PA
 
2. Para dos datos a y b se cumple:
2
PA . PH a.b
PG
 
   
2 2 2
4
a b PA PG
  
3. Si todos los datos son iguales se cumple que:
PH PG PA k
  
REGLA DE MEZCLA
Es un procediiento aritmético que nos permitirá resolver problemasreferentes
a la combinacion de dos o más cantidades de una misma especie.
1er caso:
Si se conoce las cantidades y los precios unitarios de las sustancias que
conforman la mezcla, determina el precio promedio o el precio de costo.
1 2 3 n
1 2 3 n
1 1 2 2 3 3 n n
1 2 3 n
Sean :
c ,c ,c ,...,c las cantidades
P ,P ,P ,...,P los precios
c P c P c P ... c P
Pm
c c c ... c
   

   
2do caso:
Cálculo de las cantidades de las sustancias que conforman la
mezcla,conociendo los precios unitarios y el precio promedio.
Regla del aspa:
Permite calcular la proporcion en que se encuentra las sustancias que
conforman la mezcla para ello se considera el precio medio y los
precios unitarios.
Ejemplo:
Se mezcla dos tipos de leche de precios S/.10 y S/.15 el litro, resultando un
precio promedio de S/.12 el litro. Determina la proporción de la mezcla.
Leche de 1er tipo 10 3=3k
Leche de 2do tipo 15 2=2k
12
1
2
3
2
L
L

Mezclas alcoholicas:
Una mezcla alcohólica, resulta de combinar cantidades convenientes
de alcohol puro y agua destilada.
Grado alcohólico:
Es el cociente del volumen de acohol puro y el volumen total de la mezcla.
Volumen de alcohol puro
Grado alcohólico= 100
Volumen total de la mezcla
alcohol puro ´
agua 0 ´ 0%

 
 
o
Ejemplo:
Determina la cantidad de litros de agua pura que se debe añadir a 10
litros de alcohol de 40° para que la nueva mezcla sea de 20°.
    



 

=litros de agua
10 40 0
20
10
200 20 400
10
o o
x
x
x
x
x
EJERCICIO RESUELTO
1. El promedio aritmético de las longitudes de 5 cintas métricas
graduadas en centímetros es 76 cm; si ninguna tiene más de 85
cm, ¿cuál es la mínima longitud que puede tener una de ellas?
a) 26 cm b) 30 cm c) 40 cm d) 20 cm e) 45 cm
Solución:
Como se quiere que una de ellas tenga una mínima longitud (x),
entonces las demás deben tener una longitud máxima, es decir, 85 cm.
85 85 85 85 x
76
5
   

La mínima longitud es: x = 40 cm
Clave: c)
2. De un recipiente lleno de alcohol se extrae la cuarta parte y se
reemplaza con agua, luego se extrae la quinta parte y se reem-
plaza con agua. ¿Cuántos litros de alcohol de 95° se deben
agregar a 20 L de esta última mezcla para obtener alcohol de
90°?
a) 130 L b) 80 L c) 100 L d) 120 L e) 150 L
Solución:
Queda de alcohol en el primer recipiente:
 
4 3 3
alcohol *100 60
5 4 5
 
  
 
 
x 30
20 5
 
x 120l
 
Clave: d)
3. Un joyero tiene un lingote de oro de ley 0,900 que pesa 1500 g.
¿Qué cantidad de oro puro (en g) tendrá que añadir al lingote
para elevar su ley a 0,925?
a) 500 g b) 400 g c) 600 g d) 300 g e) 450 g
Solución:
Aleación es una mezcla de metales a altas temperaturas donde se
encuentran en estado líquido.

29. 29
ARITMÉTICA
Como
ganancia aparente pérdida aparente
0,925 0900 1500 1 0,925 W
   
   
  
   
   
   
 
W 500g
 
Clave: a)
SEMANA 12
PROPORCIONALIDAD
MAGNITUDES PROPORCIONALES: se entiende por "magnitud" a
todo aquello susceptible a medida y/o comparación; las cuales se
encuentran relacionadas entre sí directa o inversamente proporcional.
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES. (D.P.) dos
magnitudes son D.P. si al aumentar o disminuir los valores de una de
ellas el valor de la otra aumenta o disminuye en la misma proporción
respectivamente.
Notación:

A
K
B
Si AD.P
. B
:
2 4 6 8
= K
B
A
40
30
20
10
B
A
   
f( x)
f (x) y mx m
x
Gráfica:
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES. (I.P.)
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si el aumentar los
valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra,
disminuye en la misma proporción o viceversa.
Notación:

A.B K
Si A .P
. B
: I
2 4 8 16
8
4
2
B
A
1
A x B = K
Hipérbola
equilátera
Gráfica:
REPARTOPROPORCIONAL
Estudia la forma de repartir una cantidad en forma directamente o
inversamente proporcional a ciertos valores denominados índices de
proporcionalidad.
Se tiene:
A.Reparto simple
B.Reparto compuesto
C.Regla de compañía
A. REPARTO SIMPLE
En este caso el reparto puede ser directo o inverso.
a) Reparto simple directo
Consiste en repartir una cantidad en forma proporcional a
un grupo de índices de proporcionalidad.
Ejemplo: Repartir S/. 750 en forma proporcional a 6; 7 y 12
Solución: Partes D.P.
A = 6 K
750 B = 7 K
C = 12 K
25 K = 750
K = 30
A = 180
B = 210
C = 360
PROPIEDAD: si a todos los índices de proporcionalidad se
les multiplica o divide por un mismo número entonces el
reparto no se altera.
b) Reparto simple inverso.- Para repartir una cantidad en
forma inversa, suficiente repartir D.P. a la inversa de un
grupo de índices de proporcionalidad.
Si: A I.P. B Entonces A D.P. 1/B
Ejemplo: Repartir S/. 594 es forma I.P. a 2, 3, 6 y 10
Solución:
Part. I.P. D.P.
MCM(2,3,6,10)=30
M 2 1/2 . 30 = 15 K
N 3 1/3 . 30 = 10 K
P 6 1/6 . 30 = 5 K
Q 10 1/10 . 30 = 3 K
33 K= 594 ; K = 18
M = 15 . 18 = 270 ; N = 10 . 18 = 180
P = 5 . 18 = 90 ; Q = 3 . 18 = 54
B. REPARTO COMPUESTO.-En este caso se trata de repartir una
cantidad en forma D.P. a ciertos números y a la vez en forma I.P.
a otros. Generalmente se procede de la siguiente manera:
- Se convierte la relación I.P. a D.P. (invirtiendo los índices)
- Se multiplican los índices de las dos relaciones D.P.
- Se efectúa un reparto simple directo con los nuevos índices.
Ejemplo:
Repartir S/ 648 en forma D.P. a 4 y 6 e I.P. a 3 y 9.
Part. D.P. I.P. D.P.
A 4 3 1/3 . 9 = 4 x 3 = 12 K
B 6 9 1/9 . 9 = 6 x 1 = 6 K
18K= 648 K = 36
A = 12 x 36 = 432 B = 6 x 36 = 216
C. REGLA DE COMPAÑÍA.
Consiste en repartir entre varios socios las ganancias o pérdidas
obtenidas en sus negocios, después de un tiempo determinado.
GANANCIA K
CAPITAL x TIEMPO

PERDIDAS K
CAPITAL x TIEMPO

GANANCIA
PÉRDIDAS
EJERCICIOSRESUELTOS
1. Determina "a + b + c", si:
a) 28 b) 32 c) 57 d) 36 e) 48

30. 30
ARITMÉTICA
Solución:
4 a
a 12
2 6
a 6 4 b b 18
4 6
c 27
b c
a b c 57
  
    
  
   
Clave c
2. Se sabe que "A" es D.P. a B e I.P. a 3
C . Además, cuando "A"
es 16 entonces: B = 64 y C = B. Determina el valor de "A",
cuando "B" sea 4 y "C" sea el doble de "B".
a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16
Solución:
3 3 3
A. C 16. 64 A. 8
B 64 4
A 8
 
 
Clave c
3. El precio de una casa es directamente proporcional al área e
inversamente proporcional a la distancia que lo separa de Lima.
Si una casa ubicada a 50 km cuesta S/.60 000, determina cuánto
costará una casa del mismo material, si su área es el doble y se
encuentra a 100 km de distancia.
a) 20 000 b) 40 000 c) 60 000 d) 80 000 e) 90 000
Solución:
P.d 60000.50 P.100
A A 2A
P 60000
 
 
Clave c
SEMANA 13
REGLA DE INTERÉS
I. INTERÉSORENTA
Es la ganancia que produce un capital al ser prestado durante un
cierto tiempo y bajo un porcentaje previamente acordado (tasa)
Elementos de la regla de interes:
años meses días
C.r.t
C.r.t C.r.t
I ; I ; I
100 1200 36000
  
Tasas equivalentes:
10%mensual 120% anual
Usualmente
4%mensual 48% anual
se trabaja con tasas
8%mensual 96% anual
siempre anuales
13%mensual 156% anual
  

  

  

  
Monto  M=r+I
II. INTERÉSCOMPUESTO
Sea C = 10 000 r = 20% anual.
a) Capitalización anual:
C=S/.10 000 C = S/. 12000 C = S/. 14400 C = S/. 17280
S/. 2000 S/. 2400 S/. 2880
b) Capitalización semestral:
Si la tasa es 20% anual < > 10% semestral.
FÓRMULA PARA INTERÉS CAPITALIZABLE (Interés compuesto)
n
M C(1 i)
 
Donde: M  Monto
C  Capital inicial
n  # de periodos
i  Tanto por 1 en el periodo del capital
Ejemplo:
Sea C = 10 000 ; tasa = 20% anual; t = 3 años
a) Capitalización Anual: (n = 3)
20% anual < > 0,20 (tanto por 1)
M = 10 000 (1 + 0,20)3 = 17280
b) Capitalización Semestral. (n = 6)
20% anual < > 10% semestral
4 = 10 000 (1 + 0,10)6 = 17715
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Al dividir un capital en tres partes, se impone la primera al 3%
bimestral, la segunda al 15% semestral y la tercera al 1% men-
sual. Se sabe que las tres producen rentas anuales iguales y el
capital total es S/. 26 000. Determina la menor diferencia de las
partes.
a) S/ 2000 b) S/ 4000 c) S/ 6000 d) S/ 8000 e) S/ 9000
Solución:
Por condición del problema:
A×3%×6 = B×15%×2 = C×1%×12
18%A = 30%B = 12%C
3A = 5B = 2C
Al dividir entre 30:
A B C 62000
2000
10 6 15 31
   
La menor diferencia es 4×2000 = 8 000 soles.
Clave a
2. Determina el interés procedente de imponer S/. 8000 al 40%,
capitalizable semestralmente durante 18 meses.
a) S/ 2548 b) S/ 5824 c) S/ 4824 d) S/ 13824 e) S/ 5400
Solución:
El problema menciona «capitalizable semestralmente»; por lo
cual, identificamos que es una pregunta de interés compuesto;
para ello, expresaremos la tasa y tiempo en las unidades de la
capitalización semestral.
t
3
C S / .8000
r% 40% anual 20% semestral
t 18 meses 3 semestres
M C (1 r%)
M 8000(1 20%) 13824
I M C
I 5824

 
 
  
  
 
 
Clave b
3. Al depositar un capital, se cuadruplica luego de 80 meses. Deter-
mina la tasa de interés bimestral.
a) 25% b) 30% c) 40% d) 45% e) 50%
Solución:
M = C + I
4C = C + I
I = 3C
C r 80
3C
100 12
r 45%
 


 
Clave d

31. 31
Á L G E B R A
SEMANA 01
TEORÍA DE EXPONENTES Y LOGARITMOS EN 
En este capítulo, trataremos dos operaciones:
 
n n
POTENCIACIÓN RADICACIÓN
n 1
x p x p ; donde : x p 0
 
    


 


I. POTENCIACIÓN
Es una operación matemática, que consiste en hallar un tercer
elemento a partir de otros dos llamados base y exponente.
n
potencia: p ; p
x p base: b ; x
exponente: n ; n



 



 


 


A. DEFINICIONES
1. EXPONENTE NATURAL
n
n veces
x x x x x ; n ; x
 




       
Ten presente:
5/4
25/4 veces
2 2 2 ... 2 2
    



2. EXPONENTE CERO

0
x 1 ; x 0 ; x
  
Ten presente:
La base x debe ser un número real distinto de cero.
0
0 No está definido

3. EXPONENTE NEGATIVO
n
n
1
x ; x 0 ; x ; n 0
x

   

Corolario:
n n n
n
x y y
; donde : xy 0
y x x

   
  
   
 
 
B. TEOREMAS
1. MULTIPLICACIÓN DE BASES IGUALES
m n m n
x x x ; x ; x 0


   
Ejemplo:
5 1 x x 4 5 1 x x 4 2
7 7 7 7 7 49
     
    
2. DIVISIÓN DE BASES IGUALES
m m n
n
x x ; x 0 ; x
x


  
Ejemplo:
x 4
x 4 (x 9) 5
x 9
2
2 2 32
2

  

  
3. POTENCIA DE POTENCIA
 
p
n
m m n p
x x ; x 
 
 

 
  

 


 
Ten presente:
 
p
p n
n
m m
Exponente de exponente
Potencia de potencia
x x
 
  
 






Ejemplo:
3
2
4 28 4 ( 2) 3 28 24 28 4
(3 ) 3 3 3 3 3 81
     
 
     
 
 
CADENA DE EXPONENTES
   
d
c m
b b n
a a a p
x x x x y
=m =n =p
4. POTENCIA DE UNA MULTIPLICACIÓN
 n n n
x y x y x; y ; n
    
 
Ejemplo:  
4 4 4 2
3 2 3 2 3 16 144
     
5. POTENCIA DE UNA DIVISIÓN
 
n n
n
x x ; x ; y 0 ; n
y y
  
 

     

 

 
Ejemplo:  
7
7
7
7
8 8 2 128
4
4
  
II. RADICACIÓN
Es una operación matemática, que consiste en hallar un tercer
elemento a partir de otros dos llamados radicando e índice.
 
n
n : Índice n 1
x b x : radicando
b : es la raíz enésima de x


  



 





A. DEFINICIÓN
1. EXPONENTE FRACCIONARIO
 
m
n m
n
x x ; n 1
   

B. TEOREMAS
1. RAÍZ DE UNA MULTIPLICACIÓN
n
n n
x y x y n ; n 2
    

Si: n es par x 0 ; y 0
  
Ejemplo:
3
3 3 3
3 3 3
40 2 5 2 5 2 5
    
2. RAÍZ DE UNA DIVISIÓN
n
n
n
x x
y y
 ;
y 0
Si: n es par x 0 ; y 0

  
Ejemplo:
3
3
3
27 27 3
64 4
64
 
3. RAÍZ DE RAÍZ
n m p
p
n m x x
 
 ;
m, n, p ; x
Si: mnp es par x 0
 
 
 
Ejemplo:
200 200 200
4 2 5 5
4 5 40
2 2 2 2 32
 
   

32. 32
Á L G E B R A
III. RADICALESCONBASESIGUALES
1.
 
     

p m n p
m n ( n )p
x x x x
   
2.
 
     
  
p m n p
m n ( n )p
x x x x
   
IV. CASOS ESPECIALES
1. n 1
n n n
a a a ... a ; n 2 ; n

    
2. m 1
m m m
b b b ... b ; m 2 ; m

       
3. x x x ... p 1
     
p(p+1) p(p+1) p(p+1)
; p 
 
4. y y y ... q 1
     
(q-1)q (q-1)q (q-1)q
 
; q 1

 

5. Si tenemos:
6. Si tenemos:

    



x
x n
x n x n ; 0 x e
7. Si tenemos:

  



n n
n n
n
n E E n
8. Si tenemos:

  



ab
b a
a b
b
a x x a
V. ECUACIONESEXPONENCIALES
1er CASO: BASES IGUALES
x y
a a x y ; a 0 ; a 1
    
Ejemplo:
2x 7 2x 7 3
4 64 4 4 2x 7 3 x 5
 
       
2do CASO: EXPONENTES IGUALES
 
x x
Si: a b ; x 0 ; a ;b 1
a b

   
 

 
x x
Si: a b ; a b; a ; b 1
x 0

   
 

Ejemplo: 5 5
(4x 6) x 4x 6 x x 2
      
3er CASO: BASES Y EXPONENTES IGUALES
x y x 0 ; 1/2 ; 1/4
x y x y
y 0 ; 1/2 ; 1/4


   


Ejemplo:
x 5 x 2 5 x 10
x 100 x (10 ) x 10 x 10
      
4to CASO: ANALOGÍAS DE TÉRMINOS
y x
a x y a x y
   
Ejemplo:

      
 
3
3 8 (x 1) 3
(x 1) x 8 x (x 1) 8
x 3
LOGARITMOS EN 
1. DEFINICIÓNDELOGARITMO
Sean los números reales "a" y "b", si   
a 0, a 1 y b 0 , el núme-
ro real "x" se denomina logaritmo del número "b" en base "a" y se
denota por logab si y solo si 
x
a b . De la definición se tiene:
x
a
log b x a b
  
Donde: a: base del logaritmo
b: número del logaritmo
x: logaritmo de b en la base a
Ejemplo:
x x 7
2
log 128 x 2 128 2 2 x 7
      
Luego:
2
log 128 7

2. COLOGARITMO
Sea un número "b" real positivo, en cualquier base "a" real
positiva diferente de 1, tenemos:
 
 
 
 
a a a
1
colog b = log log b
b
Ejemplo:
2
2
1
colog log 32 5
32
 
3. ANTILOGARITMO
Siendo a un número real y positivo, donde a  1,se define el
antilogaritmo de la siguiente manera:
x
a
antilog x a

Ejemplo:
( 1)
1/5
1
antilog ( 1) 5
5

 
  
 
 
4. IDENTIDADFUNDAMENTALDELLOGARITMO
Si: b 0, b 1 a 0
    se cumple:
  
x
b b b
log b 1 log 1 0 log b x 
log a
b
b a
Ejemplo:
log 2023
4
4 2023

5. TEOREMASSOBRELOGARITMOS
Sea la base real a, tal que: a 0 a 1
   .
1. Sea M y N reales, tal que: MN > 0
 
a a a
log MN log M log N

33. 33
Á L G E B R A
2. Sea M y N reales, tal que: 
M
0
N
 
 
 
 
a a a
M
log log M log N
N
3. Sea M real, tal que:
n
n M 0
  


n
a a
log M nlog M
4. Sea M real, tal que:    
 
M 0, p q
 
p
q a
a
p
log M log M ; q 0
q
Corolario:
Si se eleva a un exponente "n" (o si se extrae raíz enésima) a la
base y al número del logaritmo, el valor del logaritmo no se
altera.
  
n
a n n
a a
n
log M log M log M ; M 0
5. Cambio de base: (De base "a" a base "c")
Sea la base "c" donde   
c 0 c 1
 c
a
c
log b
log b
log a
Corolario:
b
a
1
log a
log b

6. Regla de la cadena:
Si:        
a 0, a 1, b 0, b 1, c 0, c 1 d 0 se cumple:
  
a b c a
log b log c log d log d ; 
b a
log a .log b 1
6. SISTEMASDELOGARITMOS
Cada base de logaritmos determina un sistema de logaritmos, en
consecuencia existen infinitos sistemas de logaritmos para una
base positiva y diferentes de 1; los sistemas más importantes son:
1. Sistema decimal o de Briggs
Es aquel sistema de logaritmos en la cual la base es 10.
Notación:
10
log N log N
 Se lee: Logaritmo de "N"
En general:
característica : c (parte entera)
log N c ,h ; donde :
mantisa : h (parte decimal

 

2. Sistema hiperbólico o neperiano
Es aquel sistema cuya base es el número trascendental "e":
1 1 1 1
e e 2,7182...
0! 1! 2! 3!
      

Notación: e
log N Ln N

Teorema
Para todo N > 1, el número de cifras de N, es igual a la
característica más uno.
Es decir:  
# de cifras N característica 1
 
7. ECUACIÓNEXPONENCIAL
Sea: a = b x = log b
x
a

Ejemplo:
Calcula el valor de "x" en: 3 = 2
x
3
x
3 3 3
Tomando log , a ambos miembros
Se tiene: log 3 log 2 x log 2
  
8. ECUACIÓNLOGARÍTMICA
Sea: f(x) > 0  g(x) > 0, además: a 0 a 1
   .
Entonces:
(x) (x) (x) (x)
a a
log f log g f g
  
Ejemplo:
Calcula el valor de "x" en:
7 7
log (2x 6) log 2
 
Resolución:
I. Restricción: 2x 6 0 x 3
   
II.
7 7
log (2x 6) log 2 2x 6 2 donde : x 4
     
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Determina el valor de E:
 
 
 
0
7
4
4
2 3
0
3 3 4
E 5 5 5

   
    
 
Resolución:
 
 
   
 
  
  
  
     
1
4
2
3 1 4 3 4
4
2
3 1 48
48 1 48 1
E 5 5 5
E 5 5 5
1
E 5 5 5 5
5
2. Efectúa:
x 2 x 1
x 2 x 1
5 5
E
5 5
 
 



Resolución:
 
 
x 1 x 1
x 1 (x 2)
x 2 x 2
3
5 5 1 5
E 5
5 1 5 5
E 5 125
 
  
 

  

  
3. Si:  
log 2 a ; log 3 b , determina 6
log 5 en términos de a y b.
Resolución:
6
10
log
log 5 log 10 log 2
2
log 5
log 6 log (2 3) log 2 log 3
 
  
 
  
 
6
1 a
log 5
a b

 


34. 34
Á L G E B R A
SEMANA 02
EXPRESIONES ALGEBRAICAS - POLINOMIOS
EXPRESIÓNMATEMÁTICA
Es un conjunto formado por números y/o letras enlazados por
diferentes operadores matemáticos.
1. NOTACIÓNMATEMÁTICA
Es la representación simbólica de una expresión matemática
que nos permite identificar a las constantes y a las variables.
Variables: son aquellas expresiones que para cada problema
cambian de valor. Generalmente se les representa mediante las
últimas letras del alfabeto (x; y; z).
Constantes: son aquellas expresiones que tienen un valor per-
manente (valor fijo).
Coeficientes: son aquellas expresiones que acompañan a la
parte literal.
Ejemplo: Sea la siguiente expresión:
3 6 4
(x;y)
P 9mx 7nx y 3
  
Notamos que:
Variables: x; y
Constantes: 9; m; 3; – 7; n; 6; 4; 3
Coeficientes: 9m; – 7n; 3
2. EXPRESIÓNALGEBRAICA
Es una expresión matemática en la cual con las constantes y
variables se realizan operaciones de adición, sustracción, multi-
plicación, división, elevación a exponente natural y extracción
de una raíz aritmética, en un número limitado de veces.
Ejemplos:
5
(x;y) (x;y)
x
P 7x 2y x y Q 3(x xy z)
x z
         

3. TÉRMINOALGEBRAICO
Es aquella expresión algebraica que sólo contiene productos y
cocientes de constantes y variables.
Ejemplos:
1
3
6 2 5
(x;y) (x;z)
A 2023x y B 6x z
   
4. CLASIFICACIÓNDELASEXPRESIONESALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas se pueden clasificar tomando en
cuenta la forma o naturaleza de sus exponentes y por su exten-
sión o número de términos.
I. Expresión Algebraica Racional (EAR.)
Una expresión algebraica se llama racional, si los exponentes
de las variables son números enteros.
I.1. Expresión algebraica racional entera (EARE.)
Una expresión racional se llama entera respecto de
las variables dadas, cuando los exponentes de estas
son enteros positivos.
Ejemplo:
32 6
(x)
P 7x 2022x 2023
   
I.2. Expresión algebraica racional fraccionaria
(EARF.)
Una expresión racional se denomina fraccionaria con
respecto de las variables dadas, si por lo menos una de
estas tienen exponentes enteros negativos o tener
la variable en el denominador.
Ejemplos:
9 5
(x;y) (x;y;z)
9x y x 3y
P +5x Q 4z x
x 2y 5z
 
 
     

II. Expresión algebraica irracional (EAI.)
Una expresión algebraica se denomina irracional, si en ella se
presenta la operación de una raíz aritmética respecto de una
de las variables que la integran o el exponente de las varia-
bles son números fraccionarios.
Ejemplos:
2
7
3
(x) (y;z)
R 9 x 2 3 T 3y 2z
       
5. EXPRESIONESNOALGEBRAICASOTRASCENDENTES
(x es variable)
1. Expresión exponencial: 8 x; 5x; mx; (x + y)x
2. Expresión logarítmica: log x ; ln x.
3. Expresión trigonométrica: sen x; cos x; tan x; arcsen x.
4. Expresión de infinitos términos : 1 + x + x2 + x3 + x4 +...
5. Expresión con valor absoluto: 2
4x 2 x 7
 
POLINOMIOS
Definición: se denomina polinomio a toda expresión algebraica
racional entera respecto de toda variable que figura en dicha
expresión. Los polinomios pueden clasificarse como:
Monomio: polinomio de un término.
Binomio: polinomio de dos términos.
Trinomio: polinomio de tres términos.
Para ‘‘n’’ términos, se denomina polinomio de ‘‘n’’ términos.
Ejemplos:
Son monomios: P(x;y) = 6x5y ; R(x;y;z) = 2020x7yz4
Son binomios: P(x;y)  36x + y ; R(x;y;z)  15x7 – 17xyz4
Son trinomios: P(x)  1 + 9x – 9x2 ; R(x;y;z)  4x3 – 6y + 7z
Polinomio de una variable
P(x)  a0 xn + a1 xn–1 + a2 xn–2 + ... + an–1 x + an
0 1 2 3 n
Coeficientes : a , a , a , a , ... ,a
Variable : x
0
Coeficiente principal : a 0

n
Término independiente : a
Grado : n 
 
Ejemplo:
Polinomio mónico o normalizado (unitario)
El polinomio mónico, es un polinomio de coeficientes enteros y
de una sola variable, cuyo coeficiente principal es 1.
Ejemplos:
3 14 10
(x)
P =5x x 7x 2023
   ; es mónico
5 4 2
(x;y)
Q =x x y 9
  ; no es mónico
5 3
(x)
1
R =x x 6x 4
2
   ; no es mónico

35. 35
Á L G E B R A
6. VALORNUMÉRICODEUNAEXPRESIÓNMATEMÁTICA
Consiste en sustituir las variables por números o constantes,
luego se efectúan las operaciones indicadas, el valor resultante
recibe el nombre de valor numérico de la expresión matemática.
Ejemplo:
Sea: P(x)  5x – 2 Para:
(3)
x 3
P 5(3) 2 13

  
Ejemplo: sea el siguiente polinomio:
P(x) = x2 – 10x + 4
Entonces:
Si: x = 0 , se tiene: P(0) = (0)2 – 10(0) + 4
P(0) = 4  Término independiente
Si: x = 1 , se tiene: P(1) = (1)2 – 10(1) + 4
P(1) = – 5  Suma de coeficientes
Ejemplo: sea el siguiente polinomio:
2
(x-4)
P x x 3
  
Entonces:
x = 4  P(0) = (4)2 – (4) + 3
P(0) = 15  Término independiente
x = 5  P(1) = (5)2 – (5) + 3
P(1) = 23  Suma de coeficientes
7. CAMBIO DE VARIABLE
Consiste en reemplazar una o más variables de la expresión
matemática por una nueva variable.
Ejemplo: sea la expresión  
(x)
P x 7 , entonces:
- Si cambiamos x por (w + 4) :
Se tiene:     
(w+4)
P (w 4) 7 w 11
- Si cambiamos x por (x – 7) :
Se tiene:     
(x 7)
P (x 7) 7 x
- Si cambiamos x por P(x) :
Se tiene:     
 
(P ) (x)
(x)
(P )
(x)
P P 7 x 7 7
P x 14
Ejemplo: sea la expresión 2
(x-1)
P =x x
 , entonces:
Transformando, 

   
    
2
(x 1)
(x 1)
P x x x(x 1)
P (x 1 1)(x 1 2)
Cambiamos (x–1) por x:   
  
(x)
2
(x)
P (x 1)(x 2)
P x 3x 2
8. GRADO DE UN POLINOMIO
Es una característica de todo polinomio.
A) Grado relativo (GR.)
Es con respecto a cada variable.
B) Grado absoluto (GA.)
También llamado "GRADO"; con respecto al polinomio.
* En un polinomio de una sola variable el grado absoluto y
grado relativo son iguales.
GRADOS DE UN MONOMIO
* Sea:
2 9 4 6
(x;y)
P =7a b x y
Grado Relativo a "x" G.R.(x) 4
Grado Relativo a "y" G.R.(y) 6
Grado Absoluto de "P" G.A.(P) 4 6 = 10
 
 
  
GRADOS DE UN POLINOMIO
* 4 6 8 7
(x;y)
P 7x y 15xy 12xy
  
G.R.(x) 4
G.R.(y) 8
G.A.(P) 10



OPERACIONES CON GRADOS
Dados los polinomios P(x) de grado ‘‘m’’ y Q(x) de grado ‘‘n’’,
siendo m > n.
Operación Procedimiento Grado
Resultante
Adición:
(x)
Q
(x)
P  m
Sustracción:
m
Multiplicación:
m + n
División:
(x)
Q
(x)
P  m  n
Potenciación:
 k
(x)
P
mk
Radicación:
k
(x)
P k
m

(x)
P (x)
Q
(x)
Q
(x)
P .
En la división de polinomios, se
restan los grados; el grado del
polinomio numerador menos el
grado del polinomio denominador.
En la adición o sustracción de
polinomios se conserva el grado
del polinomio de mayor grado.
En la multiplicación de polinomios
se suman los grados de los
factores.
Multiplicamos el grado del
polinomio base por el exponente.
Dividimos el grado del polinomio
radicando entre el índice del
radical.
9. POLINOMIOS ESPECIALES O IMPORTANTES
9.1 Polinomio homogéneo
Es el polinomio, donde todos sus términos son de igual
grado; mínimo debe tener dos variables.
Ejemplo:     
4 2 5 5 6
x;y
6
6 6
6
P 2023x y 7x y 4x y x

 

   



 Grado de homogeneidad es 6.
Teorema:
(x;y)
n
(k x; k y) (x;y)
Si P es un polinomio homogéneo de grado n 1
se cumple : P k P ; k

   
9.2 Polinomio ordenado
Es aquel polinomio donde los exponentes de la variable en
referencia van aumentando o disminuyendo.
Ejemplos:
1. F(x) = 16x15 – 5x9 + 12x + 3
"Ordenado descendentemente"
2. M(x; y) = 7y8+15xy5 + 21x15y13+ 37x21y2
Con respecto a "x": ordenado ascendentemente
Con respecto a "y": desordenado
9.3 Polinomio completo
Es aquel que presenta TODOS los exponentes de la
variable, desde el cero hasta el valor máximo.
Ejemplos:
1. P(x) = 9x2 + 2x4 – 5x3 + x – 2023
2. M(x; y) = x2y + 7y3 + y2x + x
Completo con respecto a "y"
NOTA: N términos G.A. 1
  

36. 36
Á L G E B R A
9.4 Polinomios idénticos
Dos polinomios P(x) y Q(x) son idénticos cuando tienen los
mismos valores numéricos para cualquier valor que se
asigne a sus variables.
Es decir: (x) (x)
V.N. P V.N. Q
   

   
Notación: (x) (x)
P Q

Teorema:
Dos o más polinomios del mismo grado son idénticos, si y
solo si sus términos semejantes poseen los mismos
coeficientes.
Ejemplo:
(x) (x)
3 2
(x)
3 2
(x)
Si: P Q entonces:
P = ax + bx + cx + d
a = m ; b = n
Q = mx + nx + px + q c = p ; d = q








9.5 Polinomio idénticamente nulo
Un polinomio es identicamente nulo si sus valores
numéricos para cualquier valor o valores asignados a las
variables, siempre resultan cero.
Notación: (x;y)
P 0

Teorema:
Un polinomio de la forma:
n n 1 n 2
(x) 0 1 2 n
P a x a x a x ... a
 
   
es identicamente nulo si todos sus coeficientes son ceros,
es decir: 0 1 2 n
a a a ... a 0
    
Ejemplo:
Si: M(x) = ax3 + bx2 + cx + d; es idénticamente nulo.
Entonces: a = 0 ; b = 0 ; c = 0 ; d = 0.
9.6 Polinomio constante
Es el polinomio de una o más variables, que tiene la
siguiente forma: (x)
P k ; k {0}
  
 .
Definición: El grado de un polinomio constante es cero.
Ejemplo:
Dado el polinomio constante: P(x)= 2023  
G.A.(P) 0 .
Teorema: Dado el polinomio constante (x)
P k
 , el valor
numérico de P para cualquier valor de "x", siempre es k.
Ejemplo:
Si: (x)
P 7
 . Determina el valor de: (3) ( 3)
E P P 
 
El polinomio P es constante
(3) ( 3)
P 7 y P 7

  
Por lo tanto se tiene:
E = 7 + 7 = 14.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Determine el grado del polinomio:
18
n 2 4 n
9 n
(x;y)
P 5x x y y
 

  
Resolución:
Es importante recordar que en un polinomio los exponentes de
la variable son enteros positivos, es decir:
n 2 0 4 n 0
     , entonces n = 3.
Además reemplazando "n" en
18
9 n

 

 

 

Luego,
1 3 1
(x;y)
P 5x xy y
  
Por lo tanto el G.A.(P) 4

2. Si se cumple que:  
 
(x 2) (x 1) (x)
f f f , determina la suma de
coeficientes de "f" sabiendo que: (2) (3)
f f 2023
  .
Resolución:
Dando valor a x:
Si: x = 1, reemplazando en: (x 2) (x 1) (x)
f f f
 
  se tiene:
(3) (2) (1)
(1) (2) (3)
(1)
f f f
f f f
f 2023
 
 

Por lo tanto, la suma de coeficientes de "f" es 2023.
3. En el polinomio homogéneo:
 
a 6 2 9 4 b 4
x;y
M x y ax y z bx y
  
Determina el valor de: E = GR(x) + a + b.
Resolución:
Del dato: El polinomio es homogéneo, entonces todos los térmi-
nos deben tener sus grados iguales:
a + 6 = 2 + 9 = b + 4
a = 5 y b = 7
Nos pide:
E = GR(y) + a + b.
E = 9 + 5 + 7
E = 21
4. Si los polinomios:
     
3
x
P 7x (a 3)x c
 
3
x
Q (h 2)x 6x 3
   
son idénticos.
Determina el valor de: c + h + a
Resolución:
Como son idénticos, se tiene:
7 = h + 2 ; a – 3 = 6 ; c =3
Es decir:
h = 5 ; a = 9 ; c = 3
Entonces:
c + h + a = 3 + 5 + 9
= 17