Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos. Introduce definiciones como conjunto, elemento de un conjunto, conjunto vacío y operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección y diferencia. Explica las relaciones de igualdad, contención e inclusión entre conjuntos y cómo representar conjuntos y sus relaciones mediante diagramas de Venn.

1. Contenido
I Principios y Coeficientes de Conteo 2
Clase 01: Teorı́a de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-1
1.1. Definiciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-1
1.2. Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-3
1.3. Relaciones entre Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-3
1.4. Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-5
1.5. Familia de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-7
Clase 02: Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-1
2.1. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-1
2.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-2
2.2.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-2
2.2.2. Inyectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-5
2.3. Técnicas para Demostrar Correspondencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-8
2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-8
Clase 03: Cardinalidad-Principios de Conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-1
3.1. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-1
3.2. Principios de Conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-2
3.2.1. Principio Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-2
3.2.2. Principio de Igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-5
Clase 04: Principios de Conteo (cont) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-1
4.1. Principios de Conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-1
4.1.1. Principio del Pastor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-1
1

2. 4.1.2. Principio de Adición o Dividir y Conquistar . . . . . . . . . . . . . . 4-2
2

3. Unidad I
Principios y Coeficientes de Conteo
3

4. CI-2525 Estructuras Discretas I Ene–Abr 2019
Clase 01: Teorı́a de Conjuntos
Profesor: David Coronado
Figura 1.1:
Georg Cantor.
La Teorı́a de conjuntos se comenzó a estudiar formalmente cuando
Geeorg Cantor (1845-1918) formuló la teorı́a ahora llamada Teorı́a In-
genua (o intuitiva) de conjuntos. En esta teorı́a se establece que un con-
junto es una colección de objetos. Ası́ el conjunto de todos los conjuntos
que no se contienen a si mismos y el conjunto de todos los conjuntos
serı́an admitidos en esta teorı́a.
Para salir de la ingenuidad nace la Teorı́a axiomática de conjuntos,
iniciada por Ernst Zermelo (1871–1953) en 1908. En esta teorı́a, se es-
tablecen reglas que limitan la noción intuitiva de conjuntos. En otras
palabras, se establecen restricciones a las colecciones de objetos que se
llamarán conjuntos. Este enfoque es el que abordaremos a continuación.
1.1. Definiciones Básicas
Figura 1.2:
Ernst Zermelo.
La definición de conjuntos usual es: Un conjunto es cualquier colección
(no ordenada) de objetos que se puede tratar como entidad. Con esta
definición, un conjunto es una colección de objetos pero no toda colección
de objetos es un conjunto.
Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas A, B, . . . y los obje-
tos que lo conforman, que llamaremos elementos con letras minúsculas
x, y, . . .. Ası́ si x es un elemento de A escribimos x ∈ A y en caso
contrario x /
∈ A .
Ejemplo 1.1.1. Son ejemplos de conjuntos:
1. El conjunto V de todas las vocales. Se escribe
V = {a,e,i,o,u}
2. El conjunto O de todos los enteros positivos menores que 10:
O = {1, 3, 5, 7, 9}
3.
P = {a, 2, Pedro, Coche}
es el conjunto formado por la letra a, el número 2, los nombres
Pedro y Coche.
1-1

5. Clase 01: Teorı́a de Conjuntos 1-2
4. El conjunto de los enteros pares menores que 100:
E = {2, 4, 6, . . . , 98}
Otra manera de expresar o escribir los conjuntos es a través de descriptores. Caracterizamos
a todos los elementos del conjunto mediante una proposición.
Ejemplo 1.1.2. Ejemplos de conjuntos escritos de forma descriptiva:
1. V = {x ∈ alfabeto : x es una vocal}
2. O = {x ∈ N : x es impar y x < 10}
Recordemos la definición de algunos conjuntos especiales:
N = {0, 1, 2, 3, . . .} (Números naturales)
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} (Números enteros)
Z+
= {1, 2, . . .} (Enteros positivos)
Q =
p
q
|p, q ∈ Z, ∧q 6= 0
(Números racionales)
R (Números reales)
R+
(Reales positivos)
C (Números complejos)
Ejemplo 1.1.3. Los intervalos son conjuntos de números reales, se describen ası́:
[a, b] = {x|a ≤ x ≤ b}
[a, b) = {x|a ≤ x b}
(a, b] = {x|a x ≤ b}
(a, b) = {x|a x b}
También se pueden definir conjuntos de conjuntos:
N = {N, Z, Q, R}
El primer axioma nos habla del conjunto vacı́o. Más allá de ser usado como convención, es
conveniente tenerlo bien definido para poder establecer y demostrar teoremas.
Axioma 1 (Conjuto Vacı́o). Existe un conjunto que no tiene elementos, estos es,
(∃A)(∀x)(x /
∈ A). Dicho conjunto se llama conjunto vacı́o y se denota por ∅.
El segundo axioma nos dice cuando dos conjuntos son iguales.

6. Clase 01: Teorı́a de Conjuntos 1-3
Axioma 2 (de Extensión). Si dos conjuntos A y B tienen los mismos elementos,
entonces son iguales. En otras palabras: Si todo elemento de A es un elemento de
B y todo elemento de B es un elemento de A, entonces A = B.
En notación lógica, este axioma se expresa como:
∀x(x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B) ⇒ A = B
(∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B)) ∧ (∀x(x ∈ B ⇒ x ∈ A)) ⇒ A = B
Debemos tener cuidado con los recı́procos de las expresiones anteriores. Éstos se muestran
en el siguiente teorema.
Teorema 1.1.1. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos, esto
es, si y sólo si todo elemento de A es elemento de B y todo elemento de B es elemento de
A. Simbólicamente,
1. A = B ⇐⇒ ∀x(x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B)
2. A = B ⇐⇒ (∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B)) ∧ (∀x(x ∈ B ⇒ x ∈ A))
3. El conjunto vacı́o es único.
1.2. Diagramas de Venn
Los conjuntos se pueden representar gráficamente usando los Diagramas de Venn. En estos
diagramas, el conjunto universal U, que contiene todos los objetos considerados, se representa
con un rectángulo. Dentro de este rectángulo, se representan con cı́rculos, elipses, u otras
figuras geométricas, los conjuntos. En ocasiones, se usan puntos para representar elementos
especı́ficos.
Se suelen usar los diagramas de Venn para representar y/o estudiar las relaciones entre los
conjuntos.
Un ejemplo de diagrama de Venn se muestra en la Figura 1.3
1.3. Relaciones entre Conjuntos
La primera relación estudiada, en la sección anterior, fue la relación de igualdad. La siguiente
relación a estudiar es la contención. Pare ello, veamos las siguientes definiciones.
Definición 1.3.1. Dados dos conjuntos A y B, se dice que:

7. Clase 01: Teorı́a de Conjuntos 1-4
U
V
a
e
i
o
u
Figura 1.3: Diagrama de Venn del conjunto V de las vocales
1. A es subconjunto de B, denotado por A ⊆ B si y sólo si todo elemento de A es
elemento de B. Es decir
A ⊆ B ⇐⇒ ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B).
2. Si A ⊆ B también decimos que A está contenido en B o que B contiene a A o que B
es superconjunto de A. Es equivalente escribir B ⊇ A.
3. A es subconjunto propio de B y se denota por A ⊂ B si todo elemento de A es elemento
de B, pero A es distinto de B. Simbólicamente
A ⊂ B ⇐⇒ (A ⊆ B ∧ A 6= B)
También suele usarse la expresión B es superconjunto propio de A y la notación B ⊃ A
para denotar que A ⊂ B.
El Diagrama de Venn de la contención se muestra en Figura 1.4.
Veamos algunos ejemplo.
Ejemplo 1.3.1. Si A = {a, b}. Sus subconjuntos son ∅, {a} , {b} , {a, b}. De los cuales,
∅, {a} , {b} son subconjuntos propios. ¿Por qué {a, b} no lo es?
Escriba todos los subconjuntos de {1, 2, 3}.

8. Clase 01: Teorı́a de Conjuntos 1-5
U
A
B
Figura 1.4: Diagrama de Venn de A ⊆ B
Algunas propiedades de los conjuntos.
Teorema 1.3.1. Sean A y B dos conjuntos. Entonces
1. A ⊂ B ⇐⇒ (A ⊆ B ∧ (∃x)(x ∈ B ∧ x /
∈ A))
2. El conjunto vacı́o es subconjunto de cualquier conjunto. ie, para todo conjunto A se
cumple ∅ ⊆ A.
3. A ⊆ A.
4. Si A ⊆ B ∧ B ⊆ A, entonces A = B.
5. Si A = B, entonces A ⊆ B ∧ B ⊆ A.
1.4. Operaciones con conjuntos
Se usarán las operaciones sobre conjuntos para definir conjuntos nuevos (resultantes) a partir
de conjuntos dados (operandos). Empezaremos con operaciones binarias (dos operandos).
Definición 1.4.1. Dados dos conjuntos A y B, se definen:
1. La intersección de A y B es el conjunto cuyos elementos son los elementos comunes
de A y B. Se denota por A ∩ B. En sı́mbolos
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} .
2. La diferencia de A y B es el conjunto cuyos elementos son los elementos de A que no
están en B. Se denota por A r B. Simbólicamente,
A r B = {x : x ∈ A ∧ x /
∈ B} .
3. La unión de A y B es el conjunto cuyos elementos son los elementos de A y los
elementos de B. Se denota por A ∪ B. Simbólicamente,
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} .

9. Clase 01: Teorı́a de Conjuntos 1-6
A
B
(a) A ∪ B
A
B
(b) A r B
A
B
(c) A ∩ B
Figura 1.5: Diagramas de Venn de las operaciones básicas de conjuntos.
Como ejercicio, justifique la existencia de estos conjuntos. La Figura 1.5 muestra los diagra-
mas de Venn de las tres operaciones básicas definidas arriba.
Ejemplo 1.4.1. Dados A = {1, 2, 4, 6}, B = {1, 3, 5, 7, 9} y C = {0, 1}. Determine (a) A∪B,
(b) A ∩ B, (c) A r C y (d) (A r B) ∩ C.
Definición 1.4.2 (Conjuntos disjuntos). Dos conjuntos A y B se llaman disjuntos si no
tienen ningún elemento en común, esto es, si A ∩ B = ∅.
Algunas propiedades de las operaciones de conjuntos semuestran en la Tabla 1.1.
Tabla 1.1: Propiedades de las operaciones de conjuntos
Identidad Nombre
A ∩ U = A
A ∪ ∅ = A
Identidad
A ∪ U = U
A ∩ ∅ = ∅
Dominación
A ∪ A = A
A ∩ A = A
Idempotencia
(A) = A Ley de complementación
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
Conmutatividad
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Asociatividad
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Distributividad
A ∩ B = A ∪ B
A ∪ B = A ∩ B
Leyes de Morgan
A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (A ∪ B) = A
Absorción
A ∪ A = U
A ∩ A = ∅
Complemento

10. Clase 01: Teorı́a de Conjuntos 1-7
Complemento absoluto
En ciertas ocasiones todos los conjuntos que nos interesa considerar para resolver un determi-
nado problema son subconjuntos de un conjunto más grande, a este conjunto lo llamaremos
el universo del discurso y se representa por U. Con este conjunto se define el complemento
de un conjunto.
Definición 1.4.3 (Complemento). Sea A un subconjunto del universo del discurso U, se
define el complemento de A como el conjunto de los elementos de U que no están en A. Se
denota por A. Simbólicamente
A = U r A = {x : x /
∈ A} .
Nuevamente, en el Ejercicio 1 de la Práctica 1 se encuentran las propiedades más importantes
del conjunto complemento.
1.5. Familia de conjuntos
Ahora formaremos conjuntos cuyos elementos también son conjuntos.
Definición 1.5.1 (Familias de conjuntos). Una familia de conjuntos es un conjunto cuyos
elementos son conjuntos.
Ejemplo 1.5.1. Son ejemplos de familias de conjuntos:
F1 = {∅, {∅} , {∅, {∅}}}
F2 = {{a} , {a, b}}
F3 = {{a} , {b} , {a, b}}
Se puede definir la unión de conjunto a partir de familias de conjuntos.
Definición 1.5.2 (Unión). Dado un conjunto A, la unión de A, denotada por ∪A, es el
conjunto cuyos elementos son los elementos de los elementos de A. Es decir
∪A = {x : (∃B)(x ∈ B ∧ B ∈ A)} .
También se suele usar la equivalencia
x ∈ ∪A ⇐⇒ (∃B)(x ∈ B ∧ B ∈ A).
Ejemplo 1.5.2. Si A = {{a} , {a, b}}. Entonces ∪A = {a, b}. Si A = {{∅, a} , {{a} , {∅} , ∅}}
entonces ∪A = {∅, a, {a} , {∅}}.
Teorema 1.5.1. Sean A y B dos conjuntos.

11. Clase 01: Teorı́a de Conjuntos 1-8
1. ∪∅ = ∅.
2. ∪ {∅} = ∅.
3. ∪ {A} = A.
4. ∪ {A, B} = A ∪ B.
5. ∪ {A ∪ B} = (∪A) ∪ (∪B).
6. A ∈ B ⇒ A ⊆ ∪B.
7. A ⊆ B ⇒ ∪A ⊆ ∪B.
8. (∀A)(A ∈ B ⇒ A ⊆ C) ⇒ ∪B ⊆ C.
9. (∀A)(A ∈ B ⇒ A ∩ C = ∅) ⇒
(∪B) ∩ C = ∅
También se define la intersección a partir de familias de conjuntos.
Definición 1.5.3 (Intersección). Dado un conjunto A, la intersección de A, denotada por
∩A, es el conjunto cuyos elementos son los elementos que están en todos los elementos de
A. Simbólicamente
∩A = {x : (∀B)(B ∈ A ⇒ x ∈ B)} .
Se tiene además, la siguiente equivalencia
x ∈ ∩A ⇐⇒ (∀B)(B ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (∃B)(B ∈ A).
Ejemplo 1.5.3. Si A = {{a} , {a, b}}. Entonces ∩A = {a}. Si A = {{∅, a} , {{a} , {∅} , ∅}}
entonces ∩A = {∅}.
Teorema 1.5.2. Si A y B son conjuntos se tiene:
1. ∩∅ = ∅.
2. ∩ {∅} = ∅.
3. ∩ {A} = A.
4. ∩ {A, B} = A ∩ B.
5. A ∈ B ⇒ ∩B ⊆ A.
6. A ∈ B ∧ A ⊆ C ⇒ ∩B ⊆ C.
7. A ⊆ B ∧ (∃C)(C ∈ A) ⇒ ∩B ⊆ ∩A.
8. (∃C)(C ∈ A) ∧ (∃D)(D ∈ B) ⇒
∩(A ∪ B) = (∩A) ∩ (∩B).
9. A ∈ B ∧ A ∩ C = ∅ ⇒ (∩B) ∩ C = ∅.
10. ∩A ⊆ ∪A.
Conjunto Potencias (o partes)
Veamos un axioma que asegura la existencia del conjunto potencia o de partes.
Axioma 3 (Conjunto Potencia). Dado un conjunto A, existe un conjunto cuyos
elementos son los subconjuntos del conjunto A. Esto es,
(∃B)(∀C)(C ∈ B ⇐⇒ C ⊆ A).

12. Clase 01: Teorı́a de Conjuntos 1-9
Definición 1.5.4 (Conjunto Potencia o de Partes). Dado un conjunto A, se define el con-
junto potencia o conjunto de partes de A, denotado por P, como el conjunto cuyos elementos
son los subconjuntos de A, es decir P(A) = {B : B ⊆ A} .
Equivalentemente tenemos que B ∈ P(A) ⇐⇒ B ⊆ A.
Teorema 1.5.3. Sean A, B conjuntos. Entonces
1. ∅ ∈ P(A).
2. A ⊆ P(A).
3. P(∅) = {∅}.
4. P(P(∅)) = {∅, {∅}}.
5. A ⊆ B ⇒ P(A) ⊆ P(B).
6. P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A ∪ B).
7. P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B).
8. P(A r B) ⊆ (P(A) r P(B)) ∪ {∅}.
Axioma de fundamentación
Para evitar situaciones no triviales como
A ∈ A, A ∈ B ∧ B ∈ A, A ∈ B ∧ B ∈ C ∧ C ∈ A,
entre otras, se tiene el siguiente axioma.
Axioma 4 (De Fundamentación). Todo conjunto no vacı́o A, tiene un elemento x
tal que ninguno de sus elementos pertenece a A. En sı́mbolos
A 6= ∅ ⇒ (∃x)(x ∈ A ∧ (∀y)(y ∈ x ⇒ y /
∈ A)).
Como consecuencia de este axioma se tiene el siguiente teorema.
Teorema 1.5.4. Sean A, B conjuntos. Entonces
1. A /
∈ A. 2. ¬(A ∈ B ∧ B ∈ A). 3. ¬(A ∈ B∧B ∈ C∧C ∈ A).

13. CI-2525 Estructuras Discretas I Ene–Abr 2019
Clase 02: Funciones
Profesor: David Coronado
En esta clase recordaremos la definición de función y en especial, las propiedades inyectividad,
sobreyectividad y biyectividad.
2.1. Producto Cartesiano
Definición 2.1.1.
1. Dados dos elementos cualesquiera a ∈ A y b ∈ B se define el par ordenado ha, bi como
el conjunto cuyos elementos son el conjunto {a} y el conjunto {a, b}. Esto es,
ha, bi = {{a} , {a, b}} .
2. Dados dos conjuntos A y B se define el producto cartesiano de A por B como el
conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y cuya
segunda componente pertenece a B. Esto es,
A × B = {ha, bi : a ∈ A ∧ b ∈ B} .
3. Una relación R es un conjunto de pares ordenados, simbólicamente,
R es una relación ⇐⇒ (∀x)(x ∈ R ⇒ (∃y)(∃z)(x = hy, zi)).
Se suele usar xRy en lugar de hx, yi ∈ R.
4. Una relación binaria de A en B es un subconjunto del producto cartesiano A × B.
5. Si una relación binaria R es de A en A se dice que R es una relación sobre A.
6. Dado un conjunto A se define la relación Identidad de A como
Id2
A = {hx, xi : x ∈ A} .
Usualmente, si A = {a, b, c} y B = {1, 2}, A × B se representa como en la Figura 2.1.
Dos ejemplos de relaciones se muestran a continuación.
Ejemplo 2.1.1. Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3}. Sean las relaciones entre entre A y B
definidas por:
R = {(a, 2), (b, 1), (c, 3)}
S = {(a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1)}
2-1

14. Clase 02: Funciones 2-2
1
2
a b c A
B
(b,2)
Figura 2.1: Representación gráfica de A × B
1
2
3
a b c A
B
(a) Relación R
1
2
3
a b c A
B
(b) Relación S
Figura 2.2: Gráficas de las relaciones R y S.
Su representación gráfica se muestra en la Figura 2.2.
Otra forma de representar las funciones es mediante la representación de los conjuntos con
elipses, y con flechas las relaciones entre los elementos. Ası́, la relaciones R y S se repre-
sentan como en la Figura 2.3.
2.2. Funciones
En ocasiones, se quiere realizar asignaciones entre elementos de conjuntos diferentes. Un
ejemplo tı́pico, es asignar a cada estudiante del curso ED-1 un número (calificación) entre
el uno (1) y el cinco (5). Es de resaltar, que con esta asignación, a cada estudiante le
corresponde una única calificación, pero pueden existir calificaciones que no fueron asignadas.
Esta asignación es una función. La formalización de este concepto se muestra a continuación.
2.2.1. Definición
Definición 2.2.1 (Función). Dados dos conjuntos A y B:

15. Clase 02: Funciones 2-3
A
R
B
b
a
c
2
1
3
(a) Relación R
A
S
B
b
a
c
2
1
3
(b) Relación S
Figura 2.3: Gráficas de las relaciones R y S.
1. Una función f de A en B, denotada como f : A → B, es una relación binaria de A
en B (un subconjunto de A × B) que cumple las siguientes condiciones:
a) (∀a ∈ A)(∃b ∈ B)(ha, bi ∈ f).
b) (∀a ∈ A)(∀b, b0
∈ B)(ha, bi ∈ f ∧ ha, b0
i ∈ f ⇒ b = b0
).
2. Si A y B coinciden decimos que f es una función sobre A.
3. Al conjunto de las funciones de A en B lo denotaremos por BA
.
Con las funciones se definen algunos conjuntos:
Definición 2.2.2. Si f es una función de A en B,
1. Se dice que A es el dominio de f y que B es su codominio.
2. Si f(a) = b, se dice que b es la imagen de a y que a es la preimagen de b (mediante
f).
3. El rango o imagen de f, es el conjunto de todas las imágenes de elementos de A. Se
denota por f(A).
4. Se dice que f manda A en B.
Veamos algunos ejemplos de relaciones que son funciones y algunos que no lo son.
Ejemplo 2.2.1. Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3}. Sean las relaciones entre entre A y B
definidas por:
R1 = {(a, 2), (b, 1), (c, 3)}
R2 = {(a, 2), (b, 2), (c, 2)}
R3 = {(a, 2), (c, 3)}
R4 = {(a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1)}

16. Clase 02: Funciones 2-4
1
2
3
a b c A
B
(a) R1 si es función
1
2
3
a b c A
B
(b) R2 si es función
1
2
a b c A
B
(c) R3 no es función
1
2
3
a b c A
B
(d) R4 no es función
Figura 2.4: Gráficas de las relaciones R1, R2, R3 y R4.
Su representación gráfica se muestra en la Figura 2.4.
Tenemos que las relaciones R1 y R2 son funciones. Ası́ se puede establecer que
Dom R1 = Dom R2 = A
Codom R1 = Codom R2 = B
Rg R1 = B
Rg R2 = {2}
Mientras que la relación R3 no es función ya que b ∈ A pero no existe y ∈ B tal que bRy, y
R4 no es función pues para b ∈ B se tiene que bR1 y bR2 con 1 6= 2.
Estas relaciones y funciones también se pueden representar mediante diagramas como en la
Figura 2.5.

17. Clase 02: Funciones 2-5
A
R1
B
b
a
c
2
1
3
(a) Función R1
A
R2
B
b
a
c
2
1
3
(b) Función R2
A
R3
B
b
a
c
2
1
3
(c) Función R3
A
R4
B
b
a
c
2
1
3
(d) Relación R4
Figura 2.5: Gráficas de las relaciones R1, R2, R3 y R4.
2.2.2. Inyectividad
Algunos tipos de funciones especiales e importantes se definen a continuación.
Definición 2.2.3. Sea f : A → B. Se dice que:
1. f es inyectiva ssi f(a) = f(b) implica que a = b, o equivalentemente si a 6= b implica
que f(a) 6= f(b).
2. f es sobreyectiva ssi para todo b ∈ B existe a ∈ A tal que f(a) = b, o equivalentemente
si f(A) = B.
3. f es biyectiva ssi es inyectiva y sobreyectiva.
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 2.2.2. Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3}. Sean las funciones de A en B definidas
por:
f1 = {(a, 2), (b, 1), (c, 3)}
f2 = {(a, 2), (b, 2), (c, 2)}
Sus diagramas se muestran en la Figura 2.6.
Se puede verificar que f1 es biyectiva mientras que f2 no es inyectiva ni tampoco sobreyectiva.

18. Clase 02: Funciones 2-6
A
f1
B
b
a
c
2
1
3
(a) Función f1
A
f2
B
b
a
c
2
1
3
(b) Función f2
Figura 2.6: Diagramas de las funciones f1 y f2.
Veamos otros ejemplos.
Ejemplo 2.2.3. A continuación se muestran diagramas con diferentes posibilidades de in-
yectividad. Note la cantidad de elementos en los diferentes casos.
1. En la Figura 2.7 se muestran ejemplos de funciones inyectivas y no sobre
A
f
B
b
a
c
1
2
3
4
(a) Función f
A
g
B
b
a
c
1
2
3
4
5
(b) Función g
Figura 2.7: Diagramas de las funciones f y g inyectivas pero no sobre.
2. En la Figura 2.8 se muestran ejemplos de funciones no inyectivas y sobre

19. Clase 02: Funciones 2-7
A
f
B
b
a
c
1
2
(a) Función f
A
g
B
a
b
c
d
1
2
(b) Función g
Figura 2.8: Diagramas de las funciones f y g sobre pero no inyectivas.
3. En la Figura 2.9 se muestran ejemplos de funciones no inyectivas y no sobre
A
f
B
b
a
c
1
2
3
(a) Función f
A
g
B
a
b
c
d
1
2
(b) Función g
Figura 2.9: Diagramas de las funciones f y g no inyectivas y no sobre.
4. En la Figura 2.10 se muestran ejemplos de funciones biyectivas (inyectivas y sobre)

20. Clase 02: Funciones 2-8
A
f
B
b
a
c
1
2
3
(a) Función f
A
g
B
a
b
c
d
1
2
3
4
(b) Función g
Figura 2.10: Diagramas de las funciones f y g biyectivas.
2.3. Técnicas para Demostrar Correspondencia
Resumiendo lo estudiado en los ejemplos de funciones inyectivas y/o sobre, se tiene el si-
guiente esquema.
Supongamos que f : A → B. Entonces
1. Para demostrar que f es inyectiva, se debe mostrar que si f(x) = f(y),
para x, y ∈ A arbitrarios con x 6= y, entonces x = y.
2. Para demostrar que f NO es inyectiva, se deben encontrar x, y ∈ A, con
x 6= y y f(x) = f(y).
3. Para demostrar que f es sobreyectiva, considerar un y ∈ B arbitrario y
encontrar x ∈ A tal que f(x) = y.
4. Para demostrar que f NO es sobreyectiva, encontrar un y ∈ B tal que
f(x) 6= y para todo x ∈ A.
2.4. Ejercicios
1. ¿Cuáles son los dominio, codominio y rango de la función que asigna a cada estudiante
del curso su calificación definitiva? Estudie la correspondencia.
2. Suponga que a cada trabajador de un grupo de empleados se le asigna una tarea entre
un posible conjunto de las mismas. ¿Qué se puede decir de esta función?
3. Determine cuales de las siguientes funciones de {a, b, c, d} en si mismo, son inyectivas
y cuales son sobre.

21. Clase 02: Funciones 2-9
a) f(a) = b, f(b) = a, f(c) = c, f(d) = d
b) g(a) = b, g(b) = b, g(c) = d, g(d) = c
c) h(a) = d, h(b) = b, h(c) = c, h(d) = d
Solución:
1.
1
2
3
4
5
a b c d e f Alumnos
Nota
Dom F = {a, b, c, d, e, f}
Codom F = {1, 2, 3, 4, 5}
Rg F = {2, 4, 5}
No es inyectiva
ni sobre
2.
Empleados
T
Tareas
E1
E2
E3
E4
T1
T2
T3
T4
Dom T = {E1, E2, E3, E4}
Cod T = {T1, T2, T3, T4}
Rg T = Cod T
Es biyectiva
3.
A
f
A
a
b
c
d
a
b
c
d
A
g
A
a
b
c
d
a
b
c
d

22. CI-2525 Estructuras Discretas I Ene–Abr 2019
Clase 03: Cardinalidad-Principios de Conteo
Profesor: David Coronado
3.1. Cardinalidad
La siguientes son definiciones geniales de G. Cantor relativas a cantidad de elementos de un
conjunto. Son tomadas de [?]
Definición 3.1.1. Dados dos conjuntos A y B y un número natural n:
Cardinalidad Se dice que A tiene el mismo tamaño que B o que la cardinalidad de A
es igual que la de B, y se denota |A| = |B|, si y sólo si existe una función biyectiva
f : A → B. También diremos que A y B son coordinables.
Segmento de los naturales Se denota por [n] al conjunto de todos los naturales mayores
que 0 y menores o iguales que n, esto es,
[n] = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ n} = {1, 2, 3, . . . , n}
Este conjunto se llama una sección o segmento de los naturales. Estos conjuntos son
los prototipos de los conjuntos finitos.
Conjuntos Finitos Se dice que A es finito si es vacı́o o si existe una correspondencia
biyectiva con una sección de los naturales, esto es, existe una función f biyectiva tal
que
f : A → [n].
En el primer caso, se dice que A tiene 0 elementos o que su cardinalidad es cero,
|A| = 0. En el último caso se dice que A tiene cardinalidad n: |A| = n.
Si A es un conjunto finito, existe una función biyectiva f que ordena sus elementos. Esta
función permite representar los elementos de A mediante f1, f2, . . . fn.
Lema 1. Si n es un número natural, A es un conjunto y a0 es un elemento de A, entonces
existe una correspondencia biyectiva f : A → [n + 1] ssi existe una correspondencia biyectiva
g : A r {a0} → [n].
Teorema 3.1.1. Sea A un conjunto tal que existe una función biyectiva f : A → [n] para
algún n ∈ N. Si B ⊂ A entonces no existe biyección g : B → [n], pero si B 6= ∅ entonces
existe biyección h : B → [m] para algún m (0 m n).
Corolario 1. 1. Si A es un conjunto finito, no existe una biyección de A con uno de sus
subconjuntos propios.
3-1

23. Clase 03: Cardinalidad-Principios de Conteo 3-2
2. El número de elementos de un conjunto finito A está únicamente determinado por A.
3. Si B es subconjunto de un conjunto finito A, entonces B es finito. Si B es subcon-
junto propio de A, entonces el número de elementos de B es menor que el número de
elementos de A.
4. N no es finito.
Demostración: Ejercicio.
Teorema 3.1.2. Si B es un conjunto no vacı́o y n un número natural mayor que 0, entonces
las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. Existe una función sobreyectiva f : [n] → B.
2. Existe una función inyectiva g : B → [n].
3. B es finito y tiene a lo sumo n elementos.
Demostración: Ejercicio.
Corolario 2 (Principio de Palomar). Si |A| = n + 1 y |B| = n, no existe función inyectiva
de A en B.
Demostración: Ejercicio.
3.2. Principios de Conteo
Se describen a continuación los principales principios de conteo, algunos ejemplos y aplica-
ciones.
3.2.1. Principio Fundamental
El primer principio estudiado es el Fundamental o del Producto.
Si una operación puede realizarse de n maneras y una vez realizada dicha
operación de cualquiera de esas maneras, una segunda operación puede hacerse
de m maneras, entonces el número total de maneras en que las dos operaciones
pueden realizarse en ese orden es nm.
Veamos algunos ejemplos donde se aplica este principio.

24. Clase 03: Cardinalidad-Principios de Conteo 3-3
Ejemplo 3.2.1. Las sillas de un auditorio serán etiquetadas con una letra en mayúscula
seguida por un número entero positivo sin exceder 100. ¿Cuál es la mayor cantidad de sillas
que pueden ser etiquetadas (sin repetir las etiquetas)?
Solución:
El procedimiento de etiquetado consiste de dos tareas, la primera asigna una de las 26 letras
del alfabeta y la segunda asigna el número. Ası́, se pueden producir
26 · 100 = 2600 etiquetas
Ejemplo 3.2.2 (Palabras de un alfabeto). Con las letras del alfabeto Γ = {a, b, c, d, e}
¿cuántas palabras de 3 letras pueden hacerse?
Solución:
Las operaciones consisten en elegir la primera letra, lo cual puede hacerse de 5 formas
diferentes; después elegir la segunda, que también puede seleccionarse de 5 formas, y ası́ su-
cesivamente. Por lo tanto, el número de palabras de tres letras que pueden formarse con Γ
es:
5 · 5 · 5 = 53
.
En general, el número de palabras de k letras que pueden formarse con un alfabeto de n
letras es nk
.
Ejemplo 3.2.3. Hay 32 computadoras en un centro de computación. Cada computadora tie-
ne 24 puertos. ¿De cuántas maneras puede escogerse un puerto en el centro de computación?
Solución:
El procedimiento para escoger el puerto consiste de dos tareas: primero escoger la compu-
tadora (32 maneras) y luego el puerto (24 maneras). Ası́ hay
32 · 24 = 768 maneras de escoger un puerto
Ejemplo 3.2.4 (Ordenes Lineales). Un orden lineal de un conjunto de tamaño n es una
cualquiera de las formas de ordenar sus elementos en una lı́nea recta. ¿Cuántos órdenes
lineales tiene un conjunto de n elementos?
Solución:
Las operaciones consisten en elegir el elemento que ocupe la primera, la segunda, la tercera...,
la n-ésima posición del orden. Es como colocar los elementos en n cajas ordenadas, y la i-
ésima operación es elegir quién ocuparı́a la i-ésima caja. La primera caja puede ser ocupada
por cualquiera de los n elementos del conjunto, esto es, hay n posibilidades para esta primera
elección. Una vez elegido el primero, sólo quedan n − 1 elementos a elegir para la segunda
caja. Para la tercera elección hay n − 2 posibilidades, y ası́ sucesivamente hasta llegar a
la última caja para la cual hay una única posibilidad. De esto se concluye, con base en el
Principio Fundamental, que el número de órdenes lineales de un conjunto de n elementos es:
n(n − 1)(n − 2) · · · · 2 · 1

25. Clase 03: Cardinalidad-Principios de Conteo 3-4
Además el conjunto vacı́o tiene un solo orden lineal, a saber, el orden vacı́o. Podemos definir,
por lo tanto, la función factorial como:
n! =
n(n − 1)(n22) · · · 2 · 1 si n ≥ 1
1 si n = 0
y decir que dicha función cuenta el número de órdenes lineales de un conjunto de n elementos.
En otras palabras, cuenta el número de maneras de ordenar linealmente los elementos de un
conjunto de n elementos.
Ejemplo 3.2.5 (Subconjuntos linealmente ordenados de tamaño k de un conjunto de n
elementos). ¿De cuántas maneras se pueden tomar k elementos ordenados de un conjunto
de n elementos? Equivalentemente, ¿Cuántos órdenes lineales de k elementos se pueden hacer
con los elementos de un conjunto de n elementos?
Solución:
nk
=
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) si k ≥ 1
1 si k = 0
. (Factorial descendente)
En ocasiones es conveniente denotar al conjunto de los órdenes lineales de un conjunto A
de n elementos por L(A) o por L(n), y al conjunto de los subconjuntos ordenados de k
elementos de A por Lk(n).
Ejemplo 3.2.6 (Contando Funciones). ¿Cuántas funciones hay de un conjunto con m ele-
mentos a un conjunto con n elementos?
Solución:
m−veces
z }| {
n · n · · · · · n = nm
Ejemplo 3.2.7 (Contando funciones inyectivas). ¿Cuántas funciones inyectivas hay de un
conjunto de m elementos en un conjunto con n elementos?
Solución:
Hay nm
Ejemplo 3.2.8. Cuál es el valor de k después de aplicar el Algorı́tmo 3.2.1, donde n1, n2, . . . , nm
son enteros positivos.
Solución:
k = n1 · n2 · · · · · nm

26. Clase 03: Cardinalidad-Principios de Conteo 3-5
Algorithm 3.2.1: Ejemplo
1 k := 0
2 for i1 := 1 to n1 do
3 for i2 := 1 to n2 do
4
.
.
.
5 for im := 1 to nm do
6 k := k + 1
3.2.2. Principio de Igualdad
El Principio de igualdad permite que en lugar de contar los elementos de cierto conjunto,
contemos los elementos de otro conjunto (más fácil) y luego establecer una biyección entre
ambos conjuntos.
Si f : A → B es biyectiva, entonces
|A| = |B|.
Veamos los ejemplos.
Ejemplo 3.2.9. ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto de n elementos?
Solución:
Sin pérdida de generalidad, consideremos que la pregunta es: ¿cuántos subconjuntos tiene
[n] = {1, 2, . . . n}?, pues, como existe una biyección entre [n] y cualquier conjunto de n
elementos, entonces existe una biyección entre P(n) y P(A) si |A| = n.
Luego asociamos a cada subconjunto de [n] la n-tupla de ceros y unos que contiene un 1 ó un
0 en la i-ésima posición si el elemento i pertenece o no al subconjunto. Esta es claramente una
biyección, por lo tanto nuestro problema ahora es contar cuántas n-tuplas de ceros y unos
hay. Problema que es equivalente a contar cuántas palabras de n letras hay en un alfabeto
de dos letras y cuya respuesta es 2n
.
Para responder a la pregunta de manera más formal dividamos el problema en dos partes:
Hallar una biyección de los subconjuntos de [n] en el conjunto de las funciones de [n] en
{0, 1} y luego contar cuántas funciones de [n] en {0, 1} hay.
Sea {0, 1}[n]
el conjunto de las funciones de [n] en {0, 1} y definimos ϕ : P(n) → {0, 1}[n]
como ϕ(B) = 1B, donde 1B es la función caracterı́stica del conjunto B, esto es,
1B(x) =
1, si x ∈ B;
0; si x /
∈ B.

27. Clase 03: Cardinalidad-Principios de Conteo 3-6
Esta función es biyectiva porque si ϕ(B1) = ϕ(B2), entonces 1B1 = 1B2 , implicando que
B1 = B2, y para toda (f : [n] → {0, 1}) consideramos B = f−1
(1) ⊆ [n] y ϕ(B) = 1B = f.
Por otro lado, para contar las funciones de [n] en {0, 1} basta observar cuántas imágenes
posibles hay para cada elemento de [n]. El 1 puede tener dos imágenes, una vez elegida la
imagen del 1 el 2 puede tener 2 imágenes, etc., por consiguiente, por el Principio Fundamen-
tal hay 2n
funciones de [n] en {0, 1} y, por lo tanto, por el Principio de igualdad, hay 2n
subconjuntos de [n].
Ejemplo 3.2.10. Exhiba una biyección para demostrar que el número de órdenes lineales de
un conjunto de n elementos es igual al número de permutaciones de dicho conjunto.
Solución:
Sea A un conjunto con n elementos, denotemos por S(A) al conjunto de las permutaciones
del conjunto A y por L(A) al conjunto de los órdenes lineales de A. Puesto que |A| = n se
puede escribir a A como A = {a1, a2, . . . , an}.
Defı́nase ϕ : S(A) → L(A) como
ϕ(σ) = σ1σ2 · · · σn,
esto es, la imagen de la permutación σ es el orden lineal σ(a1)σ(a2) · · · σ(an). Se tiene entonces
que ϕ es inyectiva, porque si ϕ(σ) = ϕ(τ), entonces
σ(a1)σ(a2) · · · σ(an) = τ(a1)τ(a2) · · · τ(an)
por consiguiente, ∀i(σ(ai) = τ(ai)) y por lo tanto σ = τ. Además, ϕ es sobreyectiva, porque
si b1b2 · · · bn ∈ L(A) se tiene que b1, b2, . . . , bn son elementos distintos de A y por lo tanto
se puede definir una permutación σ como σ(a1) = b1, σ(a2) = b2, . . . , σ(an) = bn y por
consiguiente
ϕ(σ) = σ(a1)σ(a2) · · · σ(an)
= b1b2 · · · bn.
Ejemplo 3.2.11. Demuestre que el número de funciones de [n] en {0, 1} es igual que el
número de n-túplas de ceros y unos. Más aún, demuestre que

29. [n][k]

31. = |{(x1, x2, . . . , xk) : xi ∈ [n]}| .

32. CI-2525 Estructuras Discretas I Ene–Abr 2019
Clase 04: Principios de Conteo (cont)
Profesor: David Coronado
4.1. Principios de Conteo
4.1.1. Principio del Pastor
Dicen que los pastores en el momento de contar sus ovejas, en lugar de contar sus cabezas,
cuentan sus patas y después dividen entre cuatro. Esto es, cuentan el conjunto de las patas
de las ovejas que es un conjunto más grande pero que resulta más fácil de contar y dividen
entre el número de patas que tiene una oveja. Esto pueden hacerlo gracias a que toda oveja
tiene exactamente cuatro patas.
Dada una función f : A → B para todo b ∈ B, se define la imagen inversa(o preimagen) de
b como
f−1
(b) = {x ∈ A : f(x) = b} .
Se tiene que f−1
(b) ⊆ A. Las fibras de f son las preimágenes no vacı́as.
Formalmente el Principio del Pastor establece que:
si todas las fibras de f : A → B tienen el mismo tamaño k y f es
sobreyectiva, entonces
|A| = k · |B|.
Veamos los ejemplos
Ejemplo 4.1.1 (k-Subconjuntos de un n-conjunto). Sea A un conjunto con n elementos,
esto es, |A| = n y definimos a Pk(A) = {B ∈ P(A) : |B| = k}. Queremos entonces hallar
|Pk(A)|.
Solución:
Si k |A| entonces Pk(A) = ∅ y por consiguiente |Pk(A)| = 0.
Considérese la función que asigna a un subconjunto ordenado de tamaño k, el correspondiente
subconjunto de tamaño k:
ϕ : Lk(A) → Pk(A)
Claramente ϕ es sobreyectiva, y como cada conjunto de tamaño k se puede ordenar de k!
formas diferentes, se tiene que cada fibra de ϕ tiene cardinalidad k!. Por lo tanto, usando el
Principio del Pastor tenemos que
|Pk(A)| =
nk
k!
.
4-1