Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de los conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, elemento, conjunto universal, subconjuntos, conjunto vacío, conjunto potencia, unión, intersección, diferencia, complemento y producto cartesiano de conjuntos. También introduce teoremas y propiedades de los conjuntos como las leyes del álgebra de conjuntos y cardinalidad de conjuntos finitos.

2. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICE RECTORADO ACADEMICO
CABUDARE ESTADO LARA
CONJUNTOS
INTEGRANTES: Yelimar Yepez
TUTOR: Domingo Mendez
BARQUISIMETO, ENERO DE 2013

3. Se denomina Conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales
se llaman Elementos.
Se llama Conjunto Universal, el cual se denota por U, al conjunto
que contiene todos los elementos a considerar.
Ejemplo:
Considere el conjunto formado por todos los números naturales
menores que 6. En este caso se escribir el conjunto como A =
{1,2,3,4,5} y el conjunto de referencia o conjunto universal es N, el
conjunto formado por todos los números naturales.

4. Los conjuntos son denotados con letras mayúsculas como
A,B,C,X,Y,Z, etc., mientras que para los elementos se usan
minúsculas como a,b,c,d,x,y,z, etc.
Los elementos de un conjunto son encerrados entre llaves o en
un círculo, el cual es llamado Diagrama de Venn.
Si x es un elemento y A es un conjunto, la expresión x є A, se
lee "x pertenece a A" o x es un elemento de A". Su negación se
escribe así: x є A la cual significa que x no está en A o no
pertenece a A.

5. Existen dos formas de determinar un conjunto:
Por Extensión: Cuando todos sus elementos son enumerados
uno a uno.
Ejemplo: A = {1,3,5,7}, B = {a,x,y,z,w}
Por Comprensión: Cuando están dados como dominio de una
función proposicional, es decir, los elementos de un conjunto que
cumplen una condición dada.
Ejemplo: B = { x є R / x divide a 18}
(Los números reales divisores de 18)

6. Sean A y B conjuntos. Diremos que A es subconjunto de B lo
cual denotaremos por A Ì B, si todo elemento de A es también un
elemento de B.
Simbólicamente lo expresaremos como:
A ⊂ B ⇔ ( ∀ x є U) ( x є A ⇒ x є B )
Ejemplo:
A conjunto formado por todos los Barquisimetanos; B conjunto
formado por todos los Venezolanos
Entonces, tenemos que todo elemento de A es también
elemento de B. Esta relación se simboliza por A B.

7. TEOREMA:
La relación de inclusión entre conjuntos es
Reflexiva: A ⊂ A, para todo conjunto A.
Antisimétrica: A ⊂ B ^ B ⊂ A ⇒ A = B.
Transitiva: A ⊂ B ^ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

8. DEFINICION: Diremos que un conjunto A está incluido
propiamente en un conjunto B o que A es subconjunto propio de B
si y sólo si A ⊂ B y A ≠ B.
Ejemplo:
Si A = { a,d,f,} y B = { a, b,c,d,e,f,h }
Entonces A es subconjunto propio de B.

9. DEFINICION:
Dado un conjunto A, el conjunto vacío ΦA es el conjunto:
ΦA = { x є A / x ≠ x } el ΦA no tiene elementos, ya que todo x
є A satisface x = x. Además, por definición se tiene que vacío es
subconjunto de todo conjunto A.

10. Si A es un conjunto, se define el conjunto Potencia de A o
conjunto partes de A como (A) = { X / X ⊂ A}, es decir, es el
conjunto formado por todos los subconjuntos de A.
Ejemplo:
Si A = {x,y,z} entonces
(A) = {{Φ}, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z}, {x,y,z}}

11. CARACTERISTICAS:
La principal característica de este conjunto es que es un conjunto
de conjuntos, es decir, sus elementos son conjuntos.
Dado un conjunto A podemos conocer el número de elementos de
 (A), ya que si A tiene n elementos, entonces (A) tiene 2n
elementos.
El siguiente teorema nos dice que el conjunto partes conserva la
relación de inclusión:
Teorema A ⊂ B Û (A) ⊂ (B)

12. REPRESENTACION TABULAR DEL CONJUNTO PRODUCTO
Un conjunto AxB lo podemos representar por medio de tablas
como veremos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo :
Si A = {3,5,7} y B = {1,2,3} encuentre la representación
tabular de AXB
Solución
AxB = {(3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(5,2),(5,3),(7,1),(7,2),(7,3)}

13. Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son
iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9} son iguales.
El siguiente teorema nos permite determinar cuando dos conjuntos
son iguales.
Teorema: Sean A Y B dos conjuntos. Luego, A = B ⇔ A ⊂ B ^ B ⊂ A
Demostración: Sigue inmediatamente del axioma de extensión, la
definición de inclusión y de la siguiente equivalencia:
(x є A ⇔ x є B ) = ( x є A ⇒ x є B ) ^ ( x є B ⇒ x є A )

14. Sean A y B dos conjuntos. Se define la unión de A y B como el
conjunto:
A U B = { x є U / x є A ^ X єB}
Es decir, son todos los elementos que están en A o están en B.
Ejemplo:
Si A = {1,3,5,6,7,8} y B = {0,1,-14,5,8,7,10} entonces,
A U B = {0,1,3,5,6,7,8,10,-14}

15. Sean A y B dos conjuntos, luego se cumplen las siguientes
propiedades:
AUA=A
AUU=U
AUΦ=A
AUB=BUA

16. Ejemplo:
Sea A = {a,b,c,d,e}
B = {a,c,e,h,i,j,k}
La intersección de los conjuntos A y B es el siguiente conjunto
A I B ={a,c,e}

17. Sean A y B conjuntos, luego se cumple:
AIA=A,∀A
A I U = A , donde U es el conjunto universal
AIΦ=Φ
AIB=BIA

18. Si A y B son conjuntos, entonces se define la diferencia entre A y
B como el siguiente conjunto:
A - B = { x Î U / x Î A Ù x Ï B}. Es decir, son todos los elementos
que están en A pero que no están en B.
Ejemplo:
Consideremos los conjuntos
A = {1,2,3,5,7,9,11,12} y B = {0,1,2,-4,5,7,9,6,8,10,18}
Luego A-B = {3,11,12} mientras que B-A = {0,-4,6,8,10,18}

19. PROPIEDADES:
Sean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:
(A U B) - C = (A - C) U (B - C)
(A I B) - C = (A - C) I (B - C)
(A D B) - C = (A - C) D (B - C)
A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)
(B - C) I A = (B I A) - (C I A)

20. Sea B un conjunto. Se define el Complemento de B como el
conjunto C(B) = {x Î U/ x Ï B}.
Es decir, el complemento de B son los elementos que le faltan a
B para llegar a ser igual a U.
Así podemos decir x Î C(B) Û x Ï B.
Ejemplo:
Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y B = {1,3,5,7}
entonces C(B) = {2,4,6,8,9,10}

21. TEOREMA:
Sean A y B dos conjuntos luego:
A - B = AI C(B)
C(C(A)) = A
A U C(A) = U
A I C(A) = f
C(U) = f
C(f ) = U
A Ì B Û C(B) Ì C(A)

22. (Leyes de De Morgan para conjuntos)
C(A U B) = C(A) I C(B)
C(A I B) = C(A) U C(B)
Ejemplo:
Hallar los conjuntos A y B sabiendo que U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C(A)I
C(B) = {6} y A I B = {0,5,8}.
C(A) I C(B) = {6} por ley de De Morgan C(A)I C(B) = C(AUB)
C(AUB) = {6} Þ AUB = C(C(AUB)) = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}
Como A - B = = {7,9} entonces concluimos que:
A = {0,5,7,8,9} y B = {0,1,2,3,4,5,8}

23. Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de
proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las leyes del
álgebra de conjuntos que veremos a continuación:
Leyes de Idempotencia
AUA=A⋂ A=A
A
Leyes Asociativas
A U (B U C) = (A U B) U C
A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋂ C

24. Leyes Conmutativas
AUB=BUA
A⋂B=B⋂A
Leyes Distributivas
A U (B ⋂ C) = (A U B) ⋂ (A U C) ⋂ (B U C) = (A ⋂ B) U (A ⋂ C)
A
Leyes de Identidad
AUΦ=A⋂Φ=Φ
A

25. Leyes de Dominación
A U U = U U: conjunto universal
A⋂U=A
Leyes de Complementación
A U C(A) = U
A ⋂ C(A) = ΦΦΦ) = U
C (C(A)) = A
C (U) =
C
Leyes de De Morgan
C(A U B) = C(A) ⋂ C (B) ⋂ B) = C(A) U C (B)
C(A)

26. Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o
producto cartesiano de A y B como el conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ
B Ù b Î B}
Ejemplo:
Si A = {a,b} y B = {1,5,8}
entonces Ax B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)}
mientras que BxA = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)}
Nótese que Ax B ¹ Bx A

27. TEOREMA:
Si A,B,C son tres conjuntos entonces:
AxB=FÛA=FÚB=F
A x (B U C) = (A x B) U (A x C)
A x (B I C) = (A x B) I (A x C)
A x (B -C) = (A x B) - (A x C)

28. Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una
familia de conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I,
representa un conjunto.
Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de
conjuntos; y lo denotaremos {Ai}iÎ I.

29. Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se
dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si:
Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una
partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es
no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía
y la unión de todos los miembros da X.
Ejemplo:
Si X={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} ,
entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.

30. Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para
algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden
contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito.
Ejemplo:
El conjunto {a,b,c,d,e} es finito porque contiene 5 elementos, el
conjunto de los números reales, de los números naturales son
ejemplos de conjuntos infinitos.

31. DEFINICION:
Sea A un conjunto finito. Se dice que:
El cardinal de A es 0 si A =Φ.
El cardinal de A es n y lo denotaremos por #A = n si A tiene n
elementos.
Ejemplo:
Si A = {0,1,2,5,4,7} entonces #A = 6

32. TEOREMA:
Sean A y B dos conjuntos finitos, luego:
(B - A) = #B - #(A I B)
#(A U B) = #A + #B - #(A I B)
TEOREMA:
Si A; B y C son tres conjuntos finitos entonces
#(AUBUC) = #A + #B +#C - #(AI B) - #(AI C) - #(BI C) + #(AI BI C).
Estos teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana
cuando los conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos. A
continuación presentamos el siguiente problema que resolveremos con la teoría
de cardinalidad de conjuntos.