Este documento presenta los conceptos básicos de matemática, incluyendo: 1) Los axiomas de los números reales como un conjunto con operaciones de adición, multiplicación y relación de orden. 2) Las definiciones y teoremas fundamentales sobre desigualdades y intervalos. 3) Las formas generales de ecuaciones lineales y cuadráticas y los métodos para resolverlas como factorización y completando cuadrados.

1. Apuntes de Clase
Matemática Básica
Universidad Peruana Unión
Setiembre del 2020
Chullunquiani - Perú

2. ii

3. Índice general
Introducción V
1. El Sistema de los Números reales 1
1.1. Axiomas de Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Axiomas de adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Axiomas de la multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3. Axioma de distributividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Axiomas de la relación de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4. Ecuaciones Lineales y Cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.1. Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4.2. Ecuaciones cuadráticas de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5. Interpretación geométrica de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Desigualdad 5
2.1. De…niciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Teoremas fundamentales de las desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.1. Intervalos acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.2. Intervalos no acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4. Operaciones con intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. Inecuaciones 9
3.1. Inecuaciones Polinomiales de una Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2. Inecuaciones Fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.1. Ecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.2. Inecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Bibliografía 15

4. iv ÍNDICE GENERAL

5. Introducción
El siguiente trabajo en un resumen del curso de matemática dictado el 2019 en la escuela Profesional de
Ingeniería Civil. Debido a que este curso se imparte a los alumnos del primer semestre de esta carrera, no se
ofreció mucho de las numerosas aplicaciones ni se profundizaron algunos aspectos teóricos.
Como este trabajo está en su primera versión, probablemente existan algunos errores que serán corregidos
en las próximas oportunidades, todo con la …nalidad de otorgar una herramienta práctica de consulta.
Gran parte de la información fue extraida de Interned y algunos libros clásicos, a cuyos autores les estoy
agradecido y los nombraré formalmente cuando termine de mejorar estos apuntes.

6. vi INTRODUCCIÓN

7. Capítulo 1
El Sistema de los Números reales
Es un conjunto denotado por R, provisto de dos operaciones que son; la adición (+), la multiplicación (¢)
y una relación de orden (: menor que); que veri…ca los siguientes tres grupos de axiomas.
1.1. Axiomas de Cuerpo
1.1.1. Axiomas de adición
1 Clausura 8   2 R;  +  2 R
2 Conmutatividad  +  =  + ; 8   2 R
3 Asociatividad ( + ) +  =  + ( + ); 8    2 R
4 Elemento neutro 8  2 R : 9!0 2 R + 0 = 0 +  = 
5 Opuesto aditivo 8  2 R : 9!(¡) 2 R + (¡) = (¡) +  = 0
1.1.2. Axiomas de la multiplicación
1 Clausura 8   2 R;  ¢  2 R
2 Conmutatividad  ¢  =  ¢ ; 8   2 R
3 Asociatividad ( ¢ ) ¢  =  ¢ ( ¢ ); 8    2 R
4 Elemento neutro 8  2 R : 9!1 2 R ¢ 1 = 1 ¢  = 
5 Inverso multiplicativo 8  2 R : 9!¡1
2 R ¢ ¡1
=  ¢ ¡1
= 1
1.1.3. Axioma de distributividad
 Distributiva  ¢ ( + ) =  ¢  +  ¢ ; 8    2 R

8. 2 CAPÍTULO 1. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
1.2. Axiomas de la relación de orden
En el sistema de los números reales existe una relación : "menor que"; que establece una ordenación
entre los números reales y que veri…ca los siguientes axiomas.
01 Tricotomía Dados   2 R se veri…ca una y solo una de las relaciones
     =  ¶   
02 Transitividad Si    2 R :    ^    )   
03 Compatibilidad con la adición Si    ^  2 R )  +    + 
04 Compatibilidad con el producto Si    ^ 0   )  ¢    ¢ 
1.3. Axioma del supremo
Todo subconjunto no vacío de números reales acotado superiormente, tiene un SUPREMO.
Observación 1.1 De los axiomas de cuerpo podemos establecer que R contiene al conjunto de los números
naturales (N), al conjunto de los números enteros (Z) y al conjunto de los números racionales (Q)
Observación 1.2 No se puede establecer con los axiomas de cuerpo y de orden, en los números irracionales
como
p
2 ó
p
5 que son números reales, para esto, es importante e imprescindible recurrir al último axioma,
el axioma del supremo.
Ejemplo 1.1 Se de…ne en R. Halle el elemento neutro
I. ¢ =  +  ¡ 3
II.  =  ¡  ¡ 
III Ä =

5
IV. ¤ =  +  + 3
Ejemplo 1.2 Se de…ne en R, r =

4
, además ¡1
es el inverso de  respecto del r Calcule el inverso de
2 es decir 2¡1
 para la operación r
Ejemplo 1.3 Se de…ne en R, ¤ = +¡5, además ¡1
es el elemento inverso de  respecto del ¤ Calcule
el inverso de 1 para la operación ¤
Ejemplo 1.4 Se de…ne en R, § =  +  + 4, además ¡1
es el elemento inverso de  respecto del §
Calcule el inverso de 4 para la operación §
Ejemplo 1.5 Se de…ne ¤ =  +  + 3 determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposi-
ciones
1. La operación ¤ es conmutativa
2. La operación ¤ es asociativa
3. La operación ¤ tiene elemento neutro
4. El inverso de 5 es ¡8
Ejemplo 1.6 Se de…ne § =  +  + 7 determine el valor de verdad de cada una de las siguientes
proposiciones
1. su elemento neutro es cero
2. La operación § es conmutativa

9. 1.4. ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS 3
3. si §2 = 47; entonces  = 3
4. si §4 = 149; entonces  = 5
5. si 3§ = 25; entonces  = 1
Ejemplo 1.7 En R se de…ne la operación ¢ mediante ¢ =  +  + 5; 8  2 R; según esta operación.
Determine el producto del elemento neutro de la operación ¢ con el inverso de 3
Ejemplo 1.8 Se de…ne la operación £ en R mediante £ = 2 + 2 + 3; 8  2 R; según esta operación,
determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones.
1. (2£3)£5 = 39
2. La operación £ es conmutativa
3. La operación £ es asociativa.
4. La operación £ tiene elemento neutro.
Ejemplo 1.9 Se de…ne la operación binaria ~ en R ¡ f0g tal que ~ = 5 además ¡1
es el inverso de
 respecto de ~. Calcule
µ
1
625
¶¡1
1.4. Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
1.4.1. Ecuaciones Lineales
Estas ecuaciones tienen la forma general
 +  = 0
donde  y  son constantes, con  6= 0, donde  es la incógnita.
1.4.2. Ecuaciones cuadráticas de una variable
Llamada tambien ecuación de 2
grado, tiene la forma general
2
+  +  = 0
con  6= 0. La resolución puede realizarse por factorización ó completando cuadrados, ambos métodos basados
en los siguientes teoremas .
Teorema 1.1
 = 0 () [( = 0) o ( = 0)]
Teorema 1.2
2
= 2
() [( = ) o ( = ¡)]
Observación 1.3 Debido a la notación:  = § ´ [( = ) o ( = ¡)] este último teorema se puede expresar
como
2
= 2
()  = §
Ejemplo 1.10 Resolver la ecuación mediante factorización
1. 2
¡ 12 + 35 = 0
2. 32
+  ¡ 10 = 0
3. 22
+  ¡ 10 = 0

10. 4 CAPÍTULO 1. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
4. 2
¡ 5 ¡ 36 = 0
Observación 1.4 (fórmula general) Sea la ecuación cuadrática 2
+  +  = 0;  6= 0
(12) =
¡ §
p
2 ¡ 4
2
Ejemplo 1.11 Resuelva: 22
¡ 3 ¡ 1 = 0
Ejemplo 1.12 Resuelva la ecuación: 2
+ 8 ¡ 8 = 0
Método de completar cuadrado
Cuando no se puede factorizar en forma sencilla como en el ejemplo anterior entonces se debe tratar de
formar el cuadrado de un binomio.
En este método se trata de convertir la expresión cuadrática en la forma.
2
+  +  ´ ( § )2
§ 
Teniendo presente lo siguiente
2
+ 2 + 2
= ( + )2
2
¡ 2 + 2
= ( ¡ )2
Forma directa de completar cuadrados
I. 2
+  +  = ( +

2
)2
¡ (

2
)2
+ 
II. 2
¡  +  = ( ¡

2
)2
¡ (

2
)2
+ 
Ejemplo 1.13 Resuelva la ecuación: 2
+ 8 ¡ 8 = 0
Ejercicio 1.1 Mediante factorización, resuelva las siguientes ecuaciones
a) 2
¡ 11 + 28 = 0 d) 22
+  ¡ 1 = 0
b) 2
+ 4 ¡ 45 = 0 e) 32
¡ 6 + 3 = 0
c) 2
¡ 4 ¡ 21 = 0 f) 32
+  ¡ 10 = 0
Ejercicio 1.2 Resuelva en R Completando cuadrados
a) 2
¡ 6 + 6 = 0 e) 52
+ 4 ¡ 1 = 0
b) 2
+ 5 ¡ 5 = 0 f) 22
¡ 2 ¡ 1 = 0
c) 2
+ 2 ¡ 4 = 0 g) 162
+ 24 + 5 = 0
d) 22
¡ 6 ¡ 1 = 0 h) 33
+ 2
¡ 10 = 0
1.5. Interpretación geométrica de los números reales
La recta numérica: Los números reales se representan grá…camente por una recta, dicha recta la llamamos
recta real.

11. Capítulo 2
Desigualdad
Una desigualdad es una comparación que se establece entre dos números reales  y  , mediante una relación
de orden.
Como se de…ne la relación de orden en R, diremos que el campo real es un campo ordenado; para ello se
usarán los siguientes símbolos.
: mayor que
: menor que
9
=
;
estrictos
¸: mayor o igual que
·: menor o igual que
9
=
;
no estrictos
2.1. De…niciones
8    2 R
1.  es positivo ,   0
2.  es negativo ,   0
3.  ¸  ,    _  = 
4.      ,    ^   
5.    ,  ¡   0
6.    ,  ¡   0
2.2. Teoremas fundamentales de las desigualdades
8     2 R
Teorema 2.1
Si   ;  2 R ,  +    + 
Ejemplo 2.1
¤ ¡ 4  9 , ¡4 + 5  9 + 5
¡4  9 , 1  14

12. 6 CAPÍTULO 2. DESIGUALDAD
Teorema 2.2
Si    ^    )  +    + 
Ejemplo 2.2
¤ 4  8 ^ ¡ 3  5 ) 4 + (¡3)  8 + 5
) 1  13
Teorema 2.3
Si    ^   0 )  ¢    ¢ 
Ejemplo 2.3
¤ 3  7 ^ 4  0 ) 3 ¢ 4  7 ¢ 4
) 12  28
Teorema 2.4
Si    ) ¡  ¡
Ejemplo 2.4
¤ 5  9 ) ¡5  ¡9
Teorema 2.5
Si    ^   0 )  ¢    ¢ 
Ejemplo 2.5
¤ ¡ 3  4 ^ ¡ 5  0 ) ¡3 ¢ ¡5  4 ¢ ¡5
) 15  ¡20
Teorema 2.6
8 2 R : 2
¸ 0
Ejemplo 2.6
¤
³
¡
p
3
´2
¸ 0
) 3 ¸ 0
Teorema 2.7
0 ·    ^ 0 ·    )  ¢    ¢ 
Ejemplo 2.7
¤ 3  7 ^ 4  6 ) 3 ¢ 4  7 ¢ 6
) 12  42
Teorema 2.8
  0 , ((  0 ^   0) _ (  0 ^   0))
Ejemplo 2.8
¤ 3 ¢ 4  0 _ ¡3 ¢ ¡4  0

13. 2.3. INTERVALOS 7
  0 , ((  0 ^   0) _ (  0 ^   0))
Ejemplo 2.9
¤ ¡ 3 ¢ 4  0 _ 3 ¢ ¡4  0
Teorema 2.9
¡1
tiene el mismo signo de ; 8 6= 0
Ejemplo 2.10
¤ 3  0 ) 13  0
¤ ¡ 3  0 ) ¡13  0
Teorema 2.10
Si  y  tienen el mismo signo ^    )
1


1

(;  6= 0)
Ejemplo 2.11
¤ 5  8 )
1
5

1
8
Observación 2.1 De los dos últimos teoremas podemos establecer
Si       0 )
1


1


1

 0
Si 0       ) 0 
1


1


1

2.3. Intervalos
Es un subconjunto de los números reales, el cual está formado de in…nitos elementos que representan a todos
los reales comprendidos entre dos extremos, a los que denominaremos extremo inferior y extremo superior.
Existen dos tipos de intervalos.
2.3.1. Intervalos acotados
Se denominan así a los intervalos cuyos extremos son números reales (…nitos) y a su vez serán:
Intervalo abierto
h; i = f 2 R    g
Intervalo cerrado
[; ] = f 2 R ·  · g

14. 8 CAPÍTULO 2. DESIGUALDAD
Intervalo semiabierto
h; ] = f 2 R   · g
[; i = f 2 R ·   g
2.3.2. Intervalos no acotados
h; +1i = f 2 R  g
[; +1i = f 2 R ¸ g
h¡1; i = f 2 R  g
h¡1; ] = f 2 R · g
2.4. Operaciones con intervalos
Teniendo como conjunto universal a R y dos intervalos  y ; es posible realizar las siguientes operaciones
 [  = f 2 R 2  _  2 g
  = f 2 R 2  ^  2 g
 ¡  = f 2 R 2  ^  2 g

= 0
= f 2 R 2 g
Ejemplo 2.12 Sea  = h¡6; 6] y [¡3; 9i  Hallar  [ ;  
Ejemplo 2.13 Si  = h¡6; 3i [ [5; 9i y  = h¡9; ¡2i [ h3; 7i Hallar
I.  
II.  [ 
III.  ¡ 
IV.  ¡ 
Ejemplo 2.14 Sea  = h¡5; 4] y  = [¡2; 7i  Hallar  [ ;  
Ejemplo 2.15 Si  = h¡7; 2i [ [4; 9i y  = h¡8; ¡3i [ h2; 6i Hallar
I.  
II.  [ 
III.  ¡ 
IV.  ¡ 
Ejemplo 2.16 Si  = f 2 R ¡ 7 ·   3g ;  = f 2 R ¡ 3    5g y  = f 2 R ¸ 4g. Hallar
0
¡ ( [ )0

15. Capítulo 3
Inecuaciones
Una inecuación es una desigualdad condicional que se establece entre dos expresiones matemáticas, donde
hay por lo menos una variable, a la que denominaremos incógnita.
3.1. Inecuaciones Polinomiales de una Variable
Inecuación Lineal
Forma general
() =  +  ? 0
donde  6= 0; f g ½ R
Ejemplo 3.1 Resolver
a) 2 + 3   + 5 b) 2 ¡ 5   + 3  3 ¡ 7 c)
3 + 1
2
¡
2 ¡ 7
5
 
Problema 3.1 Resolver
a)
1
5
+  ·
 + 3
2
¡ 2
5

 + 2
2
b)

2
¡
1
3
·
1
2
+
2
3
c)
 + 5
3
+
 + 7
4
¸  + 3
d) 2 ¡
1
3

 ¡ 1
5
·

3
+ 1 e)
2 + 1
3
+
3 + 1
4
 2 f)
 ¡ 3
3
+
5
4


12
+
2 + 9
15
Inecuación Cuadrática
Forma general
() = 2
+  +  ? 0 (3.1)
donde  6= 0; f  g ½ R
Para resolver una inecuación cuadrática hay que analizar el discriminante 4 = 2
¡4 del polinomio ().
Luego se analiza 3 casos:
1er Caso; 4  0; (  0)
Aquí el polinomio () = 2
+  +  es factorizable sobre R. es decir
() = ( ¡ 1)( ¡ 2) ? 0
luego igualando a cero cada factor tenemos
 = 1 _  = 2
Luego para hallar su conjunto solución () aplicamos cualquiera de los dos métodos de resolución:
1. Criterio Grá…co de Signos

16. 10 CAPÍTULO 3. INECUACIONES
2. Método de Puntos Críticos
Ejemplo 3.2 Resolver 2
¡  ¡ 30  0
Ejemplo 3.3 Resolver 22
¡ 3 + 1 · 0
Ejemplo 3.4 Resolver 3(3 ¡ 2)  ( + 4)(4 ¡ )
Observación 3.1 El método de los puntos críticos; es más práctico. De ahora en adelante usaremos este
método.
2do Caso: 4 = 0; (  0)
Aquí el polinomio () = 2
+  +  es un trinomio cuadrado perfecto sobre R. es decir
() = ( ¡ 1)2
? 0
Sus raices son
1 = 2
2
+  +   0 ;  2 R ¡ f1g
2
+  +  ¸ 0 ;  2 R
2
+  +   0 ;  2 ;
2
+  +  · 0 ;  2 f1g
Ejemplo 3.5 Resolver () = 2
¡ 4 + 4 ? 0
Solución
() = 2
¡ 4 + 4 = ( ¡ 2)2
1. ( ¡ 2)2
()  = R ¡ f2g
2. ( ¡ 2)2
¸()  = R
3. ( ¡ 2)2
()  = ;
4. ( ¡ 2)2
·()  = f2g
Ejemplo 3.6 Resolver () = 42
+ 12 + 9 ? 0
3er Caso: 4  0; (  0)
Aquí el polinomio () = 2
+  +  resulta ser un trinomio positivo;
()  0; 8 2 R ()   0 ^ 4  0
Ejemplo 3.7 () = 22
¡ 3 + 4
Su coe…ciente principal es 2  0 ^ 4 = ¡23  0 luego, () = 22
¡ 3 + 4 es siempre positivo, para
cada  2 R
Veamos esto, completando cuadrados al polinomio 22
¡ 3 + 4 tenemos
() = ( ¡
3
4
)2
| {z }
+
23
16|{z}
 0
¸ 0  0
Como se puede observar () = 22
¡ 3 + 4 es siempre positivo, para cada  2 R
Luego ¯
¯
¯
¯
¯
¯
22
¡ 3 + 4  0
22
¡ 3 + 4 ¸ 0
9
=
;
 2 R
¯
¯
¯
¯
¯
¯
22
¡ 3 + 4  0
22
¡ 3 + 4 · 0
9
=
;
 2 ;
Ejemplo 3.8 Resolver
a) 52
¡ 2 + 3 ¸ 0 b) 2
¡  + 7  0

17. 3.1. INECUACIONES POLINOMIALES DE UNA VARIABLE 11
Método del Criterio Grá…co de Signos
Ejemplo 3.9 Resolver 32
¡ 5 + 2 · 0
Ejemplo 3.10 Resolver ( ¡ 2)( ¡ 5)  0
Método de los Puntos Críticos
Ejemplo 3.11 Resolver (2 + 1)( + 3)( ¡ 2)  0
A continuación presentamos teoremas que nos van a ayudar a resolver inecuaciones cuadráticas
() = 2
+  +  ? 0;  6= 0
de discriminante 4  0
Teorema 3.1 Si  ¸ 0 y  ¸ 0 entonces, 2
 2
()   
Teorema 3.2 Si  2 R+
0  entonces 2
  () ( 
p
) _ (  ¡
p
)
Teorema 3.3 Si  2 R+
0  entonces 2
  () (¡
p
   
p
)
Inecuación Polinomial de Grado Superior
forma general
() = 0
+ 1¡1
+ 2¡2
+  + ¡1 +  ? 0
donde 0 6= 0; f 1  g ½ R;  ¸ 3
Ejemplo 3.12 Resolver 3
¡ 62
+ 11 ¡ 6 ¸ 0
Ejemplo 3.13 Resolver ¡3
+ 2
+ 22 ¡ 40 ¸ 0
Ejemplo 3.14 Resolver 25
¡ 4
¡ 103
+ 52
+ 8 ¡ 4  0
Teorema 3.4 8   2 R, y considere  2 N
( ¡ )2+1
¸ 0 () ( ¡ ) ¸ 0
( ¡ )2+1
· 0 () ( ¡ ) · 0
( ¡ )
2
¸ 0 8  2 N ^ 8  2 R
Ejemplo 3.15 (3 ¡ 1)5
(2
¡ 16)( ¡ 4)( + 1)10
 0
Ejemplo 3.16 Resolver ( ¡ 5)16
( + 7)5
( + 2)7
( ¡ 3)4
( ¡ 1) · 0
Ejemplo 3.17 Resolver (2 ¡ 1)15
( + 4)6
( ¡ 3)3
( + 5)19
 0
Ejemplo 3.18 Resolver (3 ¡ 1)17
( + 2)5
( ¡ 1)4
(2
+  + 1) · 0
Ejercicio 3.1 Desigualdades e intervalos
1. Dados los conjuntos  = f 2 RÁ ¡ 3    2g ;  = f 2 RÁ0 ·   6g halle ( [ ) ¡ ( ) 
2. Dados los conjuntos  = f 2 RÁ ¡ 8 ·   5g ;  = f 2 RÁ  ¡8g halle ( ¡ )
3. Dados los intervalos  = [¡4; 2i   = h¡2 ; +1i  = h¡2 : 5i halle ( [ ) ¡ 
4. Dados los conjuntos  = f 2 RÁ ¡ 3    20g ;  = f 2 RÁ ¸ 0g halle ( )0
5. Dados los intervalos  = h0; 12i   = h7; 16]  = [16; +1i halle ( [ ) 
6. Si  2 h¡2; 5]  halle la variación de (2 + 1)

18. 12 CAPÍTULO 3. INECUACIONES
7. (2 ¡ 1) 2 [¡5; 4i  entonces, ¿a qué intervalo pertenece (3 ¡ 5)?
8. Si

2
2 h¡1; 4i  ¿a qué intervalo pertenece (7 ¡ 5)?
Ejercicio 3.2 Inecuaciones Lineales
1.

2
¡
1
3
·
1
2
+
2
3
2. 2 ¡
1
3

 ¡ 1
5
·

3
+ 1
3.
 ¡ 3
3
+
5
4


12
+
2 + 9
15
4.
 + 5
3
+
 + 7
4
¸  + 3
5.
2 + 1
3
+
3 + 1
4
 2
6.  + 2   + 2;   1
7. Dados los conjuntos  = f 2 RÁ ¡ 7 · ¡2 + 1  3g ;  = f 2 RÁ2 ¡ 3    2g ; halle  
8. Calcule la suma de los elementos del conjunto  = f 2 NÁ7 · 2 ¡ 1  19g
Ejercicio 3.3 Inecuaciones Cuadráticas
1. 102
¡  ¡ 21 · 0 4. 62
+ 7 + 2  0 7.  ¡ 32
 0
2. 302
¡   1 5. (2 ¡ 7)(3 ¡ 2) · 0 8. 3
¡ 7 + 6 · 0
3. 72
¡ 15 ¸ 18 6. 2 ¡  ¡ 62
 0
Ejercicio 3.4 Trinomio Positivo
1. Determine si el polinomio () = 42
¡ 4 + 2, siempre es positivo.
Ejercicio 3.5 Ineacuaciones Polinómicas de grado Superior
1. ( ¡ 1)( ¡ 3)( ¡ 5)  0 5. (42
¡ 4 + 2)( + 5)( ¡ 1)  0 9. (2
+ 1)(2
¡ 9)  0
2. ( ¡ 4)( + 1)( ¡ 3)  0 6. ( + 1)3
( ¡ 2)2
(2
+ 5) ¸ 0 10. (4
¡ 1)(2
¡ 25)( ¡ 3) ¸ 0
3. ( + 2)( ¡ 2)( ¡ 10) · 0 7. (1 ¡ )(1 + )( ¡ 4)2
· 0 11. ( + 2)( ¡ 1)2
( ¡ 5)4
¸ 0
4. ( ¡ 6)( + 5)(2 ¡ )( ¡ 8) ¸ 0 8. ( + 10)(2
¡ 1)( ¡ 10)  0 12. ( ¡ 3)( ¡ 4)3
( + 1)2
 0
3.2. Inecuaciones Fraccionarias
Son aquellas inecuaciones que se reducen a la siguiente forma general
() =
()
()
? 0
Donde () y () son polinomios no nulos de coe…cientes reales
Ejemplo 3.19 Resolver
a) 2 ¸
( ¡ 3)
( + 4)
b)
( ¡ 2)
( + 4)


( ¡ 2)
Ejemplo 3.20 Resolver
a)
( ¡ 5)
(2 +  ¡ 2)( + 3)( ¡ 5)
· 0 b)
( + 2)5
( ¡ 3)
( ¡ 1)
 0

19. 3.3. VALOR ABSOLUTO 13
Ejemplo 3.21 Resolver
( ¡ 5)3
( + 3)4
( ¡ 2)7
(2 +  ¡ 1)( + 1)2
¸ 0
Ejercicio 3.6 Resolver
a)
2
¡ 3 + 2
2 ¡ 6 + 5
b)

2
·
3
 ¡ 5
c)
4
3 + 2
¡

 + 4
·
3
5
Ejercicio 3.7 TAREA (Investigar las ecuaciones e inecuaciones irracionales y presentar con 10 ejemplares)
3.3. Valor Absoluto
El valor absoluto de un número , se de…ne como aquel número real no negativo que se denota por jj 
donde
jj =
½
; si  ¸ 0
-; si   0
Propiedades del valor absoluto
1. 8 2 R
a)
jj ¸ 0
jj = 0 ,  = 0
b) jj2
= 2
c) jj = (
p
)
2
d) jj = j¡j
2. 8  2 R
a) jj = jj jj b)
¯
¯
¯
¯


¯
¯
¯
¯ =
jj
jj
c) jj = jj , 2
= 2
d) j + j · jj + jj
3.3.1. Ecuaciones con valor absoluto
Para poder resolver ecuaciones con valor absoluto podemos guiarnos de la de…nición de valor absoluto o
del siguiente teorema
jj =  ,  ¸ 0 ^ ( =  _  = ¡)
jj = jj , ( =  _  = ¡)
Ejemplo 3.22 Simpli…car la expresión
j6 + 4j + 2 j2 ¡ 3j
12
Si  2 h2; 3]
Ejemplo 3.23 Resolver
a) jj = 5 b) j3 + 2j = 5 c) j2 ¡ 1j = j3 ¡ 5j d)
p
( ¡ 2)2 + j3 ¡ 6j = 8
Ejemplo 3.24 Resolver
a) j5 ¡ 7j = 11 ¡  b) j5 ¡ 1j = j + 12j c) 10( ¡ 2)2
+ 13 j ¡ 2j = 3
Cuando se presenta diversos valores absolutos, podemos aplicar el método del seccionamiento, así
Ejemplo 3.25 Resuelva j ¡ 2j + j + 2j + j ¡ 5j = 13
Ejemplo 3.26 Resolver
p
2 ¡ 1
jj
=
1
2

20. 14 CAPÍTULO 3. INECUACIONES
3.3.2. Inecuaciones con valor absoluto
Sean   2 R; entonces
a) jj ·  , ( ¸ 0 ^ ¡  ·  · )
b) jj   , (  0 ^ ¡     )
c) jj ¸  , ( ¸  _  · ¡)
d) jj   , (   _   ¡)
Ejemplo 3.27 Resolver
a) jj  5 b) jj  7 c) j + 3j · 9 d) j ¡ 2j ¸ 5
Ejemplo 3.28 Resolver: 4 j + 2j  2 + 10
Ejemplo 3.29 Resolver
¯
¯
¯
¯
 + 3
6 ¡ 2
¯
¯
¯
¯ ¸
1
2
Ejemplo 3.30 Resolver j4 ¡ j + j2 ¡ 5j  7 ¡ 
Sean   2 R
a) jj · jj , ( + )( ¡ ) · 0
b) jj  jj , ( + )( ¡ )  0
c) jj ¸ jj , ( + )( ¡ ) ¸ 0
Ejemplo 3.31 Resolver
¯
¯
¯
¯
 ¡ 1
 ¡ 4
¯
¯
¯
¯ ¸ 2

21. Bibliografía
[1] Aquí la primera bibliografía..