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49
3
3.1 PREDICADOS
3.2 CONJUNTO DE VERDAD
3.3 PREDICADOS COMPUESTOS
3.4 CUANTIFICADORES
3.5 NEGACIÓN
3.6 OTRAS CONSIDERACIONES
3.7 PREDICADOS DE DOS VARIABLES
3.8 RAZONAMIENTOS
En nuestro lenguaje común mucha veces hemos utilizados frases como "Todos los días
tenemos clase", "Algunos días llueve", ...
Estos enunciados pueden formar estructuras lógicas de una nueva forma. Por tanto
merecen nuestro estudio.
Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos
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OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina predicados de una y más variables.
• Conozca la notación para predicado de una y más variables y la notación para el conjunto de verdad.
• Obtenga conjuntos de verdad de predicados compuestos
• Conozca la notación de los cuantificadores universal y existencial.
• Aplique leyes lógicas para negar predicados.
• Comprenda e interprete traducciones con cuantificadores en diagramas de Venn.
• Infiera directamente una conclusión válida para un razonamiento, dadas las hipótesis, empleando diagramas de Venn o círculos de
Euler.
• Justifique la validez de un razonamiento empleando diagramas de Venn.
3.1 PREDICADOS
Sea Reun conjunto referencial y sea )(xp una
expresión que contiene “ x ”. Entonces )(xp es
un PREDICADO si al reemplazar a “ x ” por
un elemento cualquiera de Re, se convierte
en proposición.
Informalmente se podría decir que un predicado es enunciado
abierto
Ejemplo 1
)(xp : “ x es mayor a tres” o simplemente “ 3>x ” (una desigualdad)
Suponga que { }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re = , entonces para el caso de que 2=x tenemos
)2(p : “ 2 es mayor a 3”, que es una PROPOSICIÓN FALSA.. Pero, para el caso de que 5=x
tenemos )5(p : “ 5 es mayor a 3 ”, en cambio es una PROPOSICIÓN VERDADERA.
Podemos tener muchas otras proposiciones para otros x .
Ejemplo 2
:)(xq “ 312 =−x ” (una ecuación)
Suponga que { }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re = , entonces para el caso de que 2=x tenemos
:)2(q “ 31)2(2 =− ” que es una PROPOSICIÓN VERDADERA. Pero, para el caso de que
5=x tenemos )5(q : “ 31)5(2 =− ”, en cambio es una PROPOSICIÓN FALSA.
Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos
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3.2 CONJUNTO DE VERDAD
Sea Re el conjunto referencial de un predicado
)(xp . Entonces el CONJUNTO DE VERDAD de
)(xp , denotado como )(xAp , está constituido
por los elementos de Reque satisfacen a )(xp .
Es decir, por los elementos de Reque
convierten a )(xp en una PROPOSICIÓN
VERDADERA.
Ejemplos
Para los dos ejemplos anteriores, sus conjuntos de verdad serían:
1. { }10,9,8,7,6,5,4)( =xAp (todos los elementos del referencial que son mayores a 3)
2. { }2)( =xAq (todos los elementos del referencial que al multiplicarlos por 2 y luego restarles 1 ,de como
resultado 3)
3.3 PREDICADOS COMPUESTOS
Si conectamos predicados haciendo uso de operadores lógicos
obtenemos predicados más extensos.
Ejemplo
Suponga que { }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re = y que se tienen los predicados
:)(xp “ x es divisible para dos” y :)(xq “ x es mayor a tres”
Por consiguiente sus conjuntos de verdad son:
{ }10,8,6,4,2)( =xAp y { }10,9,8,7,6,5,4)( =xAq
Ahora formemos los siguientes predicados:
1. :)(xp¬ “ x no es divisible para dos” , entonces { }9,7,5,3,1)( =¬ xpA Note que es igual
a )(xpAC
.
Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos
52
2. )()( xqxp ∧ : “ x es divisible para dos y mayor a tres”, entonces ( ) { }10,8,6,4)()( =∧ xqxpA . Note
que es igual a )()( xAqxAp ∩ .
3. :)()( xqxp ∨ “ x es divisible para dos o mayor a tres” entonces
( ) { }10,9,8,7,6,5,4,2)()( =∨ xqxpA que es igual a )()( xAqxAp ∪ .
4. :)()( xqxp → “Si x es divisible para dos, entonces es mayor a tres”, entonces
( ) ( ) { }10,9,8,7,6,5,4,3,1)()()()()()( =∪=∨¬=→ xAqxpAxqxpAxqxpA C
.
Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos
53
3.4 CUANTIFICADORES
Tenemos dos tipos de cuantificadores: el universal y el existencial
3.4.1 CUANTIFICADOR UNIVERSAL
Este cuantificador se presenta cuando utilizamos el término
TODOS, queriendo dar a entender para todos y cada uno.
El SÍMBOLO LÓGICO empleado para este cuantificador es ∀
3.4.2 CUANTIFICADOR EXISTENCIAL
En cambio, este cuantificador se presenta cuando utilizamos el
término ALGÚN, queriendo dar a entender que existe por lo menos uno.
El SÍMBOLO LÓGICO empleado para este cuantificador es ∃
Se observa que al cuantificar a un predicado, éste se convierte en
proposición.
Ejemplo
Considerando { }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re = y el predicado :)(xp “ x es divisible para 2 ”
podemos decir:
:)(xxp∀ “Todos los números son divisibles para dos”, que es una proposición FALSA.
:)(xxp∃ “ Existe un número divisible para dos”, que es una proposición VERDADERA.
OBSERVACIONES:
1. Si se cumple que 1)( ≡∀ xxp significa que Re)( =xAp
2. En cambio, si sólo se cumple que 1)( ≡∃ xxp significa que
Φ≠)(xAp
Ejercicio resuelto 1
Sea el conjunto { }5,4,3,2,1Re = . Entonces es VERDAD que:
a) ( )13 =+∃ xx b) ( )53 <+∀ xx c) ( )1>∀ xx
d) ( )53 <+∃ xx e) ( )0342
=+−∀ xxx
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SOLUCIÓN: Analizando cada opción tenemos:
a) Falsa b) Falsa c) Falsa
d) Verdadera (RESPUESTA) e) Falsa
Ejercicio resuelto 2
Sea el conjunto referencial { }50,45,40,35,30,25,20,15,10Re = y los predicados:
)(xp : “ x es múltiplo de 10 ”
:)(xq “ x es divisible para 3”
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA?
a) { }45))()(( =∧ xqxpA c) { }35,30,25,20,15,10))()([ =¬∨ xqxpA
b) { }50,45,30,20,10))()(( =∨ xqpxA d) { }45,35,30,25,15))()(( =→ xqxpA
e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son falsas.
SOLUCIÓN:
Los conjuntos de verdad de los predicados dados son: { }50,40,30,20,10)( =xAp y { }45,30,15)( =xAq
entonces analizando cada opción:
a) FALSA, porque { }30))()(( =∧ xqxpA
b) FALSA, porque { }50,40,30,20,15,10))()(( =∨ xqpxA
c) FALSA, porque { }50,40,35,30,25,20,10)()())()([ =∪=¬∨ xqAxApxqxpA C
d) VERDADERA (RESPUESTA), porque
{ }45,35,30,25,15)()())()(())()(( =∪=∨¬=→ xAqxpAxqxpAxqxpA C
Ejercicios Propuestos 3.1
1. Sea el conjunto { }5,4,3,2,1Re = . ¿Cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA?
a) ( )( )103Re =+∈∃ xx c) ( )( )103Re <+∈∀ xx
b) ( )( )034Re 2
=+−∈∀ xxx d) ( )( )73Re <+∈∀ xx
e) Elija esta opción si ninguna proposición es verdadera.
2. Sean los predicados xxp :)( come rábanos y xxq :)( es vegetariano, donde el
{ }humanosseresLos=Re . Traduzca al lenguaje común las siguientes proposiciones:
a) [ ])()( xqxpx →∀ b) [ ])()( xqxpx ∧∃ c) [ ])()( xpxqx →¬∃
d) [ ])()( xqxpx ¬∨∀ e) [ ])()( xpxqx ¬∨¬∀
3. Sea { },4,3,2,1Re = y los predicados:
xxp :)( es un número impar
xxq :)( es un número par
Entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) ( ) )()()( xAqxqxpA ⊆→ c) )()( xqAxAp C
=
b) )()(Re xAqxAp ∪= d) φ=− )()( xApxAq e) ( ) )()()( xpAxqxpA C
=→
4. Dado el conjunto referencial { }10,9,8,7,5,3,2Re = y los predicados
xxp :)( es múltiplo de 2 y mayor a 3
xxq :)( es múltiplo de 5
Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos
55
Entonces el conjunto [ ])()( xpxqA ¬→ es:
a) { }9,8,7,5,3,2 b) φ c) { }10,8,5
d) { }9,7,5,3,2 e) { }10,8,2
5. Dado el conjunto referencial { }3,2,1,1,2,3Re −−−= y los predicados
0)2(:)( =+xxxp y 0:)( 2
>xxq
Entonces, es VERDAD que:
a) [ ])()(1 xqxpA ∧∈− b) [ ] φ=∨ )()( xqxpA c) [ ] Re)()( =→ xqxpA
d) [ ] { }1,2,3)( −−−=¬ xqA e) [ ] φ=→ )()( xqxqA
6. Sea { },4,3,2,1Re = y los predicados xxp :)( es un número impar
xxq :)( es un número par
entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.
a) ( ) ( )( ) ( )xAqxqxpA ⊆→ d) )()( xqAxAp C
=
b) φ=− )()( xApxAq e) )()(Re xAqxAp ∪=
c) ( ) ( )( ) )(xpAxqxpA C
=→
7. Dado el conjunto referencial { }17,13,11,7,5,3,2Re = y los predicados
2
2
)2(
:)( =
+x
xp y xxq :)( es un número primo
Entonces el conjunto [ ])()( xqxpA ∨ es:
a) Re b) 2 c) )(Re xAp− d) )(xAp e) )(Re xAq−
Ahora puntualicemos lo siguiente:
Suponga que Re∈a entonces la expresión ( ) )(apxxp →∀ (Si todos los
elementos del referencial satisfacen un predicado dado, entonces necesariamente “ a ” satisface el predicado) es VERDADERA.
También es VERDADERA la expresión )()( xxpap ∃→ (Si “ a ” satisface el predicado,
entonces se podrá decir que necesariamente existirá un elemento del referencial que satisface el predicado)
En cambio la expresión )()( xxpap ∀→ es FALSA ¿por qué?
(RESPUESTA: Si “ a ” satisface el predicado dado, esto no quiere decir que todos los elementos del referencial van a satisfacer el
predicado)
Veamos el valor de verdad para )(xxp∀ y )(xxp∃ considerando
diferentes referenciales:
1. Si Φ=Re entonces 1)( ≡∀ xxp (debido a que Re)( =Φ=xAp ) y 0)( ≡∃ xxp ,
por lo tanto )()( xxpxxp ∀→∃ es VERDADERO. (¿POR QUÉ?).
En cambio el reciproco )()( xxpxxp ∃→∀ es FALSO. (¿POR QUÉ?)
Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos
56
2. Si { }a=Re (formado por un sólo elemento) y además 1)( ≡ap , entonces aquí
1)( ≡∀ xxp y 1)( ≡∃ xxp , por lo tanto )()( xxpxxp ∀→∃ es verdadera
como también )()( xxpxxp ∃→∀ es verdadera. Entonces se puede
concluir que )()( xxpxxp ∃≡∀
3. Si Φ≠Re (formado por más de un elemento, que sería lo que se presenta generalmente), aquí sólo
tenemos como verdadera a la expresión )()( xxpxxp ∃→∀ . (¿POR
QUÉ?)
Ejercicio resuelto
Identifique la proposición FALSA
a) Si { }a=Re , entonces )()( xpxxpx ∃≡∀
b) ( ) ( )Axx ∈→φ∈
c) φ=− AA
d) Si φ=Re , entonces 1)( ≡∀ xpx
e) ( )A⊆φ¬
SOLUCIÓN: Analizando cada opción, encontramos que sólo la opción “e” es FALSA ¿por qué?
Ejercicio Propuesto 3.2
1. Dado el conjunto referencial { }5,4,3,2,1Re = y los predicados:
xxxp 21:)( =+ y 11:)( +=+ xxxq
Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) )()( xxqxxp ∀→∃ d) Re)()( =∪¬ xAqxpA
b) [ ] [ ])()()()( xqxpxxxqxxp ∧∀→∀∨∀ e) )()( xAqxAp ⊆
c) [ ] [ ])()()()( xqxpxxxqxxp ∨∀→∀∨∀
3.5 NEGACIÓN
De acuerdo a De Morgan:
1. No es verdad que todos los elementos del referencial satisfagan
un predicado, es equivalente a que, existe por lo menos un
elemento del referencial que no satisface el predicado, lo cual
simbólicamente sería:
( ) ( ))()( xpxxxp ¬∃≡∀¬
2. No es verdad que exista un elemento del referencial que satisfaga
el predicado, significa que, todos los elementos del referencial no
satisfacen el predicado, es decir:
( ) ( ))()( xpxxxp ¬∀≡∃¬
Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos
57
Ejemplo
La NEGACIÓN de la proposición “ Para todo número natural 82, >+nn ” , es :
a) Para algunos 82, <+nn d) Ningún n cumple con n+2 > 8
b) Existe un n tal que 82 ≤+n e) Existe un n tal que 82 >+n
c) Existe un n tal que 82 ≥+n
SOLUCIÓN:
La traducción formal de la negación de la proposición es: ( )( )82 >+∀¬ nn y aplicando lo anterior tenemos:
( )[ ] [ ]8282 ≤+∃≡>+¬∃ nnnn (RESPUESTA la “b”)
3.6 OTRAS CONSIDERACIONES
Observe que ( ) )()()()( xxqxxpxqxpx ∀∧∀≡∧∀
y también que ( ) )()()()( xxqxxpxqxpx ∃∨∃≡∨∃
Además las implicaciones siguientes son VERDADERAS:
[ ]
[ ] )()()()(
)()()()(
xxqxxpxqxpx
xqxpxxxqxxp
∃∧∃→∧∃
∨∀→∀∨∀
en cambio sus recíprocos serían FALSOS. ¿por qué?
Lo anterior puede aclarecerse ahora.
Ejemplo
Considere { },...5,4,3,2,1Re = y los predicados :)(xp “ x es par” y :)(xq “ x es impar”
entonces: 1.
[ ] 1)()(
0)(
0)(
≡∨∀
≡∀
≡∀
xqxpx
xxq
xxp
2.
[ ] 0)()(
1)(
1)(
≡∧∃
≡∃
≡∃
xqxpx
xxq
xxp
por lo tanto:
[ ]  
100
)()()()( xqxpxxxqxxp ∨∀→∀∨∀ es VERDADERA,
y también [ ]   
110
)()()()( xxqxxpxqxpx ∃∧∃→∧∃ es VERDADERA,
(¿qué pasa con sus recíprocos?)
Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos
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Ejercicios Propuestos 3.3
1. Determine ¿cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA?
a) [ ] [ ]Re)(1)( =¬≡≡∀ xApxpx
b) [ ] [ ] [ ])()()()( xqxxpxxqxpx ∀∨∀→∨∀
c) [ ] [ ] [ ])()()()( xqxxpxxqxpx ∃∧∃→∧∃
d) [ ] [ ] [ ])()()()( xqxxpxxqxpx ∀∨¬∀→→∃
e) [ ])()( xpxxpx ∃¬≡¬∃
2. Sea Re un conjunto referencial y )(xp un predicado, determine la proposición CORRECTA:
a) Si { }a=Re y 1)( ≡ap ; 0)(1)( ≡∀∧≡∃ xpxxpx
b) Si { }0Re = y 1)0( ≡p ; [ ])()( xpxxpx ∀¬≡∃
c) Si φ=Re , [ ] )()( xpxxpx ¬∃≡∀¬
d) Si φ=Re , 1)( ≡∃ xpx
e) Elija esta opción si ninguna de las anteriores es correcta.
3. Escriba la NEGACIÓN de cada una de las siguientes proposiciones:
a) Todos los matemáticos son vegetarianos
b) Todas las mujeres son inteligentes
c) Ningún entero par es divisible para 5
d) Algunos rectángulos son cuadrados
e) Algunas personas no comen carne
3.7 PREDICADOS DE DOS VARIABLES
Sean xRe y yRe dos conjuntos referenciales, no
necesariamente diferentes, y sea ),( yxp una
expresión que contiene “ x ” y “ y ”. Entonces
),( yxp es un PREDICADO DOS VARIABLES si al
reemplazar a “ x ” por un elemento cualquiera de
xRe y a “ y ” por un elemento cualquiera de yRe ,
se convierte en proposición.
Ejemplo
Sea :),( yxp “ x es una letra ubicada en el abecedario antes que y ”
Considere { }zevax ,,,Re = y { }ztpiby ,,,,Re = . Entonces es VERDAD, que:
a) 0),( ≡∀∃ yxypx
Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos
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b) 1),( ≡∀∀ yxypx
c) 0),( ≡∃∀ yxxpy
d) [ ] 1),( ≡¬∃∃ yxpyx
e) ( ) 1),( ≡∃∃¬ yxypx
SOLUCIÓN: Analicemos una a una las proposiciones dadas:
a) No es verdad, porque 1),( ≡∀∃ yxypx
b) No es verdad, porque 0),( ≡∀∀ yxypx
c) No es verdad, porque 1),( ≡∃∀ yxxpy
d) [ ]),( yxpyx ¬∃∃ es equivalente a ( ) ( ) 10),( ≡¬≡∀∀¬ yxypx . Si es VERDAD
e) No es verdad, porque ( ) 0),( ≡∃∃¬ yxypx debido que 1),( ≡∃∃ yxypx y ( ) 01 ≡¬
PREGUNTA: ¿CÓMO SE DEFINIRÍAN PREDICADOS DE TRES VARIABLES, DE CUATROS
VARIABLES,…?
Ejercicios Propuestos 3.4
1. Dado el predicado de dos variables :),( yxp “ x es divisible para y ” con los siguientes referenciales
{ },3,2,1ReRe == yx , TRADUZCA al lenguaje común las siguientes proposiciones:
a) ),( yxpyx∀∃ c) ),( yxpyx∃∀ e) ),( yxpx∀
b) ),( yxpyx∃∃ d) ),( yxpyx∀∀ f) ),( yxpx∃
2. Dado ,":"),( yxyxp > donde { }2,1,0Re =x y el { }0,1,3,1Re −−=y . Entonces es VERDAD que:
a) ),( yxpxy∃∀ c) ),( yxpyx∀∃ e) )(xpyx ¬∀∃
b) ),( yxpxy∀∀ d) ),( yxpxy∀∃
3. Sean los conjuntos { }3,2,1Re =x , { }dcbay ,,,Re = y los predicados " x es el número
que indica el lugar que ocupa y en el abecedario" . Entonces es VERDAD que:
a) [ ]),( yxpyx∀∀ b) [ ]),( yxpyx∀∃ c) [ ]),( yxpyx∃∀
d) [ ]),( yxpxy∃∀ e) [ ]),( yxpxy∀∃
4. La NEGACIÓN lógica del siguiente enunciado: [ ])()( yqxpxy ¬→∃∃ es:
a) [ ])()( yqxpyx ¬→¬∃∃ b) [ ])()( yqxpxy ∧∀∀ c) [ ])()( yqxpxy ∧¬∀∀
d) [ ])()( xpyqxy →¬∀∀ e) [ ])()( xpyqxy ∨¬∀∀
Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos
60
3.8 RAZONAMIENTOS
Las definiciones de ciertas interpretaciones, van a ser útiles para
analizar razonamientos formados por predicados cuantificados.
“Todo p es q ” puede ser interpretado de dos maneras:
“Algunos p son q ” puede ser interpretado sólo de una manera:
“Ningún p es q ” puede ser interpretado sólo de una manera:
“Algunos p no son q ” puede ser interpretado de tres maneras:
Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos
61
Recordemos que para que un razonamiento sea válido la conclusión
debe ser lógicamente inferida de las premisas, es decir teniendo premisas
verdaderas la conclusión debe también ser verdadera para todo referencial.
Ejemplo 1
Determine la validez del siguiente razonamiento:
:1P Todos los hombres son mortales
:2P Daniel es hombre
Por lo tanto
:C Daniel es mortal
SOLUCIÓN: primero hagamos el diagrama de Venn correspondiente, asumiendo premisas verdaderas
Ejemplo 2
Considere las siguientes premisas de un razonamiento:
:1P Todos los números racionales son reales.
:2P Ningún número imaginario es real.
:3P Algunos números complejos son reales.
Entonces una conclusión para que el razonamiento sea válido es:
a) Ningún número racional es complejo
b) Ningún número complejo es real
c) Existen números complejos que son imaginarios
d) Ningún número imaginario es racional
e) Marque esta casilla si ninguna conclusión es lógicamente inferida de las premisas.
SOLUCIÓN: El diagrama de Venn para este caso sería:
Observe que la conclusión de que Daniel
sea mortal se cumple por tanto el
razonamiento es VÁLIDO
Observe que puede haber más de una
interpretación para los complejos.
Analizando cada conclusión dada,
deducimos que la “d” es la única que
valida al razonamiento, por que sería
verdadera siempre, cumpliendo para
todas las consideraciones.
Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos
62
Ejercicios Propuestos 3.5
1. Comprobar si el siguiente razonamiento es VÁLIDO.
:1H Todos los números enteros son racionales.
:2H Algunos números reales son enteros.
:C Algunos números reales son racionales.
a) Válido b) Falacia
2. Considere las siguientes hipótesis:
:1H Todas las funciones son relaciones.
:2H No toda relación es función.
:3H Algunas funciones son inyectivas.
Entonces una conclusión que se puede inferir lógicamente a partir de ellas es:
a) Algunas relaciones no son inyectivas.
b) Ninguna función es relación.
c) Algunas funciones no son inyectivas.
d) Algunas relaciones son inyectivas.
e) Elija esta opción si ninguna conclusión es lógicamente inferida de las premisas.
3. Considerando las siguientes premisas
:1H Todo niño es travieso.
:2H Ningún travieso es ordenado.
:3H Algunos adultos son traviesos.
Una CONCLUSIÓN VÁLIDA es:
a) Algunos niños son traviesos.
b) Todo travieso es adulto.
c) Todo travieso es ordenado.
d) Algunos adultos son niños.
e) Algunos adultos no son ordenados.
4. Considerando el siguiente razonamiento:
“ Todos los que estudian Lógica estudian Matemáticas. Todos los que estudian Ingeniería Comercial
estudian Lógica. Gilda estudia Ingeniería Comercial”
Entonces es VERDAD que:
a) Gilda no estudia Matemáticas. c) Gilda no estudia Lógica.
b) Gilda estudia Matemáticas pero no Lógica. d) Gilda estudia Matemáticas.
e) Gilda o estudia Matemáticas o estudia Lógica.
5. Dadas las siguientes hipótesis: :1H Todo profesional tiene título.
:2H Ningún irresponsable tiene título.
:3H Algunos profesores tienen título.
Entonces una CONCLUSIÓN que se puede inferir de las premisas anteriores es:
a) Ningún profesional es profesor.
b) Ningún profesor tiene título.
c) Existen profesores que son irresponsables.
d) Ningún irresponsable es profesional.
e) Elija esta opción Todas conclusiones anteriores no se infieren de las premisas.
6. En el planeta Kriptón se cumple que:
:1H Todo Krip es Kron.
:2H Algunos Krip son Krap.
:3H Todo Krap es Kron.
:4H Ningún Kron es Krun.
:5H Fernanda es Krip.
Entonces una conclusión no válida es:
a) Ningún Krap es krun c) Ningún Krip es Krun
b) Fernanda es Kron d) Fernanda no es Krap e) Fernanda no es Krun
Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos
63
7. Dadas las siguientes premisa:
:1P Todos los economistas son racionales.
:2P Algunos ingenieros no son economistas.
Entonces una conclusión que hace válido el razonamiento es:
a) Algunos ingenieros son racionales.
b) Todos los economistas no son ingenieros.
c) No todos los ingenieros son economistas.
d) No todos los ingenieros son racionales.
e) Algunos ingenieros no son racionales.
8. Uno de los siguientes razonamientos NO ES VÁLIDO. Identifíquelo.
a) Ningún abogado es rico. Tú eres rico. Por lo tanto tú no eres abogado.
b) Todos los hombres inteligentes son trabajadores. Todos los trabajadores son responsables. Por lo tanto,
los hombres inteligentes son responsables.
c) Ningún profesor es ignorante. Todas las personas ignorantes son inútiles. Por consiguiente ningún profesor
es inútil.
d) Si deseas la paz, prepárate para la guerra. Tú no te preparas para la guerra. Por lo tanto, no deseas la paz.
e) Elija esta opción si todos los razonamientos son válidos.
9. Dadas las siguientes premisas:
:1P Todos los contribuyentes son honestos.
:2P Todos los honestos son especiales.
Entonces una CONCLUSIÓN LÓGICAMENTE INFERIDA de las premisas es:
a) Algunos contribuyentes no son especiales.
b) Todas las personas especiales son contribuyentes.
c) Todos los contribuyentes son especiales.
d) Ningún contribuyente es especial.
e) Elija esta opción si ninguna de las conclusiones anteriores se infieren de las premisas dadas.
Misceláneos
1. Sean las premisas:
:1P Todos los artistas son bohemios.
:2P Algunos ingenieros son artistas.
:3P Ningún científico es bohemio.
Entonces una CONCLUSIÓN para un razonamiento válido, es:
a) Ningún ingeniero es bohemio.
b) Algunos científicos son ingenieros
c) Ningún artista es científico
d) Todos los ingenieros son bohemios.
e) Ningún científico es ingeniero.
2. Sea φ≠Re y los predicados )(xp y )(xq . Identifique, ¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
a) [ ] [ ])()()()( xqxpxxqxpx ¬∧∀≡⇒¬∃
b) )()( xpxxpx ¬∃≡¬∀
c) [ ] ( ) ( ))()()()( xqxxpxxqxpx ∀∨∀≡∨∀
d) [ ] ( ) ( ))()()()( xqxxpxxqxpx ∃∨∃≡∨∃
e) [ ] ( ) ( ))()()()( xqxxpxxqxpx ∀∧∀≡∧∀
3. Sean los conjuntos { }1,0,1−=A y { }1,0=B . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA,
identifíquela:
a) [ ]3, =+∈∃∈∀ yxByAx
b) [ ]NyxByAx ∈+∈∃∈∀ ,
c) [ ]yyxByAx =+∈∀∈∃ ,
d) [ ]xyByAx 2, =∈∃∈∃
e) [ ]yxByAx =∈∃∈∀ ,
Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos
64
4. Sean las premisas para un razonamiento:
:1P Todos los estudiantes son jóvenes.
:2P Ningún joven es pesimista.
:3P Manuel es estudiante.
Entonces una CONCLUSIÓN que lo hace válido, es:
a) Manuel es pesimista.
b) Algunos estudiantes son pesimistas.
c) Todos los estudiantes son optimistas.
d) No todos los jóvenes son pesimistas.
e) Manuel no es joven.
5. Si ( ) 0Re =N , entonces es VERDAD que:
a) [ ] ( ) ( ))()()()( xxqxxpxqxpx ∀∧∀≡∧∀
b) )()( xxpxxp ¬∀≡¬∃
c) [ ] ( ) ( ))()()()( xxqxxpxqxpx ∃∧∃≡∨∃
d) ( )Re)( =¬ xAp para cualquier predicado )(xp
e) Φ≠Re
6. Sea el conjunto { }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re = y los predicados
imparnúmerounesxxp :)( .
2:)( demúltiploesxxq .
Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
a) ( ) { }5,3)()( =∧ xqxpA
b) ( ) { }10,9,8,6,4)()( =¬∧ xqxpA
c) ( ) { }10,9,8,6,4,2,1)()( =→ xqxpA
d) φ=− )()( xAqxpAC
e) Re)( =xqAC
7. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.
a) Si φ=Re , entonces [ ] 1)()( ≡∀→∃ xxpxxp
b) ( )[ ] ( ))()()()( xqxpxxqxpx ∧∃≡∨∀¬
c) Si { }a=Re y 1)( ≡ap , entonces [ ])()( xxpxxp ∀≡∃
d) ( ) ( ))()()()( xqxpxxqxpx ¬→∃≡∧¬∃
e) ( )Re)()( =≡∀ xApxxp
8. Dadas las siguientes hipótesis:
:1H Todos los bancos nacionales están en quiebra.
:2H Ningún banco internacional está en quiebra.
:3H Algunos negocios tienen su dinero depositado en bancos internacionales.
Entonces una CONCLUSIÓN que se puede inferir para un razonamiento válido es:
a) Ningún banco nacional está en quiebra.
b) Ningún negocio está en quiebra.
c) Todos los negocios están en quiebra.
d) Algunos negocios tienen su dinero depositado en bancos nacionales.
e) Algunos negocios no tienen su dinero depositado en bancos nacionales.
9. Sean las hipótesis:
:1H Ningún futbolista juega bien.
:2H Algunos profesionales son futbolistas.
:3H Algunos que juegan bien son profesionales.
:4H Robert es profesional.
Entonces una conclusión que hace VÁLIDO un razonamiento es:
a) Robert juega bien.
b) Todos los profesionales que juegan bien no son futbolistas.
Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos
65
c) Algunos que juegan bien son futbolistas.
d) Robert no es futbolista.
e) Todos los que no son futbolistas ni juegan bien ni son profesionales.
10. La NEGACIÓN de la proposición:
NyNx ∈∃∈∀ , (si “ yx + ” es par entonces “ x ” es par o “ y ” es impar)
es:
a) NyNx ∈∃∉∀ , (si “ yx + ” no es par entonces “ x ” no es par o “ y ” es impar)
b) NyNx ∈∃∈∀ , (si “ yx + ” no es par entonces “ x ” no es par y “ y ” es impar)
c) NyNx ∈∀∈∃ , (“ yx + ” no es par o “ x ” no es par o “ y ” es impar)
d) NyNx ∈∀∈∃ , (si “ x ” no es par y “ y ” no es impar entonces “ yx + ” no es par)
e) NyNx ∈∀∈∃ , ( “ yx + ” es par y “ x ” no es par y “ y ” no es impar)
11. Sean el conjunto { }11,10,9,8,7,5,4,2Re = y los predicados:
( ) xxp : es un número primo.
( ) xxq : es un número impar.
Entonces, es FALSO que:
a) ( ) { }10,9,8,4=¬ xpA
b) ( ) ( )[ ] { }11,7,5=∧ xqxpA
c) ( ) ( )[ ] { }11,10,9,8,7,5,4=⇒ xqxpA
d) ( ) ( )[ ] { }11,9,7,5,2=∨ xqxpA
e) ( ) ( )[ ] { }8,7,5,4,2=⇒ xpxqA
12. Una de las siguientes expresiones es FALSA, identifíquela:
a) La negación de ),( yxpyx ∀∃ es ),( yxpyx ¬∃∀ .
b) )()( xpxpx ∃=∀ cuando { } ( ) 1Re ≡∧= apa .
c) [ ] ),,(),,( zyxpzyxzyxpzyx ¬∃∀∀=∀∃∃¬ .
d) ( )[ ] ( ))()()()( yqxpxyyqxpxy ¬∧¬∀∀=∧∃∃¬ .
e) ( )[ ] ( )),(),(),(),( yxqyxpyxyxqyxpyx ¬∧∀∀=⇒∃∃¬
13. Dadas las siguientes premisas:
:1P Todos los analistas son economistas.
:2P Todos los economistas son profesionales.
Entonces, una CONCLUSIÓN lógicamente inferida de las premisas es:
a) Algunos analistas no son profesionales.
b) Todos los profesionales son analistas.
c) Todos los analistas son profesionales.
d) Ningún analista es profesional.
e) Elija esta opción si ninguna de las conclusiones anteriores se infiere de las premisas dadas.
14. Considere las siguientes premisas para un razonamiento:
:1H Todos los que estudian Lógica, estudian Matemáticas.
:2H Nadie que estudie Matemáticas es irracional.
:3H Juan es matemático.
Entonces una CONCLUSIÓN VÁLIDA es:
a) Juan es irracional
b) Todo el que estudia Lógica es irracional.
c) Algunos lógicos son irracionales.
d) Juan no es irracional.
e) Todo matemático es irracional.
15. Sea { },4,3,2,1Re = y los predicados xxp :)( es un número impar
xxq :)( es un número par
entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.
a) ( ) ( )( ) ( )xAqxqxpA ⊆→
b) )()( xqAxAp C
=
c)
a) φ=− )()( xApxAq
Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos
66
d) )()(Re xAqxAp ∪=
e) ( ) ( )( ) )(xpAxqxpA C
=→
16. Dadas las siguientes hipótesis: :1H Todo profesional tiene título.
:2H Ningún irresponsable tiene título.
:3H Algunos profesores tienen título.
Entonces una CONCLUSIÓN que se puede inferir de las premisas anteriores es:
a) Ningún profesional es profesor.
b) Ningún profesor tiene título.
c) Existen profesores que son irresponsables.
d) Ningún irresponsable es profesional.
e) Elija esta opción si las todas conclusiones anteriores no se infieren de las premisas.
17. Indique la alternativa incorrecta:
a) La Negación de )103(Re; =+∈∀ xx es )103(Re; ≠+∈∃ xx
b) La Negación de )103(Re; <+∈∃ xx es )103(Re; ≥+∈∀ xx
c) La Negación de )103(Re; ≤+∈∀ xx es )103(Re; >+∈∃ xx
d) La Negación de )103(Re; <+∈∀ xx es )103(Re; ≥+∈∃ xx
e) La Negación de )()( yyqxxp ∃∧∀ es )()( yqyxxp ¬∀∨∃

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Cap 3 logica y conjuntos

  • 1. Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos 49 3 3.1 PREDICADOS 3.2 CONJUNTO DE VERDAD 3.3 PREDICADOS COMPUESTOS 3.4 CUANTIFICADORES 3.5 NEGACIÓN 3.6 OTRAS CONSIDERACIONES 3.7 PREDICADOS DE DOS VARIABLES 3.8 RAZONAMIENTOS En nuestro lenguaje común mucha veces hemos utilizados frases como "Todos los días tenemos clase", "Algunos días llueve", ... Estos enunciados pueden formar estructuras lógicas de una nueva forma. Por tanto merecen nuestro estudio.
  • 2. Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos 50 OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Defina predicados de una y más variables. • Conozca la notación para predicado de una y más variables y la notación para el conjunto de verdad. • Obtenga conjuntos de verdad de predicados compuestos • Conozca la notación de los cuantificadores universal y existencial. • Aplique leyes lógicas para negar predicados. • Comprenda e interprete traducciones con cuantificadores en diagramas de Venn. • Infiera directamente una conclusión válida para un razonamiento, dadas las hipótesis, empleando diagramas de Venn o círculos de Euler. • Justifique la validez de un razonamiento empleando diagramas de Venn. 3.1 PREDICADOS Sea Reun conjunto referencial y sea )(xp una expresión que contiene “ x ”. Entonces )(xp es un PREDICADO si al reemplazar a “ x ” por un elemento cualquiera de Re, se convierte en proposición. Informalmente se podría decir que un predicado es enunciado abierto Ejemplo 1 )(xp : “ x es mayor a tres” o simplemente “ 3>x ” (una desigualdad) Suponga que { }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re = , entonces para el caso de que 2=x tenemos )2(p : “ 2 es mayor a 3”, que es una PROPOSICIÓN FALSA.. Pero, para el caso de que 5=x tenemos )5(p : “ 5 es mayor a 3 ”, en cambio es una PROPOSICIÓN VERDADERA. Podemos tener muchas otras proposiciones para otros x . Ejemplo 2 :)(xq “ 312 =−x ” (una ecuación) Suponga que { }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re = , entonces para el caso de que 2=x tenemos :)2(q “ 31)2(2 =− ” que es una PROPOSICIÓN VERDADERA. Pero, para el caso de que 5=x tenemos )5(q : “ 31)5(2 =− ”, en cambio es una PROPOSICIÓN FALSA.
  • 3. Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos 51 3.2 CONJUNTO DE VERDAD Sea Re el conjunto referencial de un predicado )(xp . Entonces el CONJUNTO DE VERDAD de )(xp , denotado como )(xAp , está constituido por los elementos de Reque satisfacen a )(xp . Es decir, por los elementos de Reque convierten a )(xp en una PROPOSICIÓN VERDADERA. Ejemplos Para los dos ejemplos anteriores, sus conjuntos de verdad serían: 1. { }10,9,8,7,6,5,4)( =xAp (todos los elementos del referencial que son mayores a 3) 2. { }2)( =xAq (todos los elementos del referencial que al multiplicarlos por 2 y luego restarles 1 ,de como resultado 3) 3.3 PREDICADOS COMPUESTOS Si conectamos predicados haciendo uso de operadores lógicos obtenemos predicados más extensos. Ejemplo Suponga que { }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re = y que se tienen los predicados :)(xp “ x es divisible para dos” y :)(xq “ x es mayor a tres” Por consiguiente sus conjuntos de verdad son: { }10,8,6,4,2)( =xAp y { }10,9,8,7,6,5,4)( =xAq Ahora formemos los siguientes predicados: 1. :)(xp¬ “ x no es divisible para dos” , entonces { }9,7,5,3,1)( =¬ xpA Note que es igual a )(xpAC .
  • 4. Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos 52 2. )()( xqxp ∧ : “ x es divisible para dos y mayor a tres”, entonces ( ) { }10,8,6,4)()( =∧ xqxpA . Note que es igual a )()( xAqxAp ∩ . 3. :)()( xqxp ∨ “ x es divisible para dos o mayor a tres” entonces ( ) { }10,9,8,7,6,5,4,2)()( =∨ xqxpA que es igual a )()( xAqxAp ∪ . 4. :)()( xqxp → “Si x es divisible para dos, entonces es mayor a tres”, entonces ( ) ( ) { }10,9,8,7,6,5,4,3,1)()()()()()( =∪=∨¬=→ xAqxpAxqxpAxqxpA C .
  • 5. Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos 53 3.4 CUANTIFICADORES Tenemos dos tipos de cuantificadores: el universal y el existencial 3.4.1 CUANTIFICADOR UNIVERSAL Este cuantificador se presenta cuando utilizamos el término TODOS, queriendo dar a entender para todos y cada uno. El SÍMBOLO LÓGICO empleado para este cuantificador es ∀ 3.4.2 CUANTIFICADOR EXISTENCIAL En cambio, este cuantificador se presenta cuando utilizamos el término ALGÚN, queriendo dar a entender que existe por lo menos uno. El SÍMBOLO LÓGICO empleado para este cuantificador es ∃ Se observa que al cuantificar a un predicado, éste se convierte en proposición. Ejemplo Considerando { }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re = y el predicado :)(xp “ x es divisible para 2 ” podemos decir: :)(xxp∀ “Todos los números son divisibles para dos”, que es una proposición FALSA. :)(xxp∃ “ Existe un número divisible para dos”, que es una proposición VERDADERA. OBSERVACIONES: 1. Si se cumple que 1)( ≡∀ xxp significa que Re)( =xAp 2. En cambio, si sólo se cumple que 1)( ≡∃ xxp significa que Φ≠)(xAp Ejercicio resuelto 1 Sea el conjunto { }5,4,3,2,1Re = . Entonces es VERDAD que: a) ( )13 =+∃ xx b) ( )53 <+∀ xx c) ( )1>∀ xx d) ( )53 <+∃ xx e) ( )0342 =+−∀ xxx
  • 6. Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos 54 SOLUCIÓN: Analizando cada opción tenemos: a) Falsa b) Falsa c) Falsa d) Verdadera (RESPUESTA) e) Falsa Ejercicio resuelto 2 Sea el conjunto referencial { }50,45,40,35,30,25,20,15,10Re = y los predicados: )(xp : “ x es múltiplo de 10 ” :)(xq “ x es divisible para 3” ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA? a) { }45))()(( =∧ xqxpA c) { }35,30,25,20,15,10))()([ =¬∨ xqxpA b) { }50,45,30,20,10))()(( =∨ xqpxA d) { }45,35,30,25,15))()(( =→ xqxpA e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son falsas. SOLUCIÓN: Los conjuntos de verdad de los predicados dados son: { }50,40,30,20,10)( =xAp y { }45,30,15)( =xAq entonces analizando cada opción: a) FALSA, porque { }30))()(( =∧ xqxpA b) FALSA, porque { }50,40,30,20,15,10))()(( =∨ xqpxA c) FALSA, porque { }50,40,35,30,25,20,10)()())()([ =∪=¬∨ xqAxApxqxpA C d) VERDADERA (RESPUESTA), porque { }45,35,30,25,15)()())()(())()(( =∪=∨¬=→ xAqxpAxqxpAxqxpA C Ejercicios Propuestos 3.1 1. Sea el conjunto { }5,4,3,2,1Re = . ¿Cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA? a) ( )( )103Re =+∈∃ xx c) ( )( )103Re <+∈∀ xx b) ( )( )034Re 2 =+−∈∀ xxx d) ( )( )73Re <+∈∀ xx e) Elija esta opción si ninguna proposición es verdadera. 2. Sean los predicados xxp :)( come rábanos y xxq :)( es vegetariano, donde el { }humanosseresLos=Re . Traduzca al lenguaje común las siguientes proposiciones: a) [ ])()( xqxpx →∀ b) [ ])()( xqxpx ∧∃ c) [ ])()( xpxqx →¬∃ d) [ ])()( xqxpx ¬∨∀ e) [ ])()( xpxqx ¬∨¬∀ 3. Sea { },4,3,2,1Re = y los predicados: xxp :)( es un número impar xxq :)( es un número par Entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a) ( ) )()()( xAqxqxpA ⊆→ c) )()( xqAxAp C = b) )()(Re xAqxAp ∪= d) φ=− )()( xApxAq e) ( ) )()()( xpAxqxpA C =→ 4. Dado el conjunto referencial { }10,9,8,7,5,3,2Re = y los predicados xxp :)( es múltiplo de 2 y mayor a 3 xxq :)( es múltiplo de 5
  • 7. Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos 55 Entonces el conjunto [ ])()( xpxqA ¬→ es: a) { }9,8,7,5,3,2 b) φ c) { }10,8,5 d) { }9,7,5,3,2 e) { }10,8,2 5. Dado el conjunto referencial { }3,2,1,1,2,3Re −−−= y los predicados 0)2(:)( =+xxxp y 0:)( 2 >xxq Entonces, es VERDAD que: a) [ ])()(1 xqxpA ∧∈− b) [ ] φ=∨ )()( xqxpA c) [ ] Re)()( =→ xqxpA d) [ ] { }1,2,3)( −−−=¬ xqA e) [ ] φ=→ )()( xqxqA 6. Sea { },4,3,2,1Re = y los predicados xxp :)( es un número impar xxq :)( es un número par entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela. a) ( ) ( )( ) ( )xAqxqxpA ⊆→ d) )()( xqAxAp C = b) φ=− )()( xApxAq e) )()(Re xAqxAp ∪= c) ( ) ( )( ) )(xpAxqxpA C =→ 7. Dado el conjunto referencial { }17,13,11,7,5,3,2Re = y los predicados 2 2 )2( :)( = +x xp y xxq :)( es un número primo Entonces el conjunto [ ])()( xqxpA ∨ es: a) Re b) 2 c) )(Re xAp− d) )(xAp e) )(Re xAq− Ahora puntualicemos lo siguiente: Suponga que Re∈a entonces la expresión ( ) )(apxxp →∀ (Si todos los elementos del referencial satisfacen un predicado dado, entonces necesariamente “ a ” satisface el predicado) es VERDADERA. También es VERDADERA la expresión )()( xxpap ∃→ (Si “ a ” satisface el predicado, entonces se podrá decir que necesariamente existirá un elemento del referencial que satisface el predicado) En cambio la expresión )()( xxpap ∀→ es FALSA ¿por qué? (RESPUESTA: Si “ a ” satisface el predicado dado, esto no quiere decir que todos los elementos del referencial van a satisfacer el predicado) Veamos el valor de verdad para )(xxp∀ y )(xxp∃ considerando diferentes referenciales: 1. Si Φ=Re entonces 1)( ≡∀ xxp (debido a que Re)( =Φ=xAp ) y 0)( ≡∃ xxp , por lo tanto )()( xxpxxp ∀→∃ es VERDADERO. (¿POR QUÉ?). En cambio el reciproco )()( xxpxxp ∃→∀ es FALSO. (¿POR QUÉ?)
  • 8. Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos 56 2. Si { }a=Re (formado por un sólo elemento) y además 1)( ≡ap , entonces aquí 1)( ≡∀ xxp y 1)( ≡∃ xxp , por lo tanto )()( xxpxxp ∀→∃ es verdadera como también )()( xxpxxp ∃→∀ es verdadera. Entonces se puede concluir que )()( xxpxxp ∃≡∀ 3. Si Φ≠Re (formado por más de un elemento, que sería lo que se presenta generalmente), aquí sólo tenemos como verdadera a la expresión )()( xxpxxp ∃→∀ . (¿POR QUÉ?) Ejercicio resuelto Identifique la proposición FALSA a) Si { }a=Re , entonces )()( xpxxpx ∃≡∀ b) ( ) ( )Axx ∈→φ∈ c) φ=− AA d) Si φ=Re , entonces 1)( ≡∀ xpx e) ( )A⊆φ¬ SOLUCIÓN: Analizando cada opción, encontramos que sólo la opción “e” es FALSA ¿por qué? Ejercicio Propuesto 3.2 1. Dado el conjunto referencial { }5,4,3,2,1Re = y los predicados: xxxp 21:)( =+ y 11:)( +=+ xxxq Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: a) )()( xxqxxp ∀→∃ d) Re)()( =∪¬ xAqxpA b) [ ] [ ])()()()( xqxpxxxqxxp ∧∀→∀∨∀ e) )()( xAqxAp ⊆ c) [ ] [ ])()()()( xqxpxxxqxxp ∨∀→∀∨∀ 3.5 NEGACIÓN De acuerdo a De Morgan: 1. No es verdad que todos los elementos del referencial satisfagan un predicado, es equivalente a que, existe por lo menos un elemento del referencial que no satisface el predicado, lo cual simbólicamente sería: ( ) ( ))()( xpxxxp ¬∃≡∀¬ 2. No es verdad que exista un elemento del referencial que satisfaga el predicado, significa que, todos los elementos del referencial no satisfacen el predicado, es decir: ( ) ( ))()( xpxxxp ¬∀≡∃¬
  • 9. Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos 57 Ejemplo La NEGACIÓN de la proposición “ Para todo número natural 82, >+nn ” , es : a) Para algunos 82, <+nn d) Ningún n cumple con n+2 > 8 b) Existe un n tal que 82 ≤+n e) Existe un n tal que 82 >+n c) Existe un n tal que 82 ≥+n SOLUCIÓN: La traducción formal de la negación de la proposición es: ( )( )82 >+∀¬ nn y aplicando lo anterior tenemos: ( )[ ] [ ]8282 ≤+∃≡>+¬∃ nnnn (RESPUESTA la “b”) 3.6 OTRAS CONSIDERACIONES Observe que ( ) )()()()( xxqxxpxqxpx ∀∧∀≡∧∀ y también que ( ) )()()()( xxqxxpxqxpx ∃∨∃≡∨∃ Además las implicaciones siguientes son VERDADERAS: [ ] [ ] )()()()( )()()()( xxqxxpxqxpx xqxpxxxqxxp ∃∧∃→∧∃ ∨∀→∀∨∀ en cambio sus recíprocos serían FALSOS. ¿por qué? Lo anterior puede aclarecerse ahora. Ejemplo Considere { },...5,4,3,2,1Re = y los predicados :)(xp “ x es par” y :)(xq “ x es impar” entonces: 1. [ ] 1)()( 0)( 0)( ≡∨∀ ≡∀ ≡∀ xqxpx xxq xxp 2. [ ] 0)()( 1)( 1)( ≡∧∃ ≡∃ ≡∃ xqxpx xxq xxp por lo tanto: [ ]   100 )()()()( xqxpxxxqxxp ∨∀→∀∨∀ es VERDADERA, y también [ ]    110 )()()()( xxqxxpxqxpx ∃∧∃→∧∃ es VERDADERA, (¿qué pasa con sus recíprocos?)
  • 10. Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos 58 Ejercicios Propuestos 3.3 1. Determine ¿cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA? a) [ ] [ ]Re)(1)( =¬≡≡∀ xApxpx b) [ ] [ ] [ ])()()()( xqxxpxxqxpx ∀∨∀→∨∀ c) [ ] [ ] [ ])()()()( xqxxpxxqxpx ∃∧∃→∧∃ d) [ ] [ ] [ ])()()()( xqxxpxxqxpx ∀∨¬∀→→∃ e) [ ])()( xpxxpx ∃¬≡¬∃ 2. Sea Re un conjunto referencial y )(xp un predicado, determine la proposición CORRECTA: a) Si { }a=Re y 1)( ≡ap ; 0)(1)( ≡∀∧≡∃ xpxxpx b) Si { }0Re = y 1)0( ≡p ; [ ])()( xpxxpx ∀¬≡∃ c) Si φ=Re , [ ] )()( xpxxpx ¬∃≡∀¬ d) Si φ=Re , 1)( ≡∃ xpx e) Elija esta opción si ninguna de las anteriores es correcta. 3. Escriba la NEGACIÓN de cada una de las siguientes proposiciones: a) Todos los matemáticos son vegetarianos b) Todas las mujeres son inteligentes c) Ningún entero par es divisible para 5 d) Algunos rectángulos son cuadrados e) Algunas personas no comen carne 3.7 PREDICADOS DE DOS VARIABLES Sean xRe y yRe dos conjuntos referenciales, no necesariamente diferentes, y sea ),( yxp una expresión que contiene “ x ” y “ y ”. Entonces ),( yxp es un PREDICADO DOS VARIABLES si al reemplazar a “ x ” por un elemento cualquiera de xRe y a “ y ” por un elemento cualquiera de yRe , se convierte en proposición. Ejemplo Sea :),( yxp “ x es una letra ubicada en el abecedario antes que y ” Considere { }zevax ,,,Re = y { }ztpiby ,,,,Re = . Entonces es VERDAD, que: a) 0),( ≡∀∃ yxypx
  • 11. Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos 59 b) 1),( ≡∀∀ yxypx c) 0),( ≡∃∀ yxxpy d) [ ] 1),( ≡¬∃∃ yxpyx e) ( ) 1),( ≡∃∃¬ yxypx SOLUCIÓN: Analicemos una a una las proposiciones dadas: a) No es verdad, porque 1),( ≡∀∃ yxypx b) No es verdad, porque 0),( ≡∀∀ yxypx c) No es verdad, porque 1),( ≡∃∀ yxxpy d) [ ]),( yxpyx ¬∃∃ es equivalente a ( ) ( ) 10),( ≡¬≡∀∀¬ yxypx . Si es VERDAD e) No es verdad, porque ( ) 0),( ≡∃∃¬ yxypx debido que 1),( ≡∃∃ yxypx y ( ) 01 ≡¬ PREGUNTA: ¿CÓMO SE DEFINIRÍAN PREDICADOS DE TRES VARIABLES, DE CUATROS VARIABLES,…? Ejercicios Propuestos 3.4 1. Dado el predicado de dos variables :),( yxp “ x es divisible para y ” con los siguientes referenciales { },3,2,1ReRe == yx , TRADUZCA al lenguaje común las siguientes proposiciones: a) ),( yxpyx∀∃ c) ),( yxpyx∃∀ e) ),( yxpx∀ b) ),( yxpyx∃∃ d) ),( yxpyx∀∀ f) ),( yxpx∃ 2. Dado ,":"),( yxyxp > donde { }2,1,0Re =x y el { }0,1,3,1Re −−=y . Entonces es VERDAD que: a) ),( yxpxy∃∀ c) ),( yxpyx∀∃ e) )(xpyx ¬∀∃ b) ),( yxpxy∀∀ d) ),( yxpxy∀∃ 3. Sean los conjuntos { }3,2,1Re =x , { }dcbay ,,,Re = y los predicados " x es el número que indica el lugar que ocupa y en el abecedario" . Entonces es VERDAD que: a) [ ]),( yxpyx∀∀ b) [ ]),( yxpyx∀∃ c) [ ]),( yxpyx∃∀ d) [ ]),( yxpxy∃∀ e) [ ]),( yxpxy∀∃ 4. La NEGACIÓN lógica del siguiente enunciado: [ ])()( yqxpxy ¬→∃∃ es: a) [ ])()( yqxpyx ¬→¬∃∃ b) [ ])()( yqxpxy ∧∀∀ c) [ ])()( yqxpxy ∧¬∀∀ d) [ ])()( xpyqxy →¬∀∀ e) [ ])()( xpyqxy ∨¬∀∀
  • 12. Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos 60 3.8 RAZONAMIENTOS Las definiciones de ciertas interpretaciones, van a ser útiles para analizar razonamientos formados por predicados cuantificados. “Todo p es q ” puede ser interpretado de dos maneras: “Algunos p son q ” puede ser interpretado sólo de una manera: “Ningún p es q ” puede ser interpretado sólo de una manera: “Algunos p no son q ” puede ser interpretado de tres maneras:
  • 13. Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos 61 Recordemos que para que un razonamiento sea válido la conclusión debe ser lógicamente inferida de las premisas, es decir teniendo premisas verdaderas la conclusión debe también ser verdadera para todo referencial. Ejemplo 1 Determine la validez del siguiente razonamiento: :1P Todos los hombres son mortales :2P Daniel es hombre Por lo tanto :C Daniel es mortal SOLUCIÓN: primero hagamos el diagrama de Venn correspondiente, asumiendo premisas verdaderas Ejemplo 2 Considere las siguientes premisas de un razonamiento: :1P Todos los números racionales son reales. :2P Ningún número imaginario es real. :3P Algunos números complejos son reales. Entonces una conclusión para que el razonamiento sea válido es: a) Ningún número racional es complejo b) Ningún número complejo es real c) Existen números complejos que son imaginarios d) Ningún número imaginario es racional e) Marque esta casilla si ninguna conclusión es lógicamente inferida de las premisas. SOLUCIÓN: El diagrama de Venn para este caso sería: Observe que la conclusión de que Daniel sea mortal se cumple por tanto el razonamiento es VÁLIDO Observe que puede haber más de una interpretación para los complejos. Analizando cada conclusión dada, deducimos que la “d” es la única que valida al razonamiento, por que sería verdadera siempre, cumpliendo para todas las consideraciones.
  • 14. Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos 62 Ejercicios Propuestos 3.5 1. Comprobar si el siguiente razonamiento es VÁLIDO. :1H Todos los números enteros son racionales. :2H Algunos números reales son enteros. :C Algunos números reales son racionales. a) Válido b) Falacia 2. Considere las siguientes hipótesis: :1H Todas las funciones son relaciones. :2H No toda relación es función. :3H Algunas funciones son inyectivas. Entonces una conclusión que se puede inferir lógicamente a partir de ellas es: a) Algunas relaciones no son inyectivas. b) Ninguna función es relación. c) Algunas funciones no son inyectivas. d) Algunas relaciones son inyectivas. e) Elija esta opción si ninguna conclusión es lógicamente inferida de las premisas. 3. Considerando las siguientes premisas :1H Todo niño es travieso. :2H Ningún travieso es ordenado. :3H Algunos adultos son traviesos. Una CONCLUSIÓN VÁLIDA es: a) Algunos niños son traviesos. b) Todo travieso es adulto. c) Todo travieso es ordenado. d) Algunos adultos son niños. e) Algunos adultos no son ordenados. 4. Considerando el siguiente razonamiento: “ Todos los que estudian Lógica estudian Matemáticas. Todos los que estudian Ingeniería Comercial estudian Lógica. Gilda estudia Ingeniería Comercial” Entonces es VERDAD que: a) Gilda no estudia Matemáticas. c) Gilda no estudia Lógica. b) Gilda estudia Matemáticas pero no Lógica. d) Gilda estudia Matemáticas. e) Gilda o estudia Matemáticas o estudia Lógica. 5. Dadas las siguientes hipótesis: :1H Todo profesional tiene título. :2H Ningún irresponsable tiene título. :3H Algunos profesores tienen título. Entonces una CONCLUSIÓN que se puede inferir de las premisas anteriores es: a) Ningún profesional es profesor. b) Ningún profesor tiene título. c) Existen profesores que son irresponsables. d) Ningún irresponsable es profesional. e) Elija esta opción Todas conclusiones anteriores no se infieren de las premisas. 6. En el planeta Kriptón se cumple que: :1H Todo Krip es Kron. :2H Algunos Krip son Krap. :3H Todo Krap es Kron. :4H Ningún Kron es Krun. :5H Fernanda es Krip. Entonces una conclusión no válida es: a) Ningún Krap es krun c) Ningún Krip es Krun b) Fernanda es Kron d) Fernanda no es Krap e) Fernanda no es Krun
  • 15. Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos 63 7. Dadas las siguientes premisa: :1P Todos los economistas son racionales. :2P Algunos ingenieros no son economistas. Entonces una conclusión que hace válido el razonamiento es: a) Algunos ingenieros son racionales. b) Todos los economistas no son ingenieros. c) No todos los ingenieros son economistas. d) No todos los ingenieros son racionales. e) Algunos ingenieros no son racionales. 8. Uno de los siguientes razonamientos NO ES VÁLIDO. Identifíquelo. a) Ningún abogado es rico. Tú eres rico. Por lo tanto tú no eres abogado. b) Todos los hombres inteligentes son trabajadores. Todos los trabajadores son responsables. Por lo tanto, los hombres inteligentes son responsables. c) Ningún profesor es ignorante. Todas las personas ignorantes son inútiles. Por consiguiente ningún profesor es inútil. d) Si deseas la paz, prepárate para la guerra. Tú no te preparas para la guerra. Por lo tanto, no deseas la paz. e) Elija esta opción si todos los razonamientos son válidos. 9. Dadas las siguientes premisas: :1P Todos los contribuyentes son honestos. :2P Todos los honestos son especiales. Entonces una CONCLUSIÓN LÓGICAMENTE INFERIDA de las premisas es: a) Algunos contribuyentes no son especiales. b) Todas las personas especiales son contribuyentes. c) Todos los contribuyentes son especiales. d) Ningún contribuyente es especial. e) Elija esta opción si ninguna de las conclusiones anteriores se infieren de las premisas dadas. Misceláneos 1. Sean las premisas: :1P Todos los artistas son bohemios. :2P Algunos ingenieros son artistas. :3P Ningún científico es bohemio. Entonces una CONCLUSIÓN para un razonamiento válido, es: a) Ningún ingeniero es bohemio. b) Algunos científicos son ingenieros c) Ningún artista es científico d) Todos los ingenieros son bohemios. e) Ningún científico es ingeniero. 2. Sea φ≠Re y los predicados )(xp y )(xq . Identifique, ¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA? a) [ ] [ ])()()()( xqxpxxqxpx ¬∧∀≡⇒¬∃ b) )()( xpxxpx ¬∃≡¬∀ c) [ ] ( ) ( ))()()()( xqxxpxxqxpx ∀∨∀≡∨∀ d) [ ] ( ) ( ))()()()( xqxxpxxqxpx ∃∨∃≡∨∃ e) [ ] ( ) ( ))()()()( xqxxpxxqxpx ∀∧∀≡∧∀ 3. Sean los conjuntos { }1,0,1−=A y { }1,0=B . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela: a) [ ]3, =+∈∃∈∀ yxByAx b) [ ]NyxByAx ∈+∈∃∈∀ , c) [ ]yyxByAx =+∈∀∈∃ , d) [ ]xyByAx 2, =∈∃∈∃ e) [ ]yxByAx =∈∃∈∀ ,
  • 16. Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos 64 4. Sean las premisas para un razonamiento: :1P Todos los estudiantes son jóvenes. :2P Ningún joven es pesimista. :3P Manuel es estudiante. Entonces una CONCLUSIÓN que lo hace válido, es: a) Manuel es pesimista. b) Algunos estudiantes son pesimistas. c) Todos los estudiantes son optimistas. d) No todos los jóvenes son pesimistas. e) Manuel no es joven. 5. Si ( ) 0Re =N , entonces es VERDAD que: a) [ ] ( ) ( ))()()()( xxqxxpxqxpx ∀∧∀≡∧∀ b) )()( xxpxxp ¬∀≡¬∃ c) [ ] ( ) ( ))()()()( xxqxxpxqxpx ∃∧∃≡∨∃ d) ( )Re)( =¬ xAp para cualquier predicado )(xp e) Φ≠Re 6. Sea el conjunto { }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re = y los predicados imparnúmerounesxxp :)( . 2:)( demúltiploesxxq . Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela. a) ( ) { }5,3)()( =∧ xqxpA b) ( ) { }10,9,8,6,4)()( =¬∧ xqxpA c) ( ) { }10,9,8,6,4,2,1)()( =→ xqxpA d) φ=− )()( xAqxpAC e) Re)( =xqAC 7. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela. a) Si φ=Re , entonces [ ] 1)()( ≡∀→∃ xxpxxp b) ( )[ ] ( ))()()()( xqxpxxqxpx ∧∃≡∨∀¬ c) Si { }a=Re y 1)( ≡ap , entonces [ ])()( xxpxxp ∀≡∃ d) ( ) ( ))()()()( xqxpxxqxpx ¬→∃≡∧¬∃ e) ( )Re)()( =≡∀ xApxxp 8. Dadas las siguientes hipótesis: :1H Todos los bancos nacionales están en quiebra. :2H Ningún banco internacional está en quiebra. :3H Algunos negocios tienen su dinero depositado en bancos internacionales. Entonces una CONCLUSIÓN que se puede inferir para un razonamiento válido es: a) Ningún banco nacional está en quiebra. b) Ningún negocio está en quiebra. c) Todos los negocios están en quiebra. d) Algunos negocios tienen su dinero depositado en bancos nacionales. e) Algunos negocios no tienen su dinero depositado en bancos nacionales. 9. Sean las hipótesis: :1H Ningún futbolista juega bien. :2H Algunos profesionales son futbolistas. :3H Algunos que juegan bien son profesionales. :4H Robert es profesional. Entonces una conclusión que hace VÁLIDO un razonamiento es: a) Robert juega bien. b) Todos los profesionales que juegan bien no son futbolistas.
  • 17. Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos 65 c) Algunos que juegan bien son futbolistas. d) Robert no es futbolista. e) Todos los que no son futbolistas ni juegan bien ni son profesionales. 10. La NEGACIÓN de la proposición: NyNx ∈∃∈∀ , (si “ yx + ” es par entonces “ x ” es par o “ y ” es impar) es: a) NyNx ∈∃∉∀ , (si “ yx + ” no es par entonces “ x ” no es par o “ y ” es impar) b) NyNx ∈∃∈∀ , (si “ yx + ” no es par entonces “ x ” no es par y “ y ” es impar) c) NyNx ∈∀∈∃ , (“ yx + ” no es par o “ x ” no es par o “ y ” es impar) d) NyNx ∈∀∈∃ , (si “ x ” no es par y “ y ” no es impar entonces “ yx + ” no es par) e) NyNx ∈∀∈∃ , ( “ yx + ” es par y “ x ” no es par y “ y ” no es impar) 11. Sean el conjunto { }11,10,9,8,7,5,4,2Re = y los predicados: ( ) xxp : es un número primo. ( ) xxq : es un número impar. Entonces, es FALSO que: a) ( ) { }10,9,8,4=¬ xpA b) ( ) ( )[ ] { }11,7,5=∧ xqxpA c) ( ) ( )[ ] { }11,10,9,8,7,5,4=⇒ xqxpA d) ( ) ( )[ ] { }11,9,7,5,2=∨ xqxpA e) ( ) ( )[ ] { }8,7,5,4,2=⇒ xpxqA 12. Una de las siguientes expresiones es FALSA, identifíquela: a) La negación de ),( yxpyx ∀∃ es ),( yxpyx ¬∃∀ . b) )()( xpxpx ∃=∀ cuando { } ( ) 1Re ≡∧= apa . c) [ ] ),,(),,( zyxpzyxzyxpzyx ¬∃∀∀=∀∃∃¬ . d) ( )[ ] ( ))()()()( yqxpxyyqxpxy ¬∧¬∀∀=∧∃∃¬ . e) ( )[ ] ( )),(),(),(),( yxqyxpyxyxqyxpyx ¬∧∀∀=⇒∃∃¬ 13. Dadas las siguientes premisas: :1P Todos los analistas son economistas. :2P Todos los economistas son profesionales. Entonces, una CONCLUSIÓN lógicamente inferida de las premisas es: a) Algunos analistas no son profesionales. b) Todos los profesionales son analistas. c) Todos los analistas son profesionales. d) Ningún analista es profesional. e) Elija esta opción si ninguna de las conclusiones anteriores se infiere de las premisas dadas. 14. Considere las siguientes premisas para un razonamiento: :1H Todos los que estudian Lógica, estudian Matemáticas. :2H Nadie que estudie Matemáticas es irracional. :3H Juan es matemático. Entonces una CONCLUSIÓN VÁLIDA es: a) Juan es irracional b) Todo el que estudia Lógica es irracional. c) Algunos lógicos son irracionales. d) Juan no es irracional. e) Todo matemático es irracional. 15. Sea { },4,3,2,1Re = y los predicados xxp :)( es un número impar xxq :)( es un número par entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela. a) ( ) ( )( ) ( )xAqxqxpA ⊆→ b) )()( xqAxAp C = c) a) φ=− )()( xApxAq
  • 18. Moisés Villena Muñoz Lógica y Conjuntos 66 d) )()(Re xAqxAp ∪= e) ( ) ( )( ) )(xpAxqxpA C =→ 16. Dadas las siguientes hipótesis: :1H Todo profesional tiene título. :2H Ningún irresponsable tiene título. :3H Algunos profesores tienen título. Entonces una CONCLUSIÓN que se puede inferir de las premisas anteriores es: a) Ningún profesional es profesor. b) Ningún profesor tiene título. c) Existen profesores que son irresponsables. d) Ningún irresponsable es profesional. e) Elija esta opción si las todas conclusiones anteriores no se infieren de las premisas. 17. Indique la alternativa incorrecta: a) La Negación de )103(Re; =+∈∀ xx es )103(Re; ≠+∈∃ xx b) La Negación de )103(Re; <+∈∃ xx es )103(Re; ≥+∈∀ xx c) La Negación de )103(Re; ≤+∈∀ xx es )103(Re; >+∈∃ xx d) La Negación de )103(Re; <+∈∀ xx es )103(Re; ≥+∈∃ xx e) La Negación de )()( yyqxxp ∃∧∀ es )()( yqyxxp ¬∀∨∃