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Trabajo de estructuras
- 1. Universidad Fermín Toro Departamentode Formación General Escuela de Ingeniería Cabudare Edo-Lara Conjuntos Integrantes: Héctor Hernández Saia “A” Cabudare, 06 de mayo del 2015
- 2. Conjunto: Llamaremos conjunto acualquier colección de objetos, los cuales llamaremos elementos. Llamaremos conjunto universal, el cual denotaremos por U, al conjunto que contiene todos los elementos a considerar. Ejemplo: Consideremos el conjunto formado por todos los números naturales menores que 6. En este caso podemos escribir el conjunto como A = {1,2,3,4,5} y nuestro conjunto de referencia o conjunto universal es N, el conjunto formado por todos los números naturales. Generalmete, los conjuntos son denotados con letras mayúsculas como A,B,C,X,Y,Z, etc., mientras que para los elementos se usan minúsculas como a,b,c,d,x,y,z, etc. Los elementos de un conjunto son encerrados entre llaves o en un círculo, el cual es llamado diagrama de Venn. Si x es un elemento y A es un conjunto, la expresión x Î A, se lee "x pertenece a A" o x es un elemento de A". Su negación la escribiremos así: x Ï A la cual significa que x no está en A o no pertenece a A. Existen dos formas de determinar un conjunto: por extensión y por comprensión. a. Por extensión: Cuando todos sus elementos son enumerados uno a uno. Ejemplo: Los siguientes conjuntos están determinados por extensión. A = {1,3,5,7}, B = {a,x,y,z,w} b. Por comprensión: Cuando están dados como dominio de una función proposicional, es decir, los elementos de un conjunto que cumplen una condición dada. Ejemplo: Los siguientes conjuntos están dados por comprensión. A = {n Î N / 1£ n £ 5} (Todos los números naturales mayores o iguales a 1 y menores o iguales a 5) B = { x Î R / x divide a 18} (Los números reales divisores de 18) C = {x Î R / | x | < 4 } ( Los números reales cuyos valores absolutos son menores que 4) Subconjuntos: Relación de Inclusión Si A es el conjunto formado por todos los Barquisimetanos y B es el conjunto formado por todos los Venezolanos entonces, tenemos que todo elemento de A es también elemento de B. Este resultado lo expresamos diciendo que el conjunto A está incluido o contenido en el conjunto B, o bien, que A es un subconjunto de B. Esta nueva relación se simboliza por A Ì B.
- 3. Definición: Sean Ay B conjuntos. Diremos que A es subconjunto de B lo cual denotaremos por A Ì B, si todo elemento de A es también un elemento de B. Simbólicamente lo expresaremos como: A Ì B Û ( " x Î U) ( x Î A Þ x Î B ) Teorema: La relación de inclusión entre conjuntos es: 1. Reflexiva: A Ì A, para todo conjunto A. 2. Antisimétrica: A Ì B Ù B Ì A Þ A = B. 3. Transitiva: A Ì B Ù B Ì C Þ A Ì C. Demostración Demostremos (1) La Reflexiva A Ì A, para todo conjunto A. Puesto que, para cualquier x se cumple que x Î A Þ x Î A concluimos que A Ì A. Demostremos (2) La Antisimétrica : A Ì B Ù B Ì A Þ A = B, la antisimetría de la inclusión es parte del teorema anterior, por tanto, ya está demostrada. La tercera Transitiva: A Ì B Ù B Ì C Þ A Ì C se deja al lector. Problema: Probar que A Ë B Û ( $ x )( x Î A x Ï B ) Solución Usando la ley del condicional, P ® q º ~ p Ú q, en la definición de inclusión tenemos que: A Ì B Û ( " x )( x Î A Þ x Î B Û ( " x )( x Ï A v x Î B ) luego, negamos ambos lados, ~ ( A Ì B ) Û ~ ( " x )( x Ï A v x Î B ) obtenemos que A Ë B Û ( $ x ) ( x Î A Ù x Ï B ) Conjunto Potencia: Si A es un conjunto, se define el conjunto Potencia de A o conjunto partes de A como Ã(A) = { X / X Ì A}, es decir, es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Ejemplo: Si A = {x,y,z} entonces Ã(A) = {{f }, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z}, {x,y,z}} Teorema. A Ì B Û Ã(A) Ì Ã(B)
- 4. Representación Tabular delConjunto Producto Un conjunto AxB lo podemos representar por medio de tablas como veremos en el siguiente ejemplo. Ejemplo Si A = {3,5,7} y B = {1,2,3} encuentre la representación tabular de AXB Solución AxB = {(3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(5,2),(5,3),(7,1),(7,2),(7,3)} Igualdad de conjuntos Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9} son iguales. El siguiente teorema nos permite determinar cuando dos conjuntos son iguales. Teorema: Sean A Y B dos conjuntos. Luego, A = B Û A Ì B Ù B Ì A Demostración: Sigue inmediatamente del axioma de extensión, la definición de inclusión y de la siguiente equivalencia: (x Î A Û x Î B ) º ( x Î A Þ x Î B ) Ù ( x Î B Þ x Î A ) Unión e Intersección de Conjuntos: Sean A y B dos conjuntos. Se define la unión de A y B como el conjunto: A U B = { xÎ U / xÎ A Ú xÎ B} Es decir, son todos los elementos que están en A o están en B. Ejemplo: Si A = {1,3,5,6,7,8} y B = {0,1,-14,5,8,7,10} entonces, A U B = {0,1,3,5,6,7,8,10,-14} Producto Cartesiano: Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto cartesiano de A y B como el conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù bÎ B} Ejemplo: Si A = {a,b} y B = {1,5,8} entonces Ax B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)}
- 5. mientras que BxA= {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)} Nótese que Ax B ¹ Bx A Teorema. Si A,B,C son tres conjuntos entonces: 1. A x B = F Û A = F Ú B = F 2. A x (BUC) = (Ax B) U (Ax C) 3. Ax (B I C) = (Ax B) I (Ax C) 4. Ax(B -C) = (AxB) - (Ax C) Partición: Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si: Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X. Ejemplo Si X={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} , entonces {A1, A2, A3} es una partición de X. Cardinalidad: Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito. Ejemplo: El conjunto {a,b,c,d,e} es finito porque contiene 5 elementos, el conjunto de los números reales, de los números naturales son ejemplos de conjuntos infinitos. Definición: Sea A un conjunto finito. Se dice que: i. El cardinal de A es 0 si A =f. ii. El cardinal de A es n y lo denotaremos por #A = n si A tiene n elementos. Ejemplo: Si A = {0,1,2,5,4,7} entonces #A = 6 Teorema: Sean A yB dos conjuntos finitos, luego: i. B - A) = #B - #(AI B)
- 6. ii. #(AUB) =#A + #B - #(AI B) Teorema: Si A;ByC son tres conjuntos finitos entonces #(AUBUC) = #A + #B +#C - #(AI B) - #(AI C) - #(BI C) + #(AI BI C).