Este documento presenta conceptos básicos de teoría de conjuntos. Define un conjunto como un grupo de objetos con una o más propiedades en común. Explica formas de representar conjuntos como extensión, comprensión y diagramas de Venn. También cubre conceptos como subconjuntos, conjuntos vacíos, universales, cardinalidad, operaciones como intersección, unión y diferencia.
Este son algunos de los simbolos mas utilizados en la bella ciencia de las matemática... es una forma de clasificación de modo más adecuado para que se nos faciliten los terminos así al verlo sabremos de que se está tratando.
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1º Caso Practico Lubricacion Rodamiento Motor 10CVCarlosAroeira1
Caso pratico análise analise de vibrações em rolamento de HVAC para resolver problema de lubrificação apresentado durante a 1ª reuniao do Vibration Institute em Lisboa em 24 de maio de 2024
Criterios de la primera y segunda derivadaYoverOlivares
Criterios de la primera derivada.
Criterios de la segunda derivada.
Función creciente y decreciente.
Puntos máximos y mínimos.
Puntos de inflexión.
3 Ejemplos para graficar funciones utilizando los criterios de la primera y segunda derivada.
1. Matemáticas discretas
1
UNIDAD 2
TEORIA DE CONJUNTOS
2.1 CARACTERISTICAS DE LOS CONJUNTOS.
DEFINICIÓN DE CONJUNTO
Un conjunto es un grupo de elementos u objetos que tienen una o más propiedades en común,
especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la
agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas.
Cuando un elemento x pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: x ∈ A. En caso de
que un elemento y no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: y ∉ A
Las características de un conjunto son las siguientes:
1.- Debe de ser explicito; que exprese con claridad una cosa.
2.- No se repite; que sea diferente.
3.- Cardinalidad; que es el número de elementos que tiene un conjunto
4.- se representa con letra mayúscula.
5.- Se representa entre llaves: { }
6.- Pueden ser finitos o infinitos.
7.- Los elementos del conjunto se separan con , o ;
Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:
1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es
decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.
2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves.
En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es:
A = { x | P(x) } = { x1, x2, x3, …, xn }
Que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x) es
verdadera, como x1, x2, x3, …, xn
3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las
relaciones entre conjuntos2.
4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los
elementos.
Ejemplo.
Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo por extensión, comprensión y
por diagrama de Venn.
Solución.
Por extensión: V = {a,e,i,o,u }
Por comprensión: V = {x|x es una vocal }
2. Matemáticas discretas
2
Por diagrama de Venn:
Ejemplo.
Expresar de las tres formas al “conjunto de los planetas del sistema solar”.
Solución.
Por extensión: P = {Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plutón }
Por comprensión: P = { x|x es un planeta del sistema solar }
Por diagrama de Venn:
Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B, se dice que A es un
SUBCONJUNTO de B. La notación A B significa que A está incluido en B y se lee: “A es subconjunto de B”
o “A está contenido en B”.
Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B, se dice que A no es
subconjunto de B. En este caso la notación AB significa que A no es un subconjunto de B.
CONJUNTO VACIÓ O NULO: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por o { }.
A = {x2 + 1 = 0 | x R}
El conjunto A, es un conjunto vacío porque no hay ningún número real que satisfaga a x2+1 = 0
El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.
3. Matemáticas discretas
3
Ejemplos.
= {x | x son los dinosaurios que viven en la actualidad}
{ }= {x | x son los hombres mayores de 300 años}
= {x |x son números positivos menores que cero}
CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en
un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por U o . Un conjunto universal es
aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Gráficamente se le representará mediante un
rectángulo.
Ejemplos.
U = {x|x son los días de la semana}= {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
A = {x|x son los días de la semana inglesa}= {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}
B = {x|x son los días del fin de semana}= {sábado, domingo}
C = {x|x son los días de la semana con menos de siete letras}= {lunes, martes, jueves, sábado}
Nótese cómo: A U, B U, C U.
CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO: Es la cantidad de elementos que tiene un conjunto, siempre y cuando
estos no se repitan.
Ejemplos.
A={x|x es un dia de la semana}
(A)=7 ya que: A={Lunes, Martes, Miercoles, Jueves, Viernes, Sabado, Domingo}
B={x|x es una letra de la palabra PARANGARICUTIRIMICUARO}
(B)=11 ya que: B={P,A,R,N,G,I,C,U,T,M,O}
Un conjunto FINITO es aquel cuyos elementos pueden ser contados.
Ejemplos.
J = { x | x es el número de un día del mes de junio }
L = { x | x es la cantidad de autos en la ciudad de México }
Un conjunto INFINITO es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es decir, su cardinalidad no está
definida.
Ejemplos.
N = {1,3,5,7,9,11,…}
M = {2,4,6,8,10,12,…}
Q = { x | x es la cantidad de puntos en una línea }
Dos conjuntos son IGUALES si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo =.
Ejemplo.
R = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}
S = { x | x es un dígito del sistema decimal}
R = S
4. Matemáticas discretas
4
Dos conjuntos son DESIGUALES si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen exactamente
los mismos elementos. Se denota por el símbolo ≠.
Dos conjuntos son EQUIVALENTES si tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la misma
cardinalidad. Se denota por el símbolo .
Ejemplos. W = {x | x son las estaciones del año }
Z = {x | x es un punto cardinal }
(W) = 4
(Z) = 4
WZ
CONJUNTO POTENCIA La familia de todos los subconjuntos de un conjunto se llama conjunto potencia. Si
un conjunto es finito con n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2n subconjuntos.
A = {1, 2}
El total de subconjuntos es:
22 = 4
{1,2}, {1}, {2}, { }
CONJUNTOS DISJUNTOS Son aquellos que no tienen elementos en común, es decir, cuando no existen
elementos que pertenezcan a ambos.
F = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
G = {a, b, c, d, e, f}
PRODUCTO CARTESIANO Sea A y B conjuntos. El producto cartesiano de A y B, denotado por A × B, es el
conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B. Donde A × B ={(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.
Ejemplo:
Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}
¿Cuál es el conjunto A × B?
¿Cuál es el conjunto B × A?
¿Cuál es el conjunto B × B?
A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c), (4, a), (4, b), (4, c)}
B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}
B × B = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}
Un subconjunto R del producto cartesiano A×B es llamado una relación del conjunto A al conjunto B. Los
elementos de R son pares ordenados donde el primer elemento pertenece a A y el segundo pertenece a B.
5. Matemáticas discretas
5
SIMBOLOGIA
A,B,C… Indican conjuntos, mayúsculas Existe en Disyunción
a,b,c…. Indican elementos de
conjuntos, minusculas
No existe en Conjunción
Pertenece a Para todo Doble implicación,
Si y solo si
No pertenece a , Tal que Implicación,
Si entonces
Subconjunto de,
Está incluido en
U , Conjunto
universal
AC
, A
A , A
Complemento
No es subconjunto de,
No está incluido en
Menor que Diferencia
Equivalente a Mayor que (A) ,
(A) , A
Cardinalidad
Iguala a Mayor o igual Por lo tanto
Diferente de, no es igual Menor o igual … Conjunto
, Conjunto vacío
2.2 OPERACIONES CON CONJUNTOS
INTERSECCIÓN: Sean A y B conjuntos. La intersección de los conjuntos A y B denotada por A ∩ B es el
conjunto que contiene los elementos que están al mismo tiempo en A y B. Un elemento x pertenece a la
intersección de los conjuntos A y B si y únicamente si x pertenece a A y x pertenece a B. Formalmente se tiene:
A∩B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Gráficamente se tiene:
La parte sombreada es A ∩ B.
Ejemplo
La intersección de los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3} es A ∩ B = {1, 3}.
UNION: Sean A y B conjuntos. La unión de los conjuntos A y B denotada por A ∪ B es el conjunto que contiene
elementos que son de A o B, o de ambos. Un elemento x pertenece a la unión de A y B si y únicamente si x
pertenece a A o x pertenece a B. Formalmente se tiene: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Un elemento x pertenece a la unión de A y B si y únicamente si x pertenece a A o x pertenece a B.
Formalmente se tiene: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
6. Matemáticas discretas
6
Gráficamente se tiene:
La parte sombreada es A ∪ B.
Ejemplo
La unión de los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3} es A ∪ B
DIFERENCIA: Sean A y B conjuntos. La diferencia de los conjuntos A y B denotada por A−B, es el conjunto
que contiene los elementos que están en A pero no en B. La diferencia de A y B es también llamada el
complemento de B con respecto a A.
Un elemento x pertenece a la diferencia de A y B si y únicamente si x ∈ A y x ∉ B. Formalmente se tiene:
A − B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}.
Gráficamente se tiene:
La parte sombreada es A − B.
Ejemplo:
La diferencia de los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3} es A − B = {5},
B − A = {2}.
COMPLEMENTO: Sea U el conjunto universo, el complemento del conjunto A, denotado por A, es el
complemento del conjunto A con respecto a U. En otras palabras, el complemento del conjunto A es U − A.
Un elemento x pertenece a A si y únicamente si x ∉ A. Formalmente se tiene:
A = {x | x ∉ A}.
Gráficamente se tiene:
7. Matemáticas discretas
7
La parte sombreada es A.
Ejemplo
Sea A = {a, e, i, o, u} y el universo son todas las letras del alfabeto español. Entonces
A’ = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, ñ, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}.
2.3 PROPIEDADES DE OPERACIONES CON CONJUNTOS