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1
UNIDAD 2
TEORIA DE CONJUNTOS
2.1 CARACTERISTICAS DE LOS CONJUNTOS.
DEFINICIÓN DE CONJUNTO
Un conjunto es un grupo de elementos u objetos que tienen una o más propiedades en común,
especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la
agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas.
Cuando un elemento x pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: x ∈ A. En caso de
que un elemento y no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: y ∉ A
Las características de un conjunto son las siguientes:
1.- Debe de ser explicito; que exprese con claridad una cosa.
2.- No se repite; que sea diferente.
3.- Cardinalidad; que es el número de elementos que tiene un conjunto
4.- se representa con letra mayúscula.
5.- Se representa entre llaves: { }
6.- Pueden ser finitos o infinitos.
7.- Los elementos del conjunto se separan con , o ;
Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:
1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es
decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.
2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves.
En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es:
A = { x | P(x) } = { x1, x2, x3, …, xn }
Que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x) es
verdadera, como x1, x2, x3, …, xn
3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las
relaciones entre conjuntos2.
4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los
elementos.
Ejemplo.
Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo por extensión, comprensión y
por diagrama de Venn.
Solución.
Por extensión: V = {a,e,i,o,u }
Por comprensión: V = {x|x es una vocal }
Matemáticas discretas
2
Por diagrama de Venn:
Ejemplo.
Expresar de las tres formas al “conjunto de los planetas del sistema solar”.
Solución.
Por extensión: P = {Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plutón }
Por comprensión: P = { x|x es un planeta del sistema solar }
Por diagrama de Venn:
Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B, se dice que A es un
SUBCONJUNTO de B. La notación A B significa que A está incluido en B y se lee: “A es subconjunto de B”
o “A está contenido en B”.
Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B, se dice que A no es
subconjunto de B. En este caso la notación AB significa que A no es un subconjunto de B.
CONJUNTO VACIÓ O NULO: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por  o { }.
A = {x2 + 1 = 0 | x  R}
El conjunto A, es un conjunto vacío porque no hay ningún número real que satisfaga a x2+1 = 0
El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.
Matemáticas discretas
3
Ejemplos.
 = {x | x son los dinosaurios que viven en la actualidad}
{ }= {x | x son los hombres mayores de 300 años}
 = {x |x son números positivos menores que cero}
CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en
un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por U o . Un conjunto universal es
aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Gráficamente se le representará mediante un
rectángulo.
Ejemplos.
U = {x|x son los días de la semana}= {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
A = {x|x son los días de la semana inglesa}= {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}
B = {x|x son los días del fin de semana}= {sábado, domingo}
C = {x|x son los días de la semana con menos de siete letras}= {lunes, martes, jueves, sábado}
Nótese cómo: A  U, B  U, C  U.
CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO: Es la cantidad de elementos que tiene un conjunto, siempre y cuando
estos no se repitan.
Ejemplos.
A={x|x es un dia de la semana}
(A)=7 ya que: A={Lunes, Martes, Miercoles, Jueves, Viernes, Sabado, Domingo}
B={x|x es una letra de la palabra PARANGARICUTIRIMICUARO}
(B)=11 ya que: B={P,A,R,N,G,I,C,U,T,M,O}
Un conjunto FINITO es aquel cuyos elementos pueden ser contados.
Ejemplos.
J = { x | x es el número de un día del mes de junio }
L = { x | x es la cantidad de autos en la ciudad de México }
Un conjunto INFINITO es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es decir, su cardinalidad no está
definida.
Ejemplos.
N = {1,3,5,7,9,11,…}
M = {2,4,6,8,10,12,…}
Q = { x | x es la cantidad de puntos en una línea }
Dos conjuntos son IGUALES si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo =.
Ejemplo.
R = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}
S = { x | x es un dígito del sistema decimal}
R = S
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4
Dos conjuntos son DESIGUALES si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen exactamente
los mismos elementos. Se denota por el símbolo ≠.
Dos conjuntos son EQUIVALENTES si tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la misma
cardinalidad. Se denota por el símbolo .
Ejemplos. W = {x | x son las estaciones del año }
Z = {x | x es un punto cardinal }
 (W) = 4
 (Z) = 4
WZ
CONJUNTO POTENCIA La familia de todos los subconjuntos de un conjunto se llama conjunto potencia. Si
un conjunto es finito con n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2n subconjuntos.
A = {1, 2}
El total de subconjuntos es:
22 = 4
{1,2}, {1}, {2}, { }
CONJUNTOS DISJUNTOS Son aquellos que no tienen elementos en común, es decir, cuando no existen
elementos que pertenezcan a ambos.
F = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
G = {a, b, c, d, e, f}
PRODUCTO CARTESIANO Sea A y B conjuntos. El producto cartesiano de A y B, denotado por A × B, es el
conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B. Donde A × B ={(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.
Ejemplo:
Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}
¿Cuál es el conjunto A × B?
¿Cuál es el conjunto B × A?
¿Cuál es el conjunto B × B?
A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c), (4, a), (4, b), (4, c)}
B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}
B × B = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}
Un subconjunto R del producto cartesiano A×B es llamado una relación del conjunto A al conjunto B. Los
elementos de R son pares ordenados donde el primer elemento pertenece a A y el segundo pertenece a B.
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SIMBOLOGIA
A,B,C… Indican conjuntos, mayúsculas  Existe en  Disyunción
a,b,c…. Indican elementos de
conjuntos, minusculas
 No existe en  Conjunción
 Pertenece a  Para todo  Doble implicación,
Si y solo si
 No pertenece a  ,  Tal que  Implicación,
Si entonces
 Subconjunto de,
Está incluido en
U ,  Conjunto
universal
AC
, A
A , A
Complemento
 No es subconjunto de,
No está incluido en
 Menor que  Diferencia
 Equivalente a  Mayor que (A) ,
(A) , A
Cardinalidad
 Iguala a  Mayor o igual  Por lo tanto
 Diferente de, no es igual  Menor o igual … Conjunto
  ,  Conjunto vacío
2.2 OPERACIONES CON CONJUNTOS
INTERSECCIÓN: Sean A y B conjuntos. La intersección de los conjuntos A y B denotada por A ∩ B es el
conjunto que contiene los elementos que están al mismo tiempo en A y B. Un elemento x pertenece a la
intersección de los conjuntos A y B si y únicamente si x pertenece a A y x pertenece a B. Formalmente se tiene:
A∩B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Gráficamente se tiene:
La parte sombreada es A ∩ B.
Ejemplo
La intersección de los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3} es A ∩ B = {1, 3}.
UNION: Sean A y B conjuntos. La unión de los conjuntos A y B denotada por A ∪ B es el conjunto que contiene
elementos que son de A o B, o de ambos. Un elemento x pertenece a la unión de A y B si y únicamente si x
pertenece a A o x pertenece a B. Formalmente se tiene: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Un elemento x pertenece a la unión de A y B si y únicamente si x pertenece a A o x pertenece a B.
Formalmente se tiene: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Matemáticas discretas
6
Gráficamente se tiene:
La parte sombreada es A ∪ B.
Ejemplo
La unión de los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3} es A ∪ B
DIFERENCIA: Sean A y B conjuntos. La diferencia de los conjuntos A y B denotada por A−B, es el conjunto
que contiene los elementos que están en A pero no en B. La diferencia de A y B es también llamada el
complemento de B con respecto a A.
Un elemento x pertenece a la diferencia de A y B si y únicamente si x ∈ A y x ∉ B. Formalmente se tiene:
A − B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}.
Gráficamente se tiene:
La parte sombreada es A − B.
Ejemplo:
La diferencia de los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3} es A − B = {5},
B − A = {2}.
COMPLEMENTO: Sea U el conjunto universo, el complemento del conjunto A, denotado por A, es el
complemento del conjunto A con respecto a U. En otras palabras, el complemento del conjunto A es U − A.
Un elemento x pertenece a A si y únicamente si x ∉ A. Formalmente se tiene:
A = {x | x ∉ A}.
Gráficamente se tiene:
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7
La parte sombreada es A.
Ejemplo
Sea A = {a, e, i, o, u} y el universo son todas las letras del alfabeto español. Entonces
A’ = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, ñ, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}.
2.3 PROPIEDADES DE OPERACIONES CON CONJUNTOS

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Teoria de conjuntos

  • 1. Matemáticas discretas 1 UNIDAD 2 TEORIA DE CONJUNTOS 2.1 CARACTERISTICAS DE LOS CONJUNTOS. DEFINICIÓN DE CONJUNTO Un conjunto es un grupo de elementos u objetos que tienen una o más propiedades en común, especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan letras mayúsculas. Cuando un elemento x pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: x ∈ A. En caso de que un elemento y no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: y ∉ A Las características de un conjunto son las siguientes: 1.- Debe de ser explicito; que exprese con claridad una cosa. 2.- No se repite; que sea diferente. 3.- Cardinalidad; que es el número de elementos que tiene un conjunto 4.- se representa con letra mayúscula. 5.- Se representa entre llaves: { } 6.- Pueden ser finitos o infinitos. 7.- Los elementos del conjunto se separan con , o ; Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos: 1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves. 2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es: A = { x | P(x) } = { x1, x2, x3, …, xn } Que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x) es verdadera, como x1, x2, x3, …, xn 3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos2. 4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los elementos. Ejemplo. Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo por extensión, comprensión y por diagrama de Venn. Solución. Por extensión: V = {a,e,i,o,u } Por comprensión: V = {x|x es una vocal }
  • 2. Matemáticas discretas 2 Por diagrama de Venn: Ejemplo. Expresar de las tres formas al “conjunto de los planetas del sistema solar”. Solución. Por extensión: P = {Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plutón } Por comprensión: P = { x|x es un planeta del sistema solar } Por diagrama de Venn: Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B, se dice que A es un SUBCONJUNTO de B. La notación A B significa que A está incluido en B y se lee: “A es subconjunto de B” o “A está contenido en B”. Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B, se dice que A no es subconjunto de B. En este caso la notación AB significa que A no es un subconjunto de B. CONJUNTO VACIÓ O NULO: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por  o { }. A = {x2 + 1 = 0 | x  R} El conjunto A, es un conjunto vacío porque no hay ningún número real que satisfaga a x2+1 = 0 El conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.
  • 3. Matemáticas discretas 3 Ejemplos.  = {x | x son los dinosaurios que viven en la actualidad} { }= {x | x son los hombres mayores de 300 años}  = {x |x son números positivos menores que cero} CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por U o . Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Gráficamente se le representará mediante un rectángulo. Ejemplos. U = {x|x son los días de la semana}= {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} A = {x|x son los días de la semana inglesa}= {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} B = {x|x son los días del fin de semana}= {sábado, domingo} C = {x|x son los días de la semana con menos de siete letras}= {lunes, martes, jueves, sábado} Nótese cómo: A  U, B  U, C  U. CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO: Es la cantidad de elementos que tiene un conjunto, siempre y cuando estos no se repitan. Ejemplos. A={x|x es un dia de la semana} (A)=7 ya que: A={Lunes, Martes, Miercoles, Jueves, Viernes, Sabado, Domingo} B={x|x es una letra de la palabra PARANGARICUTIRIMICUARO} (B)=11 ya que: B={P,A,R,N,G,I,C,U,T,M,O} Un conjunto FINITO es aquel cuyos elementos pueden ser contados. Ejemplos. J = { x | x es el número de un día del mes de junio } L = { x | x es la cantidad de autos en la ciudad de México } Un conjunto INFINITO es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es decir, su cardinalidad no está definida. Ejemplos. N = {1,3,5,7,9,11,…} M = {2,4,6,8,10,12,…} Q = { x | x es la cantidad de puntos en una línea } Dos conjuntos son IGUALES si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo =. Ejemplo. R = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} S = { x | x es un dígito del sistema decimal} R = S
  • 4. Matemáticas discretas 4 Dos conjuntos son DESIGUALES si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo ≠. Dos conjuntos son EQUIVALENTES si tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la misma cardinalidad. Se denota por el símbolo . Ejemplos. W = {x | x son las estaciones del año } Z = {x | x es un punto cardinal }  (W) = 4  (Z) = 4 WZ CONJUNTO POTENCIA La familia de todos los subconjuntos de un conjunto se llama conjunto potencia. Si un conjunto es finito con n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2n subconjuntos. A = {1, 2} El total de subconjuntos es: 22 = 4 {1,2}, {1}, {2}, { } CONJUNTOS DISJUNTOS Son aquellos que no tienen elementos en común, es decir, cuando no existen elementos que pertenezcan a ambos. F = {1, 2, 3, 4, 5, 6} G = {a, b, c, d, e, f} PRODUCTO CARTESIANO Sea A y B conjuntos. El producto cartesiano de A y B, denotado por A × B, es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B. Donde A × B ={(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}. Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c} ¿Cuál es el conjunto A × B? ¿Cuál es el conjunto B × A? ¿Cuál es el conjunto B × B? A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c), (4, a), (4, b), (4, c)} B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)} B × B = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)} Un subconjunto R del producto cartesiano A×B es llamado una relación del conjunto A al conjunto B. Los elementos de R son pares ordenados donde el primer elemento pertenece a A y el segundo pertenece a B.
  • 5. Matemáticas discretas 5 SIMBOLOGIA A,B,C… Indican conjuntos, mayúsculas  Existe en  Disyunción a,b,c…. Indican elementos de conjuntos, minusculas  No existe en  Conjunción  Pertenece a  Para todo  Doble implicación, Si y solo si  No pertenece a  ,  Tal que  Implicación, Si entonces  Subconjunto de, Está incluido en U ,  Conjunto universal AC , A A , A Complemento  No es subconjunto de, No está incluido en  Menor que  Diferencia  Equivalente a  Mayor que (A) , (A) , A Cardinalidad  Iguala a  Mayor o igual  Por lo tanto  Diferente de, no es igual  Menor o igual … Conjunto   ,  Conjunto vacío 2.2 OPERACIONES CON CONJUNTOS INTERSECCIÓN: Sean A y B conjuntos. La intersección de los conjuntos A y B denotada por A ∩ B es el conjunto que contiene los elementos que están al mismo tiempo en A y B. Un elemento x pertenece a la intersección de los conjuntos A y B si y únicamente si x pertenece a A y x pertenece a B. Formalmente se tiene: A∩B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}. Gráficamente se tiene: La parte sombreada es A ∩ B. Ejemplo La intersección de los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3} es A ∩ B = {1, 3}. UNION: Sean A y B conjuntos. La unión de los conjuntos A y B denotada por A ∪ B es el conjunto que contiene elementos que son de A o B, o de ambos. Un elemento x pertenece a la unión de A y B si y únicamente si x pertenece a A o x pertenece a B. Formalmente se tiene: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}. Un elemento x pertenece a la unión de A y B si y únicamente si x pertenece a A o x pertenece a B. Formalmente se tiene: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
  • 6. Matemáticas discretas 6 Gráficamente se tiene: La parte sombreada es A ∪ B. Ejemplo La unión de los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3} es A ∪ B DIFERENCIA: Sean A y B conjuntos. La diferencia de los conjuntos A y B denotada por A−B, es el conjunto que contiene los elementos que están en A pero no en B. La diferencia de A y B es también llamada el complemento de B con respecto a A. Un elemento x pertenece a la diferencia de A y B si y únicamente si x ∈ A y x ∉ B. Formalmente se tiene: A − B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}. Gráficamente se tiene: La parte sombreada es A − B. Ejemplo: La diferencia de los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3} es A − B = {5}, B − A = {2}. COMPLEMENTO: Sea U el conjunto universo, el complemento del conjunto A, denotado por A, es el complemento del conjunto A con respecto a U. En otras palabras, el complemento del conjunto A es U − A. Un elemento x pertenece a A si y únicamente si x ∉ A. Formalmente se tiene: A = {x | x ∉ A}. Gráficamente se tiene:
  • 7. Matemáticas discretas 7 La parte sombreada es A. Ejemplo Sea A = {a, e, i, o, u} y el universo son todas las letras del alfabeto español. Entonces A’ = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, ñ, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}. 2.3 PROPIEDADES DE OPERACIONES CON CONJUNTOS