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![Densidad de-campo-método-densímetro-nuclear[1]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/densidad-de-campo-mtodo-densmetro-nuclear1-150202210258-conversion-gate01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
curva elastica.pptx
- 1. Antes de determinarla pendiente o el desplazamiento en un punto especifico de una viga, se sugiere realizar el bosquejo de la forma flexionada de la viga cargada, con el fin de visualizar los resultados calculados, y obtener una comprobación en forma parcial de los resultados. El diagrama de deflexión del eje longitudinal que pasa por el centroide de cada área transversal de la viga se llama curva elástica En gran parte de vigas se puede obtener el bosquejo de la curva elástica si gran dificultad Pero se tiene que tener en cuenta las restricciones en la pendiente y desplazamiento producidas por los diversos tipos de soportes. los soportes que resisten fuerzas , por ejemplo el pasador, restringen el desplazamiento, y los que soportan un momento, por ejemplo una pared fija(empotrada), restringen la rotación o la pendiente, y también el desplazamiento Para un mejor entendimiento, visualice los dos ejemplos característicos de curvas elásticas para vigas cargadas, recordemos que estes bosquejos son a gran escala , 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 12 − 1. 12.1 La curva elástica 𝐏 𝐏 𝑭𝒊𝒈. 𝟏𝟐 − 𝟏
- 2. Relación entre momentoy curvatura. 𝑑𝜃 es el ángulo comprendido entre los cortes transversales después de la deformación y el radio curvatura será definido como 𝜌 medida desde el centro 𝑂′ hasta 𝑑𝑥 La deformación unitaria del arco 𝑑𝑠 es : 𝜖 = 𝑑𝑠′ − 𝑑𝑠 𝑑𝑠 si 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 = 𝜌𝑑𝜃 ; 𝑑𝑠′ = 𝜌 − 𝑦 𝑑𝜃 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝜖 = 𝜌 − 𝑦 𝑑𝜃 − 𝜌𝑑𝜃 𝜌𝑑𝜃 1 𝜌 = − 𝜖 𝑦 Ya que el materiales es homogéneo y se comporta de forma lineal elástica se puede aplicar la ley de Hooke, 𝜖 = 𝜎/𝐸. También se puede aplicar la formula de la flexión 𝜎 = −𝑀𝑦/𝐼 .sustituimos en la ecuación que se venia trabajando se obtiene: 𝟏 𝝆 = 𝑴 𝑬𝑰 𝜌 = radio de curvatura en un punto específico de la curva elástica (1/𝜌 se le llama la curvatura) 𝑀 = momento interno en la viga, en el punto donde 𝜌 se va a determinar 𝐸 = módulo de elasticidad del material 𝐼 =momento de inercia del área transversal de la viga, respecto al eje neutro
- 3. Relación entre momentoy curvatura. Al producto de 𝐸𝐼 se le denomina rigidez flexionante o rigidez de flexion El signo 𝜌 depende únicamente de la dirección del momento si 𝑀 es positivo 𝜌 se dirige hacia arriba es decir en la dirección positiva de 𝑣 ,figura 12-6 Cuando 𝑀 es negativo 𝜌 se dirige hacia debajo de la viga o sea hacia la dirección de 𝑣 negativa, figura 12-6 Usando la formula de la flexion 𝜎 = −𝑀𝑦/𝐼 podemos expresar la curvatura en función del esfuerzo , como sigue: 𝟏 𝒑 = − 𝝈 𝑬𝒚 Las ecuaciones de curvatura en general son validos para radios pequeños y grandes , por lo general el valor de 𝜌 es una cantidad muy grande Los valores de 𝜌 calculados en otros puntos a lo largo de la curva elástica de la viga, pueden ser todavía mucho mayores , por que 𝜎 no puede ser mayor que 𝜎𝑌 en las fibras exteriores. 𝑂′ +𝑃 +𝑀 +𝑀 −𝑀 −𝑀 𝑂′ 𝑣 −𝑃 Punto de Flexion M = 0 𝑭𝒊𝒈. 𝟏𝟐 − 𝟔
- 4. 12.3 Funciones dediscontinuidad Como ejemplo de como se aplican las funciones de discontinuidad ,veamos la viga cargada como se muestra en la 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 12 − 17𝑎 𝐏 M0 𝑎 𝑏 𝑐 𝐿 𝑭𝒊𝒈 𝟏𝟐 − 𝟏𝟕𝒂 Para este caso 𝑅1 fuerza de reacción del pasador es negativa y 𝑀0 es negativo por que actúa en sentido de la manecillas de reloj. Al usar la 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 12 − 2 la carga en cualquier punto de viga es: 𝒘 = −𝑹𝟏 𝒙 − 𝟎 −𝟏 + 𝒑 𝒙 − 𝒂 −𝟏 − 𝑴𝟎 𝒙 − 𝒃 −𝟐 + 𝒘𝟎 𝒙 − 𝒄 𝟎 No se considera la fuerza de acción del rodillo, por que 𝑥 nunca es mayor que 𝐿 además no influye en la pendiente o deflexión. Al integrar dos veces esta ecuación se obtiene la relación que describe el momento interno de la viga ,las constantes de integración no se toman en cuenta ,por que se han calculado las condiciones en la frontera, 𝑉 = 𝑅1 𝑦 𝑀 = 0 , También se puede obtener este resultado directamente utilizando 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 12 − 2. 𝑴 = 𝑹𝟏 𝒙 − 𝟎 − 𝑷 𝒙 − 𝒂 + 𝑴𝟎 𝒙 − 𝒃 𝟎 − 𝟏 𝟐 𝒘𝟎 𝒙 − 𝒄 𝟐 Podemos comprobar este resultado utilizando el método de las secciones , dentro de la región 𝑏 < 𝑥 < 𝑐 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 12 − 17𝑏 P 𝑎 𝑏 𝑥 M0 M R1 (𝑏) 𝑴 = 𝑹𝟏𝒙 − 𝑷 𝒙 − 𝒂 + 𝑴𝟎 Este resultado concuerda con el obtenido anteriormente 𝑭𝒊𝒈 𝟏𝟐 − 𝟏𝟕𝒃
- 5. Como un segundoejemplo, veamos la viga de la 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 12 − 18𝑎. La reacción en el apoyo 𝐴 se ha calculado en la 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 12 − 18𝑏, y la carga trapezoidal se ha separado en cargas triangular y uniforme. 12.3 Funciones de discontinuidad 𝐴 𝐵 𝟑𝒎 𝟑𝒎 6 𝑘𝑁/𝑚 3 𝑘𝑁/𝑚 1.5 𝑘𝑁. 𝑚 3𝑚 𝟑𝒎 𝟑𝒎 2.75 𝑘𝑁 1.5 kN. m m = 3 𝑘𝑁/𝑚 3𝑚 = 1 3 kN/m 3 kN/m Bx By (b) De acuerdo con la 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 12 − 2. la carga es: 𝑤 = −2.75𝑘𝑁 𝑥 − 0 −1 − 1.5𝑘𝑁. 𝑚 𝑥 − 3𝑚 −2 +3𝑘𝑁 ∕ 𝑚 𝑥 − 3𝑚 0 + 1𝑘𝑁/ 𝑚2 𝑥 − 3𝑚 1 Se puede determinar las ecuación de momento. En forma directa con la 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 12 − 2 en vez de integrar dos veces esta ecuación; en cualquier caso, 𝑀 = 2.75𝑘𝑁 𝑥 − 0 1 + 1.5𝑘𝑁. 𝑚 𝑥 − 3𝑚 0 − 3𝑘𝑁/𝑚 2 𝑥 − 3𝑚 2 1𝑘𝑁/𝑚2 6 𝑥 − 3𝑚 3 𝑴 = 𝟐. 𝟕𝟓𝒙 + 𝟏. 𝟓 𝒙 − 𝟑 𝟎 − 𝟏. 𝟓 𝒙 − 𝟑 𝟐 − 𝟏 𝟔 𝒙 − 𝟑 𝟑 Ahora se puede determinar la deflexión de la viga integrando dos veces sucesivas esta ecuación ,evaluando las constantes y usando las condiciones de frontera de cero desplazamiento en 𝐴 𝑦 𝑒𝑛 𝐵
- 6. PROCEDIMIENTO PARA ELANALISIS. Este método es especialmente útil para resolver problemas de vigas o ejes sometidos a varias cargas, porque se pueden evaluar las constantes de integración usando sólo las condiciones en la frontera, solo si satisfacen en forma automática las condiciones de compatibilidad. Curva elástica. • Hacer un Bosquejo de la curva elástica, e identificar las condiciones en la frontera para los apoyos. • En todos los soportes que tengan pasador y rodillo existe desplazamiento cero, y en los soportes empotrados hay pendiente cero y desplazamiento cero. • Establecer el eje x para que se extienda hacia la derecha, y tenga su origen en el extremo izquierdo de la viga. Función de carga o de momento. • Hallar las reacciones en los apoyos, y a seguidamente usar las funciones de discontinuidad 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 12 − 2 para expresar la carga 𝑤 o el momento interno 𝑀 en función de 𝑥. seguir la convención de signos. • Observar que las cargas distribuidas se deben prolongar hasta el extremo derecho de la viga, para ser válidas. Si eso no sucede, usar el método de la superposición. Pendiente y curva elástica • Sustituir w en el 𝒅𝟒 𝒗/𝒅𝒙𝟒 = −𝒘(𝒙), o 𝑀 en la relación de momento curvatura, El 𝒅𝟐 𝒗/𝒅𝒙𝟐 = 𝑴 e integrar para obtener las ecuaciones de la pendiente y la deflexión de la viga • Evaluar las constantes de integración usando las condiciones en la frontera, y sustituir esas constantes en las ecuaciones de pendiente y deflexión para obtener los resultados finales. • Cuando evalúan las ecuaciones de pendiente y de deflexión, una pendiente positiva es en contra de las manecillas del reloj y un desplazamiento positivo es hacia arriba
- 7. Ejemplo 12.5 Determine laecuación de la curva elástica para la viga en voladizo de la𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 12 − 19𝑎. 𝐸𝐼 es constante. 8 𝑘𝑁/𝑚 50 𝑘𝑁. 𝑚 12 𝑘𝑁 𝒄 5 𝑚 4 𝑚 𝑨 𝑭𝒊𝒈. 𝟏𝟐 − 𝟏𝟗(𝒂) Curva elástica. Las cargas hacen que la viga se flexione como se ve en la 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 12 − 19𝑎 . Las condiciones en la frontera requieren que la pendiente y el desplazamiento en 𝐴 sean cero. De acuerdo con nuestra convención de signos, el momento del par de 50 𝑘𝑁 · 𝑚, la fuerza de 52 𝑘𝑁 en 𝐴 y la parte de la carga distribuida 𝑑𝑒 𝐵 a 𝐶, en la parte inferior de la viga, son negativas todas. En consecuencia, la carga de la viga es: 𝒘 = −𝟓𝟐𝒌𝑵 𝒙 − 𝟎 −𝟏 + 𝟐𝟓𝟖𝒌𝑵. 𝒎 𝒙 − 𝟎 −𝟐 + 𝟖𝒌𝑵/𝒎 𝒙 − 𝟎 𝟎 −𝟓𝟎𝒌𝑵. 𝒎 𝒙 − 𝟓𝒎 −𝟐 − 𝟖𝒌𝑵/𝒎 𝒙 − 𝟓 𝟎 La carga de 12 kN no se incluyen , Como 𝑑𝑉/𝑑𝑥 = −𝑤(𝑥) sin tener en cuenta la constante de integración: 𝑽 = 𝟓𝟐 𝒙 − 𝟎 𝟎 − 𝟐𝟓𝟖 𝒙 − 𝟎 −𝟏 − 𝟖 𝒙 − 𝟎 𝟏 + 𝟓𝟎 𝒙 − 𝟓 −𝟏 + 𝟖 𝒙 − 𝟓 𝟏 Función de carga. Las reacciones en el apoyo 𝐴 se han calculado con la estática, y se muestran en el diagrama de cuerpo libre de la 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 12 − 19𝑏. Como la carga distribuida en la 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 12 − 19𝑎 no se extiende hasta 𝐶 como sucede en realidad, se puede usar la superposición de las cargas que muestra la 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 12 − 19𝑏, para representar el mismo efecto 258 kN. m 52 kN 𝐴 5 m 4 m 8 𝑘𝑁/𝑚 50 𝑘𝑁/𝑚 𝐵 𝐶 12 kN 8 kN/m 𝑭𝒊𝒈. 𝟏𝟐 − 𝟏𝟗(𝒃)
- 8. Ademas. 𝑑𝑀/𝑑𝑥 =𝑉, por lo que al integrar de nuevo se obtiene 𝑀 = −258 𝑥 − 0 0 + 52 𝑥 − 0 1 − 1 2 8 𝑥 − 0 2 +50 𝑥 − 5 0 + 1 2 8 𝑥 − 5 2 𝑴 = −𝟐𝟓𝟖 + 𝟓𝟐𝒙 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒 𝒙 − 𝟓 𝟐 + 𝟓𝟎 𝒙 − 𝟓 𝟎 𝒌𝑵. 𝒎 Este mismo resultado se puede obtener en forma directa de la 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 12 − 2. Pendiente y curva elástica. Se aplica la 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 12 − 10 y se integra dos veces, para obtener 𝐸𝐼 𝑑2 𝑣 𝑑𝑥2 = −258 + 52𝑥 − 4𝑥2 + 50 𝑥 − 5 0 + 4 𝑥 − 5 2 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = −258 + 26𝑥2 − 4 3 𝑥3 + 50 𝑥 − 5 1 + 4 3 𝑥 − 5 3 + 𝐶1 𝐸𝐼𝑣 = −129𝑥2 + 26 3 𝑥3 − 1 3 𝑥4 + 25 𝑥 − 5 2 + 1 3 𝑥 − 5 4 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 Como 𝑑𝑣/𝑑𝑥 = 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 0, 𝐶1 = 0; ya que 𝑣 = 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 0, entonces 𝐶2 = 0. Es decir: 𝒗 = 𝟏 𝑬𝑰 −𝟏𝟐𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟔 𝟑 𝒙𝟑 − 𝟏 𝟑 𝒙𝟒 + 𝟐𝟓 𝒙 − 𝟓 𝟐 + 𝟏 𝟑 𝒙 − 𝟓 𝟒 𝒎 Ejemplo 12.5 𝑅𝑒𝑠𝑝. 8 𝑘𝑁/𝑚 50 𝑘𝑁. 𝑚 12 𝑘𝑁 𝒄 5 𝑚 4 𝑚 𝑨 258 kN. m 52 kN 𝐴 5 m 4 m 8 𝑘𝑁/𝑚 50 𝑘𝑁/𝑚 𝐵 𝐶 12 kN 8 kN/m 𝑭𝒊𝒈. 𝟏𝟐 − 𝟏𝟗(𝒂 𝒚 𝒃)
- 9. 12.4 Pendiente ydesplazamiento por el método del momento de área Teorema 2: La desviación vertical de la tangente en un punto (A) sobre la curva elástica, con respecto a la tangente prolongada desde otro punto (B) es igual al momento del área bajo el diagrama M/EI entre esos dos puntos (𝐴 𝑦 𝐵). Este momento se calcula con respecto al punto (A), donde se va a determinar la desviación vertical (tA/B). La distancia 𝑡𝐴/𝐵 también se puede interpretar como el desplazamiento vertical desde el punto ubicado en la tangente prolongada en 𝐵 hacia el punto 𝐴 de la curva elástica. Recuerda que 𝑡𝐴/𝐵 no es igual a 𝑡𝐵/𝐴 El momento bajo el diagrama 𝑀/𝐸𝐼 entre 𝐴 𝑦 𝐵 se calcula respecto al punto A y se determina 𝑡𝐴/𝐵 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 12 − 22𝑏 Y para realizar este calculo respecto al punto 𝐵 y determinar 𝑡𝐵/𝐴 , observe la 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 12 − 22𝑐 Si el momento de una área positiva 𝑀/𝐸𝐼 de 𝐴 𝑎 𝐵 se calcula para 𝑡𝐵/𝐴 nos indica que el punto B esta arriba de la tangente trazada desde el punto 𝐴, 𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 12 − 22 Y si 𝑀/𝐸𝐼 es negativa indica que el punto 𝐵 esta debajo de la tangente prolongada desde el punto A. Esta misma regla se aplica para 𝑡𝐴/𝐵. 𝐴 tan 𝐵 𝐵 tan 𝐴 𝑡𝐵/𝐴 𝑀 𝐸𝐼 𝐴 𝐵 𝑥′ 𝑥 𝑭𝒊𝒈. 𝟏𝟐 − 𝟐𝟐(𝒄)
- 10. PROCEDIMIENTO PARA ELANALISIS. El siguiente procedimiento es un método para aplicar los dos teoremas del momento de área. Diagrama M/EI. • Determinar las reacciones en los apoyos y trazar el diagrama 𝑀/𝐸𝐼 de la viga. Si la viga se carga con fuerzas concentradas, el diagrama 𝑀/𝐸𝐼 consistirá en una serie de segmentos de recta, y las áreas y sus momentos necesarios en los teoremas del momento de área serán fáciles de calcular. Si la carga consiste en una serie de cargas distribuidas, el diagrama 𝑀/𝐸𝐼 consistirá en curvas parabólicas, se sugiere usar la tabla del interior de la pasta anterior para ubicar el área y el centroide Curva elástica. • Trazar un esquema exagerado de la curva elástica. Recordar el efecto que tienen los soportes sobre la curva de deflexión • Si es difícil trazar la forma general de la curva elástica, usar el diagrama de momento (o de 𝑀/𝐸𝐼). Además, se presenta un punto de inflexión o un cambio de curvatura donde el momento (o 𝑀/𝐸𝐼) en la viga es cero. • En la curva se deben indicar el desplazamiento y la pendiente desconocidos que se van a determinar. • se debe poner atención a cuáles tangentes deben trazarse para que los ángulos o las desviaciones entre ellas conduzcan a la solución del problema. A este respecto, se deben considerar las tangentes en los soportes, ya que en general la viga tiene desplazamiento cero y/o pendiente cero en los apoyos. Teoremas del momento de área. • Aplicar el 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 1 para determinar el ángulo entre dos tangentes cualesquiera de la curva elástica, y el teorema 2 para determinar la desviación tangencial. • El signo algebraico del resultado se puede comprobar con el ángulo o la desviación indicados en la curva elástica. • Un ángulo 𝜃𝐵/𝐴 positivo representa una rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj, de la tangente en B con respecto a la tangente en A, y un 𝑡𝐵/𝐴 positivo indica que el punto B en la curva elástica está arriba de la prolongación de la tangente al punto A.
- 11. Ejemplo 12.12 Determine eldesplazamiento en el punto 𝐶, de la viga de acero en voladizo que muestra la 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 12 − 28𝑎. Tomar 𝐸𝑎𝑐 = 29 103 𝑘𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2 , 𝐼 = 125 𝑝𝑢𝑙𝑔4 12 pies 12 pies 10 klb 5 klb 5 klb C A 𝐵 Solución: Diagrama M/EI. Vea la 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 12 − 28𝑏. 𝑭𝒊𝒈. 𝟏𝟐 − 𝟐𝟖(𝒂) 𝑀 𝐸𝐼 −60 𝐸𝐼 𝐵 12 pies 12 pies 𝐴 C x (𝑏) 𝑭𝒊𝒈. 𝟏𝟐 − 𝟐𝟖(𝒃)
- 12. Curva elástica. Lacarga hace que la viga se flexione como muestra la 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 12 − 28𝑐. Se pide calcular ∆𝑐 . Si se trazan tangentes en 𝐶 y en los apoyos 𝐴 𝑦 𝐵, se ve que ∆𝑐= 𝑡𝐶/𝐴 − ∆′ . Sin embargo, ∆′ se puede relacionar con 𝑡𝐵/𝐴 con triángulos proporcionales; esto es, ∆′ /24 = |𝑡𝐵/𝐴|/12, o sea que ∆′ = 2|𝑡𝐵/𝐴|. Por consiguiente, ∆𝒄= 𝒕𝑪/𝑨 − 𝟐 𝒕𝑩/𝑨 Ejemplo 12.12 tan 𝐵 𝐵 𝑡𝐵/𝐴 tan A tan C 𝑡𝐶/𝐴 ∆′ ∆C 𝐶 𝑭𝒊𝒈. 𝟏𝟐 − 𝟐𝟖(𝒄) Teorema del momento de área. Se aplica el teorema 2 para determinar 𝑡𝐶/𝐴 𝑦 𝑡𝐵/𝐴. Entonces, 𝑡𝐶/𝐴 = 12𝑝𝑖𝑒𝑠 1 2 24 𝑝𝑖𝑒𝑠 − 60 𝑘𝑙𝑏 . 𝑝𝑖𝑒 𝐸𝐼 = − 8640 𝑘𝑙𝑏 . 𝑝𝑖𝑒3 𝐸𝐼 tB/A = 1 3 12 pies 1 2 12 pies − 60 klb . pie EI = − 1440klb. pie3 EI ↓ ¿Por qué esos términos son negativos? Sustituyendo estos resultados en la ecuación 1 se obtiene ∆𝒄= 8640 𝑘𝑙𝑏. 𝑝𝑖𝑒3 𝐸𝐼 − 2 1440 𝑘𝑙𝑏. 𝑝𝑖𝑒3 𝐸𝐼 = 5760 𝑘𝑙𝑏. 𝑝𝑖𝑒3 𝐸𝐼 Como los cálculos se hicieron de 𝐾𝑖𝑝 𝑦 𝑝𝑖𝑒𝑠, entonces ∆𝒄= 𝟓𝟕𝟔𝟎 𝒌𝒍𝒃. 𝒑𝒊𝒆𝟑 𝟏𝟕𝟐𝟖 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟑 /𝒑𝒊𝒆𝟑 𝟐𝟗 𝟏𝟎𝟑 𝒌𝒍𝒃/𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐 𝟏𝟐𝟓 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟒 = 𝟐. 𝟕𝟓 𝒑𝒖𝒍𝒈 ↓ 𝑅𝑒𝑠𝑝.