Este documento describe un estudio sobre el desgaste de los frenos delanteros y traseros de nueve automóviles. Se midió el millaje alcanzado por los frenos en cada automóvil y se calculó la diferencia entre los frenos delanteros y traseros. El documento determina un intervalo de confianza del 95% para la diferencia promedio en el millaje alcanzado entre los frenos delanteros y traseros.

1. UNIVERSIDAD TECNOLOGÍCA DE TORREON
Intervalos de confianza
con datos apareados
Estadística
Mariana Berenice Barraza González
10/04/2014

2. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN
INTERVALOS DE CONFIANZA CON DATOS APAREADOS
Mariana Berenice Barraza Gonzalez
En algunos casos, es mejor diseñar un experimento con el propósito de que cada
elemento en una muestra se empareje con un elemento en la otra. A
continuación se muestra un ejemplo.
Para una muestra de nueve automóviles, se mide el millaje (en mil millas) de los
patines de frenos frontales originales que se han desgastado 10% de su espesor
original, así como el millaje de los patines de los frenos traseros originales que se
han desgastado 10% de su espesor original.
Los resultados están dados en la tabla siguiente:
Determine un intervalo de confianza de 95% para la diferencia en la media de
tiempos de vida entre los patines de frenos delanteros y traseros.
-
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
0 2 4 6 8 10
Desgaste
Automovil
Delanteros
Traseros
Automóvil Delanteros Traseros
1 32.80 41.20
2 26.60 35.20
3 35.60 46.10
4 36.40 46.00
5 29.30 39.90
6 40.90 51.70
7 40.90 51.60
8 34.80 46.10
9 36.60 47.30

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INTERVALOS DE CONFIANZA CON DATOS APAREADOS
Mariana Berenice Barraza Gonzalez
Hay coincidencia considerable en el millaje para las dos muestras. Es difícil decir
de la columna si hay una diferencia entre delanteros y traseros.
Sin embargo, cuando los datos se revisan en pares, está claro que, en general, los
delanteros tienen más millas que los traseros. La razón de analizar los pares es
presentar un esquema más claro del resultado, que los automóviles varían mucho
en cuanto a las millas marcadas.
Cuando los datos se consideran en pares, la variabilidad entre los automóviles
desaparece, porque ambas muestras provienen del mismo automóvil.
Automóvil
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Traseros 41.20 35.20 46.10 46.00 39.90 51.70 51.60 46.10 47.30
Delanteros 32.80 26.60 35.60 36.40 29.30 40.90 40.90 34.80 36.60
Diferencia 8.40 8.60 10.50 9.60 10.60 10.80 10.70 11.30 10.70
La tabla presenta, para cada automóvil, el millaje, así como la diferencia entre
ellos.
Se desea encontrar un intervalo de confianza de 95% % para la diferencia en la
media de tiempos de vida entre los patines de frenos delanteros y traseros en una
forma que resulta ventajosa para reducir la variabilidad producida por el diseño
apareado.
La forma de hacer esto último es pensar en una población de pares de valores,
en la cual cada par consiste de mediciones de patines de frenos delanteros y
traseros en el mismo automóvil.
Para cada par en la población, hay una diferencia (Trasero-delantero), por lo que
hay una población de diferencias. Los datos constituyen, entonces, una muestra
aleatoria poblacional de pares y sus diferencias representan una muestra
aleatoria poblacional de diferencias.

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Con el propósito de poner lo anterior en notación estadística, sea (X1, Y1), . . . , (X9,
Y9) los nueve pares observados, con Xi representando los patines de frenos
traseros del i-ésimo automóvil y Yi representando los patines de frenos delanteros
del i-ésimo automóvil.
Sea Di = Xi - Yi las diferencia entre las millas de los patines de frenos del i-ésimo
automóvil. Sean X y Y las medias poblacional para X y Y, respectivamente.
Se desea encontrar un intervalo de confianza de 95% para la diferencia X - Y.
Sea D la media poblacional de diferencias.
Entonces D = X - Y. En consecuencia, un intervalo de confianza para D
también será un intervalo de confianza para X - Y.
Dado que la muestra D1, . . . , D10 es una muestra aleatoria de una población con
media D, es posible utilizar métodos para encontrar intervalos de confianza para
D.
En este ejemplo, puesto que el tamaño muestral es pequeño, se usa el método t
de Student.

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INTERVALOS DE CONFIANZA CON DATOS APAREADOS
Mariana Berenice Barraza Gonzalez
Los valores observados de la media muestral y la desviación estándar muestral
son: D= 10.13 SD=8.44
Automóvil Delanteros Traseros Diferencia Desviación
1 32.80 41.20 8.4 3.00444444
2 26.60 35.20 8.6 2.35111111
3 35.60 46.10 10.5 0.13444444
4 36.40 46.00 9.6 0.28444444
5 29.30 39.90 10.6 0.21777778
6 40.90 51.70 10.8 0.44444444
7 40.90 51.60 10.7 0.32111111
8 34.80 46.10 11.3 1.36111111
9 36.60 47.30 10.7 0.32111111
10.13333333 8.44
El tamaño muestral es nueve, por lo que hay ocho grados de libertad. El valor
adecuado t es = T8, 0.025 = 2.306.
Por tanto, el intervalo de confianza es
10.13 + (2.306) = (3.7458, 16.621)