Este documento presenta una demostración de la estimación por máxima verosimilitud para un modelo de regresión con dos variables. Muestra que los estimadores de máxima verosimilitud son idénticos a los de mínimos cuadrados ordinarios. Sin embargo, la varianza estimada por máxima verosimilitud es sesgada y difiere de la varianza de mínimos cuadrados ordinarios, la cual es insesgada. En muestras pequeñas, la varianza estimada por máxima verosimilitud tiende a subestimar la

1. EXPOSICIÓN MÁXIMA VEROSIMILITUD
DEMOSTRACIÓN
ECONÓMETRIA
ESTIMACIÓN MAXIMA VEROSIMILITUD DEL MODELO DE REGRESIÓN CON
DOS VARIABLES
Suponemos que para:
Yi; son independientes y normalmente distribuidas con media y con
varianza .
Puede escribirse la función de densidad de probabilidad de la siguiente forma:
Donde;
Es la función de densidad de una variable normalmente distribuida con media y
varianza dadas.
Ahora sustituyendo la ecuación [2] por cada Yi, en [1] se obtiene:
Si Y1, Y2,…,Yn son conocidas o están dadas, pero β 1,β2,σ2 no se conocen, la
función en [3] se llama función de verosimilitud, denotada por
y escrita así:
Para la diferenciación, es más fácil expresar [4] en términos de la función
logaritmo o log de la siguiente manera. (ln=logaritmo natural.)

2. EXPOSICIÓN MÁXIMA VEROSIMILITUD
DEMOSTRACIÓN
ECONÓMETRIA
Diferenciando [5] parcialmente con respecto a se obtiene:
Igualandoestas ecuaciones a cero y dejando que denoten los
estimadores MV se obtiene:
Simplificando las ecuaciones [9] y [10] se obtiene:
Nótese que son
iguales a los
estimadores de
MCO
Una vez demostrado que los estimadores de máxima verosimilitud son idénticos a
los de mínimos cuadrados, haremos la demostración de que la varianza de MV
difiere de MCO, teniendo entonces que:
Notese que se han introducido los gorros por que los =

3. EXPOSICIÓN MÁXIMA VEROSIMILITUD
DEMOSTRACIÓN
ECONÓMETRIA
Ahora para poder demostrar que la varianza de MV es sesgada y
difiere de la varianza de MCO ; ya que esta es insesgada,
tenemos que recordar entonces que:
Ahora bien tomando la esperanza de [14] tenemos que:
….. Utilizando la ecuación [1.1]
…… y resolviendo nos queda entonces:
…. lo cual nos muestra que el estimador de la varianza en mv es sesgado
hacia abajo, es decir, subestima el verdadero , en pequeñas muestras, pero en muestas muy
grandes es insesgado y consistente, es decir si el número de datos incrementa el estimador de
varianza de MV tiende a: