Este documento trata sobre estadística inferencial y métodos de estimación de parámetros. Explica que la inferencia estadística se utiliza para sacar conclusiones sobre una población basadas en una muestra. Detalla los conceptos de estimación puntual, propiedades de los estimadores como ser insesgado y de mínima varianza, y el método de máxima verosimilitud. También cubre distribuciones de muestreo y el teorema del límite central.

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA CIVIL
CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
El campo de la inferencia de la estadística se compone de los métodos que se utilizan para
tomar decisiones o sacar conclusiones acerca de una población. Estos métodos emplean
información contenida en una muestra de la población para sacar conclusiones. La
inferencia estadística puede dividirse en dos áreas principales: estimación de parámetros
y prueba de hipótesis.
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
Población: El conjunto completo de individuos, objetos u observaciones de interés.
Muestra: Un subconjunto de la población.
Estadístico
Las variables aleatorias (X1, X2,..., Xn) son una muestra aleatoria de tamaño n si:
 Las Xi son variables aleatorias independientes.
 Cada Xi tiene la misma distribución de probabilidad
Estadístico: cualquier función de las observaciones de una muestra aleatoria.
Estimación Puntual: Una estimación puntual de un parámetro poblacional θ es un valor
numérico particular de un estadístico . El estadístico es denominado estimador puntual.
PROPIEDADES DE UN ESTIMADOR PUNTUAL DE UN
PARÁMETRO Θ.

2. 1. Estimador insesgado:
El estimador puntual es un estimador insesgado del parámetro θ si:
E( ) = θ
Si el estimador no es insesgado, entonces, a la diferencia E ( ) – θ se le llama sesgo del
estimador
2. Varianza de un estimador puntual
Si se consideran todos los estimadores insesgados de θ al que tiene la varianza menor se
le llama el estimador insesgado de mínima varianza (MVUE).
Si X1, X2,..., Xn es una muestra aleatoria de tamaño n de una distribución normal con media
μ y varianza σ2
, entonces la media muestral es el MVUE para la μ.
La media muestral y una simple observación de la muestra son estimadores insesgados
de μ. La varianza de:
Media muestral es σ2
/n.
Una simple observación es σ2
Puesto σ2
/ n < σ2
, se selecciona la media muestral.
3. Error estándar
El error estándar de un estimador es su desviación estándar, dada por :
El error estándar estimado de es
4. Error cuadrado medio
El error cuadrado medio de un estimador del parámetro θ se define como
MSE ( ) = E( − θ)2
= V( ) + sesgo2
El MSE es un criterio importante para comparar dos estimadores de un mismo parámetro.
Entonces, la eficiencia relativa de 2 con respecto a 1 se define como:
MSE( 1) / MSE( 2)
Si esta eficiencia relativa es menor que uno, se concluiría que 1 es un estimador más
eficiente de θ que 2, en el sentido que tiene un error cuadrado medio menor.
MÉTODO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD

3. Uno de los mejores métodos para obtener un estimador puntual de un parámetro es el
método de máxima verosimilitud. Como su nombre lo indica, el estimador será el valor del
parámetro que maximiza la función de verosimilitud.
Definición
Definición:
Suponga que X es una variable aleatoria con distribución de probabilidad f (x; θ); donde θ
es un solo parámetro desconocido.
Sean X1, X2,..., Xn los valores observados en una muestra aleatoria de tamaño n. Entonces
la función de verosimilitud de la muestra es:
L(θ) = f(x1; θ) f(x2; θ)...f (xn; θ)
El estimador de máxima verosimilitud de θ es el valor de θ que maximiza la función de
verosimilitud L(θ).
Objetivo:
Obtener un estimador puntual de un parámetro θ.
Procedimiento:
Encontrar la función de máxima Verosimilitud
L(θ) = f (x1; θ) f (x2; θ)...f (xn; θ)
Expresar la función ln (L(θ))
Derivar la función ln (L(θ)), e igualar a 0.
𝑑𝑙𝑛(𝐿(θ))
𝑑θ
= 0
DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO
La distribución de probabilidad de un estadístico se llama distribución de muestreo.
TEOREMA DE LÍMITE CENTRAL
La distribución de probabilidad de un estadístico se llama distribución de muestreo.
Definición:
Si X1, X2,..., Xn es una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población (sea finita
o infinita) con media μ y varianza σ2
, y si es la media muestral, entonces la forma límite
de la distribución de
𝑍 =
−𝜇𝑋
−
𝜎/√ 𝑛
Cuando n →∞, es la distribución normal estándar.