El documento describe la distribución de Poisson para modelar el flujo vehicular. Explica que la probabilidad de que lleguen x vehículos en un intervalo de tiempo t sigue una distribución de Poisson, donde m es el número promedio de vehículos esperados. También cubre las propiedades de la distribución acumulada de Poisson y la distribución de intervalos, con ejemplos de cómo calcular diferentes probabilidades.

1. Descripcion probabilistica
del flujo vehicular
Luis Tapia
Adriana Vega

2. 𝑃 𝑥 =
𝑚 𝑥 𝑒−𝑚
𝑥!
Distribucion de Poisson
Donde:
X= Representa el numero de llegadas de vehiculos a
un punto.
P(x)= Probabilidad de que lleguen exactamente x
vehiculos al punto durante un intervalo de tiempo t.
m= numero medio de vehiculos que se espera lleguen
durante el intervalo de tiempo t.

3. Distribucion de Poisson
El valor de m en funcion de la tasa de flujo
de llegada q es:
𝑚 = 𝑞𝑡
Por tanto:
𝑃 𝑥 =
(𝑞𝑡) 𝑥 𝑒−𝑚
𝑥!

6. Propiedades de la
distribucion acumulada de
Poisson

7. 1. Probabilidad de que lleguen N o menos vehiculos:
𝑃 𝑥 ≤ 𝑁 =
𝑥=0
𝑁
𝑃 𝑥 =
𝑥=0
𝑁
𝑚 𝑥
𝑒−𝑚
𝑥!
2. Probabilidad de que lleguen mas de N vehiculos:
𝑃 𝑥 > 𝑁 = 1 − 𝑃 𝑥 ≤ 𝑁 = 1 −
𝑥=0
𝑁
𝑚 𝑥
𝑒−𝑚
𝑥!
3. Probabilidad de que lleguen menos de N vehiculos:
𝑃 𝑥 < 𝑁 = 𝑃 𝑥 < 𝑁 − 1 =
𝑥=0
𝑁−1
𝑚 𝑥
𝑒−𝑚
𝑥!
4. Probabilidad de que lleguen N o mas vehiculos:
𝑃 𝑥 ≥ 𝑁 = 1 − 𝑃 𝑥 < 𝑁 = 1 −
𝑥=0
𝑁−1
𝑚 𝑥
𝑒−𝑚
𝑥!

8. Distribucion de intervalos
› Cuando el intervalo h es igual o mayor que t:
𝑝 ℎ ≥ 𝑡 = 𝑒−𝑞𝑡
› Cuando el intervalo h es menor que t:
𝑝 ℎ < 𝑡 = 1 − 𝑒−𝑞𝑡

10. Distribucion de intervalos
Tambien se puede determinar la probabilidad de
tener un intervalo h entre vehiculos dentro de un
intervalo de t1 a t2, siendo t1<t2.
› 𝑃 𝑡1 < ℎ < 𝑡2 = 𝑃 ℎ < 𝑡2 − 𝑃 ℎ < 𝑡1
= 1 − 𝑒−𝑞𝑡2 − 1 − 𝑒−𝑞𝑡1
› 𝑃 𝑡1 < ℎ < 𝑡2 = 𝑒−𝑞𝑡1 − 𝑒−𝑞𝑡2

11. Aplicaciones
Control de intersecciones
Calculo de longitudes de almacenamiento
en carriles de vuelta izquierda
Estimacion de filas y demoras
de transito
Estudio de maniobras de convergencia
de corrientes vehiculares
Prediccion de llegadas de
vehiculos a puntos de interes

12. EJEMPLO #1
Sobre uno de los accesos de una determinada
intersección sin semaforo, en promedio 5 vehiculos por
hora dan vuelta a la izquierda. Se desea determinar la
probabilidad que en una hora especifica: exactamente 5
den vuelta; exactamente 3 den vuelta; a lo maximo 3
den la vuelta; mas de 3 den la vuelta; menos de 3 den la
vuelta y por lo menos 3 den la vuelta. m= 5 vueltas
durante 1 h.

13. ›Exactamente 5 den la vuelta:
𝑝 5 = 𝑝 𝑥 = 5 =
55 𝑒−5
5!
= 0.175
›Exactamente 3 den la vuelta:
𝑝 3 = 𝑝 𝑥 = 3 =
53
𝑒−5
3!
= 0.140
› A lo máximo 3 den vuelta:
𝑝 𝑥 ≤ 3 =
𝑥=0
3
5 𝑥 𝑒−5
𝑥!
𝑝 𝑥 ≤ 3 =
50
𝑒−5
0!
+
51
𝑒−5
1!
+
52
𝑒−5
2!
+
53
𝑒−5
3!
= 0.265

14. ›Mas de 3 den vuelta:
𝑝 𝑥 > 3 = 1 −
𝑥=0
3
5 𝑥
𝑒−5
𝑥!
𝑝 𝑥 > 3 = 1 − 0.265 = 0.735
› Menos de 3 den vuelta:
𝑝 𝑥 < 3 =
𝑥=0
3−1
5 𝑥 𝑒−5
𝑥!
= 0.125
› Por lo menos 3 den vuelta:
𝑝 𝑥 ≥ 3 = 1 −
𝑥=0
2
5 𝑥 𝑒−5
𝑥!
= 0.875

15. EJEMPLO #2
Una carretera, donde se supone que los vehículos están
distribuidos en forma casual segun una distribucion de
Poisson, tiene un flujo medio de 342 vehiculos por hora.
Se desea conocer la probabilidad de tener un intervalo
entre vehiculos menor de 8 segundos y determinar el
porcentaje de los intervalos entre vehiculos que esten
entre 10 y 20 segundos.

16. 𝑞 = 342
𝑣𝑒ℎ
ℎ
𝑡 =
8𝑠
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜
›El numero medio m de vehiculos que se
espera lleguen durante los 8 segundos es:
𝑚 = 𝑞𝑡 = 0.76
𝑣𝑒ℎ
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜
›La probabilidad de tener un intervalo entre
vehiculos menor de 8 segundos es:
𝑃 ℎ < 8𝑠 = 1 − 𝑒−𝑞𝑡 = 1 − 𝑒−0.76 = 0.532

17. ›Porcentaje de intervalos entre 10 y 20 segundos,
P(10 s < h < 20 s):
t1=10 s/intervalo y t2=20 s /intervalo
𝑞𝑡1 = 342(10)(
1
3600
) = 0.95
𝑞𝑡1 = 342(20)(
1
3600
) = 1.90
Luego:
𝑝 10𝑠 < ℎ < 20𝑠 = 𝑒−𝑞𝑡1 − 𝑒−𝑞𝑡2
= 𝑒−0.95 − 𝑒−1.90
= 0.237
Lo que indica que el 23.7% de todos los intervalos
entre los vehiculos estan entre 10 y20 segundos.