La distribución de Poisson describe eventos aleatorios donde la probabilidad de que ocurra un evento es pequeña pero el número total de intentos es grande. Se usa para modelar procesos como llamadas telefónicas, llegada de pacientes a hospitales, accidentes viales, y defectos en productos. La distribución depende de un parámetro λ que representa el número promedio de eventos. La probabilidad de x eventos es P(x|λ) = λx e-λ/x!.

2. P O I S S O N
La distribución de Poisson describe la probabilidad como un acontecimiento
fortuito ocurrido en un tiempo o intervalo de espacio bajo las condiciones que la
probabilidad de un acontecimiento ocurre es muy pequeña, pero el número de
intentos es muy grande, entonces el evento actual ocurre algunas veces.

3. Poisson, usos
“La probabilidad de obtener “X “ éxitos en un intervalo continuo”
• Se emplea para describir varios procesos:
• Distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador
• La demanda de servicios en un hospital por parte de los pacientes
• Los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro
• El número de accidentes en un cruce
• El número de defectos en una tela por m2
• El número de bacterias por cm2

4. Poisson, características
Características
El número medio (promedio) de eventos en el espacio temporal o región específica
de interés, por lo general esta media se representa por la lambda griega (λ)
El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o región
específicos es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo
de tiempo o región
La probabilidad de que un resultado muy pequeño ocurra en un intervalo de
tiempo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del
intervalo de tiempo o al tamaño de la región
La probabilidad de que más de un resultado ocurra en un intervalo de tiempo
tan corto o en esa región tan pequeña es inapreciable, que se puede asignar el
valor de 0

5. P (x I λ ) = la probabilidad de que ocurran X éxitos cuando el número promedio de ocurrencia de
ellos es λ.
λ media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto.
es
Fórmula de Poisson
e es la constante 2.7183, base de los logaritmos naturales, en tanto que los valores
de e-λ pueden obtenerse de tablas.
obtenerse de tablas.
P(x I λ ) = λ x *e-λ
x!
X señala un valor específico que la variable pueda tomar (el número de éxitos que deseamos ocurran).
Por definición, el valor esperado (media en el intervalo o región de interés) de una distribución de
probabilidad de Poisson es igual a la media de la distribución.
probabilidad de Poisson es igual a la media de la distribución.
E(x) = λ
La varianza del número de eventos de una distribución de probabilidad de Poisson también es igual a
la media media de la de distribución la distribución λ. . De De este modo, modo, la la desviación desviación estándar estándar es la raíz es la cuadrada raíz cuadrada de .
de λ.
V(x) = λ
σ = √ λ

6. Ejemplos
P(x I λ ) = λ x *e-λ
indican una media de cinco accidentes por mes en él. El número de accidentes está distribuido conforme a la
exactamente 0,1,2,3 y 4 accidentes en un mes determinado.
será igual a :
ocurran más de tres (X > 3) debe ser = 1 –0.26511 = 0.73489.
x!
Supóngase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los
archivos de la policía indican una media de cinco accidentes por mes en el. El número
de accidentes esta distribuido conforme a la distribución de Poisson, y la división de
seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente 0,1,2,3 y 4
accidentes en un mes determinado.
Aplicando la fórmula anterior:
P(0) = (5)0 (e-5) /0! = 0.00674
P(1) = (5)1 (e-5) /1! = 0.03370
P(2) = (5)2 (e-5) /2! = 0.08425
P(3) = (5)3 (e-5) /3! = 0.14042
P(4) = (5)4 (e-5) /4! = 0.17552
Para saber cual es la probabilidad en 3 o menos (X ≤ 3), sumaremos las
probabilidades de 0,1,2,3 lo que será igual a:
P(X ≤ 3) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3) = 0.26511
Dado que la probabilidad de que haya 3 o menos accidentes es de 0.26511 entonces la
probabilidad de que ocurran más de tres (X>3) debe ser = 1 – 0.26511 = 0.73489.

7. En una tienda de telas, un promedio de 12 personas por hora le hacen preguntas a un
decorador. La probabilidad de que 3 ó más personas se acerquen al decorador para
hacerle preguntas en un periodo de 10 minutos.
Promedio por hora =12
λ= promedio por 10 minutos =12/6 = 2.0
P (X ≥ 3 I λ= 2) = P (X=3 I λ = 2) + P (X=4 I λ = 2) + P (X=5 I λ = 2) + …
Ó
P (X ≤ 2 I λ = 2) = 1 – [ P (X=0 I λ = 2) + P (X=1 I λ = 2) + P (X=2 I λ = 2) ]
Solución 1 Solución 2
P (X=3 I = 2) = 0.1804 P (X= 0 I = 2) = 0.1353
P (X=4 I = 2) = 0.0902 P (X= 1 I = 2) = 0.2707
P (X=5 I = 2) = 0.0361 P (X= 2 I = 2) = 0.2707
P (X=6 I = 2) = 0.0120
P (X=7 I = 2) = 0.0034 P (X ≥ 3 I = 2) = 0.3232
P (X=8 I = 2) = 0.0009
P (X=9 I = 2) = 0.0002
P (X ≥ 3 I = 2) = 0.3232

8. PROBLEMAS.
1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son
las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día
dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?
2. En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo,
se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las
probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos
dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15
minutos.

9. SOLUCIONES.
EJERCICIO 1
a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un
día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.
λ = 6 cheques sin fondo por día
ε = 2.718
a) X= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en
dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.
λ = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días
consecutivos

10. SOLUCIONES.
EJERCICIO 2
a) X= variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3
minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.
λ = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata
b) X= variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5
minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.
λ = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata

11. SOLUCIONES.
EJERCICIO 2
c) X = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada
15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc.
λ = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada 15 minutos en la hojalata