La distribución de Poisson describe procesos aleatorios donde los eventos ocurren con baja probabilidad en intervalos de tiempo, área o volumen. Se utiliza para calcular la probabilidad de que ocurran k eventos dados los parámetros λ y n. La media y varianza de una distribución de Poisson son iguales a λ.
2. Dato histórico
La distribución de Poisson se llama así
en honor a su creador, el francés
Simeón Dennis Poisson (1781-1840),
Esta distribución de probabilidades fue
uno de los múltiples trabajos matemáticos
que Dennis completó en su productiva trayectoria.
3. Utilidad
La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los
sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras
palabras no se sabe el total de posibles resultados.
Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso
con resultado discreto.
Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la
probabilidad de éxitos p es pequeña.
Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se
distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo
distancia, área, volumen o tiempo definido.
4. Ejemplos de la
utilidad
La llegada de un cliente al negocio durante una hora.
Las llamadas telefónicas que se reciben en un día.
Los defectos en manufactura de papel por cada metro
producido.
Los envases llenados fuera de los límites por cada 100
galones de producto terminado.
La distribución de Poisson se emplea
para describir procesos con un elemento
en común, pueden ser descritos por una
variable aleatoria discreta.
5. Propiedades de un
proceso de Poisson
1. La probabilidad de observar exactamente un éxito en el
segmento o tamaño de muestra n es constante.
2. El evento debe considerarse un suceso raro.
3. El evento debe ser aleatorio e independiente de otros
eventos
Si repetimos el experimento n veces podemos
obtener resultados para la construcción de la
distribución de Poisson.
6. La distribución de Poisson
La distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de
distribución de probabilidad discreta.
La distribución de Poisson parte de la distribución binomial.
Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento
muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de
éxito p en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el
modelo de distribución de Poisson.
Se tiene que cumplir que:
p < 0.10
p * n < 10
7. La función P(x=k)
A continuación veremos la función de probabilidad de la
distribución de Poisson.
Donde:
P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable
discreta X toma un valor finito k.
λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo,
volumen, área, etc.).
λ = p * n
La constante e tiene un valor aproximado de 2.711828.
K es el número de éxitos por unidad
8. Ejemplo1 de la función
F (x=k)
La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de
manufactura es de 0.02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300
días al año, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes?
Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el producto n * p es
menor que 10 (300 * 0.02 = 6), entonces, aplicamos el modelo de
distribución de Poisson:
Al realizar el cómputo tenemos que P(x = 3) = 0.0892
Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300
días de trabajo es de 8.9%.
9. Ejemplo 2 de la función
F(x=k)
La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de
0.012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 productos ya
fabricados hayan 5 defectuosos?
En este ejemplo vemos nuevamente la probabilidad p menor
que 0.1, y el producto p * n menor que 10, por lo que
aplicamos el modelo de distribución de Poisson:
El resultado es P (x = 5) = 0.04602
Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 productos
defectuosos entre 800 recién producidos es de 4.6%.
10. Tablas de probabilidad de
Poisson
Utilizando la tabla de probabilidad de Poisson se pueden
resolver los ejemplos anteriores.
Para esto, usted debe saber los valores X y λ.
X es el número de éxitos que buscamos. Este es el valor K.
λ es el número promedio de ocurrencias por unidad (tiempo,
volumen, área, etc.). Se consigue multiplicando a p por el
segmento dado n.
Del ejemplo 1: λ = 0.02 * 300 = 6
Del ejemplo 2: λ = 0.012 * 800 = 9.6
11. 11 2-2008
Número de clientes que son atendidos en el
banco en una hora
Clientes: Variable discreta
Hora: Rango de tiempo
Variable continua.
Sí aplica Poisson
12. 12 2-2008
Número de personas que viven en Honduras por
kilómetro cuadrado
Personas: Variable discreta
Kilometro: Superficie
Variable continua.
Sí aplica Poisson
13. 13 2-2008
Distribución de Poisson
La distribución de Poisson tiene un
parámetro que representa la
media.
El símbolo para denotar la
distribución de poisson es la letra
griega Lambda (λ).
14. 14 2-2008
Distribución de Poisson
La fórmula de la distribución es:
!
( )
x
P X x e
-llx
= =
e = 2.71828
15. 15 2-2008
Si λ=4. ¿A qué es igual P(X=2)?
0.146525
0.29305
2
!
= =
-
-
P X e
( = 2) =
4
( 2) (0.0183156)(16)
2 1
2!
( )
4 2
= = = =
x
P X
x
P X x e
llx
La probabilidad de que x=2 es del 14.65%
16. 16 2-2008
Si λ=2.5. ¿A qué es igual P(X=4)
0.1336
3.2064
24
= =
-
-
P X e
( 4) 2.5
4!
= =
( 4) (0.082085)(39.06)
4 3 2 1
!
( )
2.5 4
= = = =
x x x
P X
x
P X x e
llx
La probabilidad de que x=4 es del 13.36%
17. En estudios anteriores, en una agencia bancaria,
en promedio llegan 3 clientes a una ventanilla
para ser atendido durante la hora del almuerzo. Si
en la actualidad queremos hacer modificaciones
en la ventanillas, una de las preguntas que se
pueden hacer los del depto. de Mercadeo es:
¿Cuál es la probabilidad de que lleguen dos
clientes en un minuto dado.
2-2008 17
18. 18 2-2008
En el enunciado el promedio es de 3 clientes por
minuto; λ=3; al preguntar por la probabilidad de
que 2 clientes lleguen en un minuto dato se
quiere calcular x=2
- -
( 2) 3
= = º = =
0.224
( 2) (0.049787)(9)
2 1
2!
!
( )
3 2
= = =
x
P X
P X e
x
P X x e
ll x
La probabilidad que lleguen 2 clientes por minuto es 22.4%
19. Desiguald19 ades en la 2-2008
Distribución Poisson
La probabilidad de que un evento sea menor
o igual que 2, se denota así:
P(X £ 2) = P(X = 2) + P(X = 1) + P(X = 0)
Cuando la población es infinita, la
probabilidad en mayor se convierten en tipo
menor, de la siguiente manera:
P(X > 2) =1- P(X £ 2)
20. 20 2-2008
Calcular P(X < 2), si λ=3
P X P X P X
< = = + =
( 2) ( 1) ( 0)
(0.049787)(1)
3 1 3 0
3
P ( X < 2) = e 3
+
e
( 2) (0.049787)(3)
< = +
< = +
P X
P X
( 2) 0.14936 0.049787
( 2) 0.199147
1
1
0!
1!
< =
- -
P X
La probabilidad de que x<2 es de 19.91%
21. 21 2-2008
Si λ=3, calcular P(X ≤ 2)
P X P X P X P X
£ = = + = + =
( 2) ( 2) ( 1) ( 0)
3 2 3 1 3 0
3
P X e e e
(0.049787)(3)
3
( 2) 3
£ = + +
( 2) (0.049787)(9)
£ = + +
£ = + +
P X
( 2) 0.22404 0.14936 0.049787
( 2) 0.423187
(0.049787)(1)
1
1
2 1
0!
1!
2!
£ =
- - -
P X
x
P X
La probabilidad de que x ≤ 2 es de 42.32%
22. 22 2-2008
Si λ=3 y n=5, calcular P(X > 2)
P X P X P X P X
> = = + = + =
( 2) ( 3) ( 4) ( 5)
3 3 3 4 3 5
3
(0.049787)(81)
P ( X > 2) = e 3
+ e 3
+
e
( 2) (0.049787)(27)
> = + +
> = + +
P X
( 2) 0.22404 0.16803 0.10082
( 2) 0.49289
(0.049787)(243)
4 3 2 1
4 3 2 1
3 2 1
5!
4!
3!
> =
- - -
P X
x x x x x x x x x
P X
La probabilidad de que x ≤ 2 es de 42.32%
23. La media μ y la varianza σ2
17
Características de la distribución
Poisson
k = 5 λ = 0.1
k = 5 λ = 0.5
Media
m= E(X) = λ
Varianza
λ = σ2
.6
.4
.2
0
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
.6
.4
.2
0 1 2 3 4 5
X
P(X)
0
24. En resumen
En este módulo hemos determinado la probabilidad de Poisson mediante
el uso de la función de Poisson, aprendimos que:
1. La distribución de Poisson se forma de una serie de experimentos de
Bernoulli.
2. La media μ o valor esperado en la distribución de Poisson es igual a
λ.
3. La varianza (σ2 ) en la distribución de Poisson también es igual a λ.
4. La desviacion estándar es la raíz de λ.
25. Ejercicios de prueba
Los siguientes ejercicios de prueba fueron resueltos
utilizando la distribución binomial en el módulo con ese
mismo nombre. Refiérase a los ejercicios en ambos módulos
y compare la diferencia de cada pregunta.
¿Puede responder por qué se resuelven esta vez utilizando
la distribución de Poisson?
Demuestre su razonamiento.
26. Ejercicio de prueba #1
Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 3%
de la caja está descompuesta. Si un comprador elige 100
verduras al azar, encuentre la probabilidad de que,
a) las 4 estén descompuestas.
b) de 1 a 3 estén descompuestas
Para resolver la pregunta “b” repase el
módulo de las reglas de probabilidad.
En este caso se resuelve sumando las
probabilidades P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)
= 0.1494 + 0.2240 + 0.2240
27. Ejercicio de prueba #2
En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró
que el 0.04 presentaban fuga de aceite. Si se instalan 150 de estos
amortiguadores, hallar la probabilidad de que,
a) 4 salgan defectuosos,
b) más de 5 tengan fuga de aceite.
c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos.
d) Determine el promedio y la desviación estándar de
amortiguadores con defectos.
La pregunta “b” debe sumar las probabilidades desde
P(x=6) en adelante.
En la “c” debe sumar P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + P(x=6).
28. Ejercicio de prueba #3
Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad
de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 200
alternadores de un lote. Si el 2% de los alternadores del lote están
defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra,
a) ninguno esté defectuoso,
b) uno salga defectuoso,
c) al menos dos salgan defectuosos
d) más de tres estén con defectos
Para la pregunta “d” puede realizar
la siguiente operación:
1 – [P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)]
29. Ejercicio de prueba #4
La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin
que falle es de 0.95, calcular la probabilidad de que en una muestra
de 15,
a) 12 duren menos de un año,
b) a lo más 5 duren menos de un año,
c) al menos 2 duren menos de un año.
30. Ejercicio de prueba #5
Si 8 de 100 viviendas violan el código de construcción. ¿cuál es la
probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona
aleatoriamente a 50 de ellas, descubra que:
a) ninguna de las casas viola el código de
construcción
b) una viola el código de construcción
c) dos violan el código de construcción
d) al menos tres violan el código de construcción
31. Glosario de términos
Aleatorio – que ocurre al azar.
Distribución de Poisson – Distribución discreta que se aplica
cuando se realizan más de una vez y de forma independiente el
experimento de Bernoulli.
Éxitos – Es la ocurrencia del evento de interés como cantidad de
defectos, llamadas recibidas, servicios completados.
Experimento independiente – Cuando el resultado de un
experimento no tiene influencia en el resultado de otro
experimento.
32. Glosario de términos
Resultado discreto – Son resultados con un número finito de
valores (3 defectos, menos de 8, hasta 5, etc.)
Suceso raro – Un evento que ocurre con poca frecuencia.
Segmento - es un intervalo, porción, fragmento o tamaño de
muestra, ya sea en unidades de distancia, área, volumen, tiempo
o cualquier otra medida.
Variable Aleatoria Discreta - Variable que puede obtener un
número finito de valores de forma impredecible o al azar.
Variable Discreta – Variable que puede obtener un
número finito de valores como 0, 1, 2, 3.
33. Referencias
Anderson, S. (2006). Estadísticas para administración y
economía. (8tva ed.). México:Thomson.
Newbold P. (2003). Statistics for Business And Economics.
(2003). (5ta. Ed.). New Jersey: Prentice Hall.
Bluman, A. G. (2007). Statistics. (6ta ed.). New York: Mc Graw
Hill.
http://cyber.gwc.cccd.edu/faculty/jmiller/Binom_Tab.pdf
http://stattrek.com/Tables/poisson.aspx#calculator
