Este documento presenta 5 ejemplos para ilustrar la aplicación de las distribuciones de Bernoulli, binomial, Poisson y normal. Explica conceptos como probabilidad de éxito, probabilidad de fracaso, variables aleatorias y parámetros asociados a cada distribución. Los ejemplos incluyen lanzar monedas, dados y otros experimentos aleatorios para calcular probabilidades bajo cada distribución.

1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE TORREÓN
Aplicación de las Distribuciones
Maricruz Buendía Solís
2-“A”
Procesos Industriales

2. Aplicaciones de las distribuciones
Distribución Bernoulli
Ejemplo 1:
•Se ha observado estudiando 2000 accidentes de tráfico
con impacto frontal y cuyos conductores sí tenían cinturón
de seguridad, que 10 individuos quedaron con secuelas.
Describa el experimento usando conceptos de v.a.
• Solución.
• La noc. Frecuentista de prob. Nos permite
aproximar la probabilidad de quedar con secuelas por
10/2000=0,005=0,5%
• X=“tener secuelas tras accidente usando cinturón” es
variable de Bernoulli
•X=1 tiene probabilidad p ≈ 0,005
•X=0 tiene probabilidad q ≈ 0,995
Ejemplo 2:
"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga
cruz". Se trata de un solo experimento, con dos resultados
posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El
fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.
La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen
en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0
(ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).
Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que
cumple todos los requisitos.
•solución
•
•
•

3. Ejemplo 3:
Lanzar un dado y salir un 6".
Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:
Estamos realizando un único experimento (lanzar el dado
una sola vez).
Se considera éxito sacar un 6, por tanto, la probabilidad
según el teorema de La place(casos favorables dividido
entre casos posibles) será 1/6.
Se considera fracaso no sacar un 6, por tanto, se considera
fracaso sacar cualquier otro resultado.
La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale
un 6", y solo existen dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y
1 (que salga un 6).
Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una
Bernoulli de parámetro = 1/6
La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida
como la probabilidad de que X sea igual a 1.
La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene
definida como la probabilidad de que X sea igual a 0.

4. Ejemplo 4:
Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es
la probabilidad de sacar la carta 9?
° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.
P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111
° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.
P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888
Ejemplo 5:
"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga
cruz".
Se trata de un solo experimento, con dos resultados
posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El
fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.
La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen
en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0
(ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).
Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que
cumple todos los requisitos.
° La probabilidad de obtener cruz.
P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5
° La probabilidad de no obtener cruz.
P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5

5. Distribución Binomial
Ejemplo 1:
Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la
probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este
caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería
P(X=20):
Ejemplo 2:
La última novela de un autor ha tenido un gran
éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores
ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son
aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo
hayan leido la novela 2 personas?
B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2
2.¿Y cómo máximo 2?

6. Ejemplo 3:
Un agente de seguros vende pólizas a cinco
personas de la misma edad y que disfrutan de
buena salud. Según las tablas actuales, la
probabilidad de que una persona en estas
condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la
probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
1. Las cinco personas.
B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3
2.Al menos tres personas.
3.Exactamente dos personas.

7. Ejemplo 4: Se lanza una moneda cuatro veces.
Calcular la probabilidad de que salgan más caras
que cruces.
B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5
Ejemplo 5:
La probabilidad de que un hombre acierte en el
blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la
probabilidad de que acierte exactamente en tres
ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte
por lo menos en una ocasión?
B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4

8. Distribución Poisson
Ejemplo 1: El número promedio de partículas radiactivas
que pasan a través de un contador
durante 1 ms en un experimento de laboratorio es 4, ¿cuál
es la probabilidad de que entren
6 partículas al contador en un milisegundo determinado?.
En este caso x = 6, λ = 4 luego debemos calcular p(6; 4),
p=poisspdf(6,4) p =0.1042
Si nos piden hallar la probabilidad de que entren 5 ´o 6
partículas,
Ejemplo 2:
Un estudiante observa que una muestra de Torio emite 49
partículas en 30 minutos ¿Cuál es la tasa de emisión? ¿Cuál
es la tasa en partículas por minuto?

9. Ejemplo 3:
Supongamos que en exploraciones del cielo se encuentran
con una cierta técnica un promedio de 3.2 galaxias por
grado cuadrado. Se pide encontrar el área que debemos
explorar para tener la seguridad en un 95% de encontrar
más de 100 galaxias.
Con el diagrama cdf, colocamos en la casilla
correspondiente al número de casos el valor 100.
Vamos probando valores en lambda y leyendo la
probabilidad hasta que valga 0.05. Resulta
Que λ = 118 proporciona probabilidad 0.05074 de encontrar
x ≤ 100, o lo que es lo mismo la
probabilidad de encontrar x > 100 es 0.95. Traducido a
nuestro problema: esperamos 118 galaxias en 118/3.2 = 37
grados cuadrados. Si exploramos este ´área hay una
probabilidad de 0.95 de encontrar más de 100 galaxias.
Ejemplo 4:
En un proceso de fabricación de componentes
electrónicos, a veces se producen
Defectos que los hacen inservibles. Supongamos que 2 de
cada 1000 piezas salen defectuosas
en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que en una
muestra aleatoria de 6000 piezas menos
de 9 sean inservibles?.
Este ejemplo es de distribución Binomial y se resuelve muy
fácilmente como,
P(X < 9) =
X8
x=0
b(x; 6000, 0.002) = 0.1548

10. o con disttool, seleccionando Binomial y cdf con ensayos
(trials n = 6000, de probabilidad p=0.002 y número de casos
8, obtenemos el mismo resultado. Como la probabilidad es
muy pequeña (p ≃ 0) y n es bastante grande, podemos
hacer la aproximación con la distribución de Poisson
utilizando λ = 6000 × 0.002 = 12. Volvemos a seleccionar la
distribución de Poisson con λ = 12 y número de casos 8, y
obtenemos una probabilidad de 0.155.
Ejemplo 5:
En promedio, cada una de las 18 gallinas de un gallinero
pone un huevo al día. Si se recogen los huevos cada hora
¿Cuál es el número medio de huevos que se recogen en
cada
visita? ¿Con qué probabilidad encontraremos x huevos
para x = 0,1,2,3? ¿y la probabilidad de que x ≥ 4 ?
Promedio: μ =1×18 / 24 = 0.75 huevos / hora

11. Distribución Normal
Ejemplo 1: Sólo 24 de los 200 alumnos de un Centro
miden menos de 150 cm. . Si la estatura media de dichos
alumnos es de 164 cm., ¿ cuál es su varianza ?.
Siendo 24 / 200 = 0'12 , sabemos que el 12% de los alumnos
tienen estaturas inferiores a 150.
Consultando las tablas de la distribución normal tipificada,
obtenemos el valor z que deja a su izquierda un área 0'12.
Dicho valor es : z = -1'175
(para z = -1'17 encontramos 0'12100 y para z = -1'18
encontramos 0'11900).
Ejemplo 2: El percentil 70 de una distribución normal es
igual a 88, siendo 0'27 la probabilidad de que la variable
tenga un valor inferior a 60. ¿ A qué distribución normal nos
estamos refiriendo ¿
Se nos pide determinar la media y desviación típica de una
distribución normal que verifica las condiciones del
enunciado.
a) Valor de z que deja a su izquierda un área igual a 0'70 :
z = 0'52 (valor más próximo 0'69847)
b) Valor de z que deja a su izquierda un área igual a 0'27
z = -0'61 (valor más próximo 0'27093)

12. Ejemplo 3:
Las estaturas de 600 soldados se distribuyen de acuerdo a
una distribución normal de media 168
y desviación típica 8 cm. .Cuántos soldados miden entre
166 y 170 cm?. Sea X la distribución de los soldados, X es
una N (168,8). Nos piden p(166 ≤ X ≤ 170).
Utilizando el resultado anterior, primero restamos x=168 en la
desigualdad: p (166 ≤ X ≤ 170) = p (166 − 168 ≤ X − 168 ≤ 170
− 168) = p (−2 ≤ X − 168 ≤ 2)
Y ahora dividimos entre σ = 8, con lo que acabamos de
tipificar:
P (166 ≤ X ≤ 170) = p(−2 ≤ X − 168 ≤ 2) = p
Ejemplo 4:
.-El tiempo medio en realizar una misma tarea por parte de
los empleados de una empresa se distribuye según una
distribución normal, con media de 5 días y desviación típica
1 día. Calcular el porcentaje de empleados que realizan la
tarea en un tiempo inferior a 7 días.
t1 = - y t2 = (7 -5)/1 = 2

En la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2
(equivalente a un tiempo inferior a 7 días.). Esta
probabilidad es 0,9772. Por lo tanto, el porcentaje de
empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a 7
días es del 97,7%.

13. Ejemplo 5:
La vida media de una lámpara, según el fabricante, es de
68 meses, con una desviación típica de 5. Se supone que se
distribuye según una distribución normal En un lote de 10.000
lámparas. a) ¿Cuántas lámparas superarán previsiblemente
los 75 meses?. b) ¿Cuántos lámparas se estropearán antes
de 60 meses?
a) t = (75 -68)/5 = 1,4
P (X > 75) = (t > 1,4) = 1 - P (t ≤ 1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808
Luego, el 8,08% de las lámparas (808 lámparas) superarán
los 75 meses
b) t = (60 -68)/5 = -1,6
P (X ≤ 60) = (t ≤ -1,6) = P (t> 1,6) = 1 - P (t ≤ 1,6) = 0,0548
Luego, el 5,48% del lote (548 lámparas) no llegarán
probablemente a durar 60 meses

14. Distribución Gamma
Ejemplo 1: .
Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de
sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de
manera independiente a una frecuencia promedio de dos
por cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el
intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el
segundo ciclo.
a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo
promedio.
b. A más de dos desviaciones por encima de la media.
Solución:
X: Lapso que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo
ciclo de esfuerzo ,en horas.
Y: Número de ciclos / 100 horas ----Y ~P( =2) E(Y) = 2
Y': Número de ciclos / hora ---------Y'~P( =0.02) E(Y') = 0.02
=
X ~ G(2, 0.02)

15. Ejemplo 2: .
A una centralita de teléfonos llegan 12 llamadas por minuto,
siguiendo una distribución de Poisson. ¿Cuál es la
probabilidad de que en menos de 1 minuto lleguen 8
llamadas?
Existe un 91,05% de probabilidades de recibir 8 llamadas en
un plazo de tiempo de menos de 1 minuto.
α=2,94 =13,94

16. Ejemplo 3:
Si un componente eléctrico falla una vez cada 5 horas,
¿cuál es el tiempo medio que transcurre hasta que fallan
dos componentes? ¿Cuál es la probabilidad de que
transcurran 12 horas antes de que fallen los dos
componentes?
Ejemplo 4:
Si se sabe que el tiempo de sobrevivencia de ratas
expuestas a un determinado tóxico es una variable
aleatoria que sigue una distribución Gamma (5, 10), ¿cuál
es la probabilidad de que una rata no supere las 60
semanas de vida?

17. Ejemplo 5:
En una ciudad se observa que el consumo diario de
energía (en millones de kilowatt-hora) es una variable
aleatoria que sigue una distribución gamma con
parámetros α= 3 y =2. Si la planta de energía que suministra
a la ciudad tiene una capacidad diaria de generar un
máximo de 12, ¿cuál es la probabilidad de que haya un día
donde no se pueda satisfacer la demanda?
Donde
De forma que
La probabilidad de que exista 1 exceso
Resolviendo la integral con ayuda del Derive, la
probabilidad obtenida es

18. Distribución T de Student
Ejemplo 1:
Cual es la probabilidad acumulada de una Distribución t de
Student de 9 grados de libertad, de que x < 0,25.
esto es:
buscando en la tabla en la columna del 9, y la fila de 0,25
tenemos que:
Ejemplo 2:
Cual es la probabilidad de que una variable t de Student
de 6 grados de libertad deja a la izquierda de -1,45
los valores negativos no vienen en la tabla, pero según lo
anterior:
con lo que obtenemos:

19. Ejemplo 3:
Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los
siguientes casos:
1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.
2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.
Solución.
1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que
verifica:
S [W · w0=95] = 0=95
Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-
Student bastará:
- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad,
en este caso: 3.
- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en
nuestro caso: 0=95=
- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones
anteriores hasta cruzarnos en el punto w0=95.
Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados
de libertad será el valor:
w0=95 = 2=3534
Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos
horizontalmente hasta la primera columna, llegaremos al
valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos verticalmente

20. hacia la primera fila la llegaremos al valor 0.95
(probabilidad acumulada).
Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-
Student para colas probabilísticas que van desde 0=75
hasta 0=999, para calcular el percentil w0=25, tendremos
que realizar la siguiente consideración:
S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]
Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica:
w0=25 = ¡w0=75
Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]
Por tanto, buscando en la tabla con los datos:
Grados de libertad: 3
Cola de probabilidad: 0.75
Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649
2. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo
similar al caso anterior, pero buscando en la fila 30 de la
tabla. Resultando:
w0=95 = 1=6973
Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828

21. Ejemplo 4:
Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01
Solución.
Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7;
0=99 hemos de tener en cuenta que:
df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)
df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)
0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la
tabla) El valor donde se cruzan todos estos datos será el
percentil buscado.
Por tanto: I9>7; 099 = 6=840

22. Ejemplo 5:
La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen
media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la
probabilidad de que en una muestra de tamaño n=25, la
longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:
P (μ<20.5)
Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t
de n-1 grados de libertad
T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5
P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)
P (T<2.5) = 0.9902
P (μ<20.5)=0.9902
La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25
tornillos sea inferior a 20.5 mm es del 99.02%