Diagrama momento curvatura aproximado

1. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 1
DIAGRAMA MOMENTO –
CURVATURA APROXIMADO
DIAGRAMA MOMENTO – CURVATURA APROXIMADO
Ing. Erly Marvin Enriquez Quispe
ing_erlyenriquez@hotmail.com
1. INTRODUCCIÓN
Figura 1. Curvas idealizadas momento – curvatura para una sección que falla a tracción.
El diagrama momento – curvatura para una viga, en que fluye el acero a tracción se
puede idealizar por la relación trilineal presentada en la figura 1(a). La primera etapa es
el agrietamiento, la segunda a la fluencia del acero a tracción y la tercera al límite de la
deformación útil en el concreto. En muchos casos es suficientemente exacto idealizar la
curva todavía más hasta cualquiera de las dos relaciones bilineales mostradas en las
figuras 1(b) y 1(c), que proporcionan grados sucesivos de aproximación.
La figura 1(a) es una curva virgen idealizada que representa el comportamiento a la
primera carga. Una vez que se desarrollan las grietas, como sucede en la mayoría de
las vigas bajo cargas de servicio, la relación M-φ es casi lineal desde la carga cero
hasta el inicio o arranque de la fluencia. En consecuencia, las curvas bilineales de las
figuras 1(b) y 1(c) son buenas aproximaciones para vigas inicialmente agrietadas.

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2. NOTACIÓN

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3. INICIO DEL AGRIETAMIENTO DEL CONCRETO A TRACCIÓN
2
h
b
d
d
1
h
b
(n-1) As1
(n-1) As
c
2
As1
As2
C.G.
√
( )
cc
ct
h - c
=
fcc
2
h
d
d
1
As1
As2
fct fr
c
= cr
√

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4. INICIO DE LA FLUENCIA DEL ACERO A TRACCIÓN
c
S2
S1
c
c - d1
d - c2
T = A fS2 S2
C = A fS1 S1S
S
C = 0.5f bcCC
fC
h 2
d
d
A f
1
C1
As1
As2
= y
S1-
Equilibrio:
Compatibilidad:
( ) ( )
Leyes Constitutivas:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Reemplazando las leyes constitutivas en el equilibrio:
[ ] [ ]
[ ] √[ ] [ ]
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )

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5. INICIO DEL APLASTAMIENTO DEL CONCRETO A COMPRESIÓN
c
S2
S1
c
c - d1
d - c2
T = A fS2 S2
C = A fS1 S1S
S
C = 0.85f' bB ccc
0.85f'c
2
1
h
As
As
d
d
2
1
= y
= 0.003
1
B c
1
0.85f'c- A S1
Equilibrio:
Compatibilidad:
( )
Leyes Constitutivas:
( )
Iterando la dimensión del eje neutro “c” hasta cumplir el equilibrio:
( )
( ) ( ) ( )
Ductilidad de una sección de concreto armado sin confinar

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CURVATURA APROXIMADO
6. EJEMPLO DE APLICACIÓN
1. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES
f´c: Esfuerzo máximo de compresión del concreto (MPa) 27.60
β1: Factor del bloque rectangular de Whitney 0.85
εu: Deformación última del concreto no confinado 0.003
Ec: Módulo de elasticidad del concreto (MPa) 24692
fy: Esfuerzo de fluencia del acero (MPa) 414
Es: Módulo de elasticidad del acero (MPa) 200000
n: Relación modular 8.10
2. PROPIEDADES DE LA SECCIÓN
b: Base de la sección (mm) 300
h: Altura de la sección (mm) 550
d1: Peralte efectivo del acero a compresión (mm) 75
d2: Peralte efectivo del acero a tracción (mm) 475
As1: Área de acero a compresión (mm2
) 1014
As2: Área de acero a tracción (mm2
) 1521
3. INICIO DEL AGRIETAMIENTO DEL CONCRETO A TRACCIÓN
c: Profundidad del eje neutro (mm) 278.93
I: Momento de inercia de la sección (mm4
) 4876468730
fr: Esfuerzo que produce el primer agrietamiento (MPa) 3.26
Ԑcr: Deformación de agrietamiento del concreto (mm/mm) 0.000132
Mcr: Momento de agrietamiento (kN-m) 58.60
φcr : Curvatura de agrietamiento (rad/m) 0.00049
4. INICIO DE LA FLUENCIA DEL ACERO A TRACCIÓN
c: Profundidad del eje neutro (mm) 151.38
εy: Deformación de fluencia del acero 0.002070
Ԑc: Deformación del concreto (mm/mm) 0.000968
fc: Esfuerzo de compresión del concreto (MPa) 23.91
ԐS1: Deformación del acero a compresión (mm/mm) 0.000489
Cc: Fuerza de compresión del concreto (N) 542854
CS: Fuerza de compresión del acero (N) 86840
TS: Fuerza de tracción del acero (N) 629694
My: Momento de fluencia (kN-m) 265.20
φy : Curvatura de agrietamiento (rad/m) 0.0064
DIAGRAMA MOMENTO - CURVATURA
Método Aproximado
Ing. Erly Marvin Enriquez Quispe
ing_erlyenriquez@hotmail.com
2
h
b
d
d
1
As1
As2
5. INICIO DEL APLASTAMIENTO DEL CONCRETO A COMPRESIÓN
c: Profundidad del eje neutro (mm) 91.18
ԐS1: Deformación del acero a compresión (mm/mm) 0.000532
fS1: Esfuerzo del acero a compresión (MPa) 106.50
Cc: Fuerza de compresión del concreto (N) 545495
CS: Fuerza de compresión del acero (N) 84199
TS: Fuerza de tracción del acero (N) 629694
Equilibrio de Fuerzas 0.00
Mu: Momento último (kN-m) 271.65
φu : Curvatura última (rad/m) 0.0329002
μ: Ductilidad por curvatura 5.14

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7. CONCLUSIONES
- El diagrama momento – curvatura para una viga, en que fluye el acero a tracción se
puede idealizar por una relación trilineal.
- Mediante el diagrama momento – curvatura podemos determinar la ductilidad de
una sección de concreto armado sin confinar.
- Mediante el diagrama momento – curvatura podemos predecir el comportamiento a
la flexión de una sección de concreto armado sin confinar.
8. BIBLIOGRAFÍA
- R. Park y T. Paulay. Estructuras de Concreto Reforzado. (1983)